08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos

08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

1. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra Deformación (en mm) Dureza Brinell (en kg/mm2)

1 6 68

2 9 67

3 10 66

4 11 53

5 13 52

6 15 50

7 18 48

8 22 44

9 26 40

10 28 37

11 33 34

12 35 32

Suponiendo validos los supuestos necesarios, estime con 90% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm. 1) Solución: Sean: 𝑥 = “Deformación, en mm”; 𝑦 = “Dureza Brinell, en kg/mm2” 𝑦̂ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = 72,407; 𝑏1 = −1,229 → 𝑦̂ = 72,407 − 1,229 𝑥 La fórmula para determinar el intervalo confidencial: (𝒙 − 𝒙 ̅)𝟐 𝟏 𝑰𝑪(𝝁𝒚.𝒙 )𝟏−𝜶 = (𝒃𝟎 + 𝒃𝟏 𝒙 ± 𝒕(𝒏−𝟐; 𝟏−𝜶) ∙ 𝒔𝒚.𝒙 √ + ) ̅)𝟐 𝒏 ∑(𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ̅ = 𝟏𝟖, 𝟖𝟑𝟑𝟑 Con: 𝒙 = 𝟐𝟔; 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟗𝟎; 𝒏 = 𝟏𝟐; 𝑺𝒙 = 𝟗, 𝟖𝟎𝟓𝟕; 𝑺𝒚 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟔𝟒𝟒; 𝒙 Reemplazando, obtenemos: 𝒏−𝟏 𝟏𝟐 − 𝟏 (𝟏𝟐, 𝟔𝟔𝟒𝟒𝟐 − 𝟏, 𝟐𝟐𝟗𝟐 𝟗, 𝟖𝟎𝟓𝟕𝟐) = 𝟒, 𝟎𝟖𝟑𝟎 (𝑺𝒚 𝟐 − 𝒃𝟏 𝟐 𝑺𝒙 𝟐 ) = √ 𝒔𝒚.𝒙 = √ 𝒏−𝟐 𝟏𝟐 − 𝟐 (𝒙 − 𝒙 ̅)𝟐 = (𝟐𝟔 − 𝟏𝟖, 𝟖𝟑𝟑𝟑)𝟐 = 𝟓𝟏, 𝟑𝟔𝟏𝟔 ;

∑(𝒙𝒊 − 𝒙 ̅)𝟐 = (𝒏 − 𝟏) 𝑺𝒙 𝟐 = 𝟏𝟏 ∗ 𝟗, 𝟖𝟎𝟓𝟕𝟐 = 𝟏𝟎𝟓𝟕, 𝟔𝟔𝟗𝟑

𝟏 𝟓𝟏, 𝟑𝟔𝟏𝟔 𝑰𝑪(𝝁𝒚.𝒙 )𝟎,𝟗𝟎 = (𝟕𝟐, 𝟒𝟎𝟕 − 𝟏, 𝟐𝟐𝟗 ∗ 𝟐𝟔 ± 𝒕(𝟏𝟎;𝟎,𝟗𝟓) ∗ 𝟒, 𝟎𝟖𝟑𝟎√ + ) 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟓𝟕, 𝟔𝟔𝟗𝟑 𝑪𝒐𝒏 𝒕(𝟏𝟎;𝟎,𝟗𝟓) = 𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓; →

𝑰𝑪(𝝁𝒚.𝒙 )𝟎,𝟗𝟎 = [𝟑𝟕, 𝟕𝟔𝟓𝟒; 𝟒𝟑, 𝟏𝟒𝟎𝟔]

Respuesta: El intervalo [𝟑𝟕, 𝟕𝟔𝟓𝟒; 𝟒𝟑, 𝟏𝟒𝟎𝟔] contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm, con un 90% de confianza. 2. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra 1 Deformación (en mm) 6 2 Dureza Brinell (en kg/mm ) 70

2 9 68

3 10 66

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

4 12 55

5 14 52

6 15 50

7 18 48

8 22 44

9 26 40

10 28 37

11 33 35

12 35 30

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Suponiendo validos los supuestos necesarios, estime con 95% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm. 2) Solución: Sean: 𝑥 = “Deformación, en mm”; 𝑦 = “Dureza Brinell, en kg/mm2” 𝑦̂ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = 74,6589; 𝑏1 = −1,3198 → 𝑦̂ = 74,6589 − 1,3198 𝑥 La fórmula para determinar el intervalo confidencial: (𝑥 − 𝑥̅ )2 1 𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼) ∙ 𝑠𝑦.𝑥 √ + ) 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 2 Con: 𝑥 = 33; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 12; 𝑆𝑥 = 9,6859; 𝑆𝑦 = 13,2833; 𝑥̅ = 19 Reemplazando, obtenemos: 𝑛−1 12 − 1 (13,28332 −1,31982 9,68592 ) = 3,7858 (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 𝑠𝑦.𝑥 = √ 𝑛−2 12 − 2 (𝑥 − 𝑥̅ )2 = (33 − 19)2 = 196 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 11 ∗ 9,68592 = 1031,9832

1 196 𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,90 = (74,6589 − 1,3198 ∗ 33 ± 𝑡(10;0,975) ∗ 3,7858√ + ) 12 1031,9832 𝐶𝑜𝑛 𝑡(10;0,975) = 2,2281; →

𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,95 = [26,6961; 35,5149]

Respuesta: El intervalo [26,6961; 35,5149] contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm, con un 95% de confianza. 3. Se ha encontrado la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro, para una muestra aleatoria de tamaño 6. CONCENTRACIÓN (X) LECTURA (Y)

4 80

5 170

6 260

7 330

8 390

9 430

Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables. Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura promedio en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 5.5 por ciento. 3) Solución: Sea: 𝑥 = “Concentración, en porcentaje”; 𝑦 = “Lectura en el colorímetro” 𝑦̂ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = −138,9048; 𝑏1 = 70,8571 → 𝑦̂ = −138,9048 + 70,8571 𝑥

La fórmula para determinar el intervalo confidencial: (𝑥 − 𝑥̅ )2 1 𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼) ∙ 𝑠𝑦.𝑥 √ + ) 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 2

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Con: 𝑥 = 5,5; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 6; 𝑆𝑥 = 1,8708; 𝑆𝑦 = 133,8158; 𝑥̅ = 6,5 Reemplazando, obtenemos: 𝑛−1 6−1 (133,81582 − 70,85712 1,87082 ) = 20,4529 (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 𝑠𝑦.𝑥 = √ 𝑛−2 6−2 (𝑥 − 𝑥̅ )2 = (5,5 − 6,5)2 = 1 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 5 ∗ 1,87082 = 17,4995

1 1 𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,95 = (−138,9048 + 70,8571 ∗ 5,5 ± 𝑡(4;0,975) ∗ 20,4529√ + ) 6 17,4995 𝐶𝑜𝑛 𝑡(4;0,975) = 2,7764; →

𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,95 = [223,9448; 277,6737]

Respuesta: El intervalo [223,9448; 277,6737] contiene la lectura promedio en el colorímetro de las sustancias que tengan una concentración de 5,5%, con una confianza del 95%.

4. Se ha encontrado la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro, para una muestra aleatoria de tamaño 8. CONCENTRACIÓN (X) LECTURA (Y)

4 80

5 170

5 200

6 260

7 330

7 334

8 390

9 430

Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables. Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6.5 por ciento. 4) Solución: Sean: 𝑥 = “Concentración, en porcentaje”; 𝑦 = “Lectura en el colorímetro” 𝑦̂ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = −168,7925; 𝑏1 = 69,4969 → 𝑦̂ = −168,7925 + 69,4969 𝑥

La fórmula para determinar el intervalo confidencial: 𝐼𝐶(𝑌)1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼) ∙ 𝑠𝑦.𝑥 √1 + 2

(𝑥 − 𝑥̅ )2 1 + ) 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2

Con: 𝑥 = 6,5; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 8; 𝑆𝑥 = 1,6850; 𝑆𝑦 = 118,7142; 𝑥̅ = 6,375 Reemplazando, obtenemos: 𝑛−1 8−1 (118,71422 − 69,49692 1,68502 ) = 21,0588 (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 𝑠𝑦.𝑥 = √ 𝑛−2 8−2


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(𝑥 − 𝑥̅ )2 = (6,5 − 6,375)2 = 0,0156 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 7 ∗ 1,68502 = 19,8746

1 0,0156 𝐼𝐶 (𝑌)0,95 = (−168,7925 + 69,4969 ∗ 6,5 ± 𝑡(6;0,975) ∗ 21,0588√1 + + ) 8 19,8746 𝐼𝐶 (𝑌)0,95 = [228,2638; 337,6109]

𝐶𝑜𝑛 𝑡(6;0,975) = 2,4469; →

Respuesta: El intervalo [228,2638; 337,6109] contiene la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6,5%, con una confianza del 95%. 5. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 12 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia

1 1 13

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 7 2 3 7 7 3 2 21,9 29,8 32,4 24,5 24,2 30,4 34,5 26,2 24,5

11 1 13

12 10 42,6

Suponiendo validos los supuestos necesarios ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 5) Solución: Sean: 𝑥 = “Número de días de fragüe”; 𝑦 = “Resistencia de una mezcla de cemento” Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente: 𝑯𝟎 : 𝝆 = 𝟎 𝑯𝟏 : 𝝆 ≠ 𝟎 𝑪𝒐𝒏: 𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝟕; 𝒏 = 𝟏𝟐 Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos: 𝒓√𝒏 − 𝟐 𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝟕√𝟏𝟐 − 𝟐 𝑻= → 𝑻= = 𝟔, 𝟔𝟑𝟒𝟒 √𝟏 − 𝒓𝟐 √𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝟕𝟐 La Región Crítica (𝐶𝑜𝑛 𝛼 = 0,05): 𝑹𝑪 = { 𝒙 | 𝐓 < −𝒕(𝒏−𝟐; 𝟏− 𝜶) 𝒐 𝐓 > 𝒕(𝒏−𝟐; 𝟏− 𝜶) } → 𝑹𝑪 = { 𝒙 | 𝐓 < −𝒕(𝟏𝟎; 𝟎,𝟗𝟕𝟓) 𝒐 𝐓 > 𝒕(𝟏𝟎; 𝟎,𝟗𝟕𝟓) } 𝟐

𝟐

𝑅𝐶 = { 𝑥 | T < −2,2281 𝒐 T > 2,2281}

Respuesta: Como 𝑻 ∈ 𝑹𝑪, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con 𝛼 = 0,05. 6. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 10 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia

Página 176

1 1 13

2 2 21,9

3 3 29,8

4 7 32,4

5 2 24,5

6 3 24,2

7 7 30,4

8 7 34,5

9 3 26,2

10 2 24,5



Suponiendo validos los supuestos necesarios ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 6) Solución: Sean: 𝑥 = “Número de días de fragüe”; 𝑦 = “Resistencia de una mezcla de cemento” Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente: 𝑯𝟎 : 𝝆 = 𝟎 𝑯𝟏 : 𝝆 ≠ 𝟎 𝑪𝒐𝒏: 𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝟕; 𝒏 = 𝟏𝟎 Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos: 𝒓√𝒏 − 𝟐 𝟎, 𝟖𝟑𝟕𝟏√𝟏𝟎 − 𝟐 𝑻= → 𝑻= = 𝟒, 𝟑𝟐𝟖𝟏 𝟐 √𝟏 − 𝒓 √𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑𝟕𝟏𝟐 La Región Crítica (𝐶𝑜𝑛 𝛼 = 0,05): 𝑹𝑪 = { 𝒙 | 𝐓 < −𝒕(𝒏−𝟐; 𝟏− 𝜶) 𝒐 𝐓 > 𝒕(𝒏−𝟐; 𝟏− 𝜶) } → 𝑹𝑪 = { 𝒙 | 𝐓 < −𝒕(𝟖; 𝟎,𝟗𝟕𝟓) 𝒐 𝐓 > 𝒕(𝟖; 𝟎,𝟗𝟕𝟓) } 𝟐

𝟐

𝑅𝐶 = { 𝑥 | T < −2,3060 𝑜 T > 2,3060}

Respuesta: Como 𝑻 ∈ 𝑹𝑪, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con 𝛼 = 0,05. 7. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero Barra Carbono (%) Resistencia

1 2,0 43

2 2,4 46

3 2,2 45

4 2,3 44

5 2,5 45

6 2,8 48

7 2,2 43

8 2,7 47

9 2,4 44

10 2,3 45

11 2,0 42

12 2,2 44

En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 7.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 7.2) ¿Es posible concluir con 5% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción? 7.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Contenido de carbono, en porcentaje”; 𝑦 = “Resistencia a la tracción” 𝑦̂ = 𝐴 + 𝐵𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝐴 = 29,85; 𝐵 = 6,35 → 𝑦̂ = 29,85 + 6,35 𝑥

7.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son: 𝐻0 : 𝜌 = 0 𝐻1 : 𝜌 ≠ 0 Con: 𝒏 = 𝟏𝟐; 𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟕𝟏 Entonces, el estadístico de prueba es: 𝑟 √𝑛 − 2 𝑇= √1 − 𝑟 2

→

𝑇=


0,9071 √12 − 2 √1 − 0,90712

= 6,8149

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La Región Crítica (Con 𝛼 = 0,05): 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼) ó 𝑇 > 𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼) } 2

→ 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(10; 0,975) ó 𝑇 > 𝑡(10; 0,975) }

2

𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −2,2281 ó 𝑇 > 2,2281} Respuesta: Como 𝑻 𝝐 𝑹𝑪, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 5% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.

8. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero Barra Carbono (%) Resistencia

1 2,4 46

2 2,2 45

3 2,3 44

4 2,5 45

5 2,8 48

6 2,2 43

7 2,7 47

8 2,4 44

9 2,3 45

10 2,0 42

En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 8.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 8.2) ¿Es posible concluir con 10% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción?

8.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Contenido de carbono, en porcentaje”; 𝑦 = “Resistencia a la tracción” 𝑦̂ = 𝐴 + 𝐵𝑥 𝐶𝑜𝑛 𝐴 = 28,85; 𝐵 = 6,74 → 𝑦̂ = 28,85 + 6,74 𝑥 8.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son: 𝐻0 : 𝜌 = 0 𝐻1 : 𝜌 ≠ 0 Con: 𝒏 = 𝟏𝟎; 𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟏𝟐 Entonces, el estadístico de prueba es: 𝑇=

𝑟 √𝑛 − 2

√1 − 𝑟 2 La Región Crítica (Con 𝛼 = 0,10):

→

𝑇=

𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼 ) ó 𝑇 > 𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼) } 2

2

0,9012 √10 − 2 √1 − 0,90122

= 5,88

→ 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(8; 0,95) ó 𝑇 > 𝑡(8; 0,95) }

𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −1,8595 ó 𝑇 > 1,8595} Respuesta: Como 𝑻 𝝐 𝑹𝑪, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, no existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.

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08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos

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