Análisis infinitesimal

Análisis infinitesimal

Colección Clásicos del Pensamiento DIRECTOR Antonio Truyol y Serra

Gottfried Wilhelm Leibniz

Análisis infinitesimal Estudio preliminar de JAVIER DE LORENZO Traducción de TERESA MARTIN SANTOS

SEGUNDA EDICION

timos

TITULO ORIGINAL: Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singuLare pro illis calculi genus. (1684) De Geometría recóndita etAnalysi indivisibilium atque infinitorum (1686)

1.a edición, 1987 2.* edición 1994

Reservados todos los derechos. De conformidad con lo dispuesto en los artículos 534 bis a) y siguientes del Có­ digo Penal vigente, podrán ser castigados con penas de multa y privación de libertad quienes sin la preceptiva autorización reprodujeren o plagiaren, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica fijada en cualquier tipo de soporte. Diseño y realización de cubierta: Rafael Celda y Joaquín Gallego Impresión de cubierta: Gráficas Molina © EDITORIAL TECNOS, S.A., 1994 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid ISBN: 84-309-1383-1 Depósito Legal: M-27931-1994 Printed in Spain. Impreso en España por Grafíris, Impresores. CJ Tórtola, 13. Fuenlabrada (Madrid)

INDICE ESTUDIO PRELIMINAR, por Javier de L o re n z o ........ pág. 1.

Contexto 1. 2.

2.

Análisis especioso ................................................................. El término «Análisis» ........................................................ Análisis infinitesimal ..........................................................

XVI XX XXII

biográfico

...................................................................

XXVII

La Combinatoria ............................................................... El paso a lo continuo ....................................................

XXVIII XX XII

Triángulo característico: tangentes y método inverso de tangentes ........................................................................... Método de transmutación ................................................ Curvas racionales y trascendentes ................................... En resumen ...........................................................................

XXXVI X X X IX XLIII XLV

Carta a Oldemburg de julio 1677 .................................... Un personaje: Tschirnhaus ................................................ Y lo externo ......................................................................

XLVII XLIX U

P ara a. b.

XI XIV XVI

1. 2.

3.

.................................................................

Ramas desgajadas ................................................................. Los dos Análisis ...................................................................

P erfil

3. 4. 5.

histórico

IX

una mejor comprensión de los t e x t o s ....................

Nova metbodus ....................................................................... De Geometría recóndita...........................................................

4.

D ifusión

5.

U ltima

y algunos problemas

............................................

LIE LIE LVÜ LXIII

.................................................................................

LXXIII

B IB L IO G R A F IA .................................................................................

L X X IX

cita

VIII INDICE GENERAL ANALISIS INFINITESIMAL UN NUEVO METODO PARA LOS MAXIMOS Y LOS MINIMOS...........................................v............................................

3

SOBRE UNA GEOMETRIA A¿VA^fBkTE OCULTA Y EL ANALISIS DE LOS INDIVISIBLES Y DE LOS IN­ FINITOS.............................................................................................

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ESTUDIO PRELIMINAR por Javier de Lorenzo El Análisis matemático, clave tanto para la Matemá­ tica como para las Ciencias y, por ello, para el pensa­ miento humano, se crea en el siglo xvn. Los ensayos en los cuales aparece por vez primera en la historia se presentan aquí al lector, también por vez primera, completos, en castellano. Son los publicados por Leibniz en la revista de Leipzig Acta Eruditorum en 1684 y 1686; en cita abreviada, Nova methodus y De Geo­ metría recóndita, respectivamente, recogidos posterior­ mente en los Mathematischen Schriften, t. V, por Gerhardt. Hasta ese momento hay manuscritos, cartas pri­ vadas, comunicaciones orales. Pero es Leibniz quien formula públicamente, y de manera completa, el algo­ ritmo del Cálculo diferencial e integral. Dos ensayos que, en el tricentenario, se han constituido en verdaderos clásicos del pensamiento. Aunque al lector actual le sean bien conocidas las reglas del Cálculo desde el Bachillerato, parece impres­ cindible exponer tanto el contexto histórico en el que se plasma el Análisis, como las ideas centrales que condujeron a Leibniz a dicha plasmación. Contexto histórico, perfil biográfico matemático, mínimos, como corresponde a un Estudio preliminar introductorio, se­ guidos por unos breves comentarios orientados, bá­ sicamente, a que pueda seguirse, sin interrupciones,

X JA V IER DE LORENZO tanto los temas como la terminología de los ensayos aquí reproducidos. Las referencias a la revista Acta Eruditorum se harán mediante las siglas A.E. Las de otros artículos de Leibniz se harán atendiendo a las siglas MS, seguidas de la indicación del volumen, para Mathematischen Schriften, y BLM para Der Briefwechsel von G. W. Leibni% mit Mathematikern. La traducción se ha hecho de los textos latinos de Leibniz en A.E. En ellos hay, ciertamente, algunos errores, que fueron corregidos en MS V. Aquí se han tratado de evitar. Pero hay que hacer dos advertencias: 1) el estilo de Leibniz, al menos en estos ensayos, no es de lo que pueda calificarse ni siquiera de regular; 2) a ello se agrega un latín que tampoco es, preci­ samente, ciceroniano. La traductora ha pretendido, en cualquier caso, mantenerse lo más fiel posible al texto, redacción y estilo, de Leibniz. Compensando las os­ curidades de éste ha correspondido al Estudio prelimi­ nar la labor de aclarar todo lo posible dicho texto. Ser fiel al autor, pero también al lector.

1.

CONTEXTO HISTORICO

Voy a referirme, por modo casi exclusivo, al con­ texto histórico interno en el sentido de que factores como los socioeconómicos —que forman parte de la calificada Historia externa— no van a influir en el hacer matemático intrínseco aunque, evidentemente, condi­ cionen las facilidades de trabajo y su difusión. Quiero decir: lo externo influye en cuanto a suscitar polé­ micas, silencios o encumbramientos. En el xvn, Pas­ cal negará cualquier triunfo a Wallis y a Lalouere por ser uno inglés —y haber polemizado el año anterior con Fermat, y no de buenas maneras, al atribuirse triunfos que no le corresponden— y el otro jesuita; los ingleses silenciarán, y para siempre, a Pascal como matemático; lo intentarán, con el silencio y la difa­ mación, con Leibniz; Huyghens terminará marchándose de París por ser protestante; Leibniz no podrá obtener la cátedra Ramée por el mismo motivo... En el si­ glo xvn sí importa ser inglés, francés, alemán, italiano; ser católico o reformista —¿sólo en el xvn?—. Pero ello no impide que el hacer matemático sea obra de matemáticos, pertenezcan a uno u otro país, a una u otra secta religiosa. Con una precisión: en el xvn no hay matemáticos profesionales como se entiende hoy día; el matemático es, fundamentalmente, un pensador que abarca todos los campos del saber y sobre ellos discute, escribe, polemiza; salvo Roberval, los demás

XII JA V IER DE LORENZO viven de otros oficios o tienen fortuna propia. Sólo a finales de siglo comienzan a aparecer los pensadores a sueldo de Academias, Cortes o enseñanza particular, y Leibniz será el mejor ejemplo de este tipo de pen­ sador-matemático. Pero si los factores externos no repercuten de modo decisivo en cuanto al matemático creador, lo mismo puede decirse en cuanto al origen de las materias, de los métodos. En esta época la Matemática prácticamen­ te se nutre de sí misma. Es ella, además, la que pro­ voca situaciones «reales», dando origen a la Física, a la Mecánica, mediante la elaboración de experimentos mentales, porque la gran mayoría de los que se crean en el xvn y posteriores son imposibles de llevar a la práctica. En esta elaboración de experimentos menta­ les, el hacer matemático vuelve a enriquecerse con te­ mas, con problemática nueva. Muy pocos son los cam­ pos que se deben, en sí, a problemáticas externas. De aquí que me limite a una contextualización histórica, muy breve, orientada para la posterior lectura de los ensayos leibnizianos. Y, por lo pronto, el hacer matemático que se cons­ truye en el xvn supone una radical ruptura con el rea­ lizado hasta entonces. Aceptada la Geometría euclídea como base y apoyatura, no sólo en cuanto a lo con­ ceptual y metódico, sino en cuanto a creadora de un espacio físico, de un espacio al que ha de amoldarse lo científico-perceptivo, los matemáticos del xvii bus­ can unos métodos de «creación» frente al rigor expo­ sitivo que plasmaba el libro modélico, los Elementos de Euclides. Método de creación apoyado en la razón que ha de ser no sólo sintética o expositiva, sino analizadora, diseccionadora de aquello que enfoca. En esa búsqueda de unos métodos de creación racionales también va a estar presente en casi todos los matemáticos de la época el intento de lograr un simbolismo adecuado.

ESTUDIO PRELIMINAR

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Desde una postura «racionalista», los pensadoresmatemáticos pretenden abordar el estudio de la natura­ leza, pero de una naturaleza no simbólica como en épocas anteriores, sino de una naturaleza transformada, de una naturaleza que responde al esquema geométrico, a la matemática. Donde los cuerpos —término que apa­ rece por vez primera con los cartesianos— sólo mues­ tran cualidades primarias, es decir, cualidades de mag­ nitudes, desterrándose de ellos el color, la textura, el olor, el sabor... De aquí que un cuerpo sólo posea extensión y movimiento o inercia; de aquí que pueda identificarse con una partícula o punto en cuanto a situar en él la masa, y ese punto pueda describir como trayectoria una curva geométrica. El hacer matemático adopta, así, lo que he califica­ do en otros lugares de inversión epistemológica: hace ver lo que no se ve y no ver lo que se ve. Crea un nuevo nivel de abstracción, estrictamente conceptual, con sus obligadas consecuencias respecto a lo propio perceptivo. Y esto último en el sentido de crear lo que después se calificará de «hecho científico», objetivo o positivo. Hecho que, por supuesto, no se da desnudo en la naturaleza, sino en la provocación y transforma­ ción racional que se ha producido en dicha naturaleza. De aquí la insistencia en la búsqueda de unos métodos de creación apoyados, siempre, en la razón. Que es la que impondrá, frente a la calificada comprensión o elemento ligado a lo perceptivo, nuevos conceptos: así, en el terreno geométrico, habrá que admitir y ma­ nejar el punto en el infinito y la noción de transfor­ mación continua; en el Análisis, tanto la existencia de indivisibles o infinitésimos como la del número a que da paso la noción de desarrollo en serie y la corres­ pondiente suma finita de infinitos términos... Esta búsqueda de nuevos elementos, de nuevos con­ ceptos, hace aparecer a la Matemática de la primera

XIV JA V IE R DE LORENZO mitad del siglo como ligada a problemas de carácter particular, con métodos propios, sin aparentes cone­ xiones entre sí. Es, el siglo xvn, un momento de ver­ dadera eclosión creadora matemática. Incluso surgen ca­ pítulos nuevos que van a ser abandonados durante largo tiempo. En este sentido, y en el esquema que me impongo, pueden esbozarse los distintos temas y métodos en dos grandes bloques. En el primero agrupo alguno de los temas que carecerán de inmediata con­ tinuidad a pesar de su importancia, mientras el segundo englobará los dos que condicionan de modo más inme­ diato la matemática posterior. No hay que olvidar que, como toda clasificación, ésta es sumaria y que hay que aceptarla con muchos matices ya que, dada la diversidad de métodos y temas, los resultados obtenidos en unos campos influyen en el trabajo que se realiza en los restantes, que no son campos radicalmente desgajados, que no se encuentran encorsetados en lo que hoy se calificarían de asigna­ turas estancos. Y ello porque, como ya he indicado, un matemático de la época no es el especialista unitemático en el que posteriormente ha tenido que con­ vertirse. 1.

RAMAS DESGAJADAS

El primer bloque viene constituido, en esencia, por temas como los siguientes: — Geometría proyectiva: creada por Desargues en 1638, y continuada por Pascal y La Hire. En este terreno, el punto del infinito impone su existencia al entendimien­ to, y dos rectas paralelas son aquellas que se cortan en dicho punto. Las cónicas aparecen unidas mediante el método de transformación continua en el sentido de que una circunferencia puede transformarse en una elipse

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y ésta en una parábola, en una hipérbola. Una geo­ metría sintética donde lo que importa no es, precisa­ mente, lo cuantitativo. Sólo en el xix, tras los trabajos de Monge y, fundamentalmente, de Poncelet, volverá esta Geometría a ser redescubierta, manteniéndose los teoremas de Desargues y de Pascal como dos hechos esenciales de la misma. — Teoría de números, apoyada en los trabajos de Fermat, básicamente. Tema, el aritmético, de una simpli­ cidad total en sus enunciados, pero de una compleji­ dad total en su resolución, la convierten en la reina de la Matemática. Y precisamente intentando resolver uno de los enunciados de Fermat, irán surgiendo a lo lar­ go del xix los números ideales, el concepto de ideal, el de la denominada álgebra moderna... Y manejando las sucesiones de números naturales, después, de racio­ nales, surgirá el método de inducción completa con Pascal, el tema de congruencias... — Ante un problema de una partida de juegos, Pas­ cal y Fermat, en correspondencia en 1654, crearán el Cálculo de Probabilidades, y durante esa creación, el pri­ mero manejará los números combinatorios en el desa­ rrollo del triángulo aritmético, mostrará que son los coeficientes del desarrollo del binomio... Huyghens, en 1667, al enterarse de la correspondencia Pascal-Fermat, abordará el tema, lo intentará sistematizar en una teoría completa del juego de azar de dados. En este punto, animado por su compatriota holandés de Witt, preocu­ pado por la búsqueda de tablas de rentas. Después, Jacob Bernouilli acudirá al tema ampliando el conte­ nido, los métodos, publicándose, obra postuma, su Ars conjectandiy en 1713. El Cálculo de Probabilidades to­ davía tardará años en obtener carta de ciudadanía cien­ tífico-matemática. — Y junto a estos temas que pueden estimarse como propios de teorías completas, pero que quedan desga­

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jados en el x v i i , aunque en él tengan su creación, cabe mencionar el de ¡os logaritmos, porque enlaza las progresiones geométricas con las aritméticas y, funda­ mentalmente, porque va a permitir la cuadratura de la hipérbola, que se había resistido en los primeros años del siglo. Una vez establecido el enlace, Leibniz podrá hablar de la curva logarítmica, de la exponencial. Es tema aislado, ciertamente, pero que no puede olvidarse como uno de los sustratos en la investigación, en el hacer de los matemáticos de la época. 2.

LOS DOS ANALISIS

Junto a los temas anteriores, cultivados con afán, pero en el fondo sin una continuación inmediata —in­ cluso con pérdidas como la del ensayo de Pascal sobre las cónicas— puede mencionarse como segundo bloque el constituido por los dos tipos de Análisis, el espe­ cioso y el infinitesimal.

ANALISIS ESPECIOSO

Había sido «creado» por Vieta y consistía en un cálcu­ lo sobre símbolos o especies, representando tales sím­ bolos magnitudes cualesquiera, bien geométricas, bien aritméticas. En otras palabras, se reemplaza el número determinado por un símbolo, por una letra, con lo cual se reducen los problemas al planteamiento y resolución de ecuaciones algebraicas con su correspondiente enlace en lo geométrico mediante las curvas asociadas, y re­ cíprocamente. Enlazaba, de esta forma, con la resolución de ecua­ ciones algebraicas, tema muy propio del siglo xvi, don­ de se consiguen las resolventes de las ecuaciones de se­

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gundo, tercero y cuarto grado, quedando por obtener la de quinto. Naturalmente, se trataba de resolver no una ecuación numérica determinada, sino todas las de ese grado y ello exigía el empleo tanto de un signo para la incógnita como de otro tipo de signos para los coefi­ cientes de la ecuación, aunque Vieta y sucesores con­ tinúen hablando, en lugar del grado de la ecuación, de problemas planos, sólidos, supersólidos... en mezcla del lenguaje geométrico y del algebraico que comienza a surgir. En esta línea corresponde a Descartes, en La Geo­ metría , 1637, sistematizar el empleo de los signos —las últimas letras para las incógnitas; las primeras para los coeficientes—, así como realizar de manera defi­ nitiva la identificación de las curvas con las ecuaciones correspondientes. Identificación que permite hablar de la curva en términos algebraicos, por un lado; por otro, clasificar las curvas en dos grandes apartados: geométricas, mecánicas. Las primeras son las que pue­ den expresarse por medio de una ecuación algebraica, lo que no ocurre con las segundas. Ejemplo de las primeras, las cónicas que vienen dadas por una ecua­ ción en dos variables de segundo grado; ejemplos de las segundas, la cicloide o ruleta, las que hoy califica­ mos de funciones trigonométricas, la logarítmica... Una curva, su ecuación algebraica, ha de responder, además, a la ley de homogeneidad dimensional, es de­ cir, todos los términos han de tener el mismo grado o dimensión y, así, una expresión x2 + a no es homo­ génea porque combina elementos cuadráticos con li­ neales y se interpretaría como la suma de un área y un segmento, lo que carece de sentido; por el con­ trario, una expresión como x2 + y 2 —a2 se muestra como homogénea porque todos los términos represen­ tan áreas. Ley de homogeneidad como clave en la clasificación algebraica de los problemas que, según

XVIII JA V IE R DE LORENZO que el grado de cada término de la ecuación corres­ pondiente sea de primero, segundo, tercero, cuarto... el problema será lineal, plano, sólido, supersólido... Pero es ley que, a la vez, se muestra restrictiva en cuanto al puro formalismo algebraico. Restricción que Descartes pretenderá superar introduciendo, en todos los casos, la unidad «?», y con ella establece la homo­ geneidad de los distintos términos; así, la expresión antes mencionada como no homogénea, se homogeneiza sin más que escribirla como x2 + ae. La contribución fundamental de Descartes se centra en identificar una curva con su expresión algebraica. Con esa identificación amplió el campo de acción ma­ temático tanto en el hacer algebraico como, al menos, en aspectos como los siguientes: — Al perfeccionar el análisis especioso de Vieta ma­ nejando letras en lugar de números, permite que tanto los negativos como los complejos tomen carta de ciu­ dadanía en el hacer matemático. En este sentido, un resultado que sorprende a los matemáticos de la época será el obtenido por Leibniz en su estudio de las ecuaciones resolubles donde da el valor y/ 1 + y j “ “ 3 + % /'1 “ \/ = y/6 hacia 1676. Es aspecto que tiene su ampliación en la posibilidad de utilizarlos, por analogía, en otros campos. — Permite unificar el tratamiento de las cónicas no ya desde el enfoque proyectivo, como en la línea se­ guida por Desargues y Pascal, sino estrictamente al­ gebraico: las cónicas serán aquellas curvas que satis­ facen una expresión algebraica de la forma A x2 + + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 —y es uno de los resultados obtenidos tanto por Fermat como por Des­ cartes—. Pero ello supone un cambio en la connota­ ción del término cónica: un par de rectas también satisface esta ecuación, por lo que ha de admitirse

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dicho par como una cónica degenerada, a la vez que aparecen elementos conceptuales nuevos, así la direc­ triz. Y lo importante no es la mera expresión alge­ braica sino el hecho de un cambio de referencial en los conceptos matemáticos y, a la vez, en el método de tratarlos. Y si el desarrollo del álgebra especiosa va a ampliar el hacer matemático, también va a repercutir en el fí­ sico o estudio de la naturaleza. La concepción que Descartes cristaliza dividiendo las cualidades de los cuerpos en primarias y secundarias hizo que los pro­ blemas de carácter físico se convirtieran en problemas puramente geométricos o matemáticos, en problemas sobre cuerpos para cuya solución se requiere de la ecua­ ción algebraica, en principio, y la búsqueda de sus so­ luciones. La Mecánica o estudio de la naturaleza es, así, una parte de la Matemática, adjetivada de «racional». Me he detenido algo en este punto porque suele citarse, en las historias al uso de la Matemática, que el gran descubrimiento matemático cartesiano se centra en el de las coordenadas calificadas posteriormente como «cartesianas». Lo cual no es correcto, ya que la Geometría de coordenadas era una invención griega —en la obra de Apolonio Cónica, base para los tra­ bajos de Fermat y Descartes, ya se establece tal uso caracterizando cada punto por su abscisa y su orde­ nada— y, en tiempos más cercanos al xvn, era em­ pleada por todos los cartógrafos y por Oresme. En cualquier caso, Descartes compartiría tal creación con Fermat. Y si bien es cierto que, en algún caso, ma­ nejan ambos matemáticos franceses el método de coor­ denadas, lo hacen como mero auxiliar para la resolución de problemas de construcción geométrica y como tal auxiliar será manejado por casi todos los matemáticos posteriores, aunque sin la representación ortonormal a la que hoy estamos habituados.

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De hecho, los matemáticos del xvn lo que recono­ cieron en la obra de Descartes no fue precisamente el manejo de las coordenadas, sino la identificación, a la que he hecho referencia, de una curva con su expre­ sión algebraica correspondiente y que era la que, de modo implícito, obligaba al uso de dichas coordenadas. Reconocimiento del que, por otro lado, se encontraba orgulloso el mismo Descartes, pensando que era el plan­ teamiento algebraico de los problemas toda la clave de la Geometría, de la Matemática. Reconocimiento que implicaba, como toda creación, una limitación contra la que se alzarán algunos ma­ temáticos: imponer que los problemas calificables de geométricos fueran aquellos que pudieran resolverse exclusivamente por medios algebraicos, dejando mar­ ginado del hacer matemático aquellos en los cuales en su planteamiento no entraran expresiones algebraicas. Así, los relativos a la cicloide, por ejemplo, dejaban de ser problemas geométricos o matemáticos y queda­ rían con el calificativo de problemas mecánicos. Hay otra limitación en el enfoque cartesiano que dividirá a algunos matemáticos posteriores: su rechazo de mé­ todos matemáticos como los estrictamente sintéticos para la geometría y como los infinitesimales, estos últimos considerados como de mera aproximación y no de certeza absoluta. Se crean, así, dos enfoques en el hacer matemático: el de precisión o algebraico, y el de aproximación que, a pesar de los cartesianos, va a constituir la otra gran conquista de la Matemática del xvn. EL TERMINO «ANALISIS»

Antes de indicar los elementos de esta segunda gran creación, calificada también de Análisis, conviene pre­ cisar este término. La creación cartesiana se califica

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«geometría analítica» actualmente, pero es una adjetiva­ ción muy tardía, del xix. En el fondo, lo que en ella se hace es una geometría de corte algebraico. El término «análisis» lo que manifestaba era un «ana­ lizar», diseccionar un problema en sus partes constitu­ yentes. El total se reducía a sus partes y encontraba su explicación global en la explicación de las mismas. Para ello se consideraba resuelto un problema y se analizaban, se estudiaban las condiciones que lo habían posibilitado en tal solución. Se consideraba más fácil resolver un problema dándolo, como hipótesis, por resuelto y estudiando las partes que lo hacían posible. Frente a este método resolutivo se encontraba el de síntesis, pero que se quería como proceso de ca­ rácter más bien deductivo, ligado a la exposición de lo una vez descubierto o construido que como proce­ so opuesto al analítico. Unicamente en la geometría sintética, tanto euclídea como proyectiva, se mantenía el término de «método sintético» en el sentido de ir construyendo, sintetizando, paso a paso, el problema, no dándolo por resuelto de entrada. La insistencia en el «análisis» será constante en la obra metódica cartesiana, como por otro lado en todos los matemáticos de la época, incluso en quienes se opo­ nen a Descartes, como Pascal. Pero ello no es más que una de las características del racionalismo, donde se llega a identificar razón creadora con razón metódica y, ésta, con razón analítica o diseccionadora, con su fondo epistemológico claramente reduccionista. Desde esta perspectiva, la identificación de una curva con su expresión algebraica correspondiente no hace otra cosa que facilitar la resolución de los problemas asociados a la curva, dado que dicha expresión posi­ bilita pensar que el problema está, globalmente, resuel­ to, y basta descomponer la expresión algebraica para analizar las partes. El álgebra aparece, así, como un

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auxiliar identificable al método analítico y tal identi­ ficación permanece hasta bien entrado el siglo xvm.

ANALISIS INFINITESIMAL

Donde se encuentra auténticamente el proceso de analizar o diseccionar un todo en sus partes y luego sintetizar o recomponer el todo a partir de esas partes es en lo que por antonomasia recibirá el nombre de Análisis, el adjetivado de infinitesimal porque el todo habrá de descomponerse en infinitas partes y esas partes han de ser infinitésimos, indivisibles, diferencias... de tal manera que, a su través, se logra la construcción de los problemas ligados a unas cuestiones determi­ nadas. Y, curiosamente, si Descartes presenta su Geometría como una innovación revolucionaria, cuando en el fon­ do es una prolongación de los conceptos y métodos de Vieta, la mayor innovación, la infinitesimal, quiere entroncarse con la gran tradición: en este Análisis cada método que se crea se pretende justificar por una lla­ mada a los antiguos, especialmente a la autoridad de Arquímedes, a los métodos de los clásicos o de exhaución y ello, entre otras posibles motivaciones, para evitar las acusaciones de falta de rigor en el manejo de tales métodos. Y es el Análisis infinitesimal la segunda gran obra, he dicho, de los matemáticos del x v i i . Las cuestiones que se muestran centrales en este campo van a ser, durante la primera mitad del siglo, tres tipos de pro­ blemas : • construir la tangente o la normal a una curva por un punto dado; • hallar los máximos y los mínimos de una curva; • calcular cuadraturas, es decir, la medida o el área

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que encierra una curva bien en sí, si es cerrada, bien del trozo de plano que origina con la intersección con otra curva dada; búsqueda de cuadraturas que se prolonga en la de cubaturas, es decir, en el cálculo de volúmenes engendrados por la curva al girar alre­ dedor de un eje. A estos tres problemas se agregará, desde el reto lanzado por el anticartesiano Pascal en 1658 —cuadrar la cicloide y hallar tanto su centro de gravedad como el de cualquier arco de cicloide—, el de: • rectificar curvas, es decir, calcular la longitud de un arco de curva entre dos puntos cualesquiera de la misma. Problemas que van a aparecer ligados a métodos par­ ticulares para su resolución, creando cada matemático el que estima ser suyo y original. Así, para la cons­ trucción de la normal o de la tangente a una curva en un punto, se encuentra el desarrollado por Descartes, estrictamente algebraico; el de Roberval, que es mecá­ nico y que también crea, independientemente, Torricelli; el de máximos y mínimos de Fermat, en el que se encuentra una mezcla de análisis especioso a lo Vieta con el de indivisibles y da un atisbo del cálculo diferencial en el sentido de que agrega cantidades que luego se van a desvanecer por ser incomparables con las magnitudes primitivas... En cuanto al problema de cuadraturas, hacia media­ dos de siglo se han resuelto, de caso particular en caso particular, dos grandes tipos: las cuadraturas de parábolas, y que no son otras que las que corresponden a las expresiones f = ¿¿V*, y las de hipérbolas, jPx™ = a P lf. En términos actuales, son las cuadraturas de monomios. Hay que precisar que en el caso de las hipérbolas tal cuadratura no se obtiene en la hipérbola común: j x - 1 —a, Y es donde se incardina la teoría de logaritmos, porque en 1643 Roberval sostiene que

XXIV JA V IER DE LORENZO si las abscisas se encuentran en progresión geométrica, entonces las áreas correspondientes han de estar en pro­ gresión aritmética, y ello permite enlazar la cuadratura de la hipérbola con la teoría de logaritmos. Los métodos empleados en la cuadratura de curvas se centran, en la mayoría, en combinar el razonamiento geométrico sintético con el análisis de indivisibles; en algunos casos, en algunos matemáticos, así Pascal, así Leibniz, con el razonamiento combinatorio y aritmé­ tico. Estos métodos se centran, básicamente, en dos: • la sumación de indivisibles —descomponer el área, el trozo de plano, en elementos muy pequeños cuya suma dé dicha área—, pero con matices que dife­ rencian su empleo por parte de Cavalieri, Roberval, Pascal... según justifiquen o no la disconformidad con la ley de homogeneidad de los cuerpos. • el desarrollo en serie —la posibilidad de descom­ poner la ecuación de una curva en una sucesión infini­ ta de términos, parábolas o hipérbolas— permite la cua­ dratura de la curva porque la misma se ve reducida a cuadrar parábolas e hipérbolas y estas son ya co­ nocidas. En este último método Gregory de Saint-Vincent en 1647 es el primero en afirmar que una serie infinita representa una magnitud, y Mercator en su Logarithmotechnia de 1668 sorprende al mundo matemático dando no sólo el desarrollo de 1/1 + x*, ya bien conocido, sino hallando su cuadratura, que no es otra que el lo­ garitmo. El éxito es inmediato y el desarrollo en serie se convertirá en uno de los campos preferidos en el hacer matemático británico con el logro, por parte de Newton, del desarrollo en serie del binomio y la obten­ ción de las series correspondientes a curvas trigono­ métricas como la tangente o la secante... Frente a los británicos, los matemáticos continentales prefieren hacer un uso mayor de los procesos de sumación de indivi­ sibles.

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Inconexos, estos problemas y métodos tienen atisbos de enlace, pero falta la visión de lo que puede esti­ marse como los dos elementos fundamentales para que tales trabajos culminen en una auténtica teoría unifica­ da y coherente, la teoría del Cálculo diferencial y sumatorio o Análisis infinitesimal: • observar la relación de reciprocidad entre los pro­ blemas de tangentes y cuadraturas, independizándolos de las cuestiones concretas y determinadas; • unificar los distintos problemas en sólo dos pro­ cesos: diferenciación y sumación. En este sentido cabe señalar que ya Roberval, hacia 1645, al descubrir el método de la cuadratiz o curva compañera de una curva dada, enlaza el problema de determinar la tangente con el cálculo de áreas. Con ello se origina, a la vez, un nuevo problema, el deno­ minado : • problema inverso de las tangentes, y que consiste en determinar una curva mediante el previo dato de sus propiedades tangenciales o de su cuadratura. La visión de los dos elementos fundamentales van a tenerla tanto Newton como Leibniz, ya en el último tercio del siglo. Este último la prolonga en una terce­ ra y que constituye, desde mi punto de vista, la que le hace merecer, auténticamente, el calificativo de creador del Cálculo diferencial: aceptar el método inverso de las tangentes —que se plasma en la formulación de ecuaciones diferenciales— como el centro de los proce­ sos de diferenciación y de sumación, aceptar este mé­ todo como la clave de ese carácter de reciprocidad.

2.

PERFIL BIOGRAFICO

No voy a hacer, aquí, el perfil biográfico clásico de Leibniz. Ello lo puede encontrar el lector en cualquier libro de Historia de la Filosofía. Me limito al perfil biográfico centrado en la creación de las ideas matemá­ ticas y, básicamente, hasta la publicación de los ensayos aquí traducidos. Nacido el 1 de julio de 1646, Leibniz se encuentra en París en la primavera de 1672. Al servicio del elec­ tor de Maguncia, y en misión diplomática, fracasada desde el comienzo, pretende convencer a la corte fran­ cesa de que no invada Holanda sino que Francia se limite a cortar las vías de comunicación tanto de las Siete Repúblicas como del Imperio turco. En Francia permanecerá hasta 1676 en que debe regresar, y ya para siempre, al servicio de la casa Brunschvig de Hannover. Ha intentado permanecer en París, ocupar la cátedra Ramée del Colegio de Francia, vacante tras la muerte de Roberval; protestante, no es bien visto para ese cargo de profesor de matemáticas. En el entretiempo, viaja a Londres —también en misión diplomática— en el primer trimestre de 1673. Cuando regresa a Ale­ mania lo hará vía Londres —donde se encuentra del 13 al 29 de octubre de 1676—, Holanda —donde parece ser que se entrevista con Spinoza... El joven Leibniz, que es realmente autodidacta en la Matemática, se muestra, en el decir de los ingleses,

XXVIII

JA V IER DE LORENZO

como un principiante con afán de notoriedad y sin escrúpulos para apropiarse lo que otros han creado. Es la opinión que de él darán Pell, Collins, Hocke..., de quienes entornan a Newton, tras su primer paso por Londres. Su bagaje matemático es, en esos momen­ tos, muy pobre. Tiene, ciertamente, ambición; pero también genio y la suerte de encontrar en París a Huyghens quien le orientará en la Matemática «mo­ derna», en las lecturas que debe hacer: Roberval, Des­ cartes, Dettonville o Pascal, Barrow, Wallis, Mercator, Gregory... 1.

LA COMBINATORIA

Y también Leibniz tiene una obsesión que se con­ vertirá en uno de los núcleos aglutinadores de su pen­ samiento : su preocupación por la Combinatoria, por la construcción de una characteristica universalís, por la bús­ queda de un lenguaje simbólico general mediante el cual puedan expresarse, simbólicamente, todos los pro­ cesos de argumentación. Lenguaje simbólico que, por supuesto, ha de estar sometido a un Cálculo o algorit­ mo, a unas reglas de combinación metódicas. Es idea no sólo clave para su concepción del hacer matemático y lógico, sino también para toda su con­ cepción política y filosófica. Hay que observar que Leib­ niz dedica su pensamiento a todos los temas imaginables, desde la Lógica a la Geología, desde la Política y Teo­ logía a la Minería. En Matemática no sólo se ocupará del Cálculo diferencial sino de las ecuaciones algebraicas, de la Geometría, hasta de construir una máquina de calcular que perfeccione a la pascaliana. A su muerte dejará escritas más de 200.000 páginas, de las que rela­ tivamente pocas fueron publicadas en vida, y pocas las que han sido editadas posteriormente.

XXIX

ESTUDIO PRELIM INAR

En su afán político se encuentra el deseo de unifica­ ción a partir de las diferencias: Alemania se escinde en cerca de 350 nacionalidades con sus dialectos; sólo una lengua común y una religión común podrá aunarlas. Con una salvedad, las diferencias existentes no deben anularse, no debe suprimirse la peculiaridad propia por­ que cada nacionaidad va a ser ejemplo, espejo de todas las demás. Pero es la unión de esas particularidades, de esas diferencias la que podrá dar el total de una nación. Igualmente, es la unión o suma de los distin­ tos países lo que podrá dar un sentido universal al mundo. Y es concepción del enlace entre las diferen­ cias y su unión lo que va a mantener Leibniz no sólo en política o en religión —donde tiene como empresa la unión de las distintas ramas religiosas cristianas—, sino también en lo matemático y, posteriormente, en lo filosófico. Hay que autolimitarse, aquí, a las ideas centrales respecto a la Matemática y, más en particular, a las que le conducen a la creación del Cálculo de diferencias. Partiendo de lo combinatorio, Leibniz se liga al ma­ nejo de sucesiones numéricas. En 1672, ya en París, obtiene uno de los resultados esenciales: Dada una su­ cesión a\’ ar '" 'an se calculan sus primeras diferencias hX = a2 ~

V

b2 = *3 -

* 2 ’ - > hn - \ =

“

V

i

y se observa que la suma de estas primeras diferen-

XXX

JA V IER DE LORENZO

es decir, la suma de las primeras diferencias no es otra cosa que la diferencia entre el último y el primer ele­ mento de la sucesión. En otras palabras, las sucesio­ nes formadas por las diferencias pueden sumarse. Leibniz va más allá y trata de obtener la suma de cualquier sucesión siempre que sus diferencias vayan haciéndose cada vez más pequeñas. La sucesión tipo, parece que sugerida por Huyghens, es la sucesión 1 J_ J_ J_ » ~ , >77) TT>••• 3 6 10 15 donde los denominadores son los números triangulares, cuya expresión general viene dada por n{n + 1) 2

Pero cabe observar la relación 2

2

2

n{n + 1)

n

n+ 1

es decir, que cada término se descompone en la dife­ rencia de dos sumandos. Con lo cual, la suma de la sucesión pedida será, al descomponer cada sumando de la sucesión en la diferencia correspondiente anterior, 1 1 1 2 _ ? 1 + — + — + — + - + -------- -- = 2 3 6 10 //(//+ 1) n+ 1 Y, si la sucesión posee infinitos sumandos, entonces puede afirmarse que su suma es 2. Esta idea le conduce al triángulo armónico, simétrico del triángulo aritmético de Pascal, en el que cada fila

ESTUDIO PRELIMINAR

XXXI

está formada por las diferencias sucesivas de la fila an­ terior, de tal manera que si se suman los infinitos ele­ mentos de una fila lo que se tiene es el número su­ perior: 1

5

10 4

1

10 6

3 1

5 4

3 2

1

1

1 Cada término es suma de los que están debajo.

1 1

1 1 2 1 T 1

1 y 1 6~

1 12

T i 20

1

Cada término es diferen­ cia de los que están en­ cima.

T 1 12

1 30

1 7 1 20

En el triángulo armónico la suma de cualquier fila da el número inmediatamente anterior a la misma. Ejemplo: J_

y + 12 +

1_ ___ J_ 3Ó+ ~ ~ 2

Lo que importa resaltar aquí es que se tiene uno de sus hallazgos metódicos en el hacer matemático, en paralelo a sus ideas políticas: las sumas y las dife­ rencias se muestran como operaciones inversas entre sí y las diferencias permiten hallar las sumas. Con una clara advertencia, en la que Leibniz insistirá constan­

XXXII JA V IE R DE LORENZO temente: la determinación directa de las diferencias es siempre posible, mientras que no ocurre lo mismo con las sumas. Desde el enfoque combinatorio, desde lo aritmético, pueden adoptarse suma y diferencia como operadores recíprocos. 2.

EL PASO A LO CONTINUO

La dificultad, ahora, es el paso de lo combinatorio a lo continuo. En el terreno aritmético las diferencias, entre números, van a saltos, son discretas; pasar al con­ tinuo, al manejo de curvas, implica que tales diferencias desaparezcan en su carácter discreto. Resolver este paso, pero manteniendo el espíritu combinatorio, va a ser toda la clave del descubrimiento de Leibniz. Es el mismo problema que encontró Pascal y resol­ vió en Potestatum numericarum summa acudiendo a la teoría de indivisibles y convirtiendo la determinación de áreas y volúmenes en procesos de sumación de su­ perficies determinadas por ordenadas sucesivas, que son las líneas que forman la progresión de los naturales. Paso apoyado, de lo discreto a lo continuo, en dos principios o postulados: el de transformación continua y el de la existencia de magnitudes incomparables entre sí, es decir, magnitudes reales y magnitudes infinite­ simales o indivisibles. Estas son tales que si se añaden o sustraen, en número cualquiera, a una magnitud con­ tinua de orden superior, ésta no se altera. La justifi­ cación pascaliana de este segundo postulado se encuen­ tra en la aceptación de la versión inversa del postulado eudoxiano-arquimediano como regulador de las magni­ tudes infinitesimales, mientras que el postulado arquimediano rige las magnitudes continuas —como creo haber demostrado en Pascal y los indivisibles. Leibniz acepta ambos postulados, así como la justifi­ cación de los mismos realizada por Pascal. Está en su

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XXXIII

línea admitir la existencia de magnitudes infinitesima­ les como componentes de un total. Igualmente, acepta que una curva se componga de partes y que se pueda hablar de las diferencias infinitesimales entre dos tér­ minos consecutivos de una curva, teniendo en cuenta, sin embargo, sus distintos órdenes de infinitud para el caso de su comparabilidad o no. Ello le obliga a acep­ tar que una curva no es otra cosa que una poligonal de lados rectos actualmente infinitésimos o indivisibles... En otras palabras, Leibniz acepta que una curva pueda establecerse como una sucesión de líneas ordenadas, en principio equidistantes entre sí; con lo cual la suma de todas las ordenadas —término que tiene sentido cuando se adopta que la distancia entre cada dos orde­ nadas consecutivas es 1, es decir, cuando la diferencia es constante e igual a la unidad— no será otra cosa que la cuadratura de dicha curva, el área de la misma. Hasta aquí, realmente, ningún adelanto respecto a las concepciones de Dettonville o Pascal. Pero será en los escritos de la ruleta de Pascal donde Leibniz en­ cuentre la luz. Lo contará en cartas a Bernouilli y al abate de Conti, lo repetirá en su Historia ji origen del Cálculo diferencial —MS V, 392-410—. En la lectura del Tratado de los senos del cuarto de círculo observará que Pascal maneja el triángulo característico, pero li­ mitado a resolver cuadraturas. Leibniz va a ver lo que Pascal no ve en ese manejo y lo atribuye a que el matemático francés parece tener una venda en los ojos. Con ese triángulo Leibniz va a dar el salto definitivo en todo su sistema conceptual y ontológico. En el terreno matemático va a: • construir la cuadratriz y reducir el problema de la cuadratura de una curva a la de otra previamente co­ nocida, con lo cual podrá cuadrar cualquier tipo de curva mediante el proceso que denominará de trans­ mutación o metamorfosis;

XXXIV JA V IE R DE LORENZO • hallar la tangente a una curva por uno cualquiera de sus puntos; • fundamentalmente: las cuadraturas y las diferen­ ciales son inversas y el paso de una a otra se realiza mediante su método inverso de las tangentes. Si la primera visión es la del proceso de transmu­ tación, las otras dos las tendrá Leibniz en el otoño de 1675, concretamente en octubre. Y entre el 25 de octu­ bre y el 11 de noviembre se dedica a explorar estas visiones, a desarrollar las reglas, aún con tanteos, de su Cálculo de diferencias y sumas en unos escritos que permanecieron inéditos. Entre ellos menciono los que llevan por título —la fecha va entre paréntesis—, Analysis Tetragonística ex Centrobarycis (29-10, LBM 147-160) y Methodi tangentium inversae exempla (11-11, LBM 161-167), en los cuales emplea el signo «d» como signo para la diferencial y pasa del signo «omn.» para representar la suma de todas las diferencias al de «f», que ha permanecido hasta hoy para indicar tanto la suma leibniziana como el operador inverso de la dife­ renciación. Se encuentran expresiones como

a la vez que la ley de reciprocidad

con la advertencia de que J dxy = xy pero que no es lo mismo J xy que f x ¡y .

ESTUDIO PRELIM INAR

XXXV

En otras palabras, aparecen la sumación y la diferen­ ciación como operadores inversos uno del otro a la vez que las reglas de la diferenciación. En estos manuscritos inéditos pretende la formula­ ción de un cálculo, es decir, un algoritmo eficaz para resolver de modo único los distintos problemas plan­ teados en el Análisis. Tarda, en tal formulación, cerca de un año. Así, todavía al principio mantiene que dxy = x dy + y d x + dx dy para acabar eliminando este último sumando. En esa búsqueda llega a formular —manuscritos de 26 de ju­ nio de 1676— que el volumen engendrado por una cur­ va / cuando gira alrededor de un eje es V = J Tly2dx y que el arco de la curva viene dado por

Finalmente, ya en las postrimerías de 1680, supera la fase de mero carácter operatorio y enfoca a dx y dy como diferencia infinitesimal de abscisas y de ordena­ das, respectivamente. Leibniz está en condiciones de for­ mular y resolver los distintos problemas que tenía planteados el Análisis y de crear, en el fondo, esta disciplina. No voy a analizar, aquí, estos manuscritos, pero sí conviene explicar cómo desde el triángulo caracterís­ tico alcanza Leibniz sus ideas esenciales tanto para la determinación de la tangente y el método inverso de las tangentes, como para la regla de transmutación o problema de la cuadratriz.

XXXVI

JA V IER DE LORENZO

TRIANGULO CARACTERISTICO: TANGENTES Y METODO INVERSO DE TANGENTES

En el Tratado de los senos del cuarto de círculo, Pascal introduce el triángulo característico como un triángulo formado por dos catetos de longitud indivisible o in­ finitesimal y, como hipotenusa, la tangente a la curva, EE en D (Fig. 1). Ese triángulo infinitesimal es se­ mejante al triángulo finito A DI, donde AD es la per­ pendicular a EDE trazada desde el centro A del círculo.

Si EE se considera como el lado infinitesimal o indi­ visible de la curva, es decir, si se considera como for­ mando un único punto y se suprime la restricción de que la curva sea un arco de círculo, entonces se pasa al triángulo característico de Leibniz: un triángulo cuyos lados son indivisibles, o infinitamente pequeños, o can­ tidades diferenciales, pero siempre semejante a un trián­ gulo finito (Fig. 2). El triángulo característico, en relación con la curva, da paso a los segmentos: TR que es la subtangente, R¿2 la subnormal, PQ la normal a la curva por no teniendo que ser jQ el centro de la misma al tomarse una curva A PP cualquiera. Y este triángulo permite calcular la tangente en el punto P de la curva: basta ver que la pendiente de la

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XXXVII

recta tangente viene dada por m = dy/dx. Y es una de las acusaciones de tener una venda en los ojos; acusa­ ción improcedente porque el matemático francés sólo estaba ocupado en los problemas de cuadraturas y cen­ tros de gravedad, no en los de tangencia, por lo que no podía «ver» lo que no estaba buscando.

En el mismo triángulo pueden observarse las siguien­ tes relaciones: si las coordenadas de P son x t y , tomando como origen de abscisas el punto T, resulta de la semejanza del triángulo PSP , o característico, con el TRP y|= dj J

(1)

y llamando p a la subnormal RjQ, de la semejanza de PSP con PRJ2 se obtiene

T - L dx y

<2 >

Después de manejar como elementosrecíprocos la diferencial d y la suma f, en términostodavía geomé­ tricos y manteniendo la ley de homogeneidad —la su­ ma aumenta una dimensión al pasar de líneas a áreas,

XXXVIII

JA V IE R DE LORENZO

la diferencia la disminuye—, Leibniz alcanzará el 11 de noviembre de 1675, de modo definitivo, su método inverso de la tangente con motivo de un problema: determinar una curva cuya subnormal sea inversamente proporcional a la ordenada. Basta observar la figura 2, donde se obtiene la relación (2). De aquí se pasa a la ecuación pdx= jdy

(3)

Como, por la condición del problema, p = k¡yy con «k» como constante de proporcionalidad, resulta * -= j* J de donde k dx

dy

Tomando ahora la sumación, k dx = J j 2 dy se tiene

3k es decir, una cúbica. Leibniz ha planteado el problema en términos de di­ ferencias o infinitésimos mediante su triángulo carac­ terístico —obsérvese que no hay que sumar a «x» o a «y» ningún incremento infinitesimal—, ha pasado a lo que calificará de ecuación diferencial (3) donde se

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XXXIX

imponen las condiciones del problema y, gracias al proceso inverso de la diferencial, la sumación, podrá caracterizar la curva. Ha resuelto, así, con estos tres pasos de un método único, uno de los principales problemas que se plan­ teaban en el Análisis: caracterizar una curva conocien­ do alguna de sus propiedades. Y ello con un método que es común al trazado de tangentes y que también se liga a las cuadraturas. De esta forma, el triángulo característico posibilita, por un lado, determinar la tangente a una curva en un punto cualquiera de la misma; por otro, expresar las condiciones de un problema en términos de diferencia­ les o infinitésimos, pasar a su ecuación diferencial correspondiente y, por el proceso de sumación, resol­ verlo y hallar el problema. METODO DE TRANSMUTACION

La cristalización de esta última observación, y las consecuencias antes mencionadas, ha venido avalada por el previo descubrimiento del método de transmutación o proceso de la cuadratriz, más bien, por la inclusión de este método creado por Roberval, en el núcleo de su pensamiento. Debo observar que Leibniz maneja el sistema de ejes coordenados tomando el de abscisas en vertical y hacia abajo, mientras que las ordenadas se toman en horizon­ tal y de izquierda a derecha; es decir, toma como primer cuadrante el que hoy consideramos cuarto. Una figura original de Leibniz es la figura 3, donde la cur­ va a cuadrar es una semicircunferencia —está destinada a lograr la cuadratura del círculo—. En beneficio del lector, quizá más acostumbrado a manejar las coorde­ nadas en el primer cuadrante, y dibujando una curva

XL JA V IER DE LORENZO cualquiera, el proceso de la cuadratriz vendría expli­ cado en términos como los siguientes: T

Sea una curva A Y XY2Z (Fig. 4). El triángulo ca­ racterístico en Yx será YXY2D. La tangente en YXY2 corta al eje de abscisas en T y al de ordenadas en

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XLI

S. Si se traza la paralela al eje de abscisas por S se obtienen los puntos Q X Q 2 s°bre las ordenadas en Xx y X2 respectivamente. El triángulo característico es semejante al triángulo TY¡X¡ por lo que si se llama «£» a la ordenada X j j y «x» a la subtangente TX¡, se tendrá

_j dx

k x

y despejando se tiene

que es la expresión de una nueva curva, la cuadratriz de la curva dada, ya que a cada punto Y de ésta se le asocia otro punto j2t y, al variar el primero, el segundo irá describiendo una nueva curva, la AQ^Z . Es claro que la cuadratriz depende, para su construc­ ción, no sólo de la propiedad del triángulo caracte­ rístico, sino de la tangente en el punto que se esté considerando, ya que cada punto de la cuadratriz se obtiene a partir del punto S> punto de intersección de la tangente con el eje de ordenadas. Si ahora pasamos al problema de cuadrar la curva original AY^Y^Zy se puede observar que el área que determina la curva con el eje de abscisas y la recta XZ o «última ordenada», puede descomponerse en la suma del triángulo rectángulo AXZ y de los sucesivos trián­ gulos «infinitesimales» AY^Y^ Cada uno de éstos tiene como área 1/2 Y^Y^- AN. Pero como el triángulo ca­ racterístico es semejante al triángulo ANS, se tendrá la igualdad — Y,Y. - A N = ^ - Y . D - A S 2 1 2 2 1

XLII

JA V IER DE LORENZO

AS es, precisamente, la ordenada correspondiente a la cuadratriz en X , por lo cual la igualdad anterior puede prolongarse con una tercera

De esta forma, el área del triángulo «infinitesimal» es igual al área del rectángulo rayado en la figura. La cuadratura total de la curva vendrá dada, en­ tonces, por la expresión Zdx + ^ - A X - X Z Lo que quiere decir que calcular el área de la curva se reduce, básicamente, a calcular el área de la cuadra­ triz. Además, esta última expresión encierra, en el fon­ do, el método de integración por partes, con lo cual vuelven a unirse los procesos de diferenciación e in­ tegración como recíprocos uno del otro. Gracias a este proceso de transmutación Leibniz obtiene un primer resultado que le parece sorprendente: la Cuadratura Aritmética del círculo, es decir, obtiene el área del círculo mediante un número infinito de sumandos de números racionales. Esa cuadratura, para el círculo de radio unidad, viene dada en función de 71

1

1

1

1

= 1 --------1-------------- 1-----4 3 5 7 9

—

de donde se puede calcular el valor de n. El mismo Leibniz (MS V, 88-92) reconoce que se necesitan más de cien mil términos para obtener la aproximación de n con el valor que ya diera Arquímedes. Y se plantea,

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XLIII

con este motivo, un problema que hoy tiene vigencia absoluta: el de la rapidez en la convergencia de una serie. Posteriormente, en 1682, en A.E. dará una serie de mejor aproximación (MS V, 118-122). La cuadratura del círculo la había obtenido Wallis por una mezcla de inducción incompleta y manejo de series; resultado no conocido por Leibniz cuando co­ munica a los ingleses su cuadratriz aritmética y que hace que éstos reafirmen su creencia en la capacidad de rapiña del matemático alemán, al no conocer el pro­ ceso de transmutación seguido por éste.

CURVAS RACIONALES Y TRASCENDENTES

En este punto Leibniz plantea dos cuestiones de ab­ soluto interés. Por un lado insistirá en la potencia de su método al remarcar que si bien el valor de 7t se da mediante un desarrollo en serie numérico, es decir, mediante un valor aproximado estrictamente aritmético, el proceso de transmutación va más allá, posibilitando la cuadratura tanto de las curvas geométricas o de ex­ presión algebraica, como las indeterminadas o tras­ cendentes, sin recurrir para nada al desarrollo en serie. Y ello lo muestra obteniendo las cuadraturas de todas las curvas racionales conocidas —así, de las determina­ das, que divide en directas o parábolas y recíprocas o hipérbolas—, pero también de las trascendentes como la cicloide y ello sin suponer la cuadratura del círculo... Por otro lado, esto último implica una ruptura en la concepción del hacer matemático cartesiano, porque si este método permite cuadrar curvas cualesquiera es por­ que Leibniz rompe con la limitación establecida entre curvas geométricas y curvas mecánicas. La diferencia, ahora, la establece en nuevos términos: a las geomé­ tricas las calificará de racionales y son aquellas en que

XLIV JA V IER DE LORENZO los exponentes, aunque expresados por letras, están perfectamente determinados o definidos, como ocurre con las parábolas e hipérbolas, con los polinomios. Pero si se pone una expresión como x* + x = 30 y se pide el valor de x , entonces esta expresión —que numéricamente se satisface para el natural n = 3— ya no puede considerarse racional porque no es de grado definido o determinado, con lo cual el problema de hallar la x correspondiente deja de ser un problema lineal, plano, sólido, supersólido... Es un problema tras­ cendente porque no hay grado que no sobrepase. Desde el enfoque cartesiano la curva correspondiente es me­ cánica y debía eliminarse de la Geometría, de la Ma­ temática. Es arbitrariedad que Leibniz rechaza de modo tajante. Si los métodos cartesianos son impotentes para re­ solver ciertos problemas, no por ello hay que eliminar dichos problemas, sino ampliar los métodos o transfor­ marlos. Así, una cuestión como «Sea r* = ab*- *y calcular x» es imposible de resolver por los procedimientos car­ tesianos, estrictamente algebraicos; pero no deja de ser un problema matemático. Que, además, tiene solución; basta tomar logaritmos para obtener el valor de x y que es La - Lb x —-----------L e-L b Ello implica, evidentemente, una ampliación tanto de las cuestiones de que trata la Matemática como de los

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XLV

métodos de la misma. No sólo trata con problemas racionales y sus curvas de ecuación de grado deter­ minado —y con cuadraturas, por tanto, definidas— sino con problemas y curvas que son trascendentes, es decir, que no son de grado determinado —y con cuadraturas, por tanto, indefinidas— porque el mismo es desconocido. Estas últimas, sin embargo, son curvas perfectamente determinables mediante su expresión por ecuaciones y generables de modo continuo —ejemplo tipo, la ruleta o cicloide—. Por lo cual también po­ drán cuadrarse gracias al método de transmutación que, además, indicará cuándo tal cuadratura es algebraica y cuándo es trascendente. Con la advertencia de que no puede manejarse este tipo de problema con los méto­ dos cartesianos, equivalentes a los griegos, del sólo empleo de regla y compás.

EN RESUMEN

La visión del triángulo característico ha llevado a Leibniz a crear la regla o método de transmutación. Y ésta le ha conducido, precisamente, a romper los moldes estrictamente algebraicos que constituían la matemática «de precisión» de la época. Ello obligaba a la búsqueda de nuevos métodos apoyados en el ma­ nejo de los indivisibles o cantidades diferenciales o infinitésimos. Un método que, sin embargo, no quede en la apoyatura ingenua o meramente perceptiva de la imagen sensible o en la inducción incompleta como hacían los matemáticos anteriores al estilo de Cavalieri, Wallis, Barrow... Son procesos que realizados de esa forma carecen de toda solidez racional. Y lo que pre­ tende Leibniz es un método que formalice esas intui­ ciones, que pueda plasmarse en un algoritmo nuevo, es decir, un nuevo modo de sumar, restar, multiplicar,

XLVI

JA V IE R DE LORENZO

dividir, extraer, pero ahora referido a cantidades in­ comparables, es decir, a cantidades que son infinita­ mente grandes o infinitamente pequeñas comparadas entre sí. Es el algoritmo propio del Análisis de los in­ finitos y de los infinitésimos. Y es el algoritmo que se dedica a formalizar en los manuscritos ya mencionados del otoño de 1675 y pos­ teriores, enlazándolo con su idea de la Combinatoria. Y con este algoritmo es con el que Leibniz resuelve, desde 1675, todos los problemas básicos con los que se enfrentaban los matemáticos del xvn. Aunque ya mencionados, los que Leibniz llegará a citar como re­ sueltos —entre otros, agregará—, en cuanto a los temas ligados al estudio sobre las curvas, son los siguientes: trazado y cálculo de tangentes, dimensión o longitud de una curva, cuadratura de ésta, centros de gravedad de la línea y del área, dimensiones de las superficies y volúmenes de los cuerpos obtenidos al girar la curva alrededor de un eje... La potencia del triángulo característico va más allá, en el pensamiento leibniziano. Va a ser una de las cla­ ves, desde mi punto de vista, de toda su concepción metafísica. Es un triángulo infinitesimal que muestra una potencia creadora, dinámica, total porque encierra en sí, por semejanza con otros triángulos finitos, todas las propiedades inherentes a la curva. Infinitésimo o indivisible es por su agregación o suma, por la que puede obtenerse la superficie o área, el volumen de los cuerpos... Es el que va a posibilitar la justificación de toda la teoría posterior de las mónadas. Pero he dicho que, aquí, me autolimito al hacer estrictamente matemático —aunque es dudoso que exista tal hacer tan estrictamente...

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3.

XLVII

CARTA A OLDEMBURG DE JULIO DE 1677

Según los manuscritos citados, las ideas del Cálculo diferencial y sumatorio están perfectamente perfiladas en la mente y papeles de Leibniz desde 1675. En el otoño de este año lo comunica, oralmente, a Tschirnhaus. Y parecería que guarda celosamente su inven­ ción. Sin embargo, Leibniz la comunica también a los ingleses, al círculo de Newton. Y de manera casi com­ pleta, en 1677. Desde su primera estancia ha entablado correspon­ dencia con Oldemburg. En ella va dando cuenta de alguno de sus resultados y va pidiendo información respecto al trabajo de los matemáticos ingleses. Su carta de mayo de 1676 motiva, entre otras causas, que Newton se sienta obligado a escribir junto a los demás matemáticos ingleses, en respuesta tanto a Leib­ niz como a Tschirnhaus, en lo que se calificará pos­ teriormente como Epístola Prior. Esta lleva fecha de 23 de junio. Leibniz recibe la copia el 25 de agosto y contesta con fecha de 27 del mismo mes, mientras que Tschirnhaus responderá con fecha de 1 de septiem­ bre. La carta de Leibniz, entre otras cosas, indica la existencia de su método inverso de las tangentes y de que, con él, ha resuelto el problema de Beaune. La respuesta de Newton, o Epístola posteriory de octubre, no le va a llegar a Leibniz hasta mayo de 1677. En ella Newton ha mostrado su interés por la posible solución del citado problema y cree tener él la solución correcta y primera en el tiempo; la incluye en forma de mensaje cifrado. La respuesta de Leibniz, ya desde Alemania, es de 21 de junio, aunque la envía el 1 de julio y todavía le da tiempo a agregar otra carta a Oldemburg con fecha de 12 de julio. Me interesa destacar que, aquí, hace un auténtico resumen de sus trabajos y, en el fon­

XLVIII

JA V IER DE LORENZO

do, el ensayo Nova metbodus no va a ser más que una nueva redacción de esta carta. En ella indica que es gracias al empleo del triángulo característico como pue­ de superar los problemas que plantean las ecuaciones irracionales y explica en qué consiste dicho triángulo donde adopta «dx» como constante, aunque indica que dicha restricción es, en el fondo, innecesaria —descrip­ ción de triángulo característico innecesaria, según los ingleses, porque ya era bien manejado y conocido por ellos, especialmente por Wallis y Barrow...—. Da las reglas de diferenciación con ejemplos como dyi = 2ydj o d(xj) —y d x + x d y ... Obtiene la fórmula de la tan­ gente en un punto mediante el cociente dyjdx haciendo ver que tal expresión generaliza la regla de Sluse. Para ello, sorprendentemente, sustituye x e y por x + dx, y + dy, respectivamente, y hace llamada a la multipli­ cación de elementos infinitésimos entre sí, es decir, al postulado de incomparabilidad a la vez que a la con­ sideración de que una curva no es más que un agre­ gado de partes. Indica que su método es mucho más general que cualquiera de los existentes hasta entonces, porque puede aplicarse a las expresiones trascendentes; así, si se tiene x í, su diferencia es dxí = ^ x^ -1dxy y % puede tomar los valores que se quiera —naturales, racionales o irracionales...—. Recalca que los problemas formulables en lenguaje diferencial dan paso a ecuacio­ nes diferenciales y que, en este caso, son siempre cuadrables, para lo cual hay que utilizar el método de transmutación. Da el valor de la cuadratura aritmética del círculo, pero esta vez sin el empleo de la transmu­ tación. Finalmente, indica la generalidad de su método para lo cual no hay más que observar que el mismo permite el empleo del procedimiento inverso de las tangentes, es decir, posibilita resolver los problemas que Leibniz establece como del tipo: hallar una curva analítica cuyas longitudes sean proporcionales a las áreas

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XLIX

de una figura dada comprendida en una curva analítica. Y hace una pequeña observación: cree entender que, para Newton, el método inverso de las tangentes tiene una potencia menor que el de las series infinitas. Y es punto en el que muestra su total desacuerdo: su método es más potente que el de las series. Constituye, el párrafo anterior, un breve resumen de lo que Leibniz comunica a los ingleses en julio de 1677. En el fondo, toda su teoría. Y no basta indicar que, en esta comunicación, hay reservas en el sentido de que hay puntos que son oscuros y otros exigen del trabajo recreador de quien lee. Leibniz se dirige a ma­ temáticos creadores, o al menos ellos lo piensan así. De aquí que a esos matemáticos les sea perfectamente posible recrear todo lo comunicado, y más cuando sostienen que la teoría de Leibniz no es más que una copia, en otra notación, de las suyas. Para el lector actual he sido yo quien ha recreado, en las páginas anteriores, las ideas esenciales leibnizianas, para que pueda comprender no ya la Epístola como la resumida antes, sino el ensayo a que da paso, el Nova methodus. 4.

UN PERSONAJE: TSCHIRNHAUS

Ha aparecido un nombre, Tschirnhaus, que va a tener su importancia en la época y especialmente en el en­ tendimiento de uno de los ensayos aquí recogidos. En el otoño de 1675, por recomendación de Oldemburg, recibe Leibniz a este matemático, cinco años más joven que él. El conde E. Walter de Tschirnhaus ha estudiado en Leiden desde 1668, y no puede olvidarse que Leiden es el centro holandés donde más se trabaja la matemá­ tica de precisión, la Matemática en la línea cartesiana,

L JA V IER DE LORENZO geométrico-algebraica, con Schooten. En 1672, cuando Leibniz llegaba a París en su misión diplomática de paz, Luis XIV invadía las Siete Repúblicas y Tschir­ nhaus combate junto a los holandeses. Después, se li­ gará a Spinoza, ya en Amsterdam. Viaja a Londres en mayo de 1675 donde adquiere fama de buen algebrista. De allí, a París, donde aprende francés y vivirá de clases particulares a los nobles hasta que consigue ser nombrado miembro de la Academia de Ciencias fran­ cesa. A fines de octubre de 1675 Leibniz le habla de sus descubrimientos en la Geometría de aproximación, en el Análisis, que el conde no sigue con mucho entusiasmo dada su formación algebraica y su lejana admiración por Descartes. Con Leibniz lee los manuscritos sobre las Cónicas de Pascal y parece ayudar a la preparación de una posible edición de los mismos así como al en­ vío de los teoremas pascalianos a Oldemburg, escritos que, de modo inexplicable, se pierden. Pero sigue en su línea de algebrista. Precisamente el campo en el que aporta lo que hoy se califica como «método de Tschir­ nhaus» para simplificar una ecuación algebraica y obte­ ner su ecuación reducida. Es lo que publicará en A.E. desde 1682. En uno de esos ensayos reduce la ecuación x3 + p x + q = 0 mediante la transformada y = x2 + + ax + by con valores adecuados de a y a la ecua­ ción cúbica pura = c; de modo análogo, lo hace con la ecuación x4 + px 2 + qx + r = 0, reduciéndola a la bicuadrada j 4 + cy2 + e = 0. En lo que aquí nos afecta, y no entrando en la discusión con Leibniz acerca de si este método es apli­ cable o no a la ecuación de quinto grado, hay que señalar, por el momento, que los artículos que publi­ cará Tschirnhaus en A.E. llevarán como iniciales de autor D.T., lo que dará lugar a cierta confusión entre los matemáticos ingleses, que las ven como propias de

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Leibniz. Igualmente, señalar que es Tschirnhaus el más directo responsable de que los ingleses escriban la Epís­ tola prior, dado que es él quien envía a Londres una defensa apasionada de la obra matemática de Descartes, lo que hace que los matemáticos ingleses pretendan rebatirle indicando sus contribuciones que van más allá de la obra y metodología cartesiana. Y el resumen de tales contribuciones, en el que intervienen Pell y Collins, entre otros, además de Newton, constituye el contenido de dicha Epístola, que Oldemburg se encarga de hacer llegar a los dos matemáticos alemanes en París. En la posterior respuesta de Oldemburg a Tschirnhaus de 10 de octubre, y tras consulta a Wallis, se reconoce públicamente que el desarrollo aritmético de Leibniz de 7C/4 era desconocido por los ingleses. Finalmente, señalar que Tschirnhaus publicará en 1687 una obra, Medicina mentís, de gran difusión en Alemania, en la que unirá tesis de Descartes y Spinoza con especulaciones de carácter infinitesimal, lo que dará lugar a réplicas por parte de Huyghens y de Leibniz. 5.

Y LO EXTERNO

Y aquí incide la Historia externa: aunque Leibniz sigue trabajando en los temas del Análisis —entre otras muchas ocupaciones—, la muerte de Oldemburg en 1677 le deja sin corresponsal en Londres, sin un enlace realmente cordial en las Islas Británicas. Huy­ ghens ha abandonado París para recuperar una salud deteriorada y aunque vuelve en 1680, es vuelta muy breve: marchará definitivamente a Holanda en 1681 dado que el ambiente para los protestantes en París no es muy favorable, ni siquiera para el que se consi­ dera el mejor matemático viviente del momento. Se suma, a todo ello, una crisis económica europea, una más, que hace difícil la publicación de trabajos.

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Al fin, en 1682, Menken y Pfanz crean la revista Acta Eruditorum o, como se la denomina, Journal de Leipsic y piden colaboración tanto a Tschirnhaus como a Leibniz. Este inunda A .E. con sus «viejas» medita­ ciones, que no sólo comprenden temas estrictamente matemáticos. En particular, decide publicar, ante los rumores que comienzan a circular de que los ingleses le acusan de plagio en sus trabajos matemáticos, unos elementos de su nuevo algoritmo, del Cálculo de dife­ rencias porque no tiene tiempo, ni ganas, de hacer una obra completa sobre este tema. Esos elementos del nuevo Algoritmo de su Cálculo de diferencias com­ pondrán el ensayo Nova methodus. Completará con De Geometría recóndita, ya en 1686, dicho Algoritmo.

3. PARA UNA MEJOR COMPRENSION DE LOS TEXTOS En las páginas anteriores he intentado aclarar tanto la terminología que emplea Leibniz como los temas que él da por conocidos y que obligarían a una re­ construcción por parte del lector no avisado, o quizá a su desconcierto. Creo que podrían bastar para la lec­ tura, ya, de los dos ensayos aquí reunidos. En beneficio del lector añado unas notas más respecto a cada uno de ellos porque cualquier ensayo, aunque el tema pa­ rezca estrictamente matemático, obliga a una serie de lecturas, a tener en cuenta la elección de ejemplos, contra quién van dirigidos. Lo mismo que los elogios a los demás o las ironías. El hacer matemático, tan objetivo, tan abstracto y dogmático en el decir de quienes no han trabajado dicho hacer, o al menos no lo han seguido en una etapa de creación como la que aquí se pretende mostrar al lector...

A.

NOVA METHODUS

El título, completo, reza: Nova methodus pro maximis et minimisy itemque tangentibus, quae nec fractas me irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genusy per G.G.L. Aparece en A .E. correspondiente al mes de octubre de 1684 y comprende las páginas 467-

LIV JA V IER DE LORENZO 473, además de la página 466 que incluye las figuras a las que el texto hará referencia. En este ensayo, Leibniz expone su algoritmo de una manera pretendidamente formal, sin dar justificaciones del mismo. El enfoque combinatorio, el intento de una plasmación de una parte de la Caractheristica universalis de la que este cálculo formaría parte, es el que impera en la primera parte de la exposición. Las posibles justi­ ficaciones de las reglas quedan aparentemente ocultas, pero conociendo la posición de Leibniz no existe tal ocultamiento: acepta la existencia de magnitudes infini­ tesimales, infinitésimos o cantidades diferenciales junto a las restantes magnitudes. Cantidades infinitesimales o diferencias que son las que han de ser reguladas por su nuevo algoritmo. Leibniz maneja lo que hoy viene calificándose de Análisis no canónico, lo mismo que su predecesor en este terreno, Pascal. A pesar de ello, y quizá en consonancia con el en­ foque puramente operatorio que pretende dar a las mag­ nitudes infinitesimales, acepta que dx es constante, como en la carta citada a Oldemburg de 1677, aunque aquí no hace la salvedad de que es una restricción innece­ saria. Respecto al triángulo característico lo establece, en su relación con la curva total, atendiendo a que surge dy como cuarta proporcional, con lo que Leibniz pretende desligarlo, sin conseguirlo, de la representación geométrica, porque tal cuarta proporcional viene esta­ blecida, en el fondo, en términos de la subtangente. (Ver Fig. 2.) Formuladas las reglas de las diferencias, el párrafo dedicado al estudio correcto de los signos no es más que lo que hoy calificaríamos como estudio de una curva dada en forma explícita, señalando que los má­ ximos o mínimos vienen dados en los puntos cuya primera diferencia es cero aunque no la segunda, mien­ tras que un punto de inflexión es aquél en el que la

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segunda diferencia se hace cero, siendo un punto de inflexión aquel en el que la curva caoibia de conve­ xidad. Quizá más interesante sea observar dos aspectos: la elección final del problema de Beaune, y la elección de algunos ejemplos: — El primero supone, en el texto, una mera aplica­ ción de su nuevo método a un problema que se mostra­ ba difícil desde su planteamiento por parte de Beaune: obtener la ecuación de las curvas de subtangente cons­ tante. Aplicación inmediata, pero supone el plantea­ miento de una ecuación diferencial y su integración. La primera que aparece públicamente. Con ello indica la potencia de su método inverso de las tangentes que no requiere, como hacían los ingleses, del desarro­ llo en serie, impotente para el planteamiento y conse­ cuente resolución, de este tipo de problemas. Es, por tanto, una elección dirigida contra los matemáticos bri­ tánicos. Pero también, y de modo esencial en estos momentos, va dirigida a mostrar la impotencia de los métodos cartesianos algebraicos. Y Leibniz recuerda có­ mo el mismo Descartes no pudo hallar la solución al problema que, desde su método, se muestra trivial: las curvas de subtangente constante no son otras que las logarítmicas, pero estas curvas habían sido desterradas de la Matemática por los cartesianos por no ser algebrai­ cas. De esta manera la elección del problema de Beaune supone establecer: 1 ) la primera ecuación diferencial planteada y resuelta; 2 ) generalización de los proble­ mas a que tiene acceso la Matemática; 3) la ventaja de su método frente a los cartesianos y a los ingleses. — Respecto a la elección de los ejemplos también Leibniz se guía por una línea anticartesiana. No ya en el primero, largo y tedioso y que, en un primer ensayo resulta algo complejo, por lo que muestra una nula capacidad digamos «pedagógica», sino en el que

LVI JAVIER DE LORENZO aplica el Cálculo para obtener la ley de refracción. Si el primer ejemplo es estrictamente operacional y el de Beaune de ámbito matemático, este ejemplo enlaza su algoritmo con los problemas de la Mecánica, de la Filosofía de la Naturaleza. El tema había sido debatido ampliamente y la formulación de Descartes llegó a sus­ citar dudas en cuanto a un previo conocimiento de la fórmula establecida años antes, de manera estricta­ mente geométrica, por Snell. Fermat había entrado en debate contra los cartesianos originando polémica con de la Chambre, por ejemplo. La hipótesis de partida de Descartes se centraba en afirmar que la velocidad de la luz es mayor en un medio denso que en un medio enrarecido —el aire—. Contra esta hipótesis Fermat lanza en 1657 lo que establece como «principio de recorrido mínimo». En términos posteriores de John Bernoulli, este principio o hipótesis establece: «Un rayo de luz que pasa de un medio enrarecido a un medio denso se curva hacia la normal de tal manera que el rayo atraviesa el camino que es más corto en el tiempo». Fermat piensa que la fórmula que da la ley de refracción puede obtenerse fácilmente desde esta hi­ pótesis y atendiendo a su método de máximos y mí­ nimos. Pero sólo consigue establecer la fórmula de la ley en 1662 y autolimitándose a considerar el problema desde un enfoque estrictamente geométrico, planteán­ dolo como: hallar el camino de una partícula móvil que pasa a través de dos medios diferentes y que lo hace en el menor tiempo posible. Para sorpresa suya, obtiene la misma expresión que ya obtuviera Descartes con la hipótesis opuesta. A este tema de difracción también le dedicará sus trabajos y esfuerzos Huyghens. Y es a toda esta combinación de esfuerzos a la que se referirá Leibniz en el ejemplo citado, que le sirve para mostrar la potencia de su método ya que en tres líneas resuelve un problema que ha costado años de esfuerzo

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a los demás. En la resolución acepta el enfoque de Fermat, admitiendo el principio de mínimos. Principio que el mismo John Bernouilli calificará como «más bien metafísico», pero que se convierte en uno de los pilares del pensamiento de Leibniz —no sólo en el hacer matemático— y de las primeras aplicaciones de su Cálcu­ lo a los problemas físicos. De hecho, en este terreno, su primer gran logro será la obtención de la curva isócrona. Aceptado por los Bernoulli, permitirá la creación, además, de lo que posteriormente se califi­ cará como Cálculo variacional. En cuanto al tercero de los ejemplos, me basta in­ dicar que constituye una generalización de uno plantea­ do ya por Vieta con enfoque especioso, algebraico, y en el que el punto que cumplía las condiciones gene­ raba una cónica. B. DE GEOMETRIA RECONDITA Quizá presente más complejidad —no estructural, sí respecto a la Historia externa— para el lector actual, el ensayo segundo. El título, completo, reza: G.G.L. De Geometría recóndita et Analysi indivisibilium atque infinitorum, Addenda bis quae dicta sunt in A ctis a. 1684, Maji p . 233; Octob. p. 264; Decemb. p . 585. Corres­ ponde a A .E. de junio y comprende las páginas 292 a 300. Las siglas del autor encabezan este ensayo y el lector verá por qué en lo que sigue. Es un opúsculo que aprovecha la estructura de re­ censión de un libro para polemizar con dos matemá­ ticos, Craig y Tschirnhaus, y para agregar toda una serie de nuevas ideas, de una riqueza equiparable a las contenidas en Nova methodus. John Craig (1660-1731) publica en 1685, en Lon­ dres, un breve libro cuyo título traducido dice: Me'-

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todo para determinar la cuadratura de las curvas, parece ser que revisado previamente por Newton. En él, Craig emplea distintos métodos para resolver el pro­ blema de cuadraturas y, en el caso de que las curvas correspondientes se expresen mediante irracionales, dice utilizar el método de Leibniz. Pero en el libro se vierten una serie de acusaciones contra el matemático alemán en el sentido de que su método de indivisibles deriva de los trabajos de los matemáticos británicos, en espe­ cial de Wallis y de Barrow, sin que Leibniz lo haya hecho constar explícitamente en parte alguna. Además, Craig confunde a D.T. con Leibniz, por lo que tacha a éste de inconsecuente porque en un artículo de oc­ tubre de 1683 en A .E. mantiene una posición y en otro posterior, de mayo de 1684, pretende demostrar la contraria, cometiendo incluso un error de cálculo en esa demostración. Ello da motivo a Leibniz para, por un lado, precisar sus diferencias con D.T.; por otro, para indicar que Craig no ha entendido su nuevo Cálculo y, por ello, no puede manejarlo adecuadamente y que quien se equi­ voca es Craig; finalmente, hace una especie de historia para indicar que cuando ha tenido sus visiones, en 1675, y en París, no había leído ni a Wallis ni a Barrow y, de haberlos leído, no los hubiera comprendido dada su incompetencia en esa materia en aquella época. Respecto a los dos primeros puntos, y aunque Leib­ niz no indica que D.T. es Tschirnhaus, hace ver sus diferencias con éste. D.T. había publicado en A .E., en octubre de 1683, un ensayo sobre la determinación de las tangentes y sobre un método acerca de la cua­ dratura algebraica (definida) de curvas algebraicas (de­ finidas), que indica como original. D.T. pretende de­ mostrar que de la imposibilidad de la cuadratura inde­ finida se obtiene la imposibilidad de la definida; en otras palabras, la indeterminada de una figura alge­

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braica es algebraica si lo es una determinada de dicha figura. En mayo de 1684, Leibniz rebate esta afirmación en un artículo, De dimensionibus figurarum inveniendis —A.E., pp. 233-236—, mediante un contraejemplo: el de la lúnula cuya cuadratura total es racional pero la cua­ dratura de sus figuras parciales no es algebraica. En el desarrollo de este contraejemplo comete, sin embargo, un error de cálculo. Error que D.T. le hace ver en correspondencia privada y que, en el fondo, cree que invalida la respuesta leibniziana, por lo que mantiene su tesis. Leibniz, por el contrario, no da importancia a dicho error —que no la tiene— y replica en diciembre del mismo año con una nota Additio ad Shedam in A ctis proxime antecedentis maji —A.E.y pp. 585-587. Esta historia es la que viene a contar, un tanto resu­ mida y con leves puntas de ironía contra Craig, en la primera parte de De Geometría recóndita. Donde, además, corrige el error de cálculo, que también señalara Craig. Error que para nada afecta a la tesis central de Leibniz. Y respecto a la afirmación de Tschirnhaus en cuanto a la originalidad de su método, le basta recordar sus encuentros en París del otoño de 1675 y cómo ambos trabajaban en campos distintos: D.T. en el algebraico, él en el de los indivisibles o infinitos. Ver que ni Craig ni Tschirnhaus han entendido el Análisis de infinitésimos e infinitos y que, sin embargo, uno se lo apropia y el otro lo utiliza mal y, además, le acusa de plagio —suavemente, es cierto—, le con­ ducen a intentar una nueva exposición de sus ideas en el terreno de las magnitudes trascendentes, ahora no ya en el plano estrictamente formal como lo realizara en Nova methodus, sino en el terreno del discurso. Y lo primero que hace al tratar de tales magnitudes trascendentes es la demostración, nada menos, de la exis­ tencia de cuadraturas trascendentes. Lo que permite suprimir, y ya de modo definitivo, las especulaciones

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al estilo de D.T. Para ello Leibniz da la demostra­ ción, por vez primera en la historia, de la trascen­ dencia de las cuadraturas del círculo y de la hipérbola, es decir, de la trascendencia de J y/a2 + x2 dx. Su ar­ gumento se apoya en una reducción al absurdo: si es­ tas cuadraturas indeterminadas fueran determinadas, rea­ lizables algebraicamente, entonces habría una construc­ ción válida para dividir un ángulo en n partes iguales y para obtener sus potencias «-simas, con un n cual­ quiera. Demostrada la existencia de las cuadraturas tras­ cendentes, da un breve recuerdo de sus métodos: el inverso de las tangentes que, ahora, le permite esta­ blecer, incluso, el tipo de trascendencia de la curva; la regla de transmutación por la que puede reducirse la cuadratura de una curva de cualquier clase —al­ gebraica o trascendente— a la de otra previamente conocida. Como aplicaciones, y haciendo camino, Leibniz in­ cluye, por vez primera en la historia, la suma o cua­ dratura como recíproca de la diferencia, y con el mismo signo que hoy se maneja. Y lo hace resolviendo un teorema, que califica de teorema de Barrow, en cuya resolución ha fallado el mismo Craig, y precisamente donde dice utilizar el método leibniziano. Resolución que sigue exactamente el mismo proceso que el ya realizado en el problema de Beaune, pero ahora em­ pleando la suma, la cuadratura, de forma explícita. Resuelve, así, la segunda ecuación diferencial. Y, segunda aplicación, y también como de paso, Leibniz muestra cómo con su método pueden encon­ trarse las ecuaciones correspondientes a las curvas tras­ cendentes. El ejemplo tipo, la ruleta o cicloide, de la cual da, también por vez primera, su ecuación en forma explícita y en función de la suma. Y con ello termina, aparentemente, el núcleo del ensayo, pasando a una

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historia de la evolución del Cálculo, seguida de una historia de la evolución de sus propias ideas. Es una historia breve que le permite a Leibniz hacer una serie de precisiones: 1. Por un lado, que sólo después de haber descu­ bierto su método y, con él, haber obtenido una serie de resultados, encontró éstos en otros autores, entre ellos en Wallis y Barrow. De manera indirecta lo que hace es señalar las limitaciones de éstos frente a la ge­ neralidad de sus métodos, que le posibilita resolver problemas trascendentes y no sólo los algebraicos. Aunque la historia general es de elogios, no puede olvidarse este matiz. Ni tampoco la referencia a Newton, en la que exige la publicidad de sus trabajos porque no basta decir que uno posee métodos y des­ cubrimientos inéditos y sugerir de modo implícito que otros se los copian, sino que hay que mostrarlos; de elogios, pero constituye un requerimiento que hace en beneficio de todos, de la ciencia en general, y una posible defensa de la acusación velada de Craig, que es discípulo directo de Newton. 2. Por otro lado, señalar que este Análisis tras­ cendente maneja, realmente, tanto las magnitudes co­ nocidas —los números naturales, enteros, racionales, irracionales— como las magnitudes que califica de in­ finitésimos. Ya he señalado que es punto en el que Leibniz no se explica en estos ensayos, pero en ellos maneja lo que hoy se califica de cuerpo no-arquimediano. 3. Indicar la nacionalidad de algunos matemáticos y las influencias de unos sobre otros sin que las mismas constituyan acusación alguna, sino elogio merecidísimo para los descubrimientos. En lo primero es punto en el que interviene la historia externa y la importancia de ser alemán, británico, holandés, francés... De manera implícita, Leibniz reivindica Mercator para Alemania,

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dado que Wallis no lo especificaba claramente en sus trabajos. En cuanto a las influencias, si un discípulo como W. Neil (1637-1670) hizo la rectificación de la parábola semicúbica jp a = x 3 en 1657, Leibniz indicará que el holandés H. van Heurat (1633-1660), de Harlem, y discípulo de Schooten, también hace tal rectifi­ cación en 1659, tras el desafío lanzado por Pascal en 1658; y tras ese desafío, Wren también rectifica otra curva, ahora la cicloide...

4. DIFUSION Y ALGUNOS PROBLEMAS 1. El nuevo Análisis de los infinitésimos e infini­ tos, en la formulación de Leibniz, no parece encontrar, de principio, gran eco. Ya es tópico mencionar que los Bernouilli calificaron al ensayo Nova methodus como «un enigma más que una explicación» —MS 3—. Sólo Craig y Tschirnhaus dicen hacer uso del mismo, y ya se ve cómo. Las ideas básicas del matemático alemán no parecen ser bien comprendidas. Quizá ello se deba a que, hacia 1675-1686, sólo hay dos grandes matemá­ ticos en actividad creadora, Leibniz y Newton. Real­ mente los equiparables a ellos, los que les han abierto precisamente el camino, han constituido la generación precedente, y están fuera de servicio. En Italia, Torricelli había muerto en 1647. En Francia dos de sus mejores creadores, Fermat y Pascal, habían desapare­ cido en 1665 y 1662. Permanece en activo, en las islas Británicas, Wallis, pero aunque intenta seguir los nue­ vos trabajos, reconoce públicamente que ya no íestá en condiciones de hacerlo. También Huyghens, reacio al principio a la nueva concepción diferencial, pretlnde incorporarse pero no capta el verdadero contenido del método de Leibniz. Barrow había abandonado la cáte­ dra en beneficio de su discípulo y sucesor Newton para dedicarse, ya por entero, a la teología... Así, únicamente podía seguir a Leibniz su gran émulo británico, Newton y, a través de él, alguno de sus discípulos.

LXIV JA VIER DE LORENZO Sin embargo, hay cierto resentimiento contra el ma­ temático alemán, quizá por sus misiones diplomáticas, quizá por la primera impresión que causara en su viaje de 1673, quizá por su genio, quizá por la causa a la que volveré más tarde. El hecho es que los trabajos de Leibniz en A .E. son absolutamente silenciados en las Islas salvo la mención de Craig. Y no puede decirse que las ideas de Leibniz sean desconocidas para los británicos porque la Epístola de julio de 1677 les había dado toda la teoría y los artículos en A.E. no son más que la difusión pública de esas ideas, y también estos artículos eran conocidos y trabajados como se desprende del opúsculo de Craig. Sin embargo, en De Geometría recóndita Leibniz ha vuelto a señalar las limitaciones de la matemática car­ tesiana, las ventajas del nuevo Análisis respecto a la misma. El abate de Conti, en defensa de Descartes, replica. Lo que da motivo a que Leibniz lance un reto a todos los matemáticos: obtener la curva que describe una partícula móvil al aproximarse de modo uniforme al horizonte. Es reto de 1687. A él acude Huyghens con sus métodos tradicionales, el mismo Leibniz y Jacob Bernoulli (1655-1705). La solución de Leibniz es la curva isocrona que hoy lleva su nombre. Pero lo importante es el nombre de este último participante. Jacob ha leído los ensayos de Leibniz, ha pedido explicaciones y aclaraciones por carta. Y la búsqueda de la solución a este problema le convence respecto al nuevo método, le hace ver lo esencial del mismo y le convierte en uno de sus defensores. Aunque, al igual que su hermano John, prefiere la expresión de «cálculo integral», indicando que en este método lo que importa, realmente, es la búsqueda del todo a partir de sus diferencias, por lo que, para Jacob Bernoulli se presenta como más importante el problema inverso de las tangentes, por encima del proceso de cuadra­

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turas y, realmente, por encima del método ternario de Leibniz. Desde este enfoque la «suma» de Leibniz pasa a ser la «integral» —que es el término que ha llegado hasta hoy— con un matiz de operador inverso al ope­ rador diferencial, es decir, como la integral indefinida actual más que como la integral definida que es la que está subyacente en la noción de «suma». Jacob es quien enseña a su hermano el nuevo cálculo, a John (16671748), los dos primeros de la familia Bernoulli que destacarán en el hacer matemático durante varias ge­ neraciones. Y van a ser Leibniz y los dos primeros Bernoulli los grandes creadores, ya de modo definitivo, del Cál­ culo. Cierto que con tanteos, polémicas, rectificaciones... Pero como toda creación matemática, que jamás es una creación lineal, ni surgida como Venus... Los tres, especialmente los dos hermanos entre sí, en competencia no siempre limpia, no siempre cortés sino llena de improperios, denuncias y retos, plasman el Análisis en, al menos, dos grandes líneas: en la aplicación a problemas físico-geométricos; en la crea­ ción de la Geometría diferencial. • En la primera, se dan curvas como la isocrona de Leibniz y se modifican las condiciones en que la partícula se mueve haciendo que el medio, por ejemplo, posea una densidad inversamente proporcional a la ve­ locidad de caída de la partícula; surge la braquistócrona; se estudian la loxodroma con su posible apli­ cación a la navegación, la catenaria...; se trabaja en cuestiones sobre la resistencia de sólidos y líquidos, de las leyes armónicas de los movimientos planetarios; se plantean cuestiones acerca de isoperímetros... Y en este trabajo se muestra esencial el método inverso de tangentes, es decir, la posibilidad de plantear las cues­ tiones en ecuaciones diferenciales, lo que conlleva a la búsqueda de métodos de resolución de las mismas.

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• En la segunda, además de lo ya aportado por Leibniz en Nova methodus, donde se establece la con­ dición para que un punto sea de inflexión, se hacen unos aportes que quedarán posteriormente truncados, hasta finales del xvm , por la espectacularidad quizá de los resultados del primer grupo. En 1686 Leibniz habla del círculo de osculación —con el error de con­ siderar que se requieren cuatro puntos para su deter­ minación y sólo tras una advertencia de Jacob admite que basten tres—; se discute las evolutas y envolventes de una familia de curvas planas. John Bernoulli compu­ ta las tangentes a una curva plana y lo hace ejemplifi­ cándolo con la cicloide, la cisoide y la cuadratriz; introduce las coordenadas polares, halla los puntos de inflexión de la concoide y la versiera, habla del radio de curvatura y, siempre en polémica con su hermano Jacob, establece que los planos osculador y tangente a una curva alabeada, en el espacio, son perpendicu­ lares entre sí... En carta de John a Leibniz de 1698 aparece el término «trayectoria» de curvas, sean o no ortogonales en el plano... Entretanto, John encuentra un discípulo especial: Guillermo Francisco Antonio, marqués de L’Hópital (1661-1704). Miope, no puede dedicarse al ejercicio de la guerra y se convierte, entre otras actividades, en matemático, ligándose al círculo de Malebranche, que mantiene correspondencia con Leibniz, aunque en temas filosóficos; pero es grupo que sigue de cerca los desarrollos científicos e interviene en alguno de ellos, especialmente el propio Malebranche en la Optica. El marqués de L’Hópital hace un extraño contrato con John Bernoulli por el cual éste le enseña matemáticas y se compromete a no dar publicidad a sus descu­ brimientos sino a mostrárselos por modo exclusivo al marqués. De las lecciones recibidas por parte de John, el marqués publica lo que puede calificarse de primer

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libro de texto del Análisis. Pero libro de texto creador, realizado en el mismo momento en el que se está for­ mando la teoría. Desde este punto de vista es un texto fundamental porque es el que permite cristalizar dicha teoría y se convierte en la clave orientadora de todo el Análisis posterior. El libro es Analyse des infinitement petits y se edita en París, en 1696, doce años después del primer ensayo fundacional de Leibniz. No entro en la polémica de si el libro es enteramente original del marqués de L’Hópital o meramente la edición pública de las lecciones recibidas de John, aun­ que sí cabe indicar que el marqués es matemático y participa activamente en el desarrollo del Análisis. Cuesta Dutari ha reseñado que, entre 1684 y 1698, se publican 70 ensayos desarrollando el Cálculo infini­ tesimal en la línea leibniziana, además del libro del marqués de L’Hópital. Se deben agregar, entre 1699 y 1708, otros 33 artículos manejando el mismo Cálculo. A primeros del siglo xvm éste ha quedado definitiva­ mente como uno de los instrumentos clave del hacer matemático, incluso con deterioro o abandono de otras líneas, de aquellas que mencioné como creaciones des­ gajadas del hacer matemático del xvn. 2. Instrumento clave del hacer matemático, cierta­ mente. Pero con grandes problemas tanto en su fundamentación como en su misma estructuración. Me limito, aquí, a señalar alguna de tales dificultades. Hay que tener en cuenta que en el nuevo Análisis no se manejan de modo único las magnitudes «cono­ cidas» sino que se ha introducido un tipo especial de magnitud: el infinitésimo o indivisible o diferencial. Para Leibniz, dx o dy no representan magnitudes nu­ méricas del tipo de los números reales, sino otro tipo de magnitudes, infinitésimos que, si bien poseen el mismo estatuto que los restantes números, siguen leyes for­ males o algoritmos algo distintos. Algoritmo que es

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el que pretende establecer, en el nuevo Cálculo dife­ rencial, Leibniz. Por este distinto tipo de orden de magnitud se tiene, por ejemplo, que una ecuación di­ ferencial no pueda interpretarse como se hace en la ac­ tualidad : como ecuación numérica cuya solución viene dada por una cuaterna de números reales, sino por una cuaterna en la cual se encuentran dos magnitudes reales y dos infinitesimales. La introducción de estas nuevas magnitudes no se muestra como muy clara para los matemáticos del mo­ mento, ni para los posteriores, dado que su represen­ tación perceptiva, gráfica, se hace imposible y, al hacerlo mediante la gráfica del triángulo característico se pro­ voca un engaño al «ver» dicho triángulo con lados numéricos, finitos, cuando los mismos son diferencias. Para un Pascal, para un Leibniz, el infinitésimo es un elemento que impone la razón conceptual, como el punto en el infinito, aunque no lo capte el entendimiento. Y lo que puede hacerse es dar una justificación y expli­ car unas reglas de manejo de tales nuevas magnitudes y su enlace con las antiguas. Pascal dio esa justificación mediante el principio de incomparabilidad o postulado recíproco del postulado eudoxiano-arquimediano, y Leibniz acepta dicha justificación según se desprende de algunas de sus cartas, a la vez que formula las reglas de manejo de las diferencias. Los demás matemáticos, incluso el propio marqués de L’Hópital en su tratado —o John Bernoulli—, seguirán ligados más bien a lo perceptivo y no a lo formal y verán el triángulo característico como forma­ do por magnitudes reales «muy pequeñas», pero numé­ ricas, y que tienden a cero cuando dx o el «incre­ mento» de la variable independiente se haga cada vez más pequeño. En este aspecto, identifican las diferen­ cias, los infinitésimos, con magnitudes reales y por ello el mecanismo se convierte en dar incrementos a la va-

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riable independiente, incrementos que, una vez sumados y comparados entre sí, pueden llegar a desvanecerse, no se sabe muy bien por qué, al ser magnitudes nu­ méricas. Y es a estos últimos, a quienes no han comprendido la base ontológica de la clasificación pascaliana de mag­ nitudes homogéneas o numéricas y magnitudes no homogéneas o indivisibles, que sí comprendió Leibniz, a los que cabría acusar de falta de rigor, en cuanto a una fundamentación estricta del Análisis que manejan, al emplear los reales y los infinitésimos como si fueran del mismo orden de magnitud. Falta de rigor que Nieuwemtijdt achacará a Leibniz ya en 1695 y que será retomada, con mayor motivo, por Berkeley, pero éste en ataque a las fluxiones newtonianas... Elemento de fundamentación del Análisis que, por la continua crítica a que se sometió, hizo que los infini­ tésimos fueran desterrados del hacer matemático, tras una aparente aceptación por parte de Cauchy —quien, sin embargo, lo que admite es la existencia de mag­ nitudes reales constantes y magnitudes reales varia­ bles—. Destierro desde mediados del siglo xix por parte de los aritmetizadores del Análisis y por parte de Cantor desde la creación de su Teoría de conjuntos. Destierro por el cual la magnitud diferencia o infini­ tésimo se identifica con el operador diferencial, lo que supone un cambio conceptual absoluto respecto a las ideas de Leibniz. Cambio conceptual ya propiciado, por otra parte, por la inflexión que los hermanos Ber­ noulli dieron a ese cálculo, al estar más preocupados, por los resultados que por los fundamentos. Por otro lado, para un lector actual habrá sorpren­ dido, quizá, que en todo este Ensayo introductorio no haya utilizado términos como «límite» o «función». Y no los he mencionado porque son términos que no aparecen en la literatura matemática del xvii y no he

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JAVIER DE LORENZO

querido «traducir» tal literatura a la notación matemá­ tica posterior. En el caso de «límite», no sólo el término, sino el concepto al que hace referencia, es desconocido en el x v i i . Unicamente a partir de los desarrollos en serie, en la corriente británica, es como la noción de límite va a ir apareciendo, ligándose a esa torcida interpretación del triángulo característico, que he indicado antes, en la que aparecen magnitudes numéricas «muy pequeñas» que se aproximan a... Sin embargo, la noción de límite exige de la previa existencia del concepto «función». Y este último sólo cristalizará a finales del siglo xvii apoyado en el enfoque cartesiano —identificación de curva con ecuación— y en el analítico donde la noción de «curva» hace el papel, en cierta manera, de «fun­ ción». Es Leibniz quien va variando, precisamente, la noción de curva en el sentido de distinguir en su expre­ sión analítica —sea algebraica o trascendente— la exis­ tencia, por un lado, de unos «parámetros» a, by c... o ingredientes constantes y que no son diferenciales, y por otro lado, de la abscisa y ordenada o coorde­ nadas de los puntos de la curva y que sí son di­ ferenciales. Y la expresión que relaciona éstas, «varia­ bles», es la expresión de la relación funcional o ecua­ ción. Y es lo que se plasma, ya, en De geometría re­ cóndita. Después, en 1692 —MS V, 266-269— emplea el término función para la curva, con sus «constantes» y «variables». John Bernoulli, en 1697, toma el mismo enfoque y adopta la frase de Leibniz, «función de x» para designar una cantidad formada por constantes y variables, y ello de cualquier manera, es decir, cubrien­ do lo algebraico y lo transcendente. Leibniz, en su Historia —MS V, 392-410— utiliza «función» para in­ dicar cantidades que dependen de una variable. Y John llegará a escribir X o \ para la función general de x, notación que cambia hacia 1718 por cpx.

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Sólo lentamente, y siempre mediante la admisión de la curva como idéntica a su ecuación, y del paso de ambos conceptos al nuevo enfoque de relación funcio­ nal entre las variables que intervienen en dicha ecua­ ción, puede considerar Leibniz no ya las curvas sino las funciones trascendentes como la logarítmica, las trigonométricas, la exponencial... Sólo después de un cambio conceptual que conduce al establecimiento de «función» que exige la relación entre, al menos, dos variables a través de su expresión característica, podrá hablarse, ya con sentido, de la noción de límite de una función en un punto. Y es algo que los historiadores no parecen tener en cuenta y prefieren «traducir» las expresiones de los ma­ temáticos del xvn a expresiones de límites de funciones, cuando son términos que carecen de sentido en esta época. Al no manejarse los mismos se llega a calificar a esta Matemática, a la calificada por Descartes como de aproximación, como de no rigurosa, ni bien funda­ mentada. Y ello sólo sería correcto si el único criterio de medida valorativa fuera, precisamente, el concepto de límite. Lo cual, por supuesto, no es cierto. Y tan no lo es que Leibniz pudo crear su Cálculo sin necesidad del mismo. Eso sí, manejando otros criterios: básica­ mente, haciendo uso de cantidades tanto numéricas o reales, como no numéricas o diferenciales.

5.

ULTIMA CITA

Leibniz murió en 1716, el 14 de noviembre. Sólo su secretario acompañó al féretro a la tumba. Un año después, en 1717, la Academia de Ciencias francesa le rindió homenaje. En el terreno matemático tuvo la for­ tuna de encontrar en los miembros de la familia Ber­ noulli a sus auténticos émulos. Pero también tuvo la desgracia de ser alemán y encontrarse al servicio de la casa Hannover, de la cual saldría un rey para los in­ gleses, y entre éstos tuvo la desgracia de encontrar un enemigo de su misma talla como matemático, quizá no como persona, Newton. Si desde el principio no fue muy bien acogido en las islas Británicas, Leibniz continuará provocando las desconfianzas en los matemáticos de esas islas según va publicando sus ensayos. Fundamentalmente, en New­ ton. Es en 1698 cuando, después de muchas acusa­ ciones por parte de los partidarios de éste contra el matemático alemán, se hará la acusación, ya de modo oficial, de «plagiario de Newton». Incluso se celebrará un juicio académico para demostrarlo, sin que le per­ mitan a Leibniz defenderse mínimamente. Comienza, así, una polémica que ha permanecido abierta hasta ahora, a pesar de la edición de los ma­ nuscritos de Leibniz y de los escritos de Newton. Polémica estéril, se ha dicho, aunque por la cantidad de trabajos que ha posibilitado y sigue posibilitando,

LXXIV JA VIER DE LORENZO principalmente en tesinas y tesis doctorales, no parezca muy cierta tal esterilidad... Polémica por la cual, y es futurible, se impidió un mayor desarrollo del hacer matemático; se afirma que provocó una paralización que perjudicó, principalmente, a los propios ingleses... Actualmente, y en juicio salomónico, se indica que ambos fueron, auténticamente, los creadores del Cálcu­ lo diferencial sin tomar uno del otro nada; que Newton, sin embargo, lo construyó primero; pero que Leibniz se anticipó en la publicación y, además, lo hizo con una notación mucho mejor que la de Newton. Juicio salomónico que, como todo juicio, puede ser recusado. Porque de lo que se trata en la creación del Cálculo no es de una notación más o menos ade­ cuada, sino de las concepciones subyacentes a las mis­ mas. Y aquí cabría decir que los ingleses tuvieron una venda en los ojos, siguiendo la metáfora de Leibniz respecto a Pascal: no vieron el Cálculo diferencial y sumatorio, el Análisis de los infinitamente pequeños y de los infinitos. Y al igual que Pascal no vio el método inverso de las tangentes en su triángulo ca­ racterístico porque su preocupación era otra y no an­ daba buscando tangentes, los ingleses tampoco vieron el Cálculo diferencial porque su preocupación iba por otra línea. Los matemáticos británicos estaban orientados con­ ceptualmente por la idea que Newton expusiera contra Leibniz: las curvas no están compuestas de partes sino que fluyen continuamente. De aquí que esa curva, en cuanto a su expresión analítica, tuviera que desarrollar­ se en serie, donde los infinitos sumandos dan el total. Este enfoque exigía, ciertamente, el manejo de fluentes, fluxiones y sus momentos... en un cálculo que, aparen­ temente y sólo aparentemente, podía interpretarse como igual al de las diferencias salvo en la notación. Pero es un enfoque en el cual se presenta muy difícil plan­

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tear y resolver problemas que exigen no ya la diferencial o la suma sino el enlace mediante su representación diferencial y la resolución de ésta. Por el contrario, el enfoque conceptual de Leibniz era combinatorio y global, opuesto radicalmente a esta noción de fluxión y de aquí su no buen manejo y, en el fondo, repulsa, por el desarrollo en serie: la curva estaba dada en su totalidad tanto en su componente de magnitudes numéricas como en sus componentes infinitesimales; por tanto, podía pasarse de una curva a sus partes y, de éstas, al total, sin que hubiera que agregar fluente o parte alguna. Y la unidad del total y sus partes venía dada por el triángulo característico que encerraba en sí el método inverso de las tangentes y el de transmutación; es decir, el triángulo caracte­ rístico encerraba la posibilidad de establecer esos en­ laces a través de la ecuación diferencial asociada. Es en esta unidad ontológico-metodológica en la que insistirá Leibniz en sus exposiciones, en su carta de julio, en sus ensayos. Unidad que se plasma en un proceso de tres etapas: expresión de un problema en diferencias mediante el triángulo característico —paso a su ecuación diferencial, donde se agregan las con­ diciones especiales que se establezcan en el enuncia­ do— resolución de esta ecuación mediante la suma o integral. Los matemáticos británicos no ven la esencia del método de Leibniz ni, por supuesto, el cambio concep­ tual que implica respecto a los métodos de indivisibles y de los desarrollos en serie que ellos manejan y que creen que maneja Leibniz. De aquí que no vean la unidad de esas tres etapas ni el papel que en el enfo­ que leibniziano tiene la resolución de las ecuaciones diferenciales, pensando que toda la clave del método in­ verso de las tangentes se centra en pasar de la di­ ferencia a la suma y de ésta a la primera, lo cual

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JAVIER DE LORENZO

puede hacerse igual mediante el desarrollo en serie. De aquí el fallo de Craig —y de Newton si es que revisó el opúsculo— al intentar resolver el teorema de Beaune a pesar de que llega a la expresión di­ ferencial del mismo, como hace notar Leibniz. El propio Newton no emplea para nada las ecua­ ciones diferenciales en su Philosophia naturalis principia mathematica, que publica en 1687, diez años después de recibir la carta de Leibniz de julio en la que éste expone su método y advierte su diferencia respecto al método de desarrollos en serie. Método, en el cual Newton es un virtuoso, que se limita a establecer el desarrollo para poder integrar término a término los monomios correspondientes: falta la visión tanto del segundo elemento constitutivo del método de Leibniz como la unidad de su proceso ternario. Una vez que Leibniz y los Bernoulli resolvieron una serie de problemas, de los que he calificado antes como físico-geométricos, que eran los que, además de su espectacularidad, afectaban a la escuela newtoniana, dado que ésta pretendía realizar una verdadera filoso­ fía de la naturaleza, los ingleses se dieron cuenta de la existencia del nuevo algoritmo. Sólo entonces captaron que no era el simple método de los indivisibles o de la inducción incompleta o el paso de una expresión a su diferencial o a su suma, sino que había otro método conceptualmente diferente. Y pretenden acudir a este terreno manteniendo sus propias nociones de fluxiones, fluentes, momentos, adaptándolas al nuevo cálculo. Adaptación apoyada en unos escritos previos de Newton, leídos ahora a la nueva luz de otro en­ foque conceptual diferente. Incluso señalando la exis­ tencia de tablas de integrales y diferencias así como de ecuaciones diferenciales. Y se llega a decir que la gran obra de Newton, su Philosophia naturalis se apo­ yaba totalmente en la nueva concepción pero que su

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exposición la hizo Newton de manera euclídea en be­ neficio del rigor... Mecánica newtoniana que tendrá que ser transformada, de modo radical, por Euler, para que en ella encajen, precisamente, las leyes de Newton en su formulación diferencial porque el espí­ ritu de la misma no iba en este camino. Adaptación realmente difícil por la exigencia del cambio conceptual, y consiguientemente expositivo, que se exigía y que impedía la formulación y resolución de los problemas tal como los estaban planteando en el Continente. La impotencia, unida al genio, quizá posibilitaran la envidia y, con ella, la acusación difa­ matoria que los matemáticos lanzaron contra Leibniz. Impotencia en esa adaptación y que produjo lo que he mencionado como estancamiento de la matemática británica. Estancamiento que no se debe, como se in­ siste reiteradamente, a la notación, sino al enfoque conceptual y los métodos subsiguientes del hacer ma­ temático. Elemento conceptual que marca, realmente, la dife­ rencia entre las concepciones de Newton y las de Leib­ niz. Y este es un campo en el que la historia verda­ deramente interna, la de la búsqueda y precisión de esas diferencias conceptuales, tiene su labor. Y, sin embargo, la historia que ha predominado es la externa: contar la polémica muchas veces, pero sin estudiar ese fondo conceptual a fondo. Historia externa inclinada, en su mayoría, por algo el británico ha sido imperio, por el mítico Newton.

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ANALISIS DE LOS INDIVISIBLES E INFINITOS

UN NUEVO METODO PARA LOS MAXIMOS Y LOS MINIMOS, ASI COMO PARA LAS TANGENTES, QUE NO SE DETIENE ANTE LAS CANTIDADES FRACCIONARIAS O IRRACIONALES, Y ES UN SINGULAR GENERO DE CALCULO PARA ESTOS PROBLEMAS Sea un eje AX (Fig. 1) y varias curvas como KK, WWy YY, ZZ, cuyas ordenadas, normales al eje, VX, WXy YX, ZX, se llaman respectivamente «r», «m>y «y»y «!{>>; y la abscisa AX del eje se llama «x». Las tangentes VBy WCy YDy ZE encuentran al eje respec­ tivamente en los puntos B, C, D, E. Ahora cualquier recta añadida arbitrariamente se llama «dx»y y la recta que es a «dx» como «v» (o «w»y o « j» y o «^») es a VB (o WCy o YDy o ZE) es llamada «dv» (o «dw»9 o «dy», o o diferencia de las «v» (o de «w»y o «y», o «£»). Aceptado esto, las reglas del cálculo serán las siguientes: Si a es una cantidad constante dada, será: da = 0 y

d{ax) —a dx Si y = v (o una ordenada cualquiera de la curva Y Y,

4 G. W. LEIBNIZ es igual a cualquier ordenada correspondiente de la cur­ va VV) será: dy = dv

Adición y sustracción: si es ^ —y + iv + x = v sera

ANALISIS INFINITESIMAL

5

Multiplicación: d(xv) = x dv + v dx o poniendo y = xv, será dy = x dv + vdx Es arbitrario poner la fórmula como «xv» o abrevia­ damente una letra en su lugar, como «y». Ha de no­ tarse en este cálculo que «x» y «dx» han de ser tra­ tados del mismo modo que «y» y «dy» o cualquier otra letra determinada con su diferencial. También ha de notarse que no siempre es posible la vuelta desde una ecuación diferencial, sino con cierta precaución, a lo cual volveré. División: ¿ i ( o poniendo < = i l ) = y \

y

/

f

En cuanto a(l uso correcto de) los Signos ha de notar­ se lo siguiente: cuando en el cálculo, en lugar de la letra simplemente se pone su diferencial, se mantienen por —^ los mismos signos, y por + 3; se escribe se escribe —dv^ como se muestra en la adición y sus­ tracción poco antes expuestas; pero cuando se llega a la interpretación de los valores, o cuando se considera la relación de «£» con «x», entonces hay que demostrar si el valor de la «d%» es una cantidad positiva, si menor que nada o negativa: lo que sucede en otra ocasión cuando la tangente ZE se lleva desde el punto Z no hacia A , sino hacia las partes opuestas o debajo de X, esto es, cuando las ordenadas «£» decrecen creciendo «x». Y puesto que las ordenadas «v» unas veces crecen,

6 G. W. LEIBNIZ otras decrecen, «dv» unas veces será una cantidad posi­ tiva, otras negativa y en el primer caso la tangente KjB va hacia A ; en el segundo V2B hacia las partes opuestas: pero ninguno de los dos casos sucede en la po­ sición intermedia Ai, en cuyo momento las «r» ni crecen ni decrecen, sino que permanecen en su estado, de tal modo que dv = 0, donde no importa que la cantidad sea positiva o negativa, porque + 0 = —0 ; en este punto la «r», y por tanto la ordenada LAÍ, es má­ xima (o si vuelve la convexidad hacia el eje, mínima) y la tangente a la curva en M ni se lleva por encima de X hacia las partes A y se aproxima al eje en ese lugar, ni por debajo de X hacia las partes opuestas, sino que es paralela al eje. Si «dv» es infinita respecto a «dx», entonces la tangente es perpendicular al eje o es su propia ordenada. Si «dv» y «dx» (son) iguales, la tan­ gente forma un ángulo semirrecto con el eje. Si cre­ ciendo la ordenada «v», crecen también sus propios in­ crementos o diferencias «dv» (o si siendo «dv» positivos también son positivas las diferencias de las diferencias «ddv», o siendo negativas, son también negativas), la curva vuelve la convexidad al eje; en otro caso, la con­ cavidad: donde verdaderamente el incremento es máxi­ mo o mínimo, o donde los incrementos de los decre­ cimientos llegan a ser crecientes o al contrario, allí hay un punto de flex ión contrario, y la concavidad y la con­ vexidad se intercambian entre sí, con tal que las orde­ nadas no lleguen a ser allí decrecientes de los creci­ mientos o al contrario, pues entonces la concavidad o la convexidad permanecerían: pero no puede ser posi­ ble que los incrementos continúen creciendo o de­ creciendo mientras las ordenadas se hagan decrecientes de crecientes o al contrario. Así pues, tiene lugar un punto de inflexión contrario, cuando ni «v» ni «dv» son 0, y sin embargo «ddv» es 0. De donde un problema de flexión contraria no tiene dos raíces iguales, como

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un problema de máximo, sino tres. Y todos estos casos dependen del recto uso de los signos. Sin embargo, han de usarse a veces Signos ambiguos, como en la división anterior, antes de que se vea clara­ mente cómo deben ser explicados. Y ciertamente, si creciendo «x», crecen (decrecen) v[yy los signos ambiguos en d{v[y)o en (± v d j + jd v)íy* deben ser explicados de tal manera que esta fracción sea una cantidad positiva (negativa). Sin embargo + significa lo contrario del mismo - f , de forma que, si esto es + , aquello es —, o al contrario. Y en el mismo cálculo pueden ocurrir varias ambigüedades que distingo en los paréntesis; por ejemplo, si fuera

sería

± vdj+ jdv

(±]ydz( + )zdy

Z2 + ((í) ) y ¿ K ( + ) W * _ dttl. & algunas ambigüedades surgidas de diferentes encabe­ zamientos quedarán mezcladas. Ha de notarse que cuan­ do un signo ambiguo es llevado contra sí mismo da + , contra su contrario da —, contra otro ambiguo forma una nueva ambigüedad dependiente de ambos. Potencias: dxa = axa~\ dx. Por ejemplo: dx* = 3X2 dx

8 G. W. LEIBNIZ Por ejemplo, si 1 . - dx w — — , entonces dw = —3 — .

Raíces: d t f s = — d x ! j x a- i b (de aquí d ^ fy = dj/2^/j porque en este caso «a» es 1 y «b» es 2 ; luego (a/b) d x l j es (l/2 )x/ j“ 1; ahora j "-1 es lo mismo que 1 ¡y según la naturaleza de los exponentes de la progresión geométrica, y \ f\ ¡y es v iB )

^

1

—adx

y ?

b t¡7 + b '

Bastaría la regla de potencia entera para determinar tan­ to las fracciones como las raíces, pues la potencia es una fracción cuando el exponente es negativo y se trans­ forma en raíz cuando el exponente es fraccionario; pero preferí deducir estas consecuencias, antes que sean deducidas por otros, cuando son absolutamente genera­ les, y ocurren con frecuencia, y en un tema implícito posibilita tratarla con facilidad. Del conocimiento de este Algoritmo, así lo llamo, o de este cálculo, que llamo diferencial, pueden obtenerse todas las otras ecuaciones diferenciales por medio del álgebra común, y los máximos y mínimos, así como pueden obtenerse las tangentes, de tal forma que no sea necesario separar las fracciones o los irracionales u otros vínculos, como, sin embargo, debía hacerse según los Métodos hasta ahora publicados. La demostración

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de esto será fácil para uno versado en estas materias y que considere este punto que no ha recibido bas­ tante atención hasta ahora, que «dx», «dy», «dv», «dw», «d!{>> pueden ser consideradas como proporcionales a las diferencias momentáneas, ya sea con incremen­ tos o decrecimientos, de «x», «y»y «v», «w», «^» (ca­ da uno en su orden). De aquí que pueda escribirse con cualquier ecuación propuesta su ecuación diferen­ cial, lo cual se consigue en cualquier miembro (esto es, en la parte que coincide con sólo la adición o sustrac­ ción para constituir la ecuación) sustituyendo simple­ mente la cantidad diferencial del miembro por otra can­ tidad (que no es la misma para el miembro, sino que concurre para formar el miembro) añadiendo su can­ tidad diferencial para formar la cantidad diferencial del mismo miembro, no sin más, sino según el Algoritmo propuesto hasta aquí. Pero los Métodos publicados hasta ahora no tienen tal paso, pues generalmente añaden una recta como DX, u otra de esta naturaleza, pero no una recta «
10 G .W . LEIBNIZ cantidad trascendente, por ejemplo, la ordenada de una cicloide, la cual entra en el cálculo mediante la orde­ nada «£» de otra curva, y se determinará «d^» por «¿y», que da la tangente de la cicloide. Sin embargo, la propia tangente de la cicloide, si se supone que to­ davía no se ha obtenido, puede encontrarse del mismo modo con el cálculo a partir de una propiedad dada de las tangentes del círculo. Es oportuno proponer un ejemplo del cálculo, donde se observa que aquí designo la división de este modo «x\y», lo cual es lo mismo que «x» dividido por «j» o x¡y. Sea dada la ecuación primera x'-J + + bx){c —x2):(ex + /x 2)2 + + üX\Jg2 + J 2 + y 2 \y/h2 + Ix + mx2 = 0 , expresando la relación entre «x» e «j» o entre AX y XYy supuesto que sean dadas «a»> «¿», «r», «¿», «g», «A», «/», «m»; se busca un punto dado Y desde el que trazar la tangente YD a la curva, o se busca la razón de la recta DX con la recta dada XY. Para abreviar, escribamos en lugar de a + bx, «n»; «p» en lugar de c —x 2; «q» en lugar de ex + /x2; «r» en lugar dc g 1 + J 2; «s» en lugar de ti2 + Ix + mx2. Se tendrá x -j + n p -.f +

+ /\/7=

0

Esta es la segunda ecuación. Según nuestro cálculo re­ sulta: d (x y ) = (± x d j + jd x ) \ f, y, de la misma forma, dtypiq2) = ( ± 2 npdq + q(ndp + pdn)):(f> d(axyjr) = (
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Todas estas cantidades diferenciales desde d{x:y) hasta d{y2-\\J~s)i sumadas, hacen 0, y de este modo darán la tercera ecuación, pues así en los miembros de la se­ gunda ecuación se sustituyen las cantidades por sus di­ ferenciales. Ahora «,dn» es «bdx», y «dp» es —2x d x y y dq = ed x + 2 fx dxy dr = 2ydy, ds = Idx + 2 mx dx. Con estos valores sustituidos en la tercera ecuación, se tiene la cuarta ecuación, donde las cantidades diferen­ ciales que permanecen solas, naturalmente, «dx»> «dy», siempre se encuentran fuera de los numeradores y los vínculos y fuera del único miembro que es afectado por «dx» o por «dy», conservada siempre la ley de los homogéneos hasta estas dos cantidades, por complicado que sea el cálculo; de aquí siempre puede ser obtenido el valor de dx:dy o de la razón «dx» a «dy», esto es, de la DX propuesta a la XY dada, con lo que esta razón en nuestro cálculo (convirtiendo la cuarta ecua­ ción en Analogía) será: (,dx es a dy) como + x :y + ax jtiy/ r ± 2y\sfr es a + l\y ± 2»P(* + + aj~ r

+ ( “ 2nx + pfy'-q1 + + 2m x):2syfsm

Con lo cual, dados los «x» e , «q», «r», «j» por «x» e «y». Por tanto se tiene lo buscado. Y añadimos este ejemplo bastante com­ plicado para que el modo de usar estas reglas supe­ riores sea evidente en un cálculo algo difícil. Ahora es preferible mostrar el uso en ejemplos más evidentes para el intelecto. Sean dados dos puntos C y E y una recta SS en el mismo plano, con ellos; se busca un punto F en la

12 G .W . LEIBNIZ recta SS tomado de tal manera que unidos CF, FE, la suma de los rectángulos multiplicados CF con la cantidad dada «h» y FE con la cantidad dada «r» sea la mínima de todas las posibles, esto es, si SS es la separación de dos medios, y «h» representa la densidad del medio de la parte C, como el agua, y «r» la den­ sidad del medio de la parte E, como el aire, se busca un punto F tal que el camino de C a E a través de F sea el más fácil de todos los posibles. Supongamos que la suma de todos estos posibles rectángulos, o todas las dificultades de los caminos posibles, son repre­ sentados por los mismos KV, ordenadas normales de la curva VV a la recta GK, a las que llamaremos co, y se busca la mínima de los mismos, NM. Puesto que se dan los puntos C y E, se darán las perpendiculares a SS, naturalmente CP (que llamaremos «r») y EQ (que llamaremos «e») y además PQ{«p»)\ llamaremos «x» a jQF, que es igual a GN (o AX), y a CF, «/»; a EF, «g»; será FP, p —x ; f = y j c2 + p 2 —2/>x + x 2, o abre­ viadamente y j l , y g = > /? + ^2, o abreviadamente m. Por tanto, tenemos

la ecuación diferencial de esta ecuación (supuesto que d(ü sea 0, en el caso de mínimo) es: 0 = + h d l\ 2 yjl + r dm\2sfm, según las reglas de nuestro cálculo dadas; ahora «di» es —2dx (p —x) y dm = 2x d x ; luego es: K p -x ):f= r x :g . Si ahora esto se aplica a la Dióptrica, se pondrán «/» y <
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manece en el punto F tan grande como se ponga la longitud de la recta CF, será h(p —x) = rx , o h :r = = x :p —x o «h» a «r» como Q F a FP, esto es, el seno de los ángulos de incidencia y refracción FP y Q F serán recíprocos a «r» y «¿», densidades de los medios en los cuales se produce la incidencia y la refracción. Esta densidad no ha de ser comprendida respecto a nosotros sino respecto a la resistencia que hagan los rayos a la luz. Y se tiene así la demostración por el cálculo, realizada por nosotros en otra parte de estas mismas Actas, cuando exponíamos el fundamento ge­ neral de la Optica, Catóptrica y Dióptrica. Lo que otros doctísimos varones han investigado con muchas dificul­ tades, el conocedor de este Cálculo lo ha obtenido en tres líneas.

Fig. 2.

Todavía mostraré otro ejemplo. Sea una curva 133 de tal naturaleza que desde uno cualquiera de sus puntos, como 3, se llevan hacia seis puntos fijos en el eje pro­ puesto, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, seis rectas, 34, 35, 36, 37, 38, 39, siendo la suma de las rectas igual a una recta dada «g». Sea un eje TI 4526789, y sea 12 la abscisa, 23 la or­ denada, se busca la tangente 3 T, Digo que sería T2 a 23 como: 23 23 2323 23 34 + 35 + 36 + 37 + 38

23 39

14 G .W . LEIBNIZ es a _ 2 4 _ 25 26 27 28 29 3 4 _ 35 + 36 + 37 + 38 + 39'

Y valdría la misma regla, continuados los términos en cualquier cantidad, si no se suponen seis puntos fijos sino diez o más, conseguir lo cual con el cálculo según los métodos de tangentes publicados suprimiendo además los irracionales sería un trabajo tediosísimo y a veces insuperable, de tal manera que si los rectángulos planos o sólidos compuestos con aquellas rectas según todos los binarios o ternarios posibles deberán igualarse con la cantidad dada; en todos estos casos, y en muchas más consecuencias, la facilidad de nuestro método es, en mi opinión, mayor, y los ejemplos son clarísimos. Y ciertamente estos puntos son los inicios de una Geometría muy sublime que también se extiende a los dificilísimos y hermosos problemas de la Matemática mixta que sin nuestro cálculo diferencial o semejante nadie podrá tratar con parecida facilidad. Me agrada añadir como Apéndice la solución del problema que Descartes, a propuesta de Beaune, tomo 3, Epíst., intentó, pero no resolvió. Encontrar una línea WW de tal naturaleza que, cortada su tangente WC con el eje, sea XC siempre igual a un segmento cons­ tante «a». Ahora XW o «w» es a XC o «¿7», como «dw» a «dx»: por tanto, si «dx» (que puede ser añadida

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arbitrariamente) se supone constante o siempre «b», o si las mismas «x» o AX crecen uniformemente, será w — (a/b) dw, por lo que las ordenadas «w» serán pro­ porcionales con sus incrementos o diferencias «dw», esto es, si las «x» están en progresión aritmética, las «j^» están en progresión geométrica, o si «j^» son nú­ meros, «x» serán logaritmos: luego la línea WW es la logarítmica.

F ig.4

SOBRE UNA GEOMETRIA ALTAMENTE OCULTA Y EL ANALISIS DE LOS INDIVISIBLES E INFINITOS Comprendiendo que algunas cosas que publiqué en estas Actas para el avance de la Geometría no han sido suficientemente entendidas por algunos hombres doc­ tos y más aún han sido cambiadas en su uso y algu­ nas no han sido suficientemente comprendidas bien por error del que escribe bien por otra causa, pensé que sería de gran valor añadir en este lugar lo que puede ilustrar los asuntos anteriores. Recibí el tratado de Craig sobre la dimensión de las figuras, editado el año anterior en Londres, del cual se deriva claramente que el autor ha hecho avances no despreciables en Geometría superior. Acepta la dis­ tinción sugerida alguna vez por mí entre las dimen­ siones generales de las figuras y las especiales; en la pá­ gina 1 dice que los geómetras fijaron su atención recientemente en ella, y reconoce acertadamente mu­ chas falacias de los que intentan probar la imposibilidad de la cuadratura por olvido de esta distinción. Tam­ bién reconoce conmigo que son trascendentes las figuras que, en general, otros separan de la Geometría, pá­ gina 26; también alaba muchísimo, páginas 27-29, el método de tangentes publicado por mí en las Actas de octubre de 1684 por su ingenio, y lo considera tan importante que con su ayuda se refuerza el Método

18 G. W. LEIBNIZ de las dimensiones; opina que proporciona una solu­ ción a los irracionales. Sin embargo, hay algunas cosas sobre las cuales pen­ sé que no sería inútil ni descortés para él llamar la atención tanto a él como a otros. Pues no sé cómo es posible creer que quien escribió un ensayo en las Actas de mayo de 1684, página 233, haya cambiado el plan­ teamiento, y que habiendo prometido al principio en las Actas de octubre del 83 dar la demostración com­ pleta de la imposibilidad de la cuadratura circular re­ conociera después en mayo del año siguiente que to­ davía no estaba suficientemente demostrada la imposi­ bilidad de la cuadratura especial. Pero el ensayo de oc­ tubre del 83 fue hecho por el señor D. T., y el de mayo del 84 fue hecho por mí: en éste, por una parte, indicaba este método como mío para no ser acusado en momento alguno de usurpar cosa ajena; por otra parte, disentía amigablemente del uso que le atribuía el señor D. T. Pues éste pensaba de la imposibilidad de la cuadratura indefinida conseguir también la impo­ sibilidad de la definida; pero mi idea había sido cons­ tante (ya señalada cuando publiqué la cuadratura arit­ mética en el segundo mes del primer año de las Actas, ya en el 82), que no valía la consecuencia de aquélla para ésta. Para demostrar esto incluí en las Actas de mayo del 84 la presencia de una figura que refleja la cuadratura especial (lo que puedo demostrar) no sólo la general, tomada como allí admito de los teoremas del señor D. T., aunque presuroso y seguro del tema me aparté en el modo de probar a través del cálculo lo que después explicaré y corregiré. A esto respondió el señor D. T., privadamente, que él no había sacado este método de los míos, sino que había llegado a él por sus propios medios, y lo que interesaba de la objeción, que él podía demostrar la consecuencia de las cuadra­ turas indefinidas para las definidas y que en esto se

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distinguía especialmente su método; y que mi asevera­ ción se apoyaba en un cálculo erróneo. Y yo volunta­ riamente reconocí (en Actas de diciembre del 84, pá­ gina 587) que si podía demostrar esta consecuencia habría hecho lo que nadie hasta aquí; sin embargo, yo siempre dudé un poco y después corroboré con el cálculo correcto mi planteamiento. Yo había obtenido ya este método desde hace más de diez años; estando juntos en París, hablamos muy frecuentemente de temas geométricos; en ese tiempo él iba claramente por otros caminos, pero para mí ya era muy familiar aplicar las ecuaciones generales, que han de ser determinadas por el desarrollo del cálculo, para expresar la naturaleza de la linea buscada, en lo cual consiste la fuerza del mé­ todo, tal como observaré en otra parte; no obstante, por su cortesía y, al mismo tiempo, por su ingenio, le estimo tanto que fácilmente creeré o bien que él ha llegado a estas cosas por sí mismo, o bien que ni siquiera recuerda en qué ocasión pasada las mujeres fueron echadas de tales meditaciones: particularmente sabiendo que también él, por sí mismo, se ha distin­ guido en las cosas más difíciles, y que se pueden esperar de su capacidad muchas cosas preclaras y los más grandes hallazgos. Y ya que admití el error en el cálculo del ensayo mencionado, como dije, que Craig reprocha al señor D. T. (al cual él lo atribuye), para rechazar el método indefinido, opino que, como argumento ad homtnemy por esto debo corregir el error. Fue revisada la pá­ gina 236 de las Actas del año 1684, donde, comparan­ do la ecuación 4 ^ — 8 y siguientes con la ecuación + ca% Y siguientes, los términos puestos fuera de la fracción en la ecuación posterior donde falta «^» deben ser multiplicados por el denominador de la fracción antes de que se empiece la comparación, de manera que en una y otra fracción todos los términos que

20 G. W. LEIBNIZ carecen de la letra « 3;» se expresen en una sola fracción. Póngase b = 1, lo cual siempre puede hacerse, y, puesto que en la ecuación primera el término «x^;» falta cla­ ramente, se hace en la posterior d = 0, se divide tam­ bién la ecuación primera o dada por 4 y en la fracción de la ecuación posterior o supuesta tanto el numera­ dor como el denominador se dividen por «g»: así, tanto el término %2 como el término ^ en el nume­ rador de la fracción están de acuerdo en las dos partes. Comparando lo demás, desde el término «^» será c = 2h:a\ desde x 4 será ¿ = 1 : 1 6 ó 1/16; desde >? será/ = —1 :6a; desde «x» en el denominador será / = = —b:8a. Luego será h — 8:6 o 4/3, lo cual es absurdo, puesto que «h» es una cantidad dada. Y surgen tam­ bién otros absurdos de la comparación continuada, puesto que será o «r» o «/» igual a 0, en contra de la conclusión. Por otro lado, me parece bien en este lugar, para decir algo interesante, abrir el camino de las cantidades trascendentesf ya que algunos problemas no son planos ni sólidos ni supersólidos o de grado alguno definido, sino que trascienden cualquier ecuación algebraica. Mos­ tramos con esta intención, de la manera que se puede hacer sin cálculo, que la línea cuadratriz algebraica del círculo y de la hipérbola es imposible. Pues, si se diera ésta, se seguiría que con su ayuda el ángulo o pro­ porción o el logaritmo pueden cortarse en una propor­ ción dada de recta a recta, y esto en una construc­ ción general, y de aquí el problema de la sección de un ángulo o más aún todos los de encontrar medias proporcionales serían de grado definido, pero, puesto que ante un número de partes del ángulo o de medias proporcionales se requiere uno y otro grado de la ecuación algebraica, por esto el problema del número de partes o medias cualesquiera comprendido en sí, es de grado indefinido, y trasciende toda ecuación al­

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gebraica. Y como tales problemas realmente pueden ser propuestos en geometría, deben ser considerados sin duda alguna entre los primeros, y son determinados; por esto es necesario ciertamente que estas líneas tam­ bién se incluyan en la Geometría, a través de la cual tales problemas pueden construirse; y como pueden ser descritas con movimiento exacto y continuo, como es evidente en la cicloide y semejantes, realmente deben ser consideradas no mecánicas sino geométricas; siendo así que por su utilidad dejan detrás de ellas a gran dis­ tancia las líneas de la Geometría común (si se exceptúa la recta y el círculo), y tienen propiedades de momento máximo, que son capaces de demostración geométrica. Por tanto, la Geometría de Descartes que las excluía fu e un error no menor que el de los antiguosy que despreciaban los lugares sólidos o lineales como no geométricos. Como el método de investigar Cuadraturas indefini­ das o sus imposibilidades es para mí sólo un caso es­ pecial (y, ciertamente, el más fácil) de un problema mucho mayor, que llamo método inverso de tangentes, en el cual se contiene la mayor parte de toda la geometría trascendente y lo que siempre ha podido resolverse algebraicamente, se tienen descubiertos todos los temas; y, sin embargo, hasta aquí nada de esto parece distin­ guirse satisfactoriamente; por esto mostraré cómo pue­ de resolverse la misma cuadratura indefinida. Al igual que antes los algebristas adoptaron letras o números generales en lugar de cantidades fijadas, en los problemas trascendentes yo adopté ecuaciones genera­ les o indefinidas en lugar de líneas fijadas, por ejem­ plo, sean «x» e «j» la abscisa y la ordenada de unas cantidades existentes, la ecuación de la línea propuesta por mí es: 0 = a + bx + cy + exy + f x 2 + g / + •

22 G. W. LEIBNIZ Con el apoyo de esta ecuación indefinida propuesta busco realmente la tangente de una línea finita (pues siempre puede determinarse hasta dónde conviene que sea prolongada), comparando lo que encuentro con la propiedad dada de las tangentes hallo el valor de las letras supuestas «a», «b», «¿»..., y así determino la ecua­ ción de la línea propuesta, donde, sin embargo, a veces permanecen algunas cosas arbitrarias; en cuyo caso pueden también encontrarse innumerables líneas que satisfacen la propuesta, lo que fue el motivo de que muchos, considerando el problema no suficientemente resuelto, pensaran que no era posible. Las mismas cuestiones se establecen mediante las series. Para redu­ cir el cálculo tengo muchas cosas de las que hablaré en otro momento. Y, si la comparación no procede, determino que la línea propuesta no es algebraica sino trascendente. Supuesto esto, yo encuentro la especie de trascendencia (pues algunas trascendentes dependen de la sección general de una razón o de logaritmos, otras de la sección general de un ángulo, o de arcos del círculo, otras de algunas cuestiones indefinidas más complejas); por esto, además de las letras «x» e <y etc., sino también la naturaleza especial de la tras­ cendente. Aunque a veces puede suceder que han de ser uti­ lizadas muchas trascendentes, alguna vez de naturaleza diferente entre sí, y se tendrán trascendentes de tras­

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cendentes, y esto se prolonga hasta el infinito, sin em­ bargo, podemos estar contentos con las más fáciles y más útiles; y generalmente pueden usarse técnicas par­ ticulares para abreviar el cálculo, y está permitido para reducir el problema a términos simples, temas que no son propios de este lugar. Aplicado este método a las Cuadraturas, o al descu­ brimiento de las líneas cuadratrices (en los cuales siem­ pre sin excepción se da una propiedad de las tangentes), es evidente no sólo de qué modo se encuentra, si la cuadratura indefinida es imposible algebraicamente, si­ no también de qué modo descubierta esta imposibilidad puede encontrarse la cuadratriz trascendente, lo cual hasta ahora no se ha realizado. Además me parece que no añado en vano que la Geometría con este mé­ todo es llevada mucho más allá de los límites propues­ tos por Vieta y Descartes. Extendiéndose por esta ra­ zón el Análisis cierto y general hacia los problemas que no son de grado definido y además no son ex­ presados mediante ecuaciones algebraicas. Además, para tratar con el cálculo los problemas trascendentes en los cuales se encuentran dimensiones y tangentes, difícilmente puede encontrarse algo más útil, más breve y más universal que mi Cálculo de di­ ferencias o Análisis de los indivisibles j los infinitos, del cual se contiene una pequeña parte como prueba o corolario en mi método de tangentes editado en Actas de octubre del 84 y aceptado en esa forma por Craig; y el mismo Craig sospechó que en él se contenía algo profundo, y por eso en la página 29 de su librito intentó derivar de él el teorema barrowniano (la suma de los intervalos entre las ordenadas y las perpendi­ culares de la curva hasta el eje y de las dirigidas al eje es igual al semicuadrado de la última ordenada), en cuya ejecución, sin embargo, se desvió algo del blanco, de lo cual no me sorprendo. Por esto pienso

24 G. W. LEIBNIZ que sería conveniente para él y para otros ofrecer en este lugar una aproximación al temaf cuya utilidad parece tan evidente. Pues de este modo los teoremas y problemas, que eran dignos de admiración, se desarrollan con tal facilidad que ya no es necesario aprenderlos y tenerlos en cuenta sino como son estudiados la mayor parte de los teoremas y problemas de la Geometría vulgar por quien la tiene por elemental. Así pues, procedo en el caso anteriormente dicho.

T J2

R

Fig. 5

Sea la ordenada «x», la abscisa «y», y sea «/»>, como dije, el intervalo entre la perpendicular y la ordenada. Se ve rápidamente, con mi método, que es p d y = x dxy lo cual también observó Craig; convertida esta ecuación diferencial en suma, será:

De lo que expuse en el método de tangentes, es evi­ dente que ¿/(l/2)x2 = x d x ; por tanto, la recíproca (es)

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(pues como las potencias y las raíces en los cálculos comunes, las sumas y las diferencias o «J» y «d» son recíprocas). Tenemos, por consiguiente,

que era lo que queríamos demostrar. Prefiero emplear «dx» y semejantes, antes que letras en su lugar, porque «dx» es una cierta modificación de la «x», y con su ayuda sucede que, cuando el trabajo se hace con la letra «x» sola, el cálculo eviden­ temente procede con sus potencias y diferenciales, y se expresan las relaciones trascendentes entre «x» y otras. Por esta razón también se pueden expresar las líneas trascendentes mediante una ecuación, por ejem­ plo: sea un arco «a», «x» el seno, será:

y si la ordenada de la cicloide es «y», será y

= y j l x —x 2 + I (dx \ J2x —X2),

esta ecuación expresa perfectamente la relación entre la ordenada y la abscisa «x», y a partir de ella pueden demostrarse todas las propiedades de la cicloide. Y de este modo el cálculo analítico se extiende a todas las líneas que hasta ahora han sido excluidas no por otra causa, sino porque las consideraron inadecuadas para ello: también se derivan de aquí las interpolaciones de Wallis y otros innumerables casos. Falta, para que no parezca que me atribuyo dema­ siado a mí mismo o que menosprecio a los demás,

26 G. W. LEIBNIZ que diga en pocas palabras lo que en mi fórmula se debe especialmente a los insignes matemáticos de nues­ tro siglo en este género de Geometría. Los primeros, Galileo y Cavalieri, empezaron a descubrir las oscurí­ simas artes de Conon y Arquímedes. Pero la Geo­ metría de los indivisibles de Cavalieri fue solamente la infancia de una ciencia renaciente. Mejores solucio­ nes aportaron tres hombres célebres: Fermat, encon­ trando el método de máximos y mínimos; Descartes, mostrando la razón de expresar por ecuaciones las lí­ neas de la Geometría común (pero excluyó las trascen­ dentes), y Gregorio de San Vicente, hallando muchas cosas valiosas. A esto añado la extraordinaria regla de Guldin sobre el movimiento del centro de gravedad. Pero también éstos permanecieron dentro de ciertos límites, que transgredieron con nuevas aperturas Huyghens y Wallis, ilustres geómetras. Y es bastante pro­ bable que los temas de Huyghens dieran ocasión a los más grandes hallazgos a Heurat y los de Wallis a Neil y Wren, que fueron los primeros que demostraron la rectificación de las curvas. Y sin embargo, nada quita de elogio merecidísimo de los descubrimientos. Siguen a éstos el escocés James Gregorio y el inglés Isaac Barrow, que enriquecieron admirablemente este tipo de ciencia con grandes teoremas. Además, Nicolás Mercator, de Holstein, matemático e ilustrísimo, que fue el primero, que yo sepa, que dio una cuadratura por serie infinita. Y no sólo realizó el mismo descubri­ miento independientemente, sino que también lo perfec­ cionó con una razón universal un geómetra de profun­ dísimo ingenio, Isaac Newton, que si diera a conocer sus pensamientos, los que entiendo que tiene, nos pro­ porcionaría sin duda nuevos caminos para extraordina­ rios aumentos y tratados de la ciencia. Me correspondió a mí, entonces principiante en estos estudios, que desde un único aspecto de una demostra­

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ción sobre la magnitud de la superficie esférica se me apareciera de repente la gran luz. Pues yo sabía que en general la figura formada por las perpendiculares a la curva, aplicadas ordenadamente en el eje (los radios en el círculo), es proporcional a la superficie del sólido formado por la rotación de la figura respecto al eje. Muy satisfecho con este primer teorema (ignorando que esto era conocido por otros), imaginé rápidamente el triángulo que en todas las curvas yo llamaba ca­ racterístico, cuyos lados son indivisibles (o, hablando más precisamente, infinitamente pequeños) o cantidades diferenciales. A partir de aquí, con poco trabajo re­ dacté numerosos teoremas, parte de los cuales encontré después en Gregorio y Barrow. Entonces no usaba el cálculo algebraico; añadiéndolo luego encontré mi cua­ dratura aritmética y otras muchas cosas. Pero no sé por qué en esta tarea no me satisfacía el cálculo al­ gebraico, y ante las dificultades de las figuras me veía obligado a demostrar todavía muchas cosas que hubiera querido analizar, hasta que finalmente encontré el ver­ dadero suplemento del Algebra para las trascendentes, es decir, mi cálculo de los infinitamente pequeños, o diferencial o sumatorio o de cuadraturas, y, si no me engaño, es lo que llamo acertadamente Análisis de los indivisibles y de los infinitos, que, una vez encontrado, todo lo que antes me causaba admiración en este cam­ po me parece un juego y una broma. Desde aquí no sólo es posible construir insignes tratados, sino también el método muy general poco antes expuesto, con el cual se determinan o las cuadratrices, o bien otras líneas algebraicas o trascendentes buscadas en la medi­ da en que es posible. Antes de terminar advierto que en las ecuaciones diferenciales nadie olvide a la ligera «dx», como en la expresión anterior a = f {dx\yj x —x 2), porque en ese caso, en el que las «x» se consideran como creciendo

28 G. W. LEIBNIZ uniformemente, se puede olvidar: pues en esto muchos se equivocaron, y se cerraron el camino para cosas posteriores, debido al hecho de que de este modo se quita a estos indivisibles, como aquí «dx», su genera­ lidad (de forma que pueda aceptarse cualquier progre­ sión de las «x»), de la que, sin embargo, nacen innu­ merables transfiguraciones y equipolencias de figuras. Terminados ya estos escritos, vino a mis manos lo que el señor D. T. comunicó en las Actas de marzo de este año, página 176, donde no propone cuestiones ni elegantes ni dignas de ser resueltas. Sin embargo, parece que hay una línea ACI (en la Fig. 6) desde las líneas de los senos, y que siempre el rectángulo AH en GD es igual al espacio ABC A, Y en la figura 7, si el cuadrado BC en BD o «x» deberá ser igual siem­ pre al cubo de «a», satisfará un paraboloide, cuya ecua­ ción es = 25x5. De igual forma se puede deter­ minar la cuestión para otras potencias. Pero si AD • • DB • BC = tf3 (al cubo dado), la cuestión vuelve a la cuadratriz de la figura, el valor de cuya ordenada es ¿X3 dividido por y j a 6 —x 6. Sin embargo, en cualquier tipo de relación dada entre las rectas AB, BC, CD, AD, DB, en dicha figura 7 es un problema encontrar la línea porque coincide con la búsqueda de las cuadra­ turas. Pero, si en la recta AC se toma un punto fijo L, surgen nuevas relaciones de otra naturaleza, como si se da una relación entre LC y CD, aunque este pro­ blema también recibe una solución.

Fig. 6

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Los problem as a que hace referencia Leibniz en esta especie de ‘A péndice, y que había propuesto Tschirnhaus, eran: • Sea la curva ACI , y FGH el círculo cuadrante (F ig. 6), sucederá que FGH es el arco GHy com o AH es a H B; y la per­ pendicular bajada GD será el cuadrante continuo ED igu al a la recta BC, y será evidente que la curva ACI es mecánica. • D eterm inar una curva donde (F ig. 7) el cuadrado BE en la línea BD sea siem pre igu al al cubo de la línea dada. • E ncontrar una curva de m anera que el producto de las tres líneas AD , DB, BC (Fig. 7) sea siem pre igual al cubo.