IME ITA
Apostila ITA
Uma matriz de ordem n × m é, informalmente, uma tabela com n linhas e m colunas, em que “linhas” são as filas horizontais e “colunas” são as filas verticais. Com esta idéia temos a seguinte representação para a matriz A de ordem n × m :
⎡ a11 a12 ⎢a a22 21 ⎢ A = ⎢ # # ⎢ ⎣ an1 an 2
"
a1m ⎤
"
a2 m
% "
⎥ ⎥ . # ⎥ ⎥ anm ⎦ n×m
O símbolo “ aij ” representa o elemento da linha Uma definição formal para uma matriz é:
i
e coluna j .
“Considerando os conjuntos I n = {1,2,..., n} e I m = {1, 2,..., m} . Uma matriz A , de ordem n × m , é uma função A : I n × I m → \ , que associa cada par ordenado ( i, j ) a um número real aij ”. A notação notaçã o
A = ( aij )
n×m
representa uma matriz de ordem n × m e o elemento
aij
é
chamado de termo geral. Exemplo: A matriz A = ( aij )2×3 , com aij = 2 ⋅ i − j 2 é determinada pelo cálculo de todos os elementos de acordo com a lei de formação, ou seja: a11 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1
2 a12 = 2 ⋅ 1 − 2 = − 2
a13 = 2 ⋅ 1 − 3 = − 7
a21 = 2 ⋅ 2 − 12 = 3
a22 = 2 ⋅ 2 − 2 2 = 0
a23 = 2 ⋅ 2 − 32 = − 5
2
2
desta forma temos: ⎡1 A = ⎢ ⎣3
−2 −7 ⎤ 0 −5 ⎥⎦ 2×3
Observações sobre a linguagem: • O conjunto de todas as matrizes reais de ordem n × m é denotado por M n × m ( \ ) •
Na matriz
A = ( aij )
n× m
•
Na matriz
A = ( aij )
n× m
sequência ( ai1 , ai 2 ," , aim ) é a i - ésima linha a sequência
(a
1 j
, a2 j ," , anj )
é a j - ésima coluna
Apostila ITA
Uma matriz de ordem n × m é, informalmente, uma tabela com n linhas e m colunas, em que “linhas” são as filas horizontais e “colunas” são as filas verticais. Com esta idéia temos a seguinte representação para a matriz A de ordem n × m :
⎡ a11 a12 ⎢a a22 21 ⎢ A = ⎢ # # ⎢ ⎣ an1 an 2
"
a1m ⎤
"
a2 m
% "
⎥ ⎥ . # ⎥ ⎥ anm ⎦ n×m
O símbolo “ aij ” representa o elemento da linha Uma definição formal para uma matriz é:
i
e coluna j .
“Considerando os conjuntos I n = {1,2,..., n} e I m = {1, 2,..., m} . Uma matriz A , de ordem n × m , é uma função A : I n × I m → \ , que associa cada par ordenado ( i, j ) a um número real aij ”. A notação notaçã o
A = ( aij )
n×m
representa uma matriz de ordem n × m e o elemento
aij
é
chamado de termo geral. Exemplo: A matriz A = ( aij )2×3 , com aij = 2 ⋅ i − j 2 é determinada pelo cálculo de todos os elementos de acordo com a lei de formação, ou seja: a11 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1
2 a12 = 2 ⋅ 1 − 2 = − 2
a13 = 2 ⋅ 1 − 3 = − 7
a21 = 2 ⋅ 2 − 12 = 3
a22 = 2 ⋅ 2 − 2 2 = 0
a23 = 2 ⋅ 2 − 32 = − 5
2
2
desta forma temos: ⎡1 A = ⎢ ⎣3
−2 −7 ⎤ 0 −5 ⎥⎦ 2×3
Observações sobre a linguagem: • O conjunto de todas as matrizes reais de ordem n × m é denotado por M n × m ( \ ) •
Na matriz
A = ( aij )
n× m
•
Na matriz
A = ( aij )
n× m
sequência ( ai1 , ai 2 ," , aim ) é a i - ésima linha a sequência
(a
1 j
, a2 j ," , anj )
é a j - ésima coluna
Matemática a11
Ga G G .. . Ga G i G .. . Ga H m
21
1
i-ésima linha
1
a12
a13
...
a1 j
.. .
a22
a23
...
a2 j
.. .
...
...
...
.. .
.. .
ai 2
ai 3
...
aij
.. .
...
...
...
.. .
.. .
a m2
a m3
...
a mj
.. .
a1n
a2n J
J J ain J J ... J J amn K m ...
×
n
j-ésima coluna
•
Sejam
A = ( aij )
m×n
e
B = ( bij )
são iguais, e escreve-se ∀ j ∈ {1, 2, 3, ..., ..., n} .
B
m×n
A = B ,
duas matrizes reais. Diz-se que as matrizes
se, e somente se,
aij = bij
, ∀i ∈ {1,
2, 3, ..., ..., m}
e e
É toda matriz formada por apenas uma linha. É toda matriz formada por apenas uma coluna. É toda matriz de ordem n × m com n ≠ m . É toda matriz com todos os elementos nulos. n ulos. É toda matriz de ordem n × n . Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n . Em uma matriz quadrada os elementos da sequência ( a11 , a22 ," , ann ) formam a diagonal principal e os elementos da sequência diagonal secundária.
(a
n1
, a( n −1) 2 ," , a1n
)
É toda matriz quadrada de ordem n , em que i > j , ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. É toda matriz quadrada de ordem n, em que ou seja, os elementos acima da diagonal principal são nulos. 2
aij = 0
forma a
aij = 0
se
se i < j ,
Apostila ITA
Seja
A = ( aij )
, a matriz transposta de n× m
A ,
indicada por A t , e é
At = ( bij )
m× n
em
que bij = a ji . Em outros termos, a matriz transposta é obtida trocando linha por coluna da matriz original. ⎡1 3⎤ ⎢ ⎥ At = −2 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ −7 −5⎥⎦ 3× 2
− 2 −7 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ 3 0 −5 ⎦ 2 × 3 ⎡1
Observações: • Quando • Quando
Sejam
= A dizemos que a matriz A é simétrica. t é antisimétrica. = − A dizemos que a matriz t
A = ( aij )
m× n
e
B = ( bij )
m×n
duas matrizes quaisquer. A soma de
A
com
B ,
que indicaremos por A + B , é a matriz m × n cujo termo geral é aij + bij , isto é: ⎛ a11 + b11 a12 + b12 ⎜ a 21 + b21 a 22 + b22 A + B = ⎜ ⎜ ... ... ⎜ ⎝ a m1 + bm1 a m2 + bm2
Dados a matriz
A = ( aij )
m×n
e um número real
.. .
a1n + b1n ⎞
.. .
a2 n + b2 n ⎟
...
...
⎟
.. . amn
k ,
⎟ ⎟ + bmn ⎠ m× n
o produto indicado por k ⋅ A , é
a matriz m × n cujo termo geral é k ⋅ aij , isto é: ⎛ k ⋅ a11 k ⋅ a12 ⎜ ⋅ k a21 k ⋅ a22 k⋅A=⎜ ⎜ ... ... ⎜ ⎝ k ⋅ am1 k ⋅ am 2
...
k ⋅ a1n ⎞
⎟
... k ⋅ a 2n ⎟ ... ... ⎟
⎟
... k ⋅ amn ⎠ m×n
3
Matemática
Consideremos as matrizes indicado por A ⋅ B , é a matriz
A = ( aij )
m × t
m×n
e
B = ( b jk )
cujo termo geral é
n × t
cik ,
. O produto de
A
por B ,
em que:
n
cik =
∑a
= ai1 . b1k + ai 2 . b2 k + ... + ain . bnk .
ij . b jk
j =1
Observação: Para que o produto de matrizes seja possível é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz identidade de ordem n , denotada por I n , é a matriz quadrada na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0 , ou seja: ⎛1 ⎜0 I n = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0
1. • •
0 " 0⎞
⎟
1 " 0⎟ 0 % 0⎟
⎟
0 " 1 ⎠n × n
Para a adição de matrizes temos A, B , C ∈ M n× m ( \ ) : A adição de matrizes é associativa : ( A + B) + C = A + ( B + C ) A adição de matrizes é comutativa : + B = B + A adição de matrizes admite elemento neutro: Existe uma matriz O ∈ M n × m ( R ) tal
que A + O = O + A = A . Existe matriz oposta: Para toda matriz A ∈ M m ×n ( R ) , existe uma matriz indicada por − A , também de ordem n × m , chamada matriz oposta de A , tal que A + ( − A) = (− A) + A = O . 2. Para a multiplicação por escalar temos k1 , k 2 ∈ \ e A, B ∈ M n × m ( \ ) k1 ⋅ ( k2 ⋅ A ) = ( k1 ⋅ k 2 ) ⋅ A ( k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 ⋅ A + k 2 ⋅ A k1 ⋅ ( A + B ) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B 3. Para a multiplicação de matrizes temos C ∈ M p× q ( \ ) 4
A ∈ M m × n ( \ ) ,
B ∈ M n× p ( \ )
e
Apostila ITA
• •
A multiplicação de matrizes é associativa: ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C ) . ( A ⋅ B)t = B t ⋅ At . Vale a propriedade distributiva à esquerda: A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C . Vale a propriedade distributiva à direita: ( B + C ) ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A . Existe elemento neutro: A ⋅ I n = I m ⋅ A = A . ( k1 ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k1 ⋅ B ) = k1 ⋅ ( A ⋅ B ) .
⎡ 1 ⎤ ⎡2b 9⎤ a2 ⎥ ⎢ Sejam as matrizes A = 16 e B = ⎢ 3 ⎥ . Para que elas sejam ⎢ ⎥ ⎣a c ⎦ ⎣⎢ −27 −4 ⎥⎦
iguais, deve-se ter: a) a = −3 e b = −c = 4 b) a = 3 e b = c = − 4 c) a = 3 e b = −c = −4 d) a = −3 e b = c = − 4 e) a = −3 e b = c2 = 4
⎛ 4 1 ⎞ ⎛ 3 ⎟⎟ e Q = ⎜⎜ ⎝ − 2 3 ⎠ ⎝ 5 8 ⎞ ⎛ − 2 ⎟⎟ b) ⎜⎜ 11 ⎠ ⎝ 5 8 ⎞ ⎛ 10 ⎟ e) ⎜⎜ 5 ⎠⎟ ⎝ − 3
Se P = ⎜⎜ a) d)
⎛ 10 ⎜⎜ ⎝ − 3 ⎛ − 2 ⎜⎜ ⎝ − 5
− 2 ⎞ ⎟⎟ , a matriz transposta de P − 2Q é: 4 ⎠ − 12 ⎞ ⎛ 1 − 7 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ c) ⎜⎜ − 5 ⎠ − − 1 1 ⎝ ⎠ 11 ⎞
⎟
8 ⎠⎟
−1 ⎤ 1 ⎡2 ⎢ ⎥ 0 1 − y é simétrica, então o valor Se a matriz ⎢ x 2 ⎥ ⎢⎣ x y − 3 1 ⎥⎦ de x + y é: a) 3 d) −2
b) e)
1
c)
0
−3 5
Matemática
Se uma matriz quadrada A é tal que At = − A ela é chamada anti-simétrica. Sabe-se que é anti-simétrica e, ... ... ⎤ ⎡4 + a ⎢ a ⎥ M = b+2 ... ⎢ ⎥ ⎢⎣ b c 2c − 8⎥⎦ 3×3
Os termos a12 , a13 e a23 da matriz M valem respectivamente: a) −4 , −2 e 4 . b) 4 , 2 e −4 . c) 4 , −2 e −4 . d) 2 , −4 e 2 . e) n.d.a. Sabe-se que as ordens das matrizes A , B e C são, respectivamente, 3 × r , 3 × s e 2 × t . Se a matriz ( A − B ) C é de ordem 3 × 4 , então r + s + t é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standart, luxo e superluxo. Peças A , B e C são utilizadas na montagem desses carros. Para um certo plano de montagem, é dada a seguinte informação: Carro Peça A Peça B Peça C Carro Carro
X Y
4 3
3 5
6
2
Y
Standard
Luxo
Superluxo
2 3
4
3 5
Em termos matriciais, temos: 6
Carro
X
2
Apostila ITA
⎡4 3⎤ matriz peça-carro = ⎢⎢ 3 5 ⎥⎥ ⎢⎣ 6 2 ⎥⎦ ⎡ 2 4 3⎤ matriz carro-versão = ⎢ ⎥. 3 2 5 ⎣ ⎦
A matriz peça-versão é: a)
d)
⎡17 ⎢ 21 ⎢ ⎢⎣18 ⎡17 ⎢ 21 ⎢ ⎢⎣18
22 27 ⎤
⎥ ⎥ 22⎥⎦ 27 ⎤ ⎥ 34 ⎥ 28⎥⎦
b)
28 34 28 22 22 28
e)
⎡17 ⎢ 21 ⎢ ⎢⎣18 ⎡17 ⎢ 21 ⎢ ⎢⎣18
22 27 ⎤ 34 28 22 28 34
⎥ ⎥ 28⎥⎦ 27 ⎤ ⎥ 28 ⎥ 22 ⎥⎦ 22
c)
⎡17 22 27⎤ ⎢ 21 22 28⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣18 34 28⎥⎦
Considere as matrizes: A = aij a = i − j , 4 × 7 , definida por ij ; B = bij b =i , 7 × 9 , definida por ij ; C = c ij , C = AB . O elemento c63 : a) é −112 . b) é −18 . c) é −9 . d) é 112. e) não existe. Sejam , B e C matrizes reais quadradas de ordem n e também de ordem n . Considere as afirmações: I. AB = BA II. AB = AC ⇒ B = C
On
a matriz nula
III. A = On ⇒ A = On IV. ( AB )C = A( BC ) 2
2
V. ( A − B ) = A − 2 AB + B Então podemos afirmar que: a) apenas a I é falsa. c) V é verdadeira. e) III e IV são verdadeiras. 2
2
b) apenas a IV é verdadeira. d) II e III são verdadeiras. 7
Matemática
• • •
Uma operação elementar sobre linhas de uma matriz A ∈ M m× n ( \ ) é qualquer uma das transformações: multiplicação de uma linha de A por uma constante real não nula k ; permuta de duas linhas de A ; substituição da r - ésima linha de A por uma linha formada pela soma da r ésima linha com k vezes a - ésima linha, sendo k um escalar arbitrário e r ≠ s . Sendo
⎛2
A = ⎜
3
5⎞
⎟
⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3
, temos: ⎛4
6
5⎞
•
A multiplicação da primeira linha por 2 : ⎜
•
A permuta da primeira com a segunda linha: ⎜ 2
•
A substituição da primeira linha pela primeira linha soma da primeira linha com
⎟
⎝ 7 11 13 ⎠ 2 × 3
.
⎛ 7 11 13 ⎞ ⎟ . 3 5 ⎝ ⎠2×3
⎛ 16 25 31 ⎞ ⎟ 11 13 ⎠ 2 × 3 ⎝
duas vezes a segunda linha: ⎜ 7
Cada operação elementar sobre linhas de uma matriz A pode ser representada pela multiplicação por uma matriz quadrada, observe: • A multiplicação da primeira linha por 2: ⎛ 2 0⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 4 6 10 ⎞ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . 0 1 7 11 13 7 11 13 ⎝ ⎠ 2× 2 ⎝ ⎠ 2×3 ⎝ ⎠ 2×3
•
A
permuta
da
primeira
com
a
segunda
linha:
⎛0 1⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 7 11 13 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ . 1 0 7 11 13 2 3 5 ⎝ ⎠ 2× 2 ⎝ ⎠ 2×3 ⎝ ⎠ 2× 3
•
A substiruição da primeira linha pela soma dela com duas vezes a segunda: ⎛1 2⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛16 25 31⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ 2× 2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2× 3
8
Apostila ITA
Definição: Uma matriz E ∈ M m× m ( \ ) é dita elementar se E ⋅ A é alguma transformação elementar sobre linhas de A , para toda matriz A ∈ M m× n ( \ ) . Usando a linguagem: e1 = (1 0 " 0 )1× m , e2 = ( 0 1 " 0 )1× m ,... e em = ( 0 0 " 1)1× m , podemos formar as matrizes elementares: •
Permutação da i - ésima linha com a j - ésima linha ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ e j ⎟ ← i − ésima linha ⎜ ⎟ . P ij = ⎜ # ⎟ ⎜ e ⎟ ← j − ésima coluna ⎜ i⎟ ⎜ # ⎟ ⎜e ⎟ ⎝ m⎠
Exemplo: ⎛ e2 ⎞ ⎛ 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ e1 1 0 P 12 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ # ⎟ ⎜# # ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 •
"
0⎞
"
0⎟
⎟
(Permutação da primeira linha com a segunda linha)
%
#⎟
"
1 ⎠m× m
⎟
Multiplicação da i - ésima linha por uma constante não nula k : ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ # ⎜ ⎟ ⎜ M i ( k ) = k ⋅ ei ⎟ ← i − ésima linha . ⎜ ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ e ⎟ ⎝ m ⎠
Exemplos: ⎛ 3 ⋅ e1 ⎞ ⎛ 3 0 ⎜ ⎟ ⎜ e 2 ⎟ = ⎜0 1 M 1 ( 3) = ⎜ ⎜ # ⎟ ⎜# # ⎜ ⎟ ⎜ e ⎝ m ⎠ ⎝0 0
"
0⎞
"
0⎟
⎟
%
#⎟
"
1⎠
⎟ 9
Matemática
⎛ e1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ 5 e ⋅ 2 ⎟ = ⎜0 5 M 2 ( 5 ) = ⎜ ⎜ # ⎟ ⎜# # ⎜ ⎟ ⎜ e ⎝ m ⎠ ⎝0 0 •
"
0⎞
"
0⎟
⎟
%
#⎟
"
1⎠
⎟
Substituição da i - ésima linha pelo resultado da soma da i - ésima linha com uma constante k arbitrária multiplicada pela j - ésima linha: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ei ⎜ i S j ( k ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ # ⎟ + k ⋅ e j ⎟ ← i − ésima linha ⎟ . # ⎟ ⎟ e j ⎟ # ⎟ ⎟ em ⎠ e1
Exemplos: ⎛ e1 + 5 ⋅ e2 ⎞ ⎛ 1 5 ⎜ ⎟ ⎜ e 2 1 ⎟ = ⎜0 1 S 2 ( 5 ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜# # # ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 ⎛ e1 + 7 ⋅ e3 ⎞ ⎛ 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ e 2 ⎜ ⎟ ⎜0 1 ⎟ = ⎜0 0 S31 ( 7 ) = ⎜ e3 ⎜ ⎟ ⎜ # ⎜ ⎟ ⎜# # ⎜ e ⎟ ⎜0 0 m ⎝ ⎠ ⎝ e1 ⎛ ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ + ⋅ e 11 e 2 1 ⎜ ⎟ ⎜11 2 ⎟=⎜0 S1 (11) = ⎜ e3 ⎜ ⎟ ⎜ # ⎜ ⎟ ⎜# ⎜ e ⎟ ⎜0 m ⎝ ⎠ ⎝
"
0⎞
"
0⎟
⎟
%
#⎟
"
1⎠
⎟
7 " 0⎞
⎟
0 " 0⎟ 1 " 0⎟ #
⎟
%
#⎟
0 " 1 ⎟⎠ 0
0 " 0⎞
⎟
0 " 0⎟ 0 1 " 0⎟
1
%
⎟
#
#
#⎟
0
0 " 1 ⎟⎠
Definição: (Inversa à esquerda) Diremos que uma matriz A ∈ M m× n ( \ ) tem inversa à esquerda, denotada por L (uma matriz pertencente à M n× m ( \ ) ), se: L ⋅ A = I n .
10
Apostila ITA
⎛1 1⎞ ⎛ 1 3 1⎞ Exemplo: Seja a matriz A = ⎜⎜ −1 0 ⎟⎟ , observamos que L = ⎜ ⎟ é uma 2 5 1 ⎝ ⎠ ⎜ 3 −1⎟ ⎝ ⎠
inversa à esquerda de
A ,
pois:
⎛1 1⎞ ⎛ 1 3 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞ . L ⋅ A = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ −1 0 ⎟ = ⎜ ⎟ 0 1 ⎝ 2 5 1⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ 3 −1⎠ Definição: (Inversa à direita) Diremos que uma matriz A ∈ M m × n ( \ ) tem inversa à direita, denotada por R (uma matriz pertencente à M n× m ( \ ) ), se: A ⋅ R = I m .
⎛ 4 8⎞ ⎛0 3 7⎞ ⎜ ⎟ Exemplo: Seja a matriz A = ⎜ ⎟ , observamos que R = ⎜ 5 −7 ⎟ é uma ⎝0 2 5⎠ ⎜ −2 3 ⎟ ⎝ ⎠
inversa à direita de
A ,
pois: ⎛ 4 8⎞ ⎛0 3 7⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞ ⋅ − A ⋅ R = ⎜ 5 7 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0 1⎟ . 0 2 5 ⎝ ⎠ ⎜− ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ 2 3⎠
Definição: (Matriz inversa) Diremos que uma matriz A ∈ M m× m ( \ ) tem inversa, denotada por
−1
, se:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I m ,
ou seja, se possui inversa à direita e à esquerda simultaneamente.
Observações: • Se uma matriz ou seja:
A
possui inversa à direita e inversa a esquerda elas serão iguais,
•
Se
A
Se L ⋅ A = I e A ⋅ R = I , então L = R . −1 é inversível, −1 tambem o é e ( A−1 ) = A .
•
Se
A
e B são inversíveis,
•
Chamamos de matriz ortogonal à matriz que satisfaz à condição:
−1
⋅ B também o é e ( A ⋅ B ) = B −1 ⋅ A−1 . −1
•
= At
As matrizes elementares são inversíveis, note:
( P ) ij
−1
= P ij 11
Matemática
( M ( k ) )
−1
i
( S ( k )) i j
•
Se
−1
⎛1⎞ = M i ⎜ ⎟ , k ≠ 0 ⎝ k ⎠
= S ij ( − k )
é uma matriz inversível de ordem n , então existe uma sequência E 1 , E2 ," , E p de matrizes elementares tal que ( E1 ⋅ E2 ⋅ ... ⋅ E p ) ⋅ A = I , ou seja A −1 = E1 ⋅ E 2 ⋅ ... ⋅ E p . Tal sequência garante um método para a obtenção da matriz inversa conhecido como método de Gauss-Jordan. A
⎡2 1 3⎤ Exemplo: Para a obtenção da matriz inversa de A = ⎢⎢1 −1 2 ⎥⎥ criamos a matriz: ⎢⎣ 4 3 5 ⎥⎦ ⎡2 1 3 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ A I ⎤⎦ = ⎢1 −1 2 0 1 0 ⎥ ⎢⎣ 4 3 5 0 0 1 ⎥⎦
Note que ao efetuarmos uma transformação elementar em ⎡⎣ A I ⎤⎦ , a matriz transformação elementar fica registrada na parte correspondente à matriz identidade, observe: ⎡ 2 1 3 1 0 0⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M 2 ( −2 ) ⋅ ⎡⎣ A I ⎤⎦ = ⎢− 2 2 − 4 0 − 2 0 ⎥ ⇒ M 2 ( −2 ) = 0 −2 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 3 5 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
Quando forem efetuadas todas as transformações elementares em ⎡2 1 3 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1 −1 2 0 1 0 ⎥ ⎢⎣ 4 3 5 0 0 1 ⎥⎦
até transformá-la em 5 ⎤ ⎡ −11 2 2 2 ⎥ 1 0 0 ⎢ ⎢0 1 0 3 1 −1 ⎥ − 2 2⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ 7 2 −1 − 3 ⎥ ⎢⎣ 2⎦
temos que 12
,
.
Apostila ITA 5 ⎤ ⎡ −11 2 2 2 ⎥ ⎢ −1 − 1 ⎥ A−1 = ⎢ 3 2⎥ ⎢ 2 ⎢ 7 2 −1 − 3 ⎥ 2 ⎥⎦ ⎣⎢
Este procedimento é conhecido como método de Gauss-Jordan. A obtenção de uma matriz inversa, feita passo à passo, pode ser exemplificada por: ⎡1 1 ⎢ A = 1 1 ⎢ ⎢⎣ 2 1 ⎡ 1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 − 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 1 −2 0 1 0 ⎥ ⇒ ⎢ 0 0 1 1 ⎢⎣ 2 1 −3 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 1 −3 0
−1⎤ −2⎥⎥ −3⎥⎦ ⎡ 1 1 − 1 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ −1 0 ⎥ ⇒ ⎢ 2 1 − 3 0 0 1 ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 1 −1 0⎥⎦ 0 1 ⎥⎦ 0
0⎤
⎡ 1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 − 1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 0 2 − 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ 0 1 1 2 0 −1⎥ ⇒ ⎢ 0 1 0 1 1 −1⎥ ⇒ ⎢ 0 1 0 1 1 −1⎥ ⎢⎣ 0 0 1 1 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 1 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 1 −1 0 ⎥⎦ ⎡ 1 0 0 1 −2 1 ⎤ ⎡1 −2 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ ⎢0 1 0 1 1 −1⎥ ∴ A−1 = ⎢⎢1 1 −1⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1 1 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 −1 0 ⎥⎦
Usando a definição determine a inversa das matrizes a)
⎡ 2 3⎤ ⎥ ⎣1 4⎦
b)
A = ⎢
Sendo
⎛6
B = ⎜
2⎞
⎟ ⎝10 4 ⎠
⎡1 2 − 1 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢0 − 3 2 ⎥ ⎢⎣3 − 1 − 2⎥⎦
, então o elemento da terceira linha e primeira
coluna, de sua inversa, será igual a: a)
5 8
b)
9 11
c)
6 11
d)
−
2 13
e)
1 13
13
Matemática
Usando o método de Gauss-Jordan determine a inversa de cada matriz: a)
⎡ −1 2 −3⎤ ⎢ ⎥ A = 2 1 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 −2 5 ⎥⎦
b)
⎡2 ⎢1 B = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣ −1
1
0
0⎤
−1 1 ⎥⎥ 1 1 1⎥ ⎥ 0 0 3⎦
0
⎧ 2 ⋅ x + 3 ⋅ y − z = 5 O sistema linear ⎪⎨ x + 2 ⋅ y − 2 ⋅ z = − 1 pode se associado à equação matricial ⎪3 ⋅ x + 3 ⋅ y + z = 12 ⎩ ⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . Sendo , e − ⋅ = − = − = = 1 2 2 y 1 A 1 2 2 X y B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ , responda ⎜ 3 3 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜3 3 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o que se pede: a) Determine −1 . b) Observando que −1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B ⇒ X = A−1 ⋅ B , determine a solução do sistema apresentado. Observando o procedimento apresentado na questão anterior, resolva o sistema: ⎧2 ⋅ x + y = 7 ⎪ x − z + w = 6 ⎪ ⎨ ⎪ y + z + w = 8 ⎪⎩− x + 3 ⋅ w = 12
Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e que ( X ⋅ A )t = B , então:
14
a) b) c)
X = A−1 ⋅ Bt X = Bt ⋅ A−1
d) e)
X = ( AB )
t
X = ( B ⋅ A )
n.d.a
t
X
uma matriz tal
Apostila ITA
Uma permutação dos elementos do conjunto I n = {1, 2,3,..., n} é uma bijeção de I n e I n . Note que existem n ! bijeções. Exemplo: As permutações dos elementos do conjunto {1,2,3} são:
σ1 :
σ2 :
σ3 :
σ4 :
σ5 :
σ6 :
1
1
2
2
3
3
1
1
2
3
3
2
1
2
2
1
3
3
1
2
2
3
3
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
2
3
1
⎧σ1 (1) = 1 ⎪ ⇔ ⎨σ1 ( 2 ) = 2 ⎪ ⎩σ1 ( 3) = 3 ⎧σ2 (1) = 1 ⎪ ⇔ ⎨σ2 ( 2 ) = 3 ⎪ ⎩ σ 2 ( 3) = 2 ⎧σ3 (1) = 2 ⎪ ⇔ ⎨ σ3 ( 2 ) = 1 ⎪ ⎩σ3 ( 3 ) = 3 ⎧σ4 (1) = 2 ⎪ ⇔ ⎨σ 4 ( 2 ) = 3 ⎪ ⎩ σ 4 ( 3) = 1 ⎧σ5 (1) = 3 ⎪ ⇔ ⎨ σ5 ( 2 ) = 1 ⎪ ⎩ σ5 ( 3) = 2 ⎧σ6 (1) = 3 ⎪ ⇔ ⎨σ 6 ( 2 ) = 2 ⎪ ⎩σ 6 ( 3) = 1
15
Matemática
Como os elementos do domínio de uma permutação sempre podem estar em sua ordem natural, uma permutação fica inteiramente determinada ao ordenarmos as imgens, assim as permutações do exemplo anterior podem ser escritas como: σ1 = 123 σ 2 = 132 σ3 = 213 σ 4 = 231 σ5 = 312 σ 6 = 321 . Observando as permutações da esquerda para a direita, temos que na permutação σ1 = 123 os elementos estão posicionados em sua ordem natural não havendo nenhuma inversão entre os elementos, neste caso dizemos que a permutação é ordem zero, ou seja o ( σ1 ) = 0 . Na permutação σ6 = 321 temos o 3 antes do 2 e do 1 (sofrendo duas inversões) e o 2 antes do 1 (sofrendo uma inversão), ou seja, houveram 3 inversões, o que diz que a permutação σ6 é de ordem 3 , que receberá a notação o ( σ6 ) = 3 . Desta forma temos a seguinte sequência de permutações e suas respectivas ordens: permutação σ1 = 123 σ 2 = 132 σ3 = 213 σ 4 = 231 σ5 = 312 σ6 = 321
ordem o ( σ1 ) = 0 o ( σ2 ) = 1 o ( σ3 ) = 1 o ( σ4 ) = 2 o ( σ5 ) = 2 o ( σ6 ) = 3
Definição: Um determinante, denotado por det , é uma função dada por: det ( A ) =
n!
∑ ( −1)
o ( σi )
i =1
det : M n×n ( \ ) → \
⋅ a1σ (1) ⋅ a2σ ( 2 ) ⋅ ...⋅ anσ (n ) , i
i
i
ou a11
a12
"
a1n
a21
a22
"
a2 n
#
#
%
#
an1
an 2
"
ann
n!
= ∑ ( −1) i =1
o(σ i )
⋅ a1
σ
i
(1)
⋅ a2
Desta forma o determinante de uma matriz de ordem 16
σ
2
i
( 2)
⋅ ... ⋅ an
σ
i
(n)
.
é calculado fazendo:
Apostila ITA det ( A ) = ( −1)
o( σ1 )
⋅ a1σ (1) ⋅ a2σ (2 ) + ( −1) 1
o ( σ2 )
⋅ a1σ
1
0
2
(1)
⋅ a2 σ
2
(2 )
1
det ( A ) = ( −1) ⋅ a11 ⋅ a22 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a21
det ( A) = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 ,
que na prática pode é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a11
a12
a21
a22
= a11.a22 − a12 .a21 .
Desta forma o determinante de uma matriz A de ordem 3 será calculado da seguinte forma: o( σ ) o (σ ) det ( A ) = ( −1) ⋅ a1σ (1) ⋅ a 2σ ( 2 ) ⋅ a 3σ (3 ) + (− 1) ⋅ a1σ (1) ⋅ a 2σ ( 2) ⋅ a 3σ ( 3) + 1
2
1
+ ( −1)
o ( σ3 )
+ ( −1)
o ( σ5 )
1
⋅ a1σ (1) ⋅ a2σ 3
⋅ a1σ (1) ⋅ a2σ 5
0
1
⋅ a3σ
2
3
(2)
5
⋅ a3σ (2 )
3
5
(3 )
+ (− 1)
o( σ4 )
+ − 1) (3 ) (
1
o (σ6 )
2
2
⋅ a1σ
4
(1)
⋅ a 2σ
4
( 2)
⋅ a 3σ
4
( 3)
⋅ a1σ
6
(1)
⋅ a 2σ
6
( 2)
⋅ a 3σ
6
( 3)
+
1
det ( A ) = ( −1) ⋅ a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + ( −1) ⋅ a11 ⋅ a23 ⋅ a32 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a21 ⋅ a33 2
2
3
+ ( −1) ⋅ a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + ( −1) ⋅ a13 ⋅ a21 ⋅ a32 + ( −1) ⋅ a13 ⋅ a22 ⋅ a31 det (
) = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 − a11 ⋅ a23 ⋅ a32 − a12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 − a13 ⋅ a 22 ⋅ a31
⎛5 2 3 ⎞ Exemplo: O determinante da matriz A = ⎜⎜ 0 2 −1⎟⎟ é: ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ det ( A) = 5 ⋅ 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ ( −1) ⋅ 3 − 2 ⋅ 0 ⋅1 + 2 ⋅ ( −1) ⋅ 4 + 3 ⋅ 0 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⋅ 4 = −7
O uso da definição é muito dispendioso para o cálculo dos determinantes, por este motivo existem algumas regras práticas que tornam o cálculo mais rápido. Uma destas regras é a de Sarrus que será apresentada a seguir. A regra de Sarrus é uma regra prática para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem 3 e é dado pelo diagrama a seguir: 17
Matemática
det
a11
a12
a13
a11
a12
( ) = a21
a22
a23
a 21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
det ( A ) = a11 .a22 .a33 + a12 .a23 .a31 + a13 .a21 .a32 − a13 .a22 .a31 − a11 .a23 .a32 − a12 .a21 .a33
Uma submatriz de A é qualquer matriz obtida pela eliminação de linhas ou colunas (ou ambos) da matriz A . ⎛ 5 2 3⎞ ⎛ 2 3 ⎞ Exemplo: As matrizes ⎜ ⎟ e ⎜ ⎟ são submatrizes de − 4 3 1 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛5 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ − 0 2 1 ⎜ ⎟. ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠
Definição (Matriz menor complementar): A submatriz obtida pela eliminação de uma linha e uma coluna de uma matriz quadrada é chamada de matriz menor complementar. Ao eliminarmos a linha i e a coluna j da matriz A obtemos a matriz menor complementar que será denotada por Aij . ⎛5 2 3 ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 5 2⎞ Exemplo: Sendo A = ⎜⎜ 0 2 −1⎟⎟ , então: A11 = ⎜ ⎟ , A23 = ⎜ ⎟. 3 1 4 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠
Definição (Cofator): O cofator do elemento aij da matriz o número i+ j Δij = ( −1) ⋅ det ( Aij ) . Lema (Laplace): O determinante da matriz det ( A ) =
n
∑a
A ∈ M n×n ( \ )
A ,
denotado por Δ ij , é
é dado por:
ij
⋅ Δ ij , em que j pode ser qualquer elemento de {1,2,..., n}
ij
⋅ Δij , em que i pode ser qualquer elemento de {1,2,...,n} .
i =1
ou det ( A) =
n
∑a j =1
⎛5 2 3 ⎞ Exemplo: Para calcular o determinante de A = ⎜⎜ 0 2 −1⎟⎟ primeiro escolhemos uma ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠
linha (ou uma coluna) e usamos o segundo somatório do lema de laplace, neste caso existe vantagem em escolher a segunda linha, ou seja i = 2 , daí: 18
Apostila ITA det ( A) = a21 ⋅ Δ 21 + a22 ⋅ Δ 22 + a23 ⋅ Δ 23 .
Calculando os cofatores: • Como a21 = 0 não há necessidade de calcular o cofator Δ 21 . •
Δ 22 = ( −1)
2+ 2
•
Δ 23 = ( −1)
2+3
⋅ ⋅
5 3 4 1 5
2
4
3
= −7 n
= −7∑ X i i =1
det ( A) = 0 ⋅ Δ 21 + 2 ⋅ ( −7 ) + ( −1) ⋅ ( −7 ) = −7 .
Calcule os determinantes: 1
a
0
A = 0
1
1 e B =
0 −1 1
1
0
0
3
a
1
0
0
0
3
0
1
1
4
−1 4
O determinante da matriz A = (aij ) 3×3 , onde aij = 2i − j , é igual a: a) b) c) d) e)
−12 −8 0 4 6
⎡ 1 2 0⎤ Qual o valor de k para que o determinante da matriz ⎢⎢− 1 k 1⎥⎥ seja ⎢⎣ 0 1 k ⎥⎦
nulo? a) − 1 ± 2 2 ±1 b) c) 2 ± 2 d) 2 ±2 e) − 4 ± 8 19
Matemática
Seja a matriz quadrada A = (aij ) , de ordem
2,
tal que
π ⎧ cos se i = j ⎪⎪ 2i − j aij = ⎨ o determinante de A é igual a: π ⎪sen se i ≠ j ⎪⎩ i+ j
a) d)
3 4
−
1
b) 1
−
e)
4
c)
4
0
3 4
Sabendo-se que o determinante da matriz 3π ≤ x ≤ 2 π ? qual é o valor do sen x ,
é igual a ¿ −3 ,
A
2
1 1⎤ ⎡cos x ⎢ 0 ⎥ A = − 1 4 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 cos x 0⎥⎦
a) d)
3
−
2 3
2
b)
−
e)
1
1
c)
2
b
2 2
2 2 x
Se a e
−
8x
são as raízes da equação log 2 x log 2 x 2 1
2
0 0 = 0 , onde 3
> 0 , então a + b é igual a:
a) d)
2 3 4 3
b) e)
3 4 4
c)
3 2
5
Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e I é a matriz identidade também de ordem 3 , então det ( A − λ ⋅ I ) é um polinômio de grau 3 em λ . 20
Apostila ITA
Assinale a alternativa correspondente ao conjunto das raízes do polinômio acima definido, onde ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1⎟ ⎜1 1 1⎟ ⎝ ⎠ a) c) e)
b) d)
{0, 2} {1, −1, 0}
{0, 3} {1, 0, 3}
{−1, 1, 3}
(Determinante da matriz de Vandermonde) Demonstre que: a)
b)
1
1
1
x
y
z = ( y − x ) ⋅ ( z − y )⋅ ( z − x )
x 2
y2
z 2
1
1
1
1
x
y
z
w
x
2
y
x 3
2
y3
z
2
w
z3
2
= ( y − x ) ⋅ ( z − y ) ⋅ ( z − x ) ⋅ ( w − z ) ⋅ ( w − y )⋅ ( w − x )
w3
O determinante 1
1
1
1
log 8
log 80
log 800
log 8000
(log 8)
2
( log 80)
(log 8) 3
a) b) c) d)
2
( log 80) 3
( log 800)
2
( log 800) 3
( log 8000)
2
vale:
( log 8000) 3
log (8808008000 . . . ) 12
log 8 24 log 8 + log 80 + log 800 + log 8000 e)
24
21
Matemática
Para uma matriz
valem as seguintes propriedades:
A ∈ M n×n ( \ )
1. Os determinantes da matriz det A = det A t .
e de sua transposta A t são iguais, isto é
A
a
b
c
a
1
x
Exemplo: 1 2 3 = b 2 y x
y
z
c
3
z
2. Se os elementos de uma fila qualquer de A forem nulos, então a
b
det A = 0 .
0
Exemplo: 1 2 0 = 0 x
y
0
3. Se os elementos de duas filas paralelas de então det A = 0 . a
b
c
a
b
b
c
x
forem iguais ou proporcionais,
2b
Exemplos: 1 2 3 = 0 e 1 2 a
A
4 =0
y
2y
4. Se
tem uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas, então det A = 0 . a
b
c
Exemplo: 2a + 3 x 2b + 3y 2 c + 3z = 0 x
y
z
5. Se trocarmos de posição duas filas paralelas de tal que det = − det A ' det A = −det A’. a
b
c
a
c
b
Exemplo: 1 2 3 = − 1 3 2 x 22
y
z
x
z
y
, obtemos uma nova matriz
A '
Apostila ITA
6. Se multiplicarmos uma fila qualquer de nova matriz A ' tal que det A ' = k ⋅ det A . a
b
c
a
b
A
por uma constante
k ,
obtemos uma
c
Exemplo: 2 4 6 = 2. 1 2 3 x
y
z
x
y
z
7. Se multiplicarmos todos os elementos de A por uma constante k , obteremos uma nova matriz ' = k ⋅ A tal que det ' = det ( k ⋅ A) = k n ⋅ det A , onde n é a ordem de A . Exemplo:
8.
4a
4b
4c
a
b
c
4
8
12 = 4 3 . 1
2
3
4 x
4y
4 z
y
z
x
Teorema de Jacobi: Se adicionarmos a uma fila qualquer uma combinação linear
das demais filas paralelas de uma matriz, seu determinante não se altera. a
b
c
a
b
c − 2a + b
Exemplo: 1 2 3 = 1 2 x 9.
y
z
x
y
3 x − 2 y + z
Adição de determinantes: Se os elementos da j - ésima coluna de A são tais que:
⎧ a1 j = b1 j + c1 j ⎡ a11 a12 ... (b1 j + c1 j ) ... a1n ⎤ ⎪ ⎢a ⎥ a22 ... (b2 j + c 2 j ) ... a2n ⎪a 2 j = b2 j + c2 j 21 ⎥ , então teremos , isto é A = ⎢ ⎨ ⎢ # # % # % # ⎥ ⋅⋅⋅ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ a nj = bnj + cnj ⎢⎣ an1 an 2 ... (bnj + cnj ) ... ann ⎥⎦ ⎩
que: det A = det A '+ det A '' ,
onde
⎡ a11 a12 ⎢a a22 21 A ' = ⎢ ⎢ ... ... ⎢ ⎢⎣ an1 an 2
a1n ⎤
... b1 j
...
... b2 j
... a2n
...
...
...
bnj
⎥ ⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... ann ⎥⎦
e
23
Matemática
⎡ a11 a12 ⎢a a22 21 A '' = ⎢ ⎢ ... ... ⎢ ⎣⎢ an1 an 2 a
a1n ⎤
... c1 j
...
... c2 j
... a2n
...
...
...
cnj
3
c
⎥ ⎥. ... ... ⎥ ⎥ ... ann ⎦⎥ a
1
c
a
2
c
Exemplo: m 6 p = m 2 p + m 4 p x
1
z
x
0
z
x
1
z
Sendo A, B ∈ M n× n ( \ ) , então det ( A ⋅ B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) . Observação: k O teorema de Binet garante que det ( Ak ) = det ( A) . Definição: A matriz adjunta de A , denotada por * , é a matriz transposta dos cofatores de , ou seja, se Δ ij é o cofator do elemento aij , então: ⎛ Δ11 ⎜ Δ12 * A = ⎜ ⎜ # ⎜ ⎝ Δ1n
A matriz inversa de
24
A
é dada por
Δ 21 Δ 22
"
#
%
Δ 2n
"
−1
=
"
Δ n1 ⎞ ⎟ Δn2 ⎟ . # ⎟ ⎟ Δ nn ⎠
1 det ( A)
⋅ A* .
Apostila ITA
⎡a b c ⎤ ⎡a 5 Dadas as matrizes A = ⎢⎢5 3 2⎥⎥ e B = ⎢⎢b 3 ⎢⎣2 4 6⎥⎦ ⎢⎣ c 2 determinantes não nulos. Então para quaisquer valores de a , b , c temos: a) det = 2 ⋅ det B b) det A = det ( B)t c) det ( A)t = det B d) det B = 2 ⋅ det A e) det = det B 1
2
3
x
y
1⎤
2⎥
⎥ de 3⎥⎦
z
Se 6 9 12 = − 12 , então 2 3 4 vale: x
a) b) c) d) e)
y
z
1
3
−4 4
−
3
4 3 4 12
m
O valor do determinante a) b) c) d) e)
2
1
m 1+ p
1
1
1
1
m
1
1 + r
1
m
1
1
1+ s
é:
4 prs rs mps mprs 4mprs
25
Matemática
Sendo uma matriz quadrada de ordem 3 , cujo determinante é igual a qual o valor de na equação det (2 ⋅ ⋅ At ) = 4 x ?
4,
⎡1 2 − 1⎤ Sendo A = ⎢⎢0 − 3 2 ⎥⎥ então o elemento da terceira linha e primeira ⎢⎣3 − 1 − 2⎥⎦ coluna, de sua inversa, será igual a:
a) b) c)
5 8 9 11 6 11
d)
−
e)
1
2 13
13
Sejam
A , B
e
matrizes reais 3 × 3 satisfazendo às seguintes relações: A ⋅ B = C e B = 2 ⋅ A . Se o determinante de C é 32 , qual é o valor do módulo do determinante de ? C
−1
Seja f : M n → R a função definida por f ( A) = determinante de M n é o conjunto das matrizes quadradas de ordem n ≤ 3 .
A ,
onde
Assinale a alternativa correta: a) f é injetiva. b) f é sobrejetiva. c) f ( A + B) = f ( A) + f ( B) . d) f (λ ⋅ A) = λ ⋅ f ( A) , qualquer que seja λ ∈ R . e) Se f ( A) = 0 , então A = O . Qual o valor de um determinante de quarta ordem, sabendo-se que multiplicando duas de suas linhas por 3 e dividindo suas colunas por 2 obtém-se o número 27 ? 26
Apostila ITA
a) b) c) d) e)
243 16 18 6 48 27
O determinante de uma matriz é 42 . Se multiplicarmos a primeira linha da matriz por três e dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova matriz terá determinante igual a: a) 12 b) 14 c) 21 d) 42 Sendo
A , B , C
matrizes reais n × n , considere as seguintes afirmações:
1. A( BC) = ( AB) C B = BA 2. + B = B + 3. 4. det ( AB) = det ( A). det ( B) 5. det ( A + B) = det ( A) + det ( B) Então podemos afirmar que: a) 1 e 2 são corretas. b) 2 e 3 são corretas. c) 3 e 4 são corretas. d) 4 e 5 são corretas. e) 5 e 1 são corretas. Considere as seguintes afirmativas: I. Se A T é a transposta da matriz quadrada A, então det ( A T ) = det ( A) . II. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que A = O , então a matriz I − é inversível. III. Se A é uma matriz inversível, então det ( A −1 ) = (det A) −1 . A soma dos números associados às afirmativas corretas é: a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 27
Matemática
Sejam A , B e C matrizes quadradas n × n tais que e B são inversíveis e ABCA = A t , onde A t é a transposta da matriz A . Então podemos afirmar que: a) C é inversível e det C = det ( AB) −1 . b) C não é inversível pois det C = 0 . c) C é inversível e det C = det B . d) C é inversível e det C = (det A) 2 ⋅ det B . e)
C
é inversível e
det C =
det A det B
.
Seja C = { X ∈ M 2×2 ; X 2 + 2 X = O} .Dadas as afirmações: I. Para todo X ∈ C , ( X + 2 I ) é inversível. II. Se X ∈ C e det ( X + 2 I ) ≠ 0 , então X não é inversível. III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 , então det X > 0 . Podemos dizer que: a) Todas são verdadeiras. b) Todas sã falsas. c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. d) Apenas (I) é verdadeira. e) n.d.a.
28
