Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Bahasan:
Hidup gabungan - Peluang hidup gabungan
- Anuitas gabungan
- Mortalitas hidup gabungan
- Asuransi gabungan
Fungsi hidup gabungan Makeham
Tujuan Instruksional Khusus:
Pembaca diharapkan mampu menurunkan serta menghitung peluang hidup gabungan dan fungsi hidup gabungan Makeham.
Pada Matematika Aktuaria I kita telah mempelajari fungsi hidup tunggal (single life ), ), misalnya Anuitas
a
x
ataupun peluang hidup
n
p x .
Jadi
pembahasan belum menyinggung konsep hidup gabungan ( joint life ), ), misalnya anuitas gabungan
a xy
ataupun peluang hidup gabungan
n
p xy .
Peluang hidup seseorang (x) berusia x tahun akan hidup n tahun lagi disimbolkan
n
p x .
Simbol
n
p x
(ataupun
n
qx )
tersebut dinyatakan dalam
fungsi hidup tunggal ( function of a single life ), ), yaitu n
px
l x n l x
.
Tentunya kita bertanya, bagaimana jika ada dua kehidupan (x) dan (y) atau lebih? Pandang dua dua kehidupan, kehidupan, yaitu dua orang (x) dan dan (y) yang masing-masing mempunyai umur dan peluang hidup berturut-turut berturut-turut x dan y
30
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
n
p x dan
n
p y saling
maka peluang (x)
bebas,
dan (y) akan hidup n tahun dinotasikan
n
p xy
dan
didefinisikan oleh n
pxy
n
l x
px . n py
l y
n
n
. l x l x
l y n: y n
l xy
.
Fungsi hidup l xy didefinisikan sebagai fungsi perkalian ( proporsional ) antara fungsi hidup tunggal l xy
l x dan
l y , yaitu
l x .l y
k .l x .l y , untuk suatu konstanta k .
Sedangkan peluang meninggal gabungan
n
qxy , yaitu peluang paling sedikit
satu dari dua orang yang masing-masing berusia x dan y tahun akan meninggal dalam n tahun atau disebut kegagalan kehidupan gabungan
xy ,
diberikan oleh n
qxy
1
1
Bila kita ambil
n
q xy
Jadi d xy
l
l
l xy
n
pxy
l x n:y n l xy l
x n :y n
l xy
.
1 maka diperoleh
l xy lx 1:y 1
xy x 1: y 1
l xy
1 pxy
dan d xy
d xy l xy
.
d x .d y .
31
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Pandang m kehidupan (m orang) yang masing-masing mempunyai usia x
1
,
x
2
,
x
3
,..., x maka x1 , x2 , x3 ,..., xm akan memenuhi: m
l x x
1 2 ... xm
n
p x x
n
qx x
k .l x .l x ...l x
1
1 2 ... xm
px
1
1 n
1 2 ...xm
n
m
2
.n
...n
px
2
px x
1 2 ...x m
px
m
.
Berdasarkan cara yang sama, karena q x
n
l x
l
n x n 1
l x
lx
n
lx
lx n 1
l x
n
px
n 1
px
maka
Peluang
n
q x x
1 2 ... xm
n
qx x
1 2 ...x m
x x 1
2
...x
m
x x 1
2
...x
m
px x
1 2 ... xm
1 n
kehidupan m orang orang dari
n
px x
1 2 ...x m
x x 1
2
...x
m
n1
px x
1 2 ... xm
.
dikatakan sebagai kegagalan kelangsungan
dikarenakan meninggalnya paling sedikit satu
, atau disebut juga peluang bahwa status hidup gabungan
akan gagal dalam n tahun.
Sedangkan n
q x x
1 2 ... xm
adalah peluang bahwa status hidup gabungan akan gagal
pada tahun ke (n+1). Kumpulan dari m kehidupan dikatakan gagal jika terjadi kematian paling sedikit satu dari m kehidupan.
Diketahui dua kehidupan (xy), yaitu dua orang (x) dan (y) maka 1. Peluang bahwa (xy) akan hidup n tahun n
pxy
n
px . n py
.
2. Peluang bahwa (xy) akan gagal dalam n tahun n
qxy
1 n pxy
1 n px . n p y .
Ingat bahwa (xy) dikatakan gagal jika terjadi kematian paling sedikit satu dari (x) dan (y).
32
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Jadi, (x) meninggal dan (y) hidup, (x) hidup dan (y) meninggal, atau (x) meninggal dan (y) meninggal. n
q xy
n
qx n py
1
n
1 n
px
n
q y n px
py
n
1
n
qx n qy
py
n
n
px
1
n
px
1
n
py
px n p y .
3. Peluang bahwa paling sedikit satu dari dua orang (x) dan (y) akan hidup n tahun n
p x n p y
n
px . n py
4. Peluang bahwa paling sedikit satu dari dua orang (x) dan (y) akan meninggal dalam n tahun n
qxy
1
n
pxy
1
n
px .n py
.
Contoh 1. Tunjukkan bahwa
q xy
qx .q y
jika l xy
klx l y !
Solusi: q xy
1
pxy
l 1 x l x
1
Jadi
q xy
l x
1:
1 p x . p y
1
l y 1 l y
q x .q y
1
y 1
l xy
1
klx 1l y
kl x l y
1
1
lx 1l y
1
l x l y
qx .q y .
Kita ingatkan kembali simbol komutasi D, N, C, dan M untuk hidup tunggal, yaitu: D x
1 , dengan i suku bunga i 1
v xl x , v
N x Dx t t 0
C x
v x 1d x
33
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
M x C x t t 0
Simbol komutasi D, N, C, dan M untuk hidup gabungan, yaitu m
1 , 2 ,..., diberikan sebagai berikut.
kehidupan,
x
x
x
m
x1 x2 ... xm
D x1x2 ...xm v
m
l x1x2 ...x m , dengan l x x
x1 x2 ... xm
C x x
1 2
... xm
m
v
1 2 ... xm
1
d x x
1 2
... xm
, dengan
d x x
1 2
k .lx .l x ...lxm 1
... xm
2
l x x ... x l x 1: x 1:...: x 1 m m 1 2 1 2
N x1x 2 ... xm Dx1x2 ...xm t t 0
C x x ... x
M x x
1 2 ... xm
1 2
m
t
t 0
Contoh 2. Berdasarkan definisi simbol komutasi di atas tunjukkan bahwa: x y
1. D xy
k 1 i
2. C xy
vDxy
3.
d dx
Dx
.Dx .Dy
2
1: y 1
Dxx .Dyy ,
,
log t pxx 2 x x t .
Solusi: x y
Akan kita tunjukkan bahwa D xy
k 1 i
2
.Dx .Dy
Dxx .Dyy
x y
i.
Ditunjukkan D xy
k 1 i
2
.Dx .Dy
x y
D xy
v
l xy
2
x y
v
2
v
x y
2
v x v y kl xl y
x y
kl l x y
x y
kv
2
v l v l x
y
x
y
34
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
x y
k 1 i
ii. Ditunjukkan D xy
D x Dy .
2
Dxx .D yy
x y
D xy
v
l xy
2
x y v l xy
2
2
v x y l xy
v x
y
kl l
v
2
x y
x x
2
yy
v
2
2
kkl l l l x x y y
x x
v
yy
kl xlx v
2
x x
v
y y
l xx v
2
2
kl l
2
y y
l yy
D xx Dyy . x y
Jadi, D xy
k 1 i
2
.Dx .Dy
Dxx .Dyy .
Untuk nomor 2 dan 3 sebagai latihan.
Anuitas gabungan adalah suatu anuitas kontrak yang terdiri dari dua tertanggung atau lebih dengan pembayaran terhenti jika salah satu dari tertanggung meninggal dunia, artinya jika terjadi kegagalan kelangsungan hidup gabungan. Misalkan x
:
usia suami
y
:
usia istri
35
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Maka nilai tunai atau anuitas gabungan awal (x) dan (y) ditulis
a xy
dengan
pembayaran tahunan sebesar 1, selama (x) dan (y) kedua-duanya masih hidup ataupun selama status hidup gabungan (xy) tetap berlangsung adalah
a xy
v . t
pxy .
t
t 0 1
v. p xy
1
v.
l xy
1
v2 .
lxy
2
lxy
v3.
l xy
3
l xy
...
xy x y x y l xy lxy l xy v v v . . . ... l l l xy xy xy 1
2
2
1
2
x y
v
v2 . 2 pxy v3 .3 pxy ...
l xy
1
1
2
2
3
2
3
x y xy xy 2 3 x 2 y 1 2 .l xy 1 v .l xy 2 v 2 .lxy 3 ... x y x y v v 2 l xy v 2 l xy
v
l xy
2
D xy
1
Dxy
1
Dxy
2
...
D xy N xy D xy
Analog, karena a x
1
ax maka untuk anuitas gabungan akhir (x) dan (y)
adalah
a xy
v . t
pxy
t
t 1
v. p xy
v
a xy
1
D xy
2
Dxy
. 2 pxy
1
Dxy
3
v . 3 pxy
2
D xy D xy
1
Dxy
2
...
...
1
...
D xy
N xy 1 D xy
.
36
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Sedangkan untuk sekelompok m kehidupan
1 , 2 , 3 ,..., maka
anuitas gabungan awal seumur hidup untuk
1 , 2 , 3 ,..., adalah
x
x
x
x
x
x
x
m
x
m
deretan pembayaran tahunan sebesar 1 setiap awal tahun selama
1 , 2 , 3 ,..., masih hidup x
x
x
x
m
a x x 1
... xm 2
1 v. p
x1 x2 ... xm
2
v . 2 px x 1
... xm 2
3
v . 3 px x
1 2
... xm
...
v . t px x t
1
2
... xm
,
t 0
Dan anuitas gabungan akhirnya adalah a x x 1
... xm 2
v. px x 1
... xm 2
v
2
. 2 px x 1
... xm 2
3
v . 3 px x
1 2
... xm
...
v . t px x t
1
2
... xm
.
t 1
Asuransi gabungan ( joint life insurance ) adalah asuransi yang menanggung dua jiwa atau lebih yang manfaatnya dibayarkan jika salah seorang tertanggung meninggal dunia, terjadi kegagalan kelangsungan hidup gabungan. Ambil pembayaran pada akhir tahun, maka asuransi jiwa gabungan di atas nilai tunainya adalah
A xy v t
1
t 0
. t
qxy
(nilai tunai asuransi jiwa gabungan yang dibayarkan pada akhir tahun satu dari dua kehidupan meninggal atau nilai tunai asuransi jiwa gabungan yang menyediakan santunan sebesar 1 pada akhir tahun dengan status hidup gabungan gagal) atau untuk m kehidupan
A x x ... xm v t 1 . q x x 1 2
t 0
t
1 2 ... xm
.
37
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Telah kita diketahui bahwa tingkat kematiaan sesaat seorang berusia x tahun,
x dinyatakan oleh
x
1 dl x
d
l x dx
dx
ln l . x
Untuk fungsi hidup gabungan dengan m kekhidupan maka tingkat kematian sesaatnya diberikan oleh dl x t:x
1 x
1
t :x t :...: x t 2 m
l x t :x 1
2
d
dt d
dt
1
t :...: x
m
t
ln l x t l x
2 t
1
ln l
x1 t
ln l dt x1 t
x
1
t
x
2
t :...: x
m
t
dt
...l x
m t
ln l x
d
2
2
t
dt
... ln l
xm t
ln l dt
t ... xm t
ln l
x1 t :x2 t :...: x m t
d
d
x2 t
...
d dt
ln l xm t
.
Jadi tingkat kematian sesaat dari hidup gabungan adalah jumlah dari masingmasing tingkat kematian sesaat tunggal. Untuk dua kehidupan (x) dan (y) maka xy
x
y
Untuk m kehidupan x1 , x2 , x3 ,..., xm maka
x x
1 2
... xm
x
1
x
2
...
x
m
.
Asuransi dwiguna suami-istri:
Premi dibayar secara tahunan selama masa kontrak asuransi atau berhenti bila salah seorang dari suami istri meninggal dunia sebelum saat akhir kontrak.
38
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Uang pertanggungan (santunan) dibayarkan kepada ahli waris bila salah seorang dari suami istri meninggal dunia sebelum saat akhir kontrak.
Uang pertanggungan dibayarkan kepada suami istri bila kedua suami istri masih hidup sampai akhir kontrak.
Premi Neto (bersih) adalah p
A xx n :
a xx n :
Cadangan Neto adalah V
Axx
t
t :n t
p.axx
, dengan p adalah premi neto.
t :nt
Contoh 3. 1. Jika
x
1 100 x
, 0 x 100 tentukan
10
p40:50 !
Solusi: 10
p40:50 artinya
peluang hidup gabungan (dua orang (40) dan (50)) akan
hidup paling sedikit 10 tahun. 10
p40:50
10
p40 .10 p50 n
Ingat bahwa n px e Untuk
n
Karena x
10,
x
x
x t dt
0
40
1
, 0 x 100 maka x
100 x
1 t
100
x t
sehingga untuk
40 kita dapatkan 1 40t
100 40 t
n
10
x t
0
1
dt
10
dt
40 t
0
0
60 t 1
60 t
dt
50 ln 60 t ln 50 ln 60 ln 60 10 0
39
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Sehingga 10
10
p40 e
Analog, untuk
40t dt
0
n
10,
e x
50 ln 60
6
50 kita dapatkan
1 50t
1
10
x t dt
50 t
10
dt
50t
0
100 50 t
n
5
.
0
1
50 t
10
40 50
dt ln 50 t 0 ln 40 ln 50 ln
0
Sehingga 10
10
p50 e
50t dt
0
e
40 ln 50
4 5
.
Dengan demikian kita peroleh 10
p40:50
10
5 4 . 6 6
p40 .10 p50
2 3
.
Jadi peluang hidup gabungan dari dua orang (40) dan (50) akan hidup paling sedikit 10 tahun adalah
2 3
.
2. Tentukan peluang seseorang berusia 40 tahun akan hidup mencapai usia 75 tahun jika diketahui
p25:50
25
0, 2 dan
15
p25
0,9 .
Solusi: Peluang seseorang berusia 40 tahun akan hidup mencapai usia 75 tahun sama halnya mencari
p40 35
l 75 l 40
Berdasarkan yang diketahui 25
15
p25:50
p25
25
l 40 l 25
p25 . 25 p 50
l50 l7 5 .
l25 l50
l 75 l 25
0, 2
0,9 .
40
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
jadi
p 35 40
l75
l75 l 25 .
l40
l25 l 40
1
0, 2
0, 22222 .
0,9
(bandingkan dengan diskrit, gunakan tabel CSO 1941)
Perhitungan fungsi hidup gabungan dapat disederhanakan dengan menggunakan fungsi hidup gabungan Makeham I. Menurut Makeham I bahwa
l x
n
x
x
A Bc atau l x
x
k .s x .g c dengan k
l 0 g
xn
k .s x n .g c
maka n p x
l x
xn
k .s x n .g c
n
l x
x
x
k .s x .g c
s n .g c
( cn 1)
.
Pandang dua kehidupan ( dua orang (x) dan (y)) masing-masing berusia x dan y dan masing-masing mempunyai peluang hidup n tahun,
n
p x dan
n
p y .
Peluang hidup gabungan dari Makeham adalah n
pxy
n
px . n p y
s .g
n
s
2n
x
c
.g
( cn 1)
x
c
c
y
(
.
c
n
s . g
1)
n
c
y
( c n 1)
.
x1 , x2 ,..., xm )
Untuk m kehidupan (m orang
maka peluang hidup
gabungan dari Makeham adalah n
p x x
1 2
... xm
n
p x . n p x ... n p x
1
n
s .g
s
Bila kita ambil
c
x
1
c
x
2
mn
2
m
x n c 1 ( c 1)
.g
. s .g n
x x x c 1 c 2 ... c m
... c
x
m
(
mc
c
w
n
c
x2
1)
n (c 1)
... s .g n
xm
c
n (c 1)
.
maka
41
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
n
px1x2 ... xm
mn mc s .g
n
w
(c n 1)
pww...w .
Hal ini berakibat bahwa peluang hidup gabungan dengan usia tidak sama, yaitu
n
px x
1 2
... xm
dapat disederhanakan menjadi peluang hidup gabungan
dengan usia sama, yaitu
n
pww...w
Hukum Mortalitas Makeham menyatakan bahwa tingkat kematian sesaat A Bc x
x
Dengan mengambil x1
Bc
A
c
Bc
x
x2
1
c
2
... c xm
...
A
x1
Bc
x
Bc
Bc
x2
x
mc
m
mBc
...
w
w
maka
dan
A
xm
Bc
mA mBc
w
m A Bc
w
Ekuivalen dengan
x
1
...
x
2
x
m
m w
.
Adapun beberapa formula yang sudah disederhanakan: a x x ... xm
aww...w
a x x ... xm
aww...w
A x x ...xm
1 2
1 2
1 2
P x x
1 2 ...
xm
Aww...w P ww...w
Dengan adanya fungsi hidup gabungan Makeham tersebut maka status hidup gabungan dari usia tak sama dapat disederhanakan menjadi status hidup gabungan usia sama, misalkan xyz menjadi www . Langkah-langkah menghitung anuitas atau asuransi 1. Tentukan c
x
1
c
x
2
c
dengan tabel Makeham berdasarkan persamaan
w
... c
x
m
2. Interpolasi nilai
mc
w
w
42
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
3. Interpolasi nilai anuitas atau asuransi
Contoh 4. Dengan menggunakan Tabel Makeham CSO 1941 2.5% hitunglah
a
35:39:45
!
Solusi: Berdasarkan persamaan c
35
c
39
c
45
3c
c
x
1
c
x
2
x
... c
c
mc
w
maka untuk
m
3
w
c35 c 39 c 45
w
m
.
3
Dengan Tabel Makeham diperoleh c
35
19,852 ;
39
c
27,934 ;
c
45
46,625
Sehingga c
c
w
35
c
39
c
45
3
19,852 27,934 46,625 3
94, 411 3
31, 4703 .
Nilai 31,4703 pada tabel Mahekam terletak diantara usia 40 dan 41 tahun (30,424<31,4703<33,136). Dengan menggunakan interpolasi linear Usia (x)
c
x
40
30,424
w
31,4703
41
33,136
Ingat interpolasi linear: y
x x y x x 2
1
1
2
w
Dengan
w
x x y x x 1
2
2
atau
x
1
y y x y y 2
1
1
2
y y x y y 1
2
2
1
31,4703 33,136 31,4703 30,424 40 41 40, 3858 . 30, 424 33,136 33,136 30, 424
40,3858 maka
a35:39:45
a40,3858:40,3858:40,3858
43
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
Karena
w
40,3858 terletak diantara usia 40 dan 41 tahun maka untuk
mendapatkan
a35:39:45
Usia (x)
a40,3858:40,3858:40,3858 dilakukan interpolasi linear
xxx
40
14,63009
W=40,3858
?
41
14,23310
40 tahun
14, 63009
41 tahun
14, 23310
a xxx x
40, 3858 41 40, 3858 40 14, 63009 14, 23310 40 41 41 40
40,3858:40,3858:40,3858
a
0,614214,63009 0,3858 14, 23310
a xxx x
a
14,47693 .
Contoh 5. Dengan menggunakan Tabel Makeham CSO 1941 2.5% hitunglah a40:50 ! Solusi: c
x 1
c
x 2
2c
c x1 c x2
w
c
Nilai
c
w
w
2
c40 c50 2
30, 424 71, 453 2
50,9385
50,9385 pada tabel makeham adalah diantara usia 46 dan 47 tahun
(50,781<50,9385<55,307). Dengan interpolasi linear didapat
w
46,03480
yang mengakibatkan a
40:50
Karena
w
a
46,03480:46,03480
.
46,03480 terletak diantara usia 46 dan 47 tahun maka untuk
mendapatkan a40:50
a46,03480:46,03480 dilakukan interpolasi linear. Berdasarkan
tabel Makeham
46 tahun
14,35245
47 tahun
13, 94244
a xx x
a xx x
44
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
a
46,03480:46,03480
46, 03480 47 46, 03480 46 13, 94244 14, 35245 46 47 47 46 14,33818 .
Contoh 6. Dengan menggunakan Tabel Makeham CSO 1941 2.5% hitunglah
A40:50 !
Solusi: Berdasarkan Contoh 5 diperoleh A40:50
A46,03480:46,03480
a
40:50
a
46,03480:46,03480
1 d .a46,03480:46,03480
0,025 1 . 1 14, 33818 1 0,025
i 1 . 1 a46,03480:46,03480 1 i
1. Hitunglah
14,33818
0,62590 .
A35:39:45 , a30:35:45 ,
dan P 40:50 dengan menggunakan tabel Makeham
CSO 1941 2.5%! 2. Hitunglah l 25:25 jika diketahui bahwa
x
1 100 x
, 0 x 100 !
2.8. Tabel Makeham CSO 1941 2.5%
Berikut ini diberikan Tabel Makeham CSO 1941 2.5%
TABEL MAKEHAM CSO 1941 2.5%
x
a
xx
a
xxx
c
x
30
20.63897
18.48172
12.9540
31
20.27405
18.11153
14.1090
32
19.90413
17.73708
15.3660
45
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
33
19.52954
17.35885
16.7360
34
19.15026
16.97680
18.2280
35
18.76695
16.59181
19.8520
36
18.37945
16.20371
21.6220
37
17.98833
15.81326
23.5490
38
17.59385
15.42063
25.6480
39
17.19596
15.02593
27.9340
40
16.79545
14.63009
30.4240
41
16.39232
14.23310
33.1360
42
15.98714
13.83565
36.0890
43
15.58011
13.43796
39.3060
44
15.17162
13.04049
42.8090
45
14.76233
12.64403
46.6250
46
14.35245
12.24878
50.7810
47
13.94244
11.85524
55.3070
48
13.53291
11.46409
60.2360
49
13.12403
11.07548
65.6050
50
12.71666
10.69038
71.4530
51
12.31105
10.30898
77.8220
52
11.90776
9.93186
84.7580
53
11.50720
9.55942
92.3130
54
11.11010
9.19240
100.5410
55
10.71676
8.83102
109.5020
56
10.32771
8.47580
119.2620
57
9.94354
8.12727
129.8920
58
9.56463
7.78572
141.4700
59
9.19149
7.45161
154.0790
60
8.82458
7.12530
167.8120
61
8.46435
6.80713
182.7700
46
Hidup Gabungan & Fungsi Hidup Gabungan Makeham
62
8.11113
6.49731
199.0600
63
7.76562
6.19648
216.8030
64
7.42783
5.90444
236.1270
Catatan:
Hubungan antar Anuitas a
xx
a
xxx
1 axx
a
xx
maka langsung diinterpolasi berdasarkan Tabel Makeham
a
xx
Jika dicari hubungan
xxx
Jika dicari untuk
1 a
a
xx
a
xx
maka diinterpolasi dahulu nilai a xx kemudian gunakan
1 axx
Jika akan dicari Makeham untuk
a xxx
a xxx
Jika akan dicari gunakan hubungan
. maka langsung diinterpolasi berdasarkan Tabel
.
a xxx a
maka diinterpolasi dahulu nilai
xxx
a
xxx
1
a xxx
kemudian
.
47
