2. ANTENAS LINEALES DE ALAMBRE (DIPOLOS) 2.1 Introducción Las antenas de alambre, lineales o curvadas son de las más viejas, simples, económicas, y en la mayoría de los casos las más versátiles para aplicaciones.
2.2 Regiones de separación Considerando la geometría de un dipolo finito para las aproximaciones de campo es necesario considerar las áreas que circundan la antena, esto debido a la dificultad para obtener soluciones de forma cerrada válidas para cualquier antena práctica por las limitantes en la integración del vector potencial respecto a la distancia R. R
( x x ') 2 ( y y ') 2
( z z ')2
(2.1)
Si consideramos que z=r cos y usando la expansión binomial, la distancia puede expresarse en términos de una serie así:
1 z ' 2
1 z '3 3 R r z ' cos sen 2 sen ... r 2 r 2 2
Cuyos términos de orden mayor son menos significantes para r z z .
Fig 3. Dipolo pequeño y aproximación de campo lejano
2.2.1
Región de campo lejano
La simplificación más conveniente es considerar únicamente los dos primeros términos, ó: R r z 'cos Por lo tanto, el error se puede tomar como: 47
(2.2)
1 z '2
z '2 sen 2r cuando / 2 r 2 max 2
(2.3)
Para la mayoría de antenas prácticas, con longitudes totales mayores a una longitud de onda, un error de fase total de 22.5° no es muy crítico en las formulaciones analíticas, usando este criterio el error de fase máximo podría ser: '2 kz (2.4) 2r 8 Que para l / 2 z ' l / 2 se reduce a:
l2 r 2
(2.5)
Por lo tanto, las aproximaciones para el campo lejano quedan: R r z 'cos
(2.6)
Para términos de fase, y R
r
(2.7)
Para términos de amplitud, satisfaciendo la anterior ecuación. Ejemplo: Para una antena con longitud total l=5 , las observaciones son hechas en r =60. Encuentre los errores en fase y amplitud. Para =90° se tiene: z ' 2.5 por lo que se reduce la distancia a: R1
60 2 2.52 60.052 R2 = r = 60
Por consiguiente, la diferencia de fase es: 2 k R R1 R2 2 (0.052) 0.327 rad 18.74 Los límites para la zona de campo lejano o Fraunhofer vienen dados y dependen de la máxima dimensión de la antena D (=l para antenas de alambre) y de la frecuencia de operación así: (2.8) r 2 D 2 /
2.2.2
Región de campo cercano radiante (Fresnel) 2
Si el punto de observación es elegido para ser menor que r = 2l / , el error de fase máximo se mayor que /8 que es indeseable en varias aproximaciones. Para mantener el error por
48
debajo de este ángulo, es necesario adicionar el tercer término en la serie, por lo tanto, se debe tener: R r z cos '
1 z '2
r 2
2
sen
(2.9)
Diferenciando con respecto a e igualando el resultado a cero, pueden encontrarse la distancia para el error de fase máxima permitida que se reduce a r 0.62 l 3 /
(2.10)
De lo anterior se obtienen los límites de la zona de Fresnel acotados por:
2l 2 / r 0.62 l 3 /
(2.11)
Recibe este nombre debido a que las expresiones de campo se reducen a las integrales de Fresnel.
2.2.3
Región de campo cercano reactivo
Si la distancia es menor que el límite interno de la región de Fresnel esta región es usualmente conocida como región de campo cercano reactivo con límites:
0.62 l 3 / r 0
(2.12)
En esta región la densidad de potencia reactiva predomina.
2.3 Dipolo Infinitesimal Un alambre infinitesimal lineal (l , l / 50) se posiciona simétricamente en el origen de un sistema de coordenadas y se orienta a lo largo del eje z como se ilustra en la figura 1. Los dipolos infinitesimales no son muy prácticos pero representan antenas de plato capacitor y son utilizadas en bloques de geometrías más complejas. Proporcionan una carga capacitiva para mantener la corriente sobre el dipolo de manera uniforme. El alambre es muy pequeño y muy delgado (a ), la variación espacial de la corriente se asume constante:
I ( z ) a z I o
( A)
(2.13)
De acuerdo al procedimiento para encontrar los campos eléctricos y magnéticos la función potencial A que se plantea es: jkR 4 ' e ' (2.14) A( x, y, z ) I e ( x, y , z ) dl C R
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Donde (x,y,z)’ representan las coordenadas de la fuente, R es la distancia desde cualquier punto sobre la fuente al punto de observación y C es el trayecto a lo largo de la longitud de la fuente. Como se dijo anteriormente, la corriente se asume constante por lo tanto: ' I e ( x, y, z )
a z I0
x
'
y
'
z' 0
(2.15)
Fig. 1. a) Arreglo geométrico de un dipolo infinitesimal y b) sus componentes de campo eléctrico asociadas a la superficie de la esfera. ’
’
De la ecuación de distancia, el radio es constante, por lo tanto: R = r = constante, y dl dz . Se puede entonces representar la ecuación (2.14) como: jkr l /2 I I l 0 0 A( x , y , z ) a z e dl ' a z e jkr (2.16) l / 2 4 r 4 r
La transformación entre coordenadas rectangulares a esféricas en forma matricial, está dada por:
Ar sen cos sen sen cos A x A A cos cos cos sen s en y A sen cos 0 A z
(2.17)
Para este caso se tiene Ax= Ay=0, entonces la ecuación (2.17) se reduce a: I 0l
Ar
Az cos
A
A z s en
A
0
50
e
jkr
4 r I 0l 4 r
e
cos
jkr
sen
(2.18)
Igualmente para el campo magnético se obtiene en forma simplificada:
H
a
(rA ) Ar r r 1
(2.19)
Sustituyendo las componentes del vector potencial A se obtiene: H r H 0 H
j
kI 0lsen 1 jkr 1 jkr e 4 r
(2.20)
Ahora el campo eléctrico puede ser encontrado reemplazando las componentes del vector potencial A así: 1 1 A H (2.21) E E A jwA j w jw Reduciéndose las componentes de campo eléctrico a I l cos 1 jkr Er 0 1 e 2 2 r jkr
2.3.1
kI 0l s en 1 1 jkr j 1 e 2 4 r jkr jkr
E
E
0
(2.22)
Densidad de Potencia y Resistencia de Radiación
Para una antena sin pérdidas, la parte real de la impedancia de entrada fue designada como la resistencia de radiación. Es a través del mecanismo de radiación que la potencia es transferida desde la onda guiada al espacio libre. Integrando el vector de Poynting sobre una superficie cerrada (esfera de radio constante), la potencia total radiada por la superficie puede ser encontrada. La parte real está relacionada a la resistencia de entrada: W
12 E H 12 ar E H* a Er H*
(2.23)
Cuyas componentes radial y transversa están dadas por: Wr
I 0l
2
8
1 sen2 1 j 2 (kr )3 r
2
W
k I 0 l cos sen 1 1 j 2 3 2 16 r (kr )
51
(2.24)
Entonces la potencia compleja que se mueve en la dirección radial es obtenida integrando la anterior ecuación sobre una esfera cerrada de radio r :
P W .ds S
2
0
0
( arWr
a W ).ar r 2 sen d d
(2.25)
Que se reduce a: 2
I l P E H .ds 0 1 S 3 P Prad j 2 w(Wm We ) *
1 2
j
(kr )2 1
(2.26)
Siendo 2w(Wm W e ) la potencia imaginaria promedio en el tiempo en la dirección radial. 2
I l Pr ad 0 3
(2.27)
Puesto que la antena radia su potencia real a través de la resistencia de radiación puede representarse a través de: 2
Pr ad
I l 2 0 12 I 0 Rr 3
(2.28)
Donde la resistencia de radiación se reduce a 2
2
2 l 80 2 l Rr 3
(2.29)
Para que la antena sea clasificada como dipolo infinitesimal, su longitud total debe ser muy pequeña, usualmente l/50. Igualmente la resistencia de entrada se obtiene a partir de: Rin
Rr 2
sen (kl / 2)
Los campos en la región de campo lejano (kr 1) quedan de la siguiente manera:
52
(2.30)
E j
kI0le
jkr
sen 4 r Er E H r H 0 kI0le
(2.31)
jkr
H j
sen
4 r
La razón de E sobre H es igual a Z w
E H
(2.32)
Siendo Zw la impedancia de la onda y la impedancia intrínseca de la onda en el espacio libre con valor 377. Ejemplo 1. Encuentre la resistencia de radiación de un dipolo infinitesimal cuya longitud total es l=/50. 2
Rr 80
2
/ 50 0.316
Puesto que la resistencia de radiación de un dipolo infinitesimal es de cerca de 0.3, presentará un desacople muy grande cuando se conecte a líneas de transmisión prácticas, las cuales tienen impedancias de 50 ó 75 Ohms. La eficiencia por reflexión y la eficiencia total serán muy bajas. Ejemplo 2. Para un dipolo infinitesimal determine e interprete la longitud de vector efectiva. A qué ángulo de incidencia ocurre el máximo voltaje de circuito abierto ocurre en las terminales del dipolo si la intensidad de campo eléctrico de la onda incidente es 10mV/m?. La longitud efectiva del dipolo es 10cm. Solución: la longitud efectiva puede obtenerse a partir de E
j
kI o le
jkr
4 r
sen
a j
kI 0 e
kI 0 e .( a lsen ) a j .le (2.33) 4 r 4 r jkr
jkr
Por lo tanto la longitud efectiva de la antena viene dada por: le
a lsen
(2.34)
Cuyo valor máximo ocurre en 90° y es igual a 1. Por lo tanto, para lograr la máxima salida se debe tener una incidencia de 90° sobre el dipolo. El voltaje de circuito abierto máximo es igual a:
53
V
oc
2.3.2
max
E i .le
max
a 10 103.( a lsen )
max
10 103 l 103Voltios
Directividad
En general para dipolos la directividad infinitesimales se reduce a D0 = 1.5 = 1.76dB, que se obtiene luego de formar la densidad de potencia promedio, integrarla sobre una superficie cerrada de radio r , a continuación se determina la intensidad de radiación que lleva a obtener un máximo que ocurre en =90°, la potencia radiada se obtiene a partir de la integral sobre los ángulos direccionales de la densidad ó intensidad de potencia radiada. Se puede considerar que la intensidad de radiación normalizada viene dada por 2 U n sen ( ) .
2.4 Dipolo Pequeño El arreglo geométrico más conveniente para el análisis de un dipolo es tenerlo posicionado alrededor del origen con su longitud dirigida a lo largo del eje z. La distribución de corriente de un dipolo pequeño ( /50l /10) se muestra en la figura.
Fig. 2. a) Disposición de un dipolo pequeño posicionado sobre el eje z y b) Distribución triangular de Corriente dipolo pequeño La distribución de corriente viene dada por:
a z I 0 (1 2 z '/ l ), 0 z ' l / 2 a z I 0 (1 2 z '/ l ), l / 2 z ' 0
I e ( x , y, z )
(2.35)
Los campos obtenidos a partir de la integral del vector potencial A considerando la región de campo lejano cuando kr son:
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jkr
sen 8 r Er E H r H 0 E
j
kI0le
H j
kI0le
(2.36)
jkr
sen 8 r Para kr 1. La directividad y el área efectiva máxima son las mismas que para el dipolo infinitesimal dadas anteriormente.
La resistencia de radiación depende fuertemente de la distribución de corriente, se obtendrá que respecto al dipolo infinitesimal la resistencia sea un cuarto su valor. 2
Rr 20
2
l
(2.37)
2.5 Dipolo de Longitud finita Se asume que la antena es alimentada en el centro y la corriente se desvanece en los puntos extremos, la distribución de corriente puede ser escrita como:
a z I 0 sen k l / 2 z ' , 0 z ' l / 2 I e ( x ' 0, y ' 0, z ' ) ' ' a I sen k l / 2 z , l / 2 z 0 z 0 2.5.1
(2.38)
Campos radiados: Factor de Elemento, Factor de Espacio y Patrón de Multiplicación
El campo total de la antena es igual al producto del elemento y factores de espacio. Esto se conoce como patrón de multiplicación para fuentes distribuidas continuamente, considerando que la antena dipolo finita es subdividida en un número infinitesimal de dipolos que son incrementadas hasta lograr la longitud total. Sumando las contribuciones de todos los elementos infinitesimales, la sumatoria se reduce en el límite a una integración: jkr l/2 l /2 ke (2.39) E dE j sen Ie ( x' , y ' , z ' )e jkz ' cos dz ' l / 2 l / 2 4 r El factor fuera de los paréntesis cuadrados es conocido como el factor de elemento y el que está dentro del paréntesis como el factor de espacio. El factor de elemento es igual al campo de un dipolo infinitesimal unitario ubicado en el origen. El factor de elemento depende del tipo de corriente y la dirección del flujo mientras el de espacio es una función de la distribución de la corriente a lo largo de la fuente.
En definitiva se obtiene los siguientes patrones de campo:
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