Definición: Grafo, vértice, arista, aplicación de incidencia. Un grafo es un objeto matemático definido por: •
Un conjunto finito de elementos llamados vértices
•
Un conjunto finito de elementos llamados aristas
•
Una aplicación, llamada incidencia, que a cada arista hace o corresponde a un conjunto no ordenado! formado por uno o dos vértices, llamados sus e"tremos.
Grafos O
#os grafos $%& permiten permiten encontrar encontrar una solución solución sin tener que e"pandirse e"pandirse completamente por todas las ramas. #a b'squeda primero en anchura presenta la ventaja ventaja de que no queda atrapada en callejones callejones sin salida. salida. (uede consistir consistir en seguir un 'nico camino cada ve), * cambiarlo cuando alguna ruta pare)ca más prometedora que la que se está siguiendo en ese momento. +n cada paso del proceso de b'squeda b'squeda el primero mejor, mejor, se seleccion selecciona a el nodo más prometedor que se ha*a generado generado hasta ese momento. momento. +sto se puede conseguir con una función heurstica apropiada. - continuación se e"pande el nodo elegido aplicando las reglas para generar a sus sucesores. i alguno de ellos es una solución, el proceso termina. i no es es a si estos estos nuev nuevos os nodos nodos se a/aden a/aden a la lista lista de de nodos nodos que que se han han generado generado hasta ese momento. momento. De nuevo nuevo se selecciona selecciona el más más prometedor prometedor de ellos * el proceso continuo de la misma forma. in embargo si no se encuentra una solución, la rama empe)ara a parecer menos prometedora que otras por encima de ella * que se se haban ignorado. EJEMPLOS
0uestra el comien)o de un proceso de b'squeda el primero mejor. 1nicialmente solo e"iste un nodo, de forma que este se e"pande, al hacerlo se generan tres nodos nuevos. +n este ejemplo la función heurstica es una estimación del coste necesario para llegar a una solución a partir del nodo dado, * se aplica a cada nodo.
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(ara poder implementar un procedimiento de b'squeda sobre un grafo se necesitan dos listas de nodos 2odos que se han generado * a los que se les ha aplicado la función heurstica, pero que a'n no han sido e"aminados es decir no se han generados nuevos sucesores. ABIERTOS:
nodos nodos que *a se han e"amin e"aminado. ado.es es necesar necesario io mantene mantener r estos estos nodos nodos en memoria memoria si lo que se desea desea es hacer una b'sque b'squeda da sobre un CERRA CERRADO DOS: S:
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-lgoritmo: 3'squeda el primero mejor. 4.5 comen)ar con -31+678 conteniendo solo el estado inicial. 9.5hasta que se llegue a un objetivo o no queden nodos en -31+678 -31+678 hacer: a
7omar el el mejor no nodo de de -31+678 b! Generar sus sucesores. c! (ara cada sucesor hacer:
i. si no se ha generado con anterioridad, evaluarlo, a/adirlo a -31+678 -31+678 * almacenar a su padre.
ii. i *a se ha generado generado antes, cambiar cambiar al padre padre si el nuevo cambio cambio es mejor que el anterior. anterior. +n este este caso, se actuali)a actuali)a el coste empleado empleado para alcan)ar el nodo * a los sucesores que pudiera tener.
ALGORITMOS A*
+l algor algorititmo mo de la b'squ b'squed eda a del del prim primero ero mejo mejorr descr descritito o ante antess es una una simplificación de un algoritmo denominado - , que fue introducido por primera ve) por ;art et al.4<=>?4<@9!.este algoritmo algoritmo utili)a utili)a las mismas mismas funciones funciones A B , g * h B , as como las listas -31+678 -31+678 C +66-D8 , que *a *a sean descrito. PASOS:
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+mpe)ar con -31+678 -31+678 conteniendo solo el nodo inicial 6epetir el siguiente procedimiento hasta que se encuentre un nodo objetivo: si no e"isten nodos abiertos informar el fallo. i U+86 no se encuentra en -31+678, mirar si se encuentra en +66-D8. i U+8 U+86 6 no estaba estaba *a en -31+678 -31+678 o en +66-D8 +66-D8 ponerlo ponerlo en -31+678 * a/adirlo a la lista de sucesores de 0+E8628D8.
AGENDAS
+s una lista de las tareas que un sistema puede reali)ar. 2ormalmente a cada tarea se le asocian dos dos abiertos: una de las listas de las ra)ones por las que se propone la tarea con frecuencia frecuencia denominadas denominadas justificac justificaciones! iones! * un valor que represente el peso total de la evidencia que dice dice que la tarea sera 'til.
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a! +legir una tarea más prometedora de la agenda. b! +jecutar +jecutar la tarea asignándole asignándole un n'mero de recursos recursos determinados determinados por su importancia. c! mirar si *a se encuentra en la segunda. i es as, mirar si la ra)ón por la que debe reali)arse *a está en su lista de justificaciones.
Grafos A
3UFU+D- (86 +# 0+78D8 -#G8617018 - 3'squeda - +l algoritmo de b'squeda -pronunciado $- asterisco& o $estrella&! se clasifica dentro de los algoritmos de b'squeda en grafos. (resentado por primera ve) en 4<=> por (eter +. ;art, 2ils E. 2ilsson * 3ertram 6aphael, el algo algori ritm tmo o - encuen encuentr tra, a, siem siempre pre * cuand cuando o se cump cumpla lan n unas unas dete determ rmin inad adas as condiciones, el camino de menor coste entre un nodo origen * uno objetivo. 3'squeda por el método algortmico - l método busca el camino en un grafo de un vértice inicial hasta un vértice final. l es la combinación de apro"imaciones heur heurst stic icas as como como del del algor algorititmo mo 3est 3est5f 5fir irst st earc earch. h. u apli aplica caci ción ón va desd desde e aplicativos para encontrar rutas de despla)amiento entre localidades la resolución de problemas, como la resolución de uno quiebra5cabe)as. l es mu* usado en juegos. 0otivación * descripción. +l problema de algunos algoritmos de b'squeda en grafos informados, como puede ser el algoritmo vora), es que se guan en e"clusiva por la función heurstica, la cual puede no indicar el camino de coste más bajo, o por el coste real real de desp despla la)ar )arse se de un nodo nodo a otro otro como como los los algo algori ritm tmos os de escal escalada ada!, !, pudiéndose dar el caso de que sea necesario reali)ar un movimiento de coste ma*or para alcan)ar la solución. +s por ello bastante bastante intuitivo el hecho de que un buen algoritmo de b'squeda informada debera tener en cuenta ambos factores, el valor heurstico de los nodos * el coste real del recorrido. onseguir buenas soluciones óptimas!. Ganar en eficiencia reduciendo el árbol de b'squeda!. 8bjetivo de la b'squeda -: gn!: coste del camino hasta n. hn!: heurstica del nodo, estimación del coste de un camino óptimo desde n
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8rdenando la cola de -31+678 en orden creciente respecto a f eleccionar siempre el nodo con menor valor de f (ropiedades de - olución. olución encontrada: 15J5K505L Mptima heurstica admisible! 2odos anali)ados: > -unque en este caso se anali)an más nodos e"plorado parcialmente un camino equivocado!, la óptima está asegurada
se ha solución
2ótese que se generan dos nodos distintos con el mismo estado K pero distinto distinto camino! uando un algoritmo algoritmo de tipo - utili)a utili)a una función heurstica h n! que es una corta inferior de h n!. 6ecordemos que h n! es el coste real del camino óptimo de n a un nodo terminal .+ntonces el algoritmo recibe el nombre de -. +l interés de dicho algoritmo algoritmo - se puede resumir en dos propiedades fundamentales: 4. i e"is e"iste te un cami camino no solu soluci ción, ón, ento entonc nces es apli aplica cando ndo el algo algori ritm tmo o - tendremos garanta de encontrar el camino óptimo. +sta propiedad se conoce con el nombre de admisibilid admisibilidad ad del algoritmo algoritmo -. -lgoritmo -lgoritmo - 9.Dadas dos funciones funciones heursticas admisibles ;4 n! NNh n! * h9 n! Nh n! tales que h4 n! Nh9 n!4 para todos los nodos del grafico implcito, entonces el algoritmo - utili)ando la función menos informada h4 n! e"pandirá como mnimo los mismos nodos que e"pandira usando h9 n!. +sta propiedad nos dice que los algoritmos - tienden a e"pandir menos nodos cuando h n! se acerca a hn!. Donde ni, nj! es el coste del camino optimo entre los nodos ni * ni pode podemo moss aseg asegur urar ar que que cada cada nodo nodo sele selecc ccio iona nado do por por - se encu encuen entr tra a con con seguridad en el camino solución: el crecimiento de la complejidad es lineal con la profundidad de b'squeda 2!. f n! H gn! I hn!: oste real del plan camino! de mnimo coste que pasa por n. f n! H gn! I hn!: estimación de f Lunción heurstica de -: -31+678 :H O1211-#P QQiniciali)ación +66-D8:H OP fR1211-#! :H hR1211-#! 6epetir
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QQ ola de prioridad 0over 0+E8628D8 de -31+678 si 0+E8628D8 contiene estado objetivo entonces
a
+66-D8
8#U182S+28276-D-:H 76U+ i no Generar U+86+ de 0+E8628D8 (ara cada U+86 hacer 76-7-6SU+86 76-7-6SU+86 ;asta 8#U182S+28276-D- o L-##8 1mplementación algoritmo - en pseudocódigo #a complejidad del algoritmo está ntimamente relacionada con la calidad de la heurstica que se utilice en el problema. +n el caso peor, con una heurstica de pésima calidad, la complejidad será e"ponencial, mientras que en el caso mejor, con una buena, el algoritmo se ejecutará en tiempo lineal. (ara que esto 'ltimo suceda, se debe cumplir que hT"!NHg*!5g"!IhT*! Donde h es una heurstica óptima para el problema, como por ejemplo, el coste real de alcan)ar el objetivo omplejidad omo todo algoritmo de b'squeda en amplitud, - es un algoritmo completo: en caso de e"istir una solución, siempre dará con ella. i para todo nodo n del grafo se cumple gn!H%, nos encontramos encontramos ante una b'squeda vora). i para todo nodo n del grafo se cumple hn!H%, - pasa a ser una b'squeda de coste uniforme no informada. (ara garanti)ar la optimali)ad optimali)ad del algoritmo, algoritmo, la función debe ser admisible, esto es, que no sobrestime el coste real de alcan)ar el nodo objetivo. (ropiedades De no cumplirse dicha condición, el algoritmo pasa a denominarse simplemente -, * a pesar de seguir siendo completo, no se asegura que el resultado obtenido sea el camino de coste mnimo. -simismo, si garanti)amos que es consistente o monótona!, monótona!, es decir, que que para cualquier nodo * cualquiera cualquiera de sus sucesores, sucesores, el coste estimado de alcan)ar el objetivo desde n no es ma*or que el de alcan)ar el sucesor más el coste de alcan)ar el objetivo desde el sucesor
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Garca ., #ópe) E, (iugjaner D.. 9%%9!. 0atemática discreta . 0adrid: (rentice ;all. 3alta)ar 0., 3enites 1., Llores #.. 9%4V!. 7écnicas de b'squeda. 8ctubre %<, 9%4W, de cribd itio Xeb: https:QQes.scribd.comQdocQ4>V@4%WYYQUnidad59