Dimensi€n fractal
Dimensi€n fractal En
geometr‚a
de fractales, la dimensi€n fractal, es un nƒmero real que generaliza el concepto de dimensi€n ordinaria para objetos geom„tricos que no admiten espacio tangente. La dimensi€n fractal es un exponente que da cuenta de cu…n completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se ampl‚a el primero hacia escalas m…s y m…s finas. No existe una ƒnica dimensi€n fractal sino una serie Ejemplo de estimaci€n de la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch para la costa de gran de dimensiones que frecuentemente Breta•a. resulta equivalentes pero no siempre. Entre estas definiciones est… la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch, la dimensi€n de la dimensi€n de empaquetamiento, la dimensi€n de homotecia y las dimensiones de R„nyi. Ninguna de estas dimensiones deber‚a ser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas est… asociada a diferencias en la estructura interna del fractal. Aunque para un buen nƒmero de fractales cl…sicos los valores de las diferentes definiciones de dimensi€n fractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes. En la pr…ctica algunas definciones de dimensi€n fractal resultan m…s sencillas de calcular, y por eso son m…s ampliamente usadas, aunque no siempre tienen las propiedades matem…ticas m…s deseables. Por ejemplo la dimensi€n de conteo de cajas o de dimensi€n Minkowski-Bouligand y la dimensi€n de correlaci€n son ampliamente usadas en la pr…ctica, por su f…cil implementaci€n algor‚tmica. Por ejemplo, la dimensi€n del copo de nieve de Koch tiene una dimensi€n topol€gica de uno, pero no puede ser tratada como una curva; la longitud entre cualesquiera dos puntos en el fractal (dada por la medida de Lebesgue) es infinita. Ningƒn segmento del fractal tiene parecido a una l‚nea, pero tampoco tiene parecido a una parte de un plano. En cierta forma se podr‚a decir que es demasiado grande para poder ser considerada como un objeto unidimensional, pero es demasiado fina para ser considerada un objeto bidimensional. Esto lleva a la pregunta de si su dimensi€n se describe mejor con un nƒmero entre uno y dos. †sta es una manera simple de motivar la idea de dimensi€n fractal.
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Definiciones Hay principalmente dos formas aproximadas para generar una estructura fractal. Una es hacerla crecer a partir de un objeto y la otra es construir las divisiones subsecuentes de una estructura original como en el tri…ngulo de Sierpinski (Fig.(2)).[1] En este caso se sigue la segunda aproximaci€n para definir la dimensi€n de las estructuras fractales. Dimensi€n de homotecia Si se toma un objeto con un tama•o lineal igual a 1 en una dimensi€n euclideana , y se reduce su tama•o por un factor de en cada direcci€n espacial, se necesitan un nƒmero de objetos autosimilares para cubrir el objeto original (Fig.(1)). Sin embargo, al despejar para D, la dimensi€n definida por . es igual todav‚a a su dimensi€n topol€gica o euclideana.[2] Aplicando la ecuaci€n anterior a una estructura fractal, se puede obtener la dimensi€n de la misma (que es m…s o menos la dimensi€n de Minkowski-Bouligand) como un nƒmero no entero, como se esperaba. Fig.(1) Otra forma de definir la
donde
[2] dimensi€n.
es el nƒmero de estructuras autosimilares de lado lineal ‡ que se necesitan para cubrir toda la
estructura. Por ejemplo, la dimensi€n fractal para el tri…ngulo de Sierpinski (Fig.(2)) est… dado por,
Fig.(2) Tri…ngulo de Sierpinski.
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Dimensi€n de informaci€n Otras cantidades dimensionales incluyen la ˆdimensi€n de informaci€n‰ que considera c€mo se escala la informaci€n promedio que se necesita para identificar una caja ocupada, conforme las cajas se vuelven m…s peque•as:
Dimensi€n de correlaci€n La dimensi€n de correlaci€n es quiz… la m…s f…cil de calcular. Para ello se genera un gran nƒmero de puntos al azar sobre una regi€n del espacio eucl‚deo que contenga al objeto fractal . Siendo el conjunto de puntos generados al azar el conjunto finito , se llamar… al nƒmero de puntos caen sobre el fractal, es decir, ; la dimensi€n fractal de correlaci€n viene dada por:
donde es el nƒmero de puntos utilizados para generar una representaci€n del fractal y puntos que se encuentran m…s cercanos uno al otro que , es decir:
es el nƒmero de pares de
Donde: , es la funci€n unitaria de Heaviside Dimensiones de R•nyi Las tres anteriores pueden verse como casos especiales de las dimensiones de R„nyi de orden Š, definidas como
El numerador es la llamada entrop‚a de R„nyi de orden Š. La dimensi€n de R„nyi con Š=0 trata a todas las partes del atractor de manera similar, pero para valores m…s grandes de Š se da un mayor peso en el c…lculo a las partes del atractor que son visitadas con mayor frecuencia. Puede demostrarse la siguiente relaci€n entre las dimensiones de R„nyi:[3] Un atractor para el cual las dimensiones de R„nyi no son todas iguales es conocido como un multifractal, o se dice que muestra estructura multifractal. Esto es una se•al de que un comportamiento a escala diferente ocurre en diferentes partes del atractor. Dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch Esta caracterizaci€n de la dimensi€n fractal mediante la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch se basa en considerar una cubierta abierta por o bolas abiertas ( n-esferas) del conjunto fractal, es decir, para un fractal cotenido en el plano eucl‚deo se consideran c‚rculos abiertos, y para una un fractal contenido en el espacio eucl‚deo tridimensional se consideran esferas (para un fractal que sea un subconjunto de la recta real se emplean intervalos abiertos). De todos los recubrimientos posibles se considera el ‚nfimo formado por bolas de di…metro mayor igual que un cierto tama•o . Una vez computado ese ‚nfimo se considera el l‚mite . Para ver como se define formalmente formalmente se define el contenido de Hausdorff como:
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Con la definici€n anterior se cumple que el contenido de Hausdorff define una funci€n del conjunto potencia de en los reales no-negativos (ampliados con el elemento ): Para cualquier conjunto la funci€n anterior tiene la propiedad interesante de ser nula para para e infinita para . El valor es un real positivo es precisamente la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch, hecho que puede formularse como:
Dimensi€n de empaquetado Es similar a la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch pero se define a partir de empaquetamientos, en lugar de a partir recubrimientos. Dada la medida s-dimensional de empaquetamiento , se puede comprobar que tal como sucede para la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch, existe un valor umbral s0, llamado dimensi€n de empaquetado (o dimensi€n de empaquetamiento), tal que: [4] y Por esa raz€n se puede definir la dimensi€n de empaquetado simplemente como: Obviamente de las propiedades de la medida de Hausdorff-Besicovitch y de la medida de empaquetamiento se sigue que:
Relaci€n entre dimensiones fractales Para algunas de las anteriores dimensiones fractales ha podido probarse la siguiente serie de desigualdades:
Donde: es la dimensi€n topol€gica que es siempre un entero. es la dimensi€n de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensi€n de Hausdorff. es la dimensi€n de entrop‚a o dimensi€n de Kolmog€rov. es la dimensi€n de correlaci€n. es la dimensi€n de R„nyi de par…metro
.
es la dimensi€n de empaquetado. es la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales cl…sicos suele ser un nƒmero irracional. es la dimensi€n del espacio eucl‚deo que contiene al fractal que tambi„n es un nƒmero entero. Algunas aclaraciones: ‹ La primera desigualdad se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales [5] resultados de la geometr‚a fractal. [3] ‹ Las desigualdades son desigualdades entre las dimensiones de R„nyi, que son iguales para un fractal autosimilar a todas las escalas y difieren en el caso de objetos multifractales.
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‹ Para un conjunto cerrado las dimensiones de Minkowski-Bouligand y Hausdorf-Besicovitch coinciden . Si un conjunto es no cerrado la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch puede diferir de las otras dos, por ejemplo el conjunto de nƒmeros racionales del intervalo [0,1] tiene pero en cambio tiene .
Propiedades de las dimensiones fractales Muchas de las dimensiones fractales definidas anteriormente satisfacen todas o algunas de las siguientes propiedades, consideradas deseables para cualquier definici€n de dimensi€n: ‹ ‹ ‹ ‹ ‹
Monoton€a bajo inclusiones. Si
entonces . . Conjuntos finitos. Si E es un conjunto finito entonces es un conjunto abierto entonces . Conjuntos abiertos. Si es una m-variedad diferenciable entonces . Variedades difernciables. Si es una aplicaci€n de Lipschitz m-variedad diferenciable entonces Aplicaci•n de Lipschitz. Si .
‹ Invariancia bi-lipschitz. Si que tambi„n es Lipschitz) entonces
es una aplicaci€n bi-Lipschitz (aplicaci€n Lipschitz con una inversa , es decir, la dimensi€n fractal es un invariante
bajo la transformaci€n inducida por una aplicaci€n bi-Lipschitz. Esta propiedad es consecuencia de la anterior. ‹ Invariancia geom‚trica. Si es una similaridad o una aplicaci€n af‚n entonces , ya que toda similaridad o afinidad es bi-Lipschitz.
Estimaci€n de la dimensi€n fractal en la pr‚ctica Los c…lculos de dimensiones fractales descritos arriba se obtienen a partir de fractales definidos formalmente. Sin embargo, ciertos fen€menos y objetos de la vida real pueden mostrar propiedades fractales, por lo que puede ser ƒtil obtener la dimensi€n fractal de un conjunto de datos de una muestra. El c…lculo de la dimensi€n fractal no se puede obtener de forma exacta sino que debe estimarse. Esto se usa en una variedad de …reas de investigaci€n tales como la f‚sica,[6] an…lisis de imagen, [7] acƒstica,[8] ceros de la funci€n zeta de Riemann [9] e incluso procesos electroqu‚micos.[10] Las estimaciones pr…cticas de las dimensiones fractales son muy sensibles al ruido num„rico o experimental, y particularmente a las limitaciones en la cantidad de datos. Cualquier afirmaci€n basada en estimaciones de dimensiones fractales deben tomarse con cuidado puesto que hay un l‚mite superior inevitable, a menos que se presenten cantidades muy grandes de datos. Computacionalmente los m…s sencillos de implementar son el contaje de celdas (box counting) y la dimensi€n de correlaci€n (basada en generar un nƒmero de puntos aleatorios en un entorno del fractal y medir cuantos de ellos caen sobre el conjunto fractal). Otra t„cnica que se ha hecho popular es la medici€n del espectro de potencia de la transformada de Fourier de una imagen del objeto fractal.
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Referencias ‹ Este art€culo fue creado a partir de la traducci•n del art€culo fractal dimension de la Wikipedia en ingl‚s, concretamente de dimension esta versi•n
[11] , bajo la licencia Creative Commons Atribuci•n Compartir Igual 3.0
Unported y la licencia de documentaci•n libre de GNU.
Notas [1] Fluctuations and Scaling in Biology. Edited by T. Vicsek, 2001 [2] Fractals & the Fractal Dimension (http:/ / www.vanderbilt.edu/ AnS/ psychology/ cogsci/ chaos/ workshop/ Fractals.html) [3] Hentschel & Procaccia, "The infinite number of generalized dimensions of fractals and Strange Atractors", Physica D, Vol. 8, 1983, p. 435-44. [4] K. Falconer, 1997, p. 23 [5] W. Hurewicz & H. Wallman, Dimension Theory, 1941, Chapter VII. [6] B. Dubuc, J. F. Quiniou, C. Roques-Carmes, C. Tricot, and S. W. Zucker, , Phys. Rev. A, 39 (1989), pp. 1500 € 1512. [7] P. Soille and J.-F. Rivest, On the validity of fractal dimension measurements in image analysis (http:/ / ams. jrc.it/ soille/ soille-rivest96.pdf), Journal of Visual Communication and Image Rep- resentation, 7 (1996), pp. 217 € 229. [8] P. Maragos and A. Potamianos, , The Journal of the Acoustical Society of America, 105 (1999), p. 1925. [9] O. Shanker (2006). ˆRandom matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions‰. J. Phys. A: Math. Gen. 39: pp. 13983 € 13997. doi: 10.1088/0305-4470/39/45/008 (http:/ / dx.doi.org/ 10.1088/ 0305-4470/ 39/ 45/ 008). [10] Ali Eftekhari, Fractal Dimension of Electrochemical Reactions (http:/ / dx.doi.org/ 10.1149/ 1.1773583) Journal of the Electrochemical Society, 2004, 151 (9), E291 € E296. [11] http:/ / en.wikipedia.org/ wiki/ fractal
Bibliografƒa ‹ Mandelbrot, Benot B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004) ‹ Falconer, Kenneth (1985) (en ingl„s). The Geometry of Fractal Sets . Cambridge University Press. ‹ Falconer, Kenneth (1997). ˆ2. Review of fractal geometry‰ (en ingl„s). Techniques in Fractal Geometry. John Wiley & Sons. pp. 19-40. ISBN 0 471 95724 0. ‹ Falconer, Kenneth (2003) (en ingl„s). Fractal Geometry: mathematical foundations and applications (2Ž edici€n). John Wiley & Sons.
Fuentes y contribuyentes del art‚culo
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Fuentes y contribuyentes del artƒculo Dimensi€n fractal Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56376188 Contribuyentes: Davius, Gato ocioso, Grillitus, Gsrdzl, Rafandalucia,
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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Great Britain Hausdorff.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Great_Britain_Hausdorff.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Prokofiev Archivo:Fractaldimensionexample.PNG Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fractaldimensionexample.PNG Licencia: Public Domain Contribuyentes: Brendan Ryan.
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