Universidad Nacional Autónoma Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Aragón
Ingeniería Civil
Álgebra Combinaciones y permutaciones. Estructuras numéricas: anillos, campos y grupos.
Equipo 7
Integrantes: González Trejo Jorge Antonio Miranda Alday Rocío Odette Santiago Guzmán Carlos Manuel Vázquez Santiago José Juan Grupo: 1101
Fecha de entrega: Martes, 11 de noviembre, 2014.
Introducción Habitualmente se utiliza la palabra “combinación” para referirse a cualquier mezcla de cualquier cosa sin considerar el orden que las cosas lleven; sin embargo, en las matemáticas –como ya sabemos – es necesario utilizar un lenguaje mucho más
preciso y haciendo referencia a que no siempre es correcto utilizar la palabra “combinación” para todos los casos.
En este trabajo hablaremos de la diferencia entre una combinación y una permutación. Permutaciones.
Una permutación es un arreglo de elementos en donde el lugar o posición que ocupa cada elemento es primordial. Se forma tomando varios elementos ( n) de un conjunto principal ( r) y asignándoles un lugar; y hay dos tipos de permutaciones: con y sin repetición.
Sin repetición: Este tipo de permutaciones hace referencia a que en el conjunto no hay elementos repetidos. En este caso el número de opciones se ve reducida por los elementos que seleccionaste en los pasos anteriores, es decir, no puedes utilizar un mismo elemento dos veces. Con un ejemplo quedaría más claro:
Suponiendo que se tienen 16 alumnos y se quiere ordenarlos en sus sillas (sólo un alumno por silla –sin repeticiones –). Para el primer lugar tienes 16 alumnos disponibles (16 posibilidades), para el segundo lugar ya sólo tienes 15, ya la primer posibilidad ya está ocupada; para el tercer lugar quedan 14, y así… h asta el dieciseisavo lugar, donde ya sólo te queda una posibilidad. La ecuación quedaría algo así: Eso quiere decir que hay maneras diferentes de sentar a 16
alumnos. Obviamente es mucho más complicado hacer permutaciones con números mayores, y para eso, en las matemáticas, se utiliza la función factorial. La función factorial se representa con un símbolo ! , e indica que se multiplicarán todos los números descendentes al entero positivo indicado. Ej. 5!= 5·4·3·2·1 13!= 13·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1
Ahora, suponiendo que de todo ese grupo de 16 niños, solamente quieres sentar a 5, entonces la multiplicación se detendría después del 12, quedando:
Pero en ese ejemplo, no es posible utilizar la función factorial, porque se detiene la multiplicación antes de llegar al 1, por lo tanto se utiliza la siguiente fórmula: Donde: n: es el número de elementos disponibles r : es el número de elementos que eliges Desarrollando todo el problema, quedaría:
Con la fórmula dada sería:
Existen otras notaciones que sustituyen a la fórmula anterior y que se ven en los libros o publicaciones, algunas de ellas son:
Con repetición: Son los casos en que existen elementos repetidos dentro del conjunto, esto provoca que, en el momento en que los elementos se intercambian de posición, se obtengan permutaciones que ya se tenían. Estas repeticiones se eliminan dividiendo entre el factorial de cada clase repetida, es decir: Si n es el número total de elementos, r 1 es la clase 1 repetida r 1 veces, r 2 es la clase 2 repetida r 2 veces, etc. El número total de permutaciones que se pueden obtener es:
De nuevo utilizaremos un ejemplo para una mayor comprensión del planteamiento:
¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras LABA? En este caso: r 1= 2 (la letra repetida es A y se repite 2 veces) n= 4 (son 4
letras totales) Utilizando la fórmula:
Y sustituyendo:
A continuación, mencionaremos algunos ejercicios resueltos que servirán como ejemplo de las permutaciones con y sin repetición: Sin repetición: 1) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los elementos {a, b, c, d, e} en conjuntos de 3? Lo primero que podemos notar es que todos los elementos son diferentes. Son 5 elementos (n) hay 3 lugares a ocupar (r). Utilizando la fórmula que teníamos: Donde: n= elementos disponibles (5) r = elementos seleccionados (3)
Sustituyendo nuestros valores tenemos: 2) En un maratón compiten 12 corredores. Si el pódium consta de 3 lugares, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al final de la carrera?
Con repetición: 1) ¿De cuántas maneras pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? Disponemos de 9 bolas, n=9. Formamos un grupo de 9 bolas, r=9. Hablamos de permutaciones con repetición de 9 elementos (n=r) tomados de 4 en 4 (a), de 3 en 3 (b) y de 2 en 2 (c).
2) Queremos ordenar los 7 libros que tenemos: 4 de matemáticas, 2 de lengua y 1 de física. ¿De cuántas formas podemos ordenarlos en el estante? Tenemos 7 libros, n=7. Formamos grupos de 7 libros, r=7. Hablamos de permutaciones con repetición de 7 elementos (n=r), tomados de 4 en 4 (a), de 2 en 2 (b) y de 1 en 1 (c).
Combinaciones.
Se conoce como combinación al arreglo –o subconjunto – de elementos (n) seleccionados de un conjunto (r) sin importar el orden o posición que ocupan . Lo primordial en las combinaciones es el contenido de los grupos formados.
La fórmula para determinar el número de combinaciones posibles es: Esta ecuación explica que las combinaciones de r objetos tomados de n objetos pueden ser obtenidas de las permutaciones de r objetos tomados de n objetos. Esto, ya que en las combinaciones, no interesa el orden, al dividir esas permutaciones entre r! , les quitamos el orden, es decir: Y al contrario pasa lo mismo, si tenemos las combinaciones, basta con multiplicar por r! para obtener las permutaciones: Y si se desea que r =n entonces:
Lo anterior indica que cuando se desean combinar con la misma cantidad de elementos con que se cuenta, sólo es posible hacer una combinación. Para dejar más claro todo, seguirán unos ejemplos: 1) Una señora desea invitar a 5 de 11 amigos que tiene, ¿cuántas maneras hay de invitarlos? n=11 r =5
2) Para aprobar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, ¿cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas? n=12 r =9
Estructuras Algebraicas Campos La estructura algebraica, más familiar, es el campo. Los números reales y los irracionales forman un campo. En primer lugar tienen dos operaciones. En segundo lugar, las operaciones tienen las propiedades de estos conjuntos. Propiedades:
Un conjunto f con dos operaciones , tales que con la suma se satisfacen las siguientes propiedades:
El conjunto es cerrado bajo la suma, al sumar dos elementos del conjunto se obtiene un elemento del mismo conjunto. La suma es asociativa: (a Existe un elemento neutro para la suma llamado cero 0 tal que.
La suma es conmutativa:
El conjunto es cerrado bajo el producto. El producto es asociativo. Existe un elemento neutro para el producto llamado 1 tal que
Axiomas:
Teorema 68. En un campo, el elemento 0 es único Teorema 69. En un campo el elemento 1 es único Teorema 70. (ley de la cancelación de la suma). En un campo A Teorema 71. (ley de cancelación del producto) en un campo
Teorema 72. En un campo ,si y solo si a=0 o b=0
Teorema 73. En un campo, a0=0
Anillos Un anillo es un conjunto de r con dos operaciones: suma y producto con las siguientes propiedades: El conjunto es cerrado bajo la suma,. Al sumar dos elementos del conjuntos se obtiene un elemento del mismo conjunto.
La suma es asociativa (a Existe un elemento neutro para la suma llamado 0, tal que:
Todo elemento de tiene un inverso aditivo que es – a, tal que:
La suma es conmutativa:
El conjunto es cerrado bajo el producto. El producto es asociativo. La propiedad distributiva se cumple:
Anillos especiales Si además de las propiedades de definición existe un elemento neutro para el producto llamado 1 tal que , = a, entonces se llama anillo
con uno.
Si además de las propiedades de la primera definición se cumple que el producto sea conmutativo, entonces se llama anillo conmutativo.
Unidades Sea r un anillo con 1. A un elemento se le llama unidad si existe un elemento tal que Divisores propios de 0 Un elemento , tal que existe se llama divisor propio de 0. Dominio entero Un dominio entero es un anillo sin divisores propios de cero.
Grupos Como hay conjuntos que solamente tienen una operación y no como los conjuntos numéricos que tienen dos operaciones, entonces es necesario definir una estructura algebraica con solamente una operación. Axiomas:
Un grupo es un conjunto g de objetos con una operación tal que satisface las siguientes propiedades:
El conjunto es cerrado bajo la operación, al operar dos elementos del conjunto se obtiene un elemento del mismo conjunto. o
La operación es asociativa (a b) c=a (b c). Existe un elemento neutro n para la operación, tal que
Todo elemento de tiene un inverso , tal que
Bibliografía: Algebra superior Areli Reyes Guerrero Editorial: Thomson Título Autor Editor ISBN N.º de páginas
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Título
Introducción
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álgebra
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Publicaciones científicas y de tecnología aplicada
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Michael Francis Atiyah, I. G. MacDonald Griselda Pascual Xufré Reverte, 1973 8429150080, 9788429150087
Álgebra i Pedro Jiménez Guerra EUNED 9977647569, 9789977647562 Curso de álgebra moderna Peter Hilton, Peter John Hilton, Yel-Chiang Wu Reverte, 1982
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es.wikipedia.org/wiki/Sistema_num%C3%A9rico www.fic.umich.mx/~lcastro/permutaciones%20sin.pdf www.fic.umich.mx/~lcastro/permutaciones%20con.pdf www.youtube.com/watch?v=_m3Fjngw4hE www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Combinaciones.ht ml
