16 Evaluación numérica Evaluación de la respuesta dinámica
AVANCE Hasta ahora se ha abordado principalmente el análisis modal de los sistemas de VGDL VGDL con amortiguamiento clásico que responden dentro de su intervalo elástico lineal; vea la figura 9.11.1. Las ecuaciones modales desacopladas pueden resolverse en forma cerrada si la excitación es una función simple (capítulo 12), pero para las excitaciones complejas como el movimiento sísmico del terreno se requieren los métodos numéricos del capítulo 5 (capítulo 13). El desacoplamiento de las ecuaciones modales no es posible si el sistema tiene un amortiguamiento no clásico o si responde en el intervalo no lineal. Para estos sistemas es necesario resolver las ecuaciones acopladas de movimiento en las coordenadas c oordenadas nodales, modales o de Ritz (ecuaciones 9.8.2, 12.4.4 o 15.3.3, respectivamente) mediante métodos numéricos. Existe una gran cantidad de literatura acerca de estos métodos, incluyendo los capítulos principales de varios libros. Sin embargo, en este capítulo se incluyen sólo algunos métodos basados en los procedimientos que se presentaron en el capítulo 5 para los sistemas de 1GDL. Aquí se proporcionan los conceptos básicos detrás de estos métodos y los algoritmos de cálculo necesarios para implementar los métodos.
16.1 MÉTODOS DE ANÁLISIS ANÁLIS IS EN EL TIEMPO PASO PASO A PASO PASO El objetivo es resolver en forma numérica el sistema de ecuaciones diferenciales que controlan la respuesta de los sistemas de VGDL: mu¨ cu˙ f S S ( u)
p(t )
o
mι u g ( t )
¨
( 16.1.1)
673
6744 67
Reducción de los grados de libertad
Capítulo 15
con las condiciones iniciales u
( 0)
y
u
˙
u
˙ ( 0)
u
( 16.1.2)
en t � 0. La solución s olución proporcionará proporcionará el vector de desplazamiento u(t ) como una función del tiempo. Como en el capítulo 5, la escala de tiempo se divide en una serie de pasos de tiempo, por lo general de duración constante Δt . La excitación se da en los instantes de tiempo discreto t i � i Δt ; en t i, que se denota como el tiempo i, el vector de excitación es pi ≡ p(t i). La respuesta se determinará en los mismos instantes de tiempo y se denota por ui ≡ u(t i), ˙ i u˙ ( t i ) , y u¨ i u¨ ( t i ). u A partir de la respuesta conocida del sistema en el tiempo i que satisface la ecuación (16.1.1) en el instante i,
mu¨ i
cui ( f S S ) i
˙
pi
( 16.1.3)
los métodos de análisis en el tiempo paso a paso permiten dar un paso adelante para determinar la respuesta ui 1 , u˙ i 1 y üi�1 del sistema en el tiempo i � 1, la cual satisface la ecuación (16.1.1) en el tiempo i � 1.
mu¨ i 1 cu˙ i 1
( f S S ) i 1
pi 1
( 16.1.4)
Cuando se aplica en forma sucesiva con i � 0, 1, 2, 3, ..., el procedimiento de análisis en el tiempo paso a paso proporciona la respuesta deseada en todos los instantes de tiempo i � 1, 2, 3, .... Las condiciones iniciales conocidas en el momento i � 0, ecuación (16.1.2), dan la información necesaria para iniciar el proceso. El procedimiento numérico requiere tres ecuaciones matriciales para determinar los tres vectores desconocidos ui 1 , u˙ i 1 , y u¨ i 1 . Dos de estas ecuaciones se s e derivan de cualquiera de las ecuaciones en diferencias finitas para los vectores de velocidad y aceleración, o de un supuesto sobre de la manera en que varía la aceleración durante un paso de tiempo. La tercera es la ecuación (16.1.1) en un instante de tiempo seleccionado. Si éste es el tiempo actual i, se dice que el método de integración es un método explícito. Si se utiliza el tiempo i � 1 al final del paso de tiempo, el método se conoce como c omo un método implícito; vea el capítulo 5. Como se mencionó en el capítulo 5, para que un procedimiento numérico sea útil, debe (1) converger converger a la solución exacta a medida que Δt decrece, decrece, (2) ser estable en presencia de errores de redondeo numérico, y (3) ser exacto (es decir, los errores de cálculo deben estar dentro de un límite aceptable). Los criterios de estabilidad se mostraron como no restrictivos en el análisis de la respuesta de los sistemas de 1GDL, porque Δt debe debe ser mucho menor que el límite de estabilidad para asegurar la precisión adecuada en los resultados numéricos. Sin embargo, en el análisis de los sistemas de VGDL la estabilidad del método numérico es una consideración crítica, como se verá más adelante en este capítulo. En particular, es posible utilizar en forma eficaz procedimientos condicionalmente condicionalmente estables para el análisis de la respuesta lineal de grandes sistemas de VGDL, pero para el análisis de la respuesta no lineal de tales sistemas suelen requerirse procedimientos incondicionalmente estables. En las siguientes secciones se presentan algunos de los métodos numéricos para cada tipo de análisis de la respuesta.
Sección 16.2
675
Sistemas lineales con amortiguamiento no clásico
16.2 SISTEMAS LINEALES CON AMORTIGU AMORTIGUAMIENTO AMIENTO NO CLÁSICO Las N ecuaciones ecuaciones diferenciales (16.1.1) que deben resolverse para obtener los desplazamientos nodales u, cuando están especificadas para sistemas lineales, son ¨ cu˙ ku p( t ) mu
o
mιu¨ g ( t )
( 16.2.1)
En esta sección se presenta una alternativa alte rnativa al procedimiento de análisis modal generalizado (capítulo 14) para resolver la ecuación (16.2.1). Si el sistema tiene pocos grados de libertad, puede resultar adecuado resolver estas ecuaciones en su forma actual. Sin embargo, para los sistemas de muchos grados de libertad suele ser ventajoso transformar la ecuación (16.2.1) en un con junto jun to más más pequ pequeño eño de ecuac ecuacion iones es al expr expresar esar los desp desplaza lazamie miento ntoss en térm término inoss de los los prim primero eross pocos modos de vibración natural φn del sistema no amortiguado (capítulo 12) o un conjunto apropiado de vectores de Ritz (capítulo 15). En esta sección se utiliza la transformación modal; la ampliación de los conceptos para utilizar la transformación a vectores de Ritz es simple. Así, los desplazamientos nodales del sistema se aproximan mediante una combinación lineal de los primeros J modos modos naturales: J
φn qn ( t )
u( t ) n
Φq( t )
( 16.2.2)
1
donde J puede puede seleccionarse empleando los conceptos y procedimientos desarrollados en la sección 12.11. Si se usa esta transformación, como se muestra en la sección 12.4, la ecuación (16.2.1) se convierte en la ecuación Mq¨ Cq˙ Kq P( t )
en la que
( 16.2.3)
T M ΦT mΦ C ΦT cΦ K ΦT kΦ P( t ) ( 16.2.4) Φ p( t ) donde M y K son matrices diagonales. La ecuación (16.2.3) es un sistema de J ecuaciones ecuaciones en las incógnitas qn(t ) y, si J es es mucho menor que N , puede ser ventajoso resolverlas de manera
numérica en lugar de la ecuación (16.2.1). Los ahorros de cálculo resultantes pueden compensar con creces el esfuerzo del cálculo adicional necesario para determinar los primeros J modos. modos. Las J ecuaciones ecuaciones (16.2.3) pueden ser acopladas o desacopladas dependiendo de la forma de la matriz de amortiguamiento. Son desacopladas para los sistemas con amortiguamiento clásico y cada ecuación modal puede resolverse de manera numérica mediante los métodos del capítulo 5. Para los sistemas con amortiguamiento no clásico, C no es una matriz diagonal y las ecuaciones son acopladas. En esta sección se presentan los métodos numéricos mediante los cuales se resuelven tales ecuaciones acopladas para los sistemas lineales. Aunque Aunque éstos se presentan con referencia a la ecuación (16.2.3), se pueden extender al conjunto reducido de ecuaciones (15.3.3) usando vectores de Ritz. La ecuación (16.2.3) puede resolverse utilizando métodos numéricos condicionalmente estables; es decir, no es necesario insistir en un procedimiento incondicionalmente estable (vea la sección 5.5.1). El paso de tiempo ti empo Δt debe debe elegirse de manera que la reacción Tn sea lo suficientemente pequeña para asegurar una solución exacta en cada uno de los / T Δt modos incluidos, n � 1, 2, ..., J ; T n es el periodo natural del n-ésimo modo del sistema no amortiguado. La elección de Δt está está dictada por el periodo del J -ésimo -ésimo modo, puesto que T J debe ser pequeña, por ejemplo meéste tiene el periodo más corto; por consiguiente, Δt / T Tn es incluso más pequeña para todos los modos nos de 0.1. Esta elección implica que ΔT / T inferiores, lo que garantiza una solución exacta para todos los modos incluidos. Es evidente
676
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
que el Δt escogido escogido para satisfacer el requisito de exactitud, por ejemplo Δt < 0.1T J , satisfaría el requisito de estabilidad. Por ejemplo, Δt � 0.1 T J es mucho menor que los límites de estabilidad de T J / π y 0.551T J para el método de la diferencia central y el método de la aceleración lineal, respectivamente (secciones 5.3 y 5.4). La solución directa de la ecuación (16.2.1) (sin transformar a coordenadas modales) puede ser preferible para los sistemas con pocos grados de libertad o para los sistemas y excitaciones donde la mayoría de los modos contribuyen contribuyen de manera significativa a la respuesta, porque en estas situaciones sit uaciones es poco lo que puede obtenerse con la transformación modal. Los métodos numéricos que se presentan a continuación se adaptan con facilidad a una solución tan directa, siempre que el paso de tiempo Δt se se elija para satisfacer el requisito de estabilidad, en relación con el periodo natural T N más corto del sistema sist ema no amortiguado. A continuación se presentan dos procedimientos condicionalmente estables para el análisis de la respuesta lineal de sistemas de VGDL. Se tratan del método de la diferencia central y el método de Newmark. 16.2.1 Método de la diferencia diferencia central
Desarrollado en la sección 5.3 para los sistemas de 1GDL, el método de la diferencia central puede extenderse con facilidad a los sistemas de VGDL. Las ecuaciones escalares (5.3.1) que relacionan las cantidades de respuesta en el tiempo i � 1 con aquéllas en el tiempo i e i � 1, y la ecuación escalar (5.1.3) del equilibrio en el tiempo i, ahora se convierten en ecuaciones matriciales. La otra característica nueva surge de la necesidad de transformar las condiciones condiciones iniciales de los desplazamientos nodales, ecuación (16.1.2), en coordenadas modales y transformar de nuevo la solución de la ecuación (16.2.3) de coordenadas modales a desplazamientos nodales. Al colocar todas estas ideas en la tabla 5.3.1 se llega a la tabla 16.2.1, donde se presenta el método de la diferencia central tal como podría implementarse por computadora. Existen dos observaciones en relación con el método de la diferencia central que podrían ser útiles. En primer lugar, las ecuaciones algebraicas que deben resolverse en el paso 1.3 para determinar q¨ 0 están desacopladas porque M es una matriz diagonal cuando se utilizan coordenadas modales o vectores de Ritz dependientes de la fuerza. En segundo lugar,, el paso 2.3 se basa en el equilibrio en el tiempo i y la matriz de rigidez K no entra en lugar el sistema de ecuaciones algebraicas resueltas para determinar qi�1 en el instante i � 1, lo que implica que el método de la diferencia central es un método explícito. El método de la diferencia central también puede utilizarse para resolver directamente las ecuaciones originales en desplazamientos nodales, ecuación (16.2.1), sin transformarlas a coordenadas modales. Lo anterior se logra al modificar la tabla 16.2.1 de la siguiente manera: se eliminan los pasos 1.1, 1.2, 2.1 y 2.5. Se remplaza (1) q, q˙ , y q¨ por u, u˙ , y u¨ ; (2) M, C y K por m, c y k; (3) P por p; y (4) K y P por k y p. ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
16.2.2 Método de Newmark
Desarrollado en la sección 5.4 para los sistemas de 1GDL, el método de Newmark puede extenderse con facilidad a los sistemas de VGDL. Las ecuaciones escalares (5.4.9) que relacionan los incrementos de la respuesta (de desplazamiento, velocidad y aceleración) a través del paso de tiempo i al i � 1 entre sí y con los valores de la respuesta en el tiempo i, y la ecuación escalar e scalar (5.4.12) del equilibrio incremental, ahora se convierten en ecuaciones matriciales. La implementación de este cambio en la tabla 5.4.2, junto con la transformación de las condiciones iniciales en coordenadas modales y las soluciones modales en
Sección 16.2
MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: SISTEMAS LINEALES
TABLA 16.2.1
1.0
Cálculos iniciales φnT mu0 q ; 1. 1 ( n ) 0 φnT mφn
( q˙n ) 0
φnT mu˙ 0 φnT mφn
q0T (q1 ) 0 , . . . , ( q J ) 0
1.4
P0 Φ T p0 . ¨0 Resu Re suel elva va:: M q Sele Se lecci ccion one e t .
1.5
q1
1.6
ˆ K
1.7
a
1.2 1.3
2.0
677
Sistemas lineales con amortiguamiento no clásico
q0
1
t ) 2 1
t )
˙0 t q
M
M 2
P0
q˙ 0T (q˙1 ) 0 , . . . , ( q˙ J ) 0 .
˙ 0 Kq0 Cq
t ) 2 2
q¨ 0 .
q¨ 0 .
1
C. 2 t 1 C ; 2 t
b
K
2
t ) 2
M.
Cálculos para cada paso de tiempo i 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5
Pi Φ T pi . ˆ i Pi aqi 1 bqi . P ˆ i 1 P ˆ i qi 1 . Resu Re suel elva va:: Kq En cas caso o nece necesar sario: io: 1 ( qi 1 qi 1 ) q˙ i q¨ i 2 t ui 1
1
t ) 2
( qi 1
2qi qi 1 )
Φ qi 1 .
3.0 Repetición para el siguiente paso de tiempo. Remplace i por i + 1 y repita los pasos 2.1 a 2.5 para el siguiente paso de tiempo.
desplazamientos nodales, como en la sección 16.2.1, conduce a la tabla 16.2.2, donde se resume la solución del análisis del tiempo paso a paso mediante el método de Newmark, Newmark, tal como podría implementarse por computadora. c omputadora. Los dos casos especiales del método de Newmark que se utilizan comúnmente son (1) γ � 12 y β � 14, lo que resulta en el método de la aceleración promedio constante, y (2) γ � 1 1 ac eleración lineal. El método de la aceleración 2 y β � 6, que corresponde al método de la aceleración media constante es incondicionalmente estable, mientras que el método de la aceleración lineal es condicionalmente estable para Δt ≤ 0.551T J . Con un paso de tiempo dado que sea mucho menor que este límite de estabilidad, el método de aceleración lineal es más preciso que el método de la aceleración media. Por lo tanto, resulta de gran utilidad para los sistemas lineales debido a que el Δt elegido elegido para obtener una respuesta exacta en el modo más alto incluido satisfaría los requisitos de estabilidad. Observe que el paso 2.3 se basa en el equilibrio en el instante i � 1 y que la matriz de rigidez K entra en el sistema de ecuaciones algebraicas resueltas para determinar qi�1 en el instante i � 1, lo que implica que el método de Newmark es un método implícito. El método de Newmark también puede utilizarse para resolver de manera directa las ecuaciones originales en los desplazamientos nodales, ecuación (16.2.1), sin transformarlas en coordenadas modales. Esto se logra mediante la modificación apropiada de la tabla 16.2.2, como se indica al final de la sección 16.2.1.
678
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica TABLA 16.2.2
Capítulo 16
MÉTODO DE NEWMARK: SISTEMAS LINEALES
Casos especiales (1) Método de la aceleración aceleración media constante constante ( 12 , β (2) Método de la aceleración aceleración lineal lineal ( 12 , β 16 )
1 ) 4
Cálculos iniciales
1.0
( qn ) 0
1.1
φ nT m u0 φ nT m φ n
( ˙ qn ) 0
;
q0T ( q1 ) 0 , . . . , ( q J )0
φnT m φ n
q1 ) 0 , . . . , ( q˙ J )0 . q˙ 0T ( ˙
P0 Φ T p0 . Resu Re suel elva va M ¨q0 P0 C ˙q0 K q0 ⇒ q¨ 0 . Selec Se leccio cione ne t . 1 1 a1 M C a M ; 2 t t t ) 2 1 a3 1 M t 1 C. 2β 2β ˆ K a1 . K
1.2 1.3 1. 3 1.4 1.5
1.6 2.0
˙u0 φ nT m m ˙
C;
1
β
y
Cálculos para cada Cálculos cada paso de tiempo, tiempo, i 0, 1 , 2, . . . ˆ i 1 Φ T pi 1 a1 qi a2 q˙ i a3 q¨ i . 2.1 P ˆ qi 1 P ˆ i 1 ⇒ qi 1 . 2.2 2. 2 Re Resu suel elva va K 2.3
q˙ i 1
2.4
q¨ i 1
2.5
ui 1
( qi 1 qi ) t
1
t ) 2 Φ qi 1 .
1
1
( qi 1 qi )
q˙ i
β
q˙ i t
t 1
1 2
1
2β
¨qi .
q¨ i .
3.0 Repetición para el siguiente paso de tiempo. Remplace i por i+1 y ejecute los pasos 2.1 a 2.5 para el siguiente paso de tiempo.
Ejemplo 16.1
El edificio de cortante de cinco niveles de la figura 12.8.1 (repetido por conveniencia como la figura E.16.1a) se somete a un ciclo sinusoidal completo de la aceleración del terreno üg(t ) � ügo sen 2πt (figura (figura E16.1b) con t d � 1 s; ügo � 0.5g; m � 100 kips/g; k � 100 kips/pulg; y fracciones de amortiguamiento modal ζ n � 5% para todos los modos. Resuelva las ecuaciones de movimiento después de transformarlas en los dos primeros modos mediante el método de la aceleración lineal con Δt � 0.1 s. En primer lugar, se establecen las ecuaciones modales. Las matrices de masa y rigidez están disponibles en la sección 12.8 y las fuerzas sísmicas efectivas en la ecuación (13.1.2): Solución
m
m
1
1 1 1 1
k
k
2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 1
donde se ha descartado el subíndice “ef ” en la ecuación ecua ción (13.1.2).
p( t )
m
1 1 u¨ g ( t ) 1 1 1 (a)
Sección 16.2
679
Sistemas lineales con amortiguamiento no clásico m
u
Rigidez del entrepiso k
m
u
ü
g
4
ü
k
m
u
2
1 @ 5
5
go
3
k
m
u
t
d
2
k
m
u
t
−ü
go
1
k
(a)
(b)
Solución numérica Solución teórica
(c)
20
0.5
g l . u p , 10
g l . u p , 20
q
q
−20
−0.5 0
0.5
1 Tiempo, s
1.5
2
0
0.5
1 Tiempo, s
1.5
2
20 g l u p , 50
(d)
u
−20 0
0.5
1 Tiempo, s
1.5
2
Figura E16.1
Al resolver el problema de valor característico, se obtienen las dos primeras frecuencias y los dos primeros modos naturales:
0.334
5. 592 16.32
0. 641 0. 895 1. 078 1. 173
0.895 1.173 0.641 0.334 1.078
(b)
Si se sustituyen m, k y en la ecuación (16.2.4), resulta M
1 1
K
31. 27 266.4
P( t )
1. 067 u¨ g ( t ) 0. 336
(c)
680
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
Las dos ecuaciones (16.2.3) en coordenadas modales están desacopladas para el sistema clásicamente amortiguado, y C es una matriz diagonal con el n-ésimo elemento de la diagonal igual al amortiguamiento modal generalizado C n � ζ n(2 M nωn); vea la ecuación (10.9.11): C
0. 559
(d)
1.632
Sin embargo, por motivos de generalidad, esta propiedad de desacoplamiento no se utiliza en la solución de este ejemplo. El procedimiento de la tabla 16.2.2 se implementa de la siguiente manera: 1.0 Cálculos iniciales 1.1 Como el sistema inicia desde el reposo, u0 u˙ 0 0, por lo tanto, q0 1.2 p0 � 0; entonces, P0 � 0. 0. 1.3 ¨q0 1.4 Δt � 0.1 s. 1 1 ,y β 1.5 Al sustituir M, C, t , γ 2 6 en el paso 1.5, se obtiene
˙0 q
0.
616.8 a1
61. 12
a2
649. 0
2.028 a3
63.27
2.082
1.6 Si se sustituyen K y a3 en el paso 1.6, resulta ˆ K
648. 0
915. 4
2.0 Cálculos para cada paso de tiempo , i. Con los parámetros de este ejemplo, los pasos de cálculo 2.1 a 2.5 se especifican e implementan en cada paso de tiempo i del
siguiente modo: ˆ i 1 2.1 P
T
Φ
P1 P2
1. 067
ˆ
ˆ
˙ i a3 a1 qi a2 q
pi 1
0. 336
i 1
( u g ) i 1 ¨
616. 8 q1 61. 12 q1 2. 028 q1 ˙
¨
649. 0 q2 63. 26 q2 2. 028 q2 ˙
648.0
2.2 Resuelva
q¨ i .
q1 q2
915.4
P1 P2
¨
i
ˆ
ˆ
i 1
⇒
i 1
qi 1 .
En la tabla E16.1 y la figura E16.1c se muestran los desplazamientos modales qi de los primeros 20 pasos de tiempo. q˙1 q˙2
2.3
q¨1 q¨2
2.4
2.5
30
i 1 600
i 1
u1 u2 u3 u4 u5
q1 q2
0.334
q1 q2
i 1
0.641 0.895 1.078 1.173
i 1
i 1 0
q1 q2 q1 q2
.895 1. 173 0. 641 0.334 1.078
2
i
q˙1 q˙2
60
i
q1 q2
0 05
.
i
q˙1 q˙2
2
i
q¨1 q¨2
i
q¨1 q¨2
i
.
.
. i 1
Estos desplazamientos también se presentan en la tabla E16.1 y u5 se grafica en la figura E16.1d como una función del tiempo. Comparación con la solución teórica .
Las ecuaciones modales definidas por las ecuaciones E16.1c-d también pueden resolverse analíticamente, al extender el procedimiento de la sección 4.8 para los sistemas amortiguados. Estos resultados teóricos se deducen considerando los dos primeros modos del sistema. Tales resultados se calcularon a cada 0.1 s y se presentan como las líneas discontinuas de las figuras E16.1c y d.
Sección 16.3
681
Sistemas no lineales
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES MODALES MEDIANTE EL MÉTODO DE LA ACELERACIÓN LINEAL TABLA E16. E16.1 1
t i
q1
q2
u1
u2
u3
u4
u5
0.1
0.7
0.1868 1.3596 3.7765 6.6733 8.5377 7.8337 3.8483
0.1868 1.3596 3.7765 6.6733 8.5377 7.8337 3.8483
0.0997 0.6688 1.5977 2.4239 2.7869 2.4301 1.1041
0.1685 1.1524 2.8605 4.5317 5.3864 4.7759 2.2286
0.1940 1.3711 3.6226 6.1156 7.5996 6.8820 3.3166
0.1875 1.3851 3.9442 7.1185 9.2244 8.5111 4.2146
0.1742 1.3357 4.0229 7.5893 10.0877 9.4087 4.7301
0.8
2.7434
2.7434
1.1162
2.0198
2.5998
2.8818
2.9758
0.9
9.8980
9.8980
3.5110
6.6113
9.0106
10.5897
11.3579
1.0
14.8661
14.8661
5.0228
9.6017
13.3542
15.9984
17.3602
1.1
15.4597
15.4597
5.0214
9.7205
13.7429
16.7125
18.2966
1.2
11.5465
11.5465
3.7794
7.2981
10.2851
12.4714
13.6304
1.3
4.4929
4.4929
1.6127
3.0259
4.1037
4.7998
5.1327
1.4
1.9
3.4964 10.0597 13.3706 12.6389 8.2858 1.7591
3.4964 10.0597 13.3706 12.6389 8.2858 1.7591
1.0838 3.4465 4.5502 4.1522 2.6779 0.6336
2.1305 6.5597 8.6786 8.0085 5.1924 1.1876
3.0710 9.0707 12.0342 11.2691 7.3562 1.6083
3.7990 10.8081 14.3768 13.6456 8.9622 1.8784
2.0
4.9390
4.9390
1.5634
3.0520
4.3614
5.3545
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1.5 1.6 1.7 1.8
4.2003 11.6901 15.5745 14.9016 9.8223 2.0069 5.8944
La línea discontinua de la figura E16.1d también representa la solución teórica incluyendo los cinco modos, lo que indica que las contribuciones a la respuesta del tercer, cuarto y quinto modos son insignificantes. Los resultados numéricos para q1 son exactos porque el paso de tiempo escogido Δt � 0.1 s y el periodo natural T 1 � 2π /5.592 � 1.12 s implican una relación pequeña Δt / T T 1 � 0.089. Sin embargo, el mismo Δt implica implica que Δt / T T2 � 0.16, que no es lo suficientemente pequeña para proporcionar una buena precisión de q2. No obstante, la solución numérica para u5 es bastante exacta debido a que la contribución del segundo modo es pequeña.
16.3 SISTEMAS NO LINEALES Para evaluar en forma numérica la respuesta dinámica de los sistemas que responden más allá de su intervalo elástico lineal, las N ecuaciones ecuaciones para un sistema de N grados grados de libertad se resuelven por lo general en su forma original, ecuación (16.1.1), porque el análisis modal clásico no es aplicable a los sistemas no lineales (figura 9.11.1). Sin embargo, incluso los desplazamientos de un sistema no lineal siempre pueden expresarse como una combinación de los modos naturales del sistema vibratorio no amortiguado dentro del intervalo de su comportamiento lineal: N
( t )
u
φn qn ( t )
n 1
( 16.3.1)
682
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
Soluciones numéricas Solución directa por el método de la aceleración lineal Solución de dos modos (ejemplo 16.1) utilizando ∆t
0.12 s
20 g l u p ,
5
0
u
−20 0
0.5
1
1.5 Tiempo, s
2
2.5
3
Figura 16.3.1
La solución directa de la ecuación (16.1.1) es equivalente equivalente a incluir todos los N modos modos en el análisis, aunque sólo los primeros J términos términos de la ecuación (16.3.1) pueden bastar para representar con precisión la respuesta estructural. Al parecer, la elección de Δt debe debe basarse en los requisitos de exactitud para el e l J -ésimo -ésimo modo, por ejemplo Δt � T J /10, donde donde T J es el periodo del J -ésimo -ésimo modo de la vibración lineal no amortiguado. La solución directa de la ecuación (16.1.1) con esta elección de Δt dará dará un u(t ) de tal modo que los términos de los modos más altos (de J � 1 a N ) de la ecuación (16.3.1) serían inexactos, pero esto no debe ser motivo de preocupación, puesto que ya se había llegado a la conclusión de que estas contribuciones a la respuesta de los modos superiores eran insignificantes. Aunque esta elección de Δt parece parece proporcionar resultados precisos, puede no ser lo suficientemente pequeño para asegurar la estabilidad del procedimiento numérico. Se exigirá exactitud sólo para los primeros J modos, modos, pero la estabilidad debe asegurarse para todos los modos, porque incluso si la respuesta en los modos superiores es insignificante, ésta diverge diverge si los requisitos de estabilidad no se satisfacen en relación con estos modos. El problema anterior se ilustra en la figura 16.3.1, donde se presenta la respuesta del edificio de cortante del ejemplo 16.1 a un ciclo sinusoidal de movimiento del terreno, obtenida mediante dos métodos numéricos. La curva discontinua muestra los resultados determinados al resolver las dos primeras ecuaciones modales por el método de la aceleración lineal, como en el ejemplo 16.1, pero ahora usando Δt � 0.12 s. Cuando las ecuaciones originales (16.1.1) se resuelven por el mismo método y empleando el mismo paso de tiempo, esta solución directa (que se representa mediante la curva continua) diverge diverge alrededor de t � 2 s. La exigencia de estabilidad para todos los modos impone restricciones muy severas en Δt , como lo ilustra el siguiente ejemplo. Considere un sistema en el que el modo más grande con contribución significativa a la respuesta tiene un periodo T J � 0.10 s, mientras que el periodo del modo mayor del sistema es T N � 0.001 s. Para asegurar la estabilidad del procedimiento numérico, Δt debe debe ser inferior a T N / π (es decir, Δt <0.00032 s) para el método de la diferencia central y 0.551T N (es decir, Δt <0.00055 s) para el método de la aceleración lineal. En esta sección se presenta un método condicionalmente condicionalmente estable: el método de la diferencia central, que es un método explícito (sección 16.3.1), y un método incondicionalmente estable: el método de la aceleración acelera ción media, que es un método implícito. Para los métodos implícitos, hay poca diferencia entre el análisis estático no lineal y el dinámico no lineal. El enfoque adoptado aquí consiste en, primero, presentar la iteración de Newton-Raphson para el análisis estático no lineal (sección 16.3.2); después, se utilizan las ecuaciones de
Sección 16.3
Sistemas no lineales
683
Newmark (5.4.8 y 5.4.9) (adaptadas a los sistemas de VGDL) para extenderlas al análisis dinámico no lineal (sección 16.3.3). El método de la aceleración media constante tiene el inconveniente de que no proporciona ningún amortiguamiento numérico (figura 5.5.2). Ésta es una desventaja porque siempre se desea filtrar las contribuciones a la respuesta de los modos mayores que los J modos modos significativos, en vista de que estos modos superiores y sus frecuencias, que se calculan a partir de una idealización de la estructura, por lo general no son exactos con respecto a las propiedades reales de la estructura. Uno de los enfoques para alcanzar este objetivo es definir la matriz de amortiguamiento consistente con el aumento de la fracción de amortiguamiento para los modos mayores que el J -ésimo -ésimo modo (vea la sección 11.4). Los investigadores también se han interesado en la formulación de algoritmos numéricos de análisis en el tiempo paso a paso, que, en cierto sentido, tienen un amortiguamiento numérico óptimo. 16.3.1 Método de la diferencia diferencia central
El método de la diferencia central para los sistemas no lineales de 1GDL (sección 5.6) puede adaptarse con facilidad a los sistemas de VGDL. Cada ecuación escalar en el procedimiento para los sistemas de 1GDL (ecuaciones 5.6.1 a 5.6.3) ahora se convierte en una ecuación matricial para los sistemas de VGDL. En la tabla 16.3.1 se resume el procedimiento tal como podría implementarse por computadora. Las fuerzas restauradoras (f S )i requeridas en el paso 2.1 pueden evaluarse de manera explícita, puesto que dependen sólo del estado conocido del sistema en el tiempo i. Así, (f S )i se calcula con facilidad, por lo que el método de la diferencia central es quizá el procedimiento más simple para el análisis de los sistemas no lineales con VGDL. VGDL. TABLA 16.3 16.3.1 .1
MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: SISTEMAS NO LINEALES
1.0
Cálculos iniciales 1.1 Det Deter ermin minaci ación ón del del est estado ado par paraa el el u u0 : ( f S S ) 0 inicial. ¨ 0. 1.2 Resuelva m ¨u0 p0 cu˙ 0 ( f S S ) 0 ⇒ u 1.3 Seleccione t . t ) 2 u ˙0 ¨u0 . 1.4 u1 u0 t ˙ 2 1 1 1.5 kˆ m c. 2 t t ) 2 1 1 2 1.6 a y m c b m. 2 t t ) 2 t ) 2
2.0
Cálculos para cada Cálculos cada paso de tiempo, tiempo, i 0, 1, 2, . . . 2.1 pˆ i pi a ui 1 b ui ( f S S ) i . ˆ i 1 pˆ i ⇒ ui 1 . 2.2 Resuelva ku
Determ Dete rmin inac ació ión n del del esta estado do:: ( f S S ) i 1 . En ca caso so ne nece cesa sari rio: o: 1 1 ( ui 1 ui 1 ) y u¨ i ( ui 1 2ui u i 1 ) u˙ i 2 t t ) 2 3.0 Repetición para el siguiente paso de tiempo. Remplace i por i 1 y repita los pasos 2.1 a 2.4 para el siguiente paso de tiempo . 2.3 2.3 2.4 2. 4
684
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
Algunos programas progra mas de software softwar e como LS-DYNA, LS-DYNA, ABAQUS-Explicit ABAQUS-Explicit y OpenSees utiuti lizan métodos explícitos, por lo general el método de la diferencia central. Como el paso de tiempo requerido es muy pequeño, estos métodos no son prácticos para el análisis de grandes sistemas usando computadoras convencionales (de uno a cuatro procesadores de computadora). Sin embargo, los métodos explícitos tienen la ventaja de que pueden ser programados de manera conveniente conveniente para el cálculo en paralelo, utilizando un gran número de procesadores de computadora. La mayoría de las aplicaciones en sistemas grandes diagonalizan la matriz de amortiguamiento c de manera que ˆk sea diagonal y entonces las ecuaciones en el paso 2.2 puedan resolverse de manera eficiente. Los investigadores han desarrollado diversos modelos aproximados del amortiguamiento para lograr este es te objetivo. 16.3.2 Análisis Análisis estático no lineal
El análisis estático no lineal se utiliza con el fin de investigar el comportamiento fuerzadeformación de una estructura para una distribución específica de fuerzas, las cuales son por lo regular laterales. Con cierto supuesto de la distribución de fuerza, el análisis estático no lineal se llama análisis pushover . Si se descartan los términos de inercia y amortiguamiento en las ecuaciones de movimiento (ecuación 16.1.1), resulta el sistema de ecuaciones no lineales que deben resolverse en un problema estático: f S S ( u)
p( t )
( 16.3.2)
Antes de examinar los pasos en un análisis estático no lineal ante carga monótona creciente para el caso de fuerza múltiple, considere la solución de las ecuaciones de equilibrio para un solo conjunto de fuerzas: f S S ( u)
p
(16.3.3)
La tarea aquí consiste en determinar los desplazamientos u debidos a un conjunto de fuerzas externas p dadas, donde la relación no lineal de fuerza-deformación f S S (u) se conoce para el sistema a analizar. Suponga que después de j ciclos de iteración, u ( j ) es una estimación de los desplazamientos desconocidos y se desea desarrollar un procedimiento iterativo que proporcione una estimación mejorada de u ( j�1). Al expandir las fuerzas restauradoras f ( j j�1)S (u) en una serie de Taylor respecto a la estimación conocida u ( j j), y al colocar los términos de orden superior al primero, se llega a la ecuación linealizada (vea la sección 5.7.1) ( j )
u( j )
kT
donde ( j )
kT
p
( j )
f S
R( j )
∂ f S ( u) ∂u
(16.3.4)
(16.3.5) u( j )
es la matriz de rigidez tangente en u( j j); (k T)i j, j � es el cambio en la fuerza en el grado de libertad i debido al cambio del desplazamiento unitario en el grado de libertad j, en el estado actual del sistema. Si se resuelve el sistema de ecuaciones linealizadas (16.3.4), resulta Δu( j j) y una estimación mejorada de los desplazamientos: ( j 1)
u
( j ) u
( j )
u
(16.3.6)
Ésta es la esencia del método iterativo de Newton-Raphson para la solución de las ecuaciones no lineales (16.3.3). Como se muestra en la sección 5.7.1, este método iterativo converconverge a la solución exacta con una tasa cuadrática.
Sección 16.3
685
Sistemas no lineales
La descripción anterior del procedimiento de Newton-Raphson para un solo delta de fuerza puede generalizarse para varios incrementos de fuerza. Para este propósito, las fuerzas se representan mediante una distribución espacial de referencia pref y una variable escalar λi; así, pi
λ i pref
( 16.3.7)
Las ecuaciones de equilibrio no lineal para cada nivel de fuerza se resuelven mediante la iteración de Newton-Raphson, empezando con la estimación inicial de la solución de los desplazamientos en el nivel de fuerza anterior. En la tabla 16.3.2 se resume un procedimiento de este tipo para el análisis estático no lineal, tal como podría implementarse por computadora. TABLA 16.3.2
ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL †
1.0 Determinación del estado para u u0 : ( f S S ) 0 y ( kT ) 0 . 2.0
3.0
Cálculos para cada delta Cálculos delta de fuerza, i 0, 1 , 2 , . . . ( j ) ( j ) ( j ) u i 1 ui , ( f S 2.1 2. 1 In Inic icia iali lice ce j 1, 1, u S ) i 1 ( f S S ) i , y ( kT )i 1 2.2 pi 1 λ i 1 pref .
( kT )i .
Para Par a cada cada iterac iteración ión,, j 1, 2, 3, . . . ( j ) ( j ) 3.1 Ri 1 pi 1 ( f S S ) i 1 . 3.2 Verifi Verifique que la conver convergencia; gencia; si no se cumplen cumplen los los criterios criterios de aceptación, aceptación, ejecute los pasos 3.3 a 3.6; de lo contrario, omita estos pasos y vaya al paso 4.0. ( j )
( j )
3.3
Resuelva ( kT )i 1 u( j )
3.4
ui 1
3.5 3.5 3.6
Determ Dete rmin inac ació ión n del del esta estado do:: ( f S S ) i 1 y ( kT ) i 1 . Remplace j por j + 1 y repita los pasos 3.1 a 3.5; indique el valor final como ui1.
( j 1)
( j )
ui 1
Ri 1
u( j ) .
⇒
u( j ) . ( j 1)
( j 1)
4.0 Repetición para el siguiente delta de fuerza. Remplace i por i + 1 y aplique los pasos 2.0 y 3.0 para el siguiente delta de fuerza. † u0 puede ser distinto de cero si en el análisis se incluyen los efectos iniciales de . carga por gravedad.
En el paso 3.2 se verifica la solución y el proceso iterativo termina cuando alguna medida del error en la solución cae por debajo de una tolerancia especificada. Por lo general, se aplican uno o más de los siguientes s iguientes criterios de convergencia convergencia (o aceptación): 1. La fuerza residual es menor que una tolerancia: ( j )
R
R
(16.3.8a)
donde || � || indica la l a norma euclidiana del vector vector.. Los valores convencionales convencionales para � � 3 8 el intervalo de tolerancia ε R van de 10 a 10 . 2. El cambio cambio en el desplazamiento desplazamiento es menor menor que que una una tolerancia: tolerancia: ( j )
u
u
(16.3.8b)
Los valores conv convencionales encionales para el intervalo de tolerancia εu van de 10�3 a 10�8. 3. El trabajo incremental realizado por la fuerza residual que actúa a través través del cambio en el desplazamiento es menor que una tolerancia: 1 2
[
u
( j ) T
]
( j )
R
w
(16.3.8c)
686
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
La tolerancia εw debe ser (o estar cerca) de la tolerancia de la computadora, porque porque el lado izquierdo es un producto de cantidades pequeñas. Aunque los ejemplos presentados en lo sucesivo utilizan los criterios anteriores, para los sistemas grandes de VGDL es mejor utilizar medidas de la fuerza relativa o del desplazamiento: R( j ) pref
u( j )
ε
R
ε
u
u( j )
(16.3.9a)
donde el valor recomendado para las tolerancias ε R y ε u está entre 10�3 y 10�6. Para los marcos, el vector de desplazamiento contiene traslaciones y rotaciones (y los vectores de fuerza contienen fuerzas y momentos) cuyas magnitudes pueden ser muy diferentes. Para estas situaciones, se recomienda el uso del trabajo incremental relativo para comprobar la convergencia. conv ergencia. En ese caso, el criterio de conv convergencia ergencia es
u
( j ) T
( j )
R
εw
T u( 1) R( 1)
(16.3.9b)
donde el valor recomendado para ε′w es del orden de 10 �16. Ejemplo 16.2
El edificio de cortante de cinco niveles del ejemplo 16.1 se somete a fuerzas laterales que aumentan monotónicamente con la distribución invariante presentada en la figura E16.2a. La relación cortante-distorsión de entrepiso (V j � δ j) es idéntica para todas los niveles; ésta es bilineal con rigidez inicial k � 100 kips/pulg, relación de rigidez postcedencia α � 0.05 y la fuerza cortante de cedencia V jy � 125 kips (figura E16.2b). Realice un análisis estático no lineal del edificio para la pref mostrada y los factores de fuerza: λ
T
0
1. 0
1. 1
1. 2
1. 3
1. 4
1. 5
1. 6
Observe que la fuerza cortante basal asociada con pref es V b � 125 kips, el valor de cedencia de la fuerza cortante basal. s p i k ,
625/15
k
j
V
500/15
k
V
k
α
jy
375/15
k 250/15
k
k
125/15
k
δ jy
(a)
δ j
(b)
Figura E16.2 a, b
Sección 16.3
687
Sistemas no lineales
Solución El procedimiento de la tabla 16.3.2 se implementa de la manera siguiente: 1.0 Determinación del estado para u0 � 0
Los efectos de las cargas de gravedad no producirían ningún desplazamiento lateral, por lo que u0 � 0, (f S S) 0 � 0 y 1 2
( kT ) 0
k
1
2 1
1 2 1
1 2 1
1
1
Para demostrar los cálculos de los pasos 2.0 y 3.0 en la tabla 16.3.1, éstos se ejecutan para el delta de fuerza de i � 1 a i � 2. 2.0 Cálculos para i � 1 2.1 Inicialice j � 1 u
(1)
i 1
ui
1.2 .25 50
2.4 .41 17
3.4 .41 17
4.1 .16 67
4.5 .58 83
; vea la tabla E16.2.
T
La determinación del estado en i � 1(λ � 1.0) conduce a
2.2 pi�1 � λi�1 pref , donde pref se muestra en la figura E16.2a. 9.1 .16 67
pi 1
18.3 .33 3
27.5 .50 0
3.0 Primera iteración, j � 1 (1) (1) 3.1 Ri 1 pi 1 ( f S S ) i 1
36.6 .67 7
0.8 .83 33
1.6 .66 67
(1) R i 1
3.2 Verifique la convergencia: como
2.5 .50 00
6.180
este ejemplo, se aplican los pasos 3.3 a 3.6. (1) (1) (1) 3.3 Resuelva ( kT ) i 1 u(1) Ri 1 u ⇒
2.833
T
45.8 .83 3
3.3 .33 33
T
.
4.1 .16 67
excede la ε R � 10 3, elegida para
2.500 2.617 2.717 2.792
T
.
(2) u i 1
(1)
(1) u u .75 50 3.7 3.4 i 1 3.5 Determinación del estado.
5.0 .03 33
6.1 .13 33
6.9 .95 58
7.4 .41 17
T
.
En primer lugar determine las distorsiones de entrepiso: (2)
δi 1
3.7 .75 50
1.2 .28 83
1.1 .10 00
0.8 .82 25
0.4 .45 58
T
Al conocer las distorsiones de entrepiso, la rigidez y la fuerza cortante de cada entrepiso pueden obtenerse a partir de la relación fuerza cortante-distorsión de cada entrepiso (figura E16.2b); por ejemplo, la distorsión del primer entrepiso, δ1 � 3.750 pulg es más grande que la distorsión de cedencia, δ1 y � 1.25 pulg; por lo tanto, la rigidez del entrepiso es 0.05 k y y la fuerza cortante es 125 � 0.05 k (3.75 – 1.25) � 137.5 kips. Al conocer la rigidez de cada entrepiso, la matriz de rigidez puede obtenerse usando el procedimiento del ejemplo 9.1b. 0.10 0.05 (2) ( kT ) i1 k
0. 05
1. 05 1
1
2 1
1
2 1
1
1
688
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica λ
= =
5
0 1 1. 1.1 1 1. 1.2 2 1. 1.3 3 1. 1.4 4 1. 1.5 5 1. 1.6 6
0.4
o s e p / l 0.3 a s a b e 0.2 t n a t r 0.1 o C
4 l 3 e v i N2
1
(c)
0
200
1
2 4 Desplazamiento/altura, %
6
0
150
s p i k ,
100
2
Entrepiso 2
150 100
V
50 0
50
(e) 0
5 δ
200
3
2 4 Desplazamiento/altura, %
200
Entrepiso 1
V
s p i k ,
(d)
0 0
s p i k ,
Capítulo 16
10 , pulg
0
15
(f) 0
5 δ
1
200
Entrepiso 3
150
s p i k ,
100
4
V
10 , pulg
15
2
Entrepiso 4
150 100
V
50 0
50
(g) 0
5 δ
10 , pulg
0
15
(h) 0
5 δ
3
200 s p i k , 5
Entrepiso 5
150 100
V
50 0
(i) 0
5 δ
10 , pulg
5
Figura E16.2(c)-(i)
15
10 , pulg
4
15
6
Sección 16.3
689
Sistemas no lineales
La fuerza restauradora f S 1 en el primer nivel es la diferencia entre las fuerzas cortantes del primero y segundo entrepisos; las f Sj en los demás niveles se determinan de forma similar para obtener 137.50 125.17 125.17 110.00 110.00 82.50 82.50 45.83 45.83
(2)
( f S ) i 1
12.33 15.17 27.50 36.67 45.83
0
0
3.0 Segunda iteración, j � 2 (2)
3.1 Ri 1
pi 1
( f S S )
(2) i 1
3.167
erifiquee la convergenci convergencia: a: como 3.2 Verifiqu sos 3.3 a 3.6. (2) 3.3 Resuelva ( kT ) i 1 (3)
4.478
(2) u
⇒
T
.
excede a ε R, se ejecutan los pa-
0
0.6 .63 33
0. 633 8.0 .05 50
0 . 633
.
i 1
(2) R i 1
0
T
0.633 u
(2) (2) R u i 1
3. 1 67
u
(2)
i 1
(2)
u
3.7 .75 50
5.6 .66 67
6.7 .76 67
7.5 .59 92
1.9 .91 17
1.1 .10 00
0.8 .82 25
0.4 .45 58
T
.
3.5 Determinación del estado: (3) i 1
δ
(3)
( f S ) i 1
3.7 .75 50
9.167 18.33 27.50 36.67 45.83
(3)
( kT ) i1
k
0.10 0. 05
T
0.05
1. 05 1
1
2 1
1
2 1
1
1
3.0 Tercera iteración, j � 3 (3)
3.1 R i 1
(3)
pi 1 ( f S S ) i 1
0.
erifiquee la convergencia convergencia:: como 3.2 Verifiqu
(3) R i 1
es menor que ε R, la iteración termina y el valor final se indica como ui�1; vea la fila 3 de la tabla E16.2. e l siguiente paso de tiempo: los pasos 2.0 y 3.0 se ejecutan para i � 4.0 Repetición para el 0, 1, 2, 3, ..., con el fin de obtener los desplazamientos de los niveles u1, u2, u3, u4 y u5 presentados en la tabla E16.2 y graficados en la figura E16.2c. La fuerza cortante basal se grafica como una función del desplazamiento del techo u5 en la figura E16.2d. Las relaciones de cortante-distorsión para cada entrepiso se presentan en las figuras E16.2e-i para los cinco niveles del edificio. TABLA E16.2
i
λi
0
RESULTADOS DEL ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL u1
u2
u3
u4
u5
0
0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1
1.0
1.2500
2.4167
3.4167
4.1667
4.5833
2
1.1
3.7500
5.6667
6.7667
7.5917
8.0500
3
1.2
6.2500
10.5000
11.7000
12.6000
13.1000
4
1.3
8.7500
15.3333
17.5833
18.5583
19.1000
5
1.4
11.2500
20.1667
24.4167
25.4667
26.0500
6
1.5
13.7500
25.0000
31.2500
32.3750
33.0000
7
1.6
16.2500
29.8333
38.0833
39.2833
39.9500
690
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
Ejemplo 16.3
El edificio de cortante de cinco niveles del ejemplo 16.2 se somete a un ciclo sinusoidal completo de aceleración del terreno üg(t ) � ügo sen 2πt (figura (figura E16.1b) con t d � 1 s y ügo � 0.5g. Resuelva las ecuaciones de equilibrio estático en cada paso de tiempo Δt � 0.05 s. Solución Las ecuaciones de equilibrio estático son f S ( u)
u g ( t ) mι ¨
u go sen2π t mι ¨
(a)
La distribución de la fuerza de referencia pref � – mιügo y el factor de carga es λi � sen 2πt i, donde t i � i Δt . Por lo tanto, pref � 50 �1 1 1 1 1 ∙T y λ � �0 0.309 0.588 0.809 0.951 1.0∙T . El paso de cálculo 1.0 es idéntico al del ejemplo 16.2. Los pasos de cálculo 2.0 y 3.0 se ejecutan para i � 0, 1, 2, 3,..., con el fin obtener los desplazamientos u1, u2, u3, u4 y u5 que se presentan en la tabla E16.3 y se grafican en la figura E16.3a en i � 0, 2, 4,.... La fuerza cortante basal se grafica como una función del desplazamiento del techo u5 en la figura E16.3b. Las relaciones de fuerza cortante-distorsión de entrepiso se presentan en la figura E16.3c-g para los cinco niveles del edificio. Los cálculos en el paso 3.5 deben reconocer que la relación fuerza-deformación de los sistemas inelásticos es dependiente de la trayectoria; consulte la sección 16.3.3.
TABLA E16.3
RESULTADOS DEL ANÁLISIS ESTÁTICO LINEAL
i
t i
0
0.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.05
0.3090
2
0.10
0.5878
3
0.15
0.8090
4
0.20
0.9511
5
0.25
1.0000
6
0.30
0.9511
7
0.35
0.8090
8
0.40
0.5878
9
0.45
0.3090
10
0.50
0.0000
11
0.55
1.3906 6.8148 25.3115 38.0951 42.5000 42.2798 41.6406 40.6450 39.3906 38.0000 19.6885
1.8541 7.6965 26.5251 42.8768 48.7500 48.4563 47.6041 46.2767 44.6041 42.7500 23.9749
2.1631 8.2843 27.3341 43.8278 49.7500 49.4074 48.4131 46.8645 44.9131 42.7500 23.6659
2.3176 8.5782 27.7386 44.3034 50.2500 49.8829 48.8176 47.1584 45.0676 42.7500 23.5114
12
0.60
5.6393
5.4007
1.5324
2.1201
2.4140
13
0.65
16.7008
25.3115
25.8320
26.6411
27.0456
14
0.70
23.8028
38.0951
42.8768
43.8278
44.3034
15
0.75
26.2500
42.5000
48.7500
49.7500
50.2500
16
0.80
26.1276
42.2798
48.4563
49.4074
49.8829
17
0.85
25.7725
41.6406
47.6041
48.4131
48.8176
18
0.90
25.2195
40.6450
46.2767
46.8645
47.1584
19
0.95
0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090
0.7725 5.6393 16.7008 23.8028 26.2500 26.1276 25.7725 25.2195 24.5225 23.7500 8.2992
24.5225
39.3906
44.6041
44.9131
45.0676
20
1.00
0.0000
23.7500
38.0000
42.7500
42.7500
42.7500
λi
u1
u2
u3
u4
u5
0.0000
16.3.3 Método de la aceleración media constante
El método de la aceleración media constante con la iteración de Newton-Raphson ya se ha presentado para el análisis de los sistemas de 1GDL no lineales; es el procedimiento
Sección 16.3
5
691
Sistemas no lineales 8 4 6
0
10
2
14 18 12
20
o s e 0.5 p / l a s a b 0 e t n a t r o C −0.5
16
4 l 3 e v i N2
1
(a)
14 12 10 i =
8 6
0
s p i k ,
Entrepiso 1
200
100
s p i k ,
0
1
(b)
4
Entrepiso 2
100 0
V−100
(c)
−200 −20 −10 δ
s p i k ,
2
20
2
V−100
200
0
−5 0 5 Desplazamiento/altura, %
−5 0 5 Desplazamiento/altura, %
200
16 18
0 10 , pulg
(d)
−200
20
−20 −10 δ
1
Entrepiso 3
200
100
s p i k ,
0
3
0 10 , pulg
20
2
Entrepiso 4
100 0
4
V−100
V−100
(e)
−200 −20 −10 δ
0 10 , pulg
(f)
−200
20
−20 −10 δ
3
200 s p i k ,
Entrepiso 5
100 0
5
V−100
(g)
−200 −20 −10 δ
0 10 , pulg
5
Figura E16.3
20
0 10 , pulg
4
20
692
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
resumido en la tabla 5.7.1, especializado para γ � 12 y β � 14 . Este procedimiento se lleva directamente a los sistemas s istemas de VGDL al convertir convertir cada ecuación escalar es calar del procedimiento para los sistemas de 1GDL en una ecuación matricial para los sistemas de VGDL. La tabla 16.3.3 resume el procedimiento tal como podría implementarse por computadora. Para evitar el cálculo de una nueva matriz de rigidez tangente en cada iteración (lo cual puede ser demandante en el cálculo para grandes sistemas de VGDL) la matriz de rigidez inicial al comienzo de un paso de tiempo puede utilizarse para todas las iteraciones dentro de ese paso. Esta iteración de Newton-Raphson modificada resulta en una convergencia más lenta; es decir, se requieren más iteraciones para lograr la convergencia convergencia (vea las figuras 5.7.1 y 5.7.2).
MÉTODO DE LA ACELERACIÓN MEDIA CONSTANTE: SISTEMAS NO LINEALES TABLA 16.3 16.3.3 .3
1.0
Cálculos iniciales 1.1 1. 1 De Dete term rmin inac ació ión n del del esta estado do:: ( f S S ) 0 y ( kT ) 0 . 1.2 Resuelva m ¨u0 p0 cu˙ 0 ( kT ) 0 u0 ⇒ u¨ 0 . 1.3 Seleccione t . 4 2 4 m c a m c. 1.4 a1 y 2 t t t ) 2
2.0
Cálculos para cada instante de tiempo, i ( j ) ( j ) u i 1 ui , ( f S 2.1 Inicialice j 1, 1, u S ) i 1
2.2 3.0
pi 1
( kT ) i .
˙ i m ¨ui . a1 ui a2 u
Para cada iteración, j 1, 2, 3, . . . ( j ) ( j ) ˆ ( j ) pˆ i 1 ( f S 3.1 R ) . a1 u S 1 1 i i i 1
3.2
4.0
pˆ i 1
0, 1, 2, . . . ( j ) ( f S S ) i , y ( kT ) i 1
Verifique la conver Verifique convergenc gencia; ia; si no se cumplen cumplen los los criterios criterios de acepta aceptación, ción, ejecu ejecute te los pasos 3.3 a 3.7; de lo contrario, omita estos pasos y vaya al paso 4.0.
3.3
( j ) ( ˆkT ) i 1
3.4
( j ) Resuelva ( ˆkT ) i 1 u( j )
3.5
ui 1
3.6 3. 6
Dete De term rmin inac ació ión n del del es esta tado do:: ( f S S ) i 1
3.7
Remplace j por j1 y repita los pasos 3.1 a 3.6; indique el valor final como u j 1.
( j 1)
( j )
( kT ) i 1 a1 . ( j )
ui 1
ˆ ( j ) R i 1
⇒
u( j ) .
u( j ) . ( j 1)
( j 1)
y (kT ) i 1 .
Cálculos para los vectores de velocidad y aceleración 2 4.1 u˙ i 1 ( ui 1 ui ) u˙ i . t 4 4 u u˙ i ¨ui . 4.2 u¨ i 1 ( 1 ui ) i t t ) 2
5.0 Repetición para el siguiente paso de tiempo. Remplace i por i1 y ejecute los pasos 2.0 a 4.0 para el siguiente paso de tiempo.
Sección 16.3
693
Sistemas no lineales
Dependencia de la trayectoria. Una de las operaciones importantes en los cálculos es la determinación del estado (paso 3.6). Es necesario reconocer que la relación fuerza-deformación de los sistemas inelásticos es dependiente de la trayectoria; es decir, que depende de si la deformación está aumentando o disminuyendo durante el paso de tiempo. Esta característica debe ser considerada en el cálculo de la matriz de rigidez tangente y de las fuerzas restauradoras asociadas a los desplazamientos ui en cada momento i. Dichos procedimientos se pueden encontrar en los libros de texto sobre el análisis estructural estático y no se incluyen aquí (por ejemplo, vea Filippou y Fenves, 2004). Ejemplo 16.4
El edificio de cortante de cinco niveles del ejemplo 16.2 se somete a un ciclo sinusoidal completo de aceleración del suelo üg(t ) � ügo sen 2πt (figura (figura E16.1b); ügo � 0.5g. Resuelva las ecuaciones de movimiento por el método de la aceleración media constante con la iteración de Newton-Raphson, utilizando un paso de tiempo Δt � 0.1 s; suponga condiciones iniciales nulas y fracciones de amortiguamiento modal ζ n � 5% para todos los modos. Las matrices iniciales iniciales de rigidez rigidez y masa de 5 × 5 se definieron en el ejemplo 16.1; la matriz de amortiguamiento correspondiente a las fracciones de amortiguamiento modal dadas, ζ n � 5%, se determina mediante la superposición de las matrices de amortiguamiento modal (sección 11.4.3). Solución
c
1.0
69.01
19.81
65.70
3.395 21.18
64.83
k
2 1
1 2 1
2 c
t
400m 20c
a2
4 m
t
c
102
40m c
110.5
2 t )
25.45
0
1 2 1
cu˙ 0
117.4
(sim ) 1.981
110.2
( kT ) 0 u0
3.962
116.8
1 1
⇒
¨0 u
0.
0.679
0.274
0.175
4.236
0.854
0.449
4.411
1.128
116.6
112.4 0.340
0.137
0.087
2.118
0.427
0.224
2.205
0.564
110. 0
2.545
108.0
5.090
116. 3
110.1 ( sim )
1 2 1
1.2 Resuelva m ¨u0 p0 1.3 Δt � 0.1 1.4 Matrices a1 y a2:
5.638
Cálculos iniciales 1.1 Determinación del estado para u0 � 0:
m
2.243
43.65
( kT ) 0
4
4.268
63. 46
0.873
22.05
( sim )
( f S ) 0
a1
1.370
101
694
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
2.0
Capítulo 16
Cálculos para cada paso de tiempo , i
Los pasos de cálculo 2.0 a 5.0 se ejecutan para i � 0, 1, 2, 3, ... con el fin de obtener los desplazamientos u1, u2, u3, u4 y u5 presentados en la tabla E16.4. El desplazamiento del techo u5 se grafica como una función del tiempo en la figura E16.4a y la variación de los desplazamientos de nivel sobre la altura en los instantes de tiempo seleccionados i � 0, 2, 4, ..., se grafican en la figura E16.4b. SOLUCI SOLU CI N NUMÉR NUMÉRICA ICA MEDIA MEDIANTE NTE EL MÉTO MÉTODO DO DE LA ACELERACIÓN MEDIA CONSTANTE TABLA E16.4
i
t i
u1
u2
u3
0
0.0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.1
2
0.2
3
0.3
4
0.4
5
0.5
6
0.6
7
0.7
8
0.8
0.2712 1.4663 3.9154 7.0473 9.6905 10.7549 9.5634 5.9381
0.2746 1.5015 4.0737 7.4383 10.2388 11.1525 9.6810 6.0052
0.9
0.2359 1.1762 2.8973 5.1266 7.5152 9.0716 8.4266 5.5450 1.8558
0.2613 1.3750 3.5514 6.2603 8.7127 10.0489 9.1988 5.7476
9
0.1708 0.7701 1.8807 3.5344 5.3831 6.4439 5.9863 4.3618 2.0815
− 0.9983
− 0.6832
− 0.6541
10
1.0
0.7305
1.6946
3.3099
4.3848
4.9299
11
1.1
3.4782
5.0342
6.7247
7.8941
8.6981
12
1.2 1.
5.5469
7.8168
9.2078
9.7899
10.0600
13
1.3
6.7492
9.1381
10.2318
10.4083
10.2899
14
1.4
6.6858
8.6380
9.6715
10.0370
10.2689
15
1.5 1.
5.5610
7.2111
8.2729
8.9549
9.4278
16
1.6
4.8642
6.0410
6.8150
7.1914
7.3539
17
1.7
4.9813
5.5452
5.5219
5.1092
4.8836
18
1.8
4.7428
5.1217
4.5283
3.6914
3.2563
19
1.9
4.0458
4.3222
4.0478
3.4673
3.0939
20
2.0
3.7573
4.0322
4.1602
4.0642
4.0387
20 g l u p ,
5
5 12 14
10 0
i =
0
−10
18 20
8
4
0.5
0 6
4
8
2
20 18
16 12 10
14
l 3 e v i N2
1
6
0
u5
4
16
10
2
u
−20
u4
1 1.5 Tiempo, s
2
(a)
0 −1 0 1 Desplazamiento/altura, % (b)
Figura E16.4
Capítulo
695
Problemas
LECTURAS ADICIONA LES Bathe, K.-J., Finite Element Procedures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1996, capítulo 9. Filippou, F. F. C. y Fenves, G. L., “Methods of Analysis for Earthquake-Resistant Structures”, en: Earth Earth-quake Engineering: from Engineering Seismology to Performance-Based Engineering (eds. Y. Bozorgnia y V. V. Bertero), CRC Press, Nueva York, 2004, capítulo 6. Hughes, T. J. R., The Finite Element Method , Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1987, capítulo c apítulo 9. Humar, J. L., Dynamics of Structures, 2a. ed., A. A. Balkema Publishers, Lisse, Países Bajos, 2002, pp. 748-765. Newmark, N. M., “A Method of Computation for Structural Dynamics”, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE , 85, 1959, pp. 67-94.
PROBLEMAS *16.1 Resuelva el problema del ejemplo 16.1 mediante el método de la diferencia central, ejecutado por un programa de computadora en un lenguaje de su elección y utilizando Δt � 0.1 s. *16.2 Repita el problema 16.1 usando Δt � 0.05 s. ¿Cómo afecta el paso de tiempo a la exactitud
de la solución? ejemplo 16.1 mediante el método de la aceleración media constante, *16.3 Resuelva el problema del ejemplo ejecutado por un programa de computadora en un lenguaje de su elección y utilizando Δt � 0.1 s. Con base en estos resultados y los del problema 16.1, comente sobre la exactitud relativa de los métodos de la aceleración media y la diferencia central. *16.4 Repita el problema 16.3 usando Δt � 0.05 s. ¿Cómo afecta el paso de tiempo a la exactitud de la solución? problema del ejemplo 16.1 16.1 mediante el método método de la aceleración lineal, lineal, ejecu*16.5 Resuelva el problema tado por un programa de computadora en un lenguaje de su elección y utilizando Δt � 0.1 s. Con base en estos resultados y los del problema 16.3, comente sobre la exactitud relativa de los métodos de la aceleración lineal y la aceleración media constante. Tenga en cuenta que este problema se resolvió en el ejemplo 16.1 y que los resultados se presentan en la tabla E16.1. *16.6 Repita el problema 16.5 usando Δt � 0.05 s. ¿Cómo afecta el paso de tiempo a la exactitud de la solución? *16.7 Resuelva el problema del ejemplo 16.4 mediante el método de la diferencia central, ejecutado por un programa de computadora en un lenguaje de su elección y usando un paso de tiempo de 0.05 s. computadora en un *16.8 Resuelva el problema del ejemplo 16.2, ejecutado por un programa de computadora lenguaje de su elección. distribución uniforme de las fuerzas laterales. *16.9 Resuelva el problema 16.8, con una distribución *16.10 Resuelva el problema del ejemplo 16.3, ejecutado por un programa de computadora en un lenguaje de su elección.
*Indica que la solución del problema requiere una computadora.
696
Evaluación Evaluació n numérica de la respuesta dinámica
Capítulo 16
*16.11 Resuelva el problema del ejemplo 16.4, ejecutado por un programa de computadora en un
lenguaje de su elección. *16.12 Resuelva el problema del ejemplo 16.4 utilizando la iteración de Newton-Raphson modificada. Compare el número de iteraciones necesarias para lograr la convergencia usando la iteración de Newton-Raphson (problema 16.11) y la iteración de Newton-Raphson modificada (problema 16.12).
*Indica que la solución del problema requiere una computadora.
