GRAFOS 1. La matriz de adyacencia del grafo G es 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 entonces,
0
1 1
1
A) G es un pseu pseudog dograf rafoo B) G es es un grafo grafo com comple pleto to C) G no no es es con conex exo o Solución: Supongamos V={v 1 ,v ,v2 ,v ,v3 ,v ,v4 } } son los vértices del grafo. n los pseudografo est!n permitidas las aristas cu"os e#tremos coinciden, es decir, los la$os. n la matri$ de ad"acencia dada se o%serva o%serva &ue m11=1, un la$o en v 1 m22=1, un la$o en v 2 m33=1, un la$o en v 3 m44=1, un la$o en v 4 Se trata de un pseudografo.
iclo es un camino cerrado donde los (nicos vértices repetidos son el primero " el (ltimo uando un ciclo contiene todos los vértices del grafo se llama ciclo +amiltoniano. +amiltoniano. -uestro grafo contiene contiene siete vértices, " el camino en cuestin los recorre todos sin repetir vértice, es por tanto ciclo +amiltoniano. +amiltoniano.
%. ado el grafo de la figura
A) &s $amilt $amiltoni oniano ano B) 's eule euleri rian ano o C) 's ipa ipart rtit ito o Solución: el su%grafo de la figura siguiente contiene un ciclo +amiltoniano
2. Sea A la matriz de adyacencia de un multigrafo G con vrtices !v1, v",###,vn$ y sea a"%&% una de las entradas de A# 'ntonces, A) 'xiste un camino con tres vrtices entre v" y v%#
B) Hay tres tres aristas aristas con extre extremos mos los !rtices !rtices 2 y ". #) (ay tres vrtices adyacentes con v" y v% Solución:
en los multigrafos se define la matri$ de ad"acencia: ai'=n(mero de aristas cu"os vértices son v i " v ' , i ' aii=) *or tanto si a23=3 entonces +a" 3 aristas con vértices e#tremos v2 " v3
". Sea G un grafo con vrtices y C&*v1,v%,v",v+,v,v,v-,v1) un camino en G# A) C es un camin camino o .amilt .amiltoni oniano ano
B) # es un cicl cicloo $amilt $amiltoni oniano ano C) C no est/ ien ien defin definido ido Solución: di%u'ando el su%grafo asociado al v1 camino v" v v%
vv
v+
Vemos &ue se s e trata de un ciclo +amiltoniano.
/n grafo &ue contiene un ciclo +amiltoniano se denomina grafo +amiltoniano. -o es euleriano por&ue por&ue +a" seis vértices &ue tienen grado 3, es decir grado impar. impar. 0ecuérdese &ue si un grafo es euleriano todo vértice vé rtice tiene grado par. par. -o es %ipartito por&ue por&ue el ciclo asociado a la figura anterior es de longitud impar. impar.
'. Sea G un grafo conexo cuyos vrtices son !v 1, v", v%, v+, v$# La sucesi2n *v 1,v",v%,v,v1,) es3 A) 4n camino camino euleri euleriano ano B) 4n ciclo ciclo .amil .amilton tonian iano o
#) (inguno (inguno de de los anterior anteriores es Solución:
el su%grafo v1 asociado al camino es el de la v" figura. /n camino euleriano es un v% camino &ue contiene todas las aristas apareciendo cada una v+ v de ellas e#actamente una ve$. n nuestro caso caso desconocemos todas las aristas del grafo, no podemos asegurar &ue sea euleriano. ampoco es un ciclo c iclo +amiltoniano, puesto &ue de%e pasar por todos los vértices sin repetir repetir repetir ninguno.
. Sea 5 un mapa cuyas regiones se pueden
0 1 2 0 0 0 1 , 1 1
colorear con s2lo dos colores3
A) &l pseudomultigrafo dual es *ipartito B) 6odas las caras son pol7gonos con un n8mero par de lados# C) 9o existen tales mapas# Solución: veamos dos e'emplos de tales mapas
A) A y B son isomorfos m%os mapas se pueden colorear con dos colores. ntendiendo &ue caras se refiere a regiones, el grado de las regiones internas es 3 " 4 respectivamente. Si un mapa se puede colorear con dos colores, regiones ad"acentes tendr!n asociados colores diferentes5 manteniendo la misma coloracin para las regiones &ue para las aristas asociadas por la transformacin dual, las aristas conectaran vértices &ue provienen de regiones ad"acentes " por tanto tendr!n distintos colores.
+. ado el digrafo eti:uetado
v1
Grafo A
v" Grafo B
"
1
v+
1
1
" "
" y
;Cu/l es la distancia entre x e y< B) ' C)1" A) Solución: siguiendo el algoritmo de 6i'7stra " colocando en cada vértice la distancia desde #, o%tenemos: 0 1
v"
v1
x
1
%
B) A y C son isomorfos C) B y C son isomorfos Solución: el grado de un vértice se o%tiene sumando los elementos de la fila. 9atri$ : grv1 ;=15 grv2 ;=35 grv3 ;=25 grv4 ;=2 9atri$ 8: grv1 ;=35 grv2 ;=15 grv3 ;=25 grv4 ;=2 9atri$ : grv1 ;=35 grv2 ;=35 grv3 ;=35 grv4 ;=3 -o se puede esta%lecer un isomorfismo entre " , ni entre 8 " , puesto &ue no se pueden +acer corresponder los grados de los vértices. ntre " 8 se puede esta%lecer el isomorfismo:
"
v%
v+
v%
6onde las l
-. ;Cu/l de los siguientes grafos no se puede diu>ar sin levantar el l/piz del papel y sin diu>ar dos veces la misma arista< A)
B)
#)
" %
+
,. adas las matrices de adyacencia A, B y C de tres grafos
Solución:
para resolver este e'ercicio +a" &ue anali$ar el grado de cada vértice. *ara &ue se pueda di%u'ar en las condiciones pedidas de%e ocurrir una de: - odos los grados son pares, entonces es un grafo euleriano, es decir, admite un circuito euleriano.