MARIA DEL MAR SOLANILLA JHON ALEXANDER GRAJALES ANALISIS MATRICIAL Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS EJERCICIO DE ANALISIS MODAL ESPECTRAL Método de superposición modal espectral Se tiene la siguiente estructura
Figura No. 1 Vista en planta de la estructura
Figura No. 2 vista frontal de la estructura.
Las vigas de la estructura tienen la siguiente forma
35 ×40 [ cm ] −−−−−eje B 30 ×40 [ cm ] −−−eje A y C Edificio de 4 pisos con los siguientes parámetros de espectro
A a =0.25 A v =0.25 Fa =1.15 F v =1.55 I =1.0 Dadas los pesos por piso registrados en la figura anterior se tiene que la matriz de masa [Ton] de la estructura es:
(
)
12.2324 0 0 0 0 12.2324 0 0 [M ]= (ton) 0 0 12.2324 0 0 0 0 7.1356
Se realizara un análisis de movimiento en sentido E-W, por lo tanto es importante considerar que para este caso particular de estructura, las vigas del eje B son distintas a las vigas de los ejes A y C Con ayuda del programa de Matlab MRIG_KL, ofrecido por el profesor, fue posible determinar las matrices laterales de rigidez de las ejes Ay C (la misma) y la del eje B. Estas matrices están dadas en unidades de [T/m] Eje B
KL 5.6731 −4.3807 1.1788 −0.1630 −4.3807 7.2395 −4.6078 0.9686 ton [¿ ¿ B]=1000∗ 1.1788 −4.6078 6.6844 −3.1183 m −0.1630 0.9686 −3.1183 2.2934 ¿
(
)(
)
Eje A-C
5.6097 [¿ ¿ L , EJE A−C ]=1000∗ −4.3507 1.2288 −0.1750
(
K −4.3507 1.2288 −0.1750 7.1009 −4.5653 0.9952 ton −4.5653 6.4822 −2.9956 m 0.9952 −2.9956 2.1538 ¿
)(
)
Es importante considerar una matriz lateral general para todo el edificio que no es mas que la suma de las dos matrices laterales obtenidas anteriormente, considerando que la matriz del eje A y C debe multiplicarse por 2.
K=2∗K LA y C + K L B
(
1.6892 −1.3082 0.3636 −0.0513 −1.3082 2.1441 −1.3738 0.2959 [ K total ]=10000 0.3636 −1.3738 1.9649 −0.9110 −0.0513 0.2959 −0.9110 0.6601
)
Al resolver el problema de valores propios de la ecuación de movimiento, con ayuda del software MODOS EDIFICIO, y empleando la matriz de rigidez K general de la estructura, se obtiene
Modos y periodos del edificio en la direccion este-oeste. MODO
T ( s)
1 2 3 4
0.9747 0.2946 0.1572 0.1052
Tabla No.1 Modos y Periodos de la estructura
La matriz
(
[ Φ ] 4 x 4 contiene los modos normalizados con respecto a la masa:
−0.0762 0.1741 0.1802 −0.1147 −0.1378 0.1476 −0.0835 0.1844 [Φ ]= −0.1812 −0.0423 −0.1408 −0.1652 −0.2034 −0.2185 0.1963 0.1118
)
De acuerdo al capitulo A.2.6 de la norma sismo resistente de Colombia (NSR-10) se tiene el siguiente espectro de aceleraciones.
Figura No. 1 Espectro de aceleraciones. Fuente: NSR-10
Como primera medida se realiza el cálculo de los límites de periodo en los que se encuentra la estructura, es decir:
T 0 =0.1
Av Fv 0.25∗1.55 =0.1 =0.1348 s A a Fa 0.25∗1.15
( ) (
T c =0.48
)
Av Fv 0.25∗1.55 =0.48∗ =0.6470 s A a Fa 0.25∗1.15
( )
(
)
T L =2.4 F v =2.4∗1.55=3.7200 s
Una vez calculados los periodos limite, se observa en la figura No.1 y se efectua el calculo de las aceleraciones (
S a ).
Análisis Modal Modo 1.
T =0.9747 s , T >T 0 >Tc y T
S a=1.2
Modo 2.
(
Av Fv I 0.25∗1.55∗1 =1.2∗ =0.4771 T 0.9747
)
(
)
T =0.2946 s ,T 0
S a=2.5 A a F a I =2.5∗0.25∗1.15∗1=0.7188 Modo 3.
T =0.1572 s , T 0< T
S a=2.5 A a F a I =2.5∗0.25∗1.15∗1=0.7188 Modo 4.
T =0.1052 s , T < T 0
(
S a=2.5∗A a F a I 0.4 +
0.6 T 0.6∗0.1052 =2.5∗0.25∗1.15∗1∗ 0.4+ =0.6240 T0 0.1348
)
(
)
A continuación se presenta el cálculo del factor de participacion modal,
{ Γ }4 x 1 = [ Φ ]
T
{ γ }4 x1
Donde
4x 4
[ M ] 4 x 4 { γ }4 x1
es un vector unitario de 4 filas
−0.0762 0.1741 0.1802 −0.1147 T 12.2324 0 0 0 1 0 12.2324 0 0 ∗1 { Γ }= −0.1378 0.1476 −0.0835 0.1844 ∗ −0.1812 −0.0423 −0.1408 −0.1652 0 0 12.2324 0 1 −0.2034 −0.2185 0.1963 0.1118 0 0 0 7.1356 1
(
)(
( )
−6.2849 { Γ }= 1.8582 0.8620 −0.3699
Ahora se procede a calcular los de los desplazamientos máximos a partir del espectro de aceleraciones,
Z i max =|Γ i|
Ti
2
4π
2
∗Sa ( T i , ξ i )
)()
2
Z 1 máx =
9.81∗6.2849∗0.9747 ∗0.4771=0.7078 4π2 2
9.81∗1.8582∗0.2946 Z 2 máx = ∗0.7188=0.0288 2 4π 2
Z 3 máx =
9.81∗0.8620∗0.1572 ∗0.7188=0.0038 2 4π
Z 4 máx=
9.81∗0.3699∗0.10522 ∗0.6240=6.3420∗10−4 2 4π
A continuación se presenta una tabla con el resumen de los pasos anteriores. Modo
T (s)
S a [ g]
Γi
Z i máx
1 2 3 4
0.9747 0.2946 0.1572 0.1052
0.4771 0.7188 0.7188 0.6240
-6.2849 1.8582 0.8620 -0.3699
0.7078 0.0288 0.0038
6.3420∗10−4
Tabla No.2 Resumen de calculo
Desplazamientos modales Para calcular los desplazamientos modales
{ ui }
, se puede realizar de dos formas: la primera
trabajando con los vectores fila de la matriz de modos normalizados ( Φ ¿
{ui }=
{Φ i }|Γ i|S a ( T i , ξ i ) ωi
2
donde el subindice
i indica el numero del modo. El otro medio es
directamente de forma matricial, un proceso mucho mas rápido, se tiene la matriz
es decir:
[ U ] =[ Φ ] [ Z m ] donde
[Z m ] es una matriz diagonal con los valores máximos Z i máx . Asi se tiene que:
0 0 0 −0.0762 0.1741 0.1802 −0.1147 0.7078 0.0288 0 0 [ U ] = −0.1378 0.1476 −0.0835 0.1844 ∗ 0 0 0 0.0038 0 −0.1812 −0.0423 −0.1408 −0.1652 −0.2034 −0.2185 0.1963 0.1118 0 0 0 6.3420∗10−4
(
)(
)
(
−0.0539 0.0050 0.0007 −0.0001 [ U ] = −0.0975 0.0043 −0.0003 0.0001 −0.1283 −0.0012 −0.0005 −0.0001 −0.1440 −0.0063 0.0007 0.0001
)
Con estos resultados es posible obtener los máximos factibles de desplazamiento para cada piso, con la siguiente expresión: máx j
u
=
√
m
∑ (u ij )2 i
j indica el piso.
Donde el subindice
1 2 2 2 umáx 4 = √ 0.0539 + 0.0050 +0.0007 +0.0001 =0.0541 m
2 2 2 2 umáx 3 = √ 0.0975 +0.0043 +0.0003 +0.0001 =0.0976 m
2 2 2 2 umáx 2 = √ 0.1283 +0.0012 + 0.0005 + 0.0001 =0.1283 m
2 2 2 2 umáx 1 = √ 0.1440 +0.0063 +0.0007 +0.0001 =0.1441m
Y el vector de los desplazamientos máximos factibles es:
( )
0.0541 {U máx }= 0.0976 (m) 0.1283 0.1441
Cálculo de las derivas de piso Con los resultados de desplazamientos por piso para cada modo, es posible calcular las derivas modales del piso,
[D] .
D j =u j −u j−1 y estos valores agruparlos en una matriz de derivas modaldes
(
−0.0539−(−0.0974) 0.0050−(0.0043) 0.0007−(−0.0003) −0.0001− ( 0.0001 ) −0.0974−(−0.1283) 0.0043−(−0.0012) −0.0003−(−0.0005) 0.0001−(−0.0001) [D ]= −0.1283−(−0.1440) −0.0012−(−0.0063) −0.0005−(0.0007) −0.0001−( 0.0001) −0.1440−(0) −0.0063−(0) 0.0007−(0) 0.0001−( 0)
(
0.0436 0.0007 0.001 −0.0002 0.0308 0.0055 0.0002 0.0002 [ D ]= 0.0157 0.0051 −0.0012 −0.0002 −0.1440 −0.0063 0.0007 0.0001
)
Como ya se tienen la matriz de derivas de la estructura es posible determinar sus valores máximos factibles, con la siguiente expresión (bajo el mismo concepto aplicado en el cálculo de máximos factibles de desplazamiento):
Dmáx j =
√
m
∑ (Dij)2 i
Dm4 áx =√ 0.04362 +0.00072 +0.0012 +0.00022=0.0436 m Dm3 áx =√ 0.03082 +0.00552 +0.00022 +0.00022=0.0313 m Dm2 áx =√ 0.01572 +0.00512 +0.00122+ 0.00022=0.0166 m Dm1 áx =√ 0.14402 +0.00632 +0.00072 +0.00012=0.1441m El vector de derivas de piso máximas factibles es:
( )
0.0436 { Dmáx }= 0.0313 (m) 0.1283 0.1441
Fuerzas Modales Las fuerzas modales se obtienen con la siguiente expresión,
[ F ] = [ K ] [U ]
)
(
)(
1.6892 −1.3082 0.3636 −0.0513 −0.0539 0.0050 0.0007 −0.0001 [ F ] =10000∗ −1.3082 2.1441 −1.3738 0.2959 ∗ −0.0975 0.0043 −0.0003 0.0001 0.3636 −1.3738 1.9649 −0.9110 −0.1283 −0.0012 −0.0005 −0.0001 −0.0513 0.2959 −0.9110 0.6601 −0.1440 −0.0063 0.0007 0.0001
(
)
−27.4018 27.9095 13.3976 −3.1762 [ F ] = −49.5726 23.6530 −6.2054 5.1087 (ton) −65.2002 −6.7858 −10.4675 −4.5759 −42.6837 −20.4296 8.5139 1.8058 Se procede a calcular los valores máximos factibles de la siguiente forma:
Fmáx j =
√∑ m i
(f ij)2
2 2 2 2 Fmáx 4 =√ 27.4018 +27.9095 +13.3976 +3.1762 =41.4654 ton
2 2 2 2 Fmáx 3 =√ 49.5726 + 23.6530 + 6.2054 +5.1087 =55.5114 ton
2 2 2 2 Fmáx 2 = √ 65.2002 +6.7858 +10.4675 + 4.5759 =66.5404 ton
2 2 2 2 Fmáx 1 = √ 42.6837 + 20.4296 + 8.5139 + 1.8058 =48.1146 ton
El vector de fuerzas modales máximas factibles es:
( )
41.4654 { F máx }= 55.5114 (ton) 66.5404 48.1146
Cortantes Modales de Piso
)
Finalmente se calculan los valores de cortante modal de piso, el cual se define como: m
V j =∑ F k i
i
j
(
−27.4018 −76.9744 V= −142.1746 −184.8583
27.9095 13.3976 −3.1762 51.5625 7.1922 1.9325 44.7767 −3.2753 −2.6434 24.3471 5.2386 −0.9376
)
