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M.G. = M.H. =
I. DEFINICIÓN
Para “n” números: M.A. M.G. M.H.
1.
El promedio de 6 números 82. Si consideramos un séptimo número, el promedio aumenta en 18. ¿Cuál es el número agregado?
2.
¿Cuál es el promedio de 5 números de modo que si le agregamos los números 23 y 27 su promedio disminuye en 6 unidades?
3.
El promedio de las notas en un curso de 40 alumnos fue 12. Los primeros 5 obtuvieron 10 en promedio y los 10 últimos un promedio de 15. Hallar la nota promedio de los restantes.
4.
La media aritmética de un número natural y su raíz cúbica, excede a su media geométrica en 936. Hallar dicho número.
5.
Si el promedio de 81 números consecutivos es 93. ¿Cuál es el mayor de ellos?
6.
Se desea hallar "n" sabiendo que el promedio geométrico de los números: 2, 4, 8, 16, .............. (“n” números) es igual a 2048.
7.
La edad promedio de 25 personas es 22 años. ¿Cuántas personas de 25 años deberán retirarse para que el promedio de los restantes sea 20?
8.
Tres amigas dicen ser veinte añeras, pues sus edades promedian 24 años. Si sólo una de ellas está mintiendo. ¿Cuánto años podría tener como máximo la que miente?
9.
Se calcula los promedios aritmético, geométrico y armónico de dos números enteros A y B; si el mayor de los promedios es 100, mientras que el promedio menor es 36. Hallar: A – B
Es un número representativo de un conjunto de cantidades que tiene la propiedad de ser mayor que la menor de las cantidades pero menor que la mayor.
II. CLASES DE PROMEDIOS 1.
Promedio Aritmético (M.A.) o media aritmética, es la enésima parte de la suma de “n” cantidades.
M.A. =
2.
Promedio Geométrico (M.G.) o media geométrica, es la raíz enésima del producto de “n” cantidades:
M.G. =
3.
a1 a2 a3 ... an n
n a a 1 2
a3 an
Promedio Armónico (M.H.) o media armónica, es la inversa de la media aritmética de las inversas de “n” cantidades:
M.H. =
n 1 1 1 1 a1 a 2 a3 an
III. PROPIEDADES
Sólo para dos números: ab M.A.= 2 M.G. =
ab
M.A.
2ab M.H. = ab
M.G.
Para tres números a, b y c: M.A.=
2
M.G = M.A. M.H.
M.G. M.H.
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
10. De un número de niños “m”, el promedio de peso es “p” Kg, además uno de ellos pesa 3p/2 y otro pesa p/2. ¿Cuál es el promedio de peso de los niños restantes?
4.
El promedio de 6 números es 82. Si consideramos un séptimo número, el promedio aumenta en 18. ¿Cuál es el número agregado? A) 200 B) 210 C) 208 D) 205 E) 209
11. Un padre tiene el triple y el cuádruplo de las respectivas edades de sus hijos y su esposa tiene tantos como sus dos hijos. Si el promedio de edades de esta familia es 39 años. ¿Qué edad tenía la esposa cuando tuvo a su primogénito?
5.
¿Cuál es el valor de uno de 10 números si su promedio es “m + n” y el promedio de 8 de ellos es “3n” y uno de los restantes es “m”? A) 9m – 10n C) 9m – 14n E) 14m + 9n B) 9n – 12m D) 8n – 9m
12. Cinco personas caminaron en promedio 1000 Km cada una. Si dos de ellos caminaron 800 Km en promedio. Si las restantes no se detuvieron antes de recorrer 900 Km. ¿Cuánto habrá recorrido como máximo una de las personas?
6.
En una clase hay: “p” personas con nota 15 “x” personas con nota 10 “q” personas con nota 12 Si el promedio es 13, hallar “x”. A) (2p – q)/3 C) (3p – q)/3 B) (q – p)/3 D) (2p + q)/3
13. Si la edad promedio del 25% de un grupo de personas es 36 años: ¿Cuál es la edad promedio de las restantes, si la edad promedio de todos es 42 años?
7.
14. La nota promedio de un examen es de 15,4. ¿Cuál será el nuevo promedio, de aumentar 2 puntos al tercio superior y 1 al tercio central? 15. Luego de rendir un examen, David obtuvo más del promedio y Augusto menos del promedio. Si a las notas de ambos se les resta la tercera parte de la menor de ellas, entonces la diferencia mayor es 3 veces la diferencia menor. ¿Cuál es el promedio de las 2 notas, si sólo uno de ellos aprobó? ( las notas son números enteros de 0 a 20 )
Hallar el promedio de: M, M, M, ............, M “N” veces A) NM (M + N) N M B) M + N C) 2NM / (M + N)
;
E) (q + p) / 3
N, N, N,............, N “M” veces D) (M + N) / (2NM) E) N.A.
8.
Sean x, y, x+y: el promedio de estos 3 números es “y”, hallar el valor de “x” en función de “y”. A) y B) 2y C) y+2 D) y-2 E) y/2
9.
Calcular la media aritmética de dos números cuya media geométrica es 3 y cuya media armónica es 1,8. A) 1 B) 2 C) 2 D) 4 E) 5
10. La media aritmética de 5 números pares consecutivos es 22. Hallar el menor número. A) 10 B) 11 C) 18 D) 20 E) 24 1.
2.
3.
El promedio de 15; 40; N y 16 es 24. Hallar: N A) 20 B) 26 C) 21 D) 28 E) 25
11. El promedio de A y 10 es 19; el promedio de B y 10 es 15 y el promedio de A, B y C es 21 1/3. Hallar el promedio de A, B, 22, 24 y C. A) 20 B) 22 C) 24 D) 28 E) 18
En una clase de 30 alumnos, el promedio de las estaturas de los hombres es 1,70 m y el de las mujeres 1,60 m mientras que el promedio total es 1,63 m. Averiguar el número de hombres. A) 20 B) 10 C) 15 D) 25 E) 9
12. El promedio de “x” números es 48. Si se le agrega un nuevo número y el promedio no se altera,¿cuál es el nuevo número? A) 0 B) 1 C) 24 D) 48 E) 96
En un grupo de 30 personas, el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es 28. Si el promedio de los 10 mayores es 45 y el de los 10 menores es 22. ¿Cuál es la edad promedio de los restantes? A) 28 B) 32 C) 35 D) 38 E) 40
13. En una clase por cada 18 hay dos 15. ¿Cuál es el promedio de la clase? A) 15,5 B) 16 C) 16,25 D) 15,6 E) 17
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Conteo de Números
14. El promedio de las edades de 5 personas es 48. Si ninguna de ellas es mayor de 50 años, ¿cuál será la mínima edad de una de ellas? A) 35 B) 38 C) 40 D) 42 E) 50
23. Leonardo destinó 900 pesos de sus ingresos mensuales en comprar dólares. Si durante 4 meses el costo del dólar fue 6; 7,2; 9 y 10 pesos. Calcular el costo promedio del dólar durante aquel periodo. (aproximar al centésimo) A) 7,74 B) 8,05 C) 8,01 D) 7,79 E) 8,50
15. De un grupo de 31 chicas, ninguna de ellas es menor de 10 años. ¿Cuál será la máxima edad que una de ellas pueda tener, para que el promedio sea 11 años? A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43
24. El promedio de 51 números enteros y consecutivos es 75. Hallar la pareja de consecutivos que deben retirarse para que el promedio sea 74. A) 99 y 100 C) 90 y 91 E) 74 y 75 B) 98 y 99 D) 101 y 102
16. En un salón de 20 alumnos, la nota promedio es 14 en Literatura; en el mismo curso la nota promedio para un aula de 30 alumnos es 11. ¿Cuál será la nota promedio, si se juntan los 50 alumnos? A) 12 B) 12,2 C) 12,4 D) 12,8 E) 13 17. Según el cuadro: # alumnos por aula Nota promedio
10 12
10 14
15 10
5 20
5 18
25. La media aritmética de 3 números es 7, la media geométrica de los mismos es uno de ellos y su media armónica es 36 / 7. Hallar el mayor de los números. A) 15 B) 12 C) 18 D) 14 E) 10 26. Sabiendo que: M.A. (a, b) / M.G. (a, b) = 13/12, calcular la diferencia de los números. A) 5 B) 1 C) 8 D) 3 E) 4
3 X
Calcular la nota promedio del salón que se quedó con 3 alumnos sabiendo que la nota promedio de las 6 aulas es 13. A) 8 B) 6 C) 12 D) 10 E) 11
27. La media geométrica de 3 números es 10 y su media armónica es 300/39. Si uno de ellos es 25, hallar la media aritmética de los otros dos. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
18. Si a 5 números se le agregan los números 20 y 30 se observa que su promedio aritmético aumenta en 4 unidades. Hallar el promedio de los 7 números. A) 11 B) 16 C) 19 D) 20 E) 15
28. Un quinto de los carros que produce una fábrica cuesta $4000 cada uno y el resto cuestan $8000 cada uno. ¿Cuál es el precio promedio de un carro en $? A) 5000 B) 6000 C) 6400 D) 7200 E) 7600
19. El promedio aritmético de un conjunto de números consecutivos es 379. ¿Cuánto será el promedio aritmético de los consecutivos a cada uno de los números del primer conjunto? A) 380 C) 379,5 E) 360 B) 381 D) 360,5
29. En un salón 1/4 de los alumnos tienen 16 años, 2/5 del resto 14 años y los 27 restantes tienen 12 años. Si entran 3 alumnos cuya suma de edades es 66, ¿cuál es el promedio de edad del alumnado? A) 15 B) 14 C) 13 D) 13,5 E) N.A. 30. La media geométrica de dos números es 8 y la diferencia entre su M.A. y su M.H. es 18/5. Luego la diferencia entre su M.A. y su M.G. es: A) 8 B) 1 C) 6 D) 4 E) 2
20. Si a un grupo de 5 números le agregamos los números 10, 12 y 18 se observa que su promedio aritmético disminuye en 4 unidades. Determinar el promedio aritmético del nuevo grupo de números. A) 24 B) 20 C) 35 D) 25 E) 19
31. Si la M.A. de dos números enteros es a la M.H. de los mismos como 25 es a 1, hallar el menor par de ellos que satisface esta relación, indicando su diferencia. A) 8 B) 5 C) 2 D) 6 E) 4
21. El promedio de 50 números es 30; si se retiran 5 números cuyo promedio es 48. ¿En cuanto varia el promedio? A) 1 B) 6 C) 9 D) 2 E) 5
32. El promedio de 30 números consecutivos es 62,5 y el promedio de otros 20 números consecutivos es 81,5. ¿Cuál es el promedio de los 10 mayores del primer grupo y los 10 mayores del segundo grupo? A) 79,6 B) 80,1 C) 78,9 D) 79,2 E) 79,5
22. Si el promedio de 45 números pares consecutivos es 54. ¿Cuál es el promedio de los 45 siguientes números pares? A) 108 B) 90 C) 144 D) 200 E) 140
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Conteo de Números
33. La diferencia de dos números es 7, y la suma de su media aritmética y su media geométrica es 24,5. Hallar la diferencia entre su media aritmética y su media geométrica. A) 2 B) 3,5 C) 4 D) 1 E) 0,5 34. Sea "a" el promedio de 11 números consecutivos y "b" el promedio de los 11 siguientes consecutivos. Si a + b = 101, entonces la suma de los dígitos del número menor es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 35. El promedio de 15 números enteros y distintos es 20. Si se aumenta 1 al primero, 2 al segundo, 3 el tercero, ..... y así sucesivamente, entonces el nuevo promedio: A) No varia B) Aumenta en 16 C) Aumenta en 8 D) Disminuye en 4 E) Aumenta en 12 36. Los 800 alumnos de un colegio tienen una edad promedio de 18,5 años. Si la edad promedio de las 500 mujeres es 17 años, ¿cuál es la edad promedio de los hombres? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23. 37. El promedio de 5 números es 42. Si uno de ellos se aumenta en 2. ¿En cuánto se debe disminuir cada uno de los restantes para que el promedio final sea 40? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 38. Sean A y B dos números enteros diferentes, si su media aritmética con su media armónica originan un producto igual al doble de su media geométrica. ¿Cuál es el valor de la media aritmética de A y B? A) 1,8 B) 1,5 C) 2 D) 2,4 E) 2,5 39. La nota promedio de un examen es “p”. ¿Cuál será el nuevo promedio, de aumentar 2 puntos al tercio superior, 1 al tercio central y restar 1 al tercio inferior? A) p + 1/2 C) p + 2 E) (p+1)/3 B) 3p/2 D) p + 2/3 40. Un vehículo se desplaza 100 Km a 40 km/h y avanza 140 Km más a 35 km/h. ¿Qué velocidad promedio empleo en todo el recorrido? A) 38 km/h C) 37,5 E) 38,55 B) 36,92 D) 39,61
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Conteo de Números
