DINÁMICA DE FLUIDOS AUTOR: Falta referencia.
EJERCICIOS DESARROLLADOS 1). En la figura adjunto se muestra una tubería descargando aguacon un gasto de 1.5 litros por segundo,en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre 1 el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. 1 h Calcular: A
a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza. b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B. c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.
2
h1
3
B h2
Solución inciso a) Aunque la ecuación para la velocidad de descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se tiene:
Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A1, es mucho mayor que el área de descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo con la ecuación de continuidad la velocidad de desplazamiento del nivel de líquido en el tanque, v 1, será mucho menor que la velocidad de descarga del fluido, v2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuación de Bernoulli se reduce a:
En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0. Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos:
1
– h2.
h3
Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando
tanque. Finalmente, Solución inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos:
Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuación (3), la ecuación anterior queda:
Despejando v3:
Solución inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula a partir de la definición de gasto: Q = V/t en m3/s. Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga (mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del tanque es:
2) Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del
a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo?
H
1
Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está representado por la ecuación de continuidad:
2 Figura ejemplo 2
A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parte ancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de Bernoulli:
El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a la misma altura. Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P 1 – P2 se calcula a partir de la tal propósito en el tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático, P1 – P2 diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos: , por lo que
y la ecuación (2) queda:
Despejando v2 de la ecuación anterior:
Aire AAir h
e
Líquido
Figura ejemplo 3.Bomba manual para rociar.
Entonces el gasto, ecuación (1), será:
3)Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito, que se encuentra conectado al tramo más angosto de la bomba, a través de un tubo que tiene una altura, diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el líquido en el depósito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10 -3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular: a) b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba. Solución inciso a) relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.
Ies
la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,
Como puede observarse la mínima diferencia de presiones es suficiente para subir el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno puede sacar el líquido de un refresco con un popote al hacer un poco de vacío con la boca. Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli es:
Debido a que v1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las contenga y esta es la ecuación de continuidad
Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:
Y Despejando v2:
Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):
Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha de la tubería, v2, es tal que la presión debe ser muy baja y se presenta el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se pulvericen.
4.- Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿Cuál es la velocidad del agua en la manguera? El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? Solución: Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lit./s, de tal manera que según la ec (27):
G=Av Por lo que:
Vm=
=
= 79,6cm/s
Ahora, la ecuación (18) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla. Es decir, se debe cumplir la relación:
Amvm = Abvb
de donde se tiene:
v b=
Vb=
=
s
5.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103Kg/m3es horizontal en h0= 0 m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0= 1,50 atm, calcule la presión P1en la parte superior.
Solución: Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: v0= v1= v En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene:
P0 + ρg h0 + ½ ρv2= P1 + ρg h1 + ½ρv2
P0 + ρg h0 = P1 + ρg h
de donde :
P1 = P0 + ρg [h0 - h1] P1 = 1,5 [1,01 X 105Pa] + [1,30X103Kg/m3] [9,8 m/s2][0 m - 1.0 m]
P1 = 151 500 Pa - 12 740 Pa
P1 = 138 760 Pa = 1,38 atm
La presión bajó desde 1,5 atm hasta 1,38 atm.
Esta conclusión parece contradecir lo encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente proporcionales a as velocidades. Sin embargo, ha de recordarse que aquel era cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales, en las que no hubiera diferencias significativas en la energía potencial del fluido en movimiento.
6.-
Por el tubo horizontal representado en la figura circula agua (1 = 1000 Kg/m3) y está conectado a través de un tubo vertical a un recipiente que contiene mercurio (2 = 13,6·103 Kg/m3). La distancia entre el nivel del mercurio en el recipiente y el eje del tubo es h = 50 cm. El tubo horizontal es cilíndrico y consta de tres zonas de diámetros D1 = 5 cm, D2 = 1,5 cm y D3 = 3 cm. La velocidad en el punto (1) es v 1 = 0,86 m/s y la altura del mercurio en el tubo vertical es h2.
(a).
Calcular la velocidad v2 y la velocidad v3 con que el agua sale por el extremo del tubo.
(b).
Calcular la presión en el punto 2. ( Patm = 105 Pa ).
(c).
Calcular la altura h2.
Se ha de distinguir entre la situación dinámica (fluido en movimiento) que se da en el tubo horizontal y la situación estática (fluido en reposo) que se da en el tubo vertical y el recipiente de mercurio.
Para resolver la parte dinámica se debe aplicar el teorema de Bernouilli y la ecuación de continuidad. Para resolver la parte estática se debe aplicar la ecuación de la estática de fluidos en el campo de la gravedad.
Este problema pone de manifiesto, entre otras cosas, que la presión en la parte estrecha del tubo horizontal es inferior a la atmosférica y por ello, el mercurio del recipiente es “absorbido” hacia arriba hasta que la presión en la columna vertical pasa a ser igual a la presión atmosférica.
(a).
Ecuación de continuidad (fluidos incompresibles como el agu ):
v 1 s1 v 2 s 2 v 3 s 3
despejando v 2 y v 3 se tiene:
v2
v 1 s1 y s2
v3
v 1 s1 s3
de acuerdo con el enunciado sabemos que v 1 0,86 m s
2
D s1 1 2,5 10 2 m 2
2
2
D s 2 2 0,75 10 2 m 2
2
D s 3 3 1,5 10 2 m 2
2
1,96 10 3 m 2
2
1,767 10 4 m 2
7,0686 10 4 m 2
y por lo tanto
v 2 9,55 m s
v 3 2,388 m s
(b).
Aplicando el teorema de Bernouilli entre los puntos 2 y 3,
P2
1 1 H2O v 22 H2O g z 2 P3 H2O v 32 H2O g z 3 2 2
donde P3 Patm 105 Pa , las velocidades se han calculado en el apartado anterior y las alturas z2 y z3 son iguales. Por lo tanto:
1 1 H2O v 32 v 22 105 103 2,3882 9,55 2 2 2 5725,002 Pa Patm
P2 Patm
(c).
Si el punto (4) es el que se indica en la figura, entonces en una situación de equilibrio electrostático se tiene:
P4 Patm ;
y también:
P4 P2 Hg g h2 H2O g h h2
H2O Hg g h2 H2O g h
Despejando h2 se obtiene:
h2
7.-
P4 P2 H2O g h
Hg
H2O g
0,29 m 29,9 cm
El agua del depósito tapado de la figura tiene la salida por el tubo B-C con secciones SB = 18 cm2 y SC = 9 cm2. La presión en la cámara de aire que hay entre la superficie del agua y la tapa del depósito es de 1,1 atm. El nivel del agua en el deposito se halla a una altura zA = 1,2 m y el diámetro es lo suficientemente grande
como para suponer que vA = 0. Sobre el punto B hay conectado un tubo vertical en el que el agua llega a una altura h. Sin tener en cuenta los efectos viscosos, calcular:
(a).
El caudal de agua que sale por el punto C.
(b).
La altura h a la que llega el agua en el tubo vertical.
RESOLUCIÓN
(a). Para encontrar el caudal, hace falta calcular primero la velocidad de salida del fluido v C . Para hacerlo aplicamos la ecuación de Bernouilli entre los puntos A y C:
1 1 PA v A2 g z A PC v C2 g zC 2 2
Según el enunciado, PC 1,1
atm 1,114 105 Pa
z A 1,2
m
vA 0
y además,
PC Patm 105 Pa
zC 0
Sustituyendo se obtiene:
vC
PA g z A PC 1 2
Recordando la expresión para el caudal:
CC v C s C CC 6,84 m s 9 104 m 2 6,156 103 m 3 s 6,156 l s
(b).
Para responder esta pregunta se han de conocer previamente los valores de la velocidad y la presión en el punto B.
La velocidad se obtiene aplicando la ecuación de continuidad, o lo que es equivalente, utilizando la definición de caudal en el punto B.
CC v B s B
v C sC
donde se deduce que:
B
6'156 10 3 m 3 s C 3'42 m s sB 18 10 4 m 2
La presión se obtiene aplicando la ecuación de Bernouilli entre B y C.
PB
1 1 B2 g zB PC C2 g zC 2 2
Y como zB zC , entonces
PB PC
1 v C2 v B2 117544,6 2
Pa
Una vez conocida la presión en B, para encontrar la altura de h del agua en el tubo vertical, se aplica la ecuación de la estática de fluidos en el campo de la gravedad. Si D es el punto marcado en la figura, entonces:
PB PD g h
donde PD Patm 105 Pa
Entonces:
h
8.-
PB PD 1,75 g
m
En una fábrica de componentes ópticos tenemos un horno de vidrio fundido a una temperatura de 1000 C con un conducto de evacuación de sección circular que se utiliza para llenar moldes al ritmo de 25 g de vidrio fundido por segundo. Sabiendo que el coeficiente de viscosidad del vidrio a la temperatura mencionada es de 10 4 Po, su densidad 2,5 g/cm3 y que la longitud del conducto es de l = 10 m y su
diámetro es D1 = 10 cm, se pregunta:
(a).
Determinar el caudal de vidrio fundido que circula por el conducto de evacuación del horno expresado en m3/s. Determinar la presión del vidrio al principio del conducto de evacuación (punto 2). (P atm = 105 Pa)
(b).
Si la presión en la parte superior del horno (punto 1) es igual a la presión atmosférica (horno abierto), calcular la altura h de vidrio parar obtener el caudal descrito (suponer que el diámetro del horno es muy grande, lo cual implica que el flujo vertical del vidrio se puede considerar ideal).
(a).
Para calcular el caudal, hay que tener en cuenta:
C
V t
V
m
Donde V es el volumen del fluido.
Según el enunciado, por el punto (3) sale una masa m= 25 g en un tiempo t = 1 s y como = 2,5 g/cm3, resulta:
V
25 10 3 Kg 10 5 m 3 3 3 2,5 10 Kg m
C 10 5 m3 s
El vidrio fundido es un fluido con una viscosidad muy alta (la del agua es solo 1 cPo i la de la glicerina aproximadamente 1500 cPo) y en su circulación por el tubo horizontal no se puede considerar ideal. Por lo tanto el teorema de Bernouilli deja de tener validez y se tiene que aplicar la ecuación de Hagen-Poiseuille.
Por lo tanto, la presión en el punto (2) responde a la ecuación:
P2 P3
8 l C r 4
donde todas las magnitudes son conocidas y
P3 Patm 105 Pa
Se tiene entonces:
P2 10 5
8 10 3 Pa s 10 m 10 5 m 3 s
5 10
2 4
140743,66 Pa
(b).
Analizando la ley de Hagen-Poiseuille se ve que cuanto más ancho es el tubo por donde circula el fluido, menos importantes son los efectos viscosos, ya que en el denominador de la expresión aparece el radio del tubo elevado a la cuarta potencia.
El enunciado aclara que el diámetro del horno es muy ancho, es decir, que en el trayecto (1) (2) se puede considerar el vidrio fundido como un fluido
casi ideal, con lo cual la ecuación de Bernouilli es una buena aproximación. Entonces:
P1
1 1 v 12 g z1 P2 v 22 g z 2 2 2
donde
P1 Patm 105 Pa
v1
C 0 s1
( s1 es muy grande )
P2 se ha calculado en el apartado anterior
v2
C 10 5 s 2 5 10 2
2
1,27 10 3 m s
z2 0
Despejando z1 se obtiene:
z1
140743,66
1 2,5 103 1,27 10 3 2 2,5 103 10
2
105
1,63
m
9.- En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmósfera. Para un flujo másico de 15 kg/s, determine la presión en el manómetro.
Aplicando la e.c de Bernoulli entre 1 y 2 tenemos
10.- El tanque de una poceta tiene una sección rectangular de dimensiones 20cmx40cm y el nivel del agua está a una altura h = 20 cm por encima de la válvula de desagüe, la cual tiene un diámetro d2 = 5 cm. Si al bajar la palanca, se abre la válvula:
a) ¿Cuál será la rapidez inicial de desagüe por esa válvula en función de la altura de agua remanente en el tanque? b) ¿Cuál es la rapidez inicial de desagüe? No desprecie la velocidad en la superficie del tanque.
Aplicando la ecuación de Bernoulli
Calculaos la rapidez
11) El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que no presenta ramificaciones es de 1 litro por minuto. Densidad aproximada de la sangre 1 kg/lt. ¿Cuál es la velocidad media de la sangre en un tramo en el que vaso tiene un radio interior de 0,5 cm? Continuidad: dice que el caudal es igual al producto entre la sección del conducto y la velocidad media del fluido: Q=S.v de ahí despejamos la velocidad: v=Q/S v = 1 lit/min / π (0,5 cm)² Hay que hacer algún pasaje de unidades para operar: v = 1.000 cm³/60 s / 3,14 . 0,25 cm²= 21,2 cm/s
12) ¿Cuál es el trabajo requerido para bombear 1,4 m³ de agua por un tubo de 13 mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de 1,2 atm? ¿Qué potencia se debe entregar para mantener el caudal igual a 0,03 m³ por segundo? L = P . V = 1,2 atm . 1.400 lit L = 1.680 lit atm O también: L = P . V = 121.560 Pa . 1,4 m³ L = P . V = 170.184 J Vamos a la segunda pregunta: Pot = P . Q = 121.560 Pa . 0,03 m³/s
Pot = 3.650 W
13.-) Por un caño horizontal de sección variable fluye un líquido de viscosidad insignificante. Calcular la diferencia de presión entre los extremos del caño en función de la velocidad de entrada, v, y la densidad del líquido, δ, si: a) la sección a la salida del caño es el triple que la de entrada, b) el diámetro a la salida del caño es el triple que el de la entrada.
SS = 3 SE Eso tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que: Q S = QE SS . vS = SE . vE 3 SE . vS = SE . vE 3 vS = vE 9 vS² = vE² vS² = vE² / 9 Ahora podemos plantear la ecuación de Bernoulli (sin los términos de energía potencial ya que todo ocurre a la misma altura). ΔP = ½ δ (vE² – vS²) ΔP = ½ δ (vE² – vE²/ 9) = ½ δ (8/9) vE²
ΔP = (4/9) δ vE²
a)
La nueva condición del ejercicio relaciona los diámetros de los tubos, no sus secciones: dS = 3 dE dS² = 9 dE² Pero a partir de ello podemos relacionar las secciones (acordate que una sección circular es igual a S = (π/4) d² (π/4) dS² = 9 (π/4) dE² SS² = 9 SE² Y esto tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que: Q S = QE SS . vS = SE . vE 9 SE . vS = SE . vE 9 vS = vE 81 vS² = vE² vS² = vE² / 81 Ahora planteamos la ecuación de Bernoulli: ΔP = ½ δ (vE² – vS²) ΔP = ½ δ (vE² – vE²/ 81 ) = ½ δ (80/81) vE² ΔP = (40/81) δ vE² En ambos casos se trata de un aumento de presión ya que en la salida siempre tenemos menor velocidad que en la entrada y, estando a la misma altura, a menor velocidad mayor debe ser la presión.
14) Se llena una manguera con nafta y se cierra por sus dos extremos. Se introduce un extremo en un depósito de nafta a 0,3m por debajo de la superficie y el otro a 0,2 m por debajo del primer extremo y se abren ambos extremos. El tubo tiene una sección transversal interior de área 4 x 104 m². La densidad de la nafta es 680 kg m-3. a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la nafta? b) ¿Cuál es el caudal inicial del flujo? Ahí tenés el esquema correcto del dispositivo enunciado. Los que no lo pueden dibujar bien de entrada es -sencillamente- porque no tuvieron infancia. Se llama sifón, y es divertidísimo: es el sistema con el que se evacúan aquellos recipientes que no tienen agujero de desagote y que no se pueden volcar. Si uno sigue el procedimiento descripto en el enunciado, verá que por el extremo de afuera de la manguera sale el chorro que desagota al recipiente y continúa vaciándolo mientras se cumpla que ese extremo esté más bajo que la superficie libre del líquido. Sólo pensar que el líquido avanza por el tramo ascendente hace que parezca mágico. Pero es Bernoulli puro. De todos modos el problemita este presenta dos o tres dificultades interesantes. La primera es saber elegir los puntos de la corriente que vamos a comparar con la ecuación de Bernoulli. Está claro que el punto C debe aparecer, ya que nos piden hallar la velocidad del chorro de salida por la manguera. Pero ¿con cuál lo comparo, con B (ese es el primer impulso) o con A? La respuesta es que sólo comparando con A hallaremos la solución. Pero en principio no hay cómo saberlo: sólo la experiencia te lo irá enseñando. Si probamos la otra comparación el problema no sale y listo; no es grave, porque inmediatamente probamos el otro par... y ahí sí.
hA = 0,5 m, hB = 0,2 m, hC = 0 m
PA + δ g hA + ½ δ vA² = PC + δ g hC + ½ δ vC²
Las presiones en ambos puntos son iguales: en ambas se trata de la presión atmosférica, porque el líquido está en contacto con el aire; de modo que se cancelan. Si tomamos el nivel cero en la posición del punto C, su energía potencial se anula. Y la altura de A es hA= 0,5 m, la suma de las dos diferencias de altura del enunciado. Miremos lo que queda: δ g hA + ½ δ vA² = ½ δ vC² g hA + ½ vA² = ½ vC²
Acá aparece la segunda dificultad: no tenemos el valor de la velocidad del fluido en A, que no es otra cosa que la velocidad con que desciende el nivel de nafta del tanque. Por suerte hiciste este ejercicio, porque en varios otros vas a poder razonar de la misma manera: la velocidad en A es despreciable respecto de la velocidad en C, de modo que podés tirar todo ese término. Como ya sé que te parece un recurso mentiroso, después de hacer el problema te voy a demostrar por qué es correcto proceder así. Vamos de nuevo: g hA= ½ vC² ahora despejamos vC y calculamos vC = ( 2 g hA )½ vC = ( 2 . 10 m/s2 . 0,5 m )½ vC = 3,16 m/s Conocida la velocidad y la sección, el caudal es sencillo: QC = SC . vC = 4 x 10-4 m² . 3,16 m/s QC = 1,26 x 10-3 m3/s
15) Por una tubería con un área de sección transversal de 4,20 cm² circula el agua a una velocidad de 5,18 m/s. El agua desciende gradualmente 9,66 m mientras que el área del tubo aumenta a 7,60 cm². a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior? b) La presión en el nivel superior es de 152 kPa; halle la presión en el nivel inferior.
Todo estudiante debe -al menos- darse cuenta de lo siguiente: acá hay un problema típico de conservación de energía (Bernoulli). Tal vez entre en la duda de si puede considerar al agua como un líquido ideal (ya que se sabe que el agua es un líquido levemente viscoso y su viscosidad vale 1 cp), y el enunciado no aclara. Lo que podemos hacer es intentar resolverlo como si fuese ideal, y después vemos si podemos justificarlo. De modo que comparemos las posiciones A y B.
Para responder la primera pregunta no importa si el fluido es real o ideal... el principio de continuidad tiene validez SIEMPRE QA = QB SA . vA = SB . vB vB = SA . vA / SB vB = 4,20 cm² 5,18 m/s / 7,60 cm² vB = 2,86 m/s Ahora vamos a la segunda pregunta. Tomemos hB = 0. PA + δ g hA + ½ δ vA² = PB + ½ δ vB² y despejo PB PB = PA + δ g hA + ½ δ vA² – ½ δ vB² PB = PA + δ g hA + ½ δ (vA² – vB²) PB = 152 kPa + 1000 kg/m3 10 m/s² 9,66 m + ½ 1000 kg/m3 (5,18² – 2,86²) m/s PB = 257 kPa
16) Se tiene un recipiente de sección cuadrada mucho mayor que 1 cm², lleno de agua hasta una altura de 2,8 m con una pequeña abertura de sección 1 cm² a 0,7 m de altura, tapada por un corcho. a) Calcular la presión manométrica sobre el corcho. b) Si se extrae el corcho, calcular la velocidad de salida del líquido.
La primera parte del ejercicio es muy, pero muy sencilla. Se trata de una situación estática... hidrostática, que resolveremos, justamente, con el principio general de la hidrostática.
Tomemos dos puntos que nos van a servir para las dos partes del ejercicio: el punto A sobre la superficie libre del líquido y el puntoB justo al lado del orificio (ahora tapado por el corcho). ΔP = δ g Δy Como nos piden la presión manométrica, eso significa que la presión en el punto A vale cero, y la diferencia de presión resulta ser la presión en B, la presión sobre la parte interna del corcho. La diferencia de profundidad no es otra que la profundidad a la que se encuentra el corcho. Queda así: PB = δ g yB PB = 1.000 kg/m³ . 10 m/s² . 2,1 m PB = 21.000 P La segunda parte es claramente dinámica, porque el líquido comienza a fluir: se escapa velozmente por el orificio y desciende lentamente el nivel superior. Vamos a tener que aplicar el principio de Bernoulli. PA + δ g hA + ½ δ vA² = PB + δ g hB + ½ δ vB²
Ahí aparece nuestra incógnita que es la velocidad del líquido en el agujero,vB. Y el resto parece interminable. Pero puede resumirse bastante; por ejemplo: la presión en el punto Bserá valga lo que valga- igual a la presión en A, ya que el líquido está en ambos lugares en contacto libre con la atmósfera y sometido exclusivamente a su presión; por lo tanto podemos cancelarlos. La altura de B (ojo que Bernoulli habla de alturas, no de profundidades) podemos considerarla cero, y la de A, 2,1 m. Así vuela el término de la energía potencial de B. Aún así, con lo hecho hasta ahora esta parte del ejercicio no saldría, ya que tenemos una sola ecuación y dos incógnitas, fijate: δ g hA + ½ δ vA² = ½ δ vB²
17) Cuando se establece una diferencia de presión de 0,5 atm entre los extremos de cierto tubo recto de sección circular, fluye agua (coeficiente de viscosidad 1 cp) a razón de 30 litros por minuto. ¿Cuál sería el caudal si se reemplazara el caño por otro cuya longitud y diámetro son el doble que los del anterior, sin modificar la diferencia de presión? Voy a llamar A a la situación inicial, en la que se establece una diferencia de presión y un caudal con cierto caño, y B a la siguiente situación en la que se cambia el caño y con la misma presión aparece un nuevo caudal. Acá reacomodo los datos: dB = 2 dA Voy a trasladar esta relación a las secciones correspondientes. Acuérdate que la sección es igual
a: S = π r² = π (d/2)² = π d²/4. Entonces: SA = π dA²/4 SB = π dB²/4 SB = π (2dA)²/4 SB = π 4dA²/4 SB = 4 . π dA²/4 SB = 4 SA Como Poiseuille habla de secciones al cuadrado, me fijo cómo se relacionan al estar al cuadrado. Para eso elevo ambos miembros al cuadrado: SB² = (4 SA)² SB² = 16 SA² Con la longitud ocurre que: ΔxB = 2 ΔxA Las diferencias de presión son iguales. ΔPB = ΔPA La descripción de Ohm-Poiseuille para ambos casos sería: QB RB = QA RA QB . 8 . π . η . ΔxB
QA . 8 . π . η . ΔxA =
SB²
SA²
Hay varios factores comunes a ambos miembros... QB . ΔxB
QA . ΔxA =
SB²
SA²
Despejamos QB: QA . ΔxA . SB² QB = SA² . ΔxB Hacemos algunos reemplazos con las relaciones que escibimos antes: QA . ΔxA . 16 SA² QB = SA² . 2 ΔxA QB = QA . 16/2 Q B = QA . 8 Pan comido... QB = 8 . 30 lit/min QB = 240 lit/min
18) En una persona adulta en reposo el caudal sanguíneo suele ser de unos 5 lit/min, siendo la presión media en la aorta de 100 mmHg y de 5 mmHg para la vena cava. a) ¿Cuál es la resistencia hidrodinámica total del sistema circulatorio (llamada RTP, resistencia periférica total)? b) ¿Cuál es la potencia media desarrollada por el corazón humano? c) Si durante el ejercicio el caudal aumenta aproximadamente un 200% y la presión media en la aorta un 40%, manteniéndose prácticamente inalterada en la vena, ¿cómo se modifican las respuestas anteriores?
La diferencia de presión es de 95 mmHg. Pasemos ese valor y el del caudal a las unidades del sistema internacional y calculemos. Q = 5 l/min = 8,3 x 10-5 m3/s ΔP = 95 mmHg = 1,24 x 104 Pa Usamos la Ley de Ohm hidrodinámica: ΔP = Q . R RPT = ΔP / Q
1,24 x 104 Pa RPT = 8,3 x 10-5 m3/s RPT = 1,5 x 108 Pas/m3 Ahora calculamos la potencia Pot = ΔP . Q Pot = 1,24 x 104 Pa . 8,3 x 10-5 m3/s Pot = 1,0 W Esta es la potencia que disipa el aparato circulatorio en su conjunto y que debe suministrar el corazón. Sin embargo, como toda máquina, consume más de lo que rinde: le cuesta más el automantenimiento. Mantenerse sano, tenso, alimentado, pulsátil, sincrónico y enamoradizo resulta en que nuestra bombita consume con una potencia total de aproximadamente 5 watts.
20) Un esquema muy simplificado de la circulación sistémica consiste en una bomba, el corazón, que mantiene aproximada-mente constante la diferencia de presión media entre la aorta y la vena cava inferior. La aorta se ramifica, llevando la sangre a los órganos, músculos y piel. Esas ramas van uniéndose gradualmente formando vasos cada vez mayores hasta llegar al corazón por la vena cava inferior. Esta circulación se puede esquematizar en un circuito modelo con varias resistencias en paralelo, como indica la figura. Calcular el caudal en cada resistencia y el caudal total en los siguientes casos:
Nota: a la unidad de resistencia mm Hg s/ml en fisiología se la denomina unidad de resistencia periférica (URP) a) Para el sistema propuesto. b) Si por alguna causa aumenta R1 al doble, (por ejemplo una vasoconstricción a nivel piel y mucosas)
c) Si agregamos una resistencia de bajo valor, R4 = 0,2 mmHg s/ml, en paralelo a las demás (shunt arterio-venoso).
Este esquema del sistema cardiovascular, por burdo que sea, tiene una enseñanza importantísima. Destaca el aspecto fundamental del sistema: está estructurado totalmente con resistencias en paralelo. Todos los lechos capilares (las resistencias) del cuerpo, sean miembros, órganos, o lo que fuere, están conectados directamente a la bomba (al corazón) sin pasar por otra resistencia. O sea, todo en paralelo. En el cuerpo humano existe sólo dos excepciones a esta regla de estructura general, son los sistemas porta: el porta-hepático (conecta el instestino con el hígado) y el porta-hipofisiario (conecta hipotálamo con hipófisis, en el cerebro). El ejercicio también contiene otra enseñanza importante: el sistema cardiovascular no es estático, esta totalmente regulado con regulaciones de todo tipo, locales y centrales. Pero vamos a las resoluciones. Ya que la nota del enunciado nos ofrece una unidad de resistencia más sencilla voy a resolver los circuitos con esa unidad, aunque para el cálculo de caudal tendremos que volver a la original. Entonces: mmHg.s/ml = URP El primer circuito es el original. Para conocer el caudal que sale de la bomba debemos conocer la resistencia equivalente total. Reqa = [(2 URP)-1 + (3 URP)-1 + (5 URP)-1]-1 ¡Qué manera loca de escribirlo! Se trata de la inversa de la suma de las inversas, ¿no? Verificá haciendo la suma de las fracciones, te tiene que dar lo mismo que a mí: 30/31. Reqa = 0,97 URP Obviamente debe ser un valor de resistencia menor que elmenor valor de las resistencias que forman el paralelo (y 0,97 es menor que 2, o sea, por ahí vamos bien). Ahora que conocemos el valor de la resistencia total podemos aplicar la ley de Ohm hidrodinámica, y de ahí despejar el caudal total que sale del corazón.
Qa = ΔP / Reqa Qa = 103 ml/s = 1,7 lit/min Qa = 100 mmHg / 0,97 mmHg.s/ml Comparado con los 5 litros por minuto, que es la media para un corazón de adulto, parece poco. Pero es que el esquema no es suficientemente completo, están faltando muchas resistencias por las que circula la sangre. También podríamos haber encontrado el caudal de cada resistencia individualmente y hallar la total como suma de las 3. Hagámoslo: Q1 = ΔP / R1 = 100 mmHg / 2 mmHg.s/ml = 50 ml/s Q2 = ΔP / R2 = 100 mmHg / 3 mmHg.s/ml = 33 ml/s Q3 = ΔP / R3 = 100 mmHg / 5 mmHg.s/ml = 20 ml/s Qa = Q1 + Q2 + Q3 = 50 ml/s + 33 ml/s + 20 ml/s = 103 ml/s
21) Para un tubo horizontal de sección variable, como muestra la figura, con un fluido viscoso que entra por un extremo y sale por el otro, determine para los puntos A, B y C, qué opción es la correcta. a) La velocidad en C es menor que en A. b) Las velocidades y presiones en los tres puntos son iguales. c) Las presiones en A y C son iguales. d) La velocidad y la presión en A son mayores que en B. e) La veloc. en A es menor que en B, y la presión en A es mayor que en C. f) La diferencia de presión entre A y B es la misma que entre C y B.
Te propongo lo siguiente... Vamos a tratar de establecer todas las relaciones que podamos entre las velocidades y las presiones de esos tres segmentos del tubo... luego nos fijamos cuál de las proposiciones coincide o no con ellas. Lo más fácil es el asunto de las velocidades: como el caudal debe ser el mismo en toda la tubería (QA = QB = QC) los productos de sección por velocidad deben ser iguales también: SA vA = SB vB = SC vC. Luego, siendo las secciones A y C iguales (o casi iguales) y la sección B menor a ellas... debe ocurrir que:
vA = vC vB > vA vB > vC
Ahora vamos con las presiones. Como el fluido es viscoso debe haber una caída de presión a lo largo del tubo... pero eso cuenta sólo si el tubo es de sección constante (que no lo es), de modo que sólo sirve para comparar la sección A con la C. PA > PC Para comparar la sección B con las otras dos es un poco más problemático. Según el principio de Bernoulli, al aumentar la velocidad disminuye la presión. Eso pasa justamente con el paso de A hacia B... que coincide con la disminución de presión por viscosidad a lo largo del recorrido, de modo que acá no hay duda... PA > PB Pero en el último par no podemos tener certeza, porque el efecto de la viscosidad tiende a disminuir la presión al pasar de B a C... pero el efecto Bernoulli tiende a generar un aumento de presión en el mismo pasaje (por disminución de la velocidad). No hay datos para decidir qué efecto prevalece (incluso podrían compensarse exactamente). Pero con las certezas que pudimos encontrar hasta ahora... hay una sola que coincide con alguna de ellas y no contradice ninguna. Te dejo el punteo a vos. respuesta e), la única verdadera.
22) Por dos caños cilíndricos A y B, de igual longitud, circula agua: ¿cuál es la relación entre sus resistencias hidrodinámicas si la sección de A es el doble que la de B? (Ayuda: se habla de la sección y no del radio ni del diámetro). a) RA = 0,25 RB b) RA = 2 RB c) RA = 0,5 RB d) RA = RB e) RA = 4 RB f) RA = 16 Acá hay otro problema típico de Ley de Poiseuille. El ejercicio (lo reconozco) tiene un 90% de álgebra y apenas un 10% de Física. Resignados... las resistencias de A y Bestarán dadas por: RA = 8 . π . η . LA / SA² RB = 8 . π . η . LB / SB²
Dividamos miembro a miembro ambas expresiones: RA
8 . π . η . LA . SB² =
RB
8 . π . η . LB . SA²
(Acordate que lo que está dividiendo en el denominador pasa multiplicando al numerador, y viceversa). Como las longitudes de los caños son iguales y el fluido que circula es el mismo (o sea que la viscosidad es la misma), las podemos cancelar: RA
SB² =
RB
SA²
Ahora bien, el enunciado afirma que SA = 2 . SB Si elevamos los dos miembros al cuadrado, nos queda que: SA² = 4 . SB² Ahora reemplazamos esto en la expresión del cociente entre las resistencias, nos queda: RA SB² = RB
4 . SB²
RA
1 =
RB
4
RA = 0,25 RB
respuesta a)
23) Una canilla tiene una sección de 2 cm² y por ella circula agua con un caudal volumétrico de 12 litros por minuto. Si el chorro tiene una longitud de 45 cm, determinar la sección inferior del mismo. Se trata de un ejercicio muy elegante, aunque tiene algunas arrugas que vamos a tener que planchar. Debemos suponer que el chorrito de agua es completamente laminar y que el fluido se comporta en forma ideal. Hechas estas suposiciones todo va a restringirse a aplicar Bernoulli apropiadamente. Ahora sí, planteamos la conservación de la energía (o sea, la ecuación de Bernoulli) entre A y B. PA + δ g hA + ½ δ vA² = PB + δ g hB + ½ δ vB² Las presiones en ambos puntos son iguales: en ambas se trata de la presión atmosférica, porque el agua está en contacto con el aire tanto a la salida de la canilla como a lo largo de todo el recorrido de chorro (volveremos a charlar sobre este asunto al final); de modo que se cancelan. δ g hA + ½ δ vA² = ½ δ vB² g hA + ½ vA² = ½ vB² Si tomamos el nivel cero en la posición del punto B, su energía potencial se anula. Y la altura de A es hA= 0,45 m: vB² = 2 g hA + vA² vB² = 2 . 10 m/s² 0,45 m + (1 m/s )² vB = 3,16 m/s
Con ese valor volvemos a la ecuación de continuidad... (¡No hace falta que te recuerde que el caudal es el mismo en cualquier altura del corrito!) QA = QB = SB . vB
SB = QB / vB SB = 2 x 10-4 m-3/s / 3,16 m/s SB = 0,63 x 10-4 m² = 0,63 cm²
24) Por un caño horizontal fluye un líquido de viscosidad insignificante, densidad 1000 kg/m3 y velocidad 2 m/s. En un tramo la cañería se angosta disminuyendo su diámetro a la mitad. Entonces, la presión en la parte ancha de la cañería: a) es inferior a la presión en la parte angosta en 6 kPa, b) es inferior a la presión en la parte angosta en 30 kPa, c) es igual a la presión en la parte angosta, d) excede a la presión en la parte angosta en 6 kPa, e) excede a la presión en la parte angosta en 12 kPa, f) excede a la presión en la parte angosta en 30 kPa. Acá hay otro problema típico de conservación de energía (Bernoulli). Verás que entendido esto el ejercicio tiene un 90% de álgebra y apenas un 10% de Física. Resignados, las posiciones A y B:
El principio de continuidad relaciona los caudales en ambos sectores del caño: QA = QB y también relaciona velocidades y secciones, pero el enunciado del problema no relaciona las secciones sino los diámetros (el doble de los radios). DA = 2 . DB r A² = 4 . r B ²
rA = 2 . rB π . r A² = 4 . π . r B ²
SA = 4 . SB Ahora volvamos al principio de continuidad SA . vA = SB . vB
4 . SB . vA = SB . vB
4 . vA = vB
Con esto podés saber cuánto vale la velocidad en B; pero contenete, no lo averigües, tratá de soportarlo. Pasemos a Bernoulli (la expresión reducida, sin los términos que hablan de las diferentes alturas): PA + ½ δ vA² = PB + ½ δ vB² reordeno para que el resultado sea la respuesta al problema, PB – PA = ½ δ vA² – ½ δ vB² PB – PA = ½ δ (vA² – vB²) ahora recuerdo esa relación entre velocidades que me contuve de usar: 4 . vA = vB
16 . vA² = vB²
esto lo meto en la de Bernoulli que estaba esperando: PB – PA = ½ δ ( vA² – 16 . vA²) PB – PA = – ½ δ 15 . vA² PB – PA = – ½ . 15 . 1000 kg/m3 . 4 m²/s² PB – PA = – 30 kPa
25) Se oprime el émbolo de una jeringa de modo que por la aguja sale líquido con caudal Q. Si se alivia la presión sobre el émbolo de modo de reducir el caudal a la mitad, considerando un líquido ideal, la diferencia de presión entre el líquido que se mueve por la aguja, A, y el que se mueve por el émbolo, E, respecto de su valor anterior es: a) el doble, siendo en cada caso la presión en A mayor a la de E, b) el doble, siendo en cada caso la presión en E mayor a la de A, c) la mitad, siendo en cada caso la presión en A mayor a la de E d) la mitad, siendo en cada caso la presión en E mayor a la de A, e) un cuarto, siendo en cada caso la presión en E mayor a la de A,
f) un cuarto, siendo en cada caso la presión en A mayor a la de E.
Con este esquemita sencillísimo que hice ya alcanza para definir todas las variables que entran en juego en el ejercicio. Pese a que en el texto voy a volver a hacerlo no siempre es tan claro y práctico como en el esquema. Si vos querés que el líquido fluya hacia la derecha no cabe otra posibilidad que la presión sea mayor en el émbolo y menor en la aguja. Eso ya te permite descartar las opciones a), c) y f). Vamos a la resolución. Como lo que estamos inyectando es un líquido ideal (probablemente un remedio para la gripe, o algo así) podemos utilizar el Principio de Bernoulli. Con él describo el momento inicial P0E + δ g h0E + ½ δ v0E² = P0A + δ g h0A + ½ δ v0A² A menos que se trate de una jeringa gigante (como para tiranosaurios) la diferencia de altura es despreciable... en el sentido que las diferencias de presión que provoca la diferencia de altura son insignificantes en comparación con las que provoca la diferencia de caudal. No vale decir que la diferencia de alturas es cero porque el dibujo en el esquemita te lo hice con la jeringa dispuesta horizontalmente: el tema es que aunque estuviese vertical, la diferencia de altura es despreciable, ¡puaj! Entonces vamos a despreciar los términos de altura (de presión hidrostática) y vamos a reagrupar los otros términos para operar más cómodamente. ΔP0 = ½ δ v0A² – ½ δ v0E² ΔP0 = ½ δ ( v0A² – v0E² ) El enunciado nada nos dice sobre las velocidades del líquido; en cambio habla de caudales. Eso me incita a expresar las velocidades en función de los caudales. Eso es fácil ya que para cualquier
fluido se cumple siempre que el caudal, Q, es igual al producto entre la velocidad del fluido, v, y la sección transversal del conducto, S. Entonces: v0E = Q0 / SE
→
v0E² = Q0² / SE²
v0A = Q0 / SA
→
v0A² = Q0² / SA²
No hace falta que te marque que el caudal siempre es el mismo en cualquier parte del trayecto (principio de continuidad), por eso puse Q0 en lugar de Q0E y Q0A. Ahora vuelvo a escribir la última expresión que teníamos de Bernoulli, pero esta vez lo hago en función de los caudales. ΔP0 = ½ δ [(Q0² / SA²) – (Q0² / SE²)]
[1]
El mismo proceso nos llevaría a describir la situación final de este modo ΔPF = ½ δ [(QF² / SA²) – (QF² / SE²)] Y es dato del problema que el caudal en la segunda instancia es la mitad del caudal en la primera instancia. O sea: Q F = Q0 / 2
→
QF² = Q0² / 4
Si reemplazo esto en la última ecuación, queda: ΔPF = ½ δ [(Q0² / 4SA²) – (Q0² / 4SE²)] Sacando esos cuatros como factor común y luego fuera del paréntesis, ΔPF = ¼ ½ δ [(Q0² / SA²) – (Q0² / SE²)]
[2]
Ahora si comparas [1] con [2] coincidirás conmigo en que:
ΔPF = ¼ ΔP0
respuesta e)
26) Se dispone de tres caños cuyas resistencias hidrodinámicas son R1 y R2 de 1000 (en ciertas unidades) cada una y R3 de 2000 (en las mismas unidades). ¿Cómo conectarlos para
lograr una resistencia equivalente de 750? a) los tres en serie; b) los tres en paralelo; c) R1 y R2 en paralelo, y ellos en serie con R3; d) R1 y R2 en serie, y ellos en paralelo con R3; e) R1 en paralelo con R3, y ellos en serie con R2; f) R1 en serie con R3, y ambas en paralelo con R2. No creo que exista un modo directo de llegar a la respuesta. En esta etapa de aprendiz tendrás que resolver todas las conexiones que te proponen y calcular sus resistencias totales hasta hallar la buscada. Con la experiencia vas a llegar en menos pasos. Yo te voy a contar cuánto vale la resistencia equivalente en cada caso, y voy a desarrollar sólo el buscado... que es el último.
Acá tenés un esquema del circuito descripto en f). Resulta obvio que hay que empezar por lo más simple: en este caso, la asociación en serie entre las dos resistencias de arriba. La reemplazamos por su equivalente que, por tratarse de una serie, es la suma directa de ambas. Ahora pasamos a un paralelo sencillo que, para resolverlo, podemos sumar las inversas de sus dos componentes. Así llegamos al resultado buscado y chaupinela (¿quéeeee?). Estos son los resultados de las otras configuraciones. Ra = 4.000 u Rb= 400 u Rc = 2.500 u Rd = 1.000 u Re = 1.666 u
REf = 750 u
respuesta f)
27) Un caño horizontal de 5 cm² de sección, que transporta agua (considerarla fluido ideal) a 2 m/seg tiene un tramo de 2,5 cm² de sección. Entonces, la diferencia de presión entre ambas secciones, expresada en pascales, es: a) 500 b) 1,5 c) 6.000 d) 1.500 e) 375 f) 5 Si consideramos que se trata de un fluido ideal, donde la viscosidad vale cero, entonces podemos pedirle ayuda a nuestro amigo Bernoulli que nos la va a prestar con seguridad. Voy a llamar A a la parte ancha y B a la angosta.
Los datos que aporta el enunciado permiten afirmar que: SA = 2 SB Eso tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que el principio de continuidad afirma que:
QA = Q B SA . vA = SB . vB 2 SB . vA = SB . vB 2 vA = vB 4 vA² = vB²
Ahora podemos plantear la ecuación de Bernoulli (sin los términos de energía potencial ya que todo ocurre a la misma altura). ΔP = ½ δ (vA² – vB²) ΔP = ½ δ (vA² – 4 vA²) = – ½ δ 3 vA² ΔP = – ½ 1.000 kg/m3 . 3 . 4 m²/s²
ΔP = – 6.000 Pa
respuesta c)
28) Un caño de 4 cm² de sección por el que fluye un líquido con velocidad V y caudal Q se divide en dos caños iguales, en paralelo, de 1 cm² de sección cada uno. Entonces, en cada uno de esos caños la velocidad y el caudal de líquido son, respectivamente: a) V/2 y Q/2 b) 2V y Q c) V y Q/2 d) V y Q e) V/2 y Q f) 2V y Q/2
Este es en ejercicio mega, archi, súper, giga, recontra, hipersencillo. No debería hacerlo. Pero voy a aprovecharlo sólo para que le prestes atención al modo en que lo resuelvo, esto es: para contárselo a otro, en este caso a vos. Lo que tiene de importante esto es que en algún momento vos vas a tener que contarle lo que sabés a otra persona: seguramente un docente, seguramente en un examen (este preámbulo es todo un tema, y te sugiero que le prestes atención). Lo primero que hago es un garabato según voy interpretando el enunciado. Habitualmente tengo que tachar, retroceder, corregir, rehacer... según el grado de dificultad con que está expresado el ejercicio, o el grado de atención que tengo, etcétera. Pero finalmente queda un esquema, que es una herramienta importante porque tiene implícita la definición de términos y símbolos que después aparecen en el álgebra. Acá va el mío:
Y ahora a los bifes. El principio de continuidad garantiza que todo lo que entra por un lado salga por el otro lado en el mismo intervalo de tiempo; o sea, que el caudal de entrada, Q, sea igual al caudal de salida QS. Pero, por otro lado, el fluido sale por dos conductos, de modo que el caudal de salida se reparte en dos cudales, Q' y Q''. Q = QS = Q' + Q'' Es demasiado obvio que si las secciones de los tubos de salida son iguales, también lo serán las velocidades y los caudales en cada uno; de modo que podemos escribir:
Q = 2 Q'
[1]
Con esto ya contestamos la mitad del ejercicio. Pero falta la cuestión de la velocidad y eso nos vuelve a requerir el asunto de la continuidad: Q=A.v
[2]
Q' = A' . v'
[3]
Y por otro lado tenemos los datos que relacionan las áreas de los tubos: si A = 4 cm² yA' = 1 cm², entonces A = 4 . A'
[4]
Reemplazando A . v = 2 . A' . v'
=>
4 . A' . v = 2 . A' . v'
Simplifico y ya tengo la respuesta que faltaba. 2V y Q/2
respuesta f)
29) Un líquido de viscosidad insignificante fluye por un caño horizontal con régimen estacionario y laminar. En cierto lugar del caño el fluido tiene presión P y velocidad V. En otro lugar del caño, donde la sección es menor, la presión P’ y la velocidad V’ cumplen: a) P’< P y V’> V b) P’< P y V’< V c) P’> P y V’> V d) P’> P y V’< V e) P’= P y V’> V f) P’= P y V’< V No sé si te diste cuenta... pero esa mención, dicha casi al pasar: viscosidad insignificante, es lo que te permite usar el Teorema de Bernoulli. Se trata de un fluido ideal. (Ya te habías dado cuenta, ¿no?). Las variables no primadas corresponden a la parte ancha, y las variables pimadas a la parte angosta.
El enunciado afirma que: S' < S
Eso tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que el principio de continuidad asegura que: Q' = Q S' . v' = S . v Siendo la sección posterior menor que la anterior, para que se cumpla esa igualdad no cabe otra posibilidad que la velocidad posterior sea mayor que la anterior: v' > v Ya tenemos parte de la respuesta. Mayor va a ser la diferencia si a cada velocidad la multiplicamos por sí misma. v'² >> v² Hice eso porque Bernoulli contiene velocidades al cuadrado. Ahora podemos plantear la ecuación de Bernoulli (sin los términos de energía potencial ya que todo ocurre a la misma altura). P' + ½ δ v'² = P + ½ δ v² El término de energía cinética depende exclusivamente de la velocidad, ya que la densidad es constante, entonces... ½ δ v'² >> ½ δ v² Y para que la suma de los dos términos de cada miembro sean iguales, no cabe otra posibilidad que: P' << P
De todas las ofertas combinadas que nos hace el enunciado, la única que encaja en nuestras deducciones es la respuesta: a) P’< P, V’> V
30) ¿Qué fuerza produce un viento de 120 km/h sobre un techo de chapa de 3m x 3m? Considerar la densidad del aire 1,2 g/lt.
a) 2.500 kgr d) 150 kgr
b) 500 ton e) 31 kgr
c) 250 kgr f) 600 kgr
Acá tienes un ejercicio revelador. La cuestión numérica, la aplicación de la ecuación de Bernoulli -que es lo que tenemos que usar-, todo eso es bastante sencillo, vas a ver; pero lo interesante es que te muestra fenómenos insospechados. Primero pasemos las magnitudes a unidades homogéneas, operables entre sí. Vamos al MKS (si no tienes presente cómo se realiza el pasaje de unidades, te ofrezco una ayuda aquí). v = 120 km/h = 33,33 m/s δ = 1,2 g/lt = 1,2 kg/m3 Ahora sí, vamos a Berni. Entre arriba y abajo del techo de chapa la diferencia de altura es despreciable, de modo que no vamos a utilizar los términos de energía potencial. Acá la cuestión importante es la cinética: en el exterior de la casa el viento tiene una velocidad alta, que llamaré vE, y en el interior de la casa la velocidad del viento, vI, es nula (a menos que tengamos abiertas las ventanas, cosa poco recomendable un día tan ventoso). ΔP = ½ δ (vE2 – vI2) El orden en que que realices la resta es arbitrario. La cuestión física es que afuera la presión es menor y adentro, mayor. Sacando vI porque vale cero, queda: ΔP = ½ δ vE2 ΔP = ½ 1,2 kg/m3 (33,33 m/s) ΔP = 667 Pa Eso implica que sobre el techo habrá una fuerza neta aplicada de: F = ΔP . A = 667 Pa . 9 m2 F = 6.000 N = 600 kgf
31) Un tanque de agua de 6.000 litros de capacidad se encuentra a 20 m de altura. ¿Qué presión, en atm por encima de la atmosférica, debería proveer la empresa que suministra el agua para que la misma llegue hasta el tanque?
a) 4
b) 1
c) 10
d) 2
e) 20
f) 0,2
Observa este esquema, traté de hacerlo coincidir lo más que pude con el enunciado del ejercicio, ¿te parece?: 20 metros, 6.000 litros... Llamé PE (por presión que provee la empresa) y PT(por presión debida al tanque) a las respectivas presiones que juegan en el ejercicio. Se trata de presiones hidrostáticas... porque no interesa que el fluido esté o no en movimiento. Si se quiere que el agua ascienda el caño vertical y llene el tanque la presión en el caño horizontal (PE) tiene que ser mayor (o por lo menos igual) a la presión en la parte inferior del caño vertical. En el tanque, no nos interesa que el agua esté bajo presión, aunque inevitablemente va a estar presionada por la atmósfera (no tendría sentido fabricar tanques herméticos).
Puedes ignorar esa presión atmosférica que tanto empuja en el tanque como en la empresa proveedora de aguas... o, si vos quieres, puedes pensar en una escala de presiones relativas, en las que la presión atmosférica valga cero. Ese era todo el secreto. El resto lo hace Bernoulli. PE ≤ PT PE ≤ δ g ΔhT PE ≤ 1.000 (kg/m³) 10 (m/s²) 20 m PE ≤ 200.000 Pa PE ≤ 2 atm
respuesta d)
32) Dos caños idénticos conectados en serie presentan una resistencia hidrodinámica total R, para el pasaje de agua. Si los mismos caños se conectaran en paralelo, la resistencia total sería: a) R/4
b) 4R
c) R/16
d) 2R
e) R/8
Si algo te enseña este ejercicio es que definir precisamente los nombres de las magnitudes que intervienen es tarea fundamental. Mirá si no: Acá tenés la situación: dos caños idénticos cuya resistencia NO ESTA MENCIONADA en el enunciado, y que yo llamé r (erre minúscula). El conjunto dispuesto en serie ofrece una resistencia R (mayúscula, tal como indica el enunciado). Y si esos dos mismos caños los disponemos en paralelo... la resistencia que ofrece el conjunto la voy a llamarR', ¿estás de acuerdo?. Esa es la incógnita del enunciado. Primero voy a relacionar el valor de la resistencia individual, r, con la de cada arreglo: En la serie: R=r+r R=2r r=R/2
[1]
En el paralelo: R' = r . r / ( r + r ) R' = r / 2
[2]
Ahora, si relacionamos [1] y [2]
R' = R / 4
respuesta a)
33) A un paciente en un hospital se le efectúa una transfusión de sangre a través de una vena del brazo. El médico quiere suministrarle 500 cm3 en 20 minutos y utilizar una aguja de 40 mm de longitud y radio interior 0,5 mm. La presión intravenosa manométrica del paciente es de 15 mm de Hg. La bolsa con sangre se cuelga a cierta altura por encima del brazo de modo que la presión manométrica a la entrada de la aguja sea la adecuada. La viscosidad de la sangre a (37ºC) es de 2,1 mili Pa.s. Determine la presión manométrica a la entrada de la aguja
Pasemos en limpio algunos datos. La presión en la bolsa, PB es la de la atmósfera. La presión en la vena, PV, es dato del ejercicio (además todos los humanos, más o menos, tienen el mismo valor... aunque entres a la guardia en coma). La presión en la aguja, PA, tiene que ser un poco mayor que en la vena para lograr vencer la resistencia hidrodinámica y entrar al torrente sanguíneo, veremos cuánto.
Acá tenemos una ensalada de unidades... así que voy a ir pasando todo al sistema métrico... es lo más aséptico. PB = 0 mmHg = 0 Pa P A = δS . g . h = ? PV = 15 mmHg = 2.000 Pa Como te puse ahí, la presión en A será igual a la densidad de la sangre que es casi igual a la del agua (δS = 1,06 . 103 kg/m3), por la gravedad, por la altura a la que se coloque la bolsa... que ya la
averiguaremos. El tordo quiere que la sangre entre con un caudal (vamos a suponerlo constante) de: Q = 500 cm3/20 min = 4,17 . 10-7 m3/s La resistencia hidrodinámica que hay que vencer nos la da Poiseuille: R = (8/π) η l / r4 = R = (8/π) 2,1 10-3 Pa.s . 40 10-3m / (0,5 10-3m)4 = R = 3,424 109 Pa.s.m-3 El tordo quiere que la sangre entre con un caudal (vamos a suponerlo constante) de: Q = 500 cm3/20 min = 4,17 . 10-7 m3/s La resistencia hidrodinámica que hay que vencer nos la da Poiseuille: R = (8/π) η l / r4 = R = (8/π) 2,1 10-3 Pa.s . 40 10-3m / (0,5 10-3m)4 = R = 3,424 109 Pa.s.m-3
La diferencia de presión que logra vencer esa resistencia produciendo el caudal que calculamos antes, nos lo da la Ley de Ohm: ΔP = Q . R ΔP = 4,17 . 10-7 m3s-1 . 3,424 109 Pa.s.m-3 ΔP = 1.427 Pa = 1,427 103 Pa esa diferencia de presión no es otra que la que entre la entrada y la salida de la aguja, o sea: PA – PV . ΔP = PA – PV = 1,427 103 Pa O sea que la presión en la entrada de la aguja tiene que ser 1.427 Pa más alta que en la vena: PA = 1,427 103 Pa + 2 . 103 Pa
PA = 3,427 103 Pa 34) Tres conductos horizontales, de igual longitud y área, conducen un fluido viscoso entre dos depósitos que mantienen sus presiones constantes. En esas condiciones circula un caudal total de 24 lt/min. Si se reemplazan los tres conductos por otros dos, de igual longitud pero de sección doble, ¿cuánto valdrá el caudal circulante en esas condiciones (en lt/min)?
Llamemos A la la situación inicial con 3 tubitos y 24 lt/min, y B a la segunda situación en la que hay 2 tubitos, pero más anchos, y un caudal, QB, que queremos averiguar. ΔP = QA . RA ΔP = QB . RB A la diferencia de presión no le puse subíndice porque el enunciado aclara que se trata de los mismos tanques y en condiciones estacionarias. De modo que podemos igualar: QB . RB = QA . RA [1] QA es el caudal dato, y QB la incógnita. Si podemos establecer una relación numérica entre las resistencias hidrodinámicas para las dos situaciones podremos encontrar una relación numérica entre los dos caudales y decir cuánto vale QB. Es posible encontrar la relación entre las resistencias... pero vamos por parte, porque es fácil perderse. Empecemos por las resistencias de los tubitos individuales. La resistencia de 1 tubito sólo (mirá que hay 3) en el caso A, está dado por Poiseuille: R1A = (8π) η l / SA2 Y la resistencia conjunta de los 3 tubitos es la tercera parte (tres tubitos en paralelo tiene menos resistencia que un tubito solo). Si no te cierra ésto estás en la lona. RA = R1A /3 O lo que es lo mismo: R1A = 3 RA
[2]
De mismo modo se puede decir, para la situación B, que R1B = (8π) η l / SB2 RB = R1B /2 O lo que es lo mismo: R1B = 2 RB
[3]
Y para relacionar ambas situaciones hacemos uso del dato del enunciado que dice que la sección de los tubitos de reemplazo es el doble que los originales. SB = 2 SA Como nosotros vamos a necesitar usar cuadrados de secciones, elevamos esa igualdad al cuadrado y obtenemos: SB2 = 4 SA2 Ahora metemos esta nueva igualdad en la expresión de la resistencia de 1 tubito B: R1B = (8π) η l / SB2 = (8π) η l / 4 SA2 R1B = R1A /4 Las resistencias de los tubitos individuales las reemplazamos por sus respectivos equivalentes de resistencia conjunta, [2] y [3]: 2 RB = 3 RA /4 Finalmente, despejamos RA RA = 8 RB /3 y lo metemos en la relación de caudales [1]: QB . RB = QA . 8 RB /3 QB = QA . 8/3 QB = 24 lt/min . 8/3 QB = 64 lt/min
35)Tres caños idénticos conectados dos en serie y el conjunto en paralelo con el tercero, presentan una resistencia hidrodinámica total R, para el pasaje de agua. Si los tres mismos caños se conectaran en serie, la resistencia total sería: a) 9R/2
b) 2R/3
c) 3R/2
d) R/2
e) 3R
f) R
Si algo te enseña este ejercicio es que definir precisamente los nombres de las magnitudes que intervienen es tarea fundamental. Mirá si no: Acá tenies a situación: tres caños idénticos cuya resistencia NO ESTA MENCIONADA en el enunciado, y que yo llamé r (erre minúscula). El conjunto dispuesto como se describe en el enunciado ofrece una resistencia R(mayúscula, tal como indica el enunciado). Y si esos tres mismos caños los disponemos en serie... la resistencia que ofrece el conjunto la voy a llamar R', ¿estás de acuerdo?. Esa es la incógnita del enunciado. Primero voy a relacionar el valor de la resistencia individual, r, con la de cada arreglo:
En el primer arreglo, tenemos dos ramas una de ellas tiene dos resistencias r en serie. La resistencia de esa rama es, entonces 2r. La otra rama del paralelo tiene una resistencia r, de modo que el conjunto tendrá una resistencia total R: R = ( 2r . r ) / (2r + r ) R = 2 r² / 3r R = 2 r/ 3 r=3R/2
[1]
En el segundo arreglo: R' = r + r + r R' = 3 r
[2]
Ahora, si relacionamos [1] y [2] R' = 3 . 3 R / 2 R' = 9 R / 2
respuesta a)
36) Un líquido de densidad 1,8 kg/lt y viscosidad insignificante fluye a 20 cm/s por un tubo horizontal de 2 cm de radio, siendo su presión de 8 Pa. Luego se ramifica en varios tubos horizontales iguales de 1cm de radio cada uno, en los que el líquido viaja a 10 cm/s. ¿En cuántos tubos se ramifica?
Lo primero que deberías haber captado del enunciado es que se trata de un fluido de viscosidad insignificante, de modo que, como no hay pérdida de energía, podés resolverlo cómodamente utilizando el principio de Bernoulli... y el de continuidad, por supuesto, que es independiente del tipo de fluido.
Si vos sos de los que no se hacen un esquema para describir el ejercicio... pasan varias cosas: no tenés muchas ganas de que el ejercicio te salga, odiás a tus docentes, los que te van a corregir el ejercicio en el examen y no te importa que ellos se sientan odiados. Verás que aproveché el esquema para ponerle nombre a las variables que entran en juego. Llamé 1 al tubo único por el que fluye el fluido con una velocidad v1 y que tiene un radio r1 y una sección transversal S1. Y llamé 2 a la parte ramificada, en la que hay n tubos (no sabemos cuántos) que cada uno tiene un radio r2 y una sección S2 y por el que el fluido circula a una velocidad v2. La más malvada trampa que tiene este ejercicio (en la que cae el 47,62% de los estudiantes es pretender aplicar continuidad (o sea el principio de conservación de la materia), entre el caño 1 y uno solo de los caños 2. ¡Terrible! ¡El fluido se reparte en ncañitos pequeños! O sea pasa por una sección total, ST2, que es igual a n veces la sección S2. Con ese concepto tenés que aplicar continuidad:
S1 . v1 = ST2 . v2 S1 . v1 = n S2 . v2
Despejando n y recordando que una sección circular vale pi por radio al cuadrado... n = S1 . v1 / S2 . v2 n = π r12 . v1 / π r22 . v2 n = (2 cm)2 . 20 cm/s / (1 cm)2 . 10 cm/s n = 80 / 10 n=8 37) Una pequeña arteria tiene una longitud de 0,11 cm y un radio de2,5 x 10-5 m. Calcular su resistencia y su caudal si la diferencia de presión a lo largo de la arteria es 1,3 kPa.
De acá a la china un sencillo ejercicio de aplicación de la ley de Poiseuille. Como siempre el mayor cuidado hay que ponerlo en el manejo de unidades. R = 8 . η . Δx / π r4 Donde R es la resistencia que nos piden, η es la viscosidad de la sangre (cuyo valor2,084 Pa.s no aporta el enunciado pero es una constante fácil de localizar), Δx es la longitud de la arteria y r es su radio. R = 8 . 2,084 Pa.s . 1,1 x 10-3 m / 3,14 . (2,5 x 10-5 m)4 R = 1,5 x 10-13 Pa.s/m3 Ya estamos embalados... el resto es una papa: Q = ΔP / R Q = 1,3 x 103 Pa / 1,5 x 10-13 Pa.s/m3 Q = 8,67 x 10-11 m3/s
38) ¿Cuánto vale la potencia de una cascada de agua de 50 m de altura que vierte 1,6 x 106 kg por segundo? Ejercicio cuya única dificultad pasa por las unidades. La potencia de un caudal de fluido -en este caso, agua- se calcula multiplicando la diferencia de presión por el caudal: Pot = ΔPr . Q La presión surge de la diferencia de altura, los 50 metros de caída (no dejes de leer la discusión): ΔPr = δ . g . Δh ΔPr = 1.000 kg/m³. 10 m/s² . 50 m ΔPr = 50.000 Pa El caudal en realidad ya lo tenemos, pero expresado en masa por unidad de tiempo (lo que los ingenieros llaman gasto)... y lo necesitamos en volumen por unidad de tiempo. Esto no es problema, porque un metro cúbico de agua tiene una masa de 1.000 kilogramos.
Q = 1,6 x 106 kg/s . 0,001 m³/kg Q = 1,6 x 10³ m³/s Con esto estamos: Pot = 50.000 Pa . 1,6 x 10³ m/s Pot = 8 x 108 W
39) La resistencia hidrodinámica de un conducto cilíndrico nuevo es R. Con el uso, el depósito de sedimentos en sus paredes internas hizo que su resistencia valiera 3R. Si se desea conectar un nuevo conducto en paralelo con éste de modo que tal conjunto vuelva a tener una resistencia equivalente igual a R, la resistencia hidrodinámica del conducto agregado será:
Ahí tienes dibujado el conjunto en paralelo: una de las ramas la ocupa el caño viejo de resistencia 3R, y la otra el conducto nuevo cuya resistencia, X, desconocemos. Queremos que la resistencia equivalente del conjunto tenga una resistencia R, como el conducto original, que ya no existe. La ley de agrupaciones de resistencias en paralelo nos dice que: 1 1 1 + R1 Y en nuestro caso será:
= R2
Req
1
1 +
3R
1 =
X
R
De ahí despejamos X y listo. ¡Qué terrible!, ¡Me quiero morir! X + 3R
1
3R . X
X + 3R = 3X
=
=>
R
X + = 3R
3R . X R
3R = 2X
X = 3R/2
41) La cañería representada en la figura tiene una sección transversal A = 36 cm² en la parte ancha y B = 9 cm² en el estrechamiento. En régimen estacionario cada 5 segundos salen de la misma, 27 litros de agua. Calcular: La diferencia de presión entre ambas secciones.
Averigüemos la velocidad en A. vA = QA / SA vA = 0,0054 m³/s / 0,0036 cm² vA = 1,5 m/s Si consideramos que se trata de un fluido ideal, donde la viscosidad vale cero, entonces podemos pedirle ayuda a nuestro amigo Bernoulli que nos la va a prestar con seguridad. ΔP = ½ δ (vA² – vB²) ΔP = ½ 1.000 kg/m³ (36 m²/s² – 2,25 m²/s²) ΔP = ½ 1.000 kg/m³ 33,75 m²/s² ΔP = 16.875 Pa
42) Considerando que la potencia de un corazón es 1W, si la viscosidad de la sangre disminuye un 10%, indique cuál debería ser la potencia en este caso si se quiere mantener el mismo caudal.
Primero, que la potencia hidrodinámica es igual a cualquiera de estas 3 expresiones: Pot = ΔP . Q = R . Q² = (ΔP)²/R de la que usaremos la segunda, ya que las otras dos variables del ejercicio son el caudal, Q, y la resistencia, R. Entonces: Pot = R . Q² Y la otra expresión que habrá que tener presente es la que relaciona resistencia con viscosidad, η: 8π η l R= S2
Si juntamos las dos cosas para describir el primer momento cuando la potencia vale 1W:
1W=
8π η l
. Q²
[1]
La potencia nueva, Potn, cuando la viscosidad disminuye un 10% y el caudal es el mismo que antes... 8π (0,9 η) l Potn =
. Q² S2
Como el orden de los factores no altera el producto, puedo escribir eso mismo así: 8π η l Potn = 0,9 .
. Q² S2
Oh, ¡sorpresa! (Mirá la ecuación [1]). Potn = 0,9 . 1 W
Potn = 0,9 W
43).- Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 105 utm/m3. Su velocidad en el extremo de entrada es v0= 1,5 m/s, y la presión allí es de P0= 1,75 Kgf/cm2, y el radio de la sección es r0= 20 cm. El extremo de salida está 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí, es r1= 7,5 cm. Encontrar la presión P1en ese extremo.
Solución: La presión se puede encontrar mediante la ecuación de Bernouilli; sin embargo, previamente necesitaremos calcular la velocidad v1con la ecuación de continuidad:
A0 v0= A1 v1
de donde :
V1=
= 10,7 m/s
hora, según Bernouilli :
P0 + ρg h0 + ½ ρV²0= P1 + ρg h1 + ½ ρV²1
P1 = P0 + ρg [h0-h1] + ½ ρ[V²0- V²1]
P1 = 1,75x10⁴Kf/m +105 utm/m³x9,8 m/s²4,5m+ ( 105utm/m³(1,5²-10,7²)m²/s²) Pb= 16237,9 Kf/m²= 1.62 kf/ cm²
Note que si ponemos una válvula y cortamos el flujo de agua, P1= 2,21 Kgf/m²: sube
44).- Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el centro de la tubería se halla 50 cm más bajo que en a? ad
Solución:
Entre los puntos a y b se puede usar la ecuación de continuidad, de manera tal que:
AA vA= AB vB = G
De donde se pueden calcular las velocidades en a y en b:
También se puede ocupar la ecuación de Bernouilli para relacionar ambos puntos, de lo que se puede calcular la presión en b:
PA + ρg hA + ½ ρv²A= PB + ρg hB + ½ ρv²B
PB= PA + ρg [hA - hB]+ ½ ρ[v²- v²B]
PB= 106 Dinas/cm² +1 g/cm³x980cm/s²x50cm+ (1g/cm ³(45796-693889) cm²/s²) PB= 727953,5 Dinas/cm
45) La cañería representada en la figura tiene una sección transversal A = 36 cm² en la parte ancha y B = 9 cm² en el estrechamiento. En régimen estacionario cada 5 segundos salen de la misma, 27 litros de agua. Calcular la velocidad en el estrechamiento.
Solucion: Q = QA = QB = 27 lit / 5 s = 0,027 m³/ 5 s = 0,0054 m³/s Hallemos la velocidad en B. QB = SB . vB Por lo tanto: vB = QB / SB vB = 0,0054 m³/s / 0,0009 cm² vB = 6 m/s vB = 6 m/s Ya que estamos, averigüemos la velocidad en A. vA = QA / SA vA = 0,0054 m³/s / 0,0036 cm² vA = 1,5 m/s
46) Una manguera de agua de 2.00 cm. de diámetro es utilizada para llenar una cubeta de 20.0 litros. Si la cubeta se llena en 1.00 min., ¿cuál es la velocidad con la que el agua sale de la manguera? (1 L = 103 cm3)
Solución El área de la sección transversal de la manguera
es A = πr2 = π d = π 2.0 cm2 = π cm2
De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa de flujo es igual a 20.0 litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene
47) Si el diámetro de la manguera se reduce a 1.00 cm, y suponiendo el mismo flujo. ¿cuál será la velocidad del agua al salir de lamanguera? Respuesta: 424 cm/s
El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, conocido como tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la velocidad de flujo en un fluido incompresible. Determinaremos la velocidad de flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia de presión P1 -P2.
Puesto que el tubo es horizontal, y1 = y2, la ecuación de Bernoulli aplicada a los puntos 1 y 2 produce
Según la ecuación de continuidad se tiene que A1v1 = A2v2 . Al sustituir esta expresión en la ecuación anterior se obtiene
También se puede obtener una expresión para v1 utilizando este resultado y la ecuación de continuidad. Es decir,
Como A2 < A1, entonces P2 < P1. En otras palabras, la presión se reduce en la parte estrecha del tubo. Este resultado en cierto modo es análogo a la siguiente situación: Considérese un cuarto atestado de personas. Tan pronto se abre la puerta la gente empieza a salir y el arremolinamiento (presión) es menor cerca de la puerta donde el movimiento (flujo) es mayor.
48) Un tanque que contiene un líquido de densidad ρ tiene un agujero en uno de sus lados a una distancia y1 desde el fondo. El diámetro del agujero es pequeño comparado con el diámetro del tanque. El aire sobre el líquido se mantiene a una presión P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el nivel del líquido está a una distancia h arriba del agujero.
Solución: Debido a que A2 >> A1, el fluido está aproximadamente en reposo en la parte superior, punto 2. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 considerando que en el agujero P1 = P0, se obtiene
Pero y2 – y1 = h, de manera que
El flujo de agua por el agujero es A1v1. Cuando P es grande comparada con la presión atmosférica P0 (el término 2gh puede ignorarse), la velocidad de salida del flujo es principalmente una función de P. Si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces P = Po y v 1 = 2gh En otras palabras, la velocidad de salida del flujo para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente desde una altura h. Esto se conoce como la ley de Torricelli.
49) Calcular la potencia de salida de un aerogenerador que tiene un diámetro de aspa de 80 m, suponiendo una velocidad del viento de 10 m/s y una eficiencia total de 15%.
Solución: Puesto que el radio del aspa es igual a 40 m, el área de la sección transversal del rotor es A = πr2 = π(40m) 2 = 5.0 × 103 m2
Si pudiera extraerse 100% de la energía del viento disponible, la máxima potencia disponible sería
Potencia máxima
Como la eficiencia total es de 15%, la potencia de salida es Potencia = 0.15 (potencia máxima) = 0.45 X 10 6 W. En comparación, una gran planta de turbina de vapor tiene una salida de potencia de 1 GW. En consecuencia, se requerirían 2200 aerogeneradores para igualar su salida a la potencia de la planta de turbina. El gran número de generadores requeridos para una salida de potencia razonable es, sin duda, una desventaja fundamental de la generación eólica.
50) La figura muestra cómo la corriente de agua que sale de un grifo se estrecha conforme va cayendo. La superficie transversal A1 es 1.2 cm2 y la de A2 es 0.35 cm2. Los dos niveles están separados por una distancia vertical h (45 mm). ¿Con qué rapidez fluye el agua del grifo?
Considerando que el flujo de volumen es constante, A1v1 = A2v2. Por otro lado, aplicando la conservación de la energía a un elemento del fluido de masa m, entre los 2 puntos, se tiene que K2 + U2 = K1 + U1. Es decir:
Al eliminar v2 entre las dos ecuaciones y al resolver para v 1 se obtiene que
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que v 1 = 28.6 cm/s. El flujo: Con este flujo, el chorro tardaría unos 3 s para llenar un recipiente de 100 mI.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.-Por una tubería horizontal de 20mm de diámetro circula un fluido con una velocidad de 3 m/s. a) Calcular el caudal en l/min. b) Calcular la velocidad en otra sección de la misma línea de 10 mm de diámetro.
2.- Una tubería de 20mm de diámetro conduce agua con una velocidad de 1 m/s. La presión en la entrada es 10000 Pa. En la salida hay un estrechamiento de 10nn de diámetro. Si se desprecia el rozamiento, calcule la presión s la salida. Densidad del agua 1000kg/m³
3.- Un cilindro vertical de vidrio tiene un diámetro interior de 150mm y un agujero taladrado cerca de la base. Se mantiene un nivel constante de agua de 350mm por encima del agujero del que sale horizontalmente hacia el exterior dl chorro de 5mm de diámetro. ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del chorro?.
4.- Determinar el caudal de un fluido hidráulico que circula por una tubería con un diámetro interior de 30mm sabiendo que su velocidad es de 4 m/s. Expresar el resultado en L/min., m³/s y L/hora. ¿ Qué régimen de circulación lleva el fluido?, si la densidad del fluido es 850kg/m³. Viscosidad es 0,55centipoises.
5.- ¿Cuál es la presión n kg/cm², equivalente a una columna de Hg de 760mm de altura a 0ºC y 1cm² de base? (densidad del mercurio es 13,6 kg/dm³).
6.- Una bomba aspirante está instalada en un pozo a 6m sobre el nivel del agua y tiene las siguientes características: - Diámetro del embolo 12cm - Carrera del embolo 30cm. -Cadencia: 30 emboladas por minuto. Calcular el caudal y la potencia absorbida por el motor, suponiendo un rendimiento n= 0,6
7.- Una caldera contiene agua a una presión de 4x10⁴N.m² por encima de la presión atmosférica. ¿Con que velocidad sale el agua a través de un orificio que se abre en la caldera?
8.- ¿Qué presión manométrica se necesita en las cañerías de agua de una ciudad para que las el chorro de agua de una manguera se incendios conectada a la cañería pueda alcanzar una altura vertical de 18m?. Despreciar los rozamientos
9.- ¿ En base a la ecuación de Bernoulli estime en cuanto baja la presión frente a la boca de un capilar si la densidad del aire es 1.256kg/m³ y la velocidad de soplar es 3.212m/s?
10.- En una casa entra agua por un tubo con diámetro interior de 2.0cm a una presión absoluta de 400x10⁴PA. Un tubo de 1.0 cm de diámetro va al cuarto del baño del segundo piso, 5.0 m más arriba. La rapidez del flujo en el tubo de entrada es de 1.5 m/s. Calcule la rapidez del flujo, la presión y la tasa del flujo de volumen en el cuarto de baño.
11.- Corre agua hacia un fuente, llenando todos los tubos a una tasa constante de 0.750 m/s³. a) ¿Qué tan rápido saldrá por un agujero de 4.50 cm de diámetro? b) ¿Con quérapidez saldrá si el diámetro del agujero es tres veces más grande?
12. Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es de 1.00mm. La regadera está conectada a un tubo de 0.80 cm de radio. Si la rapidez del agua en el tubo es de 3.0 m>s, ¿con qué rapidez saldrá de los agujeros de la regadera?
13. Fluye agua por un tubo de sección transversal variable, llenándolo en todos sus puntos. En el punto 1, el área transversal del tubo es de 0.070 m2, y la rapidez del fluido es de 3.50 m>s. ¿Qué rapidez tiene el fluido en puntos donde el área transversal es de a) 0.105 m2? b) ¿0.047 m2? c) Calcule el volumen de agua descargada del extremo abierto del tubo en 1.00 h.
14. Fluye agua por un tubo circular de sección transversal variable,llenándolo en todos sus puntos. a) En un punto, el radio del tubo de 0.150 m. ¿Qué rapidez tiene el agua en este punto si la tasa estable de flujo de volumen en el tubo es de 1.20 m3>s? b) En otro punto, la rapidez del agua es de 3.80 m>s. ¿Qué radio tiene el tubo en este punto?
15. a) Deduzca la ecuación (14.12). b) Si la densidad aumenta en 1.50% del punto 1 al 2, ¿qué sucede con la tasa de flujo de volumen? 16. Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altura de 11.0 m contiene también aire sobre el agua a una presión manométrica de 3.00 atm. Sale agua del tanque a través de un agujero pequeño en el fondo. Calcule la rapidez de salida del agua.
17. Se corta un agujero circular de 6.00 mm de diámetro en el costado de un tanque grande de agua, 14.0 m debajo del nivel del agua en el tanque. El tanque está abierto al aire por arriba. Calcule a) la rapidez de salida del agua y b) el volumen descargado por segundo.
18 ¿Qué presión manométrica se requiere en una toma municipal de agua para que el chorro de una manguera de bomberos conectada a ella alcance una altura vertical de 15.0 m? (Suponga que la toma tiene un diámetro mucho mayor que la manguera.)
19. En un punto de una tubería, la rapidez del agua es de 3.00 m>s y la presión manométrica es de 5.00 3 104 Pa. Calcule la presión manométrica en otro punto de la tubería, 11.0 m más abajo, si el diámetro del tubo ahí es el doble que en el primer punto.
20. Una bebida no alcohólica (principalmente agua) fluye por una tubería de una planta embotelladora con una tasa de flujo de masa que llenaría 220 latas de 0.355 L por minuto. En el punto 2 del tubo, la presión manométrica es de 152 kPa y el área transversal es de 8.00 cm2. En el punto 1, 1.35 m arriba del punto 2, el área transversal es de 2.00cm2. Calcule a) la tasa de flujo de masa; b) la tasa de flujo de volumen; c) la rapidez de flujo en los puntos 1 y 2; d) la presión manométrica en el punto 1.
21. En cierto punto de una tubería horizontal, la rapidez del agua es de 2.50 m>s y la presión manométrica es de 1.80 3 104 Pa. Calcule la presión manométrica en un segundo punto donde el área transversal es el doble que en el primero.
22. Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3>s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.40 3 105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa constricción?
23. Suponiendo que la cantidad de agua que sale de un surtidor lanzada hacia arriba a través de una boca de área A1 en una fuente es constante, ¿qué disminución tendrá que hacerse a la sección A1 para que el chorro ascienda al doble de altura?
24. Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo T de menor sección; colocamos tubos manométricos A y B, como indica la figura, y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los niveles superiores del líquido en tales tubos. Sabiendo que la sección T es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta.
25. El gasto en una tubería por la que circula agua es 208 l /s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi (ver figura) con mercurio como líquido manométrico. Siendo 800 y 400 cm2 las secciones en la parte ancha y estrecha de la tubería, calcular el desnivel que se produce en el mercurio.
26. Por un tubo circula agua en régimen de Bernouilli, con un gasto de 500 l /s. Calcular la diferencia de presiones manométricas en dos puntos situados a una distancia vertical de 10 m, sabiendo que la sección del tubo en la parte más alta es doble que la correspondiente al punto más bajo (200 cm2 ).
27. Una fuente diseñada para lanzar una columna de 12 m de altura al aire, tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del suelo. La tubería que la conecta a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la presión que debe suministrar la bomba (despreciar la viscosidad del agua) y considerar el movimiento del agua en la manguera en régimen de Bernouilli).
28. Destapamos un orificio de radio R1 que se encuentra en el fondo de un depósito cilíndrico lleno de agua que tiene de radio R2 y de altura H (considerar la sección del orificio y no tomar como nula la velocidad de la superficie libre). Si el proceso de vaciado obedece al régimen de Bernouilli, y por tanto prescindimos de la viscosidad, encontrar una fórmula que nos dé el tiempo que tarda el depósito en quedarse sin agua.
29. Un depósito cilíndrico de 1 m2 de base, abierto por su extremo superior, contiene 100 l de agua y 500 l de un aceite de densidad 0,8 gr/cm3. Si en su parte inferior se abre un orificio de 10 cm2 de sección, y el proceso de vaciado del agua obedece al régimen de Bernouilli, ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que empiece a salir aceite?
30. En una pared de un depósito lleno de un líquido hasta una altura de 9,8 m del fondo, se abre un orificio circular de radio 1 cm en el punto medio de la altura. Calcular el gasto teórico y práctico y el alcance de la vena líquida hasta el nivel del fondo. 98. En un depósito de gran sección se practica un orificio a y = 1 m del suelo, como se indica en la figura. Colocamos en él un manómetro y nos indica una presión de 11,6 cm de Hg; quitamos el manómetro y dejamos salir el líquido, alcanzando una distancia x = 3 m. Calcular: 1) Ladensidad del líquido. 2) Altura H sobre el suelo a que se encuentra el nivel del líquido.
31. El tubo de una central hidroeléctrica de montaña presenta un desnivel de 500 m y está totalmente lleno de agua. El agua sale en la central por un orificio de 10 cm de diámetro y acciona una turbina de rendimiento h = 0,83. Siendo el coeficiente de velocidad k = 0,92 y considerando la sección del tubo lo suficientemente grande para que la velocidad del agua en su interior sea despreciable, calcular: 1) El gasto del tubo o, lo que es lo mismo, el caudal que tiene que tener el manantial que conserva constantemente al tubo lleno de agua. 2) La potencia de la turbina. 3) La fuerza ejercida por el agua sobre la turbina.
32. Un depósito de gran sección cerrado contiene agua y sobre ella aire comprimido, ejerciendo una presión de 5 atm técnicas. A una distancia vertical de 2 m bajo la superficie libre del líquido hay practicado un orificio circular de 0,4 cm de diámetro situado a 1 m sobre el suelo. Si la presión atmosférica es de 1 atm técnica y el coeficiente de contracción de la vena líquida es 0,61, calcular: 1) La velocidad de salida del agua. 2) El gasto teórico y práctico. 3) El alcance horizontal de la vena líquida. 4) La velocidad del líquido al llegar al suelo. 5) El ángulo que forma tal velocidad con la horizontal. 33. Comparar las velocidades de salida del oxígeno y el hidrógeno a través de una pared porosa de un recipiente cuando la sobrepresión que origina la salida del gas es la misma; estando sus densidades en la relación 1/16.
34. Colocamos un recipiente que contiene gas y tiene una masa total M sobre una superficie horizontal, y en una de sus paredes laterales le hacemos un orificio circular de sección A muy pequeño en comparación con el tamaño del recipiente. Si el coeficiente estático de rozamiento entre la superficie y el recipiente es m. ¿Cuál debe de ser la diferencia de presión del gas respecto del exterior para que el recipiente comience a moverse?
35. Un tubo de Venturi tiene un diámetro principal D 1 = 4 cm y un estrechamiento de diámetro D2 = 2 cm. Lo acoplamos a una canalización para medir el caudal del agua que pasa. La diferencia de altura del mercurio entre las dos columnas del manómetro es de 22 mm.
(a) Calcular la velocidad del agua en el tubo principal. (b) Determinar el caudal de agua. (Hg = 13,6·103 Kg/m3 ; H2O = 103 Kg/m3)
36. El depósito de la figura contiene agua (H2O = 1 g/cm3) hasta una altura H = 2 m, tiene una sección SA = 1 m2 y está destapado (Patm = 1 atm). De la parte inferior del depósito sale un tubo de sección constante S = 9 cm2 con un desnivel h = 0,2 m (ver figura). Si a la salida del tubo hay un tapón que impide la salida del agua, se pregunta:
(c) Determinar las presiones en los puntos A, B y C. Ahora destapamos el tubo permitiendo la salida libre del agua. (d) Determinar las nuevas presiones en los puntos A, B y C. (e) ¿Cuál es el caudal del agua que sale del depósito?
37. Por una cañería que forma un ángulo de 30 con la horizontal circula agua (= 1 g/cm3) en sentido ascendente. En un punto B la velocidad del agua es v B = 2 m/s y la sección de la cañería es sB = 20 cm2. La cañería se estrecha y la sección en un punto A situado a 2 m de B es sA = 10 cm2. A la altura del punto A conectamos un tubo vertical abierto por el otro extremo (ver figura). Si la altura del nivel del agua en este tubo respecto al punto B es 1’5 m (ver figura), determinar:
(f) La presión en el punto A. (Patm = 105 Pa). (g) La velocidad en el punto A y el caudal de agua que circula por la cañería. (h) La presión que señalará un manómetro situado en el punto B.
38. El grifo de la figura tiene un diámetro de salida D3 = 1 cm y el agua que sale por él llega por una tubería principal de diámetro D1 = 5 cm en la parte ancha y D2 = 2 cm en la parte estrecha. El caudal del agua que circula es C = 10-3 m3/s.
(i) Calcular v1, v2 y v3. (j) Calcular P1 y P2 suponiendo que la salida del grifo se encuentra prácticamente a la misma altura que el eje de la tubería. ¿Qué presión marcaría el manómetro de la figura? ¿Cuál sería la diferencia de altura entre los niveles de agua en los tubos verticales conectados a las partes ancha y estrecha de la tubería? NOTA: P atm = 105 Pa; H2O = 103 Kg/m3
38. Un tubo horizontal de 10.0 cm. de diámetro tiene una reducción uniforme que lo conecta con un tubo de 5.0 cm. de diámetro. Si la presión del agua en el tubo grande es 8.0 X 104 Pa y la presión en el tubo más pequeño es 6.0 x 104 Pa, ¿a qué razón circula el agua a través de los tubos?
39. Se bombea agua desde el río Colorado hasta la Villa del Gran Cañón a través de una tubería de 15.0 cm. de diámetro. El río está a 564 m de altura y el pueblo a 2096 m. a) ¿Cuál es la presión mínima con que debe bombearse el agua para llegar a la población? b) Si se bombea 4500 m3 diarios, ¿cuál es la velocidad del agua en la tubería c) ¿Cuál es la presión adicional necesaria para entregar este flujo? (Nota: Usted puede suponer que la intensidad del campo gravitacional y la densidad del aire son constantes en este intervalo de alturas.)
40. Por una manguera contra incendios de 6.35 cm. de diámetro fluye agua a una razón de 0.0120 m3/s. La manguera termina en una boquilla de diámetro interior igual a 2.20 cm. ¿Cuál es la velocidad con la cual el agua sale de la boquilla?
41. El túnel de agua Garfield Thomas en la Universidad Estatal de Pensilvania tiene una sección transversal circular que se acorta desde un diámetro de 3.6 m hasta la sección de prueba, cuyo diámetro es de 1.2 m. Si la velocidad de flujo es 3.0 m/s en la tubería de mayor diámetro, determine la velocidad de flujo en la sección de prueba.
42. Un géiser en el parque Yellowstone genera erupciones en intervalos de aproximadamente 1 hora y la altura de la fuente alcanza 40 m. (a) ¿Con qué velocidad sale agua del suelo? (b) ¿Cuál es la presión (arriba de la atmosférica) en la cámara subterránea caliente si su profundidad es de 175 m?
43. Un sifón es un aparato para sacar líquido de un contenedor que no se puede ladear. Funciona como se indica en la figura. Debe estar lleno inicialmente, pero una vez que se induce el flujo, el líquido fluirá hasta que su nivel caiga por debajo de la abertura en A. El líquido tiene una densidad ρ y una viscosidad insignificante. (a) ¿Con que rapidez fluye el líquido en C? (b) ¿Qué presión tiene en el punto B?
44) Una empresa posee un tanque en donde recolecta grasa animal procedente de su proceso productivo. El grosor de la capa de grasa es de 0,5 m, debajo de ella se encuentra una columna de agua de 2,5 m de espesor. Determínese la mínima magnitud de la fuerza F para mantener la compuerta cerrada. Téngase en consideración que la fuerza F es ortogonal a la superficie de la compuerta, la inclinación de ella con relación al fondo es de 30°.
45) Un ingeniero debe diseñar una reducción para un sistema de transmisión de aceite combustible grado 1 cuya gravedad específica es de 0,825. A continuación se presentan las características que debe presentar el mencionado diseño: Relación de diámetro: 6 [D1/D2] Relación entre la presión de entrada y salida: 5 [P1/P2] Gasto volumétrico que debe manejarse: 6 m3/h Presión a la entrada: 100 Pa [Pascales]
Calcúlese los diámetros en centímetros de la entrada y salida de la reducción
46) Una tubería, que transporta aceite de densidad relativa 0,877, pasa por una sección de 15 cm. (sección E) de diámetro, a otra de 45 cm. (sección R). La sección E está 3,6 m por debajo de la sección R y las presiones son respectivamente 0,930 kgf/cm2 y 0,615 kgf/cm2. Si el caudal es de 146 L/s, determinar la pérdida de carga en la dirección del flujo. (Ver pie de página para aclarar el concepto de pérdida de carga). 47) Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa 0,750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en el fondo del depósito es de 3 kgf/cm2, ¿Cuál es la lectura manométrica en la parte superior del depósito?. Densidad relativa del mercurio: 13,6; densidad del agua: 1000 Kgf/cm3. 48) Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3/s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.4x105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa construcción?
49) Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3/s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.4x105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa construcción? 50) Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3/s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.4x105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa construcción?
