GRADOS DE LIBERTAD Y LIGADURAS
1. 2. 3.
Definiciones y ejemplos Tipos de sistemas según el número de grados de libertad Ligaduras en sistemas planos
1. Definiciones y ejemplos Coordenadas cartesianas La posición de un punto en el espacio queda definida por su r vector de posición r
r r ( x, y , z )
r r ( ρ ,ϕ , z )
Hacen falta 3 coordenadas para definir la posición de un punto en el espacio.
Coordenadas esféricas
Se dice que el punto en el espacio tiene 3 GRADOS DE LIBERTAD
Coordenadas cilíndricas
r r (r , ϕ ,θ )
NÚMERO DE GRADOS DE LIBERTAD DE UN SISTEMA FÍSICO Es el número de coordenadas independientes, necesarias para determinar su posición en cualquier instante de tiempo CUERPO LIBRE Aquel que puede moverse libremente por el espacio, sin restricciones Si su movimiento está restringido de alguna manera, se dice que el cuerpo está LIGADO LIGADURA o APOYO Agente externo que determina tales restricciones
LIGADURAS
HOLÓNOMAS
SIMPLES DOBLES TRIPLES .......
NO HOLÓNOMAS
Ligaduras holónomas: Son aquellas que matemáticamente pueden expresarse como funciones del tipo f ( rr , rr ,L, rr ) = 0 1
r r r donde r1 , r2 ,..., rN
2
N
son los vectores de posición de las partículas del cuerpo
Estas ligaduras eliminan grados de libertad del sólido al que se aplican. Simples (quitan uno), dobles (dos), triples (tres), etc. Ligaduras no holónomas: No eliminan grados de libertad del sólido al que se aplican
Ejemplos Ejemplo 1: Partícula obligada a moverse en una superficie Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partícula deben cumplir la ecuación de la superficie: f(x,y,z)=0 Se trata, por tanto, de una ligadura holónoma simple, que quita un grado de libertad Es el caso, por ejemplo, de una partícula encima de una mesa. La mesa es una ligadura holónoma simple, que le impide caerse. En este caso, la ecuación de la ligadura es z=0 Para definir la posición de la partícula, necesitamos dos coordenadas (x,y). Por tanto, la partícula tiene 2 grados de libertad: 3 (partícula libre)-1(ligadura simple)=2
Ejemplo 2: Partícula obligada a moverse en una curva Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partícula deben cumplir las ecuaciones de las dos superficies que intersectadas forman la curva: f1(x,y,z)=0 f2(x,y,z)=0 Se trata, por tanto, de una ligadura holónoma doble, que quita dos grados de libertad Es el caso, por ejemplo, de una partícula sobre una recta. La recta supone una ligadura holónoma doble. En este caso, la ecuaciones de la ligadura son y=0 z=0 Para definir la posición de la partícula, necesitamos una coordenada (x). Por tanto, la partícula tiene 1 grado de libertad: 3 (partícula libre)-2(ligadura doble)=1
Ejemplo 3: Partícula obligada a estar fija en un punto Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partícula deben valer igual a las coordenadas del punto donde debe permanecer (x0,y0,z0) x=x0 ; y=y0 ; z=z0 Se trata, por tanto, de una ligadura holónoma triple, que quita tres grados de libertad Por tanto, la partícula tiene 0 grados de libertad: 3 (partícula libre)-3(ligadura triple)=0 Ejemplo 4: Partícula obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimensiones a, b y c. Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partícula deben satisfacer las inecuaciones: x
2. Tipos de sistemas según su número de grados de libertad L>0 SISTEMA HIPOSTÁTICO O PARCIALMENTE LIGADO Sistema de N partículas libres
Tiene capacidad de movimiento
Cada partícula tiene 3 grados de libertad
De estos sistemas se ocupa la DINÁMICA
L(número de grados del sistema)=3N
L=0 SISTEMA ISOSTÁTICO No tiene capacidad de movimiento y se usa el número justo de ligaduras
Sistema de N partículas ligadas
De estos sistemas se ocupa la ESTÁTICA
con K ligaduras holónomas L(número de grados del sistema)=3N-K
L<0 SISTEMA HIPERESTÁTICO No tiene capacidad de movimiento y tiene ligaduras en exceso para que ello ocurra De estos sistemas se ocupa la RESISTENCIA DE MATERIALES
¡¡¡¡CUIDADO!!!!
Puede ocurrir que un sistema, aún cuando tenga el número adecuado de ligaduras para ser Isostático o Hiperestático, estas ligaduras estén mal colocadas y posea cierta capacidad de movimiento. Se dice que el sistema está: SISTEMA IMPROPIAMENTE LIGADO
Ejemplos Ejemplo 1: Sólido rígido plano en su plano
¿Qué es un sólido rígido? Es un sistema formado por muchas partículas, de tal forma que las distancias entre ellas permanecen constantes Para definir la posición de un sólido rígido plano en su plano solo se necesita localizar la posición de dos puntos, pues conocidos esos dos, ya se pueden conocer los demás Por ejemplo, si conocemos las coordenadas de los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), podemos conocer las de otro punto cualquiera P(x,y), teniendo en cuenta que las distancias d1 y d2 son constantes y conocidas (es un sólido rígido):
( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 = (d1 ) 2 ( x − x2 ) 2 + ( y − y2 ) 2 = (d 2 ) 2
Dos puntos: N=2 Ligaduras: -Los puntos están en el plano z1=0 z2=0 -Los puntos pertenecen a un sólido rígido d12=constante Por tanto: L=3N-K=3•2-3=3
¡¡Tiene 3 grados de libertad!! Movimiento vertical
Movimiento horizontal
Giro en el plano
Ejemplo 2: Sólido rígido plano en su plano, con un punto fijo Respecto del ejemplo de antes tenemos una ligadura doble: x0=constante y0=constante Por tanto L=Ldel caso anterior-2=3-2=1
¡¡Tiene 1 grado de libertad!!
Giro en el plano respecto del punto P fijo
Ejemplo 3: Dos sólidos rígidos planos en el mismo plano, con un punto común Por cada cuerpo necesitamos dos puntos Cuerpo 1: P(x0,y0) y P1(x1,y1) Cuerpo 2: P(x0,y0) y P2(x2,y2) Por tanto: Numero de puntos: N=3 Ligaduras: -Los puntos están en el plano z0=0 ; z1=0 ;; z2=0 -Son sólidos rígidos d1=constante d2=constante Por tanto: L=3N-K=3·3-5=4
¡¡Tiene 4 grados de libertad!!
Movimiento vertical
Giro en el plano del cuerpo 1
Movimiento horizontal
Giro en el plano del cuerpo 2
Ejemplo 4: Sólido rígido en el espacio Al igual que en el ejemplo 1, se puede demostrar que: Para definir la posición de un sólido rígido en el espacio solo se necesita localizar la posición de tres puntos, pues conocidos esos tres, ya se pueden conocer los demás
Tres puntos: N=3 Ligaduras: Los puntos pertenecen a un sólido rígido d12=constante d13=constante d23=constante Por tanto: L=3N-K=3•3-3=6
¡¡Tiene 6 grados de libertad!! -Tres movimientos de traslación, cada uno a lo largo de un eje coordenado. -Tres rotaciones, alrededor de los tres ejes.
3. Ligaduras en sistemas planos AGENTES EXTERNOS (pesos, vientos, sismos, etc.) Sistema original de fuerzas
Sistema isostático Estructura arquitectónica Sistema equilibrante de fuerzas: Fuerzas de ligadura
LIGADURAS O APOYOS
NUESTRO OBJETIVO Conocido el sistema isostático, las fuerzas de los agentes externos, y las ligaduras usadas, ¿Cual es el valor de las fuerzas que hacen estas ligaduras para que el sistema esté en equilibrado? EL VALOR DE LAS FUERZAS DE LIGADURA DEPENDE DEL VALOR DE LAS FUERZAS EJERCIDAS SOBRE EL SISTEMA
Ligaduras simples Su reacción es una fuerza de dirección conocida 1. Hilo, cuerda, cadena o cable flexible Ejerce siempre una fuerza, R, de tracción sobre el cuerpo. De ella se conoce su dirección, que es la dirección del hilo, cuerda o cadena o cable, y su punto de aplicación es el punto de amarre. 2. Conexión rígida Ejerce sobre el cuerpo una fuerza, R, de tracción o compresión. De ella se conoce su dirección, que es la dirección del eje de conexión de la cuerda o cadena o cable, y su punto de aplicación es el punto de amarre.
3. Bola, rodillo o zapata Eerce sobre el cuerpo una fuerza, R, de compresión. De ella se conoce su dirección: Es perpendicular a la superficie de apoyo de la bola, rodillo o zapata.
4. Superficie lisa (plana o curva)
Ejerce una fuerza, R, de compresión sobre el cuerpo. De ella se conoce su dirección: Es perpendicular a la superficie lisa en el punto de contacto entre el cuerpo y la superficie.
5. Pasador de ranura lisa Ejerce una fuerza, R, perpendicular a la superficie de la ranura o guía. Su sentido puede ser hacia abajo y a la izquierda o hacia arriba y a la derecha. 6. Deslizadera o collar sobre un árbol liso Ejerce una fuerza, R, perpendicular al eje del árbol o deslizadera.
Todas estas ligaduras tienen en común que: -Obligan a un punto del sólido a moverse a lo largo de una línea, y por ello, sólo quitan un grado de libertad. Son por tanto, ligaduras simples. -Su fuerza de ligadura o reacción, tiene dirección conocida. -Solo aportan una incógnita al calculo del equilibrado: El módulo de la fuerza de ligadura.
Ligaduras dobles Su reacción es una fuerza de dirección desconocida 1. Pasador liso, articulación o charnela Ejerce una fuerza, R, de dirección desconocida aplicada en el punto de amarre, pues impide que este punto del sólido se mueva. A este punto, le quita sus dos grados de libertad en el plano, luego es una ligadura doble. Aporta dos incógnitas al cálculo del equilibrado: - El módulo de la fuerza, R, y su ángulo de orientación, θ, o bien -Las dos componentes cartesianas, Rx y Ry 2. Superficie rugosa Las superficies rugosas pueden resistir una fuerza tangencial (llamada fuerza de rozamiento, Rt) y una fuerza perpendicular a la superficie (llamada fuerza normal, Rn) La fuerza resultante de esas dos, R, es una fuerza de dirección desconocida.
Ligadura triple Su reacción es una fuerza de dirección desconocida y un par
Empotramiento Un empotramiento ejerce sobre el cuerpo una fuerza R de dirección desconocida y un par. Este tipo de ligaduras fijan la posición de todos los puntos del sólido plano en su plano. Por ello, son ligaduras triples. La fuerza R suele representarse por sus dos componentes cartesianas (Rx,Ry) El par se suele representar por su momento
r M par = M par kˆ
Por tanto: Introducen tres incógnitas en el cálculo del equilibrado
Simbología simplificada que usaremos habitualmente
Ligadura simple tipo cable, hilo, cadena o conexión rígida
Ligadura simple tipo rodillo, bola o zapata
Ligadura doble tipo articulación o charnela
Sólido plano en su plano isostático Con 3 ligaduras simples
Con una ligadura simple y otra doble
Más ejemplos de sólidos planos en su plano isostáticos con una ligadura doble y una simple
Más ejemplos de sólidos planos en su plano isostáticos con tres ligaduras simples
Con una ligadura triple
¡¡¡Puede ocurrir lo siguiente!!! Las tres directrices paralelas
¡¡Tiene posibilidad de movimiento!! Puede trasladarse ESTÁ IMPROPIAMENTE LIGADO
¡¡Tiene posibilidad de movimiento!!
Las directrices concurrentes
Puede girar ESTÁ IMPROPIAMENTE LIGADO
Sólido plano en su plano hipostático
Sólido plano en su plano hipostático
Sólido plano en su plano hiperestático
¡¡¡Puede ocurrir lo siguiente!!! Todas las directrices paralelas Tiene posibilidad de movimiento Puede trasladarse IMPROPIAMENTE LIGADO
Todas las directrices concurrentes
Tiene posibilidad de movimiento Puede girar IMPROPIAMENTE LIGADO