FUNDAMENTOS D DEL A ANÁLISIS M MODAL 1. INTRODUCCIÓN Todas las estructuras, como consecuencia de poseer masa, rigidez y amortiguamiento, son capaces de vibrar. Estas vibraciones pueden ser excitadas por fuentes externas tales como motores, compresores, máquinas alternativas, vientos, terremotos, etc. Si la frecuencia de estas fuentes de vibración coincide con una de las frecuencias naturales de la estructura se presenta el fenómeno de resonancia y las amplitudes de vibración pueden alcanzar magnitudes lo suficientemente grandes para dañar o incluso destruir la estructura. Para evitar la resonancia es necesario conocer las Frecuencias Naturales, los Modos de Vibración, y el Amortiguamiento de la estructura en análisis; dichos parámetros dinámicos se pueden obtener: Experimentalmente, a través del Análisis Modal Experimental; Analíticamente, mediante las ecuaciones que modelizan el comportamiento dinámico, y Numéricamente mediante el Método de los Elementos Finitos (MEF) En conclusión, el Análisis Modal es un método por el cual se obtienen las propiedades dinámicas de un sistema real: Frecuencias Naturales, Modos de Vibración y Amortiguamiento que, a su vez, dependen de la distribución de la rigidez, de la distribución de la masa y de las condiciones de borde. El presente artículo sin usar un tratamiento matemático riguroso pretende hacer una introducción a los Fundamentos del Análisis Modal.
2. SÍNTESIS TEÓRICO - EXPERIMENTAL El análisis modal, además de determinar las frecuencias naturales, los modos de vibración y el amortiguamiento, permite transformar un sistema de N grados de libertad (GDL) en N sistemas de un grado de libertad (1 GDL), cabe indicar que un sistema de 1 GDL está conformado por una masa concentrada, un resorte que representa la rigidez y un amortiguador que caracteriza al amortiguamiento, tal como se puede apreciar en la figura N° 1.
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Figura N° 1: Ventilador en voladizo y sistema de 1 GDL El sistema mostrado en la figura N° 1 está conformado por un ventilador en voladizo y una estructura base. El ventilador básicamente está compuesto por un rotor, una carcasa, y un eje; razón por la cual en los resultados del análisis modal es de esperar que aparezcan frecuencias naturales concernientes al rotor, a la carcasa, al eje y a la estructura base. Al golpear con el martillo de impacto sobre el eje del ventilador, el acelerómetro captará diversas frecuencias naturales las cuales serán denotadas con los subíndices “E”, “R” y “EB” para referirse, respectivamente, a las frecuencias naturales del eje, del rotor y de la estructura base, con fines didácticos se ha prescindido de las frecuencias naturales de la carcasa, ver figura N° 2.
Figura N° 2: Frecuencias naturales de un ventilador en voladizo VIBRO TECHNOLOGY S.R.L, CALLE OLMOS 117 URB. EL REMANSO DE LA MOLINA - LIMA http://www.vibrotechnology.org
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En la figura N° 2, se puede apreciar que solo se muestra la primera frecuencia natural, denotada con el subíndice 1, de cada uno de los componentes del sistema (eje, rotor y estructura base); sin embargo se debe tener presente que cada uno de ellos presenta más de una frecuencia natural. En el mismo gráfico, también se puede observar que a una determinada frecuencia, en este caso la primera frecuencia natural, tanto el eje como el rotor y la estructura base se pueden modelar como un sistema de 1 GDL, cabe indicar que estos modelos de 1GDL no intentan representar físicamente un sistema real, sin embargo son una herramienta muy valiosa a la hora de realizar un análisis dinámico.
3. MODELO CONCEPTUAL DE UN SISTEMA REAL Antes de explicar cómo se obtiene un modelo conceptual de un sistema real, se responderá a la siguiente pregunta: Qué son los grados de libertad (GDL)? Son el mínimo número de coordenadas independientes requeridas para determinar completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante. En la figura N° 3, se puede apreciar tres ejemplos de sistemas mecánicos con dos grados de libertad (2 GDL). Por qué 2 GDL? Porque se necesita dos coordenadas para definir completamente el sistema.
Figura N° 3: Sistemas mecánicos con dos grados de libertad (2 GDL) En el mundo industrial, minero y pesquero para determinar completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante dado se requieren infinitas coordenadas; pero para conceptualizar el sistema (modelo conceptual) y de esta manera entenderlo dinámicamente a través de ecuaciones, se puede realizar simplificaciones (discretizar) con el propósito de derivar las formulaciones matemáticas que caractericen el comportamiento real del sistema en análisis. El modelo conceptual debe incluir los detalles mínimos y necesarios del sistema real de tal manera que el comportamiento pueda ser representado matemáticamente. En la figura N° 4, se muestra un sistema que consta de un motor que está anclado a una base de concreto y con la finalidad de aislar las vibraciones producidas por el motor se ha colocado un material aislante de vibraciones. Así mismo, en el lado derecho de la figura N° 4, se puede apreciar el modelo conceptual que está conformado por un sistema de dos grados de libertad (2 GDL); compuesto por la masa del motor, la rigidez y el amortiguamiento del sistema aislante, la masa del concreto y la rigidez y amortiguamiento del piso.
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Figura N° 4: Modelo conceptual de dos grados de libertad (2 GDL) En la figura N° 4, si la transmisión de vibraciones a la base de concreto es mínima entonces sólo es de interés analizar el sistema compuesto por el motor y el material aislante; el cual estaría representado por un sistema de un grado de libertad mostrado en la figura N° 5.
Figura N° 5: Modelo conceptual de un grado de libertad (1 GDL) Aplicando la Segunda Ley de Newton al sistema de la figura N° 5 se obtiene la ecuación diferencial ordinaria que gobierna el movimiento del sistema compuesto por el motor y el material aislante:
̈
+
̇
+
=
( )
á
ó
Donde:
̈ ̇
: Masa del motor : Aceleración : Coeficiente de amortiguamiento del material aislante : Velocidad : Rigidez del material aislante : Desplazamiento ( ): Fuerza de excitación del motor
A partir de la ecuación (1), se pueden analizar diferentes casos; por ejemplo: a. Cómo se comporta el sistema si en dicha ecuación se varía la masa (m)? o b. Cómo se comporta el sistema si se varía el amortiguamiento (c)? o c. Cómo se comporta el sistema si se varía la rigidez (k)? o d. Cómo se comporta el sistema si se varía la fuerza de excitación [ ( ):]?
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…(1)
Variando los diferentes términos de la ecuación (1) y resolviendo la ecuación diferencial, se obtiene el comportamiento dinámico del sistema ante las variaciones de masa o de amortiguamiento o de rigidez o de fuerza de excitación o combinaciones.
4. SUPUESTOS BÁSICOS EN EL ANÁLISIS MODAL Tanto para el desarrollo de los Fundamentos del Análisis Modal así como para las técnicas de extracción de los parámetros dinámicos, a través del Análisis Modal Experimental, se asumen cuatro supuestos básicos:
a. La Estructura es Lineal La respuesta de la estructura es siempre proporcional a la excitación. Este supuesto tiene dos implicaciones:
a.1 Superposición La respuesta de la estructura para cualquier combinación de fuerzas, simultáneamente aplicadas, es la suma de las respuestas individuales para cada una de las fuerzas actuando de forma independiente.
a.2 Homogeneidad La medición de la Función Respuesta en la Frecuencia (FRF) de la estructura es independiente del nivel de excitación.
b. La Estructura es Invariante en el Tiempo Los parámetros a ser estimados son constantes. Si el sistema fuera variante en el tiempo; la masa, el amortiguamiento y la rigidez dependerían de factores que no son medidos o no son considerados por el modelo en análisis. Un ejemplo, podría ser la dependencia con la temperatura; las variaciones de la temperatura podrían causar cambios en la rigidez del material.
c. La Estructura Obedece al Teorema de Maxwell (Reciprocidad). Una fuerza aplicada en el grado de libertad “i” causa una respuesta en el grado de libertad “j” que es la misma respuesta en el grado de libertad “i” al aplicar la misma fuerza en el grado de libertad “j”.
d. La Estructura se Considera con Amortiguación Viscosa. La amortiguación viscosa es definida por el cociente de proporcionalidad (c) entre la fuerza de amortiguamiento y la velocidad relativa entre los extremos de un elemento amortiguador.
5. FUNDAMENTO CONCEPTUAL DEL ANÁLISIS MODAL La teoría del análisis modal está basada en una matemática avanzada de vectores y matrices, el objetivo de este artículo no es profundizar en la parte matemática sino que la parte conceptual del análisis modal sea comprendida de una manera práctica, para tal fin se usará el siguiente ejemplo.
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La campana, mostrada en la figura N° 6, al ser excitada con un golpe absorbe la energía de impacto y la disipa vibrando a diferentes frecuencias (frecuencias naturales). En la figura N° 6, muestra en cada columna la respuesta de la campana en diferentes dominios:
Figura N° 6: Modos de vibración de una campana
a. Dominio Físico La deflexión geométrica compleja de la campana puede ser representada por un conjunto de modos de vibración más simples.
b. Dominio en el Tiempo La respuesta de vibración de la campana es mostrada a lo largo del tiempo y puede ser representada por un conjunto de ondas sinusoidales cuyas amplitudes decaen paulatinamente.
c. Dominio en la Frecuencia Al aplicar la FFT a la respuesta de vibración de la campana en el dominio del tiempo se obtiene un espectro que contiene una serie de picos (frecuencias naturales), los cuales pueden ser mostrados como un conjunto de espectros de sistemas de un grado de libertad (1 GDL).
d. Dominio Modal La respuesta de la campana es apreciada como un modelo modal construido a partir de un conjunto de modelos de un grado de libertad. VIBRO TECHNOLOGY S.R.L, CALLE OLMOS 117 URB. EL REMANSO DE LA MOLINA - LIMA http://www.vibrotechnology.org
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Cabe mencionar que un modo de vibración, a una determinada frecuencia modal o natural, es el patrón de movimiento para todos los puntos de la campana; en consecuencia una coordenada modal “q” se puede utilizar para representar la contribución de un determinado modo al movimiento total de la campana. Recordando Qué son los grados de libertad (GDL)?, y como consecuencia de que se necesita solo una coordenada modal “q” para representar la contribución de un determinado modo al movimiento total de la campana; se deduce, que el sistema en cada una de las frecuencias naturales puede ser representado por un sistema de un grado de libertad, como el mostrado en la figura N° 5. En conclusión, un análisis modal permite transformar un sistema de N grados de libertad (GDL) en N sistemas de un grado de libertad (1 GDL).
6. FUNDAMENTO TEÓRICO DEL ANÁLISIS MODAL En el mundo industrial, minero y pesquero para determinar completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante dado se requieren infinitas coordenadas; pero con la finalidad de determinar su modelo conceptual dicho sistema se le puede discretizar en un sistema de N grados de libertad. Con la finalidad de explicar analíticamente el fundamento teórico del análisis modal se considerará un sistema simple de 2 GDL como el mostrado en la figura N° 7.
Figura N° 7: Sistema de 2 GDL Aplicando la Segunda Ley de Newton al sistema de la figura N° 7 se obtiene las ecuaciones diferenciales ordinarias que gobiernan el movimiento del sistema, expresadas en forma matricial:
1
m 0
̈ 1 1− 2 − 2 � ̇ 1 1− 2 − 2 1 � 1 � 2 2 3 ̇2 2 ̈2 2 2 3 2 2
0 m
c + c x + c x
c c + c
x x
+
k + k k
k k + k
x F (t) = …(2) x F (t)
Pregunta: Por qué en el sistema de dos grados de libertad (2 GDL), mostrado en figura N° 7, se obtienen dos ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento del sistema? Respuesta: Se obtienen dos ecuaciones diferenciales como consecuencia de que se necesita dos coordenadas (x1 y x2) para definir completamente el movimiento del sistema.
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Expresando (2) con notación matricial abreviada, se obtiene la expresión (3):
̈ ̇
[ ]{ } + [ ]{ } + [ ]{ } = { ( )} …(3)
Donde:
̈ ̇
[ ] =
{ } = [ ] = { } =
[ ] = { } =
1 2 � ̈̈ 12 1− 2 2 2− 2 3 � ̇̇ 12 1− 2 2 2− 2 3 12 � 12 m 0
0 : Matriz de inercia m
x : Vector de aceleraciones x
c + c c
c : Matriz de amortiguamiento c + c
x : Vector de velocidades x k + k k
k : Matriz de rigidez k + k
x x : Vector de desplazamientos
{ ( )} =
F (t) : Vector de fuerzas de excitación F (t)
Si en la expresión (3) las dos matrices [C] y [K] fueran diagonales, de la misma forma que la matriz [M], las dos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas y serían de forma similar a la ecuación diferencial de 1GDL mostrada en la expresión (1).
6.1 Obtención de las Frecuencias Naturales y los Modos de Vibración De la expresión (3) se puede deducir que toda vibración presente en las estructuras, máquinas y componentes de máquinas es una combinación de una vibración resonante (Vibración Libre Amortiguada) y una vibración forzada (Vibración Forzada Amortiguada). La vibración resonante estaría representada por una expresión que se deriva de (3) al hacer nula la fuerza de excitación:
̈ ̇
[ ]{ } + [ ]{ } + [ ]{ } = { 0} …(4)
La vibración resonante (4) caracteriza las propiedades dinámicas de cualquier sistema mecánico sin tener en cuenta la acción de la fuerza de excitación; en otras palabras, la expresión (4) indica el VIBRO TECHNOLOGY S.R.L, CALLE OLMOS 117 URB. EL REMANSO DE LA MOLINA - LIMA http://www.vibrotechnology.org
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comportamiento de la masa, el amortiguamiento y la rigidez de cualquier estructura, máquina o componente de máquina antes de que sea puesto en funcionamiento (fuerza de excitación nula). Una vez puesto en operación la estructura, la máquina o el componente de máquina se generan fuerzas de excitación y la ecuación (4) se transforma en la expresión (3) también llamada vibración forzada:
̈ ̇
[ ]{ } + [ ]{ } + [ ]{ } = { ( )} …(3)
La expresión (3) indica el comportamiento de la masa, el amortiguamiento, y la rigidez de cualquier estructura, máquina o componente de máquina mientras está en funcionamiento. En conclusión, la expresión (4) es el punto de partida para la obtención de los parámetros dinámicos: Frecuencias Naturales, Modos de Vibración y Amortiguamiento. Las frecuencias naturales y los modos de vibración serán hallados a partir de la siguiente suposición: “los términos disipativos de energía son nulos”; es decir, la matriz de amortiguamiento, [C], será considerada nula y la ecuación (4) quedaría reformulada de la siguiente manera:
̈
[ ]{ } + [ ]{ } = {0} …(5)
Para una respuesta armónica, la expresión (5) constituye un sistema de ecuaciones en X 1 y X2, siendo ambas las amplitudes de respuesta del sistema. No es de interés profundizar en la parte matemática, razón por la cual, solo se mostrará los resultados derivados de (5): dos frecuencias naturales y dos modos de vibración.
1 2 2 1222 − 1 22 2 11 1 22 2 11 1 12 − 12 2 12212211 122 − 211122 1222
Las dos frecuencias naturales (
=
=
(
)y(
+
) son obtenidas a partir de las siguientes expresiones:
)
(
2
(
2
+
2
) + 4
)
+
(
) + 4
2
…(6)
…(7)
Donde:
11 22
1 2 2 3
= k + k = k + k
12 22
Sustituyendo en cualquiera de las siguientes expresiones los valores de y se determina la relación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas de la figura N° 7. VIBRO TECHNOLOGY S.R.L, CALLE OLMOS 117 URB. EL REMANSO DE LA MOLINA - LIMA http://www.vibrotechnology.org
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1 2 2 2 11 1 1 22 22 2 2 =
=
+
+
…(8)
…(9)
11 21 12 22
A partir de (8) o (9) se obtienen dos modos naturales de vibración, ( frecuencia y el otro para la frecuencia .
12
22
,
)y(
,
), uno para la
6.2 Representación del Sistema en Coordenadas Modales Además de las coordenadas x 1(t) y x2(t) empleadas para definir el movimiento del sistema en la expresión (2), un cambio de coordenadas interesante es:
1 111 122 2 211 222 ( ) =
( ) +
( ) … (10)
( ) =
( ) +
( ) …(11)
Expresando las ecuaciones (10) y (11) en forma matricial, se obtiene:
12 1211 122212
{ } =
= [ ]{ } …(12)
=
De la expresión (12), se puede observar que las columnas de la matriz [X] son los modos naturales de vibración del sistema en análisis, razón por la cual se le denomina matriz de modos. Introduciendo el cambio de coordenadas en la ecuación matricial de movimiento del sistema, expresión (5), y premultiplicando por [X] T, se obtiene:
̈
[ ] [ ][ ]{ } + [ ] [ ][ ]{ } = { 0} … (13)
Teniendo en cuenta la ortogonalidad y ortonormalidad de los vectores propios con respecto a [M] y a [K] resulta:
� ̈̈ 12 ω12 ω22 12 1 0
0 y + 1 y 0
0
y 0 y = 0 … (14)
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Las matrices de la expresión (14) son diagonales, razón por la cual se puede expresar como dos ecuaciones características de un sistema de un grado de libertad:
̈1 ω12 1 ̈2 ω22 2
y +
y = 0 … (15)
y +
y = 0 … (16)
Las ecuaciones (15) y (16) son independientes, y cada una de ellas puede resolverse con los métodos para los sistemas con 1 GDL. A las coordenadas y 1(t) e y2(t), definidas con este cambio de variable se les denomina coordenadas modales, y en ellas las ecuaciones del movimiento mostradas en la ecuación (5) están desacopladas, tal y como se puede apreciar en las expresiones (15) y (16). En conclusión, un sistema de dos grados de libertad ha sido transformado, a través de un cambio de coordenadas, en dos sistemas de un grado de libertad. Generalizando, el análisis modal permite transformar un sistema de N grados de libertad (GDL) en N sistemas de un grado de libertad (1 GDL).
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