Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Capitulo 1
1.1. Equações Diferenciais Lineares de 1.º ordem
Definição: Uma equação diferencial de 1.ºordem diz-se linear se se puder escrever na forma:
Onde P e Q são funções continuas de variável . Teorema 1.1.1: A solução geral da equação
Onde
é dada por
é o chamado factor integrante.
Demonstração: A ideia é multiplicar a equação por
.
para que o primeiro membro seja a derivada do produto
Ou seja, pare resolver a equação de 1.º ordem basta multiplicar ambos os membros pelo facto integrante. Se for dada uma condição inicial pode-se descobrir c substituindo essa condição na equação y(x).
1.2. Equações Diferenciais de Variáveis separadas
Definição: Equação diferencial de variáveis separadas é uma equação diferencial de 1.º ordem que se pode escrever
da forma:
- Função que depende apenas da variável – – Função que depende apenas da variável Teorema 1.2.1: A solução geral é dada por: Demonstração: Considerar as funções:
Note-se que e Então pode escrever-se a equação teorema da função composta a:
.
da forma: , pelo que:
o que é equivalente, atendendo ao
1.3. Equações Diferenciais Lineares de 2.ºordem (homogéneas) Definição: Uma equação diferencial de 2.º ordem diz-se linear se for da forma:
Se Se
diz-se equação homogénea diz-se equação não homogénea
Teorema 1.3.1: Se
e
são soluções da equação linear homogénea:
E se e são constantes arbitrárias, então a função é ainda solução da mesma equação. Qualquer combinação linear de soluções da equação homogénea é ainda uma solução da mesma equação.
1
Teorema 1.3.2: Se
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e são soluções linearmente independentes (ou seja, nenhuma das funções produto de uma constante pela outra) da equação diferencial:
ou
éo
Então a solução geral desta equação é dada por: ser determinadas num problema com condições iniciais. Teorema 1.3.3: A função
e só se r for uma raiz da equação Demonstração: Se
e temos:
constantes arbitrárias (que podem se
.
Pois nunca se anula é solução da equação se e só se
Portanto
Nota: É bem conhecido que para a equação do 2.º grau
sinal de
e
(onde r é uma constante) é solução da equação diferencial (equação característica da equação diferencial).
tem-se
Substituindo na equação
,
:
Se Se Se
podemos distinguir 3 casos, consoante o
a equação tem 2 raízes reais distintas a equação tem 2 raízes complexas a equação tem 1 raiz real dupla
Teorema 1.3.4: Consideremos a equação diferencial
: 1) Se a equação 2) Se a equação
3) Se a equação geral da equação diferencial é:
e a respectiva equação característica
tiver 2 raízes reais distintas, e , a solução geral da equação diferencial é: , e constantes tiver 1 raiz real dupla, , a solução geral da equação diferencial é: , e constantes e , a solução tiver 2 raízes complexas conjugadas,
,
e
constantes
1.4. Equações Diferenciais Lineares de 2.º ordem (não homogéneas) Definição: A equação
Teorema 1.4.1:
1) Se
e
chama-se equação homogénea associada à equação: , a, b e c constantes, é uma função contínua.
são soluções da equação
então
2) A solução geral da equação não homogénea
é dada por:
Onde é uma solução particular da equação homogénea associada a . Demonstração:
1)
e
são soluções da equação
Pelo que:
2) y é solução de onde Portanto
Como determinar
Quando Quando Quando
é solução da equação
e
é a solução geral da equação
temos:
e
. Como também é solução da equação, por 1) tem-se que: e são soluções linearmente independentes de donde se conclui que a solução geral da equação é dada por:
?
é um polinómio de grau n
ou Para determinar A, B, C… calcula-se a 1.º e 2.º derivada de
e substitui-se na equação
.
2
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Nota: Se a solução de
prevista for solução da equação homogénea associada não pode, portanto, ser solução da equação não homogénea. Deve-se, então, multiplicar por uma potência apropriada de x de tal forma que nenhum termo deste produto seja solução da equação homogénea. Teorema 1.4.2 (Princípio da sobreposição): Se
equação
é solução da equação é solução da equação:
então a função
e
é solução da
Capitulo 2
2.1. Revisão dos conceitos de produto interno e norma em
Definição: Norma de um vector
: diz-se vector unitário. se e só se
, quando Propriedades: 1) e 2) 3) ,
e são paralelos quando existir um e com a mesma direcção e sentido; e com a mesma direcção e sentido oposto.
Definição:
e
Definição:
tal que
.
. A distância entre P e Q é dada por:
Definição: Produto interno:
Dois vectores são perpendiculares se o produto interno entre eles for 0. Propriedades: 1) 2) 3) 4) 5) 6) e se e só se Definição: Desigualdade de Cauchy-Schwarz: Definição:
)e
O plano Ʊ é o conjunto dos pontos P que satisfazem a seguinte equação:
equação vectorial do plano
Equação cartesiana do plano
2.2. Funções vectoriais de uma variável: limites, continuidade, continuidade, derivadas e integrais
Definição: Uma função vectorial de variável real é uma função:
é um vector de
com n componentes.
são funções componantes da função
Nota: O domínio da função Definição: Seja
Dizemos que
é a intersecção dos domínios das suas funções componantes. e L um vector de
se e só se
.
, ou seja, se e só se:
3
O limite de não existe.
Definição: Seja
se:
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é igual ao limite das suas funções componantes. Se o limite de uma delas não existir o limite de
e seja
um ponto do domínio de
Definição: Dada uma função contínua
. Diz-se que a função
a derivada de
é contínua em
se e só
no ponto é dada por:
Calcular a derivada de uma função é calcular as derivadas das suas funções componantes. Definição: Dada uma função
definimos:
O integral duma função vectorial da variável real é o vector cujas componentes são os integrais das funções .
,
2.3. Curvas no plano e no espaço, parametrizaç parametrização ão de curvas
Suponhamos que n=3 e consideremos um a função contínua.
A cada valor de t no intervalo , fazemos corresponder um vector vector posição de um certo ponto P. Às equações:
Chamam-se equações paramétricas da curva e a variável t chama-se parâmetro.
Os pontos e são os pontos inicial e final da curva, respectivamente. Se forem iguais, dizemos que a curva é fechada.
Capitulo 3
3.1. Funções reais de n variáveis: domínios, curvas de nível, limites e continuidade Definição: Se
é uma função de duas variáveis com domínio , o gráfico de é o conjunto:
Definição: As linhas, ou curvas, de nível de uma função de duas variáveis são as curvas de equação
onde é uma constante
Definição: Dado um ponto
conjunto:
) e um número real
chama-se vizinhança de centro em e raio ao
Definição: Dado um conjunto , um ponto diz-se interior a se existe tal que (ou seja, se existe uma vizinhança de totalmente contida em ). Um ponto diz-se um ponto fronteiro de se qualquer vizinhança de contem pontos de e do seu complementar. Um conjunto diz-se aberto se todos os seus pontos forem pontos interiores. Um conjunto diz-se fechado se contiver todos os seus pontos fronteiros. Nota: Muitos conjuntos não são abertos nem fechados. Exemplo:
e
4
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Definição: Seja
uma função que está definida numa vizinhança dum ponto excepto possivelmente no
ponto . Então:
se e só se: Para determinar se existe limite num dado ponto, deve-se tentar várias funções que passem por esse ponto. Se se obtiver sempre o mesmo valor começasse a suspeitar que existe limite e recorre-se à definição acima para o provar. Se se obtiver valores diferentes pode-se concluir de imediato que o limite não existe. Definição: Seja
e seja . A função diz-se contínua no ponto se diz-se continua num conjunto aberto se for contínua em todos os pontos de . Usando as propriedades dos limites pode mostrar-se que somas, produtos e compostas de funções contínuas são funções contínuas nos seus domínios.
3.2. Derivadas parciais
A derivada parcial de em ordem a no ponto (
é denotada por
Pela definição de limite: A derivada parcial em ordem a no ponto (
é denotada por:
A derivada parcial em ordem a no ponto (
é denotada por:
Estas derivadas parciais obtêm-se derivando a função f em ordem a uma delas, mantendo a outra fixa (considera-se que é uma constante). As regras de derivação já conhecidas mantêm-se válidas. Definição: Seja
. A derivada parcial de em ordem á variável
Definição: Uma função
diz-se de classe ordem (inclusive) forem funções contínuas em . Definição: Uma função Teorema 3.2.1: Seja
diz-se de classe
uma função de classe
se e todas as suas derivadas parciais até à
se
.
numa vizinhança do ponto (
Este teorema generaliza-se de forma natural a funções
é dada por:
, então:
.
3.3. Funções diferenciáveis, noção de gradiente Definição: Seja
ponto
se existir um vector
uma função definida numa vizinhança do ponto tal que:
. A função diz-se diferenciável
Se o vector existe, é único. Ao único vector que satisfaz a condição acima chamamos gradiente de no ponto e denotamo-lo por: . Teorema 3.3.1: Se a função
tem derivadas parciais continuas numa vizinhança do ponto
Teorema 3.3.2: Se a função
é diferenciável no ponto
em
e
então é diferenciável
então é contínua em
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Demonstração:
O objectivo é provar que:
Como é diferenciável em Donde: E logo, Concluímos assim que
temos que:
Ou seja, que é contínua no ponto
.
3.4. Derivadas direccionais
Definição: A derivada direccional ou dirigida de
no ponto
e na direcção do vector unitário
é dada por:
Se este limite existir.
Se é uma função de duas variáveis e fizermos
na definição anterior obtemos
Ou seja, a derivada parcial é igual à derivada direccional de na direcção do eixo dos . Se considerarmos o vector concluímos que , ou seja, a derivada parcial é igual à derivada direccional de na
direcção do eixo dos . Analogamente para funções de três ou mais variáveis. Teorema 3.4.1: Seja
diracção de qualquer vector unitário
uma função diferenciável no ponto e tem-se
. Então tem derivada direccional na
Demonstração:
Seja
onde
. Note-se que
Como
. Como é diferenciável em sabemos que:
(porque o vector é unitário) a igualdade anterior implica que:
Se
obtemos:
Se
obtemos:
Pelo que: Portanto,
A igualdade
é válida sempre que é diferenciável.
Teorema 3.4.2: Se
é diferenciável em então existem todas as derivadas parciais de no ponto e tem-se:
Demonstração:
Sejam
os vectores da base canónica de
Como é diferenciável em , pelo teorema 11 existe vectores , resulta então que existe:
. Recordemos que para todo o vector
se tem
para todo o vector unitário . Considerando cada um dos
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Por outro lado, já sabemos que
, pelo que:
Teorema 3.4.3: Seja
uma função diferencial. Então o valor máximo da derivada direccional e ocorre quando tem a direccção e sentido do vector
Demonstração:
Se todas as derivadas direccionais consideremos o ângulo entre os vectores e pois é unitário. Isto diz-nos que
é dado por
são nulas, pelo que podemos supor que . Então podemos escrever
é a componente do vector
e
na direccção do vector .
Uma vez que o valor máximo de é 1, e que este valor ocorre quando , concluímos que o valor máximo de é dado por e que ocorre quando tem a direcção e o sentido do vector Assim, dá-nos o valor máximo da taxa de variação de no ponto e esse máximo ocorre na direcção e sentido do vector . Esta é então a direcção e sentido em que a função aumenta mais rapidamente no ponto
3.5. Derivação da função composta c omposta Teorema 3.5.1: Suponhamos que
é uma função diferenciável das variáveis e onde são funções diferenciáveis de variável . Então é diferenciável como função de e tem-se:
e
Se pusermos teremos O resultado do teorema anterior pode ser escrito da forma: Teorema 3.5.2: Suponhamos que
é uma função diferencial das variáveis e onde e são funções das variáveis e tais que as derivadas parciais existem. Então existem as derivadas parciais e e tem-se:
e são variáveis independentes; e são variáveis intermédias; é variável dependente.
Teorema 3.5.3: Suponhamos que
variáveis das variáveis
é uma função diferencial das variáveis tal que todas as derivadas parciais existem ( e
onde cada é função das ). Então é uma função
Para cada . Note-se que existem tantas derivadas parciais da função quanto o numero de variáveis independentes Cálculo de derivadas parciais de ordem superior a 1, faz-se de modo análogo, aplicando o teorema as vezes necessárias.
3.6. Plano tangente e recta normal
Teorema 3.6.1: Seja
uma função de classe é perpendicular à linha de nível da função ,
numa vizinhança dum ponto , que passa nesse ponto.
.
. Então o vector
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Demonstração:
Suponhamos que a linha de nível é representada parametricamente pela função e . Nesta curva tem-se:
Pelo que
. Mas, atendendo à regra da derivação da função composta, vem
No ponto
tal que
obtém-se então:
Definição: O plano tangente à superfície de equação
equação:
no ponto
dessa superfície é o plano de
O vector
(ou qualquer múltiplo deste) diz-se um vector normal à superfície no mesmo ponto.
Definição: A recta normal à superfície de equação
passa em são:
no ponto dessa superfície é a recta que . Assim, as equações paramétricas da recta normal
e que tem a direcção do vector
Há casos em que a equação que define a superfície como função umas das outras. Se, por exemplo, tivermos forma: Onde Assim, a equação do plano tangente à superfície
pode ser resolvida em ordem a uma das variáveis a equação da superfície pode ser escrita na
num ponto
dessa superfície vem dada por:
Sendo a recta normal dada por:
3.7. Funções Implícitas
Teorema 3.7.1 (Teorema da função implícita): Seja
Onde i. ii. iii.
um subconjunto aberto de
e seja:
uma função que verifica as seguintes condições:
(derivada parcial de f em ordem à variável que se pretende escrever como função das
restantes).
3.8. Extremos locais e absolutos
Definição: Seja local ou relativo no ponto
e seja um ponto interior de . A função tem um máximo (respectivo mínimo) se existe uma vizinhança do ponto tal que:
Respectivamente:
Em qualquer destes casos dizemos que tem um extremo local ou relativo no ponto
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Teorema 3.8.1: Se
tem um extremo local no ponto
Definição: Chama-se ponto crítico de
ou
não existe. Se
então
ou
não existe.
a um ponto do interior de para o qual o ponto diz-se um ponto de estacionaridade de .
Os únicos pontos que podem dar origem a extremos locais são os pontos críticos. Note-se que no entanto nem todos os pontos críticos correspondem a extremos locais.
Definição: Chama-se ponto sela a um ponto de estacionaridade de Teorema 3.8.2 (Teste da segunda derivada): Seja
que não corresponde a um extremo local.
e seja
um ponto interior de
tal que
. Consideremos a matriz (matriz hessiana):
E seja i. Se ii. Se iii. iv.
Se Se
. Então:
é um ponto de sela. tem um mínimo local em
e
.
e tem um máximo local em o teste é inconclusivo.
Definição: A função
.
tem um máximo (respectivo mínimo) absoluto no ponto
se
Respectivamente:
Definição: Um subconjunto
diz-se limitado se existe tal que seja, se existe um circulo de centro na origem e raio que contem o conjunto ). Teorema 3.8.3: Se
é contínua num conjunto limitado e fechado máximo e um mínimo absolutos em .
(ou
então atinge um
Para determinar o máximo e o mínimo absoluto de uma função num conjunto limitado e fechado i. Determinar os pontos críticos de , isto é, os pontos do interior de para os quais ou não existe. ii. Determinar os pontos da fronteira de S que podem dar origem a extremos – parametrizar a fronteira de S através de uma função vectorial e reduzir o problema ao estudo da função de uma só variável . iii. Calcular o valor de nos pontos determinados em i) e ii). O maior destes valores é o máximo absoluto de em S, o menor é o mínimo absoluto.
3.9. Extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange Proposição: Suponhamos que
vectorial
, e tal que
Demonstração: Suponhamos que
extremo em
onde I é aberto e seja uma curva contida em definida pela função . Se é extremo de em então é perpendicular a em
é extremo de
em
e seja
tal que
. Então
.
tem um
pelo que
Tem que se anular em , isto é: O que significa que os vectores perpendicular a em .
e
são ortogonais. Como
é tangente a
em
resulta que
é
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Teorema 3.9.1: Seja
uma função de duas ou três variáveis e suponhamos que está definido e é de classe num subconjunto do domínio de . Se é extremo de sujeito à condição então e são paralelos. Assim se existe tal que:
Ao escalar dá-se o nome de multiplicador de Lagrange.
3.10. Funções vectoriais de n variáveis
Considerando a função:
Às funções chama-se funções componentes de . O domínio de é a intersecção dos domínios de cada uma das suas funções componentes. Definição: Seja
e suponhamos que está definida numa vizinhança do ponto possivelmente em . Dizemos que se e só se:
, excepto
é a norma em é a norma em
Teorema 3.10.1: Seja
e
. Então:
De acordo com este teorema os limites das funções vectoriais de variável vectorial calculam-se componente a componente, tal como acontecia para as funções vectoriais de variável real.
Definição: Seja
se contínua em se e só se
e suponhamos que está definida numa vizinhança do ponto
Teorema 3.10.2: Seja
se e só se
definida numa vizinhança do ponto do ponto
é contínua em ,
Definição: Seja
. A função diz-se de classe
Definição: Dada uma função
segundo o vector
é dada por:
em ,
,
definida numa vizinhança dum ponto
. A função diz-
. Então é contínua em
, se
.
, a derivada de no ponto
Se este limite existir. Se o vector foi unitário, isto é, se , a derivada de segundo o vector diz-se derivada direccional de na direcção de . é um vector de que tem como componentes as derivadas das funções no ponto . Onde
Supondo que todas as funções são diferenciáveis sabemos que: Pelo que: Usando a notação matricial pode-se escrever:
Definição: Seja
e seja
tal que as derivadas parciais
,
.
existem no
ponto . À matriz
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Dá-se o nome de matriz jacobiana de no ponto . Quando jacobiano da função no ponto e representa-se por
Teorema 3.10.3 (teorema das funções implícitas): Seja
Onde i. ii. iii.
,
o determinante da matriz
um subconjunto aberto de
no ponto diz-se o
e seja:
, uma função que verifica as seguintes condições:
, isto é, (jacobiano da função em ordem às variáveis que queremos escrever como função das
restantes)
Então o sistema de equações: numa vizinhança do ponto
permite definir implicitamente
, isto é, existe um aberto
e
como funções de
e existe uma função de classe
:
Tal que: a) b) Como:
e Derivando estas equações em ordem à variável obtemos:
, usando regra da derivação da função composta
Ou seja:
Capitulo 4
4.1. Integrais duplos: definição, propriedades e aplicações
Definição: Chama-se soma superior (respectivamente inferior) de Darboux de
Respectivamente:
relativa à partição
à soma:
Tal como no caso das funções de uma só variável pode-se mostrar que se é contínua então existe um e um só número real que satisfaz as desigualdades: 11
Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Se existir um número nestas condições a função diz-se integrável. Definição: Seja
se:
uma função contínua num rectângulo fechado . Chama-se integral (duplo) de em , e escreve-
Ao único numero real que satisfaz as desigualdades: Proposição: Seja
Onde
uma função constante em . Então:
Teorema 4.1.1: Seja
uma função limitada num rectângulo tal que é contínua em número finito de curvas de classe . Então é integrável em .
excepto possivelmente num
Definição: Definimos
Note-se que uma vez que prolongámos a função por zero fora de qual o rectângulo que se considera, desde que contenha
é indiferente
Proposição:
1. Se é integrável em superiormente pela superfície
2. Se
o volume do sólido limitado inferiormente pela região e dado por:
tem-se
3. A massa da placa que ocupa a região
ii. iii. iv.
v.
vi.
Se
e
do plano
são constantes reais, a função
Se
em
Se A função
em , onde
Existe um ponto
A
e que tem densidade
é dada por:
e duas funções integráveis em . é integrável em e tem-se:
então
então é integrável em
Se
e
donde:
Teorema 4.1.2 (Propriedades do integral duplo): Sejam
i.
do plano
e tem-se:
é constante, então:
tal que:
damos o nome de valor médio de em .
Teorema 4.1.3: Seja
de curvas de classe
. Se
onde e suponhamos que , e são limitados por um número finito é integrável em e em então é integrável em e tem-se: 12
Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Teorema 4.1.4 (Fubini): Se a função
onde
e
Se a função classe em
são da classe
em
é contínua na região então:
é contínua na região então:
dada por
dada por
onde
e
são de
4.2. Cálculo de integrais duplos usando coordenadas polares
Onde
e
Teorema 4.2.1. Seja
uma transformação injectiva, de classe suponhamos que transforma a região do plano na região do plano . Seja Então:
Fazendo
e de jacobiano não nulo e uma função contínua em .
no teorema anterior conclui-se que:
Dado um ponto de coordenadas cartesianas vamos agora definir as suas coordenadas polares é a distância do ponto à origem, ou seja: O ângulo é o angulo que o vector faz com o semi-eixo positivo dos : Assim, um ponto de coordenadas polares
tem coordenadas cartesianas:
onde
Reciprocamente para passarmos das coordenadas cartesianas para coordenadas polares fazemos:
Estas coordenadas são muito úteis para integrar em regiões circulares ou quando na função integranda intervem a expressão .
é o jacobiano da transformação.
4.3. Integrais triplos
Definição: Chama-se soma superior (respectivamente inferior) de Darboux de
relativa à partição
à soma:
Respectivamente:
Se é contínua então existe um e um só número real que satisfaz as desigualdades:
13
Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Se existir um número nestas condições a função diz-se integrável.
Definição: Seja
e escreve-se:
uma função contínua definida num paralelepípedo fechado . Chama-se integral (triplo) de em ,
Ao único numero real que satisfaz as desigualdades: Proposição:
1. Se a função representar a densidade (massa por unidade de volume) de uma material que ocupa a região do espaço, então a massa de é dada por:
2. Se
em
o integral triplo de em
3. A massa da placa que ocupa a região
dá-nos o volume de :
do plano
e que tem densidade
é dada por:
No cálculo do integral
Integra-se primeiro em ordem a , mantendo e constantes, depois em ordem a , mantendo constante, e finalmente em ordem a .
4.4. Cálculo de integrais triplos usando coordenadas cilíndricas e esféricas Teorema 4.4.1. Seja
uma transformação injectiva, de classe e de jacobiano não nulo e suponhamos que transforma a região do plano na região do plano . Seja uma função contínua em . Então:
Coordenadas cilíndricas
As coordenadas cilíndricas de um ponto
são
onde
são as coordenadas polares de
ou seja,
O nome de coordenadas cilíndricas vem do facto que nestas coordenadas a equação do cilindro se escreve simplesmente
Onde
é a imagem da região por meio da transformação para coordenadas cilíndricas.
Coordenadas esféricas
Dado um ponto
vamos agora definir as suas coordenadas esféricas
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Definimos como a distância do ponto
à origem, ou seja,
O ângulo é o mesmo que em coordenadas polares e cilíndricas, isto é, é o ângulo entre o semi-eixo positivo dos e a projecção do segmento no plano , O ângulo é o ângulo entre o semi-eixo positivo dos e o segmento , A relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas do ponto :
Onde:
Capitulo 5
5.1. Integral de linha
Definição: O integral de linha (relativamente ao comprimento de arco) da função
ao longo da curva
é dado
por:
Se este limite existir. Sabendo que os pontos determinam uma partição da curva em n sub-arcos de comprimentos , ,…, . A norma da partição é o maior destes comprimentos. Pode mostrar-se que se é uma função contínua então o limite anterior existe e é dado por:
Pode mostrar-se que o integral de linha é independente da parametrização da curva ou obtemos:
escolhida. Note-se que se
Onde é o comprimento da curva .
Se a curva
é uma união de curvas de classe
:
Também se pode definir integrais de linha relativamente às variáveis
e do seguinte modo
Onde a curva é dada pela função vectorial com . Definição: Seja uma curva de classe dada pela função vectorial , com , e seja uma função contínua cujo domínio contém . Então o integral de linha de é dado por:
ao longo de
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Analogamente em
.
Se a função representar um campo de forças contínuo, o trabalho realizado por este campo de forças no deslocamento de uma partícula ao longo da curva é definido como:
Independência de caminho Teorema 5.1.1: Seja uma curva de classe
classe
em
( ou
dada pela função vectorial
com
. Seja uma função de
). Então:
Definição: Um campo vectorial de
diz-se conservativo se existe na função escalar tal que
. A função diz-
se uma função potencial (de ) Definição: Seja
se:
um campo vectorial contínuo. Dizemos que o integral de linha
Para quaisquer curvas
e
Definição: Uma curva Teorema 5.1.2: Seja
se e só se
com os mesmos pontos iniciais e finais.
diz-se fechada se o seu ponto terminal coincide com o seu ponto inicial, isto é, se
um campo vectorial contínuo definido em
ou
. Então
para toda a curva fechada , seccionalmente de classe
Teorema 5.1.3: Seja
então
é independente de caminho
um campo vectorial contínuo definido em é um campo conservativo.
Teorema 5.1.4: Seja
ou
. Se
é independente de caminho
.
é independente de caminho
um campo vectorial de classe
definido em
. Então
é
um campo vectorial de classe
definido em
. Então
é
conservativo se e só se: Seja conservativo se e só se: Se seja,
Como
, para provar a condição necessária em
vem
basta ver que se
é conservativo então:
, ou
.
5.2. Teorema de Green
Definição: Uma curva , dada uma função vectorial
com
, diz-se uma curva simples se não se
intersectar excepto possivelmente nos seus extremos. Orientação positiva de é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio – neste sentido a região interior (D) fica do lado esquerdo. Notação:
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Teorema 5.2.1 (Teorema de Green): Seja
com orientação positiva e seja contém então:
Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
uma curva seccionalmente de classe , simples e fechada do plano, a região do plano limitada por . Se e são funções de classe num aberto que
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