Peragaan ini, menunjukan jarak titik A ke B, adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik titik A ke B
A
DIMENSI TIGA
H
JARAK TITIK KE TITIK
P
E
D A
a cm
Diketahui G kubus ABCD.EFGH dengan panjang F rusuk a cm. Tentukan jarak a cm titik A ke C, C, titik A ke G, G, C a cm dan jarak jar ak titik tit ik A ke B tengah-tengah bidang EFGH
DIMENSI TIGA
E
A
JARAK TITIK KE TITIK
Perhatikan segitiga ABC yang H G siku-siku di B, maka F AC = AB B C 2 2 a cm a a = 2 2 a = D C a cm B a cm = a 2 Jadi diagonal sisi AC = a 2 cm 2
2
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE TITIK
Jarak AG = ?
E
Perhatikan segitiga ACG yang H G siku-siku di C, maka F a cm AG = AC CG 2 2 = ( a 2 ) a D C a cm = 2a 2 a 2 B a cm = 3a 2 = a 3 Jadi diagonal ruang AG = a 3 cm 2
A
2
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE TITIK
Jarak AP = ? H
P
E
G F
Perhatikan segitiga AEP yang siku-siku di E, maka AP =
D A
C a cm
B
AE
2
E P
a 2
=
a
=
a 2 21 a 2
= Jadi jarak A ke P = 1 a
2
21
1 = a a 2 6 cm
3 2
2
2
2
6
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS A Peragaan ini,menunjukan jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g
g 8
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS Contoh 1
H E
G F 5 cm
D A
C
5 cm
B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Jarak titik A ke rusuk HG adalah….
9
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS
H E
G F 5 cm
D A
C
5 cm
B
Pembahasan Jarak titik A ke rusuk HG adalah panjang ruas garis AH, ( AH HG)
AH = a 2 (AH diagonal sisi) AH = 5 2 Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm 10
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS
H
G
E
F 6 cm
D A
Contoh 2
C 6 cm
B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke diagonal AG adalah…. 11
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS
H
G
E
F P D
A
B
6 cm
G
P A
6√2
? 6
B
Pembahasan
Jarak B ke AG = C jarak B ke P (BP AG) Diagonal sisi BG = 6√2 cm Diagonal ruang AG = 6√3 cm Lihat segitiga ABG 12
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS G
P A
6√2
Lihat segitiga ABG BP BG Sin A = AG = AB 6 2
? 6
6 3
B
BP =
( 6 2 )( 6 ) 6 3
x
= 3 3
BP 6
2
6 6 3
BP = 2√6 Jadi jarak B ke AG = 2 √6 cm
DIMENSI TIGA
Contoh 3
T
D A
C 12 cm
Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah….
B 14
DIMENSI TIGA
Pembahasan T
D A
12 cm
Jarak A ke TC = AP AC = diagonal persegi = 12√2 AP = AC 2 PC 2 2 2 P ( 12 2 ) ( 6 2 ) = = 2( 144 36 ) 2.108 C = 2 3 . 36 . 6 6 Jadi jarak A ke TC B = 6√6 cm 15
DIMENSI TIGA
H E
JARAK TITIK KE GARIS PG
Contoh 4
F
Diketahui kubus ABCD.EFGH D C dengan panjang 6 cm A B 6 cm rusuk 6 cm dan Titik P pada pertengahan FG.
Jarak titik A dan garis DP adalah…. 16
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS
PembahasanP
H
PG
E
G
F
D A
C
6 cm
DP =
B D G 2 G P 2
=
( 6 2 ) 2 3 2
=
72 9 9
6 cm
3 cm
F
m c
Q
2 √
6
D
R
6 cm
A
17
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE GARIS
Pembahasan DP =
72 9 9
Luas segitiga ADP ½DP.AQ = ½DA.PR 4
3 cm
G
P
F
m c
Q
2 √
6
9.AQ = 6.6√2 D 6 cm R AQ = 4√2 Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm
A
18
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
Garis tegak lurus Bidang g a b
g
a, g
Jadi g
b,
Garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus dua buah garis berpotongan yang terdapat pada bidang
V 19
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
Jarak titik ke bidang A
Peragaan ini menunjukan jarak antara titik A ke bidang V adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus titik A ke bidang V
20
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG Contoh 1
H
G Diketahui kubus
E
F
D A
P 10 cm
ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm Jarak titik A ke bidang BDHF C adalah….
B
21
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
Pembahasan H E
F
D A
Jarak titik A ke bidang BDHF diwakili oleh panjang AP.(APBD) C AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2
G
P 10 cm
B
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm 22
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
T
Contoh 2
D A
8 cm
C B
Diketahui limas segi-4 beraturan T.ABCD. Panjang AB = 8 cm dan TA = 12 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD adalah….
23
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
Pembahasan T
D P A
8 cm
Jarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD C = TP AC diagonal persegi AC = 8√2 B
AP = ½ AC = 4√2
24
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
AP = ½ AC = 4√2
T
TP = = = = C
D P A
8 cm
2
AT AP 12
2
( 4 2 )
144
2
2
32
112
= 4√7
B
Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm 25
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
Contoh 3 H
G
E
F
D A
C 9 cm
B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah…. 26
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK KE BIDANG
Pembahasan H
G
E
F
D A
P C
T 9 cm
B
Jarak titik C ke bidang BDG = CP yaitu ruas garis yang dibuat melalui titik C dan tegak lurus GT
CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3
Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm 27
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE GARIS
g P
Q
h
Peragaan menunjukan jarak antara garis g ke garis h adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut 28
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE GARIS
Contoh H E
D A
Diketahui kubus ABCD.EFGH F dengan panjang rusuk 4 cm. C Tentukan jarak: B a.Garis AB ke garis HG G
4 cm
b.Garis AD ke garis HF c.Garis BD ke garis EG 29
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE GARIS
Penyelesaian H E
F
D A
Jarak garis: G a. AB ke garis HG = AH ( AH AB, C
4 cm
B
AH HG) = 4√2 (diagonal sisi)
b.AD ke garis HF = DH (DH AD, DH HF
= 4 cm
30
DIMENSI TIGA
E
H Q
G F
D A
JARAK GARIS KE GARIS
P
4 cm
B
Penyelesaian
Jarak garis: b.BD ke garis EG C = PQ (PQ BD, PQ EG
= AE = 4 cm 31
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE BIDANG g
Peragaan menunjukan Jarak antara garis g ke bidang V adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus garis dan bidang 32
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE BIDANG
H
G
E
F
P
D A
8 cm
B
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH C dengan panjang rusuk 8 cm Jarak garis AE ke bidang BDHF adalah…. 33
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE BIDANG
Pembahasan G Jarak
H E
F
P
D A
8 cm
B
garis AE ke bidang BDHF diwakili oleh panjang AP.(AP AE
C AP BDHF)
AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2 Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm
34
DIMENSI TIGA
JARAK BIDANG KE BIDANG
Jarak Bidang dan Bidang peragaan, menunjukan jarak antara bidang W dengan bidang V adalah panjang ruas garis yang tegak lurus bidang W dan tegak lurus bidang V
W
V
35
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE BIDANG
Contoh 1 H
G
E
F
D A
6 cm
B
Diketahui kubus 6 cm ABCD.EFGH dengan panjang C rusuk 6 cm. Jarak bidang AFH ke bidang BDG adalah…. 36
DIMENSI TIGA
JARAK BIDANG KE BIDANG
Pembahasan H E
F
Q P
D A
Jarak bidang AFH ke bidang BDG 6 cm diwakili oleh PQ PQ = ⅓ CE C (CE diagonal ruang) PQ = ⅓. 9√3 = 3 √3
G
6 cm
B
Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm 37
DIMENSI TIGA
JARAK BIDANG KE BIDANG
H
G
E
F M D
A
L 12 cm
BK
C
Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.
Titik K, L dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Jarak antara bidang AFH dan KLM adalah…. 38
DIMENSI TIGA
JARAK GARIS KE BIDANG
H
G
E
F
D A
L 12 cm
C B
Pembahasan
•Diagonal EC = 12√3 •Jarak E ke AFH =jarak AFH ke BDG =jarak BDG ke C
Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC =⅓.12√3 = 4√3 Berarti jarak BDG ke C juga 4√3 39
DIMENSI TIGA
H
G
E
BDG ke C juga 4√3 M Jarak BDG ke KLM = jarak KLM ke C C = ½.4√3 BK = 2 √3
F
D A
JARAK GARIS KE BIDANG
L 12 cm
Jadi jarak AFH ke KLM = jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM = 4√3 + 2√3 = 6√3 cm 40
