Aljabar Linier Matriks

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

Diktat Kuliah
Oleh :
Sukma Puspitorini, ST

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA STMIK NH JAMBI
TAHUN AJARAN 2007/2008

DAFTAR ISI

"BAB 1 : MATRIKS "
"1.1 "Pengertian " "
"1.2 "Operasi Pada Matriks " "
"1.3 "Transpose Matriks " "
"1.4 "Jenis-Jenis Matriks Khusus " "
"1.5 "Transformasi Elementer Pada Baris dan Kolom Suatu " "
" "Matriks " "
"1.6 "Matriks Ekuivalen " "
"1.7 "Soal Latihan " "
"BAB 2 : DETERMINAN "
"2.1 "Permutasi " "
"2.2 "Determinan " "
" "2.2.1 Nilai Determinan " "
" "2.2.2 Sifat-Sifat Determinan " "
"BAB 3 : INVERS MATRIKS "
"3.1 "Pembagian Matriks dan Invers Matriks " "
"3.2 "Matriks Adjoin " "
"3.3 "Mencari Invers Matriks " "
" "3.3.1 Invers Matriks Dengan Adjoin " "
" "3.3.2 Invers Matriks Dengan Transformasi Elementer " "
"BAB 4 : SISTEM PERSMAAN LINIER "
"4.1 "Persamaan Linier " "
"4.2 "Penyelesaian Sistem Persamaan Linier " "
" "4.2.1 Aturan Cramer " "
" "4.2.2 Metode Eliminasi Gauss " "
" "4.2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan " "
" "4.2.4 Metode Faktorisasi LU " "
"4.3 "Penyelesaian Persamaan Linier Simultan " "
"4.4 "Persamaan Linier Homogen " "
"BAB 5 : VEKTOR "
"5.1 "Definisi dan Notasi " "
"5.2 "Operasi Pada Vektor " "
"5.3 "Fungsi Linier Vektor Dalam Ruang 2 dan 3 " "
" "5.3.1 Vektor Dalam Ruang 2 " "
" "5.3.2 Vektor Dalam Ruang 3 " "
"5.4 "Norma Vektor " "
"5.5 "Hasil Kali Titik; Proyeksi " "
" "5.5.1 Proyeksi " "
" "5.5.2 Hasil Kali Silang " "
"5.6 "Vektor Satuan " "
"5.7 "Garis dan Bidang Di Ruang 3 " "
" "5.7.1 Persamaan Bidang Di Ruang 3 " "
" "5.7.2 Persamaan Garis Di Ruang 3 " "
" " " "

BAB 1 : MATRIKS

1. PENGERTIAN

Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang
disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-
baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat
persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut
elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris
dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan

Atau Atau

NOTASI MATRIKS

Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks
yang mempunyai I baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks
A yang elemen-elemennya aij dimana indeks I menyatakan baris ke I dan
indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut.

Secara umum :
Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa
banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.

Contoh :
A= B= C=

"Ukuran matriks "2 x 2 "2 x 1 "1 x 4 "
"Jumlah baris "2 "2 "1 "
"Jumlah kolom "2 "1 "4 "

Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan
matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah
matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij =
bij untuk setiap i dan j

2. OPERASI PADA MATRIKS

PENJUMLAHAN MATRIKS

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks
yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah
matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij )
dimana (cij ) = (aij ) +(bij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang
sama dan elemennya (cij ) = (aij ) +(bij )

Contoh :

A= B= C= maka

A+B = + = =

A+C = +

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A
dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

PENGURANGAN MATRIKS

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat
dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika
ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh :

A= B= maka

A-B = - = =

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij )
yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen
matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di
depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )

Contoh :

A= maka 2A=

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB.

Contoh :

A= B= dengan k=2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

2(A+B) = 2 + = 2 =

2A+2B = 2 + 2 =

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :
1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama
dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah
suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj

Contoh : 1) A= dan B= maka

A x B= * = =

2) A= dan B= maka

A x B = =

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :
1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif, A*B ( B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A(0 dan B(0
5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

3. TRANSPOSE MATRIKS

Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A
adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i
dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :
i) (A+B)T = AT + BT
ii) (AT) = A
iii) k(AT) = (kA)T
iv) (AB)T = BT AT
Buktikan sifat-sifat transpose diatas !

4. JENIS-JENIS MATRIKS KHUSUS

Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan
matriks baris

i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
2. A*0=0, begitu juga 0*A=0.

ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah
kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal
utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2

A=

iii) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA
a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian
sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).
b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI
COMMUTE.
c. Mtriks M dimana Mk+1=M untuk k bilangan bulat positif disebut
matriks PERIODIK.
d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1=M
maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.
e. Jika k=1 sehingga M2=M maka M disebut IDEMPOTEN.
f. Matriks A dimana Ap=0 untuk p bilangan bulat positif disebut
dengan matriks NILPOTEN.
g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap=0 maka A
disebut NILPOTEN dari indeks p.

iv) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar
diagonal utamanya nol.
Contoh :

A=

v) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen
diagonalnya adalah 1.
Contoh :

A=

Sifat-sifat matriks identitas :
1. A*I=A
2. I*A=A

vi) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama
tetapi bukan nol atau satu.
Contoh :

A=

vii) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar
yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A=

viii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks
bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

A=

ix) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris
secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah
matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
Contoh :
A= dan AT=

x) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif
dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal
utamanya = 0
Contoh :

A= maka AT =

xi) MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-
elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping
kanan dan kirinya.
Contoh :

A=

xii) MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan
kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks
jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemnya.
Contoh :
A= maka Ā=

xiii) MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A=(aij) dengan elemen-elemen
bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika (Ā)'=A atau matriks
bujursangkar A disebut hermitian jika aij = āij . dengan demikian jelas
bahwa elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-
bilangan riil.
Contoh :

A= maka dan Ā'=

5. TRANSFORMASI ELEMENTER PADA BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS

Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A
adalah sebagai berikut.

1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i
dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A)
untuk transformasi kolom.
Contoh :
a. Penukaran baris

A= H12(A)

H12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2
b. Penukaran kolom

A= K23(A)

K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3
2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h(0, ditulis
Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k(0, ditulis
Ki(k)(A).
Contoh :

A= H2(-2)(A)= K3(1/2)(A)=

3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis Kij(k)(A) dan
menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).
Contoh :

H23(-1)(A)
A=
H2 + (-1*H3)

K31(2)(A)

K3 + (2*K1)

6. MATRIKS EKUIVALEN

Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya
dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer
terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada
baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi
pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.
Contoh :

A= dan B=

A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris
ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat
matriks B.
K12(1) K42(-1)
A=
K1+(1*K2) K4+(-1*K2)

H12

7. MATRIKS ELEMENTER

Anxn disebut matriks elementer jika dengan sekali melakukan
transformasi elementer terhadap suatu matriks identity I diperoleh Anxn.

Contoh : Diketahui matriks

I3 = H12(I)

H31(k)(I)

H3+(k* H2)

H32(-4)(I)

H3+(-4* H2)

8. SOAL LATIHAN

1. Diketahui matriks P=

a. Berapakah ukuran matriks P?
b. Tentukan mana yang merupakan baris 1, baris 2, baris 3 kolom 4, kolom
5 baris 1
c. Tentukan P11, P31, P23, P15, P35

2. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut :

=

Carilah x1 , x2 , x3 , x4

3. Misalkan (mxn) menyatakan ukuran matriks. Cari hasil perkalian (kalau
terdefinisi) dari ukuran-ukuran berikut.
a. (2x1)(1x3)
b. (4x5)(2x3)
c. (1x1)(1x3)
d. (3x3)(3x4)
e. (2x2)(3x2)

4. Carilah AB dan BA jika

a. A= B=

b. A= B=

5. Diketahui

A= B=

Tentukan
a. 2A, 3B, 2A-B, 3B-A
b. (2A-B)(3B-A)

6. Selidikilah bahwa AB(BA untuk A= dan B=

7. Matriks A= B=

Carilah matriks P sedemikian sehingga AP=B.

8. Carilah 3A2+2A-3I2, jika A=

9. Carilah AT jika A

a. b. c. d.

10. Tunjukan bahwa matriks A idempoten jika A=

11. Periksalah apakah matriks A dan B berikut ekuivalen

a. A= dan B=

b. A= dan B=

12. Diketahui A=

Matriks B dihasilkan dari sederetan transformasi elementer H31(-1),
H2(2), H12, K41(1), K3(2) terhadap A. Carilah B.

13. Diketahui

Matriks B diperoleh dari A dengan sederetan transformasi elementer H12,
H31(1), K13, K2(2). Carilah B

BAB 2 : DETERMINAN

. PERMUTASI

Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga
fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada
bagian ini akan dipelajari mengenai suatu fungsi yang memetakan suatu
matriks ke bilangan riil yang disebut dengan fungsi determinan. Untuk itu
sebelumnya akan dibahas tentang konsep permutasi yang menjadi dasar
perhitungan determinan.

Definisi Permutasi
i) Suatu permutasi himpunan bilangan bilat {1,2,3,……,n} merupakan suatu
penyusuan bilangan-bilangan bulat tersebut dalam sutu urutan
tertentu tanpa penghilangan (Omission) ataupun perulangan
(repetition).
ii) Barisan bilangan-bilangan (j1, j2, j3, …….jn) dimana berlaku ji(jk
untuk i(k (i=1,2,3………,n dan k=1, 2, 3, …………m) serta ji adalah salah
satu bilangan asli (1,2,3, ……..,n).

Contoh :

1. Terdapat 6 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2,
3} yaitu (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2,
1). Suatu metode yang sistematis untuk menampilkan semua permutasi
adalah dengan pohon permutasi.

2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4}

Catatan
Apabila kita mempunyai n buah bilangan asli 1, 2, 3, ……, n maka
banyaknya permutasi yang dapat kita bentuk ada n!. misal n=3, maka
banyaknya permutasi = 3! = 3*2*1 = 6. jadi ada 6 buah permutasi (seperti
tampak pada contoh 1).

Definisi Inversi Permutasi
i) Yang dimaksud inversi pada suatu permutasi (j1, j2, …….,jn) ialah
adanya jk ii) Suatu inversi dikatakan terjadi di dalam permutasi ((j1, j2, …….,jn)
apabila ditemukan bilangan bulat yang lebih besar berada di depan
bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi tersebut.
iii) Sebuah permutasi dikatakan genap jika jumlah total inversi yang
terjadi genap dan dikatakan ganjil jika jumlah total inversi yang
terjadi ganjil.
iv) Jika sebuah permutasi adalah permutasi genap maka tanda (sign) dari
permutasi tersebut adalah (+) dan jika suatu permutasi adalah permutasi
ganjil maka tanda dari permutasi tersebut adalah (-).

Contoh :
1. Misalkan ada permutasi (2,1,4,3), berapa banyaknya inversi pada
permutasi tersebut?

Penyelesaian

Misalkan 2 1 4 3
j1 j2 j3 j4
Terlihat bahwa : j1=2 mendahului j2=1, padahal 1<2
j3=4 mendahului j4=3, padahal 3<4
Total inversi adalah 2 dan termasuk inversi genap.

2. Diketahui permutasi (4,3,1,2). Tentukan banyaknya inversi permutasi
tersebut!.

Penyelesaian

Misalkan 4 3 1 2
j1 j2 j3 j4
Terlihat bahwa : j1=4 mendahului j2=3, padahal 3<4
Total inversi adalah 5 dan termasuk permutasi ganjil.

3. Tentukan inversi dari permutasi (1,2,3,4)!.

Penyelesaian

Karena urutannya sudah benar (terurut dari nilai terkecil ke nilai
terbesar) maka total inversinya adalah 0 dan termasuk permutasi genap.

. DETERMINAN

Konsep inversi permutasi yang sudah dijabarkan diatas akan digunakan
untuk menghitung determinan dari suatu matriks. Sekarang pandang matriks
bujursangkar A berorde (berukuran) n

A=

Definisi Determinan
Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua
permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut.

Determinan dari suatu matriks A dituliskan
det(A) atau "A" = ( ( (j1, j2, …….,jn). a1j1, a2j2,……amjn

Contoh :

A=

Maka n=2, terdapat 2! = 2*1=2

Hasil kalinya sebagai berikut :
1. a11 a22 permutasi (1,2), banyaknya inversi=0 (permutasi genap). Maka
( (1,2)= +1 jadi +a11 a22 .
2. a21 a12 permutasi (2,1), banyaknya inversi=1 (permutasi ganjil). Maka
( (2,1)= -1 jadi -a21 a12
3. Maka det(A)="A"=+a11 a22 -a21 a12

. NILAI DETERMINAN

Nilai atau harga suatu determinan dapat diperoleh dengan berbagai cara
antara lain :
Langsung dengan aturan SARRUS (inversi permutasi)
Metode ekspansi dengan MINOR dan KOFAKTOR.

A. METODE SARRUS

Metode Sarrus pada dasrnya menggunakan inversi permutasi, tetapi metode
ini hanya berlaku untuk menghitung nilai atau harga determinan yang berorde
sampai dengan 3. sedangkan untuk determinan matriks berorde lebih dari 3
digunakan metode ekspansi.

Misalkan diketahui matriks berorde 3

A=

n=3 berarti hasil kalinya 3!=3.2.1=6, yaitu
a11a22 a33, permutasi (1,2,3). Banyaknya inversi=0 (+)
a12a23 a31 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=2 (+)
a13a21 a32 permutasi (3,1,2). Banyaknya inversi=2 (+)
a13a22 a31 permutasi (3,2,1). Banyaknya inversi=3 (-)

Untuk lebih mudahnya dapat digambarkan

= a11a22 a33 +a12a23 a31+a13a21a32-a13a22a31
-a11a23 a32 -a12a21 a33

(-) (+)

Contoh :
1. Diketahui matriks A = hitunglah "A"

Penyelesaian

A=

= 1.1.4+2.5.3+3.4.2-3.1.3-1.5.2-2.4.4
= 4+30+24-9-10-32
= 7

2. Hitunglah "A" jika A=

Penyelesaian

A=

= 0.6.2+6.8.3+0.3.2-0.6.3-0.8.2-6.3.2
= 0+144+0-0-0-96
= 48

B. METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR

Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud
dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde
ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-I dan kolom ke-j.

D=

Maka MINOR unsur a33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2

M32=

Sedangkan yang dimaksud dengan KOFAKTOR suatu unsur determinan aij
adalah Cij = (-1)i+j Mij.

Maka KOFAKTOR unsur a32 = C32 = (-1)3+2 M32

Contoh :

A=

Minor a32 =M32 = = 2.7-4.5 = 14-20 = -6

Kofaktor a32 = C32 = (-1)3+2.(-6) = 6

Untuk mencari harga suatu determinan dengan orde ke-n (n>2) yang pad
ahakekatnya melukiskan polinomial homogen dengan orde ke-n dapat dilakukan
dengan ekspansi menurut ekspansi baris atau kolom.

Menurut Teorema LAPLACE

"Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen
dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya".

Dengan kata lain
n
"A"= ( aijcij = ai1ci1+ai2ci2+…………..+ aincin , dengan i sembarang. Disebut
j=1
uraian baris ke-i (Ekspansi Baris).

n
"A"= ( aijcij = a1jc1j+a2jc2j+…………..+ anjcnj , dengan j sembarang. Disebut
j=1
uraian kolom ke-i (Ekspansi Kolom).

Contoh :

Hitung determinan matriks A= dengan minor dan kofaktor

Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1
dari matriks A.

Maka minor a11=M11= = 3.7-4.5=1

Minor a21=M21= = 2.7-3.5=-1

Minor a31=M31= = 2.4-3.3=-1

Mencari kofaktor dengan rumus Cij = (-1)i+j Mij.
Kofaktor a11 = C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2.1 = 1
Kofaktor a21 = C21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3.(-1) = 1
Kofaktor a31 = C31 = (-1)3+1 M31 = (-1)4.(-1) =-1
n
Maka "A"= ( aijcij = a11C11+ a21 C21+ a31 C31 = 1.1+2.1+1.(-1)=1
j=1

Catatan
Dalam pemilihan kolom atau baris mana yang diekspansi , tidak menjadi
persoalan karena hasilnya akan sama saja.

. SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Diberikan beberapa sifat penting dalam determinan
1. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga
determinan = 0.

Contoh : A= =0.5-0.4=0-0=0

2. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom
atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain "A"="A"T .

Contoh : A = maka "A"=2.7-1.5=9

AT= maka "A"=2.7-5.1=9

3. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada
suatu determinan akan mengubah tanda determinan.

Contoh : A= maka "A"=1.4-2.3=-2

Jika baris 1 ditukar dengan baris 2 menjadi

A= maka "A"=3.2-4.1=2

Jika kolom 1 ditukar dengan kolom 2 menjadi

A= maka "A"=2.3-4.1=2

4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik,
maha harga determinan itu = 0.

Contoh : B= maka "A"= 0

5. Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan
sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan
faktor tersebut.

Contoh : A= maka "A"=1.4-2.3=-2

Misalkan baris 1 dikalikan dengan 2 maka

A1= = = 2.4-4.3=-4

Terlihat bahwa " A1"=2"A"

Misalkan kolom 1 dikalikan dengan 3 maka

A2= = = 3.4-2.9=-6

Terlihat bahwa " A2"=3"A"

6. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang pada baris atau
kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (bukan 0) dan menambahkannya
pada atau mengurangi dari sembarang baris atau kolom yang lain.

Contoh : A= maka "A"=1.4-2.3=-2

H12(3)
A= A1= maka "A1"=-2
H1+3.H2

Terlihat bahwa "A1"="A"

7. Bila A dan B bujursangkar maka "A.B"="A"."B". Buktikan!

8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah,
maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang
terletak pada diagonal utamanya.

Contoh : A= maka "A"=2.4.1=8

B= maka "B"=2.3.2=12

. SOAL LATIHAN

1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi
a. (4,1,2,3), (4,3,2,1), (1,3,2,4)
b. (5,3,2,1,4), (1,3,5,4,2), (2,3,5,4,1)

2. Hitunglah determinan matriks

a. b. c.

3. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut

a. b.

4. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut dengan menggunakan
metode sarrus.

a. b. c.

5. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut dengan metode
ekspansi.

a. b.

BAB 3 : INVERS MATRIKS

PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS

Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x
sedemikian sehingga ax=1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan
nilainya x=1/2a=a-1 .
Dalam aljabar matriks, matriks satuan (identity) I beroperasi sebagai
besaran 1 dalam aljabar biasa. Bila [A] dan [I] keduanya matriks
bujursangkar dan ordenya sama maka [I][A]=[A][I]=[A].
Apabila sekarang terdapat suatu matriks bujursangkar [X] yang berorde
sama sehingga [A][X]=[I] maka dikatakan bahwa [X] kebalikan atau invers
matriks dari [A] dan dituliskan [X]=[A]-1.

Contoh :

Carilah invers matriks dari A=

Menurut definisi invers [A][X]=[I]. Misalkan matriks X=

Maka [A][X]=[I] menjadi =

=

Didapat X= = A-1

Ternyata bahwa matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks-matriks
yang Non Singular yaitu matriks yang determinanya ( 0. invers bila ada
hanya satu (tunggal).
Berlaku sifat :
1. (A-1)-1 =A
2. (AB)-1=B-1 A-1

MATRIKS ADJOIN

Pandang matriks C=cij berikut

C=

Adalah matriks kofaktor dari suatu matriks (misalkan matriks A), maka
transpose dari matriks kofaktor disebut MATRIKS ADJOIN Anxn.

Dalam mencari matriks adjoin, maka kita harus melakukan ekspansi baris
dan kolom untuk semua elemen. Tidak seperti dalam mencari determinan dimana
hanya satu baris atau kolom saja yang diekspansi. Misal ada matriks
bujursangkar berorde 3, maka akan ada 9 elemen yang harus dicari
kofaktornya.

Contoh :

Akan dicari matriks adjoin dari A=

Maka kofaktornya CA =

C11= + = C21= - = C31= +
=

C12= - = C22= + = C32= - =

C13= + = C23= - = C33= + =

Maka CA = dan Adj A= CAT =

MENCARI INVERS MATRIKS

Mencari invers matriks dapat dilakukan antara lain dengan :
a. Adjoin matriks, yaitu menggunakan rumus

Adj A
A-1 = , dengan syarat det (A) ( 0
Det (A)

b. Transformasi elementer, invers matriks A dapat dicari dengan

[ A " I ] ~ [ I " X ]

Setelah melalui transformasi elementer.
[A]-1 = [X]

Catatan :
1. Yang dapat dicari matriksnya adalah matriks-matriks bujursangkar.
2. Merupakan matriks non singular ("A" ( 0).
3. Untuk pencarian invers dengan adjoin maka bila matriksnya berorde 2x2
bisa langsung dicari inversnya dengan menggunakan rumus
1
A-1 =
a.d-b.c
. INVERS MATRIKS DENGAN ADJOIN

Contoh :

Hitung A-1 jika diketahui A=

Terlebih dahulu kita cari kofaktor-kofaktor matriks A diatas.

C11= + = -2 C21= - =-11 C31= + =16

C12= - =+5 C22= + =+3 C32= - =-4

C13= + = -3 C23= - = 1 C33= + =1

Maka CA = dan Adj A= CAT =

"A"=

. INVERS MATRIKS DENGAN TRANSFORMASI ELEMENTER

Contoh :

Hitung A-1 jika diketahui A= dengan transformasi elementer!

Terlebih dahulu dibentuk matriks [ A " I ] ~ [ I " X ]

[ A " I ] ~ [ I " X ] = ~

Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan
lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan
2 dikenai transformasi elementer.

basis
b( )+b2 b( )+b3
1(-1)+1=0 1(-2)+2=0
3(-1)+4=1 3(-2)+5=-1
2(-1)+6=4 2(-2)+7=3
1(-1)+0=-1 1(-2)+0=-2
0(-1)+1=1 0(-2)+0=0
0(-1)+0=0 0(-2)+1=1

Menjadi

Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi)
dan mengubah a32 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 1 dan 3 dikenai
transformasi elementer.

basis
b( )+b3 b( )+b1
1(1)+(-1)=0 1(-3)+3=0
4(1)+3=7 4(-3)+2=-10
-1(1)+(-2)=-3 -1(-3)+1=4
1(1)+0=1 1(-3)+0=-3
0(1)+1=1 0(-3)+0=0
Menjadi

Mengubah a33=7 menjadi 1 (dikalikan 1/7) dan mengubah a13 dan a23 menjadi
0. Baris 3 menjadi basis, baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.

Basis (kali 1/7) menjadi

Basis b( )+b2 b( )+b1
1(-4)+4=0 1(10)+(-10)=0
-3/7(-4)+(-1)=5/7 -3/7(10)+4=-2/7
1/7(-4)+1=3/7 1/7(10)+(-3)=3/7
1/7(-4)+0=-4/7 1/7(10)+0=-4/7
Menjadi

~ [ I " X ] maka A-1=x=

SOAL LATIHAN

1. Carilah matriks adjoin dari A= dan B=

2. Carilah x dan y dari susunan persamaan linier berikut dengan
menggunakan invers dari matriks koefisien x+y=1 dan 2x+y=1.

3. Diketahui matriks A= Carilah Adj A dan A-1

4. Carilah invers dari A=

5. Diketahui matriks A= Carilah Adj A dan selidikilah bahwa
Adj(Adj A)=a

6. Carilah invers dari matriks A berikut dengan transformasi elementer atau
Adjoin.

A=

7. Carilah harga x, y, z, dan w yang memenuhi susunan persamaan linier
berikut.
2x+4y+3z+2w=1
3x+6y+5z+2w=1
2x+5y+2z-3w=0
4x+5y+14z+14w=0

8. Carilah invers dari matriks-matriks berikut (bila ada).
a. b. c. d. e.

9. Carilah adjoin dari A dan invers dari A bila

a. A= b. A= c. A=

10. Dengan menggunakan matriks-matriks invers pada soal no.9 diatas,
carilah x, y, dan z dari susunan persamaan berikut.
a. x+y =3 b. x+2y+2z=0 c. 4x+5z=9
x+y+z=0 3x+y =0 y-6z=-14
2y+z =2 x+y+z =1 6x+8z=14

11. Carilah invers matriks A dan B berikut jika A= dan B=

12. Carilah invers matriks berikut dengan menggunakan transformasi
elementer.

a. b.

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

1. PERSAMAAN LINIER

Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Misalnya
x2 Garis lurus pada bidang x1 dan x2 dapat di-
nyatakan sebagai persamaan a1x1+a2x2+b=0

x1
Persamaan diatas disebut persamaan linier karena pangkat-pangkat dari
x1 dan x2 paling besar adalah 1, sedangkan persamaan x12+x2-3=0 bukan
persamaan linier.

Dalam ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3 berbentuk
a1x1+a2x2+a3x3+b=0. Oleh karena itu persamaan linier dalam ruang dimensi n
dapat dinyatakan dalam bentuk a1x1+ a2x2………….+anxn+b=bn.

Pandang contoh sederhana :
1. Persamaan x1+x2=1

Titik x1=1 dan x2=0 adalah penyelesaian persamaan garis di atas karena
nilai x1 dan x2 jika kita subtitusikan ke dalam persamaan x1+x2=1 akan
diperoleh 1+0=1. Demikian juga jika nilai x1 dan x2 kita ubah menjadi
x1=0 dan x2=1 juga merupakan penyelesaian dari persamaan diatas.

2. Diketahui garis

Maka penyelesaian persamaan dari persamaan garis diatas menjadi
x1+x2=1 Subtitusi x2=1 ke salah satu persamaan, misal x1+x2=1
-x1+x2=1 + Menjadi x1+1=1, maka x1=0
0+2x2=2
x2=1
Perhatikan bahwa x1=0 dan x2=1 adalah satu-satunya penyelesaian.
3. Misalnya diketahui persamaan 2x+3y+z=5 maka solusi persamaannya bisa
x=0, y=1, dan z=2 karena nilai-nilai tersebut jika disubtitusikan ke
persamaan 2x+3y+z=5 menjadi 2.0+3.1+2=5. Tetapi nilai-nilai tersebut
bukan satu-satunya solusi. Misalnya saja kita ambil x=0, y=0, dan z=5
sehingga 2.0+3.0+5=5 juga merupakan solusi dari persamaan 2x+3y+z=5 dan
masih ada solusi yang lain. Ini berarti sistem persamaan tersebut
mempunyai tidak terhingga banyak penyelesaian.

4. Jika terdapat 2 persamaan yaitu x1+x2=1 dan x1+x2=2, maka untuk mencari
nilai x1 dan x2
x1+x2=1
x1+x2=2 –
0+0 = -1 tidak mungkin
berarti tidak ada x1 dan x2 yang memenuhi penyelesaian sistem persamaan
linier tersebut.

Dari contoh-contoh diatas dapat kita lihat bahwa sistem persamaan linier
dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu:
1. Mempunyai penyelesaian tunggal.
2. Mempunyai banyak penyelesaian.
3. Tidak mempunyai penyelesaian.

2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Bentuk umum persamaan linier
a11x1+ a12x2………….+a1nxn=b1
a21x1+ a22x2………….+a2nxn=b2
a21x1+ a32x2………….+a3nxn=b3
………………………………………………
am1x1+ am2x2………….+amnxn=bm

aij dan bi masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta
persamaan linier tersebut. Persamaan-persamaan linier di atas dapat
diungkapkan dalam bentuk matriks AUGMENTED yaitu matriks yang terdiri dari
koefisien-koefisien x.

=

[A] [x] [b]
[A] adalah matriks berorde (m,n), [x] adalah matriks berorde (n,1), dan [b]
adalah matriks berorde (m,1). Bentuk matriks lengkapnya :

Ada 2 yang dapat dijumpai pada persamaan di atas
1. m(n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan tidak sama).
2. m=n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan sama).
Pada pembahasan kali ini akan dibicarakan hal yang kedua saja yaitu jika
m=n yaitu persamaan yang berbentuk matriks bujursangkar.

Penyelesaian persamaan linier tidak lain adalah mencari harga variabel-
variabelnya. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL
antara lain :
1. Aturan Cramer
2. Metode Invers Matriks
3. Eliminasi Gauss
4. Metode Eliminasi Gauss Jordan
5. Metode Faktorisasi LU

1. ATURAN CRAMER

Apabila [A][X]=[B] maka nilai x dapat dicari dengan

Dimana
"Ak" adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujursangkar [A]
dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh unsur-unsur [B] .
"A" adalah harga determinan matriks-matriks bujursangkar [A].

Misal diketahui persamaan
a11x1+ a12x2+a13x3=b1
a21x1+ a22x2+a23x3=b2
a21x1+ a32x2+a33x3=b3
Untuk mencari nilai x1, x2, x3 maka terlebih dahulu dicari "A" dan "Ak".

"A"= = a11a22 a33 +a12a23 a31+a13a21a32-a13a22a31
-a11a23 a32 -a12a21 a33

"Ak" yaitu mencari determinan kolom ke k=(1,2,3)

"A1"= "A2"= "A3"=

Sehingga

Contoh :
1. Diketahui persamaan 3x+2y=5 dan x+y=2. Carilah nilai x dan y.
Penyelesaian

Persamaan diatas jika diubah dalam bentuk matriks menjadi

=

Mencari determinan matriks A

"A"= = 3.1-2.1=1

Mencari determinan matriks Ak

"A1"= = 5.1-2.2=1

"A2"= = 3.2-5.1=1

Mencari nilai x dan y

2. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui persamaan sebagai berikut.
2x+y+z=4
x-2y-z=-4
x+y+2z=4

Sebelum dilanjutkan pembahasan penyelesaian persamaan linier terlebih
dahulu akan dibicarakan sekilas tentang OPERASI BARIS ELEMENTER. Meskipun
dalam pembahasan lalu telah disinggung sedikit penggunaannya untuk
menghitung invers matriks dengan transformasi elementer.

OPERASI BARIS ELEMENTER

Terdapat tiga buah operasi yang dapat dilakukan terhadap suatu sistem
persamaan linier tanpa mengubah penyelesaian yang sebenarnya yaitu :
1. Menukar urutan persamaan.
2. Perkalian suatu persamaan dengan bilangan tidak nol
3. Mengganti suatu persamaan dengan menjumlahkan persamaan tersebut
dengan kelipatan persamaan lainnya.
Ketiga operasi tersebut dapat dikenakan pada matriks-matriks lengkap dan
disebut dengan OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE).

Operasi Baris Elementer pada suatu matriks
"OPERASI "NOTASI "
"Menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j. "Ri ( Rj "
"Mengalikan suatu baris dengan konstanta c "cRj "
"((0) "Ri + cRj "
"Penggantian baris ke-I tersebut dengan " "
"kelipatan baris yang lain. " "

Dengan menggunakan OBE, matriks lengkap diubah menjadi suatu matriks dari
suatu sistem persamaan linier yang mudah dicari penyelesaiannya. Matriks
yang memenuhi sifat demikian dinamakan MATRIKS ESELON.
Suatu matriks disebut matriks eselon jika memenuhi 2 sifat berikut :
1. Jika terdapat baris yang seluruh elemennya nol, maka baris tersebut
harus diletakkan di bawah baris yang memuat elemen tidak nol.
2. Pada baris yang memuat elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus
terletak pada sebelah kanan elemen tak nol pertama baris sebelumnya
(Elemen tak nol pertama ini disebut dengan ELEMEN UTAMA).

2. METODE ELIMINASI GAUSS

Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B]
akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai
transformasi elementer berdasarkan baris secara berkali-kali sehingga
diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama
elemennya bernilai 1.

Metode penyelesain SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss.
1. Membentuk matriks lengkap SPL.
2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon denagn sejumlah OBE.
3. Mendapat jawaban SPL.

Misalnya diketahui sebuah persamaan
a11x1+ a12x2+a13x3=b1
a21x1+ a22x2+a23x3=b2
a21x1+ a32x2+a33x3=b3

Matriks awal

=

Matriks lengkap SPL

Matriks lengkap tsb dikenai OBE sehingga membentuk matriks eselon.
Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nya sehingga
diperoleh x3= b3'
x2+ a23x3 =b2' ( x2=b2'- a23x3
x1+ a12x2+ a13x3 =b1'(x1= b1'-a12x2- a13x3

Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut :
x1+x2+x3=6
x1+2x2-x3=2
2x1+x2+2x3=10
Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3

Penyelesaian

1. Matriks lengkap SPL nya

2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE
Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu
dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi
basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.
basis
b( )+b2 b( )+b3
1(-1)+1=0 1(-2)+2=0
1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1
1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0
6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2

Menjadi

Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan
lagi) dan mengubah a32=-1 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 3
dikenai transformasi elementer.

basis
b( )+b3
1(1)+(-1)=0
-2(1)+0=-2
-4(1)+(-2)=-6
Menjadi

Mengubah a33=2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a13=-6 juga
dikalikan -½
Menjadi

Mendapat jawaban SPL
Maka x3=3
x2=b2'- a23x3 ( x2 = -4 – 2.(3)=2
x1= b1'-a12x2- a13x3 ( x1= 6 - 1.2 -1.(3) = 1

3. METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Metode ini merupakan perluasan dari metode Gauss, hanya saja matriks baru
dikenai OBE berkali-kali sehingga matriks A menjadi matriks satuan I.
Bentuk umumnya :

x3= b3"
Menjadi x2= b2"
x1= b1"

Contoh :
x1+x2+x3=6
x1+2x2-x3=2
2x1+x2+2x3=10
Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3

Penyelesaian

1. Matriks lengkap SPL nya

2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE
Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu
dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi
basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.
basis
b( )+b2 b( )+b3
1(-1)+1=0 1(-2)+2=0
1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1
1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0
6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2

Menjadi

Mengubah a12=1 dan a32=-1 menjadi 0, baris 2 menjadi basis.
b( )+b1 b( )+b3
1(-1)+1=0 1(1)+(-1)=0
basis -2(-1)+1=3 -2(1)+0=-2
-4(-1)+6=10 -4(1)+(-2)=-6

Menjadi

Mengubah a33=-2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a13=-6 juga
dikalikan -½

Menjadi

Mengubah a13=3 dan a23=-2 menjadi 0, baris 3 menjadi basis.
b( )+b1 b( )+b2
1(-3)+3=0 1(2)+(-2)=0
3(-3)+10=1 3(2)+(-4)=2
basis

Menjadi

Mendapat jawaban SPL
Maka x3=3
x2= 2
x1= 1

4. METODE FAKTORISASI LU

Dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, suatu SPL dapat dipecahkan
dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara sistematis. Pendekatan
yang dipakai pada metode LU didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien
ke dalam hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.
Metode ini sangat bermanfaat untuk komputer digital dan merupakan basis
untuk banyak pemrograman komputer praktis.

SPL dapat dipecahkan sebagai berikut :
1. Tulis kembali sistem [A][x]=[b] sebagai Lux=b dimana L adalah matriks
segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.
2. Definisikan matriks baru y yang berukuran nx1 dengan Ux=y.
3. Gunakan Ux=y untuk menulis kembali Lux=b dan pecahkan ini untuk
mencari y.
4. Subtitusikan y dan pecahkan untuk mencari nilai x.
[A][x]=[b] ( Ly=b, Ux=y

Langkah-langkah pemfaktoran A=LU

1. Reduksi A dengan transformasi elemnter ke dalam bentuk U matriks
segitiga atas dan mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal
utama dan 0 di bawah diagonal utama 1.
2. Kedudukan sepanjang diagonal utm matriks L, tempatkan bilangan pengali
yang saling berkebalikan dari hasil pembentukan matriks U.
3. Kedudukan di bawah diagonal utama matriks L, tempatkan bilangn negatif
pengali yang digunakan untuk menge-nol-kan matriks U.
4. Bentuk dekomposisi A=LU

Contoh :

2x1+6x2+2x3=2
-3x1-8x2 =2
4x1+9x2+2x3=3
Carilah solusi untuk x1, x2, dan x3 dengan menggunakan faktorisasi LU

Penyelesaian

1. Matriks SPL nya

2. Menyusun matriks U yaitu matriks segitiga atas
Mengubah a11=2 menjadi 1 (dikali ½). Semua baris 1 dikali ½
( (dikali ½) menjadi

Mengubah a21=-3 dan a41=4 menjadi 0. Baris 1 menjadi basis. Baris 2
dan 3 dikenai OBE.
( Basis
( b( )+b2 b( )+b2
1(3)+(-3)=0 1(-4)+4=0
3(3)+(-8)=1 3(-4)+9=-3
1(3)+0=3 1(-4)+2=-2

Menjadi

Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan
lagi) dan mengubah a32=-3 menjadi 0. Baris 2 jadi basis dan baris 3
dikenai OBE

( Basis b( )+b3 Menjadi
1(3)+(-3)=0
3(3)+(-2)=7
Mengubah a33=7 menjadi 1 (dikali 1/7). Menjadi

3. Menyusun matriks L yaitu matriks segitiga bawah
Mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu
Pengali untuk a11 adalah ½
Pengali untuk a22 adalah 1
Pengali untuk a33 adalah 1/7
Mencari jejak pengali untuk nilai 0 di bawah diagonal utama 1.
Pengali untuk a31 adalah -4
Tempatkan jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu ½,
1, dan 1/7 sepanjang diagonal utama matriks segitiga bawah L tetapi
nilainya berkebalikan.

Tempatkan jejak pengali untuk nilai 0 yaitu 3, -4, dan 3 dibawah
diagonal utama matriks segitiga bawah L dan kalikan dengan (-1).

4. Mencari nilai x dan y, terlebih dahulu mencari nilai y karena [U][x]=[y]
sedangkan [L][y]=[b]
Mencari nilai y ( [L][y]=[b]

2y1=2 ( y1=1
= -3y1+1y2=2 ( -3.1+y2=2
y2=5
4y1+(-3)y2+7y3=3
4.1+(-3).5+7.y3=3 ( 7y3=14
y3=2
Mencari nilai x ( [U][x]=[y]

x3=2
= x2+3x3=5 ( x2+3.2=5
x2=-1
1x1+3x2+1x3=1
x1+3.(-1)+2=1 ( x1=2

3. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier [A][x]=[b] dengan
koefisien matriks A yang sama tetapi matriks kolom b berbeda.
Misalnya suatu SPL mempunyai persamaan sebagai berikut :
[A][x]=[p], [A][x]=[q] dan [A][x]=[r] maka untuk lebih efisien
penyelesaiannya dengan satu matriks A augmented dan 3 vektor kolom b atau
diselesaikan secara simultan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
[A p q r] menjadi [I p' q' r'] maka [x]=[p'], [y]=[q'], dan [z]=[r']

Contoh :Diketahui persamaan

2x1-4x2 =10 2y1-4y2 =10
x1-3x2 + x4=-4 Dan y1-3y2 + y4=-4
x1 -x3+2x4= 4 y1 -y3+2y4= 4
3x1-4x2+3x3- x4=-11 3y1-4y2+3y3- y4=-11

4. PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

Suatu persamaan linier dikatakan homogen jika koefisien matriks b
adalah 0 yaitu jika mempunyai bentuk umum :
a11x1+ a12x2………….+a1nxn=0
a21x1+ a22x2………….+a2nxn=0
a21x1+ a32x2………….+a3nxn=0
………………………………………………
am1x1+ am2x2………….+amnxn=0

mempelajari sistem yang homogen mempunyai banyak keuntungan dalam
mempelajari sistem yang aslinya. Istem non homogen dimungkinkan tidak
konsisten, namun sistem yang homogen selalu konsisten karena selalu
mempunyai penyelesaian minimal satu yaitu vektor nol, yang bisa disebut
dengan penyelesaian TRIVIAL (TRIVIAL SOLUTION), yaitu penyelesaian
berbentuk x1=0, x2=0,…….., xn=0. sedangkan jika ada penyelesaian lain
dinamakan dengan penyelesaian NON TRIVIAL. Jadi sistem persamaan linier
homogen mempunyai dua kemungkinan yaitu :
1. Mempunyai penyelesaian TRIVIAL
2. Mempunyai penyelesaian BANYAK

Contoh :

5. SOAL LATIHAN

BAB 5 : VEKTOR

. DEFINISI DAN NOTASI

Vektor adalah suatu kuantita yang mempunyai besar dan arah
Contoh : kecepatan, percepatan, dsb
Skalar adalah suatu kuantita yang hanya mempunyai besar
Contoh : massa, panjang
Cara penyajian
g =garis kerja
atau A = titik pangkal
vektor AB
. > g B = titik ujung
vektor AB
A B
AB = notasi untuk vektor yang
Bertitik pangkal di A
Bertitik ujung di B
Arah vektor menuju B
Besar vektor ditunjukkan oleh panjang garis AB

"AB" = AB = panjang vektor AB = Magnitude AB

MACAM-MACAM VEKTOR
1. vektor bebas :
vektor yang dapat diubah-ubah ke segala tempat (titik pangkal dapat
diubah)
2. vektor meluncur ;
vektor yang hanya dapat bergerak sepanjang garis kerjanya (garis yang
ditentukan)
. > . > g

3. Vektor terikat :
Vektor yang tidak dapat berubah-ubah tempatnya
4. Vektor nol :
Vektor yang mempunyai besar/panjang vektor adalah nol

. OPERASI PADA VEKTOR
1. = keduanya mempunyai panjang vektor dan arah yang sama,
dengan tidak memperhatikan kedudukan titik pangkal

2. – vektor-vektor yang mempunyai arah berlawanan dengan vektor
tetapi mempunyai panjang yang sama dengan panjang vektor
" - " = " " = a

ā -ā

3. jumlah/ resultan dari vektor ā dan
Didapat suatu vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik
pangkal vektor pada titik ujung vektor dan menghubungkan
titik pangkal vektor ā dengan titik ujung vektor
Jumlah ditulis sebagai atau

ā
ā ā

ā
4. Bila = , maka – = 0 (vektor nol)
JUMLAH VEKTOR
Tunggal:
ā+= jumlah 2 buah vektor pasti menghasilkan vektor c
(tunggal)
Komutatif : ā + = + ā
Asosiatif : (ā +) + = ā + ( + )

(ā+)+ = ā+(+)

ā

Elemen identitas jumlah vektor : ā + 0 = 0 + ā = ā
Elemen invers jumlah vektor : ā + (-ā) = (-ā)+ ā = 0

Selisih vektor tidak berlaku sifat-sifat
Komutatif : ā - - ā
Asosiatif : (ā -) - ā - ( - )

PERKALIAN VEKTOR DAN SKALAR
m ā vektor sejajar ā dan mempunyai panjang vektor m kali panjang
vektor ā
"m ā" = m " ā"

ā 2 ā

sifat-sifat
tunggal : m ā = c vektor sejajar ā dan "c" = "m ā" = m " ā"
komutatif : m ā = ā m
asosiatif : (mn) ā = m (n ā)
distributif penjumlahan
(m + n) ā = m ā + n ā
m (ā + ) = m ā +m

ā 3 ā

2 ā
m m
5 ā

ā m ā
2 ā + 3 ā = 5 ā = ā +
m=m ā + m

. FUNGSI LINIER VEKTOR DALAM RUANG 2 DAN 3

Vektor dalam ruang 2 dan 3 dimensi dilokasikan sehingga titik awalnya
berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, maka koordinat titik
terminal tersebut dinamakan komponen-komponen vektor.

. VEKTOR DI RUANG 2
jika V-vektor pada bidang, titik awal adalah titik asal koordinat
V=(v1,v2) W=(w1,w2)
v1,v2-komponen-komponen V

Sifat-sifat yang berlaku pada vektor di ruang 2 adalah:
Ekivalen bila: v1=w1 dan v2=w2
Penjumlahan: V+W = (v1+w1 , v2+w2)
Perkalian skalar: kV = (kv1, kv2)
Pengurangan: V-W = (v1-w1 , v2-w2)

. VEKTOR DI RUANG 3

jika V, W-vektor di ruang dimensi 3
V=(v1,v2,v3) W=(w1,w2,w3)

Sifat-sifat yang berlaku pada vektor di ruang 3 adalah:
Ekivalen bila: v1=w1 , v2=w2 dan v3=w3
Penjumlahan: V+W = (v1+w1 , v2+w2 , v3+w3)
Perkalian skalar: kV = (kv1, kv2, kv3)
Pengurangan: V-W = (v1-w1 , v2-w2 , v3-w3)
. NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR

Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan

Jika P1 (x1, y1, z1) dan P2 (x2, y2, z3) adalah dua titik di ruang 3, maka
jarak d diantara kedua titik tersebut adalah norma vektor P1 P2

= (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

contoh:

1. Berapakah apabila P1 (6,5,8) P2 (8,-7,-3) kemudian hitunglah
jarak diantara titik P1 dan P2?
= P2 - P1= (8-6, -7-5, -3-8) = (2,-12,-11)
=
2. norma vektor v = (-3,2,1) adalah

. HASIL KALI TITIK; PROYEKSI

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang 2 atau ruang 3 dan θ adalah
sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali
dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 θ
θ
v
u u v u
θ v

Sifat-sifat hasil kali titik:
Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3
(a) v.v = , i.e., = (v.v)1/2
(b) Jika u 0 dan v 0, θ sudut antara kedua vektor tersebut, maka
θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0
θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
θ = π/2 jika dan hanya jika u.v = 0
Bukti :
(a) karena sudut θ diantara v dan v adalah 0, maka dapat diperoleh :
v.v = cos θ = cos 0 =
(b) karena > 0 , > 0 dan u.v = cos θ
berarti u.v < 0 cos θ < 0 θ tumpul
u.v > 0 cos θ > 0 θ lancip
u.v = 0 cos θ = 0 θ = π/2
Jika u ( v maka u dan v dikatakan orthogonal
TEOREMA :
Jika u,v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah
skalar, maka
(a) u.v = v.u
(b) u.(v+w) = u.v + u.w
(c) k (u.v) = (ku).v = u.(kv)
(d) v.v > 0 jika v 0 dan
v.v = 0 jika v = 0

PROYEKSI

PROYEKSI

w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a (komponen vektor u sepanjang a) (
Proya u
w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a
w2 = u – w1 = u - Proya u

TEOREMA
Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau di ruang-3, dan jika a
0, maka
(w1 = ) Proya u = (komponen vektor u sepanjang a)
(w2 = ) u- Proya u = u - (komponen vektor u yang orthogonal dengan
a )

Contoh:
1. Tentukan sudut θ diantara u dan v, u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
Jawab:
u.v = (2) (1) + (-1)(1) + (1) (2) = 3
= =
= =

θ = 60o
2. Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya
Jawab

z
z=(0,0,a)

u=(a,a,a)

Θ y

(0,a,0)
v=(a,0,0)
x

= = = a
u . v = a.a + a.0 + a.0 = a2

θ = 54o ,44

3. u = (2, -1, 3) a = (4, -1, 2) Carilah komponen vektor u sepanjang a
jawab:
u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2)=15
= 42 + (-1)2 + 22 = 21
Proya u = =

HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT)

Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor di ruang 3, maka
hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh

=

TEOREMA
Jika u dan v adalah vektor di ruang-3 maka
(a) u.(u x v) = 0 (u x v ortogonal ke u)
(b) v.(u x v) = 0 (u x v ortogonal ke v)
(c) = (Identitas Lagrange)

TEOREMA (sifat-sifat hasil kali silang)
Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3, dan k adalah sebarang
skalar, maka :
(a) u x v = - (v x u)
(b) u x (v+w) = (u x v) + (u x w)
(c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)
(d) k (u x v) = (k u) x v = u x (kv)
(e) u x 0 = 0 x u = 0
(f) u x u = 0

. VEKTOR SATUAN

Tinjaulah vektor-vektor
i= (1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)
masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu
koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan di ruang 3. Setiap
vektor v = (v1, v2, v3) di ruang 3 dapat diungkapkan dengan i, j, k
dituliskan
v = (v1, v2, v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1) = v1i+v2j+v3k

. GARIS DAN BIDANG DI RUANG 3

PERSAMAAN BIDANG DI RUANG 3

z

P(x,y,z) n

P0(x0,y0,z0)
y

x

n= (a, b, c) sebagai normal
P0 P = (x-x0, y-y0, z-z0)
n . P0 P = 0
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

Contoh:

1. Carilah persamaan bidang yang melalui titik (3, -1 7) dan tegak lurus ke
vektor (4, 2, -5)
Jawab:
4(x-3) + 2(y+1) – 5(z-7) = 0
4x + 2y - 5z + 25= 0

2. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P1(1, 2, -1), P2(2, 3, 1)
dan P3(3, -1, 2)
Jawab:
P1 a + 2b – c + d = 0
P2 2a + 3b +c + d = 0
P3 3a + (-b) + 2c + d = 0

a = - b= - c = d = t
misal t=16 maka akan menghasilkan persamaan 9x + y – 5z – 16 = 0

ALTERNATIF PEMECAHAN

P1(1, 2, -1), P2(2, 3, 1) dan P3(3, -1, 2)
Vektor P1P2 = (2-1, 3-2, 1+1) = (1,1,2)
Vektor P1P3 = (3-1, -1-2, 2+1) = (2,-3,3)
Kedua vektor diatas merupakan vektor yang sejajar bidang
P1P2 x P1P3 = (9,1,-5) normal pada bidang
Persamaan bidang yang melalui titik normal P1
9(x-1) + (y-2) – 5(z+1)=0
9x + y -5z -16 = 0

PERSAMAAN GARIS DI RUANG 3

z P(x, y, z)

P0 (x0, y0, z0)

l v(a,b,c)

y

x
Misal l garis melalui P0 (x0, y0, z0) dan sejajar dengan v(a,b,c) maka
P0P = t . v t = skalar
(x-x0 , y-y0 , z-z0) = (ta, tb, tc)
x = x0 + ta
y = y0 + tb - < t <+
z = z0 + tc
Persamaan-persamaan ini dinamakan persamaan parametrik untuk l yang
melalui P0 dengan arah v.

Contoh:

1. Carilah persamaan garis yang melalui titik (1,2,-3) dan sejajar dengan
vektor (4,5,-7)
Jawab:
P0=(1,2,-3) v=(4,5,-7)
Persamaan parametriknya x=1+4t
y=2+5t - < t <+
z=-3-7t

2. Carilah persamaan parametrik untuk garis l yang melalui titik-titik
P1(2,4,-1) dan P2(5,0,7). Dimanakah garis tersebut memotong bidang xy?
Jawab:
Vektor P1P2 = (5-2, 0-4, 7+1) = (3, -4 8) sejajar dengan l , P1
terletak pada l, maka garis l diberikan oleh persamaan
x=2+3t
y=4-4t - < t <+
z=-1+8t

Garis tersebut memotong bidang xy di titik dimana z = 0 maka
z= -1 + 8t
0= -1 + 8t
t=
dengan mensubstitusikan nilai t dalam persamaan parametrik, maka akan
menghasilkan
(x, y, z) =

3. Carilah persamaan parametrik untuk garis perpotongan bidang-bidang
3x+2y-4z-6=0 dan x-3y-2z-4=0
Jawab:
3x + 2y – 4z = 6
x - 3y – 2z = 4

- < t <+

4. Carilah dua bidang yang perpotongannya adalah garis
x = 3 + 2t
y = -4 +7t - < t <+
z = 1 +3t
jawab:
Persamaan simetrik untuk garis ini adalah

maka garis ini adalah perpotongan bidang-bidang

7x – 2y -29 = 0 dan 3y – 7z +19 = 0
Pemecahan lain dapat diperoleh dengan memilih pasangan-pasangan persamaan
yang berbeda.

5.8 SOAL LATIHAN

1. Diketahui vektor-vektor a, b, c, d, e dan f sebagai berikut

Tentukan
a. a+b-c
b. a+d+2f
c. b+e+f
d. a+ 1/2 f
2. Diketahui vektor-vektor p, q, r, s, t, dan u sebagai berikut

Carilah
a. p+q+r+s e. 2u-3p+1/2t
b. p-q+s-r f. –p+3u-r
c. u-p+q-r g. 3(p+q-r)-s+u-t
d. s+t+p-r h. p+q+r+s+t+u
3. Carilah x, y, dan z untuk soal berikut.
a. [4, y]=x[2,3]
b. [x, x+y]=[y-2, 3]
c. x[1, 2]=-4[y, 3]
d. [3, -1, 3]=x[1, 1, 1]+y[1, -1, 0]+z[1, 0, 0]
e. [-1, 3, 3]=x[1, 0, 0]+y[0, 0, -1]+z[0, 1, 1]
4. Tentukan
a. a*b jika a=[2, -3, 6] dan b=[8, 2, -3]
b. Jarak A(2, 4, 0) dengan B(-1, -2, 1)
c. Jarak vektor a=[1, 7] dan b=[6, -5]
5. Tentukan
a. k supaya a=[1, k, -2, 5] mempunyai panajng (39
b. Besar sudut antara a=[1, 2, 3, 4] dan b=[0, 0, 1, 1]
6. Diketahui u=[1, -2, 5] dan v=[3, 1, 2]
a. u+v g. d(u,v)
b. -6u h. Proyeksi u sepanjang v
c. u(v
d. 2u-5v
e. "u"("v"
f. Sudut antara u dan v

-----------------------
-1 -3

2 12

-3

-4

2 3 12 -1

3 1
4 2

0 2
1 3

3 1
4 2

0 2
1 3

3+0 1+2
4+1 2+3

3 3
5 5

1 0 2
1 0 5

3 1
4 2

1 0 2
1 0 5

3 4
4 5

0 2
3 4

3 4
4 5

0 2
3 4

3-0 4-2
4-3 5-4

3 2
1 1

1 2 3
0 -1 5

2* 1 2*2 2* 3
2* 0 2*-1 2*5

0 1
2 -1

3 4
1 1

0 1
2 -1

3 4
1 1

3 5
3 0

6 10
6 0

0 1
2 -1

3 4
1 1

6 10
6 0

3 2 1

3
1
0

3 2 1

3
1
0

(3*3) + (2*1) + (1*0)

11

3 2 1
1 2 1

3
1
0

(3*3) + (2*1) + (1*0)
(1*3) + (2*1) + (1*0)

11
5

1 0
2 3

1 0 0
0 2 0
0 0 3

1 0 0
0 1 0
0 0 1

4 0 0
0 4 0
0 0 4

1 3 2 1
0 1 2 3
0 0 4 0
0 0 0 1

1 0 0 0
4 2 0 0
1 2 3 0
1 3 2 1

1 2 0
2 3 1
0 1 1

1 2 0
2 3 1
0 1 1

0 1 -3 0
-1 0 4 2
3 -4 0 -1
0 2 1 0 1

0 -1 3 0
1 0 -4 -2
-3 4 0 1
0 -2 -1 0 1

1 2 0 0
1 2 3 0
0 2 3 4
0 0 4 5 1

2+3i 2i
5 3-i

2-3i -2i
5 3+i

2 5+i
5-i 3

2 5-i
5+i 3

2 5+i
5-i 3

1 2 0
2 3 1
0 1 1

2 3 1
1 2 0
0 1 1

1 2 0
2 3 1
0 1 1

1 0 2
2 1 3
0 1 1

1 2 0
-4 -6 -2
0 1 1

1 2 0
2 3 1
0 1 1

1 2 0
2 3 1/2
0 1 1/2

1 2 0
2 3 1
0 1 1

1 2 0
2 2 0
0 1 1

1 2 2
2 2 4
0 1 1

2 3 1
4 1 0

4 1 0
2 3 1

3 0 2 1
4 1 3 1

4 0 2 1
5 1 3 1

3 0 2 1
5 1 3 1

5 1 3 1
3 0 2 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

0 1 0
1 0 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
k 0 1

1 0 0
0 1 0
0 -4 1

3

1

2

2

1

1

3

3

1

2

2

3

3

2

1

a11 a12 ……….a1n
a21 a22 ……….a2n
an1 an2 ….……ann

a11 a12
a21 a22

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

a11 a12
a21 a22
a31 a32

1 2 3
4 1 5
3 2 4

0 6 0
8 6 8
3 2 2

1 2 3
4 1 5
3 2 4

1 2
4 1
3 2

0 6 0
8 6 8
3 2 2

0 6
8 6
3 2

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

a11 a13 a14
a21 a23 a24
a41 a43 a44

2 3 4
5 6 7
8 9 1

2 4
5 7

1 2 3
2 3 4
1 5 7

3 4
5 7

2 3
5 7

2 3
3 4

0 0
4 5

2 1
5 7

2 5
1 7

1 2
3 4

3 4
1 2

2 1
4 3

1 2 0
1 2 0
3 -1 1

1 2
3 4

1*2 2*2
3 4

2 4
3 4

1 *3 2
3*3 4

3 2
9 4

1 2
3 4

1 2
3 4

10 14
3 4

2 1 3
0 4 1
0 0 1

2 0 0
1 3 0
4 1 2

3 -2 9 7 11
11 5 0 -4 2
3 7 3 5 -1

4 5 3
2 x1 6
-1 2 x2+3

x3+1 5 3
2 4 1/2x4
-1 2 5

2 1

1 -2 0
4 5 3

2 3
2 -1

2 0 -4
3 -2 6

-1 3 2
2 0 7
-2 3 1

2 -1 -3
4 1 0
1 3 2

2 1 3
1 1 0
0 2 1

1 1 0
2 1 3
0 2 1

1 3
1 2

5 13
4 10

2 0
1 -1

-2 4 7 5
1 3 0 1

1 -2 3
0 -1 -2

4 2
0 1
1 3

3 1 0 0 2
-1 0 2 7 1
2 3 5 1 6

-1 3 5
1 -3 -5
-1 3 5

3 1 2
4 2 0
1 3 1

3 1 2
1 3 1
4 2 0

3 5 1
2 0 3
5 5 4

3 5 1
2 0 3
0 0 0

3 1 2 1
4 1 0 2
1 3 0 1

2 2 2 2
6 0 4 2
1 2 3 1

-2 -1
3 1

2 3
1 4

-( 2 3
2 2( 2

t-2 2
-4 t-1

t-5 7
-1 t+3

2 1 1
0 5 -2
1 -3 4

3 -2 -4
2 5 -1
0 6 1

2 -4 1
1 -2 3
5 1 -1

5 4 2 1
2 3 1 -2
-5 -7 -3 9
1 -2 -1 4

2 1 3 2
3 0 1 -2
1 -1 4 3
2 2 -1 1

2 1 4 3

x1 x2
x3 x4

2 1 4 3

x1 x2
x3 x4

1 0
0 1

2\x1+ x3 2 x2 + x4
4x1 + x3 4 x2 +3 x4

1 0
0 1

3/2 -1/2
-2 1

c11 c12 …….. .cn1
c21 c22 ……... cn2
cn1 cn2 ……… cnn

2 3 -4
0 -4 2
1 -1 5

c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c32

-4 2
-1 5

0 2
-1 5

0 -4
1 -1

3 -4
-1 5

2 -4
-1 5

2 3
1 -1

3 -4
-4 2

2 -4
0 2

2 3
0 -4

1 3 2
1 4 6
2 5 7

4 6
5 7

1 2
1 6

1 2
2 7

1 6
2 7

1 3
1 4

1 3
2 5

1 4
2 5

3 2
5 7

3. 2
4. 6

Adj A
A-1 =
"A"

1 3 2
1 4 6
2 5 7

1 0 0
0 1 0
0 0 1

x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x32

32

1 0 0
0 1 0
0 0 1

d -b
-c a

1 3 2
1 4 6
2 5 7

1 0 0
0 1 0
0 0 1

1 3 2
1 4 6
2 5 7

1 0 0
-1 1 0
-2 0 1

1 3 2
0 1 4
0 -1 3

1 0 0
-1 1 0
-2 0 1

1 3 2
0 1 4
0 -1 3

4 -3 0
-1 1 0
-3 1 1

1 0 -10
0 1 4
0 0 7

0 1 0
-1 1 0
-3 1 1

1 0 6
0 1 4
0 0 7

4 -3 0
-1 1 0
-3/7 1/7 1/7

1 0 -10
0 1 4
0 0 1

-2/7 3/7 -4/7
-5/7 1 0
-3/7 1/7 1/7

1 0 0
0 1 0
0 0 1

-2/7 3/7 -4/7
-5/7 1 0
-3/7 1/7 1/7

1 1
2 1

3 6
2 4

1 2 3
2 3 4
1 5 7

2 3 1
3 0 2
1 -3 1

a b
c d

2 4 3 2
3 6 5 2
2 5 2 -3
4 5 14 14

5 6
4 5

2 1
3 0

4 3
4 3

(2 2
2 2(2

3 6
1 4

1 1 0
1 1 1
0 2 1

1 2 2
3 1 0
1 1 1

4 0 5
0 1 -6
6 0 8

3 2
4 3

5 6
4 5

2 1 3
0 2 1
1 1 3

5 0 1
2 3 3
6 3 3

x2

(1,0)

x2

(0,1)

x1+x2=1

(1,0)

(-1,0)

-x1+x2=1

x1+x2=1

(0,1)

a11 a12 ……….a1n
a21 a22 ……….a2n
…………………..
am1 am2 ….…..amn

x1
x2
…
xn

b1
b2
…
bm

a11 a12 ……….a1n b1
a21 a22 ……….a2n b2
………………….. …..
am1 am2 ….…..amn bm

"Ak"
xk =
"A"

a11 a12
a21 a22
a31 a32

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33

a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33

a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3

"A1"
x1=
"A"

"A2"
x2=
"A"

"A3"
x3=
"A"

3 2
1 1

x
y

5
2

3 2
1 1

5 2
2 1

3 5
1 2

"A1" 1
x1= = = 1
"A" 1

"A2" 1
x2= = = 1
"A" 1

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

x1
x2
x3

b1
b2
b3

a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3

1 a12 a13 b1'
0 1 a23 b2'
0 0 1 b3'

1 1 1 6
1 2 -1 2
2 0 2 10

1 1 1 6
1 2 -1 2
2 1 2 10

1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2

1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2

1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 0 -2 -6

1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 0 1 3

a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3

1 0 0 b1"
0 1 0 b2"
0 0 1 b3"

1 1 1 6
1 2 -1 2
2 0 2 10

1 1 1 6
1 2 -1 2
2 1 2 10

1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3

1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 1 3

1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 1 3

1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2

ax + by + cz + d = 0

1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 -2 -6

i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k, j x k = i , k x i = j
j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j

2 6 2
-3 -8 0
4 9 2

2 6 2
-3 -8 0
4 9 2

1 3 1
-3 -8 0
4 9 2

1 3 1
-3 -8 0
4 9 2

1 3 1
0 1 3
0 -3 -2

1 3 1
0 1 3
0 -3 -2

1 3 1
0 1 3
0 0 7

1 3 1
0 1 3
0 0 1

2 0 0
0 1 0
0 0 7

2 0 0
-3 1 0
4 -3 7

2 0 0
-3 1 0
4 -3 7

y1
y2
y3

2
2
3

1 3 1
0 1 3
0 0 1

x1
x2
x3

1
5
2

a

b

c

d

e

f

p

q

r

s

t

u

Aljabar Linier Matriks

Recommend Documents