INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE NARANJOS
UNIDAD # 1: ‘’ALGEBRA DE VECTORES’’ MATERIA: ‘’CALCULO ‘’CALCULO VECTORIAL’’ VECTORIAL’’ TEMAS: 1.1: DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN R2 Y R3, Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. 1.2: INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES. 1.3: LA GEOMETRÍA GEOMETRÍA DE LAS OPERACIONES OPERACIONES VECTORIALES. VECTORIALES. EVIDENCIA: ‘’TRABAJO DE INVESTIGACIÓN’’ ALUMNO: DOCENTE: ING. LEANDRO JAVIER HERNÁNDEZ MACÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL 203 – B NARANJOS, NARANJOS, VER
4 DE SEPTIEMBRE SEPTIEMBRE DEL 2012
1.1.- DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN R2 Y R3, Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Representación de las operaciones en
y
. Dirección de los vectores
Definición 1: La dirección de un vector
es el ángulo medido en radianes que
forma el vector con el eje positivo de las El ángulo se puede medir haciendo da valores entre
y
pero es importante localizar el vector puesto que mientras que el ángulo buscado estará entre
y
Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector ; sin embargo el vector está en el segundo cuadrante; por lo tanto el ángulo
será de
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO POR ESCALAR. La multiplicación de un vector por un escalar
Ver la animación. Si
Ver la animación.
el vector conserva su dirección; si
Ver la animación. el vector obtenido tiene la dirección contraria.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES. Para vectores posición la suma
es el vector representado por la diagonal principal del
paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores el vector representado por la otra diagonal ( al hacer , por eso la flecha, si fuera opuesta )
y
. La resta
el punto final del vector es
el punto final sería el de
o
es
y el inicial
y el vector tendría la dirección
Ver la animación.
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Definición 2 : Sean positivos
los ángulos que forma el vector
con los ejes
respectivamente. Estos son los ángulos directores del vector
Como ;
son los cosenos directores.
Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 3 cuyos ángulos directores son con lo que el vector
es un vector unitario con la dirección descrita. Como se quiere que
el vector tenga magnitud el vector será
Ejemplo
3:
Encontrar
el
vector
cuyos
ángulos
directores
sean
Como cos no existe ningún vector que tenga esa dirección. Respecto a la suma y resta de vectores en los vectores resultantes son igual que para la diagonal. Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. . Clasificación Podemos encontrar una serie de diferentes tipos de vectores. Vectores Libres Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, que son sus proyecciones sobre los tres ejes de coordenadas de un sistema ortogonal que se eligió como referencia. Este tipo de vectores tiene la propiedad de que se puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, manteniendo su módulo y su sentido constantes, y su dirección paralela. Vectores Deslizantes Estos vectores pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Vectores Fijos Para determinarlos, es preciso conocer sus cuatro elementos característicos mencionados antes: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Vectores Equipolentes Son vectores libres que tienen igual módulo, misma dirección y sentido. Sus rectas soportes son paralelas o coincidentes. Por lo tanto, estos vectores tendrán las mismas componentes cartesianas.
Vectores Opuestos Son aquellos vectores que tienen la misma dirección y módulo, pero sentidos opuestos. Dos vectores A y B son opuestos si tienen igual tamaño, igual dirección pero sentido contrario. Es decir
A
( A = - B )
B
Magnitudes Vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe disti nguir: • • • • •
Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
Vectores iguales: Dos vectores A y
B son iguales si tienen igual tamaño, dirección y sentido.
Es decir:
A B
( A = B )
Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
Representación gráfica de un vector. Un vector se representa por una línea orientada, la cual indica la dirección, y por una flecha, la cual indica su sentido. La longitud de la línea es proporcional a la magnitud del vector. Si deseamos representar un vector A de magnitud 4 [km] Norte 30 ° Este:
N 30°
ESCALA:
1 [km]
A
O
E
S
Tamaño, norma, módulo o magnitud de un vector: Si A representa un vector, su tamaño, norma, módulo o magnitud se designa como: | A | = A. Descomposición en un Sistema de Ejes Cartesianos
a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i +(ay +by) j+(az+bz) k
Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. r = r x + r y + r z Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad. De ese modo,
Los escalares
,
y
Los vectores
se denominan componentes del vector y se representan por:
son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i,
j y k. También puede representarse de la siguiente forma:
Módulo de un Vector Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por: Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional. Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
Aplicación: coordenadas intrínsecas y cosenos directores
|a| = modulo del vector ua = vector unitario de a Las proyecciones de a sobre los ejes x, y, z, respectivamente, equivalen a:
Si aplicamos la formula (Basada en el teorema de Pitágoras):
Entonces: de donde se deduce que: Se debe hacer notar que la proyección de a en una dirección cualquiera (por ejemplo: ax) es un escalar, mientras que su componente en la misma dirección (por ejemplo: ax · i ) es un vector . Para un vector genérico a, los cosenos de los ángulos , y , que forma con los semiejes x, y, z, respectivamente, se denominan cosenos directores de a.
1.2.- INTRODUCCIÓN A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES Campo: Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una función unívoca de punto, se dice que este espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo. (fig.) Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar. Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial. En general tanto los campos escalares como los vectoriales s on función del punto y del tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estáticos o estacionarios. Los campos escalares se visualizan mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo:
T(x, y, z)=cte Cuando estas superficies se cortan por un plano se c onvierten en las llamadas curvas de n i v e l o i s o e s c a l a r e s , q u e s e g ú n l a m a g n i t u d f í s i c a q u e r e p r e s e n t a n r e c i b e n u n n o mb r e particular: las isotermas se definen por: T(x, y)=cte
Las isóbaras se definen por: P(x, y)=cte Los campos vectorial des de carácter vect citar el campo de De manera análoga a dice que un campo cuando la magnitud es función del tiempo, por ejemplo el gravitatori
es representan magnitu orial: Entre éstos cabe velocidades en un fluido: los campos escalares, se vectorial es estacionario característica del mismo no como o: g y el electrostático:
Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas. S e d i c e q u e e n u n a c i e r t a r e gi ó n d e l e s p a c i o h a y u n c a m p o d e f u e r z a s cu an do en to do punto de la misma hay una fuerza que toma un valor diferente par a ca da pun to y en ca da instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estáticos de fuerzas.
1.3.- LA GEOMETRÍA DE LAS OPERACIONES VECTORIALES Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. U=
U + V=
,
V= +
Resta de vectores
,
+
,
