Ing. Eddy Martinez M.
E.D. LIN DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIAL DIFERENCIALES ES LINEALES LINEALES DE SEGUND SEGUNDO O ORDEN ORDEN CON COEFICIENTES COEFICIENTES CONSTANTES CONSTANTES HOMOGÉ HOMOGÉNEAS NEAS Y NO HOMOGE HOMOGENEA NEAS S
ECUACIONES HOMOGÉNEAS HOMOGÉNEAS
La ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes p y q es de la forma: y p y q y 0 (1) Donde: Se llama ECUACIÓN CARACTERÍSTICA de donde se k 2 pk q 0 obtien obtienen en sus raíces raíces que son k1 y k 2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACION HOMOGÉNEA
Si k1 y k2 son las raíces de la ecuación característica k k 2
pk q 0
La Forma de la solución de la ecuación (1) depende de la naturaleza de las raíces de su ecuación característica para esto se tiene tres casos esto es:
I)
y C1ek1x
C 2 ek2x
II )
y
III )
y e x C1 cos x C 2 sin x
ekx C1 xC2
Cuadro Cuadro 1
k1 k 2 ( son reales) k1 k 2 k k1 i y k 2 i
DEMOSTRACIONES
Sabemos que la solución de la Edo lineal de primer orden
dy ky dx
0
es:
y Cek x Este Este crit criter erio io se apli aplica ca para para anal analiz izar ar la form forma a de la solu solució ción n de una una Edo Edo li line neal al de segundo orden
Muestre para la EDO
y p y q y 0
las tres formas formas de solución solución que tiene
según la natural naturaleza eza de las raíces raíces de su ecuación ecuación característ característica ica CASO I LAS RAICES RAICES SON REALES REALES Y DISTINTAS Sea la solución solución de la edo del tipo homogéneo homogéneo
y
C1y1 C 2 y 2
C1 , C 2 , 105
1
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El polinomio característico de la edo es:
k 2 Luego si p
2
kp q 0
4q 0
k1,2
p p2 4q 2
las raíces son reales y distintas. Entonces un conjunto k1x
fundamental de solución es: y 1 , y 2 e
y
, ek 2 x
luego con esto en
C1ek1x C 2ek 2 x
1 se tiene:
AQD
CASO II LAS RAICES SON REALES E IGUALES Luego si p 2
k1,2
p 2
4q 0
k
las raíces son reales e iguales.
p 2
Sea la solución de la edo del tipo homogéneo : y
C1y1 C 2 y 2
C1 , C 2 ,
Entonces un conjunto fundamental de solución es:
y1
ekx
Luego para y 2 se tiene:
y2
y1
y2
ekx
Pxdx e
y12
dx
dx
y1 , y 2 ekx , x ekx
y2
y2
kx
e
e2kx
dx
y2
kx
e
e px dx p 2 x e 2
xekx
luego con esto en
y
pdx e
1 se tiene:
ekx C1 xC2
AQD
CASO III LAS RAICES SON COMPLEJAS Y CONJUGADAS Sea la solución de la edo del tipo homogéneo
y
Luego si p 2
4q 0
Ay1 By 2
A , B,
1
las raíces son complejas y conjugadas. Esto es:
k1,2
i
ix , e ix Entonces un conjunto fundamental de solución es: y 1 , y 2 e
y1 , y 2
exe ix , exeix
106
o
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i El número e Euler:
se puede expresar en su forma cartesiana mediante la identidad de
ei
cos i sin
y
e i
cos i sin
x x Luego y 1 , y 2 e cos x i sin x, e cos x i sin x Luego con esto en
y
1 se tiene:
Aex cosx i sin x Bex cosx i sin x y y
A , B,
ex A Bcosx A Bi sin x
ex C1 cosx C 2 sin x
C1 , C 2 , AQD
Ejemplos 1) Hallar la solución general de la ecuación homogénea y 7y 6y 0
Escribimos la ecuación característica k 2 7k 6 0 Las raíces de esta ecuación son: k1 6 ; k2 1 las raíces son reales y distintas luego aplicamos I) del cuadro 1 esto es: y C1e 6 x C2e x 2) Hallar la solución general de la ecuación homogénea y 8y 16y 0
Escribimos la ecuación característica k 2 8k 16 0 Las raíces de esta ecuación son: k1 k2 4 las raíces son reales e iguales luego aplicamos II) del cuadro 1 esto es: y e 4x C1 C2 x 3) Hallar la solución general de la ecuación homogénea y 4y 13y 0
Escribimos la ecuación característica k 2 4k 13 0 Las raíces de esta ecuación son: k1 2 3i ; k2 2 3i las raíces son complejas y conjugadas luego aplicamos III) del cuadro 1esto es: y e 2 x C1 cos 3x C 2 sin 3x
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ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS
La ecuación lineal No Homogénea de segundo orden con coeficientes constantes p y q es de la forma: y p y q y f x
(2)
y yH y P
(3)
Su solución general es:
donde: yH= es la solución homogénea o la solución complementaria de la parte homogénea (primer miembro de (2) yP= es la solución particular (segundo miembro de (2) Se considera los siguientes métodos para resolver una Edo lineal de segundo orden con coeficientes constantes del tipo no homogéneo A) B)
Método de coeficientes indeterminados Método de variación de constantes arbitrarias o variación de parámetros
MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Sea la forma de la ecuación de segundo orden con coeficientes constantes: y py q f x
La solución de esta ecuación consiste en conjeturar una solución llamada particular yp que es una forma generalizada de f(x) Luego la solución general es: y yH y P
El siguiente cuadro 2 muestra las formas que debe tomar y P efectuando un análisis de las raíces de la ecuación característica luego definir la forma que tomará su solución particular y P
108
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CUADRO 2
FORMA DE f(x)
1
2
3
4
f x a 0 x n a1x n 1 .... a n
f x Pn x e x R
f x Pn x cos x Qm x sin x
f x e x Pn x cos x Qm x sin x
RAICES DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO 1.- “0” no es raíz de la ecuación característica 2.- “0” es raíz de la ecuación característica de mutiplicidad S 1.- " " no es raíz de la ecuación característica 2.- " " es raíz de la ecuación característica de multiplicidad S 1.- " i " no es raíz de la ecuación característica 2.- " i " es raíz de la ecuación característica de multiplicidad S 1.- " a i" no son raíces de la ecuación característica 2.- " a i" son raíces de la ecuación característica de multiplicidad S
109
FORMA DE yp
y p A0 x n A1x n 1 ..... A n y p x s ( A0 x n A1x n 1 ..... A n )
y p e x A0 x n ....... A n
y p x s e x A0 x n ....... A n
y p Pk x cos x Qk x sin x
k=max(m,n) y p x s Pk x cos x Qk x sin x
k=max(m,n) y p e x Pk x cos x Qk x sin x
k=max(m,n) y p x s e x Pk x cos x Qk x sin x
k=max(m,n)
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Ejemplos más frecuentes de la forma de la solución particular basado en la forma de f(x) y en el criterio de las raíces de la ecuación característica Sea la forma de la ecuación y py q f x CUADRO 3
RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 1
k1 1 ; k 2 2
2
y H C1e x C 2 e 2x k1 0 ; k 2 0
FORMA DE f(x) f x ax 2 bx c
y H C1 C 2 x
f x 2x 2 3x
3
k1 1 ; k 2 2
f x e x 3x 1
4
y H C1e x C 2 e 2x k1 1 ; k 2 2 y C e x C e 2x
f x e x 3x 1
H
5
6
1
2
k1 2 ; k 2 2 y H C1e 2 x C 2 xe 2 x k1 3i ; k 2 3i y H C1e x cos 3x C 2 e x sin 3x
f x e 2x 3x 1
f x 5 sin 2x 3 cos 2x
FORMA DE yp y p Ax 2 Bx C y p x 2 Ax 2 Bx C
y p
s=2 por que 0 es de multiplicidad dos e x Ax B
y p xe x Ax B
s=1 por que -1 es parte de f(x) y p x 2 e x Ax B s=2 por que -2 es de multiplicidad dos y p A sin 2x B cos 2x
y H C1 cos 3 x C 2 sin 3x
7
k1 2i ; k 2 2i y H C1e x cos 2x C 2 e x sin 2x
f x 5 sin 2x 3 cos 2x
y H C1 cos 2 x C 2 sin 2x
8
k1 4 5 i ; k 2 4 5i y H C1e 4 x cos 5 x C 2 e 4 x sin 5 x
9
k1 2 3i ; k 2 2 3i y H C1e 2 x cos 3x C 2 e 2 x sin 3x
y p x A sin 2x B cos 2x
s=1 por que las raíces de la ec característica son parte de f(x)
f x e 2 x 2 sin 3x 5 sin 3x y p e 2 x A sin 2x B cos 2x
f x e 2x 2 sin 3x 5 sin 3x
110
y p xe 2 x A sin 3x B cos 3x
s=1 por que la raíz -2 de la ec característica es parte de f(x)
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Nota: el método de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones donde f(x) tiene la forma:
lnx; 1/x ; tanx ; arcsinx y otras formas similares para las cuales se tiene el método de variación de constantes arbitrarias
Ejemplos 1) Resolver:
1º]
7 y y 14 x
Hallamos la solución de la parte homogénea:
k1 0 Ecuación característica 7k k 0 k7k 1 0 1 k2 7 2
1
Con estos valores la solución de la parte homogénea es: 2º]
y H C1 C 2 e 7
x
Hallamos la solución particular para ello f(x)=14x:
Como k1 0 es solución de la ec característica y de multiplicidad s=1 aplicamos en el cuadro 2 – 1.2 Así la forma de la solución particular: y p x Ax B es decir y p Ax 2 Bx Derivamos por primera y segunda vez luego sustituimos en la ecuación diferencial dada yP 2 Ax B
2 A yP 14 A 2 Ax B 14 x
Igualamos coeficientes y hallamos los valores de A y B 2 A 14 A 7 14 A B 0 B 98
sustituimos estos valores en ; así la solución particular es: y P 7 x 2 98x
Finalmente la solución general es: Sustituimos valores
y yH yP
y C1 C2
2) Resolver la Edo: y '' 3y ' 2y 4x2 111
1 x e7
7 x 2 98x
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Solución
1º]
Determinamos la solución homogénea o complementaria:
Ecuación característica: k 2 3k 2 0
k 1 k 2 0
k1 1 k 2 2
Con estos valores la solución homogénea o complementaria es: yH
C1ex C2e2x Hallamos la solución particular para ello f x 4x2
2º]
La forma de la solución particular es: yp
Ax2 Bx C
1
Derivamos por primera y segunda vez luego sustituimos en la ecuación diferencial dada
Ax2 Bx C y 'p 2Ax B y ''p 2A
yp
Sustituimos estos valores en la Edo:
2A 3 2Ax B 2 Ax2
Bx C 4x2
2Ax2
6A 2B x 2A 3B 2C 4x2 2A 4 6A 2B 0 A 2 ; B 6 ; C 7 2A 3B 2C 0
Se sustituye este valor en 1 y se tiene la solución particular:
yp
2x2 6x 7
Luego la solución general es: y yH yp y C1e x
3) Resolver
1º]
C2e2x 2x2 6x 7
R
y" - 5 y' + 6 y = ex
Hallamos la solución de la parte homogénea:
Ecuación característica
k1 2 k 2 5k 6 0 k 3k 2 0 k2 3
Con estos valores la solución de la parte homogénea es:
112
y H C1e 2 x C 2e 3x
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2º] Hallamos la solución particular para ello f(x)=e x Como k1 y k2 no forma parte de f(x) aplicamos en el cuadro 2 – 2.1 Así la forma de la solución particular: y p e x A y p Ae x es decir Derivamos por primera y segunda vez luego sustituimos en la ecuación diferencial dada yp = A e x yp'= A ex yp"= A ex Reemplazando en la ecuación: A ex - 5 A e x + 6 A e x = ex
Dividiendo todo por ex: A - 5A + 6 A = 1 A=
1 2
sustituimos este valor en obtenemos
Luego la solución general es:
y = C1 e2x + C2 e3x +
yP
1 x e 2
1 x e 2
4) Resolver
1º]
Hallamos la solución de la parte homogénea:
Ecuación característica
k1 2 k 2 5k 6 0 k 3k 2 0 k2 3
Con estos valores la solución de la parte homogénea es: yH C1e 2x C2e 3x Como k1 y k2 no forma parte de f(x) aplicamos en el cuadro 2 – 3.1 Así la forma de la solución particular: y p A sin x B cos x
derivamos por primera y segunda vez luego sustituimos en la ecuación diferencial dada A cos x B sin x y p Sustituimos estos valores en la ec dif dada A sin x B cos x y p
A sin x B cos x 5 A cos x B sin x 6 A sin x B cos x sin x
Agrupando con los términos de seno y coseno se tiene: 5 A 5B sin x 5 A 5B cos x sin x 5 A 5B 1
Igualando los coeficientes se tiene el sistema 5 A 5B 0
113
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1 1 y B 10 10
Resolviendo el sistema A y p
1 sin x cos x 10
y así la solución general es:
y C1e 2 x C 2e 3x +
5)
Resolver
con estos valores en se tiene:
1 sin x cos x 10
y 3y x 2
k1 i 4 3 k 30 k 3 k2 i 4 3 yh C1 cos 4 3 x C2 sin 4 3 x 2
y p ax 2 bx c
1 Sustituimos valores en la ecuación diferencial
y 2ax b y 2a
2a 3 ax 2
bx c x 2
3a 1 3b 0 2a 3c 0
la solución es:
a
1 3
;
b 0;
c
2 3
sustituimos estos valores en 1 y p
1 3
x2
2 3
Solución general
y yh y p
y C1 cos 4 3 x C2 sin 4 3 x
6) Resolver
y 2y 3y
1 x e 2
Solución homogénea
k1 1 k 2 2k 3 0 k2 3 yh c1e x c 2e 3 x 114
1 3
x2
2 3
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Solución Particular La solución particular tiene la forma: Multiplicidad s=1 luego y p ax s e x
y p axe x
1 derivamos
ae x axe x y p ae x ae x axe x y p
2ae x axe x y p
Sustituimos valores en la ecuación diferencial planteada
2ae x axe x 2 ae x axe x 3axe x 4ae x
1 x e 2
de donde
a
Simplificamos
1 sustituimos este valor en 8
y p
1 x xe 8
la solución general es: y yh y p
Luego
y c1e x c 2e 3 x
7) Resolver
1 x e 2
1 x xe 8
y y 2x 3 e x 1
Solución homogénea
k1 1 k2 1 0 k2 1 yh c1e x c 2e x
Solución Particular
Desglosamos la E.D.O por el método de superposición como: Para y p1 como y y 2x 3 1 (1) Para y p 2 como y y e x
(2)
Luego la solución particular total es: y p y p1 y p2 Resolvemos para y p1
115
1
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y p1 Ax 3 Bx 2 Cx D
Donde: y p 1 3 Ax 2 2Bx C
sustituimos estos valores en (1)
1 6 Ax 2B y p 6 Ax 2B Ax 3
Bx 2 Cx D 2x 3 1 Igualando coeficientes se tiene el
siguiente sistema:
A 2 B 0 cuya solución es: A= -2 B=0 C= -12 y D=-1 6 0 A C 2B D 1 y p1 2 x 3 12x 1
luego
Resolvemos para y p2 y p 2 Axe x
2 Ae x Axe x y p
Sustituimos estos valores en (2)
2 Ae x Ae x Axe x y p 2 A xe x Axe x e x y p2
Así
Luego A
1 2
1 x xe 2
Luego la solución particular total es: y p y p1 y p2 y p 2x 3 12x 1
1 x xe 2
La solución general es: y yh y p esto es: y c1e x c 2e x 2x 3 12x 1
8)
y 4y 4y xe x sin x
Solución homogénea
Resolver
1 x xe 2
k2
2 0 k1 k2 2
yh c1e 2 x c 2 xe 2 x
Solución Particular
Desglosamos la E.D.O por el método de superposición como: Para y p1 como y 4y 4y
xe x
(1)
116
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Para y p 2 como y 4y 4y
sin x
(2)
y p1 y p 2
Luego la solución particular total es: y p Resolvemos para y p1
y p1 e x ax b
1 Donde: y p
e x ax b ae x
sustituimos estos valores en (1)
1 e x ax b ae x e x y p e x ax b ae x e x 4e x ax b 4ae x 4e x ax b xe x
igualando coeficientes se
tiene el siguiente sistema:
9a 1 6a 9b 0 Luego
a
Cuya solución es:
1 ; 9
b
2 27
1 x 2 27 9
y p1 e x
Resolvemos para y p 2
y p 2 A cosx B sin x
2 A sin x B cosx y p
Sustituimos estos valores en (2)
2 A cosx B sin x y p A cosx B sin x 4 A sin x 4 B cosx 4 A cosx 4B sin x sin x
4B 3 A cos x 4 A 3B sin x sin x igualamos coeficientes se tiene el sistema
3 A 4B 0 4 A 3B 1 Luego
y p 2
cuya solución es: a
4 3 ; b 25 25
4 3 cosx sin x 25 25
Así la solución particular total es: y p
y p1 y p 2
1 x 2 4 cosx 3 sin x 27 25 25 9
y p e x
La solución general es: y
yh y p
esto es:
1 x 2 4 cosx 3 sin x 27 25 25 9
y c1e 2 x c 2 xe 2 x e x
117
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E.D. LIN DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES
E.D.O.S. DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS EJERCICIOS PROPUESTOS RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICINETES CONSTANTES DEL TIPO HOMOGÉNEO
1] y 5 y 6 y 0
R. y C 1e 3 x
C 2 e 2 x
2] y 9 y 0
R. y C 1e 3 x
C 2 e 3 x
3] y y 0 4] y y 0
R. y C 1 C 2 e x
5] y 2 y 2 y 0
R . y
6] y 4 y 13 0 7] y 2 y y 0
R . y e 2 x C 1 cos 3 x C 2 sin 3 x R. y e x C C x
8] y 4 y 2 y 0
R . y
R. y C 1 cos x C 2 sin x
e x C 1 cos x C 2 sin x 1
2
e 2 x C 1e x R. y e 2 C 1e
9] y y y
2 x
C 2 e
2 x
5 5 x x 2 C 2 e 2
RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES DEL TIPO HOMOGÉNEO PARA LAS CONDICIONES INDICADAS R . y e 4 x 4 e x R . y e x
10] y 5 y 4 y 0 para y 5; y 8; x 0 11] y 3 y 2 y 0 para y 1; y 1; x 0 12] y 4 y 0 para y 0; y 2; x 0 13] y 2 y 0 para y 1; y 0 ; x 0 14] y 15]
y
a2 y 3 y 0
R. y sin 2 x R . y 1
para y a ; y 0 ; x 0
R . y
a cosh
para y 0 ; x 0 ;
R . y
0
y 0; x 3
x a
RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES DEL TIPO NO HOMOGÉNEO APLICANDO EL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
16] y 4 y 4 y x 2
R. y x
3
17] y y y x 6
R . y
1
1
3
4
2
8
e 2 x C 1 C 2 x x 2 x
3 3 e 2 C 1 cos x C 2 sin x x 3 3 x 2 6 2 2 118
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18] y 2 y y e 2 x
R. y
1
e x C 1 C 2 x e 2 x 9
R . y C 1e 2 x
19] y 8 y 7 y 14
R. y C 1e x
20] y y e x
22] y y 2 y 8 sin 2 x
2
x 3 x xe x 1 R. y C 1e C 2 e 5 2 2 1 R . y e x C 1 cos 2 x C 2 sin 2 x xe x sin 2 x 4 1 1 1 R. y C 1 C 2 e 2 x x x 2 x 3 4 4 6
23] y y 6 y xe 2 x
2 x
24] y 2 y 5 y e x cos 2 x 25] y 2 y x 2 1 26] y 2 y y 2e x
R. y e x C 1 C 2 x x 2 e x
27] y 2 y e 2 x 5
R. y C 1 C 2 e 2 x
29] y y 5 x 2e x
1
C 2 e x xe x
1 R. y C 1 cos x C 2 sin x x sin x 2 2 R . y C 1e x C 2 e 2 x 3 sin 2 x cos 2 x 5
21] y y cos x
28] y 2 y 8 y e x 8 cos 2 x
C 2 e x 2
1
5
xe 2 x x
2 2 1 1 1 R. y C 1e 2 x C 2 e 4 x e x cos 2 x sin 2 x 9 2 6 5 R. y C 1 C 2 e x e x x 2 5 x 2 x
30] 7 y y 14 x
R. y C 1 C 2 e 7 7 x 2
31] y 3 y 2 y xe x 32] y 2m y m 2 y sin nx
98 x 1 R. y C 1e 2 x C 2 e x e x x 2 x 2 2 mn cos x m 2 n 2 sin x mx R. y e C 1 C 2 x m 2 n 2 2 R. y C 1 C 2 e 8 x
33] y 8 y 8 x 34] y 4 y sin x
para y 0 y 0 1
R. y cos 2 x
35] y 4 y 4 sin 2 x cos 2 x para y y 2 36] y y e x sin x
R. y
1 3
1
1
2
8
x 2 x
sin 2 x sin x
1 R. y 3 cos 2 x sin 2 x x sin 2 x cos 2 x 2
1
C 1 C 2 e x e x cos x sin x 2
37] y 4 y 5 y 2 x 2 e x para y 0 2; y0 3 R. y
119
e 2 x cos x 2 sin x x 12 e x
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38] y 9 y 6 e 3 x para y0 y0 0 39] y 6 y 13y 60 cos x 26 40] y y x 2 sin x
R.
1
1
3
3
cos 3 x sin 3 x e 3 x
R. y e 3 x C1 cos 2x C 2 sin 2x 4 cos x 2 sin x 2
R. y C1 cos x C 2 sin x x 2 2 0 ,5x cos x
1 x 2 9 x 25 10 4 1 2 cos x 42] y 9y 2x 2 cos x R.y C1e 3 x C 2e 3 x x 2 81 10 9 1 43] y 4y 3y 15e 2x e x R.y C1e 3 x C 2e x e 2 x xe x 2 44] y 3y 2y 2x 2 1 para y0 1; y0 2 R. y 2e 2x e x x 2 3x 4
41] y 7 y 6y x 2 e x
R.y C1e x C 2 e 6 x e x
45] y 4y 5y 2e 2x sin x cos x
para y 0 1; y0 2 R. y e 2 x 1 x cos x 1 x sin x
46] y
3y
x2
R. y C1 cos4 3 x C2 sin 4 3 x
47] y 16 y sin x cos x 48] y 2y 3y
R. y c1 cos4 x c 2 sin 4 x
1 x e 2
R. y c1e x c 2 e 3x
49] y y 2x 3 e x 1
1 3
x2
2 3
1 cos2x 24
1 x xe 8
R. y c1e x c 2 e x 2x 3 12x 1
1 x xe 2
50] y 4y 4y xe x sin x 1 x 2 4 cosx 3 sin x 27 25 25 9
R. y c1e 2x c 2 xe 2 x e x
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