Dinamika-fluida

2. Dinamika fluida 2.1 Jednačina kontinuiteta Protok fluida kroz neki presek predstavlja količinu fluida koja protekne u jedinici vremena kroz posmatrani presek.

Slika 2.1 Protok kroz strujno vlakno Posmatraće se strujno vlakno sa elementarnim poprečnim presekom dA na mestu j-j. Fluid koji se u uočenom trenutku našao u ovom preseku će u sledećem trenutku, po isteku beskrajno malog vremena dt doći u presek j-j` i pri tom preći put dl. Za vreme dt je iz preseka j-j isteklo onoliko fluida kolika je zapremina strujnog vlakna između preseka j-j i j-j`: dV  dA dl .

(2.1)

U jedinici vremena će iz preseka dA će isteći sledeća količina fluida: dQ 

dV dl  dA . dt dt

(2.2)

Kako je brzina strujanja delića kroz poprečni presek dA strujnog vlakna: v

dl , dt

(2.3)

iz jednačine (2.2) sledi da je elementarni zapreminski protok:

  dQ  v  dA .

(2.4)

Kroz poprečni presek A strujne cevi zapreminski protok će biti:   Q   v  dA .

(2.5)

A

Poprečni presek A je konačna veličina u kojoj se ako ni zbog čega drugog brzine menjaju usled viskoznosti. Za praktične proračune uvodi se srednja brzina strujanja vsr koja kad se pomnoži sa površinom poprečnog preseka A dobija se zapreminski protok fluida:

Q  vsr A .

(2.6)

Da bi se odredilo koliko mase protiče u jedinici vremena kroz pomenute poprečne preseke vlakna dA i cevi A, uzima se u obzir da je masa dm elementarne zapremine dV:

dm  dV .

(2.7)

Uvrštavajući jednačinu (2.7) u jednačinu (2.4) dolazi se do elementarnog masenog protoka kroz strujno vlakno:

  dm  v  dA ,

(2.8)

a zatim i do masenog protoka kroz strujnu cev:   m   v  dA .

(2.9)

A

Masa koja u jedinici vremena protekne kroz poprečni presek vlakna na mestu j-j jednaka je masi koja protekne kroz poprečni presek vlakna j-j`:

  dm  v  dA  const ,

(2.10)

  m   v  dA  const .

(2.11)

tj analogno za strujnu cev:

A

Kada je fluid nestišljiv (=const) jednačine (2.10) i (2.11) mogu da se napišu kao:

dQ  const ,

(2.12)

Q  const .

(2.13)

Jednačine (2.10) i (2.11) predstavljaju jednačine kontinuiteta za stišljiv fluid, a jednačine (2.12) i (2.13) jednačine kontinuiteta za nestišljiv fluid.

2.2 Bernulijeva jednačina Bernulijeva jednačina predstavlja bilans pojedinih karakterističnih vrsta fluidne energije. Opšti oblik Bernulijeve jednačine bez gubitaka glasi: v2 p   gz  const. , 2 

(2.14)

i predstavlja osnovni oblik Bernulijeve jednačine. Članovi u Bernulijevoj jednačini predstavljaju energiju koju u sebi sadrži jedinična masa fluidne struje. Prvi član predstavlja kinetičku energiju, drugi član predstavlja pritisnu energiju, dok treći član predstavlja položajnu energiju. Konstanta na desnoj strani označava da je zbir navedene tri vrste energija konstantan za bilo koju tačku strujnice. Drugi veoma često upotrebljavani oblik Bernulijeve jednačine je: v2 p   z  const. 2 g g

(2.15)

Članovi energije u ovom obliku Bernulijeve jednačine dati su u metrima stuba tečnosti koja struji kroz posmatrane preseke. Članovi energije se nazivaju brzinska visina, pritisna (pijezometarska) visina i geodezijska visina. Snaga fluidne struje dobija se množenjem svakog člana Bernulijeve jednačine sa masenim protokom Q:

1 P  Qv 2  pQ  zgQ . 2

(2.16)

Posmatraće se cev konstantnog prečnika d i u njoj dva preseka 1 i 2 koji su međusobno udaljeni za dužinu l (slika 2.2). Deo strujne energije u preseku 1 troši se na savlađivanje gubitaka koji se javljaju na putu do preseka 2. Zbog toga će strujna energija u preseku 2 biti manja od energije u preseku 1, za vrednost gubitaka. Bernulijeva jednačina napisana za ova dva preseka glasi: v12 p1 v2 p   gz1  2  2  gz 2  Yg , 2  2 

(2.17)

gde se izgubljena strujna energija Yg unosi sa desne strane Bernulijeve jednačine. Ne postoji teorijska metoda kojom bi mogli da se izračunaju gubici specifične strujne energije, već se gubici određuju eksperimentalnim putem. Svi gubici mogu da se razvrstaju u dve grupe: gubitke zbog trenja i lokalne gubitke.

Slika 2.2 Određivanje gubitaka energije Za određivanje gubitaka zbog trenja koristi se Darsijev obrazac:

Ygtr  

l v2 , d 2

(2.18)

v2 , 2

(2.19)

gde su: v – brzina strujanja [m/s]; l – dužini puta [m];  - kojeficijentu otpora [-] i d – unutrašnji prečnik cevi [m]. Lokalni gubici određuju se iz Vasbahovog izraza:

Yglok   gde je  koeficijent lokalnog otpora [-].

Lokalni gubici nastaju na mestima gde se javlja promena vektora brzine. Karakteristična mesta gde se javljaju ovi gubici su: kolena, ventili, zasuni, blende, nagla proširenja i suženja, usisne korpe, račve itd. Ukupni gubici strujne energije zbir su svih gubitaka zbog trenja i svih lokalnih gubitaka: Yg   Ygtr   Yglok .

(2.20)

Problem određivanja gubitaka specifične strujne energije se svodi na određivanje koeficijenta otpora trenja  i koeficijenta lokalnih otpora . 2.2.1 Koeficijent otpora trenja Koeficijent otpora trenja  generalno zavisi od relativne hrapavosti e/d i Rejnoldsovog broja Re. Na slici 2.3 je prikazan Mudijev dijagram koji se koristi za određivanje koeficijenta trenja.

Slika 2.3 Zavisnost koeficijenta trenja od relativne hrapavosti i Rejnoldsovog broja (Mudijev dijagram) Kod laminarnog režima strujanja (Re<2300) koeficijent otpora trenja zavisi samo od Rejnoldsovog broja:



64 . Re

(2.21)

U prelazno turbulentnoj zoni je prelaz između laminarnog i čisto turbulentnog strujanja. Koeficijent otpora trenja u ovoj oblasti zavisi i od Rejnoldsovog broja i od relativne hrapavosti, tj =f(Re, e/d). Kod hidraulički glatke cevi debljina laminarnog sloja veća od apsolutne hrapavosti (slika 2.4). Za ovaj slučaj koeficijent otpora trenja određuje se iz Blazijusovog izraza:



0,3164 . 4 Re

(2.22)

Slika 2.4 Hidraulički glatke cevi (levo) i hrapave cevi (desno)

U zoni čisto turbulentnog strujanja koeficijent otpora trenja zavisi samo od relativne hrapavosti =f(e/d). Pri jednoj vrednosti relativne hrapavosti promenom vrednosti Rejnoldsovog broja ne menja se vrednost koeficijenta otpora trenja.

2.2.1 Lokalni koeficijent otpora Ponekad se umesto koeficijenta lokalnog otpora  daje ekvivalentna dužina cevovoda lekv. Izjednjačavanjem gubitka energije usled trenja (2.18) i lokalnog gubitka energije (2.19):



v2 l v2   ekv , 2 d 2

(2.23)

dobija se veza između koeficijenta lokalnog otpora i njemu ekvivalentne dužine cevovoda:

lekv  

d . 

(2.24)

Iz predhodnog izraza može da se vidi da je ekvivalentna dužina cevovoda u stvari zamišljena dužina cevovoda duž koje će nastati ista vrednost gubitka energije kao u uočenom uzročniku lokalnog otpora. 2.2.3 Režim strujanja fluida Engleski fizičar Osborn Rejnolds (Osborne Reynolds) je krajem XIX eksperimentalnim putem utvrdio da postoje dva režima strujanja fluida: laminaran i turbulentan režim strujanja. Kroz staklenu, providnu cev uspostavio je strujanje fluida. Na ulazu u staklenu cev postavio je kapilarnu cev kroz koju je strujao obojeni fluid. Pri manjim brzinama strujanja obojena strujnica koja ističe iz kapilarne cevčice se vidi kao jedna nit (slika 2.5 levo). Uspostavljen je laminaran režim strujanja kod koga se fluid kreće po slojevima, strujnice su paralelne i fluidni delići se međusobno ne mešaju. Pri većim brzinama strujanja fluida u staklenoj cevi fluid se oboji (slika 2.5 desno). Uspostavljen je turbulentan režim strujanja gde se fluid više ne kreće po slojevima, strujnice više nisu paralelne, a fluidni delići se međusobno mešaju.

Slika 2.5 Rejnoldsov eksperiment Koji će se režim strujanja javiti zavisi od vrednosti bezdimenzijske veličine koja se naziva Rejnoldsov broj. Rejnoldsov broj predstavlja odnos sile inercije Fin i sile unutrašnjeg trenja Ftr:

dv dh F dt  dt V  vl , Re  in  Ftr AV dv  A  dh V

(2.25)

gde su: v – brzina strujanja fluida [m/s];  – kinematska viskoznost [m2/s] i l – karakteristična linijska veličina [m]. Za cevi kružnog poprečnog preseka karakteristična linijska veličina l je unutrašnji prečnik d, pa Rejnoldsov broj postaje:

Re 

vd . 

(2.26)

Kada je vrednost Rejnoldsovog broja manja od 2300 strujanje je laminarno. Za vrednost Rejnoldsovog broja većeg od 2300 pa sve do vrednosti 4000 ÷ 100000 strujanje je prelazno. Prelazno strujanje može da bude ili laminarno ili turbulentno (često bude čas laminarno čas turbulentno). Daljim povećanjem vrednosti Rejnoldsovog broja strujanje postaje turbulentno. 2.2.4 Profil brzina u poprečnom preseku pravih kružnih cevi Profil brzina (raspored brzina) zavisi od režima strujanja. Pri strujanju neviskoznog fluida kroz prave cevi kružnog poprečnog preseka tangencijalni naponi su jednaki nuli =0, a brzine u poprečnom preseku su konstantne, slika 2.6.

Slika 2.6 Profili brzina i napona pri strujanju neviskoznog fluida Kod laminarnog režima strujanja profil brzine se menja po paraboličnom zakonu, slika 2.7. Na zidovima cevi brzine fluida su jednake nuli, dok je u osi cevi brzina strujanja maksimalna. Srednja brzina strujanja vsr je jednaka polovini maksimalne brzine vmax:

vsr 

vmax . 2

(2.27)

Promena tangencijalnog napona je linearna, gde su najveći naponi na zidovima cevi a najmanji (=0) u osi cevi. Ovakav profil brzine objašnjava se malim vrednostima Rejnoldsovih brojeva kod laminarnog režima strujanja fluida, usled velikih sila trenja.

Slika 2.7 Profili brzina i napona pri laminarnom režimu strujanja fluida Na zidu cevi brzina strujanja je jednaka nuli. Fluidni delići se lepe za zid cevi i takođe imaju brzinu strujanja jednaku nuli. Sledeći sloj fluida prema osi cevi teži da povuče sloj fluida koji je zalepljen za zid cevi. Sledeći sloj povlači predhodni i tako redom, pa se uticaj zida cevi prostire do ose cevi. Kada je Rejnoldsov broj Re<2300 (laminaran režim strujanja), sile trenja dominiraju nad silama inercije, pa se uticaj zida cevi rasprostire do ose cevi. Povećanjem Rejnoldsovog broja (povećanjem brzine) raste uticaj sile inercije nad uticajem sile trenja (turbulentan režim strujanja), tako da se uticaj zida cevi ne rasprostire do ose cevi. Kad bi Rejnoldsov broj bio beskonačno veliki, zid cevi više ne bi uticao na strujanje fluida (neviskozan fluid). Turbulentno strujanje može da se podeli u tri oblasti (slika 2.8): turbulentno jezgro (1), prelazna oblast (2) i laminaran sloj (3).

Slika 2.8 Profili brzine pri turbulentnom režimu strujanja U laminarnom sloju strujanje je laminarno, a brzina strujanja se linearno menja. U prelaznoj oblasti laminaran režim prelazi u turbulentni. Debljina graničnog sloja  je veoma mala od desetih delova milimetra, pa do nekoliko milimetara. U bilo kojoj tački turbulentnog jezgra trenutne brzine se stalno menjaju. Najveća komponenta trenutne brzine je u pravcu ose cevi. Postoje i flukturajuće komponente brzine u pravcu normalnom na pravac ose cevi. Ove fluktuirajuće komponente izazivaju mešanje fluidnih delića.

Profil brzina pri turbulentnom strujanju mnogo više podseća na profil brzine idealnog fluida od profila brzine pri laminarnom strujanju. Primer 2.1. Voda struji bez gubitaka protokom Q kroz cev ( d1  d 2 ). Razlika pritisaka na mestu 1 i 2 meri se obrnutom U cevi koja sadrži ulje čija je relativna gustina  r  1 . Odrediti izraz za visinu h u funkciji zadatih veličina  Q, d1 , d 2 ,  r , g  . Smatrati da su gubici između preseka 1 i 2 zanemarljivi.

Rešenje: Bernulijeva jednačina za preseke 1 i 2, kao i odgovarajuća jednačina kontinuiteta glase: p1 v12 p v2   gz1  2  2  gz2 ,  2  2 v1

d12 d 2  v2 2 . 4 4

Iz predhodne dve jednačine sledi: v2 p1  p2  g( z2  z1 )  2 2

  d 2  2  1   22   .  d   1  

Razlika pritisaka izmerena preko U cevi glasi p1  p2  g( z2  z1 )  ( 1   r )gh .

Kombinacijom poslednje dve jednačine dobija se traženi izraz:

4

 d2  2 1    4Q   d1  . h 2    d 2  2 g (1   r )

Primer 2.2. Odrediti pritisak ulja na ulazu u pumpu sistema za ulje na avionu prikazanog slikom, ako avion leti na visini gde je atmosferski pritisak 10286 Pa . Dužina horizontalne deonice usisnog cevovoda je l  2 m , dužina vertikalne deonice iznosi H  0,3 m , a prečnik cevi je D  18 mm . Nivo ulja nalazi se na visini h  0,7 m iznad dna rezervoara. Ostvareni protok ulja, kinematske viskoznosti   0,11 cm2 /s i gustine   900 kg/m3 , je Q  0, 266 103 m3 /s . Lokalne otpore zanemariti.

Rešenje: Iz jednačine kontinuiteta određuje se brzina strujanja ulja u cevi: v

4Q  1,05 m/s . d 2

Proverom Rejnoldsovog broja: Re 

vD  1718  2000 , 

zaključuje se da je strujanje na izlazu iz cevi laminarno. Koeficijent trenja za laminarno strujanje iznosi: 

64  0,0372 . Re

Iz Bernulijeve jednačine od tačke 1 do tačke 2:  v2 pa p l v 2  ,  g h  H         2   D 2 

određuje se pritisak ulja na ulazu u pumpu:  l  p  pa   g h  H   v 2  1   14021,5 Pa .  2 D 

Primer 2.3. Kroz cevovod prikazan na slici prebacuje se voda temperature 15 C iz reke u kanal, pri razlici nivoa H  8 m . Cevovod se sastoji iz pravih deonica ukupne dužine l  l1  l2  l3  1000 m . Prečnik cevovoda je d  800 mm , apsolutna hrapavost cevovoda je e  0,1 mm , koeficijent otpora usisne rešetke je  R  4 , dok je koeficijent otpora kolena  K  0,8 . Odrediti koeficijent otpora ventila  V kada kroz sistem protiče Q  55 m3 /min vode.

Rešenje:

Iz jednačine kontinuiteta: Qv

d 2 , 4

određuje se brzina strujanja kroz cevovod: v

4Q  1,82 m/s . d2

Iz Mudijevog dijagrama za vrednosti relativne hrapavosti i Rejnoldsovog broja: 

e  1, 25 104 , d

i vd  1, 46 za vodu, očitava se vrednost koeficijenta trenja   0, 0137 . Iz Bernulijeve jednačine od tačke 1 do tačke 2: pa p v2  l   gH  a      R   V   K  1 ,   2 d 

određuje se koeficijent otpora ventila: V 

2 gH  l       R   K  1  24,46 . 2 v  d 

Primer 2.4. U postrojenje za snabdevanje grada vodom za piće potrebno je ugraditi pumpu da bi se ostvario projektovani protok vode od Q  80 L/s . Lokalni gubici su 20 % gubitaka na trenje. Odrediti: a) snagu pumpe za projektovani protok, ako je prečnik cevovoda d  200 mm ; b) protok kroz instalaciju u slučaju kada nestane električne energije (gubitke u pumpi zanemariti);

c) prečnik cevovoda da bi se projektovani protok ostvario bez pumpe. Poznato je: dužina cevovoda L  6 km , visinksa razlika H  100 m , koeficijent trenja i stepen iskorišćenja pumpe  p  70 % .

Rešenje: а) Brzina strujanja vode kroz cevovod iznosi: v

4Q  2,54 m/s . d 2

Iz Bernulijeve jednačina od tačke 0 do tačke 1 dolazi se do napora pumpe: Yp   gH  1,2

L v2  2524, 2 J/kg . d 2

Snaga pumpe iznosi: P

 QYp  288,5 kW . p

b) U slučaju nestanka električne energije snaga pumpe je P=0, te se iz Bernulijeve jednačine od tačke 0 do tačke 1: gH  1, 2

L v*2 , d 2

određuje nova brzina strujanja vode kroz cevovod: 2dgH  1,35 m/s . 1, 2 L

v* 

Protok sada iznosi: Q *  v*

d 2  42,3 L/s . 4

c) U ovom slučaju Bernulijeva jednačina od tačke 0 do tačke 1 i protok kroz cevovod glase: gH  1,2

v1 

L v12 , d 2

4Q . d 2

Kombinovanjem predhodne dve jednačine određuje se novi prečnik cevovoda:

D

5

9,6   LQ 2  200 mm . gH  2

Literatura: [1] Bukurov, Ž., (1987). Mehanika fluida, Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad. [2] Bukurov, M., Mehanika fluida knjiga prva: osnove, FTN Izdavaštvo, Novi Sad, 2013. ISBN 978-86-7892-545-0. [3] Bukurov, M., Todorović, B., Bikić, S. (2011). Zbirka zadataka iz osnova mehanike fluida, FTN Izdavaštvo, Novi Sad. [4] Vuković, V., (1966). Uvod u hidropneumatsku tehniku, Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu i MP “STYLOS” Novi Sad.