Determinación de la Constante de Planck por el Efecto Fotoeléctrico Gabriela Rojas y Carlos Santander Resumen. Este informe se presenta los datos obtenidos y el análisis del resultado del experimento que estudia el efecto fotoeléctrico a través de la medición del voltaje de frenado para diversos haces de luz monocromáticos, que inciden en un fototubo, conectado a un circuito eléctrico. A través de la medición de estos datos obtuvimos un valor para la constante de Planck (h) igual a (2, 8 · 10−15 ± 7 · 10−16 )[eV ], cuyo error relativo porcentual es del 25 %, y que difiere del valor teórico en un 31 %. Estos resultados se consideraron suficiente para confirmar la relación entre la energía y la frecuencia de una onda electromagnética.
OBJETIVO Determinar el valor de la constante de Planck (h), y estimar la función trabajo (φ ) por medio del análisis experimental del efecto fotoeléctrico.
INTRODUCCIÓN A fines del siglo XIX, Hertz, experimentando con ondas electromagnéticas para comprobar la teoría de Maxwell, descubrió por casualidad el efecto fotoeléctrico: notó que la chispa producidas en su experimento aumentaban si se hacían utilizando luz ultravioleta. Esto no podía ser explicados por la física de aquella época porque principalmente estaba centrada en la naturaleza ondulatoria de la radiación, y además para aquel entonces se desconocía la existencia del electrón. Unos años después, en 1900, P. Lenard, conociendo los resultados de Thomson sobre el electrón, logró explicar que las partículas emitidas bajo la luz ultravioleta en el experimento de Hertz eran electrones. A su vez, descubrió que la energía máxima de salida de los electrones dependía del color de la luz (es decir, su frecuencia), y que además esta energía máxima se mantenía fija independiente de la intensidad de la luz. Estudios posteriores lograron explicar esto por medio de la teoría corpuscular de la luz, la que decía que la luz está compuesta de partículas llamadas fotones. Einstein por medio de estudios realizados por Plank, determinó que la energía de estos fotones era proporcional a su frecuencia [1]: Eν = h · ν (1) De esta forma, los fotones logran liberar un electrón cuando superaban la función trabajo φ0 (energía que los
liga al metal) de éstos. Por la conservación de la energía, resulta la siguiente ecuación: h · ν = φ0 +
1 · me · v2 2
(2)
Donde el último término corresponde a la energía cinética del electrón. Para éste experimento utilizaremos una celda fotoeléctrica donde impactarán estos electrones, generando una corriente. A su vez utilizaremos un voltaje para desviar estos electrones liberados. De manera que al cancelar la corriente tendremos la siguiente relación 1 · me · v2 (3) 2 Reemplazando (3) en (2), y reordenando los términos obtenemos la siguiente relación: e ·VI=0 =
e ·VI=0 = h · ν − φ0
(4)
A partir de (4) podremos obtener una aproximación de la constante de Plank.
MONTAJE EXPERIMENTAL Y PROCEDIMIENTO Instrumentos Tubo fotoeléctrico. Lámpara de mercurio. Filtros ópticos de 405 nm, 436 nm, 546 nm y 580 nm. Convertidor Voltaje-Corriente. Microamperímetro. Multitester.
Soporter universal. Pinza.
Cuadro 1. Voltajes de frenado V f r obtenidos para seis mediciones de cada longitud de onda λ . V f r ± 0, 001 [Volt]
λ [nm]
Procedimiento Se dispusieron los instrumentos como indica la imagen de la Figura 1. Se encendió la lámpara de mercurio, y no se apagó hasta finalizar el experimento. En total se realizaron 24 mediciones, 6 para cada uno de los filtros ópticos. En las mediciones se variaba el voltaje de tal manera que el microamperímetro indicara que la corriente era nula, una vez que la aguja se estabilizaba se tomaban los datos. Posteriormente, para la siguiente medición, se apagaban todos instrumentos (a excepción de la lámpara) y se realizaba el mismo procedimiento descrito anteriormente.
405 405 405 405 405 405 436 436 436 436 436 436 546 546 546 546 546 546 580 580 580 580 580 580
1,304 1,303 1,303 1,296 1,294 1,300 1,132 1,134 1,134 1,137 1,136 1,140 0,689 0,690 0,690 0,688 0,759 0,757 0,682 0,695 0,690 0,673 0,683 0,685
Cuadro 2. Datos reducidos λ −1 [m− 1] V f r [Volt] δV f r [Volt] Figura 1. 1: Microamperímetro. 2: Convertidor voltajecorriente. 3: Multitester. 4: Filtros ópticos. 5: Soporte. 6: Pinza. 7: Tubo fotoeléctrico. 8: Lámpara de mercurio.
1724137,9 1831501,8 2293578,0 2469135,8
0,685 0,712 1,136 1,300
0,003 0,014 0,001 0,002
RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANÁLISIS Los datos obtenidos del experimento se presentan en el Cuadro 1: Sacando el promedio de los V f renado para cada λ , obtenemos los datos del Cuadro 2, con su respectivo error estándar. Estos datos representados en un gráfico, junto con la ecuación de la tendencia, se muestran en Figura 2. La ecuación de la mejor recta que se ajusta a los datos (por método de regresión lineal) está presentada en el mismo gráfico, donde los valores de la pendiente (m) y del coeficiente de posición (n) tienen los siguientes errores asociados:1
1
Estos errores fueron calculados usando propagación de error, y que son mayores que los obtenidos usando las fórmulas de regresión lineal por método de mínimos cuadrados.
Figura 2. Notar que λ es la longitud de onda. Los errores de los datos son demasiado pequeños para aparecer en el gráfico.
δ m = 2, 1 · 10−07
(5)
δ n = 0, 4
(6)
Esta relación lineal entre las variables estudiadas corrobora la ecuación (4), y así nos permite encontrar los valores experimentales del trabajo de extracción asociado al material del cátodo del fototubo, y de la constante h que se indican a continuación: h[eV ] = 2, 8 · 10−15 ± 7 · 10−16 φ [eV ] = 0, 8 ± 0, 4 Comparando cada uno de los errores con su medida asociada, vemos que el error porcentual del valor experimental de h es del 25 %, y el φ es del 50 %. El valor de h obtenido del experimento tiene el mismo orden de magnitud que el aportado por la teoría, y sus cifras son cercanas a las del valor teórico. Sin embargo, su diferencia es de una magnitud mayor al error experimental encontrado. El error relativo porcentual de la pendiente nos otorga una noción del grado de precisión de nuestros datos y deriva principalmente del proceso de control de las variables y medición de los datos. Observando el cuadro (2) vemos que los errores estándar de los datos del voltaje de frenado son relativamente pequeños, salvo el error estándar del voltaje de frenado propio del haz de luz de 456[nm]. Por otro lado el error de los filtros de longitud de onda son demasiado chicos para ser considerados. De esto podemos asociar el error de nuestros resultados a un error aleatorio que pudo aumentar durante la toma de datos.
CONCLUSIONES El error del resultado experimental relativo al valor teórico de h es del 31 %, lo que le da una exactitud débil a nuestros datos.2 Por otro lado, la magnitud del trabajo de extracción obtenido para el fototubo está debajo del rango de valores conocidos para ciertos metales, y con una diferencia que es mayor a la magnitud de su error asociado. 3 Considerando lo anterior, y que el valor obtenido para h deriva del valor de la pendiente presentada en el gráfico (Figura 2) es esperable que el error experimental relativo al valor de la pendiente (5) condujera a un error relativo notoriamente mayor en el valor del intercepto, más aun si el menor de los datos medidos se aleja
2
h
−h
Este error fue calculado de la siguiente forma: teohteo exp Los valores conocidos de φ para diversos metales fluctúan entre 2, 3[eV ] y 6[eV ] [2] 3
notoriamente del valor del intercepto. Considerando que el error de la pendiente pudo deberse a un error aleatorio, éste debiera estar determinado por las siguientes limitaciones de nuestro experimento: Por un lado, aunque antes de iniciar la medida de los datos calibramos el amplificador, notamos que al variar manualmente el voltaje del circuito para encontrar el voltaje de frenado, la calibración del amplificador se modificaba con facilidad. Esto lo explicamos debido a que la manilla de variación del voltaje estaba muy próxima a la manilla de calibración, ambas tenían una rotación muy suave y fácil de conseguir, y trabajamos con poca luz (para controlar la frecuencia de luz que entraba al fototubo) lo que condujo a que no siempre consiguiéramos, ya sea por débil visión o mal pulso, mover la manilla del voltaje sin mover ligeramente la manilla de calibración. El amplificador o el microamperímetro no funcionaban del todo bien, pues para voltajes “negativos” de mayor magnitud al voltaje “negativo” de frenado el microamperímetro marcaba el paso de cierta corriente eléctrica, y sabemos por la teoría que en estos casos la corriente debía ser cero. La luz ambiental varió durante el experimento. A esta limitación se suma el débil control que tuvimos sobre la distancia del fototubo a la lámpara de mercurio, causado por movimientos de nuestros brazos sobre los aparatos del montaje experimental, por movimientos de la mesa de laboratorio y por nuestra poca precisión manual para mantener esta distancia cada vez que cambiamos los filtros del fototubo. A las limitaciones anteriores debemos agregar la poca variedad de datos, debido a la poca cantidad de filtros que disponíamos. Dicho lo anterior, para aumentar tanto la precisión como exactitud de nuestros datos, y así disminuir los errores de los resultados, proponemos las siguientes mejoras para el diseño, montaje y medición de datos de este experimento: Aumentar la variedad y ampliar el rango de filtros de longitud de onda del fototubo; utilizar un amplificador cuya manilla de calibración esté mejor resguardada de los movimientos y roces propios de la manipulación de los instrumentos, y que no presente errores de funcionamiento como el detallado respecto a voltajes “más negativos” que el voltaje de frenado; fijar la posición del fototubo respecto a la lámpara de mercurio, con alguna cinta adherente o mecanismo fijador estable; tapar las ventanas del Laboratorio y evitar que se abra la puerta
durante la toma de datos. Analizada la medida en que los datos obtenidos durante este experimento confirman la relación (4) y la efectiva existencia de la constante de Planck, podemos profundizar en los fenómenos involucrados en el efecto fotoeléctrico formulando las siguientes observaciones y conclusiones: Dada una corriente eléctrica en el circuito externo del montaje experimental producida por la incidencia de un haz de luz monocromático en el fototubo (compuesto de dos electrodos conductores), observamos que si manteniendo constante la frecuencia del haz de luz, disminuíamos su intensidad (alejando la lámpara de mercurio respecto al fototubo, o acortando el área transversal por donde el haz de luz monocromático entraba al fototubo) la intensidad de la corriente fotoeléctrica también disminuía; y si de modo inverso aumentábamos la intensidad del haz de luz, manteniendo constante su frecuencia, la intensidad de la corriente fotoeléctrica también aumentaba. Aunque no pudimos comprobarlo experimentalmente, puesto que sólo contamos con la posibilidad de usar cuatro haz de luz monocromáticos distintos que producían corriente eléctrica desde el fototubo, sabemos de la teoría que el hecho descrito en el párrafo anterior ocurre sólo cuando el haz de luz monocromático tiene una frecuencia sobre la “frecuencia umbral”, que depende del material del cátodo del fototubo. Para frecuencias menores a la “frecuencia umbral”, la incidencia de luz en el fototubo no produciría corriente eléctrica, y por lo tanto la relación anterior no se observaría. Ahora si entendemos a la luz como una onda electromagnética cuya densidad de energía depende, según el vector de Poynting, de su amplitud y no de su frecuencia, es de esperar que la energía que reciben los electrones para salir del cátodo y por consiguiente la intensidad de la corriente fotoeléctrica, dependan de la intensidad del haz de luz y no de la frecuencia del haz. Sin embargo la evidencia experimental sobre el efecto fotoeléctrico nos permitió observar que, aun cuando para ciertas frecuencias constantes efectivamente la intensidad de la luz afecta la corriente fotoeléctrica (como se indicó anteriormente), la energía que reciben los electrones sí depende de la frecuencia, pues bajo la “frecuencia umbral” mencionada no se produce corriente eléctrica, incluso si se aumenta la intensidad del haz de luz, y por otro lado, al aumentar la frecuencia del haz, manteniendo la intensidad de luz constante, también aumenta la intensidad de corriente. Esto en un comienzo trajo un conflicto a la Teoría que describe a la luz como una onda electromagnética, hasta que Einstein resolvió el problema formulando las leyes físicas de la realidad cuántica desconocidas
hasta ese entonces, y que explican que la luz además de cumplir con las características de una onda electromagnética, está constituida por pequeños paquetes de energía llamados cuantos, o fotones, que dependen de la frecuencia de la onda como lo indica la relación (1). Gracias a los descubrimientos de Einstein podemos entender la transferencia de energía entre la luz y el electrón, como una transferencia que no es continua, como esperaba la Teoría Clásica, sino que en paquetes completos dependientes sólo de una constante (h), y la frecuencia de la luz. Esta energía al ser transferida a un electrón realiza el trabajo de liberarlo del cátodo del fototubo y le otorga una energía cinética para moverse al ánodo (ver 2). La energía máxima que puede recibir cada electrón a partir de un haz de luz monocromático, puede determinarse identificando el voltaje para el cual la corriente fotoeléctrica se detiene, llamado “potencial de frenado” (ver 3). De los datos obtenidos durante el experimento (Cuadro 1), se pudo observar que el Voltaje de Frenado varía con respecto a la longitud de onda del haz monocromático, y por consiguiente con respecto a su frecuencia. La relación entre estas magnitudes podemos observarla en el Cuadro 2 y el grafico (Figura 2), donde es clara la tendencia lineal entre la frecuencia y el potencial de frenado. Ante esta situación cabe preguntarse si el potencial de frenado varía con la intensidad luminosa. Para respondernos esta pregunta variamos la intensidad del haz de luz manteniendo su frecuencia constante. Observamos que el potencial entre los electrodos del fototubo variaba en la misma dirección que la intensidad del haz de luz, siempre que el potencial entre los electrodos fuera de mayor magnitud al potencial de frenado. En cambio, cuando para un mismo haz de luz monocromático buscamos su potencial de frenado, observamos que este era el mismo independiente de la intensidad del haz luminoso. Esto también fue un conflicto para la Teoría Clásica que no aceptaba la idea del “cuanto” de energía, y esperaba que a mayor energía de la onda de luz, mayor fuera la energía cinética del electrón al salir del cátodo y por ende mayor la magnitud del voltaje de frenado. Pero dada la relación (2) sabemos que esto ocurre debido a que cada fotón interactúa con un solo electrón, y por ende la energía cinética máxima del electrón jamás dependerá de la densidad de energía de la onda electromagnética [3]. Todo lo deducido por el efecto fotoeléctrico, permite predecir que si en vez de utilizar un haz de luz, se bombardeara con partículas de alta energía un metal, no necesariamente se observaría emisión de electrones, porque para que un electrón sea emitido, necesita la energía suficiente para salir del metal, y tener energía cinética. Las partículas α debido a su gran masa, y carga eléctrica, al incidir en un metal, principalmente ionizan
los átomos del metal, produciendo cierto movimiento de electrones, pero ésta interacción no es suficiente para aportarle la energía necesaria para salir del material. Algo similar ocurre para las partículas β , que aún cuando pueden producir mayor movimiento de electrones en el material, su interacción con los átomos no alcanza fácilmente a otorgarle la energía necesaria al electrón para salir. En cambio, la emisión de rayos γ es precisamente radiación electromagnética compuesta por fotones de alta frecuencia, y por lo tanto puede otorgarle la energía necesaria a los electrones para salir a través del efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, o incluso la producción de pares [4]. Son conocidos ciertos rangos de energía en que las aproximaciones no relativistas son suficientemente buenas. Por ejemplo cuando el electrón tiene una energía menor a 5, 11[eV ]; la ecuación no relativista para un momento de electrón tiene un error del 1 %, y por ende se considera razonablemente buena. 4
REFERENCIAS 1. Tipler, Paul A., and Ralph A. Llewellyn. Modern Physics. 5th ed. New York, NY: W.H. Freeman, 2008. 127-128. 2. Lide, David R. CRC Handbook of Chemistry and Physics: A Ready-reference Book of Chemical and Physical Data. 90th ed. Boca Raton, Fla.: CRC Press, 2009. 3. Young, Hugh D., and Roger A. Freedman. Física Universitaria Con Física Moderna. Vol. 2. 12th ed. México: Addison Wesley Iberoamericana, 2009. 4. Rickards, Jorge, and Ricardo Cameras. ÏII. INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA."LAS RADICACIONES II. EL MANEJO DE LAS RADICACIONES NUCLEARES. February 28, 2002. Accessed April 6, 2015. http://bibliotecadigital.ilce.edu. mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/094/ htm/sec_6.htm.
4
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/ relativ/rellim.html
