ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE …1 MATRICES & DETERMINANTES.docx

NOMBRE: VILLAGRAN VELAZQUEZ ELMER ALEJANDRO MATRICULA: 94520 GRUPO: K050 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE … 1 MATRICES & DETERMINANTES MATERIA: ALGEBRA LINEAL D O C E N T E : E MMA N U E L H E R N A N D E Z OR OR T IZ IZ

CIUDAD DE MEXICO A 8 DE MARZO 2019

Actividad de aprendizaje 1. Matrices y determinantes 1.

Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones es lineal: a) 3x-ky-7z=35 b) x+ᴨy+ez=log5 c) 2x+6y-5yz=-46

Solución: a). Se tiene que la ecuación a es lineal, para ello en la ecuación tomamos como

variable z 3x=ky+7(z+5) Invertimos la igualdad en 3 x = k y + 7 (z+5) con el fin de pasar z del otro lado. 3 x = K y+7 (z + 5) es equivalente a k y + 7 (z + 5) = 3 x: K y + 7 (z + 5) = 3 x Ahora escribimos escribimos el polinomio polinomio lineal en en el lado izquierdo izquierdo en forma estándar. estándar. Expandir cada término de la izquierda: 7 z + 35 + k y = 3 x Restamos 35 + K y de ambos lados: 7 z = -35 + 3x – k y Resolvemos z. Dividimos ambos lados por 7: Obtenemos como resultado: que es una ecuación lineal. Z=3x/7-ky/7 b). x+ᴨy+ez=log5 No es una ecuación lineal. El hecho de que tenga exponencial

nos está indicando que no es una ecuación lineal. c). 2x+6y-5yz=-46 No es una ecuación lineal, porque el producto de dos incógnitas

es de segundo grado.

2. Determinar si: a) u = (4, 6, -7, 5) b) v = (2, 3, 10, 5) Son soluciones de la ecuación Solución:

       = 

Al sustituir sustituir u en la ecuación tenemos que son puntos que pertenecen al plano, pero al sustituir v v en la ecuación, se demuestra que la ecuación no es la solución de la ecuación. Por lo tanto: a) 4*4 -6*6-2*-7+ 3*5=9 Si es una solución de la ecuación. b) 4*2 -6*3-2*10+ 3*5= 15 No es una solución de la ecuación. 3. Considere la ecuación lineal 5x – 2y + 3z = 31 Hallar: a) Tres soluciones particulares. b) La solución general. Solución a: 1. x es la primera incógnita. Se asigna cualquier valor a las variables y y z y se

52131=31 523=31 51=31 5=311 5=30 =30/5  = 6 523=31 52130=31 520=31 5=312 5= 5 = 33 =33/5 despeja x para obtener la solución. Por ejemplo, hagamos y = 1 y z = 1. ,

,

,

,

,

,

Entonces u1= (6,1,1) es una solución.

2. Se 2. Se hace y = 1, z = 0. Sustituyendo: ,

,

,

,

,

Entonces u2= (33/5,1,0) es una solución.

523=31 52031=31 503=31 5=313 5= 5 = 28 =28/5 523=31 3. Se 3. Se hace y = 0, z = 1. Sustituyendo: ,

,

,

,

,

Entonces u3= (28/5,0,1) es una solución.

Solución b:

La solución general de la ecuación

, se obtiene como se indica:

Se asignan valores arbitrarios, o parámetros, a las variables libres, en este caso, y = a, z = b. se sustituyen en la ecuación obteniendo:

523=31+− 5=3123  = +−5 +− Entonces

=

,

,



, y = a, z = b o

u=(



, a, b). Es b). Es la solución general.

4. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de Gauss:

= = = = = = Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss:

Dividimos el 1-ésimo por 4:

45 32 414 15 0.725 411 10 05.7.755 461 10 0.175 18 10 10  58

De la segunda sustraigamos la primera línea, multiplicada por 5:

Dividimos 2-ésimo por -5.75

De la primera sustraigamos la 2 línea, multiplicada por 0.75:

Resultado: x=5, y=-8

3x + 7y = 6 9x – 3y = 90

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos

39  73 9 60

por el método de eliminación de Gauss:


19 7/33 920 10 7/234 722 10 71/3 23 10 10  93

De la segunda sustraigamos la primera multiplicada por 9:

Dividimos el 2-ésimo por -24:

De la primera sustraigamos la segunda línea multiplicada por 7/3:

Resultado: x=9, y=-3

6x +8y = 68 13x + 6y = 68

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos

61 386 66 88 113 46/3 3648/3 10 43/43/3 3243/83/3 10 41/3 347/3 10 01 27

por el método de eliminación de Gauss:


De la segunda fila sustraigamos la primera multiplicada por 13:

Dividimos el 2-ésimo por -34/3:

De la primera sustraigam0os la segunda multiplicada por 4/3:

Resultado x=2, y=7

5. Encuentre las soluciones (si existen) a los sistemas dados por el método de Gauss: a)

     = =   ==       =      =      ==      ==       =       = = =       = 5 4 47 35 6185  6 3 2 57 1 4 14.4 05.6 12.852 6 3 2 57 12. 2 1  1 . 4 0 . 6 133.82 60 11.9.64 7.5.64 130. 12. 2 1  1 . 4 0 . 6 (00 11.1 4 3.33/481875 13.130.93752 ) 7. 3 125 1 0  2 3 . 4 8 00 11.1 4 37.3.187548 13.28.96375875 10 01 37.23.4488 13.7.39125375 0 0 1 9

c)

a)

b)

d)

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss:


De 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 4,-6:

Dividimos el 1-ésimo por 9.6:

De13filas sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, -11.4:

Dividimos el 3-ésimo por -3.1875:

De la 1, 2 filas sustraigamos la 3 multiplicada por -23/48, -37/48

Resultado x1=3, x2=7, x3=-9 b)

10 01 00 37  0 0 1 9

  ==       = 


310 41 72 316 2 5 6 94 1(10 1/34 7/32 316/3) 2 5 6 94 10 2/31/3 77/63/3 31/3328/3 0 17/3 4/3 220/3 1(0 1/31 7/338 31/1364) 0 17/3 4/3 220/3 10 1 03185 61564 0 0 214 856 10 1 03185 61564 00 14 10 10 00 512 00 14


De 2, 3 sustraigamos la línea 1, multiplicada por 10, 2

Dividimos 2-ésimo por 2/3:

Dela 1, 3 sustraigamos la segunda línea multiplicada por 1/3, -17/3:

Dividimos el 3-ésimo por -214:

De la 1, 2 sustraigamos la 3 línea multiplicada por 15, -38

Resultado: x1=5, x2=-12, x3=4

c)

     ==      =  51 1 7 13 00 6 5 2 0 1(1 11/4 10.6 00) 6 5 2 0 1(0 2.14/41.0.66 00) 0 3.4 1.6 0 1(0 11/42/30.6 00) 0 3.4 1.6 0 1/3 00) 1(0 01 2/3 0 0 2/3 0 1/3 00) 1(0 01 2/3 00 1 0 10 01 00 00 0010



De la 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 1, 6:

Dividimos la 2-ésima por 2.4:

De la 1, 3 sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, 3.4

Dividimos la 3-ésima por 2/3:

De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por -1/3, -2/3:

Resultado x1=0, x2=0, x3=0

d)

     ==       =

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por

104 164 37 3 148  8 8 2 14 14 160.4 07.3 483.1  8 8 2 14 10 17.60.4 8.02.3 360..1 4  0 8 4.4 38.8 .4 0.3 151/44 3.1  100 18 041/88 4.4 38.8 9.11 ) 1(0 1 041/885/44 1151/44 0 0 73/11 608.11 19.11 ) 1(0 1 041/885/44 151/44 0 0 1 608.73 1(0 10 00 131.57/27923 ) 0 0 1 608.73

el método de Gauss:

Dividir el 1-ésimo por 10:

De la 2, 3 filas sustraigamos la 1 multiplicada por -4, 8:

Dividimos el 2-ésimo por 17.6:

De la 1, 3 sustraigamos 2 multiplicada por 0.4, 4.8:

Dividimos el 3-ésimo por -73/11:

De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por 5/44, 41/88

Resultado x1=57/73, x2=131.292, x3=608.73

6. Realice los siguientes ejercicios:

42 34  5254 53 4 3 2 0  1 5 2 4 10 20 54      5 7 55 57 5 7 25 35

a)

5

=

=

=

2356 22453 31 64 82  5  68 23 82  2158 65 6 52 2 2252 85 8 5 8 436 222 4 56 6 4 10 2458 2254 24510 2238 2324 1458  31 64 82 2 68 23 82  7128 7326 77423 62 6 22 77222 82 8 2 8 4 2 4 6 4 10 7426 7224 74210 923 3228 1040 16 6 8 21 65 2 8 16 132 28 = 1126 65312 228 8  121 1572 644 7 2 4 6 4 10 76 24 410 42 8 40 41 61 32  25  12 45 1265 22 35  202 320 415 4 9 2 6 46 96 26 24 54 12 2 3 4 5 24 7 23 4 15 235 41623 383 741 271927 19095 3384 762 b)

2

+ +

=

=

c).

7

= =

=

d)

*

=

e)

*

=

=

f)

*

=

Solución:

C1,1=2*2+(-3)*(-2)+4*5+1*(-3)=27 C1,2=2*3+(-3)*(-4)+4*16+1*23=105 C1,3=2*4+(-3)*3+4*8+1*3=34

C1,4=2*5+(-3)*7+4*4+1*1=6 C2,1=4*2+7*(-2)+2*16+(-5)*(-3)=19 C2,2=4*3+7*(-4)+2*8+(-5)*23=-99 C2,3=4*4+7*3+2*8+(-5)*3=38 C2,4=49*5+7*7+2*4+(-5)*1=72

7. Reducir a su forma escalonada y luego a su forma canónica por filas: a)

1 3 1 2 A = 022 1145 531 153

Intercambiamos la fila 3 por la fila 1

Restamos fila a la fila 3

Restamos 2xfila1 a la fila 4

Dividimos fila 2 entre 11

20 511 53 13 12 34 11 25 10 112.5 15.5 03.5 02 5.45 2.1 5 1.55 10 112.5 15.5 03.5 00 5.95 2.25 1.45

10 21.5 0.14.555 00.5.273 00 5.95 2.25 1.45

Restamos 5.5 por fila 2 de la fila 3

10 21.5 0.14.555 00.5.273 00 09 20 04 10 21.5 0.14.555 00.5.273 00 00 2.0091 1.5045 10 21.5 0.14.555 00.5.273 00 00 2.0091 1.5045 10 21.5 0.14.555 00.5.273 00 00 10 0.7039 10 21.5 00.4550.600.2973 00 00 10 0.7039

Restamos 9 por fila 9 a las fila 4

Intercambiamos Intercambiamos fila 4 por fila 3

Dividimos fila 3 por 2.091

Restamos 1.5 por fila 3 a la fila 1

Restamos -0.455 por fila 3 a la fila 2

10 21.5 00 00.6.60099 00 00 10 0.7039 10 01 00 00..961039 00 00 10 0.7039

Restamos -2.5 por fila 2 a la fila 1

Hemos llegado a la reducción escalonada, ahora encontraremos su forma canónica por filas. Dividimos la fila 1 entre 23 Sumamos 5*(fila3) a la fila 2 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 2 por 11 Sumamos 5*(fila 2) a la fila 1 Dividimos la fila 1 entre 2 Esta matriz es ahora en forma escalonada reducida.

b)

0 1 3 2 0 4 1 A =  00 50 31 413

=

Intercambiamos la 4 por la 1

Dividimos la 1 por 5

00 54 13 34 00 01 13 21

Restamos4 por la 1 de la 2

Restamos la 1 de la 4

Intercambiamos la 4 por la 2

Dividimos la 2 entre 3.6


Restamos 1.4 por la 2 de la 4

00 14 01.6 03.8 00 01 13 21 00 10 1.04.6 00..82 00 01 13 21 00 10 1.04.6 00..82 00 00 3.16 2.1 8 00 10 3.06.6 02..88 00 00 1.14 0.1 2 00 10 10.60.707.88 00 00 1.14 0.1 2 00 10 10.60.707.88 00 00 1.04 1.0.7782

Dividimos la 3 por 1.778



Restamos-0.778 por la 3 de la 2

Restamos -0.6 por la 2 de la 1

00 10 10.60.707.88 00 00 00 1.0.787889 00 10 10.60.707.88 00 00 00 0.8189 00 10 10.60.707.88 00 00 00 10 00 10 10.60.7708 00 00 00 10 00 10 01.6 0 0 00 00 00 10 00 10 01 00 00 00 00 10

Ahora encontrare encontraremos mos la forma forma canónica canónica por filas filas Sumamos la fila 4 a la fila 3

Restamos 4*(fila 4) de la fila 2 Sumamos 2*(fila 4) a la fila 1 Dividimos la fila 3 entre 7 Sumamos 3*(fila 3) a la fila 2 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 2 entre 5 Restamos la fila 2 a la fila 1 y tenemos nuestro resultado. 8. Calcula la forma escalonada por renglones y luego la inversa (si existe) de

121 42  12 42  11 22   10 20  1 4 12 30  2 5 3

la matriz dada: a.

Intercambiamos filas

Dividimos fila 1 por 2

Restamos fila 1 por -1 a la fila 2

La matriz inversa no se puede calcular para matrices que tienen el determinante 0

b.

Intercambiamos fila 2 por fila 1

41 12 30  2 5 3 11 0.252 00.75 2 5 3 10 2.0.2255 0.0.7755 0 4.5 1.5 10 04..255 1.0.755 0 2.25 0.75 10 01.25 0.03.7335  0 2.25 0.75 10 01.250.3033.75 00 0 10 01 0.0.363367 00 0

Dividimos fila 1 entre 4

Multiplicamos 2 por fila 1 a la fila 3

Intercambiamos fila 3 por la 2

Multiplicamos fila 2 por 4.5

Multiplicamos0.25 por la 2 a la 3

Multiplicamos 025or la 2 a la 1

La matriz no se puede calcular para matrices que tienen el determinante 0

c.

21 03 41 0 12

Dividimos la 1 entre 2

11 03 21 0 12 10 03 23 012 10 01 21 012 100 010 211 10 01 01 001 10 01 00 001

Restamos -1 por fila 1 a la fila 2

Dividimos la 2 entre 3


Restamos -2 por la 1 a la 1

Restamos 1 por la 3 a la 2

A=

1/1 0 1/10 21  0 0 1/1

a-1= a-1=

9. Calcule la transpuesta de la matriz dada y determinante si la matriz en simétrica o anti simétrica:

A=

36 16 38  = 3 6 38  6 1  =  8 3 2 8 3 2

La matriz es simétrica si es una matriz m atriz cuadrada la cual tiene la característica caracter ística se ser igual a su transpuesta en el caso de la matriz (a) es idéntica a su transpuesta y por lo tanto es simétrica

05 50 64 05 05 46 6 4 0 6 4 0 10170 107  10170 107 

B=

b+= b+=

La matriz ( b) es anti simétrica C=

c+= c+=

La matriz ( c) es simétrica. 10.

Escriba cada matriz como el producto de matrices elementales y una

matriz triangular superior:

    = 20 10  12 02 43 1 21 10 4 2 23 12 1 100 44 2 223 A=

La 2-ésimo menos (-2) por la 1 en la dos

B=

La 1-esima por -2

B=

La 1– esima por -1

B=

La 2-ésima por -1

12 02 43 0 00   [303 253/3]         5 0 02 00 10 100 6 10 22 30 0 100 6 10 22 03 0 06         B=

11.

Calcula la determinante:

a)=

La 2-ésima- 7/3 por la 1-ésima en la 2-ésima a=

= -3 x (-23/3)=23

b)=

La segunda - 6/5 por la primera a la segunda

b=

La tercera por -2 por la primera a la tercera

b=

La tercera – 50 por la segunda a la tercera

b=

c=

=5x2x6=60 =5x2x6=60

La 2 por 4/3

3 0 4/31 223/3 6 1 3 30 4/31 223/3 0 3 1 30 4/31 223/3 0 0 65/4       0 0 0 000                 20 3/21 37/22 1 12 12 14 31

C=

La 3 – (-2por la primera)

C=

La 3 – (-9/3 por la 2)

C=

=3 x (-4/3)x(65/4)=-65 =3

d=

La 2 -2 por la 1, y la 3-3 por la 1

d=

=0

e=

F=

La 2 -3/2 por la 1

f=

=3x2x1=-6 =3x2x1=-6

La 4 -1 por la 2

20 3/21 37/22 1 00 11 44 13 20 3/2 1 37/22 1  00 01 19/34 11/31 20 3/2 1 37/22 1  19/3 5/3 11/3 00 00 19/3 20 3/2 1 37/22 1  00 00 19/30 11/32

F=

La 3 (-2/3) por la 2

F=

La 4 – (2/3) por la 2

F=

La 4 – (-1) por la 3

F=

=2 x (-3/2)x(19/3)x2=-38 =2

12.

Utilice determinantes para calcular la inversa:

     30 25 74  0 11/3 4/3

A=

La 3 – (1/3 por la 1ra para la 3ra

A=

La 3ra – 11/6 por la 2da para la tercera

30 25 47  0 0 4/3 30 25 47  10 01 00 0 0 4/3 0 0 1

A=

=3 =3 x 2 x (-26/3)=-52

La matriz inversa

A-1=

La primera dividida entre 3

10 25/3 47/3 1/30 01 00 0 0 26/3 0 0 1 10 15/3 27/3 1/30 1/20 00 0 0 26/3 0 0 1 10 5/13 27/3 1/30 1/20 00  0 0 1 0 0 3/26 10 5/13 07/3 1/30 1/20 3/130  0 0 1 0 0 3/26         

A-1=

La segunda dividida entre 2

A-1=

La tercera dividida entre (-26/3)

A-1=

La segunda menos (-2x la tercera)

A-1=

B=

La tercera – (1/2) por la primera

200 1/211 0030 20  3 0 1 0 20 1/211 0 30 0  00 3/2 10 20 20 10 1 0 30 0  00 3/2 3/21 20 20 1 13/203 00  00 00 11/2 20 20 1 1 03 002  00 00 3/20 22/3 20 1 1 03 002  10 01 00 00 00 00 3/20 22/3 00 00 10 01

B=

La cuarta – (3/2) x la primera

B=

La tercera- (1/2) x la segunda

B=

La cuarta – (3/2) x la segunda

B=

La cuarta – (11/3) x la tercera

B=

= 2 x (-1)x(-3/2)x(22/3)=22

Inversa

B-1=

La primera entre 2

=

B-1=

10 1 1/2 30 00  1/20 01 00 00 00 00 3/20 22/32 00 00 10 01 10 3/21/2 03 00  1/21/2 01 00 00 00 00 3/20 22/32 00 00 10 01 10 1 1/220 00  1/21/3 2/30 0 00 0 00 00 3/20 22/32 00 00 10 01 10 11/220 00  1/21/3 2/30 0 00 0  2/3 00 00 10 4/3 0 0 0 22/3 0 0 0 1 10 11/220 00  1/21/3 2/3 0 0 00 0 0  00 00 10 4/31 00 00 2/30 3/22 10 1/21 20 00 1/21/3 2/3 0 0 002/11 0 00 00 10 01 00 00 2/30 3/22  =

La segunda – (1) x la primera

B-1=

=

Dividimos la segunda por (-3/2)

B-1=

=

Dividimos la tercera por (-3/2)

B-1=

=

La cuarta entre 22/3

B-1=

=

La tercera – (4/3)x la cuarta

B-1=

=

La segunda – (-2 por la tercera)

10 1/21 00 00 1/21/3 2/3 040/3 04/11 00 00 10 01 00 00 2/30 2/11 3/22 100 010 001 000 1/31/3 2/31/3 24//33 2/141/11 2/11 0 0 2/3 0 0 0 1 0 0 0 3/22     10 11 10 011 100 110 101 = 100 110 101 100 110 101 10 11 10 10 01 00 0 0 1001 10 11 10 10 10 00 0010 0 1

B-1=

=

La primera – (1/2 por la segunda)

B-1=

=

C=

La segunda – (-1) por la primera

C=

La tercera – (-1) por la segunda

C=

=1x-1x1=-1 =1x-1x1=-1

Inversa

C-1=

C-1=

Dividimos la segunda entre -1

C-1=

La primera – (-1) x la tercera

C-1=

10 11 00 10 10 10 0010 0 1 10 01 00 10 10 10 0010 0 1

La primera – (-1) x la segunda

C-1=

Bibliografía http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/T_matrdeter/MatrDeter

https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinantes.html

http://www.mailxmail.com/curso-matematicas-numeros-operaciones-2-22/matrices-determinantes

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE …1 MATRICES & DETERMINANTES.docx

Recommend Documents