10.2 Ejercicios de estadística, covarianza, correlación y recta de regresión
Ejercicios de estadística, estadística , problemas de distribuciones bidimensionales. bidimensionales. Covarianza, Covarianza, coeficiente de correlación entre las variables y ecuación de las recta de regresión.
Ejercicios resueltos
1. Una compañía de seguros considera que el número de veículos !y" que circulan por una determinada determinada autopista a m#s de 1$% &m' , puede ponerse en función del número de accidentes !(" que ocurren en ella. )urante * días obtuvo los siguientes resultados+ resultados+ Ejercicios estadística Accidentes xi 5 7 2 1 9 Vehículos yi 15 18 10 8 20
a" Calcula el coeficiente de correlación lineal. b" i ayer se produ-eron accidentes, /cu#ntos veículos podemos suponer que circulaban por la autopista autopista a m#s de 1$% &m ' 0 0 c" /s buena la predicción0
Construimos Construimo s una tabla con las columnas necesarias
2emos las fórmulas que tenemos que aplicar para saber las columnas que necesitamos, a continuación continuación se e(plica la forma de acer esto. esto .
$. 3as calificaciones de 4% alumnos en psicología evolutiva y en estadística an sido las de la tabla ad-unta.
Psicología xi Estadística yi Nº de alumnos f i
3 4 2 5 4 6
5 5 12
6 6 7 7 8 6 7 6 7 9 4 5 4 2 1
10 10 2
a" 5btener la ecuación de la recta de regresión de calificaciones de estadística respecto de las calificaciones de psicología. b" /Cu#l ser# la nota esperada en estadística para un alumno que obtuvo un 4,* en psicología0
Construimos una tabla con las columnas necesarias
6. 3as notas obtenidas por 1% alumnos en 7atem#ticas y en 7úsica son+ Matemáticas xi 6 4 8 5 3,5 7 5 10 5 4 Música yi 6,5 4,5 7 5 4 8 7 10 6 5
8 Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. 8 /(iste correlación entre las dos variables0 8 /Cu#l ser# la nota esperada en 7úsica para un alumno que ubiese obtenido un 9,6 en 7atem#ticas0
Ejemplo .- Se representa por ! el número de hijos de "## familias y por $ el número de hijas%
nº hias !"# 0 1 2 3 nº hijos &!'
-----------
-- -- -- --
#
-----------
"# "( "( )
"
----------
"# " *
----------
+ , ) "
)
----------
) " #
,
----------
" " #
$a le%t&ra de esta ta'la es sen%illa. (or eemplo) ha'r*a 7 familias +&e tendr*an 1 hio y 2 hias y nin&na familia tendr*a 3 hios y 3 hias. n realidad la ta'la de do'le entrada anterior se %onertir*a en &na ta'la simple si es%ri'i/ramos los 100 pares de alores i&ales o repetidos en &na ta'la simple. Los ejemplos con que vamos a trabajar este tema serán del primer tipo por razones de limitación a la hora de visualizar más número de valores en las escenas. Esto no limita las posibilidades de estudiar el tema y entender los conceptos básicos.
Par aelej empl odelgr afico( añobase1990=0) Lat abl ai ndi cacuant oseg ast oencompr armedi ci nasenunaFarmaci aporaño. Años( X) Gas t o( Y)
0 1 2 3 4 489. 25 475. 24 495. 72 585. 2 565. 78
5 630. 22
6 624. 92
7 482. 27
8 590. 27
9 834. 67
Conoce qué indica cada valor aparecido en los resultados de un hemograma, y qué significa si sus niveles son altos, bajos o normales:
HEMATÍES •
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Más conocidos como glóbulos rojos, son las células sanguíneas más importantes, ya que se encargan de transportar el oígeno al resto de las células del organismo. Niveles normales: !."##.###$".%##.### &ml en varones !.###.###$".'##.###&ml en mujeres Niveles bajos: el n(mero de hematíes desciende de forma importante cuando hay hemorragias )por ejemplo a causa de menstruaciones abundantes*, y esto hace que no llegue suficiente oígeno a las demás células del cuerpo, que es lo que se conoce como anemia. +odas las células sanguíneas se producen en la médula ósea, por lo que los fallos del recuento celular pueden reflejar una alteracin a este nivel. Niveles altos: un aumento del n(mero de hematíes se conoce como oliglobulia- este proceso hace que la sangre sea más espesa de lo normal, lo que facilita la formacin de trombos en el interior de los vasos sanguíneos. uede ser de causa desconocida o bien deberse a una hiperfuncin ecesiva de la médula sea. /l consumo de tabaco reduce la cantidad de oígeno presente en la sangre, y esto tiene como consecuencia un incremento de la produccin de glbulos rojos, por lo que un n(mero elevado de hematíes puede también estar relacionado con e ltabaquismo. /n general, ante una disminucin del oígeno en la sangre, el organismo suele responder elaborando más glbulos rojos, por lo que las personas que viven en 0onas muy elevadas pueden presentar un mayor n(mero de hematíes sin que esto signifique que pade0can alguna enfermedad. 1olver arriba
HEMOGLOBINA (Hb)
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/s una proteína formada de hierro, que se encuentra en el interior del hematíe, y que es la causante del color rojo de la sangre. Cada hematíe suele contener entre '## y 2## moléculas de hemoglobina. /s gracias a la hemoglobina que el oígeno y los nutrientes llegan al resto de los tejidos del cuerpo. +ambién transporta el diido de carbono a los pulmones para que se ehalado. Niveles normales: 32,"$34," g&dl en hombres. 3'$35 g&dl en mujeres. Niveles bajos: como la cantidad de hemoglobina es proporcional al n(mero de glbulos rojos )hematíes*, un descenso de esta proteína se refleja en una ineficacia de la funcin de los hematíes, lo que viene a llamarse anemia. Niveles altos: la elevacin de esta proteína puede contribuir a la aparicin de poliglobulia, un aumento de la cantidad de hematíes que puede provocar trombos. +ambién pueden aparecer niveles elevados en personas con cardiopatías, problemas pulmonares crnicos o gente que vive en 0onas de mucha altitud. 1olver arriba
HEMATOCRITO (Hto) /s el volumen de hematíes en sangre epresado como un porcentaje sobre el volumen sanguíneo total.
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Niveles normales: !3$"26 en hombres 25$!56 en mujeres Niveles bajos: debido a que, en realidad, este parámetro indica el n(mero de hematíes, la causa principal de un descenso del hematocrito es la anemia. 7tros motivos pueden ser: hemorragias, embara0o, problemas en la médula sea ,leucemia, hipertiroidismo... Niveles altos: un incremento del nivel de hematocrito puede estar producido por problemas cardiacos, falta de hidratacin, enfermedades pulmonares crnicas... 1olver arriba
Volumen corpusculr me!"o (VCM)
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/ste índice determina el tama8o medio de los hematíes. 9e este modo, se pueden clasificar las anemias en: macrocíticas o microcíticas, dependiendo de si el tama8o del hematíe es mayor o menor de lo habitual. Niveles normales: $3## f; )femtolitros por hematíe*. Niveles altos: el 1CM alto )glbulos rojos grandes* puede tener su origen en un déficit de vitamina <3' o de ácido flico, trastornos del hígado o consumo de alcohol, y no permanece constante a lo largo de toda la vida- en los recién nacidos es más elevado. Niveles bajos: pueden estar originados por anemias o incluso talasemias)alteracin de la hemoglobina*. 1olver arriba
HCM (#emo$lob"n corpusculr me!") /ste parámetro indica la cantidad media de hemoglobina que contiene cada hematíe o glbulo rojo.
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=racias a este parámetro se pueden clasificar las anemias de otra forma diferente: las !iocrómicas son las que cursan con un bajo nivel de >CM, y las !iercrómicas las que tienen un alto nivel de >CM. Niveles normales: entre '4 y 22 pc )picogramos*. Niveles bajos: lo más com(n es que eista anemia por falta de hemoglobina )normalmente por déficit de hierro *. Niveles altos: son raros los casos de anemias hipercrmicas. ueden alertar de un déficit de vitamina <3' o ácido flico. 1olver arriba
LE%COCITOS
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?e llaman también glóbulos blancos, y desempe8an una funcin de defensa del organismo frente a las agresiones eternas. 9ebido a esta funcin, un nivel bajo de leucocitos predispone al paciente a padecer infecciones. /isten varios tios di"erentes de leucocitos , que se eplican a continuacin: #in"ocitos: es un tipo de leucocito que carece de gránulos. ?on células muy importantes en el sistema inmune, ya que son capaces de responder ante agentes desconocidos para el organismo. Niveles normales: 3.2##$!.### &ml Niveles altos: el aumento del n(mero de linfocitos se denomina lin"ocitosis. @parece en procesos infecciosos agudos, crnicos, alergias farmacolgicas y procesos linfoproliferativos como la leucemia. Niveles bajos: la disminucin del n(mero de linfocitos se llama lin"oenia, y es habitual encontrarla en personas cuyo sistema inmune es defectuoso o están siguiendo un tratamiento inmunosupresor ) quimioterapia*. Neutró"ilos: es un tipo de leucocito que contiene gránulos y que se ti8e fácilmente con colorantes neutros. ?e encargan de destruir bacterias, restos celulares y partículas slidas. Niveles normales: '.###$4."## &ml Niveles altos: el n(mero elevado de neutrfilos ) neutro"ilia* aparece ante infecciones, procesos inflamatorios, quemaduras, hemorragias agudas, tabaquismo, y golpe de calor . ?e puede asociar también a procesos en los que se produce la muerte de las células de alg(n tejido, como el infarto de miocardio. Niveles bajos: se denomina neutroenia al descenso de la cifra de neutrfilos, que hace que el paciente tenga una especial vulnerabilidad para contraer infecciones, incluso las más insignificantes. Eosinó"ilos: es un tipo de leucocito que presenta gran n(mero de gránulos en su interior y que se ti8en con tinciones ácidas. Niveles normales: "#$"## &ml
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Niveles altos: la eosino"ilia )aumento del n(mero de estas células* puede indicar la presencia de alergias, asma, parásitos e infecciones. +ambién se asocia a enfermedades intestinales como Crohn y celiaquía, y a enfermedades pulmonares );Affler*. Niveles bajos: el descenso del n(mero de eosinfilos es raro. 1olver arriba
&LA'%ETAS
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?on los elementos más peque8os de la sangre, y resultan esenciales para la coagulacin sanguínea, ya que se encargan de cerrar los vasos sanguíneos, haciendo que la sangre se coagule para taponar las lesiones cuando se produce una herida. Niveles normales: entre 3"#.###$!##.###& mm2. Niveles bajos: el recuento plaquetario inferior a lo normal es lo que se conoce como trombocitoenia . uede deberse a un ac(mulo anormal de plaquetas en el ba0o o a una mala funcin de la médula sea. +iene como consecuencia la mala coagulacin sanguínea, lo que dará lugar a hemorragias )nasales, de encías, hematomas en la piel, sangre en orina y en hecesB*. /iste una enfermedad del sistema inmunitario, la p(rpura trombocitopénica idiopática, que se caracteri0a por la formacin de anticuerpos que destruyen las plaquetas, al no reconocerlas el organismo como propias. Niveles altos: el n(mero elevado de plaquetas en sangre, se denomina trombocitosis, y puede originar la formacin de trombos dentro de las arterias. uede aparecer sin causa justificada, como reaccin ante una hemorragia aguda o ciertas enfermedades, o bien debido a un mal funcionamiento medular. 1olver arriba
Veloc"!! !e se$mentc"on $lobulr (VSG) /ste parámetro mide la velocidad a la que sedimentan los glbulos rojos de la sangre en un tiempo determinado )3$' horas*. • •
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Niveles normales: entre # y 3# mm&hora en hombres y entre # y '# mm&h en mujeres. Niveles altos: son muchos los procesos que pueden cursar con un aumento del 1?=, como el mieloma, los linfomas, las leucemias, y los procesos inflamatorios crnicos como la artritis reumatoide o el lupus. ero su elevacin no indica necesariamente una patología, ya que también se eleva en algunos procesos fisiolgicos como el embara0o, la menstruación o en los ancianos. Niveles bajos: la 1?= raramente suele estar disminuida. ?in embargo, es dato (til en el seguimiento de pacientes, ya que si la 1?= se reduce sugiere que el tratamiento impuesto está siendo efica0.
Elnúmer odeperuanos( enmi l es)ocupadosenFar maci aspar al osañosquesei ndi can,es: Añobase2007 Año Ocupados
0
1
2
3
4
5
6
7
2, 1 2, 04 1, 96 1, 74 1, 69 1, 49 1, 25 1, 16
Hal l are lc oe fic i e nt edec or r e l ac i ó n.
Dur ant es upri merañodevi dahanpesadoaunpaci ent ecadames .Enl at abl a si gui ent esedansuspesos:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y 3, 2 3, 7 4, 2 5, 3 5, 7 6, 5 6, 8 7, 2 7, 9 7, 7 8 8, 5 Enes t at abl a,X r epre sent al aedadenmese seYelpesoenki l ogr amos. Hal l are lc oe fic i e nt edeco r r e l ac i ó n.
Laal t ur a,encm,de8padr esydelmayordesushi j osvar onesson: Padr e
170 173 178 167 171 169 184 168 172 174 175
Hi j o
172 177 175 170 178 169 180 171 173 186 187
Hal l are lc oe fic i e nt edec or r e l ac i ón
EJEMPLO:Acont i nuaci ónsedesarr ol l araunej empl opr áct i coquesei r áexpl i candoa t r a v é sdel o st ó pi c o sder e g r e s i ó n yc o r r e l a ci ó n at r at ar s e .Lo s dat o sdel as i g ui e nt e t abl ar e pr e s e nt a nl asal t ur as( X)yl o spe s o s( Y)dev ar i o sho mbr e s .See s c og i e r o nl as al t ur asdeant emanoyseobser var on l ospesosdeun gr upo dehombr esalaz arque t e ni anl asal t ur ase sc og i das ,r e s ul t ando : X( cm)152155152155157152157165162178183178 Y( kg)5061. 554. 557. 563. 559617266728482 Se asume que exi s t e una r el aci ón f unci onalent r e X e Y,obt enerl a ec uaci ón de r e gr e s i ó n.
Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fiada pre!iamente se obser!" el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando# X
1$2 1$$ 1$2 1$$ 1$% 1$2 1$% 1&$ 1&2 1%' 1' 1%'
Y
$ &1.$ $*.$ $%.$ &.$ $+
&1
%2
&&
%2
'*
'2
on estos datos !amos a plantear una ecuaci"n de regresi"n simple -ue nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas. tili/aremos a 0 .$, y contrastaremos nuestra hip"tesis con la prueba .
$roblema 01 /n la siguiente tabla se recogen las alturas y los pesos de die0 alumnos de un instituto: Deso 4!
5'
!
5!
#
4
#
#
"
42
ED@ltura 3.%2 3.# 3.4' 3.4" 3.%# 3.' 3.%2 3." 3.52 3.4# i* Calcula el coeficiente de correlacin e interprétalo
