EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINACIONES Y PERMUTACIONES 1-¿En cuántas formas pueden sentarse alternadamente 3 hombres y 2 mujeres en una banca para 5 personas? Primero acomodamos al H1 (hombre 1) tiene 5 posibilidades para sentarse, luego al H2, tiene 4 posibilidades pues ya hay un asiento ocupado y así sucesivamente. Por lo que obtenemos una notación factorial = 5! = 5*4*3*2*1 =120 2-En una clase de 5 alumnos van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse si los premios son diferentes y si una persona no puede recibir más de un premio? El primer premio le puede tocar a 5 personas, el segundo cuatro personas y el tercero a tres, por lo que se resume en 5*4*3=60 3- ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al nueve sin repetir ninguno? Bueno tenemos nueve posibilidades sin contar el cero, pues sería de tres cifras, para el segundo tenemos 9 posibilidades, para el tercero 8 y para el cuarto 7 por lo que seria: 92*8*7= 4536 4-¿Cuántos números de 5 dígitos pueden formarse con los números del 0 al 9 sin que ninguno se repita? Como en el problema anterior en el primero no contamos el 0 asi que la solución seria: 27216
92*8*7*6*=
5-¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra ZOOLOGICO? El total de las letras es 9, por lo que para la Z hay 9 opciones n=9 r=1 Para la O hay 8 lugares, pero la letra se repite y la r=3 La L tiene 4 posibles lugares y solo se repite una vez n=4 r=1 Igual que la anterior la G tiene n=3 r=1 La I tiene n= 2 r=1 Por último la C tiene n=1 y r=1 Como en este caso no nos importa el lugar que ocupen las letras se trata de una combinación: C19*C38*C14*C13*C12*C11= 12096 6- Un alumno tiene que 5 de las 7 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede elegirlas? Dado que el orden de las preguntas no importa se trata de una combinación, de la que el tota es n=10 y solo queremos r=7, por lo que es: C710=120 7- un vendedor debe visitara 4 clientes ¿en cuántas ordenes diferentes puede hacer las visitas? En este caso el orden es vital pues de él depende que una visita se diferencie de otra, por lo que hablamos de una permutación, en la que n=4 y r=4 es decir P44=24 8- de cuantas maneras distintas pueden ser os resultados de unas elecciones estudiantiles si hay 2 candidatos a presidente, 1 a vicepresidente y 3 a tesoreso? Para los presidentes n=2 y solo pueden elegir a 1 por lo que r=1 Para el vicepresidente solo hay 1 candidato, entonces n=1 r=1 Para tesorero n=3 y r=1 Por lo que: 2*1*3= 6 9-¿de cuantas maneras distintas pueden seleccionarse 4 películas para ver en un día?
Hay 4 posibilidades y podemos ver 4 n=4 r=4 y el orden importa así que es una permutación: P44=24 10- ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas? El orden importa es una permutación: N=8 R=5
P58 11- ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman todos a la vez? R: Permutaciones. 5 P5 = 5! = 120 12- De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer. R: Combinaciones
13- Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado? R: Recorrido implica orden.
14- ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales? R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es combinación. 7 C3 = 35.
15- Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer? R: No importa el orden de selección. 8 C5 = 56
16- Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa. a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin diferenciar el color? R: 12C5 = 792 b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado final tres dulces de menta y dos de fresa? R: (8C3) (4C2) = (56)(6) =336 c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa? P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242
17- Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan. a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas funcionen? (7C3) = 35 b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres funcionen? P(tres funcionen) = (7 C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917 una sin funcionar? (3C1) (7C2) = (21)(3)= 63 d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin funcionar? P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203
18- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h? P8 = 8! = 40.320.
19- ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a? P7 = 7! = 5.040.
20- ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c? P6 = 6! = 720.
