Descripción: Resumen del Capítulo 3 del Grossman de álgebra lineal
Descripción: algebre lineal ejercicios resueltos tema 2
algebre lineal ejercicios resueltos tema 2
fgdfgd ghghDescripción completa
mate
Definicion de centro de interpretaciónDescripción completa
Una Superficie en r3Descripción completa
Folleto elaborado por Moisés Villena Muñoz, profesor de la Escuela Superior Politécnica del Litoral ESPOL (Guayaquil-Ecuador)Descripción completa
Descripción: Folleto elaborado por Moisés Villena Muñoz, profesor de la Escuela Superior Politécnica del Litoral ESPOL (Guayaquil-Ecuador)
Folleto elaborado por Moisés Villena Muñoz, profesor de la Escuela Superior Politécnica del Litoral ESPOL (Guayaquil-Ecuador)
Folleto elaborado por Moisés Villena Muñoz, profesor de la Escuela Superior Politécnica del Litoral ESPOL (Guayaquil-Ecuador)Descripción completa
Defnición de un Vector en R 2, R3 (interpretación geométrica) y su Generalización en R n Material de apoyo UNIDAD I
NOMBRE Vectores
TEMAS
1.1 Definición de un Vector en R2, R3 (interpretación geométrica) y su Generaliación en Rn
Representación de las operaciones en R2 y R3. Dirección de los vectores 1.- La dirección de un vector es el ángulo medido en radianes ue !orma el vector con el e"e #ositivo de las El ángulo se #uede medir $aciendo #ero es im#ortante locali%ar el vector #uesto ue da valores entre mientras ue el ángulo 'uscado estará entre &
Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector ( sin em'argo el vector está en el segundo cuadrante( #or lo tanto el ángulo será de
&
REPRESEN!"#$N %E&M'R#"! DE( PR&D)"& P&R ES"!(!R. La multi#licación de un vector #or un escalar
)er la animación* )er la animación* )er la animación* Si el vector conserva su dirección( si el vector o'tenido tiene la dirección contraria*
REPRESEN!"#$N %E&M'R#"! DE (! S)M! * (! RES! DE +E"&RES. +ara vectores #osición la suma es el vector re#resentado #or la diagonal #rinci#al del #aralelogramo cu&os lados están con!ormados #or los vectores & * La resta o es el vector re#resentado #or la otra diagonal , al $acer el #unto !inal del vector es & el inicial - #or eso la !lec$a- si !uera el #unto !inal ser.a el de & el vector tendr.a la dirección o#uesta /
)er la animación*
2.- Sean #ositivos vector
)er la animación*
los ángulos ue !orma el vector con los e"es res#ectivamente* Estos son los ángulos directores del
0omo (
son los cosenos
directores*
Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 1 cu&os ángulos directores son con lo ue el vector es un vector unitario con la dirección descrita* 0omo se uiere ue el vector tenga magnitud el vector será
Ejemplo 3: Encontrar el vector cu&os ángulos directores sean 0omo cos no e2iste ning3n vector ue tenga esa dirección* Res#ecto a la suma & resta de vectores en los vectores resultantes son igual ue #ara la diagonal* +rinci#al del #aralelogramo #ara la suma & la otra diagonal con las mismas o'servaciones #ara la resta
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el es#acio* 0ada vector #osee unas caracter.sticas ue son4
Origen O tam'i5n denominado Punto de aplicación* Es el #unto e2acto so're el ue act3a el vector*
Módulo Es la longitud o tama6o del vector* +ara $allarla es #reciso conocer el origen & el e2tremo del vector- #ues #ara sa'er cuál es el módulo del vector- de'emos medir desde su origen $asta su e2tremo*
Dirección )iene dada #or la orientación en el es#acio de la recta ue lo contiene*
Sentido Se indica mediante una #unta de !lec$a situada en el e2tremo del vector- indicando $acia u5 lado de la l.nea de acción se dirige el vector* 7a& ue tener mu& en cuenta el sistema de re!erencia de los vectores- ue estará !ormado #or un origen & tres e"es #er#endiculares* Este sistema de re!erencia #ermite !i"ar la #osición de un #unto cualuiera con e2actitud* . Clasificación +odemos encontrar una serie de di!erentes ti#os de vectores*
Vectores Libres )ienen determinados #or sus tres com#onentes cartesianasue son sus #ro&ecciones so're los tres e"es de coordenadas de un sistema ortogonal ue se eligió como re!erencia* Este ti#o de vectores tiene la #ro#iedad de ue se #uede trasladar su origen a cualuier #unto del es#acio- manteniendo su módulo & su sentido constantes- & su dirección #aralela*
Vectores Deslizantes Estos vectores #ueden trasladar su origen a lo largo de su l.nea de acción & vienen determinados #or sus tres com#onentes cartesianas & #or su recta so#orte o l.nea de acción*
Vectores Fijos +ara determinarlos- es #reciso conocer sus cuatro elementos caracter.sticos mencionados antes4 módulo- dirección- sentido & #unto de a#licación*
Vectores Equipolentes Son vectores li'res ue tienen igual módulo- misma dirección & sentido* Sus rectas so#ortes son #aralelas o coincidentes* +or lo tanto- estos vectores tendrán las mismas com#onentes cartesianas*
Vectores Opuestos Son auellos vectores ue tienen la misma dirección & módulo- #ero sentidos o#uestos* Dos vectores A & B son o#uestos si tienen igual tama6o- igual dirección #ero sentido contrario* Es decir A B
,
A
- B
Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue #ara estar determinadas #recisan de un valor num5rico- una dirección- un sentido & un #unto de a#licación* Vector Un vector es la e2#resión ue #ro#orciona la medida de cualuier magnitud vectorial* +odemos considerarlo como un segmento orientado- en el ue ca'e distinguir4 • • • • •
Un origen o #unto de a#licación4 A* Un e2tremo4 B* Una dirección4 la de la recta ue lo contiene* Un sentido4 indicado #or la #unta de !lec$a en B* Un módulo- indicativo de la longitud del segmento AB*
Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo & la misma dirección*
+ectores i/0ales: Dos vectores
A &
B
son iguales si tienen igual
tama6o- dirección & sentido* Es decir4 A
, A
B
B
Vector libre Un vector li're ueda caracteri%ado #or su módulo- dirección & sentido* El vector li're es inde#endiente del lugar en el ue se encuentra*
Representación /rica de 0n vector. Un vector se re#resenta #or una l.nea orientada- la cual indica la dirección- & #or una !lec$a- la cual indica su sentido* La longitud de la l.nea es #ro#orcional a la magnitud del vector* Si deseamos re#resentar un vector A de magnitud 8 9:m; Norte 1<° Este4 N 30° A
1 [km]
ES"!(!:
O
E
S amao4 norma4 mód0lo o ma/nit0d de 0n vector: Si
A
re#resenta un vector- su tama6o- norma- módulo o magnitud se designa como4 =
Vectores unitarios y componentes de un vector 0ualuier vector #uede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores- cada uno de ellos en la dirección de uno de los e"es coordenados* r > r 2 ? r & ? r % Si consideramos a$ora so're cada e"e un vector- a#licado en el origen- cu&o sentido es #ositivo & cu&o módulo consideramos como unidad de longitudes- #odemos sustituir cada uno de los sumandos de la e2#resión anterior #or el #roducto de un escalar #or el corres#ondiente vector unidad* De ese modo-
Los escalares re#resentan #or4
& se denominan com#onentes del vector & se
Los vectores son los vectores unitarios & suelen re#resentarse res#ectivamente #or i4 j & 6. Tam'i5n #uede re#resentarse de la siguiente !orma4
Módulo de un Vector Un vector no solo nos da una dirección & un sentido- sino tam'i5n una magnitud- a esa magnitud se le denomina (ódulo* )r*fica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen & su e2tremo- & se re#resenta #or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es conveniente tomar las com#onentes so're tres direcciones mutuamente #er#endiculares O@- O & O ue !orman un sistema cartesiano tridimensional* Si tomamos tres vectores unitarios- i so're O@- j so're O & 6 so're O- entonces #odemos encontrar #untos a2- a&- a% so're O@O- O- res#ectivamente- tales ue4
& a#licando el teorema de +itágoras nos encontramos con ue el módulo de a es4
=a= > modulo del vector 0a > vector unitario de a Las #ro&ecciones de a so're los e"es 2- &- %- res#ectivamenteeuivalen a4
Si a#licamos la !ormula ,Basada en el teorema de +itágoras/4 Entonces4 de donde se deduce ue4 Se de'e $acer notar ue la #ro&ección de a en una dirección cualuiera ,#or e"em#lo4 a7/ es un escalar- mientras ue su com#onente en la misma dirección ,#or e"em#lo4 a7 8 i / es un vector * +ara un vector gen5rico a- los cosenos de los ángulos - & - ue !orma con los semie"es 2- &- %- res#ectivamente- se denominan cosenos directores de a.
9i5lio/raa: (i5ro: "lc0lo omo ## !0tor: Roland E. ;ostetler Ro5ert P. Editorial: %r0po Editorial #5eroamericano (i5ro: "lc0lo con %eometra !naltica !0tor: S