Robot de Tipo Articulado de 3 Grados de Libertad

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco

ROBOT ARTICULADO DE 3 GRADOS DE LIBERTAD

Yarid Alu"nos# Vargas Cortes Giovanni Yarid Lara del Prado Aarón Arregin !asso Edardo

Pro$esor# !avier Ra"#re$ Gordillo

%rupo# %RV&


'(DICE GE(ERAL CAPITULO I %ENE&ALI'A'ES %ENE&ALI'A'ES..............................................................................3 ........................................................... ................................................ ........................................ ............ 3 ()( O*+ETI,O.......................................

()()( ()/

O*+ETI,OS ESP ESPEC-.ICOS.................................................................3

+USTI.ICACI0N.......................................................................................3

()1 INT&O'UCCI0N INT&O'UCCI0N...........................................................................................4 ()2 MA&CO TE0&ICO........................................................................................5 ()2)( AL%O&ITMO..........................................................................................5 ()2)/ PLANEACI0N 'E MO,IMIENTO MO,IMIENTO..............................................................7 ()2)1 ESPACIO 'E LAS CON.I%U&ACIONES ...................................................8 ()2)2 CAMPO 'E POTENCIAL A&TI.ICIAL.......................................................8 CAPITULO II .UN'AMENTOS TE0&ICOS ............................................................10 /)( CON.I%U&ACI0N 'E TIPO A&TICULA'O ...................................................10 /)/ MO,IMIENTO 'EL &O*OT..........................................................................10 /)1 CINEM3TICA 'EL &O*OT..........................................................................11 /)1)( CINEM3TICA 'I&ECTA.........................................................................11 /)1)()( CINEM3TICA 'I&ECTA CON T&ANS.O&MACIONES 4OMO%ÉNEAS ....12 /)1)/ CINEM3TICA IN,E&SA.........................................................................12 /)2 'IN3MICA 'EL &O*OT..............................................................................13 CAPITULO III 'ESA&&OLLO 'E IN%ENIE&-A .......................................................14 1)( PIE5AS6 MO'ELA'O 7 ENSAM*LA'O 'EL *&A5O &O*0TICO ...................14 1)/ SE&,OMOTO&ES SE&,OMOTO&ES......................................................................................16 1)1 COMUNICACI0N SO.T8A&E94A&'8A&E ..................................................17 1)2 'IA%&AMA ELECT&0NICO........................................................................18 1): P&O%&AMACION 'EL A&'UINO ................................................................19 1); P&O%&AMACI0N EN MATLA* ....................................................................20 1);)( P&O%&AMA PA&A LA CINEM3TICA 'I&ECTA.......................................20 1);)/ P&O%&AMA PA&A LA CINEM3TICA IN,E&SA .......................................22 1);)1 P&O%&AMA PA&A LA 'IN3MICA ..........................................................28 1)< MO'ELO 'IN3MICO...................................................................................32 CAPITULO I, CONCLUSIONES6 &E.E&ENCIAS 7 ANE=OS..................................33 1


'(DICE GE(ERAL CAPITULO I %ENE&ALI'A'ES %ENE&ALI'A'ES..............................................................................3 ........................................................... ................................................ ........................................ ............ 3 ()( O*+ETI,O.......................................

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O*+ETI,OS ESP ESPEC-.ICOS.................................................................3

+USTI.ICACI0N.......................................................................................3

()1 INT&O'UCCI0N INT&O'UCCI0N...........................................................................................4 ()2 MA&CO TE0&ICO........................................................................................5 ()2)( AL%O&ITMO..........................................................................................5 ()2)/ PLANEACI0N 'E MO,IMIENTO MO,IMIENTO..............................................................7 ()2)1 ESPACIO 'E LAS CON.I%U&ACIONES ...................................................8 ()2)2 CAMPO 'E POTENCIAL A&TI.ICIAL.......................................................8 CAPITULO II .UN'AMENTOS TE0&ICOS ............................................................10 /)( CON.I%U&ACI0N 'E TIPO A&TICULA'O ...................................................10 /)/ MO,IMIENTO 'EL &O*OT..........................................................................10 /)1 CINEM3TICA 'EL &O*OT..........................................................................11 /)1)( CINEM3TICA 'I&ECTA.........................................................................11 /)1)()( CINEM3TICA 'I&ECTA CON T&ANS.O&MACIONES 4OMO%ÉNEAS ....12 /)1)/ CINEM3TICA IN,E&SA.........................................................................12 /)2 'IN3MICA 'EL &O*OT..............................................................................13 CAPITULO III 'ESA&&OLLO 'E IN%ENIE&-A .......................................................14 1)( PIE5AS6 MO'ELA'O 7 ENSAM*LA'O 'EL *&A5O &O*0TICO ...................14 1)/ SE&,OMOTO&ES SE&,OMOTO&ES......................................................................................16 1)1 COMUNICACI0N SO.T8A&E94A&'8A&E ..................................................17 1)2 'IA%&AMA ELECT&0NICO........................................................................18 1): P&O%&AMACION 'EL A&'UINO ................................................................19 1); P&O%&AMACI0N EN MATLA* ....................................................................20 1);)( P&O%&AMA PA&A LA CINEM3TICA 'I&ECTA.......................................20 1);)/ P&O%&AMA PA&A LA CINEM3TICA IN,E&SA .......................................22 1);)1 P&O%&AMA PA&A LA 'IN3MICA ..........................................................28 1)< MO'ELO 'IN3MICO...................................................................................32 CAPITULO I, CONCLUSIONES6 &E.E&ENCIAS 7 ANE=OS..................................33 1


2)( CONCLUSIONES %ENE&ALES...................................................................33

2)/ ANE=OS....................................................................................................33 2)/)( ANE=O >A(?.........................................................................................33 2)/)/ ANE=O >A/?.........................................................................................33 2)/)1 ANE=O >A1?.........................................................................................33 2)/)2 ANE=O >A2?.........................................................................................33 2)/): ANE=O >A:?.........................................................................................33 2)/); ANE=O >A;?.........................................................................................33 2)/)< ANE=O >A
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CAPITULO I %ENE&ALI'A'ES

()( O*+ETI,O El o)*etivo +rin,i+al del +ro-e,to. es dise/ar na estrategia a trav0s de n algorit"o ade,ado +ara la genera,ión de tra-e,torias ,on n )ra$o ro)óti,o ,on na ,on1igra,ión de ti+o arti,lado de 3 grados de li)ertad2

()()( O*+ETI,OS ESPEC-.ICOS Para ,"+lir ,on el o)*etivo +rin,i+al de este +ro-e,to. se ne,esitan satis1a,er los sigientes o)*etivos es+e,#1i,os • • • • • •

Dise/ar - ,onstrir la ,on1igra,ión "e,4ni,a del ro)ot arti,lado Dise/ar - ,onstrir la ,on1igra,ión el0,tri,a5ele,tróni,a Ela)orar na inter1a,e de ,o"ni,a,ión lógi,a51#si,a Integrar ,ada na de las ,on1igra,iones dise/adas Desarrollar n algorit"o +ara generar tra-e,torias Dise/ar el ,ontrol O(6O77 - PI +ara la genera,ión de las tra-e,torias

()/ +USTI.ICACI0N Ya 8e los ro)ots o+eran en entornos reales - son ,a+a,es de intera,tar en n entorno din4"i,o donde ta")i0n se en,entran otros o)*etos. +ersonas - en general ,on otros agentes. se +resentan i"+resionantes resltados en s "e,4ni,a. din4"i,a - en s ,ontrol de "ovi"ientos2 Los ro)ots son ,a+a,es de desarrollar di1erentes ti+os de tareas. as# "is"o. ,on res+e,to al "ndo din4"i,o 8e lo rodea. la +lani1i,a,ión de 1tras a,,iones - las tareas resltantes a evalar son ,ara,ter#sti,as i"+ortantes +ara na +lanea,ión2

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco Por lo tanto el dise/o de n ro)ot ,onlleva a desarrollar estrategias +ara na +lanea,ión de n )en ,ontrol - as# +eda intera,tar ,on s entorno sin 8e se vea interr"+ido ,on alg9n ti+o de o)st4,lo 8e se le llegase a +resentar. +or ello se de)e dise/ar el algorit"o ade,ado +ara la genera,ión de ss tra-e,torias - as# +oder a+li,ar n ,ontrol so)re 0l2

()1 INT&O'UCCI0N La +lanea,ión de tra-e,torias dese"+e/a n +a+el "- i"+ortante en varios ,a"+os de la investiga,ión2 En s 1or"a general. el o)*etivo es +lanear tra-e,torias +ara n siste"a ro)óti,o entre na ,on1igra,ión de ini,io - na +osi,ión 1inal so)re n entorno in,ierto2 :asta el d#a de ;o- la +lanea,ión de "ovi"ientos en "ani+ladores ro)óti,os +ara la reali$a,ión de tareas es+e,#1i,as ;a dado lgar a l#neas de investiga,ión 8e )s,an e<+lotar - "a grados de li)ertad en n a")iente ,on n n9"ero de =?> o)st4,los. )s,a na rta li)re de ,olisión 8e ,one,te la ,on1igra,ión a,tal =de ini,io> del ro)ot ,on na ,on1igra,ión 1inal deseada =la "eta>. ,o"o es se/alado en Cann- =@%> :ang et al2 =@&>2 Planear tra-e,torias segras i"+li,a en identi1i,ar rtas - *erar8i$arlas en n es+a,io a)stra,to +arta o)tener "odelos si"+les. ,ara,teri$ar el es+a,io va,#o. reali$ar es8e"as so)re la +lanea,ión de "ovi"ientos ,on o)st4,los - red,ir la ,o"+le*idad del +ro)le"a2 Cal8iera 8e sea el +anora"a. la +lanea,ión ,onsidera el ;e,;o de 8e el ro)ot intera,t9a ,on ss ,o"+onentes "e,4ni,os - ,on ele"entos 8e o)sta,li$an la reali$a,ión de tareas. -a sea 8e s dese"+e/o este en entornos est4ti,os. din4"i,os -6o geo"0tri,a"ente restringidos +or "a8inas  otros ro)ots2

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()2 MA&CO TE0&ICO ()2)( AL%O&ITMO En "ate"4ti,as. ,ien,ias de la ,o"+ta,ión - dis,i+linas rela,ionadas. la +ala)ra algorit"o +roviene del lat#n. di - el es+a,io =,antidad de "e"oria tili$ada>. esto genera +ro)le"as 8e tienen na sol,ión ,on orden de ,o"+le*idad lineal - 8e se reselven en n tie"+o 8e se rela,iona lineal"ente ,on s ta"a/o2

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco :o- en d#a las "48inas reselven +ro)le"as "ediante algorit"os 8e tienen n "4. se agr+an en dos ,on*nto P - (P Los +ro)le"as ,on n ,osto 1a,torial o ,o")inatorio est4n agr+ados en (P - de los ,ales no tienen na sol,ión +r4,ti,a en n tie"+o ra$ona)le2 La ,o"+le*idad P es el ,on*nto de los +ro)le"as de de,isión 8e +eden ser reseltos en na "48ina deter"inista en tie"+o +olinó"i,o. lo 8e ,orres+onde intitiva"ente a +ro)le"as 8e +eden ser reseltos a9n en el +eor de ss ,asos2 La ,o"+le*idad (P es el ,on*nto de los +ro)le"as de de,isión 8e +eden ser reseltos +or na "48ina no deter"inista en tie"+o +olinó"i,o. todos los +ro)le"as de esta ,lase tienen la +ro+iedad de 8e s sol,ión +ede ser veri1i,ada e1e,tiva"ente2 En Bae$a =&FF&>. se "en,ionan algnos ti+os de algorit"os 8e +eden ser divididos seg9n s 1n,ión ,o"o algorit"os de ordena"iento ó algorit"os de )9s8eda. 8e a s ve$ +eden i"+le"entarse en t0,ni,as de dise/o ,o"o Algorit"os vora,es25 Sele,,ionan los ele"entos "4s +ro"etedores de n ,on*nto de ,andidatos ;asta en,ontrar na sol,ión2 En la "a-or#a de los ,asos la sol,ión no es ó+ti"a2 Algorit"os +aralelos25 Per"iten la división de n +ro)le"a en s)5+ro)le"as de 1or"a 8e se +edan e*e,tar de "anera si"lt4nea en varios +ro,esadores2 Algorit"os +ro)a)il#sti,os25 Algnos de los +asos de este ti+o de algorit"os est4n en 1n,ión de valores +sedo5aleatorios2 Algorit"os deter"in#sti,os25 Ss +asos est4n de1inidos - a+ortan na sol,ión e
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()2)/ PLANEACI0N 'E MO,IMIENTO Los investigadores tra)a*an en "e*orar a los ro)ots +ara la reali$a,ión de tareas s"a"ente ,o"+le*as ,on la "#ni"a interven,ión del ;o")re. dando lgar a la ne,esidad de resolver el +ro)le"a 8e i"+li,a la +lanea,ión de "ovi"ientos. 8e drante las tres 9lti"as d0,adas sige ,onsider4ndose ,o"o n 4rea "i"+ortante - +rod,tiva de la investiga,ión en la ro)óti,a2 Conse,ente"ente. la +lanea,ión de "ovi"iento es n +ro)le"a "lti"odal no lineal +or natrale$a. de)ido a la rela,ión ,ine"4ti,a 8e des,ri)e las ,a+a,idades de "ovi"iento - restri,,iones de los ele"entos 8e ,o"+onen a n "ani+lador ro)óti,o2 Esto i"+li,a anali$ar el te"a desde na 1or"a general ;asta n as+e,to +arti,lar2 Ade"4s se ,onsideran dos as+e,tos 8e +eden de1inir el +ro)le"a a estdiar. el +ri"ero to"a ,o"o )ase la ,onstr,,ión 1#si,a del entorno - el ti+o del ro)ot el segndo est4 rela,ionado ,on los algorit"os 8e se e"+lear4n +ara sol,ionar el +ro)le"a de ,erdo al anterior2 Dentro del +ri"ero los di1erentes ti+os de a")ientes en los 8e ,al8ier ti+o de ro)ot +ede o+erar =tr4tese de ro)ot "ani+lador. ro)ot ,on restri,,iones. o de n a")iente ,on varios ti+os de ro)ots>. +eden ser esta,ionario. variante o invariante en tie"+o. ada+ta)le o no ada+ta)le - de o)*etos "óviles2 El segndo as+e,to 8e de1ine al +ro)le"a se rela,iona ,on los algorit"os a e"+lear - 8e +ede derivarse en sita,iones ,o"o la ,o"+le*idad ,o"+ta,ional - el al,an,e 8e tienen ,on "0todos de +lanea,ión de "ovi"iento glo)al o lo,al. s i"+le"enta,ión se ;a,e +ara o)tener resltados de 1or"a ;er#sti,a. e
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()2)1 ESPACIO 'E LAS CON.I%U&ACIONES El es+a,io de las ,on1igra,iones en n siste"a "e,4ni,o. es n es+a,io +ntal de di"ensiones igal al n9"ero de grados de li)ertad. donde los +ntos tienen ,o"o ,oordenadas generali$adas. a8ellas 8e se ;an ,onsiderado en la des,ri+,ión de la ,on1igra,ión del siste"a n s)5es+a,io de las ,on1igra,iones. son a8ellos +ntos 8e ,"+len las e,a,iones de enla,e geo"0tri,o - 8e 1or"an el s)5es+a,io de ,on1igra,iones a,,esi)les de a,erdo ,on Cardona et al2 =&FF@a>2 La +lanea,ión de tra-e,torias de "ani+ladores ro)óti,os en n es+a,io de tra)a*o no ;o"og0neo donde los o)st4,los e. donde se anali$a el +ro)le"a de +lani1i,ar tra-e,torias segras +ara n "ani+lador "ediante la ,ara,teri$a,ión de o)st4,los aso,iados a na tra-e,toria li)re de ,olisiones2 Sin e")argo en Bert;old et al2 =@)>. +ro+one n "0todo es+e,tral 8e ,al,la los tor8es re8eridos de las arti,la,iones. se/alando 8e el "0todo del es+a,io de las ,on1igra,iones +ro+or,iona n e8ili)rio ó+ti"o entre el al"a,ena*e - los ,ostos de ,ó"+to 8e son altos ,ando se a+li,a al ,ontrol de es+a,io de estados ,o"o n siste"a relativa"ente sen,illo2 Por otro lado. en Rai)ert =@%> se/ala na de ta)la,ión de las e,a,iones del "ovi"iento en tie"+o real =,on*nta"ente ,on na "e"oria del es+a,io de las ,on1igra,iones organi$ada. +or varia)les +osi,iónales - ,ontenidas en la "e"oria +re5+ro,esada sola"ente na ve$ +ara ,ada "ani+lador> +ara sarse en todos los "ovi"ientos +osi)les2 As#. ,ada +nto en el es+a,io 8e ,orres+onden a na ,on1igra,ión del siste"a son valores +ara los ele"entos del ve,tor de la +osi,ión del )ra$o - 8e est4n rela,ionados ,on los ,oe1i,ientes de la e,a,ión din4"i,a2

()2)2 CAMPO 'E POTENCIAL A&TI.ICIAL El "0todo del ,a"+o de +oten,ial arti1i,ial se aso,ia a "ani+ladores ro)óti,os arti,lados. s a+li,a,ión +retende 8e el "ani+lador al,an,e desde na +osi,ión ini,ial n +nto 1inal sin ,olisionar ,on los o)st4,los 8e se en,entran en el es+a,io de tra)a*o2 Este "0todo se )asa en i"+le"entar n +laneador. el ,al to"a ,o"o re1eren,ia el +nto ini,ial dada na ,on1igra,ión +arti,lar del "ani+lador - 8e )s,a el +nto 1inal generado +or na tra-e,toria li)re de o)st4,los. evitando as# la ,olisión del "e,anis"o arti,lado ,on ss ele"entos en na serie de ,on1igra,iones ,oordinadas2

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El "0todo de ,a"+os de +oten,ial arti1i,ial desarrollado +or H;ati) =@%>. es e"+leado desde enton,es - ;asta la a,talidad ,o"o )ase +ara el desarrollo de diversos algorit"os a+li,ados en H;osla et al2 =@%%)> Borenstein et al2 =@%> :ssien =@%> Jarren =@%)> Jarren =@F)> Cann- et al2 =@F> Ri"on et al2 =@Fa> Borenstein et al2 =@@> Lato")e =@@> Ri"on et al2 =@&a> Hi" et al2 =@&)> Ho et al2 =@> C;ang et al2 =@%)> er,;4n5Cr$ =&FFK)>2 Es i"+ortante resaltar 8e este "0todo ;a sido "odi1i,ado drante la sol,ión de algnos +ro)le"as. de)ido a 8e s "a-or desventa*a es la e - son sados general"ente +ara la +lanea,ión de tra-e,torias de ro)ots "óviles en H;osla et al2 =@%%a> Ri"on et al2 =@&)> Barisi, et al2 =&FF>2 El ,on,e+to )4si,o del "0todo de ,a"+o del +oten,ial es ,olo,ar so)re el es+a,io de tra)a*o del ro)ot. n +oten,ial de atra,,ión so)re la "eta - n ,a"+o de re+lsión so)re los o)st4,los ,o"o +ntos restringidos. de tal "anera. 8e el +laneador del ro)ot sige la 1er$a de atra,,ión ;a,ia la "eta. ,o"o se detalla en Lato")e =@@>2 Por otro lado. el "0todo a+li,ado a ro)ots "óviles en a")ientes din4"i,os donde la "eta - los o)st4,los se "even. tiene n trato "4s ,o"+le*o ,o"o se o)serva en Ge et al2 =&FF&> Conner et al2 =&FF3>2 (o o)stante. el +ro)le"a se red,e en Savage et al2 =&FFF> ,ando se to"an i"4genes - son anali$adas ato"4ti,a"ente e in,lso. la a+li,a,ión de a,,iones ani"adas - +arti,lar"ente en los *egos din4"i,os. se ;a,en "4s sen,illas a trav0s de la ,o"+ta,ión evoltiva tal ,o"o es desarrollado en A))ott et al2 =&FF>2

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CAPITULO II .UN'AMENTOS TE0&ICOS /)( CON.I%U&ACI0N 'E TIPO A&TICULA'O Vol"en de tra)a*o es es10ri,o2 Estos ti+os de ro)ot se +are,en al )ra$o ;"ano. ,on na ,intra. el ;o")ro. el ,odo. la "/e,a2 Presenta na arti,la,ión ,on "ovi"iento rota,ional - dos anglares2 An8e el )ra$o arti,lado +ede reali$ar el "ovi"iento lla"ado inter+ola,ión lineal =+ara lo ,al re8iere "over si"lt4nea"ente dos o tres de ss arti,la,iones>. el "ovi"iento natral es el de inter+ola,ión +or arti,la,ión. tanto rota,ional ,o"o anglar2 En el ,aso de nestro +ro-e,to elegi"os la estr,tra de )ra$o arti,lado de)ido a s a,,esi)ilidad en dise/o - ar"ado. ade"4s de 8e +resenta na ,on1igra,ión ,asi id0nti,a a los )ra$os ro)óti,os ,onven,ionales sados en la indstria +or lo 8e +ede a-dar en la "e*or ,o"+resión de los siste"as 8e los ,o"+onen - de s ,o"+orta"iento "e,4ni,o2

/)/ MO,IMIENTO 'EL &O*OT La ,on1igra,ión de n sólido es la des,ri+,ión est4ti,a del o)*eto en el es+a,io. relativo a n siste"a de ,oordenadas de re1eren,ia2 En el ,aso de n ,er+o r#gido sin restri,,iones. es +osi)le es+e,i1i,ar s +osi,ión - orienta,ión al "enos +or seis ,oordenadas generali$adas2 Para +oder des,ri)ir ,o"+leta"ente la rela,ión es+a,ial entre los siste"as. es ne,esario in,lir s re+resenta,ión ,o"o na ,o"+onente 8e rela,iona el ve,tor de +osi,ión - orienta,ión entre los or#genes del siste"a de ,oordenadas ,on "ovi"ientos relativos. este an4lisis de "ovi"iento se des,ri)e ,o"o ,ine"4ti,a - din4"i,a2 La ,on1igra,ión )4si,a de n "ani+lador ro)óti,o est4 ,onstitida +or na ,adena ,ine"4ti,a arti,lada ,on "ovi"ientos relativos - s estdio anal#ti,o del "ovi"iento 1or"la "odelos 1a,ti)les de s ,ine"4ti,a - din4"i,a. +rin,i+al"ente ,ando se anali$a el ,o"+orta"iento ,o"o resltado de las 1er$as a+li,adas +or los siste"as de ,ontrol2

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/)1 CINEM3TICA 'EL &O*OT El an4lisis ,ine"4ti,o. estdia el "ovi"iento de n ,er+o sin to"ar en ,enta las 1er$as 8e lo +rod,en. ,onse,ente"ente la ,ine"4ti,a de n "ani+lador ro)óti,o estdia la +osi,ión. velo,idad - a,elera,ión anglar en1o,adas a las +ro+iedades geo"0tri,as. ,on,reta"ente a los el "ovi"iento resltante de los esla)ones 8e ,on1or"an al ro)ot. ,o"o se o)serva en Bartlett =&FF@>2 Sin e")argo. 0ste an4lisis es in;erente a los dos +ro)le"as 8e en1renta. la ,ine"4ti,a dire,ta e inversa2 El +ri"ero deter"inar la +osi,ión - orienta,ión de la ;erra"ienta del "ani+lador. de)ido al ,a")io en la ,on1igra,ión de los esla)ones 8e ,on1or"an la ,adena ,ine"4ti,a. el segndo de1ine los valores anglares de las arti,la,iones. ,on1igra,ión resltante 8e satis1a,e la orienta,ión6+osi,ión deseada de la ;erra"ienta en s es+a,io de tra)a*o2

/)1)( CINEM3TICA 'I&ECTA La ,ine"4ti,a dire,ta es sen,illa - no ;a- ,o"+le*idad al o)tener las e,a,iones. +or lo tanto. ;a- sie"+re na sol,ión dire,ta +ara deter"ina la +osi,ión orienta,ión de la ;erra"ienta o e1e,tor 1inal2 En general. la re+resenta,ión "ate"4ti,a del siste"a se reali$a "ediante e,a,iones di1eren,iales ordinarias el "odelo resltante se o)tiene a trav0s de dos t0,ni,as ,o"o la anal#ti,a - la e<+eri"ental se/alada en Hell- et al2 =&FFK>. las ,ales se derivan so)re el ,a")io de ,on1igra,ión en el siste"a de esla)ones 8e ,on1or"an la ,adena ,ine"4ti,a - 8e des,ri)en lo sigiente Anal#ti,o Este +ro,edi"iento se )asa en las le-es de la 1#si,a del "ovi"iento del siste"a2 Esta "etodolog#a tiene la venta*a de +rod,ir n "odelo "ate"4ti,o tan +re,iso ,o"o se re8iera2 E<+eri"ental Este re8iere n ,ierto grado de e<+eri"enta,ión +ara o)tener los datos +ro+ios del siste"a2 (or"al"ente se e
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/)1)()( CINEM3TICA 'I&ECTA CON 4OMO%ÉNEAS

T&ANS.O&MACIONES

La ,onven,ión des,rita +or Denavit - :arten)erg tili$a e<+resiones del alge)ra "atri,ial +ara restringir la +osi,ión6orienta,ión de n "ar,o "óvil res+e,to a n "ar,o de re1eren,ia 1i*o2 Por lo general. 0sta "etodolog#a ,l4si,a esta)le,e n siste"a de ,oordenadas +ara ,ada ele"ento del ro)ot arti,lado. ,ara,teri$ando s "ovi"iento +or "edio de "atri,es de trans1or"a,ión ;o"og0nea @ A . )asado en el +rod,to de ,atro trans1or"a,iones :o"og0neas )4si,as. res+e,tiva"ente. las ,ales +er"iten o)tener na "atri$ ,o"+esta 1inal FTi de +osi,ión6orienta,ión ,o"o se detalla en Denavit et al2 =@KK>2 i

i

7IG2 &2@25 atri$ de trans1or"a,ión ;o"og0nea

/)1)/ CINEM3TICA IN,E&SA La ,ine"4ti,a inversa es n +ro)le"a "4s di1#,il. la sol,ión a 0ste es ,o"+ta,ional"ente e<+ansiva - general"ente tarda ",;o +ara el ,ontrol de tie"+o real so)re el "ani+lador2 Las singlaridades - no linealidades ;a,en 8e el +ro)le"a sea ,o"+le*o de sol,ionar2 Por lo tanto. 9ni,a"ente +ara na ,lase "- +e8e/a de los "ani+ladores. la ,ine"4ti,a inversa es si"+le ="ani+ladores ,on orienta,ión de Eler> - o)tiene sol,iones anal#ti,as ,o"+letas ,o"o se a+ntan en H,? et al2 =&FF>2 Las t0,ni,as ,ono,idas +ara sol,ionar el +ro)le"a de la ,ine"4ti,a inversa. es a trav0s de "0todos anal#ti,os - el "0todos n"0ri,os2 En el +ri"er ,aso las varia)les ,o"nes se sol,ionan anal#ti,a"ente seg9n los datos de la ,on1igra,ión dada2

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco Para el segndo la sol,ión se o)tiene ,ando las varia)les ,o"nes son evaladas +or alg9n "0todo n"0ri,o2 Para el "0todo anal#ti,o las ;erra"ientas +rin,i+ales son las sol,iones geo"0tri,as - alge)rai,as. la sol,ión geo"0tri,a se a+li,a a estr,tras si"+les del ro)ot. tales ,o"o los "ani+ladores "enos de dos grados de li)ertad o ,on e*es arti,lados +aralelos2 Para los "ani+ladores ,on "4s de dos esla)ones - los ,ales se e
/)2 'IN3MICA 'EL &O*OT El an4lisis de "ovi"iento de los ,er+os )a*o la a,,ión de las 1er$as 8e lo +rod,en. se des,ri)e en t0r"inos de e,a,iones 8e rela,ionan el tie"+o ,on el ,a")io de ,on1igra,ión del ro)ot. o)ede,iendo a la segnda le- de (eton. donde la ra$ón de ,a")io en el "o"ento de na +art#,la es igal a la 1er$a a+li,ada a 0sta2 El an4lisis se reali$a so)re n ,on*nto de +art#,las 1i*as ;a,ia otras 8e tienen grados de li)ertad 1initos - es ne,esario des,ri)ir estas inter,one
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CAPITULO III 'ESA&&OLLO 'E IN%ENIE&-A 1)( PIE5AS6 &O*0TICO

MO'ELA'O

7

ENSAM*LA'O

'EL

*&A5O

Para este +ro-e,to se ,onstr-ó n ro)ot sando ,intra ,on na ,on1igra,ión arti,lada +ara la ,onstr,,ión de nestro )ra$o ro)óti,o2 Se tili$ó el so1tare de solidor?s +ara el dise/o. "odelado - ensa")le2

7IG 32@25 odelado de la )ase del )ra$o reali$ada en solidor?s

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7IG 32&25 odelado del +ri"er esla)ón del )ra$o reali$ado en solidor?s

7IG2 32325 odelado del segndo esla)ón del )ra$o reali$ado en solidor?s

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7IG2 3225 Ensa")lado de la )ase - los & esla)ones

Las "edidas de las +ie$as "ostradas en las 1igras 32@. 32& Y 323 +eden ser visali$adas en los +lanos 8e vienen en el ane2

1)/ SE&,OMOTO&ES Se tili$ó n servo"otor GK M"etal gear dal )all )earing servoN de alta velo,idad +or ,ada grado de li)ertad. tili$a"os n total de 3. +ara "4s in1or"a,ión a,er,a de ss es+e,i1i,a,iones t0,ni,as ,onsltar el ane2

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7IG2 32K25 Servo"otor

1)1 COMUNICACI0N SO.T8A&E94A&'8A&E Para la ,o"ni,a,ión lógi,a51#si,a se tili$ó n ardino U(O. ,on el "i,ro,ontrolador ATEL ATEGA 3&%P5PU este es na inter1a$ 8e ,o"ni,a "ediante n siste"as RS&3& via USB ,on n +erto serial virtal en la ,o"+tadora =CO3>2 Por otra +arte de+endiendo de varia)les anglares el "i,ro,ontrolador env#a +lsos a los servo"otores "ediante el PJ2 Para "4s in1or"a,ión a,er,a del Ardino. se +ede ,onsltar el Datas;eet en el ane2

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1)2 'IA%&AMA ELECT&0NICO

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1): P&O%&AMACION 'EL A&'UINO Para este +ro-e,to se tili$ó n +rogra"a ,reado +or "at;or?s +ara el ,ontrol de servo"otores atraves de varias +lata1or"as de la 1a"ilia ardino lla"ese =Ardino "ini+ro. Ardino ega - Ardino @> en el ,al se +rogra"ó ,on el ,o"+ilador de 14)ri,a de Ardino +ara el ,ontrol del PJ - la inter1a,e de ,o"ni,a,ión lógi,a51#si,a2 Ir al +rogra"a =Se +de ,onsltar el Datas;eet del +i, visali$ando el ane2

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1); P&O%&AMACI0N EN MATLA* Se tili$ó el so1tare de atla) +ara la ela)ora,ión del dise/o alge)rai,o de la ,ine"4ti,a dire,ta. la ,ine"4ti,a inversa - la din4"i,a de nestro )ra$o ro)óti,o2 To"ando los +ar4"etros de 'ena@i94arenerg de nestro )ra$o ro)óti,o i



di

i

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t@QF

&23

5F

F

&

t@QF

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2K

3

t@QF

F

F

23K

Ta)la 32@ Para"etros de Denavit5:arten)erg de nestro ro)ot arti,lado de 3 grados de li)ertad

1);)( P&O%&AMA PA&A LA CINEM3TICA 'I&ECTA clear;clc;clf; %limpiar todo %% declarar los parámetros Denavit!arten"er# para ro"ots artic$ladosprismáticos %%&t!eta alp!a a d si#ma' d! (& 0 90 0 4.58 0 0 0 7.61 0 0 0 0 5.68 0 0 '; %% #enera las ec$aciones para la cinemática directa %% )enerar las ec$aciones para resolver la cinemática directa ap(s*m+d!+,-2/+pi180;a(d!+,-3;(+d!+,-5((0;(e*e+4-4;v(+t+i/++i d!+i-1/+1+i/++pi180/+1+i+i; for i(1,len#t!+d!+,-1 eval+&t+-n$m2str+i-(&s*m+t-n$m2str+i-/s*m+-n$m2str++i- s*m+d-n$m2str+i-/s*m+1-n$m2str++i-';... -n$m2str+i1-n$m2str+i- ( &cos+-v--cos+ap+i/sin+-v-sin+ap+i/sin+-v--a+i/cos+-v-;... sin+-v-- cos+ap+i/cos+-v-- sin+ap+i/cos+-v--a+i/sin+-v-;... 0-sin+ap+i-cos+ap+i-d!+i-4/++it+i/+1+i;0 0 0 1';... -n$m2str+0-n$m2str+i- (/-n$m2str+i1-n$m2str+i-;...  ( -n$m2str+0-n$m2str+i-;'; ro"+,-,-i(+1,3-,; nd 21


GRA72 32@ Posi,ión ini,ial del )ra$o ro)óti,o

En la gr41i,a 32 se +ede a+re,iar la +osi,ión ini,ial de nestro )ra$o ro)óti,o ,ando el 4nglo de la )ase. del +ri"er esla)ón - del segndo esla)ón son igal ,on F2 Para 1a,ilitar nestra +ara"etri$a,ión de Denavit5:arten)erg sa"os 4nglos ,o"+le"entarios +ara 8e nestra +osi,ión ini,ial del ro)ot 8edara ,o"o se o)serva en la gr41i,a 32% - as# +oder a+li,ar la ,ine"4ti,a inversa - e"+e$ar a reali$ar s tra-e,toria2

GRA72 32& Posi,ión ini,ial del )ra$o ro)óti,o ,on 4nglos ,o"+le"entarios

22


1);)/ P&O%&AMA PA&A LA CINEM3TICA IN,E&SA p=5; b=p-d; h=sp:'; h=sh'; alfa=atan&b/h'; beta=acos&&6>h-6"'/ &6h''; <=-&alfa>beta'; <+= atan&p:/p'; <"=acos&&6-h>6"'/ &66"''; <+=&<++?0'/pi; <=&<+?0'/pi; <"=&<"+?0'/pi; <"=-&<"-+?0';

clear all; clc; clear;clc;clf; %limpiar todo %% declarar los parámetros Denavit-hartenberg para robots articulados/prismáticos %%[theta alpha a d sigma] dh =[ 0 -90 0 !" 0 0 0 9!# 0 0 0 0 $!"# 0 0 ]; %% genera las ecuaciones para la cinemática directa D&dh'; %% variables angulares/lineales t=[0 0 0]; %% gráfico de cinemática directa grafrobot&t'; ()=linspace&0*+*+00',; (=()t; for i=+.length&()' grafrobot&(&i*.''; end

<$=round&<+'; <#=round&<'; <@=round&<"'; <#=<#-+; %arduino!servoArite&9*<$' %arduino!servoArite&+0*<#' %arduino!servoArite&++*<@' t=[<+ < <"]; lg=ma&sie&t'';l=hsv;B=fi&@$/lg ';s=#;1=,1arBer,;=,olor,;6A=,6i neAidth,;clf; line&[0 s]*[0 0]*[0 0]*1*,!,**,r,*6A*+'; line&[0 0]*[0 s]*[0 0]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[0 0]*[0 0]*[0 s]*1*,!,**,b,*6A*+'; eval2=Crob&t'; po=0;po:=0;po=0; for i=+.lg line&[po eval2&+0*i']*[po: eval2&++*i']*[po eval2&+*i']*,1arBerdgeolor,*[0 0 0]*1*,!,**l&iB*.'*6A*"';

%inematica inversa%% %%cargar arduino%% %%arduino=arduino&,1",';%% %%arduino!servo2ttach&9';%% %%arduino!servo2ttach&+0';%% %%arduino!servo2ttach&++';%%% 3=+; 4=#; 5=#; 30=+; 40=#; 50=#;

d=!"; 6=9!#; 6"=$!"#; cont=0; %%primera linea%% 7hile 38$!0 p=3; p:=4;

po=eval2&+0*i';po:=eval2&++*i';p o=eval2&+*i'; line&[po eval2&+*i'>po]* [po: eval2&*i'>po:]*[po eval2&"*i' >po]*1*,!,**,r,*6A*+';

23

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco line&[po eval2&$*i'>po]*[po: eval2&#*i'>po:]*[po eval2&@*i' >po]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[po eval2&E*i'>po]* [po: eval2&?*i'>po:]*[po eval2&9*i' >po]*1*,!,**,b,*6A*+'; end line&[30 3]*[40 4]*[50 5]*1*,!,**,B,*6A*+'; vie7&"'; pause&+e-"00';

t=[<+ < <"]; lg=ma&sie&t'';l=hsv;B=fi&@$/lg ';s=#;1=,1arBer,;=,olor,;6A=,6i neAidth,;clf; line&[0 s]*[0 0]*[0 0]*1*,!,**,r,*6A*+'; line&[0 0]*[0 s]*[0 0]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[0 0]*[0 0]*[0 s]*1*,!,**,b,*6A*+'; eval2=Crob&t'; po=0;po:=0;po=0; for i=+.lg line&[po eval2&+0*i']*[po: eval2&++*i']*[po eval2&+*i']*,1arBerdgeolor,*[0 0 0]*1*,!,**l&iB*.'*6A*"';

Ft=[<$;<#;<@] 3=3>0!+ ; pause&0!'; end

po=eval2&+0*i';po:=eval2&++*i';p o=eval2&+*i'; line&[po eval2&+*i'>po]* [po: eval2&*i'>po:]*[po eval2&"*i' >po]*1*,!,**,r,*6A*+'; line&[po eval2&$*i'>po]* [po: eval2&#*i'>po:]*[po eval2&@*i' >po]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[po eval2&E*i'>po]* [po: eval2&?*i'>po:]*[po eval2&9*i' >po]*1*,!,**,b,*6A*+'; end line&[30 3+]*[40 4+]*[50 5+]*1*,!,**,B,*6A*+'; line&[3+ 3]*[4+ 4]*[5+ 5]*1*,!,**,B,*6A*+'; vie7&"'; pause&+e-"00';

3+=3; 4+=4; 5+=5; %%)GHID2 linea%% 7hile 48?!0 p=3; p:=4; p=5; b=p-d; h=sp:'; h=sh'; alfa=atan&b/h'; beta=acos&&6>h-6"'/ &6h''; <=-&alfa>beta'; <+= atan&p:/p'; <"=acos&&6-h>6"'/ &66"''; <+=&<++?0'/pi; <=&<+?0'/pi; <"=&<"+?0'/pi; <"=-&<"-+?0';

Ft=[<$;<#;<@] 4=4>0!+ ; pause&0!'; end 3=3; 4=4;

<$=round&<+'; <#=round&<'; <@=round&<"'; <#=<#-+;

5=5; %%tercera linea%% 7hile 3J+ p=3; p:=4;

%arduino!servoArite&9*<$' %arduino!servoArite&+0*<#' %arduino!servoArite&++*<@'

24

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco p=5; b=p-d; h=sp:'; h=sh'; alfa=atan&b/h'; beta=acos&&6>h-6"'/ &6h''; <=-&alfa>beta'; <+= atan&p:/p'; <"=acos&&6-h>6"'/ &66"''; <+=&<++?0'/pi; <=&<+?0'/pi; <"=&<"+?0'/pi; <"=-&<"-+?0';

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Ft=[<$;<#;<@] <$=round&<+'; <#=round&<'; <@=round&<"';

3=3-0!+ ; pause&0!'; end

<#=<#-+; 3"=3; 4"=4; 5"=5;

%arduino!servoArite&9*<$' %arduino!servoArite&+0*<#' %arduino!servoArite&++*<@' t=[<+ < <"]; lg=ma&sie&t'';l=hsv;B=fi&@$/lg ';s=#;1=,1arBer,;=,olor,;6A=,6i neAidth,;clf; line&[0 s]*[0 0]*[0 0]*1*,!,**,r,*6A*+'; line&[0 0]*[0 s]*[0 0]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[0 0]*[0 0]*[0 s]*1*,!,**,b,*6A*+'; eval2=Crob&t'; po=0;po:=0;po=0; for i=+.lg line&[po eval2&+0*i']*[po: eval2&++*i']*[po eval2&+*i']*,1arBerdgeolor,*[0 0 0]*1*,!,**l&iB*.'*6A*"';

%%)GHID2 linea%% 7hile 4J# p=3; p:=4; p=5; b=p-d; h=sp:'; h=sh'; alfa=atan&b/h'; beta=acos&&6>h-6"'/ &6h''; <=-&alfa>beta'; <+= atan&p:/p'; <"=acos&&6-h>6"'/ &66"''; <+=&<++?0'/pi; <=&<+?0'/pi; <"=&<"+?0'/pi; <"=-&<"-+?0';

po=eval2&+0*i';po:=eval2&++*i';p o=eval2&+*i'; line&[po eval2&+*i'>po]* [po: eval2&*i'>po:]*[po

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25

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad A!capo!alco %arduino!servoArite&++*<@'

eval2&"*i' >po]*1*,!,**,r,*6A*+'; line&[po eval2&$*i'>po]*[po: eval2&#*i'>po:]*[po eval2&@*i' >po]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[po eval2&E*i'>po]* [po: eval2&?*i'>po:]*[po eval2&9*i' >po]*1*,!,**,b,*6A*+'; end line&[30 3+]*[40 4+]*[50 5+]*1*,!,**,B,*6A*+'; line&[3+ 3]*[4+ 4]*[5+ 5]*1*,!,**,B,*6A*+'; line&[3 3"]*[4 4"]*[5 5"]*1*,!,**,B,*6A*+'; line&[3" 3]*[4" 4]*[5" 5]*1*,!,**,B,*6A*+'; vie7&"'; pause&+e-"00';

t=[<+ < <"]; lg=ma&sie&t'';l=hsv;B=fi&@$/lg ';s=#;1=,1arBer,;=,olor,;6A=,6i neAidth,;clf; line&[0 s]*[0 0]*[0 0]*1*,!,**,r,*6A*+'; line&[0 0]*[0 s]*[0 0]*1*,!,**,g,*6A*+'; line&[0 0]*[0 0]*[0 s]*1*,!,**,b,*6A*+'; eval2=Crob&t'; po=0;po:=0;po=0; for i=+.lg line&[po eval2&+0*i']*[po: eval2&++*i']*[po eval2&+*i']*,1arBerdgeolor,*[0 0 0]*1*,!,**l&iB*.'*6A*"'; po=eval2&+0*i';po:=eval2&++*i';p o=eval2&+*i'; line&[po eval2&+*i'>po]* [po: eval2&*i'>po:]*[po

Ft=[<$;<#;<@] 4=4-0!+ ; pause&0!'; end

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1);)1 P&O%&AMA PA&A LA 'IN3MICA clear;clc;clf; %limpiar todo %% declarar los parámetros Denavit!arten"er# para ro"ots artic$ladosprismáticos %%&t!eta alp!a a d si#ma' d! (& 0 90 0 4.58 0 0 0 7.61 0 0 0 0 5.68 0 0 '; %% #enera las ec$aciones para la cinemática directa %% )enerar las ec$aciones para resolver la cinemática directa ap(s*m+d!+,-2/+pi180;a(d!+,-3;(+d!+,-5((0;(e*e+4-4;v(+t+i/++i d!+i-1/+1+i/++pi180/+1+i+i; for i(1,len#t!+d!+,-1 eval+&t+-n$m2str+i-(&s*m+t-n$m2str+i-/s*m+-n$m2str++i- s*m+d-n$m2str+i-/s*m+1-n$m2str++i-';... -n$m2str+i1-n$m2str+i- ( &cos+-v--cos+ap+i/sin+-v-sin+ap+i/sin+-v--a+i/cos+-v-;... sin+-v-- cos+ap+i/cos+-v-- sin+ap+i/cos+-v--a+i/sin+-v-;... 0-sin+ap+i-cos+ap+i-d!+i-4/++it+i/+1+i;0 0 0 1';... -n$m2str+0-n$m2str+i- (/-n$m2str+i1-n$m2str+i-;...  ( -n$m2str+0-n$m2str+i-;'; ro"+,-,-i(+1,3-,; end %% 00(e*e+4;11(00;22(00;33(00;1(&0 1 0 0;1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0';2(1;3(1; 13(12/23; for i(1,len#t!+d!+,-1 for (1,len#t!+d!+,-1 if (i eval+&-n$m2str+i-n$m2str+- (-n$m2str+0-n$m2str+ 1-/-n$m2str+-/-n$m2str+1-n$m2str+i-;'; else eval+&-n$m2str+i-n$m2str+- (:eros+4;'; end end

end for i(1,len#t!+d!+,-1 for (1,len#t!+d!+,-1 for (1,len#t!+d!+,-1 if i < i eval+&-n$m2str+i-n$m2str+-n$m2str+- (:eros+4;'; else if i( = ( eval+&-n$m2str+i-n$m2str+-n$m2str+- (-n$m2str+0-n$m2str+ 1-/-n$m2str+-/-n$m2str+1-n$m2str+1-/-n$m2str+-/-n$m2str+ 1-n$m2str+i-;'; else if i( = ( eval+&-n$m2str+i-n$m2str+-n$m2str+- (-n$m2str+0-n$m2str+ 1-/-n$m2str+-/-n$m2str+1-n$m2str+ 1-/-n$m2str+-/-n$m2str+1-n$m2str+i-;'; 7 end end end end end end s*ms m1 m2 >1 >2 >3 m3 ?1(&0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 m1'; ?2(&m2/>2@2 0 0 m2/>2;0 0 0 0;0 0 0 0;m2/>2 0 0 m2'; ?3(&m3/>3@2 0 0 m3/>3;0 0 0 0;0 0 0 0;m3/>3 0 0 m3'; disp+6. Aálc$lo de las matrices de inercia , D ( &di' d11(simple+simplif*+trace+11/?1/11. simple+simplif*+trace+21/?2/21.simple+simplif*+trace+31/?3/31.; d12(simple+simplif*+trace+22/?2/21. simple+simplif*+trace+32/?3/31.; d13(simple+simplif*+trace+33/?3/31.; d21(simple+simplif*+trace+21/?2/22. simple+simplif*+trace+31/?3/32.; d22(simple+simplif*+trace+22/?2/22. simple+simplif*+trace+32/?3/32.; d23(simple+simplif*+trace+33/?3/32.; d31(simple+simplif*+trace+31/?3/33.; d32(simple+simplif*+trace+32/?3/33.; d33(simple+simplif*+trace+33/?3/33.; D ( &d11 d12 d13;d21 d22 d23;d31 d32 d33'; %%for i(1,len#t!+d!+,-1 %%for (1,len#t!+d!+,-1

%%eval+&D-n$m2str+i-n$m2str+-(s*ms$m+-+simplif*+trace+11/?1/11. simple+simplif*+trace+21/?2/21.';

%% end %%end disp+7. Aálc$lo del vector !im !111(simplif*+trace+111/?1/11.simplif*+trace+211/?2/21. simplif*+trace+311/?3/31.; !112(simplif*+trace+212/?2/21.; !113(simplif*+trace+313/?3/31.; !121(simplif*+trace+221/?2/21.; !122(simplif*+trace+222/?2/21.; !123(simplif*+trace+323/?3/31.; !131(simplif*+trace+331/?3/31.; !132(simplif*+trace+332/?3/31.; !133(simplif*+trace+333/?3/31.; !211(simplif*+trace+211/?2/22.; !212(simplif*+trace+212/?2/22.; !213(simplif*+trace+313/?3/32.; !221(simplif*+trace+221/?2/22.; !222(simplif*+trace+222/?2/22.; !223(simplif*+trace+323/?3/32.; !231(simplif*+trace+331/?3/32.; !232(simplif*+trace+332/?3/32.; !233(simplif*+trace+333/?3/32.; !311(simplif*+trace+311/?3/33.; !312(simplif*+trace+312/?3/33.; !313(simplif*+trace+313/?3/33.; !321(simplif*+trace+321/?3/33.; !322(simplif*+trace+322/?3/33.; !323(simplif*+trace+323/?3/33.; !331(simplif*+trace+331/?3/33.; !332(simplif*+trace+332/?3/33.; !333(simplif*+trace+333/?3/33.; disp+8. Aálc$lo del vector de f$er:a centrBf$#a * de coriolis,C(&!i' s*ms t1 t2 t3 dt1 dt2 dt3

s*ms # !1(!111/t1@2!112/t1/t2!113/t1/t3!121/t2/t1!122/t2@2!123/t2/t3 !131/t3/t1!132/t3/t2!133/t3@2; !2(!211/t1@2!212/t1/t2!213/t1/t3!221/t2/t1!222/t2@2!223/t2/t3 !231/t3/t1!232/t3/t2!233/t3@2; !3(!311/t1@2!312/t1/t2!313/t1/t3!321/t2/t1!322/t2@2!323/t2/t3 !331/t3/t1!332/t3/t2!333/t3@2; C(&!1;!2;!3'; disp+9. Aálc$lo de la matri: col$mna de f$er:as de #ravedad,A(&ci' disp+ #1(&# 0 0 0'; r11(&0;0;0;1'; % A) para el esla"on 1 r22(&0;>2;0;1'; % A) para el esla"on 2 r33(&0;0;0;1'; c1(m1/#1/11/r11  m2/#1/21/r22  m3/#1/31/r33; c2(m1/#1/12/r11  m2/#1/22/r22  m3/#1/32/r33; c3(m1/#1/13/r11  m2/#1/23/r22  m3/#1/33/r33; A(&c1;c2;c3'; disp+10. c$acin Dinámica del Eo"ot ta$(simplif*+D/&dt1;dt2;dt3'CA; disp+l torF$e o par para la primera artic$lacin revol$ta,  1 ( ta$+1 % ?$nt$ra Eevol$ta disp+>a f$er:a para al artic$lacin prismática, G2 ( ta$+2 % ?$nt$ra Hrismática G3 ( ta$+3 % ?$nt$ra Hrismática disp+c$acin Dinámica del Eo"ot Ianip$lador EH, ta$(&ta$+1; ta$+2'

1)< MO'ELO 'IN3MICO De a,erdo a nestro +rogra"a de din4"i,a - de los +ar4"etros de Denavit5 :arten)erg "odi1i,ado se logró sa,ar el "odelo din4"i,o de nestro )ra$o ro)óti,o2 Para o)servar el "odelo din4"i,o del )ra$o arti,lado de 3 grados de li)ertad. ,onsltar el ane

Robot de Tipo Articulado de 3 Grados de Libertad

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