Dipolo eléctrico José Adán Moreno Torres Facultad de Ciencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí, IIC San Luis Potosí, Mé!ico adan"#$live%com%m! Planteamiento del problema.
& 'SUM'( 'SUM'( En el presente proyecto se muestra el procedimiento de resolución y resultados del problema que se plantea. Se demuestra el potencial eléctrico, se calcula las componentes del campo eléctrico y se muestran los efectos de un dipolo eléctrico cercano y lejano debido a cargas puntuales.
Un dipolo eléctrico se ubica a lo largo del eje de las y, como se muestra en la figura %&'.(). *a magnitud del momento eléctrico del dipolo se define como p+&qa. a) En a) En el punto %, que est lejos del dipolo #r--a$, demuestre que el potencial eléctrico es igual a
V =
k p cos θ r
2
b) alcule b) alcule la componente radial E r y la
Palabras clave : Dipolo eléctrico, líneas equipotenciales, campo eléctrico.
I% I(T&)UCCI*(% Un dipolo eléctrico es un sistema rígido, constituido por dos cargas de igual alor pero de signo contrario separadas por una corta distancia. En la naturale!a son muc"os los elementos que pueden ser considerados dipolos eléctricos, por ejemplo: la molécula de agua, que es un sistema eléctricamente neutro, pero con las cargas #positias y negatias$ ligeramente separadas, puede describirse como un dipolo, muc"as moléculas o agregados de éstas pueden ser considerados como erdaderos dipolos puntuales. Estas entidades presentan una característica tal que aun cuando son elementos eléctricamente neutros son fuentes de campo eléctrico.
componente perpendicular E θ del campo eléctrico asociado. /bsere que
V =
−1 ∂ V r ∂θ
0%ara
θ + 123 y 23, le
parecen ra!onables estos resultados4 0%ara r+24 c) %ara c) %ara el dipolo mostrado, e5prese 6 en función de coordenadas cartesianas con 1
r+ ( x x
2
cos θ
+ y )
2 2
y
=
1
( x + y ) 2
2 2
7 partir de estos resultados resultados y de de nueo con r--a, calcule las componentes del campo E5 y Ey.
V =
II %+
kq (r 2−r 1) r 1r 2
E5presamos r) y r& en función de r y - , que es la posición del punto % e5presada en coordenadas polares.
& 'SULTA)S )ISCUSI*( % 2
a) Potencial en el punto P.
2
2
r 1 =a + r − 2 a r cos θ
El potencial eléctrico resultante de las dos cargas puntuales que se muestran en la figura se obtiene mediante la aplicación del principio de superposición. Es decir el potencial eléctrico total en el punto % debido a las dos cargas puntuales es la suma de las los potenciales debido a las cargas indiiduales. %ara este par de cargas puntuales, se e5presa el potencial eléctrico total en % como:
∑ rqii
V = k
i
%ara cada carga tenemos los siguientes potenciales:
V +¿ k
q r1
q V −¿−k r2 7l aplicar superposición obtenemos:
q q V = k −k r1 r2 q q V = k ( − ) r1 r 2
π −θ
¿ r 2 =a + r −2 ar cos ¿ 2
2
2
Simplificando:
π −θ
¿
cos
¿
π −θ ¿= cos (π )− cos (θ )+ sen ( π )+ sen (θ ) cos
¿
π −θ
%odemos sustituir &qa ya que es la magnitud del momento eléctrico de un dipolo #p+&qa$, obteniendo finalmente:
¿=−cos ( θ ) cos ¿
V =
k p cos θ r
Entonces r& queda como:
θ
¿ r 2 =a + r + 2 a r cos ¿ 2
2
2
8eniendo en cuenta que a es peque9o frente a r, podemos obtener una buena apro5imación empleando el desarrollo en serie binomial.
2
Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inersa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inersa de r.
b) Obtención del valor del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico. omo conocemos el potencial eléctrico
θ , podemos obtener
en función de r y Una e! encontrados los alores de r) y r&, sustituimos en el alor del potencial:
V =
k q ( r 2−r 1) r1r 2
las componentes del campo eléctrico respecto a las coordenadas si tomamos la deriada negatia del potencial eléctrico respecto a cada coordenada. %ara calcular la componente radial E r y la componente perpendicular E θ del
2
2
a a a a k q 2 +1+ cosθ −( 1+ 2 − cosθ ) r r 2r r V = 2 4 2 2a a a 1+ + − 2 cos2 θ 2 4 r 2r r V =
k ( 2 aq ) r
2
campo eléctrico asociado, se calcula mediante el operador gradiente:
E=−∇ V
cos θ
Er =
−∂ V ∂r
Er =−∂r Er =−( Er =
kp cos [θ ] r
2
−2 kp cos [ θ ] r
2 kp cos
r
3
)
[θ]
3
En coordenadas esféricas, "acemos caso a la obseración planteada en el problema obtenemos:
V =
−1 ∂V r ∂θ
, por lo tanto
Eθ=
−1 ∂ V
%ara este inciso simplemente sustituimos con:
r ∂θ
1
Eθ= Eθ=
−1 ( −kp sin [ θ ] ) r
r
r =( x + y 2
2
cos θ
kp sin [ θ ] r
[
2 kp cos 0 °
r
θ + 123,
Er ( 90 ° )=
2 2
En el potencial que ya "abíamos demostrado:
V =
]
k p cos θ r
3
V =
2 kp
r
1
( x + y )
3
23, y r+2:
Er ( 0 ° )=
y
= 2
aciendo las pruebas para
Er ( 0 ° )=
)
2 2
kp 2
y 2
( x + y )
3
[
2 kp cos 90 °
r
]
3
2
1
( x + y ) 2
2 2
kpy
V =
3
( x + y ) 2
2 2
Er ( 90 ° )= 0
Eθ ( 0 ° )=
kp sin [ 0 ° ] r
3
Eθ ( 0 ° )= 0 Eθ ( 90 ° )= Eθ ( 90 ° )=
kp sin [ 90 ° ] r
3
kp r
omo el problema define el ngulo a partir del eje y, se reali!a un cambio de ejes. 7"ora tenemos el potencial eléctrico en función de 5 e y, podemos obtener las componentes de estas ariables, mediante el negatio del operador gradiente:
E=−∇ V k px
Ex =−∂ x
3
3
( x + y ) 2
Esos resultados obtenidos, son ra!onable para r--a. E5cepto para r+2, ya que E #2$ ;.
2
2 2
2
+ y Ex = ( x + y ) / 2 x 2
2 5 2
%odemos apreciar mediante la siguiente grfica de las líneas equipotenciales c) Potencial expresado en coordenadas cartesianas.
Ey =−∂ y
kpx 3
( x + y ) 2
Ey =
2 2
3 xy 2
/
2 5 2
( x + y )
Representación gráfica del potencial y campo creados por un dipolo eléctrico, con respecto a un punto lejano.
7 continuación se presenta la grfica de las líneas equipotenciales generadas por el potencial en coordenadas cartesianas, con r--a.
*as líneas de campo eléctrico, producidas por las dos cargas. Unidas estas dos grficas, podemos obserar que las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico en todos los puntos.
Obtención del potencial eléctrico para un punto P cercano al dipolo
r!!a), en coordenadas cartesianas.
Del inciso a, sabemos que
V =
kq (r 2−r 1) r 1r 2
%or medio del teorema de %itgoras, encontramos una e5presión para r) y r&:
r 1=√ ( x − a ) + y 2
r 2=√ ( x + a ) + y 2
2
2
Simplificando el potencial anterior se obtiene:
V = kQ (
1
√ (a − x ) + y 2
2
−
=rfica de las líneas de campo, con
1
√ ( a + x ) + y 2
)
2
r>>a.
=rfica de las líneas equipotenciales con r>>a.
Unidas estas dos grficas, podemos obserar que las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico en todos los puntos
Obtención del campo eléctrico para un punto P cercano al dipolo r!!a). %ara este caso, el potencial que se encontró, sirió para determinar el campo eléctrico, aplicando de nueo el operador gradiente al potencial, obteniendo:
E=− ∇ V Ex =
Ey =
a− x
(( a− x ) + y ) / 2
2 3 2
+
a + x
(( a + x ) + y ) / 2
2 3 2
y − y + (( a− x ) + y ) / (( a + x ) + y ) 2
2 3 2
2
/
2 3 2
7nali!ando el alor de las líneas equipotenciales, notamos que el potencial decrece de ' en '
