Capitulo 3 Ejercicios: 3, 6, 9, 12, 15 y 18 (3) ¿Qué mide el cuadrado medio del error en el ANOVA de un experimento? Un cuadrado medio es la suma de cuadrados divididos entre sus respectivos grados de libertad. El cuadrado medio del error mida le estimación de la magnitud de su correspondiente fuente de variabilidad. Es decir la variación debida al error. (6) Se desea investigar el efecto del pH en el crecimiento de cierto microorganismo en un medio especifico. Para ello se realiza un experimento, teniendo como punto de partida la misma cantidad de microorganismos. Se hacen cuatro repeticiones y se obtienen los siguientes resultados. ¿Estos datos son evidencia suficiente para afirmar que los niveles de pH en los que se logra menor y mayor crecimiento son el 3 y el 3, respectivamente? Nivel pH 1 2 3
Crecimiento promedio (%) 80 105 75
Estos datos no son suficientes para afirmar que los niveles de pH en lo que se logra mayor o menor crecimiento. Para obtener esta conclusión se deben utilizar métodos estadísticos, de esa forma se puede afirmar correctamente el resultado. El promedio de una muestra no es información suficiente para hacer afirmaciones estadísticas del comportamiento de una población. (9) ¿Qué son y cuando se aplican las pruebas para comparar medias? medias? Las pruebas para comparar medias se aplican cuando la hipótesis nula es rechazada, es decir, cuando se concluye no todas las medias son estadísticamente iguales, al menos una difiere. Estas pruebas son herramientas que permiten distinguir cuales tratamientos son iguales y cuales son diferentes. (12) En un centro de investigación se realiza un estudio para comparar varios tratamientos que, al aplicarse previamente a los frijoles crudos, reducen su tiempo de cocción. Estos tratamientos son a base de bicarbonato de sodio (NaHCO3) y cloruro de sodio o sal común (NaCl). El primer tratamiento t ratamiento es el de control, que consiste en no aplicar ningún tratamiento. El tratamiento T2 es remojar en agua con bicarbonato de sodio, el T3 es remojar en agua con sal común y el T4 es remojar en agua con una combinación de ambos ingredientes en proporciones iguales. La variable de respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Los datos se muestran en la siguiente tabla: Control
T2
T3
T4
213 214 204 208 212 200 207
76 85 74 78 82 75 82
57 67 55 64 61 63 63
84 82 85 92 87 79 90
a) ¿De que manera el experimentador debe aleatorizar los experimentos y el material experimental? Se debe realizar los experimentos de manera aleatoria. Esto permitiría repartir equitativamente los posibles efectos ambientales y temporales entre los tratamientos. b) De ejemplos de factores que deben estar fijos durante as pruebas experimentales, para que no afecten los resultados y las conclu siones. Debe estar fijo la temperatura, la olla, cantidad y marca de frijoles, además de la calidad del agua. Se pudiera considerar hacer los tratamientos en el mismo día y en horas similares para evitar cambios ambientales.
c) Formule y pruebe la hipótesis de que las medias de los tratamientos son iguales. H0: µ2 = µ3 = µ4 HA: µ2 ≠ µ3 ≠ µ4 Ya que el valor-p es 0 y es menor que el valor de se rechaza la H 0 y se afirma que estadísticamente los tratamientos no son iguales, al menos uno difiere. d) Obtenga el diagrama de caja y el grafico de medias después; interprételos.
A partir estos
de
diagramas se puede observar que T 3 es diferente a los otros dos tratamientos. También que el T 2 y T 4 son iguales. Por el diagrama de cajas se puede concluir que en T 3 hay mas variabilidad que en los demás métodos. e) ¿Hay algún tratamiento mejor? ¿Cuál es el tiempo de cocción esperado para el mejor tratamiento? Evaluando los resultados se puede distinguir que T 3 tiene tiempo de cocción diferente a T 2 y T4 que son iguales entre ellos. Este incluso tiene el menor promedio de tiempo por lo que seria el mejor tratamiento. El tiempo de cocción esperado es de 61.429 minutos. f) Algo importante a cuidar en un experimento es que no haya efectos colaterales no deseados, causados por el tratamiento ganador; en este caso, piense en los posibles efectos colaterales que podría causar el mejor tratamiento. Que no se cocinen correctamente los frijoles, que varié el sabor e incluso que sean menos perecederos. Puede causar variación en el volumen. g) ¿Se cumplen los supuestos del modelo? Observando las graficas de residuos se afirma que se cumplen los supuestos.
h) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos (que corresponde a un supuesto) H0: S2 = S3 = S4 HA: S2 ≠ S3 ≠ S4
Se acepta H0 porque el valor-p = 0.978 que es mayor a .
(15) Una compañía farmacéutica desea evaluar el efecto que tiene la cantidad de almidón en la dureza de las tabletas. Se decidió producir lotes con una cantidad determinada
de almidón, y que las cantidades de almidón a aprobar fueran 2, 5 y 10%. La variable de respuesta seria el promedio de la dureza de 20 tabletas de cada lote. Se hicieron cuatro replicas por tratamiento y se obtuvieron los siguientes resultados: % de Almidón
2 5 10
Dureza
4.3 6.5 9.0
5.2 7.3 7.8
4.8 6.9 8.5
4.5 6.1 8.1
a) ¿Hay evidencia suficiente de que el almidón influye en la dureza en las tabletas? Halle el ANOVA H0: µ2 = µ5 = µ10 HA: µ2 ≠ µ5 ≠ µ10
Ya que el valor-p es de 0.0 y menor que se rechaza H 0 y se concluye que estadísticamente los tratamientos no son iguales, al menos uno difiere. Se pudiera decir que el % de almidón si influye en la dureza. b) Realice los análisis
complementarios necesarios.
Observando las graficas se concluye que ningún tratamiento es igual, es decir que todos son diferentes. Además que el método con 2% presenta mas variabilidad que los demás. c) Si se desea maximizar la dureza de las tabletas, ¿qué recomendaría al fabricante?
Ya que el % de almidón influye en la dureza, recomendaría el tratamiento de 10% si lo que se quiere maximizar es la dureza. Presentaría un promedio de 8.35 en dureza. d) Verifique los supuestos.
Según las graficas de residuos de probabilidad se afirma que esta en normal y se aceptan los supuestos.
(18) Se cultivaron cuatro diferentes clonas de agave tequilana bajo un mismo esquema de manejo. Se quiere saber que clona es la que responde mejor a dicho manejo, evaluando el nivel de respuesta con el porcentaje de azucares reductores totales en base húmeda. Losa datos de muestran a continuación: Clona 1
2
3
4
8.69 6.68 6.83 6.43 10.30
8.00 16.41 12.43 10.99 15.53
17.39 13.73 15.62 17.05 15.42
10.37 9.16 8.13 4.40 10.38
a) Mediante ANOVA, compare las medias de las clinas y verifique residuales. H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 HA: µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 ≠ µ4
Se observa que el valor-p es 0.0 y es menor que por lo que se rechaza H 0 y se afirma
que estadísticamente hay diferencias entre las medias de los tratamientos.
Viendo las graficas de residuales se aceptan los supuestos y se ve que la probabilidad esta en normalidad.
b) ¿Hay una clona que haya respondido mejor al
esquema de manejo? Argumente su respuesta.
Observando las graficas se puede concluir que el método 1 es el que presenta mayor variabilidad, y también el método 4. También se puede concluir las siguientes igualdades: 1 = 2 = 4 & 2 = 3 Comparando las varianzas se puede observar que no hay diferencias entre ellas. Al establecer que estadísticamente tratamiento 2 y 3 son iguales, el mejor tratamiento estaría entre estos dos. Esto es asumiendo que con mayor promedio de azucares reductores es mejor.
el
c) En caso de que exista un empate estadístico entre dos o mas clonas, ¿qué propondría para desempatar? Todo dependerá de que cual seria el costo de cada uno para decidir entre uno de los dos tratamientos. El tratamiento de menor costo seria el idea. Otro aspecto a considerar es realizar el experimento nuevamente con una mayor muestra.
Joaquín Albert | 11-0235 Diseño Estadístico de Experimentos Sec. 01 | UNIBE | 14.04.2014
Practica: Prueba de Kruskal-Wallis
Criterio de Rechazo
Producto A B 50 80 62 95 75 98 48 87 65 90 El valor de X 20.05,2 = 5.99 < H = 10.22 se concluye que hay diferencia entre los tratamientos. Se concluye lo mismo con el valor-p 0.006 que es menor al de . Se rechaza H 0
(26) Use la prueba de Kruskal-Wallis y = 0.05 para determinar si existe una diferencia significativa entre las calificaciones dadas a los tres productos. Las calificaciones dadas a tres productos por un panel de 15 consumidores son las siguientes: H0: µA = µB = µC | HA: µA ≠ µB ≠ µC
(27) Para un examen de admisión se evalúan tres programas de preparación. Las calificaciones obtenidas por las 20 personas de una muestra empleada para probar los programas de preparación son las siguientes. Use la prueba de Kruskal-Wallis para determinar si hay una diferencia significativa entre los tres programas de preparación. Use = 0.01. H0: µA = µB = µC HA: µA ≠ µB ≠ µC
A 540 400 490 530 490 610
Programa B 450 540 400 410 480 370 550
A partir del valor-p 0.011 que es mayor a se puede afirmar que entre los programas no hay diferencias significativa. X20.01,2 = 9.21 > H = 9.10 Lo que demuestra lo mismo. Se acepta H0 (28) Para bajar de peso basta con practicar una de las siguientes actividades tres veces por semana durante cuarenta minutos. EN la tabla siguiente se muestra la cantidad de calorías que se quema con 40 minutos de cada una de estas actividades. ¿Estos
C 60 45 30 58 57
C 600 630 580 490 590 620 570
Natación Tenis Bicicleta 408 415 385 380 480 250 datos indican que exista diferencia en la cantidad 425 450 295 de calorías quemadas con cada una de estas 400 420 402 actividades? 427 530 268 H0: µN = µT = µB | HA: µN ≠ µT ≠ µB La información presentada en el caso de estudio no es suficiente para determinar si es la diferencia entre deporte es significativa o no, ya que no presenta el valor de significancia con al cual se debe someter el estudio. Si =0.05 pues no habría diferencia significativa, ya que el valor-p > , aunque se 2 contradice si se utiliza X 0.05,2=5.99 < H=9.26, que seria lo contrario. Si =0.01, el valor-p seria el mismo al de significancia, en este caso optamos por comparar el valor X 20.01,2=9.21 < H=9.26 que demostraría que si hay diferencia significativa. (29) La revista Conde Nast Traveler realiza cada año un Holland Princess estudio para evaluar los 80 principales barcos cruceros America del mundo. A continuación se dan las evaluaciones 84.5 85.1 dadas a os cruceros de una muestra de líneas Hooland 81.4 79.0 America, Princess y Royal Caribbean; la evaluación 84.0 83.9 máxima es 100. Use la prueba de Kruska-Wallis con 78.5 81.1 =0.05 para determinar si hay diferencia significativa 80.9 83.7 en las evaluaciones de los barcos de las tres líneas. H0: µH = µP = µR | HA: µH ≠ µP ≠ µR Comparando valor-p=0.123 > =0.05, se afirma que no hay diferencia significativa entre las líneas de cruceros. X 20.05,2 = 5.99 > H=4.19 Se acepta H0 (30) Una empresa grande envía a muchos de sus administrativos de primer nivela a un curso sobre habilidades de supervisión este curso se ofrece en cuatro centros educativos y la empresa desea determinar si estos difieren en la calidad de la capacitación que ofrecen. Para lo cual toma una muestra de 20 de los empleados que ha asistido a estos cursos y la muestra se ordena de acuerdo con sus habilidades para la supervisión, dando un rango a cada uno de los componentes de la muestra.
Royal Caribbean 84.8 81.8 84.0 85.9 87.4
Curso 1 2 3 4
Rango de acuerdo con sus habilidades como supervisor 3 14 10 12 13 11 5 1 7 2 19 16 9 18 17 20 4 15 6 8
Observe que el supervisor que obtuvo el mejor rango asistió al curso 2 y el supervisor que obtuvo el pero rango asistió al curso 4. Use =0.05 y realice una prueba para determinar si hay una diferencia significativa entre la capacitación ofrecida por estos cuatro cursos. H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 HA: µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 ≠ µ4 Comparando el valor-p 0.045 < =0.05 afirmamos que hay diferencia significativa entre los cursos. Comparar X 20.05,3 = 7.814 < H=8.03 demuestra lo mismo. Se rechaza H 0. (31) Los dulces mas vendido tiene muchas calorías. Los datos siguientes muestran el contenido de calorías en muestras de M&M, Kit Kat y Milky Way II. Pruebe si hay una diferencia significativa en el contenido de calorías de estos tres dulces. Emplee = 0.05, ¿cuál es su conclusión? H0: µMM = µKK = µMW | HA: µMM ≠ µKK ≠ µMW Valor-p 0.011 < =0.05 afirmamos que hay diferencia significativa entre los chocolates. Es lo mismo X 20.05,2 = 5.99 < H=8.98. Se rechaza H 0
M&Ms 230 210 240 250 230
Kit Kat 225 205 245 235 220
Milky Way II 200 208 202 190 180
