Dinámica de las Estr uct ucturas uras (S-01 (S-01)) - Ecuaci Ecuaciones ones de Movim iento, Planteamiento Planteamiento del Problema de Análisis Diná Dinámico mico de Estructuras En la parte inicial de este curso de dinámicas de las estructuras, estruc turas, el problema e s formulado mediante estructuras estruc turas simples simples que pueden ser id ealizadas con una masa conectada a una columna empotrada. A estos sistemas nos referimos como estructuras de un solo grado d e libertad, es decir, decir, que para reali zar el planteamiento del problema de el análisis dinámico, consideraremos un solo grado de libe rtad: el desplazamiento desplaz amiento lateral de las estructura estructura.. Lo cual implicará encontrar la rigidez en la dirección de d icho grado de lib ertad: la rigidez lateral de la estr uctur a o el elemento que sostiene la masa. masa .
La ecuación básica que gobierna el desplazamiento lateral lateral u ( t) de este tipo idealizado de estructura estr uctura sin excitación excitación externa ya sea por una fuerza o por sismo es: d
a=
2
dt m
d
2
dt
2
u ( t)
k u ( t) = 0
m
d
2
2
dt
2
es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo y dicha derivada define la aceleración
u ( t)
es la segunda ley de Newt Newton on F = m a
u ( t)
k
es la rigidez lateral de la columna
Si resolvemos esta ecuación diferencial obtendremos la siguiente función, que corresponde corresponde a un a vibración libre que continúa para siempre y este tipo de sistema idealizado nunca ocurre en la realidad.
sin embargo, la intuición sugiere que en una estructura estructura real, cuando es sometida a un a excitación, la amplitud de la oscilación decrece con el tiempo hasta que eventualmente la estructura estructura llega al reposo:
Respuesta de un modelo experimental de un grado de libertad hecho con plástico
Respuesta de un modelo experimental de un grado de libertad hecho con aluminio
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El proceso por el cual la vibración disminuye en amplitud en forma continua es llamado "amortiguamiento". En el amortiguamiento la energía cinética de la vibración es d isipada por varios mecanismos que se mencionarán más adelante.
La ecuación de movimiento, considerando el e fecto de amortiguamiento qu edaría como:
m
d
2
dt
2
c
u ( t)
d u ( t) k u( t) = 0 dx
Revisando cada uno de los términos de la ecuación:
Relaciones Fuerza - Desplazamiento para Desplazamiento Later al
Analizaremos el tercer término de la ecua ción de movimie nto: Modelos de "Péndulos Invertidos" Considerando el modelo de un a masa conectada a un a columna empotrada, podemos analizar la relación fuerza desplazamiento utilizando el método del trabajo virtual:
δQ 1
M ( x) P P A x
δMν ( x) δQ x
3
L L P A M ( x) δMν ( x) ∆VA dx δQ E I 3 E I 1
x
3
P A ∆VA 3 E I L
∆VA f VA P A
0
se obtuvo la relación fuerza desplazamiento por la flexibilidad de modo que la ecuación qued aría expresada como:
m
d
2
dt
2
u( t)
3 E I L
3
∆=
1 k
L
3
3 E I
P
P = k ∆
u( t) = 0
m
d
2
dt
2
u ( t)
c
k
d u( t) dx
1 f VA
3 E I L
3
3 E I L
3
u( t) = 0
Masas conectada a resortes Esta clase de modelos tienen, la rigi dez es directamente la constante del resorte, aquí lo interesante es cuando dichos sistema están constituido s por más de un resorte en una configuración paralel a o en serie, entonces la rigidez total o efectiva del sistema se debe calcular considerando los siguiente
Cuando l os resortes están el serie El desplazamiento total es la suma de los alargamientos de cada resorte:
u tot = δ1
pero la fuerza en cada resorte debe ser la misma
f s = f k1 = f k2
f s = k1 δ 1 = k2 δ 2
f s δ1 = k1
f s δ2 = k2
δ2
Given
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f s ktot
=
f s k1
f s k2
ktot Find ktot simplify
k1 k2 k1
k2
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Cuando lo s resortes están el paralelo El desplazamiento total es el mismo en cada resorte pero la fuerza total que se apli ca al sistema es la suma de la fuerza en cada resorte f s ktot
=
f k1 k1
=
f k2 k2
u tot = δ1 = δ2 f s = f k1
f s k1 f k1 = ktot
f k2
f s k 2 f k2 = ktot
Given
fs =
f s k1
ktot
f s k2 ktot
ktot Find ktot simplify
k1 k2
Marco de un Solo Nivel Los marcos de un solo n ivel también puedes se model ados como estructuras de un solo grado de libertad. Tenemos 3 casos de análisis: AE 1.- Rigidez del cabezal es cero: EI v = 0, =∞ L
Observamos que la parte superior de las columna puede rotar libremente por lo que l a rigidez lateral correspondiente de cada columna es: y considerando los resultados obtenidos con los resortes, dichas columnas actúan como los resortes en paralelo, entonces
2.- Rigidez del cabezal es infinita: E I v = ∞,
A E L
k
3 E I L
3
klat 2 2 ( k )
6 E I L
3
=∞
4E I
0
L
M A P A 0 P lat 6E I 2 L tenemos que la relación fuerza desplazamiento lateral estará dado por la configuración en "paralelo" de las rigide ces de las dos columnas:
2.- Rigidez del cabezal es finita mayor que cero: E I v = a EI c,
A E L
Plat =
L 0
12 E I L
=∞
A E
3
6 E I
6E I ∆lat L 0 L2 0 0 0 ∆lat 12E I ∆ lat 12 E I 3 3 L L
∆lat
2
klat 2
12 E I 3 L
24 E I L
3
EI v
Tenemos que la rigid ez lateral del marco depende que da en función de las rigid eces de los demás grados de libertad. Aplicaremos el método de la condensación estática:
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E I v
En este ejemplo consideraremos que los elementos tienen rigidez axial infinita, por lo tanto los grados de libertad de la estructura se reducen a 3, entonces la relación fuerza-desplazamiento de todo el marco queda como: El sistema de ecuaciones lo podemos expresar de la siguiente manera también:
24E Ic h3 f S 6 E I c 0 = 2 h 0 6 E Ic 2 h
6 E Ic h 4 E Iv L
2
2 h u1 2 E Iv u 2 L u 3 4 E Iv 4 E Ic L h 6 E Ic
4 E Ic h
2 E Iv L
f S =
24E Ic
h
3
6 E Ic
6 E Ic
2
2
h
h
u1 u 2
u 3
6 E Ic
4E Iv 4 E Ic h 0 = h u L 1 2 E Iv 0 6 E Ic 2 L h
u 2 4 E Ic u 3 h
2 E Iv
2
L 4 E Iv L
tomando la segunda expresión y despejando ...
6 E Ic
4E Iv 4E Ic h L h u = 1 2 E Iv 6 E Ic 2 L h 4E Iv 4E Ic u2 L h 2 E Iv u3 L
u 2 4 E Ic u 3 h
2 E Iv
2
L 4 E Iv
L
4 E Ic h
2 E Iv L 4 E Iv L
1
despejando p ara obtener los grados de libe rtas 2 y 3 en función del primer grado de libertad (desplazamiento lateral):
6E Ic h2 u 1 simplify 6E Ic 2 h
9I v u1 4I c L 6I v h 9I v u1 4I c L 6I v h
3 u 1
3 u 1 2 h 2 h
sustituyendo en la primer ecuación....
24E Ic
h
3
6 E Ic
6 E Ic
2
2
h
h
u1 u 2 simplify
12 E Ic u 1 Ic L
u 3
Si tenemos las siguientes características del marco:
h
3
6I v h
f s I c Iv E L h u 1
2 I c L 3I v h
Iv
IIc
12E Ic Ic L 6I v h
L 2 h
Pág.- 4
h
3
f s I c Iv E L h u 1 simplify
2 I c L 3I v h
u 1
96 E Ic u 1 7 h
3
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Fuerza de Amortiguamient o
El proceso por el cual la amplitud de la vibración disminuye de manera sostenida en el tiempo, es llamada amortiguamiento. Con el amortiguamiento, la energía de vibración de un sistema es disipada po r uno o varios mecanismos que pueden a ctuar al mismo tiempo, entre ellos tenemos lo sigu ientes:
Disipación de energía por calor debi do a cargas y descargas cíclicas de los elementos estructurales y por fricción i nterna por deformación Fricción entre las conexione s de lo s elementos. Apertura y cierre de microgri etas en el concreto. Fricción entre los elementos no estructurales. ...Y mucho otros más mecani smos puede n estar presen tes...
Es un hecho que en el estado actual de conocimientos resulta casi imposible modelar matemáticamente todos lo mecanismo de di sipación de en ergía de vibración involucrados. Por esa razón actualmente el a mortiguamiento se modela de forma muy simplificada por amortiguadores viscosos o amortiguadores de aire. El coeficiente de amortiguamiento equivalente es especificado de modo tal que la energía que di sipa es equivalente a la ene rgía disipada po r todos lo mecanismos presentes en un momento dado.
f d = c
d u( t) dx
Ecuación de Movimiento: Fuerzas Exter na
p ( t)
Segunda ley de Newton: de acuerdo a los diagramas de cuerpo libre:
m
d
2
dx
2
u ( t)
f D f S = 0
m
d
2
dx
2
u ( t)
Esta ecuación gob ierna la deformación o desplazamiento de una estructura elástica line al sujeta a una fuerza dinámica externa. Las unidades de la masa son fuerza/aceleración
d u( t) k u( t) = p( t) m u ( t ) c 2 dx dx d
2
Desplazamiento: u
Velocidad:
d dx
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f D f S = p( t)
u
Acelera ción:
d
2
dx
2
u
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Ecuación de Movimiento: Excitación por Sism o En zonas de riesgo sísmico, el principal p roblema del análisis diná mico de las estructuras es el comportamiento sujeto al movimiento inducido por lo s temblores en la base de la estructura. El desplazamiento del terreno es denotado por u gy el d esplazamiento total de la estructura
u tot
estará dado por: u tot( t ) = u ( t)
Aplicando el equ ilib rio dinámico tenemos:
El único movimiento relativo entre la masa y la base dela estructura es debido al desplazamiento que produce fuerzas elástica y el amortiguamiento, por lo tanto las ecuaciones de movimiento planteadas anteriormente siguen sien do válidas, tomando en cuenta que:
f I = m
2
d
2
u g ( t ) y la
Se observa que la fuerza externa m
d
2
dx
2
f D f S = 0
f I
2
dx
d
u ( t) u g ( t ) 2
c
m
d
2
dx
u ( t ) 2 tot
c
f D f S = 0
d u( t) k u ( t) = 0 dx
d u( t) k u( t) = 0 dx
comparando con l as ecuaciones de movimiento, esta ecuación muestra que el movimiento de la estructura está sujeto a d os excitaciones por separado:
2
dx
2 dx
u tot( t )
la aceleración del terreno
2
m
2 d d m u ( t ) c u ( t) k u ( t) = m u ( t ) 2 2 g dx dx dx d
d
f I
ug ( t )
fuerza externa m
d
2
dx
2
u g ( t )
, estas excitaciones son una y la misma.
u g ( t )
, actúa en sentido contrario a l a aceleración del terreno. Es importante reconocer
que la fuerza efectiva inducida por el sismo es proporcional a la masa de la estructura, entonces el ingeni ero estructurista incrementará dicha fuerza si la e structura aumenta de peso y subsecuentemente su masa.
u tot
Componente rotacional del sismo Aunque al compone nte rotacional d e un movimien to sísmico no es medido durante un evento, éste puede ser obtenido media nte las componentes traslacionales de la estructura y es de interés al aplicar los conceptos precedentes: u tot( t ) = u ( t )
m
d
2
dx
2
=
h θ g ( t )
u ( t)
c
d u( t) k u ( t) = m d2 θ ( t ) 2 g dx dx
Base estacionaria
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Ejemplo 1 Una lo sa uniforme y rígida con masa total "m" es soportada por cuatro columnas de altura "h", conectadas de forma muy rígida a la losa y al sistema de cimentación, los segundo s momentos correspondientes son Ix e Iy. Encuentre la ecuación de movimiento del sistema sujeto a rotación del terreno u gθ . Desprecie la masa de la s columnas y no considere el a mortiguamiento.
Planteando el equilibrio dinámico
f I
MS = 0
f I = I0
d
2
dx
2
u θ tot ( t )
u θ tot ( t ) = u θ
I0 = m b
I0
d
d
2
2 2
dx
2
u gθ
u θ ( t)
u gθ ( t )
para encontrar la rigide z,debemos plantear la suma de lo momentos de las fuerzas que resisten el desplazamiento proporcionadas por las columnas debido al desplazamiento relativo al suelo: u θ
ky =
12 E Ix h
3
kx =
12 E Iy h
3
d d MS = 2 kx 2 2
el momento resistente
MS =
I0
d
2
dx
2
uθ ( t)
12E Iy
u gθ ( t )
h
3
2
12 E Iy
d
h
3
2 kx
2
d
d
d 2 k b b 2 k b b = 4 k d x 2 2 2 y 2 2 y 2 2
12 E Ix
h
3
b b f' S col y = ky u θ = ky 2 2
2
b
2
4k y 2
b2
12E Ix
h
3
b2 = 0
I0
d d f' S col x = kx u θ = kx 2 2
y tomando en cuenta que tenemos desplazamiento pequeños, tenemos que l a fuerza resistente de la columna al desplazamiento lateral estará dado por
d
12E Iy
2
dx
2
uθ ( t)
h
3
2
d
12E Ix
h
3
b2 = I0
d
2 2
dx
u gθ ( t )
Método de solución
Solución clásica Para encontrar la solución complementaria, se utilizará el método qu e utiliza una e cuación auxiliar cuyas raíces corresponderán a las siguientes soluciones: m1 x
1.- Cuando las raíces son reales y distintas:
yc( x ) = c1 e
2.- Cuando las raíces son idénticas:
yc( x ) = c1 e
m x
c2 e
m2 x
c2 x e
... cn e
m x
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mn x
2 m x
c3 x e
... cn x
k 1
e
mx
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3.- Cuando las raíces son número complejo de la forma de multiplicidad k:
m1 = α β i
yc( x ) = e
m2 = α β i
α x
c1 sin ( β x) c2 cos ( β x) c3 x sin( β x) c4 x cos( β x) 2 c5 x2 sin( β x) c6 x cos( β x) ... k 1 k 1 cn x sin( β x) cn+1 x cos( β x)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 1.-
3
d
2
dx
2
y ( x)
d
2
ecuación auxiliar: ED( m ) 3m m
y ( x) = 0
dx
1
0
1
y ( x) cc1
polyroots E' D
c2 e
3
x 3
3
1.-
d
2
2 dx
y ( x)
d y ( x) = 0 3 dx
2.-
d
2
2
2 dx
y ( x)
d y ( x) = 0 5 dx 5 2
y ( x) cc1 e
d
3.-
2
dx
2
y ( x)
d
y ( x)
4.-
2
2
dx
2
x
c2
2
d
y ( x)
3
d
y ( x)
c2 e
2
dx
6 y ( x) = 0
2x
c2 e
ED( m )
dx
y ( x) cc1 e
d
y ( x) cc1
3x
4y ( x) = 0
dx
2
y ( x)
3x
2 m
2 2m
5
d
y ( x)
0
dx
3m
E' D E D( m) coeffs
3
y ( x)
d y ( x) 0 dx
E'D E D( m) coeffs
y ( x)
0 5 2
5.-
d
2
2 dx
y ( x)
4
d
3.-
3
d
5y ( x) = 0
dx
y ( x) e
y ( x)
2
dx
2
2x
y ( x)
2
d
y ( x)
y ( x) = 0
dx
3
2
polyroots E' D
0
2
y ( x)
2 m
m6
d
E'D ED( m) coeffs
6 1 1
polyroots E' D
2 3
6y ( x) 0
y ( x)
dx
E D( m) 2m
2
3m 4
E' D E D( m ) coeffs
y ( x) e
E D( m)
2 m
E D( m)
2 3m
4
6
4 3 2
6
x c cos x c1 sin 5 2 5
4m 5
E' D E D( m ) coeffs
5 4 1
polyroots E' D
2 i 2 i
c1 sin ( x) c2 cos (x)
x y ( x) e
5
0
x
0.75 1.199i polyroots E' D 0.75 1.199i
0 3 1
dx
2
dx
2
5m
d
y ( x)
2
dx
E D( m )
d
d
2
2 dx
ecuación auxiliar: ED( m )
0 3
polyroots E' D
d
E' D E D( m) coeffs
0 1 3
2 m 1
E'D E D( m) coeffs
1 2 3
polyroots E' D
0.333
0.
0.333 0.
2 2 x sin x 3 3
sin
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Para la solución pa rticular, se utilizará el método de lo s coeficientes indeterminados con operadores di ferenciales (D) de manera que se debe identificar en el miembro a la derecha de la igualdad las siguientes condiciones: n D
1.- El op. diferencial: 2.- El op. diferencial:
( D α)
2 D
3.- El op. diferencial:
2 α
2 α D
n
anula a:
2 3 n1 1 x x x ... x
anula a:
e e
n
2 β
anula a: e
α x α x α x
x e
α x
2 α x
x e
sin( β x) xe
.... x
n1
e
α x
cos ( β x) x e
α x
2
sin( β x) x e
α x
α x
2
cos( β x) x e
n1
sin( β x) ... x
α x
cos( β x) ... x
e
n1
α x
e
sin( β x)
α x
cos ( β x)
Estos operadores d iferenciales se consideran de la misma manera que las ecuaciones auxiliares, es decir, que l as condiciones de sus raíces nos proporcionan la estructura de la solución p articular Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogénea s:
d
1.-
2
2 dx
y ( x)
9 y ( x) = 54
yc( x ) cc1 e d
2
y ( x ) 2 p dx
d
2.-
2
2 dx
y ( x)
3x
c2 e
E D( m )
3 x
2 m
9
E'D E D( m) coeffs
para l a solución particular...
9 yp ( x ) = 54 9 c3 = 54 solve c3 6
8 y ( x) = 5x 2e
yc( x ) cc1 sin 2
x
E D( m )
c2 cos 2
2 x
2 x
2 m
D ( 54) = 0
y ( x) cc1 e
8
ED( m)
9 0 1
yp ( x ) cc3 e
D=0
3x
c2 e
3 x
E'D E D( m) coeffs
2 m ( m 1)
polyroots E' D
d
2
dx
y ( x ) 2 p
x
c4 c5 x
8 yp ( x ) = 5x 2e
x
8 0 1
E' D E D( m ) coeffs
0 0 1
2.-
d
2
2 dx
y ( x)
y ( x) = x cos( x)
2
1 polyroots E' D 0 0
sustituyendo en la ecuación diferencial:
8 c 4 9c 3 e
c2 sin 2
2 x
i 2 i
polyroots E' D
x
8c 5 x = 5x 2e
x
c4 0
9 c 3 e
8 c 5 x = 5 x solve c5
y ( x) cc1 sin 2
c3
6
1 yp ( x ) cc3 e
0 x
3 3
2 x
2 9
e
x
5 8
x
= 2 e
x
solve c3
2 9
5 8
x
E D( m)
2 m
1
E'D ED( m) coeffs
Pág.- 9
1 0 1
polyroots E' D
i i
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yc( x ) cc1 sin ( x)
α 0
c2 cos( x )
β 1
n 2
1 2 E D( m ) m
2
0
n
β
E'D ED( m) coeffs
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2
0 1
i i polyroots E' D i i
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