Calcular la cantidad de combinaciones y permutaciones diferentes de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra TENNESSEE. En este problema nos podemos dar cuenta que en la palabra TENNESSEE hay letras repetidas, existen: 1T, 4E, 2N y 2S. Es decir son objetos indistinguibles, lo cual significa que no nos interesa si nos cambian una letra por otra del mismo tipo ya que para el caso daría lo mismo. Ahora si queremos saber la cantidad de permutaciones distinguibles de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son del segundo tipo,…, nk son del k‐ésimo tipo está dada por la fórmula:
Pnn1 ,n2 ,...nk =
n! n1!n2!...nk!
En nuestro caso queremos calcular las permutaciones distinguibles de solo una parte de los n objetos, pero no existe una fórmula que nos permita llegar a la respuesta de manera directa. Entonces para resolver el problema debemos hacerlo por casos lo cual es un poco trabajoso pero no hay otra manera de hacerlo. Primero vamos a calcular el número de combinaciones: Empecemos a formar arreglos de cuatro letras que comiencen con la E debido a que es la que más se repite, y tendremos los siguientes casos: 1) Si a la primera posición se le asigna la E las tres posiciones restantes pueden asignarse de cinco maneras diferentes. Arreglo
letra
1
E S S N
2
E N N S
3
E T N N
4
E T S S
5
E T N S
Ing. Johnny Jiménez
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2) Si a las dos primeras posiciones se le asigna la E las dos posiciones restantes pueden asignarse de cinco maneras diferentes. Arreglo
letra
6
E E S S
7
E E N N
8
E E S N
9
E E S T
10
E E T N
3) Si a las tres primeras posiciones se le asigna la E la última posición pueden asignarse de tres maneras diferentes. Arreglo
letra
11
E E E T
12
E E E S
13
E E E N
4) Si a las cuatro posiciones del arreglo se le asigna la E, tenemos sólo una combinación. Arreglo
letra
14
E E E E
5) Si no asignamos ninguna E a las posiciones del arreglo, estas se pueden asignar de tres maneras diferentes. Arreglo
letra
15
N N S S
16
T N N S
17
T S S N
Ing. Johnny Jiménez
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Si sumamos todas las combinaciones diferentes tenemos: 5 + 5 + 3 + 1 + 3 = 17. Entonces existen 17 combinaciones diferentes de cuatro letras que podemos formar con las letras de la palabra TENNESSEE. Ahora calculemos las permutaciones distinguibles de 4 letras. De las 17 combinaciones anteriores nos damos cuenta de lo siguiente: 1) Los arreglos 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 16 y 17 tienen una letra que se repite dos veces, para calcular la cantidad de permutaciones distinguibles usamos la fórmula dada y en cada uno 4! de estos arreglos se obtendrá el mismo resultado: P42,1,1 = 2!1!1! Arreglo
letra
1
E S S N
2
E N N S
3
E T N N
4
E T S S
8
E E S N
9
E E S T
10
E E T N
16
T N N S
17
T S S N
Tenemos 9 arreglos que tienen
4! permutaciones. 2!1!1!
2) El arreglo 5 tiene cuatro letras diferentes, entonces la cantidad de permutaciones está 4! dada por P44= =4! 0! Arreglo
letra
5
E T N S
Tenemos 1 arreglo que tiene 4! permutaciones.
Ing. Johnny Jiménez
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3) Los arreglos 6,7 y 15 tienen dos letras que se repiten dos veces, para calcular la cantidad de permutaciones distinguibles usamos la formula dada y en cada uno de estos arreglos se 4! obtendrá el mismo resultado: P42,2 = 2!2! Arreglo
Letra
6
E E S S
7
E E N N
15
N N
S S
Tenemos 3 arreglos que tienen
4! permutaciones. 2!2!
4) Los arreglos 11, 12 y 13 tienen una letra que se repite tres veces, para calcular la cantidad de permutaciones distinguibles usamos la formula dada y en cada uno de estos arreglos se 4! obtendrá el mismo resultado: P43,1 = 3!1! Arreglo
Letra
11
E E E T
12
E E E S
13
E E E N
Tenemos 3 arreglos que tienen
4! permutaciones. 3!1!
5) El arreglo 14 tiene una letra que se repite 4 veces, es indiferente el orden en que se coloquen las letras por lo tanto solo existirá una permutación. Arreglo
letra
14
E E E E
Tenemos 1 arreglo que sólo se puede permutar una vez. Ing. Johnny Jiménez
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Ahora sumemos los productos del total de arreglos con la cantidad total de permutaciones en cada arreglo y tenemos:
⎛ 4! ⎞ ⎛ 4! ⎞ ⎛ 4! ⎞ 9⎜ ⎟+1( 4!)+3 ⎜ ⎟+3 ⎜ ⎟+1(1)=163 ⎝ 2!1!1! ⎠ ⎝ 2!2! ⎠ ⎝ 3!1! ⎠ Entonces existen 163 permutaciones diferentes de cuatro letras que podemos formar con las letras de la palabra TENNESSEE.
Ing. Johnny Jiménez
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