45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn

Defnición de un Vector en R 2, R3 (interpretación geométrica) y su Generalización en R n Material de apoyo UNIDAD I

 

NOMBRE Vectores

TEMAS

1.1 Definición de un Vector en R2, R3 (interpretación geométrica) y su Generaliación en Rn

Representación de las operaciones en R2 y R3. Dirección de los vectores 1.- La dirección de un vector es el ángulo medido en radianes ue !orma el vector con el e"e #ositivo de las El ángulo se #uede medir $aciendo #ero es im#ortante locali%ar el vector #uesto ue da valores entre mientras ue el ángulo 'uscado estará entre &

Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector ( sin em'argo el vector está en el segundo cuadrante( #or lo tanto el ángulo será de

&

REPRESEN!"#$N %E&M'R#"! DE( PR&D)"& P&R ES"!(!R. La multi#licación de un vector #or un escalar

)er la animación* )er la animación* )er la animación* Si el vector conserva su dirección( si el vector o'tenido tiene la dirección contraria*

REPRESEN!"#$N %E&M'R#"! DE (! S)M! * (! RES! DE +E"&RES. +ara vectores #osición la suma es el vector re#resentado #or la diagonal #rinci#al del #aralelogramo cu&os lados están con!ormados #or los vectores & * La resta o es el vector re#resentado #or la otra diagonal , al $acer el #unto !inal del vector es & el inicial - #or eso la !lec$a- si !uera el #unto !inal ser.a el de & el vector tendr.a la dirección o#uesta /

)er la animación*

2.- Sean #ositivos vector

)er la animación*

los ángulos ue !orma el vector con los e"es res#ectivamente* Estos son los ángulos directores del

0omo (

son los cosenos

directores*

Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 1 cu&os ángulos directores son con lo ue el vector es un vector unitario con la dirección descrita* 0omo se uiere ue el vector tenga magnitud el vector será

Ejemplo 3: Encontrar el vector cu&os ángulos directores sean 0omo cos no e2iste ning3n vector ue tenga esa dirección* Res#ecto a la suma & resta de vectores en los vectores resultantes son igual ue #ara la diagonal* +rinci#al del #aralelogramo #ara la suma & la otra diagonal con las mismas o'servaciones #ara la resta

Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el es#acio* 0ada vector #osee unas caracter.sticas ue son4

Origen O tam'i5n denominado Punto de aplicación* Es el #unto e2acto so're el ue act3a el vector*

Módulo Es la longitud o tama6o del vector* +ara $allarla es #reciso conocer el origen & el e2tremo del vector- #ues #ara sa'er cuál es el módulo del vector- de'emos medir desde su origen $asta su e2tremo*

Dirección )iene dada #or la orientación en el es#acio de la recta ue lo contiene*

Sentido Se indica mediante una #unta de !lec$a situada en el e2tremo del vector- indicando $acia u5 lado de la l.nea de acción se dirige el vector* 7a& ue tener mu& en cuenta el sistema de re!erencia de los vectores- ue estará !ormado #or un origen & tres e"es #er#endiculares* Este sistema de re!erencia #ermite !i"ar la #osición de un #unto cualuiera con e2actitud* . Clasificación +odemos encontrar una serie de di!erentes ti#os de vectores*

Vectores Libres )ienen determinados #or sus tres com#onentes cartesianasue son sus #ro&ecciones so're los tres e"es de coordenadas de un sistema ortogonal ue se eligió como re!erencia* Este ti#o de vectores tiene la #ro#iedad de ue se #uede trasladar su origen a cualuier #unto del es#acio- manteniendo su módulo & su sentido constantes- & su dirección #aralela*

Vectores Deslizantes Estos vectores #ueden trasladar su origen a lo largo de su l.nea de acción & vienen determinados #or sus tres com#onentes cartesianas & #or su recta so#orte o l.nea de acción*

Vectores Fijos +ara determinarlos- es #reciso conocer sus cuatro elementos caracter.sticos mencionados antes4 módulo- dirección- sentido & #unto de a#licación*

Vectores Equipolentes Son vectores li'res ue tienen igual módulo- misma dirección & sentido* Sus rectas so#ortes son #aralelas o coincidentes* +or lo tanto- estos vectores tendrán las mismas com#onentes cartesianas*

Vectores Opuestos Son auellos vectores ue tienen la misma dirección & módulo- #ero sentidos o#uestos* Dos vectores  A &  B  son o#uestos si tienen igual tama6o- igual dirección #ero sentido contrario* Es decir   A  B

,

 A

  -  B  

Magnitudes Vectoriales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue #ara estar determinadas #recisan de un valor num5rico- una dirección- un sentido & un #unto de a#licación* Vector Un vector es la e2#resión ue #ro#orciona la medida de cualuier magnitud vectorial* +odemos considerarlo como un segmento orientado- en el ue ca'e distinguir4 • • • • •

Un origen o #unto de a#licación4 A* Un e2tremo4 B* Una dirección4 la de la recta ue lo contiene* Un sentido4 indicado #or la #unta de !lec$a en B* Un módulo- indicativo de la longitud del segmento  AB*

Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo & la misma dirección*

+ectores i/0ales: Dos vectores

 A &

 B

son iguales si tienen igual

tama6o- dirección & sentido* Es decir4  A

,  A  

 B

 B

 

Vector libre Un vector li're ueda caracteri%ado #or su módulo- dirección & sentido* El vector li're es inde#endiente del lugar en el ue se encuentra*

Representación /rica de 0n vector. Un vector se re#resenta #or una l.nea orientada- la cual indica la dirección- & #or una !lec$a- la cual indica su sentido* La longitud de la l.nea es #ro#orcional a la magnitud del vector* Si deseamos re#resentar un vector  A de magnitud 8 9:m; Norte 1<° Este4  N 30°  A

1 [km]

 

ES"!(!:

O

E

S amao4 norma4 mód0lo o ma/nit0d de 0n vector: Si

 A

re#resenta un vector- su tama6o- norma- módulo o magnitud se designa como4 =

 A

= > A*

DESCOMPOSC!" E" #" SS$EM% DE E&ES C%'$ES%"OS

a?5>,a2i?a& j? a%6/?,'2i?'& j? '%6/>,a2?'2/i ?,a& ?'&/ j?,a%?'%/ 6

Vectores unitarios y componentes de un vector 0ualuier vector #uede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores- cada uno de ellos en la dirección de uno de los e"es coordenados* r  > r 2 ? r & ? r % Si consideramos a$ora so're cada e"e un vector- a#licado en el origen- cu&o sentido es #ositivo & cu&o módulo consideramos como unidad de longitudes- #odemos sustituir cada uno de los sumandos de la e2#resión anterior #or el #roducto de un escalar #or el corres#ondiente vector unidad* De ese modo-

Los escalares re#resentan #or4

& se denominan com#onentes del vector & se

Los vectores son los vectores unitarios & suelen re#resentarse res#ectivamente #or i4 j & 6. Tam'i5n #uede re#resentarse de la siguiente !orma4

Módulo de un Vector Un vector no solo nos da una dirección & un sentido- sino tam'i5n una magnitud- a esa magnitud se le denomina (ódulo* )r*fica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen & su e2tremo- & se re#resenta #or4

Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es conveniente tomar las com#onentes so're tres direcciones mutuamente #er#endiculares O@- O & O ue !orman un sistema cartesiano tridimensional* Si tomamos tres vectores unitarios- i so're O@- j so're O & 6 so're O- entonces #odemos encontrar #untos a2- a&- a% so're O@O- O- res#ectivamente- tales ue4

& a#licando el teorema de +itágoras nos encontramos con ue el módulo de a es4

 %plicación+ coordenadas intr,nsecas - cosenos directores

=a= > modulo del vector 0a > vector unitario de a Las #ro&ecciones de a so're los e"es 2- &- %- res#ectivamenteeuivalen a4

Si a#licamos la !ormula ,Basada en el teorema de +itágoras/4 Entonces4 de donde se deduce ue4 Se de'e $acer notar ue la #ro&ección de a en una dirección cualuiera ,#or e"em#lo4 a7/ es un escalar- mientras ue su com#onente en la misma dirección ,#or e"em#lo4 a7 8 i / es un vector  * +ara un vector gen5rico a- los cosenos de los ángulos - & - ue !orma con los semie"es 2- &- %- res#ectivamente- se denominan cosenos directores de a.

9i5lio/raa: (i5ro: "lc0lo omo ## !0tor: Roland E. ;ostetler Ro5ert P. Editorial: %r0po Editorial #5eroamericano (i5ro: "lc0lo con %eometra !naltica !0tor: S