UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CHIMBORAZO MAESTRIA EN SISTEMAS DE CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL NOMBRE: David Chicaisa 1) El estudio de un circuito eléctrico consistent ente en una resis esiste tenc nciia, un cond conden ensa sad dor, or, un ind inducto uctorr y una una fuer fuerz za electr electromo omotri triz z (véase (véase la gura) gura),, llegamo llegamos s a un probl problema ema con valores iniciales de la forma Dond Donde e ! es la indu inducta ctanc ncia ia en henr henrio ios, s, " es la resi resist sten enci cia a en ohms, C es la capacidad en faradios, E (t) es la fuerza electromo electromotriz triz en voltios, voltios, #(t) es la carga carga en coulombs coulombs sobre el con condens densad ador or en el ins instant ante t e $ % d#&dt #&dt es la cor corrien riente te en amperio amperios' s' Deter Determin mine e la corrie corriente nte en el instan instante te t si la carga carga inicial sobre el condensador es nula, la corriente inicial es nula, ! % 1, " % *, C % (+*+)1 - y E(t) % 1. '
L
d 2 q dt
d 2 q
+
dt
r =
+
dt
dq
2
+
dt
P (r ) : r 2 −
dq
+ R
1
C
q = E (t )
626q = 10
2r + 626 = 0
+
2 ± 22
−
4(1)(626)
2
r = −1 ± 25i q g
= C 1 e
q p
= A
q p'
=
p p''
=0
− t
Cos ( 25t ) + C 2 e − t Sen(25t )
0
A626 = 10 A =
5
313 q (t ) = q g + q p q (t ) = C 1e −t Cos ( 25t ) + C 2 e −t Sen( 25t ) + q (0) = C 1
5
+
0 ∴ C 1
=
313
5 313
5
=−
313
I (t ) = q ' (t ) = −C 1e −t Cos (25t ) + 25C 1e −t Sen( 25t ) − C 2 e −t Sen( 25t ) + 25C 2 e −t Cos ( 25t ) I (0) = −C 1 C 2
=
C 1
q (t ) = −
=
0
1
=
25
25C 2
+
1565 5 313
e −t Cos (25t ) +
I (t ) = q ' (t ) =
5 313
1 1565
e −t Cos (25t ) +
e −t Sen(25t ) + 125 313
5 313
e −t Sen( 25t ) −
1 1565
e −t Sen(25t ) +
5 313
e −t Cos ( 25t )
3) En un capacit!" #a ca!$a %#&ct!ica 'a#% a una ta'a (u% %' p!p!cina# a #a ca!$a in'tantn%a *%# capacit!+ Inicia#,%nt%
#a ca!$a %' *% - Cu#,." / %n 01 ,inut' 'a#% un t%!ci *% #a ca!$a inicia#+ 2En cuant ti%,p (u%*a!a '# un Cu#,. %n %# capacit!
DATOS: t% #% / Coulomb .()% t % * minuts # % /&0 Coulomb t% # % 1 Coulomb q c
"'$ 2
dq "' dt 2
%. q c
%.
7"4D5 .()% dq "' dt %
"'C
∫ dq dt
q c
%
∫ dt
"'C'ln(#) 2 8 % t
t 4 1 ( 4 - Cu#,. "'C'ln(/) % 8
EC34C$56 !$6E4! 1er 5"DE6, 1er
8 % "'C'ln(/) "'C'ln(#) "'C'ln(/) % t
para todo t 5
t 4 01 ,inut'
(4
3
Cu#,.
5
"'C'ln(
) "'C'ln(/) % *
3
5 3
"'C 9 ln(
"'C 9 ln(
):
% *
):
% *
5
1 3
20
"'C %
ln 1 / 3
t 4 ,inut'
( 4 5 Cu#,.
"'C'ln(1) "'C'ln(/) % t "'C (ln(1) "'C'ln(/)) % t 1
t % "'C (ln ( 20
t%
ln 1 / 3
5
; ln(
)) 1 5
)
t 4 06+06 ,inut'
-) Un ci!cuit cn'ta *% un in*uct! *% 0 H %n '%!i% cn una !%'i't%ncia *% 71+ En t 4 1 8cuan* #a c!!i%nt% 9a#% c%!) '% ap#ica a# ci!cuit una %, *a*a p! 511'%n851t)+ Encnt!a! %# 9a#! *% #a c!!i%nt% pa!a cua#(ui%! in'tant%+ Dat':
-em%1;
di + = ( ) ! dt Ri E t Ecu. diferencial .
2
di + 40 i=100∗Sen ( 10 t ) dt
di 40 i + 100∗Sen ( 10 t ) = dt 2 di + 20 i=50∗ Sen ( 10 t ) dt
-actor $ntegrante
∫ p ( x ) dx =e∫ 20 dt =e 20 t -$% e e
[ di+ 20 idt =50∗Sen (10 t ) dt ]
20 t
20 20
∗i e t dt =50∗Sen ( 10 t )∗e t dt 20
20
∫ [ i∗e ] dt =∫ 50∗Sen ( 10 t )∗e 20 t
i∗e
20t
=50 ∫ e t ∗ Sen ( 10 t ) dt
20 t
20
INTEGRAR POR PARTES:
∫e
20 t
∗Sen ( 10 t ) dt
LA FORMULA ES:
∫ udv =u . v −∫ vdu u=Sen(10t)
du=10*Cos(10t)dt
dv= e
20 t
∫
20 t
dt v = e
20 t
e
e
∗Sen ( 10 t )−∫
20
20 t
e
∗Sen ( 10 t )−
20
dt =
e
20t
20
20 t
20
10
∗10∗cos ( 10 t ) dt
∫e 20
∗cos ( 10 t ) dt
20 t
Nuev!ente "nte#$$ %o$ %$tes:
∫e
20 t
∗cos ( 10 t ) dt
u=Cos(10t)
e dv=
20 t
e
du=10(&Sen(10t))=&10Sen(10t)dt
dt = ¿
e
20
∫¿
20 t
dt v =
20 t
e
20
20 t
∗ cos ( 10 t )−∫
e
20 t
20
20 t
e
20
∗ cos ( 10 t ) +0.5 ∫ e t ∗Sen ( 10 t ) dt 20
20 t
e
20
( −10 Sen ( 10 t )) dt
∗ Sen ( 10 t )− 0.5 e
20 t
20
∫e
cos ( 10 t )−
20 t
∗Sen ( 10 t ) dt
Re!%'o: 20 t
e •
•
20
Sen ( 10 t ) =¿
e
20 t
20
sen ( 10 t ) −0.5
e
20 t
20
∫e
cos (10 t ) −
20 t
∫¿ 2
∫e
∫e
Sen ( 10 t ) =
20 t
e
20
Sen ( 10 t ) dt =
20 t
20 t
e
Sen ( 10 t ) −
20 t
40
0.5 20
Sen ( 10 t ) −
e
1 80
20 t
e
(
)
cos 10 t
20 t
cos ( 10 t ) + c
Sen ( 10 t ) dt
i∗e
20 t
i∗e
20 t
=50
=
[
50 40
e
20 t
40
[
e
Sen (10 t )−
1 80
1
20 t
Sen ( 10 t ) −
40
20 t
e
e
)
]
cos ( 10 t )
]
(
cos 10 t
20 t
−20t
i(t)=1.25*Sen(10t)-0.03125*Cos(10t)+C* e Para i(0)=0
0= & 001+,-C
C=001+,
Re!%'o: i(t)=1.25*Sen(10t)-
0.03125*Cos(10t)+0.03125
;) S% ap#ica una u%!
LR
cn
!%'i't%ncia+
0.1 henrys
D%t%!,in%
*% #a
L
di + R ( i )= E ( t ) dt
a un ci!cuit %n
in*uctancia c!!i%nt%
D%t%!,in% #a c!!i%nt% cn!,%
di E ( t ) + L + R (i )= 0 dt
30 V
t→0
+
− 20t
e
50 ohms
/ i ( t )
=
'i
*%
i ( 0 )=0 :
0.1
di + 50 i=30 dt
di + 500 i =300 dt dy + P ( x )=Q ( x ) dt di + 500 i =300 dt P ( x )=500 Q ( x )=300 500 dt P ( x ) dx = e∫ = e500 t e∫
>+I+ : e e
[
500 t
[ di + 500 idt =300 dt ]
500 t
di + 500 i e
ie
500
500 t
dt
=300 e
500 t
dt
'
'
∫ 300 e
dt ] =
500 t
i ( t )=
]
500 t
500 t
i ( t )=
dt
dt ] =300 e 500t dt
∫[i e ie
500 t
dt =300 e
'
500
[ie
500 t
=
3
300 500
e
e
+C
+
5
e
3
+ C e−
5
i ( t )=0
dt
500 t
500 t 500 t
500 t
C 500 t
e
500 t
La c!!i%nt% *%# ci!cuit %' 1
i ( t )=
0=
3
5
+ C e−
500 t
+ C
5
C =
3
−3 5
t →0
i ( t )=
3 5
3
− e−
500 t
5
t →
i ( t )=
3 5
?) S% ap#ica una u%!
Datos .% 1 . "% * hms C%1= farads #(t)% #()% i(t)%
R ( q ) v ( t ) = R q ( t ) + c '
100=200 q
( t )+
q ( t ) =0 + 0 − e
20800
t
2
1
'
1
1
'
q ( 0 ) =0
q ( t )
104
q =10400 + C 200
dq 1 + q =100 dt 104 v ( t ) = R ( t ) .i ( t )
dq =
1
1
20800
1 20800
qdt = dt 2
'
v ( t ) = R ( t ) . q ( t ) +
q ( t ) C
dt '
R ( t ) .i ( t )= R ( t ) . q (t ) +
¿ ¿ !" = e∫
q ( t ) ' i ( t )=q ( t )+ R ( t ) . C
1 20800
q ( t ) C
t
¿ ¿ !" = e
10400 + 1
e
20800
t
dq +
1
1
e
20800
20800
t
1
qd ( t ) = e 2
'
[ u. v ] =u . v' + u' . v
∫ [e
1 20800
1
e
20800
t
t
'
.q
q=
] =∫
20800 2
1 2
1
e
1
e
20800
C
q ( t ) =10400 +
1
e
20800
20800
t
t
t
dt
+ C
1 20800
t
dt
i ( t )=
−1 2
1
e
20800
t
+
C 1 20800
e R ( t ) . C
t
6) Una !%'i't%ncia *% 7 / un in*uct! *% 5H '% cn%ctan %n '%!i%" 'u,ini't!an* un 9#ta% *% i81)41
− 4 t 100 e cos 50 t
(
) + Encnt!a! i8t) 'i
D4>5<
R= 4 $ L=1 % −4 t
E ( t ) = 100 e i ( t ) sii ( 0 )= 0
L
di + Ri = E ( t ) dt
di + 4 i =100 e−4 t cos (50 t ) dt p ( x ) dx 4 dt 4 t factor inte&rante e∫ → e∫ →e
r + 4 = 0 → r 1=−4 y = y& + yp i ( t )=itr ( t ) + ips ( t ) −4 t
=itr ( t )=C e−
y& =C 1 e
4 t
1
1 ∫ p ( x ) dx
yp =ips ( t )=
e
∫ e∫
p ( x ) dx
∗Qx
− 4 t −4 t 4 t ips ( t ) = e ∫ e ∗100 e cos ( 50 t ) dt
∫
− 4 t
100 e ips ( t ) =
50
− 4 t
ips ( t ) =2 e
− 4 t
i ( t )=C 1 e
∫ cos ( 50 t ) (50 ) dt
sen ( 50 t )
+ 2 e− t sen ( 50 t ) 4
cos ( 50 t )
→i ( t ) si i ( 0 )= 0 0
=C e−
( )
4 0
1
+ 2 e−
( )
sen ( 50∗0 ) ∴ 0 =C 1
4 0
−4 t
i ( t )=2 e
sen ( 50 t )
51) S% cn%cta una !%'i't%ncia *% 01 cn un capacit! *% 1+15> / una %, t t 40 e + 20 e + Si 81) 4 1+ Ha##a! %# 9#ta% ,i, %n %# capacit!+ 3
6
Datos. R= 20 Ω. C= 0,01 F Fem=
q
−3 t
40 e
−6 t
+ 20 e
=0
(0)
Desarrollo.
R∗ q ' t
1
E ∗q + C t = t
+
= 40 e− t + 20 e− 3
20 q ' ( t ) 100 q( t )
'
− 3 t
20 ( q (t )+ 5 q(t ) )=40 e
+ 20 e−
6 t
6 t
−3t
'
q (t ) + 5 q (t )=
40 e
+20 e−
6 t
20
−3t
'
q (t ) + 5 q (t )=
40 e
− 6 t
+
20
−3 t
'
q (t ) + 5 q (t )=2 e
20 e
20
+ e−
6 t
Igualamos la ecuación a 0 '
q (t ) + 5 q (t )=0 dq + 5 q(t )= 0 dt
Dese!amos "q dq =−5 q( t ) dt dq =−5 q(t ) dt
Integramos ara o#tener el $alor "e %q&
∫ q1
∫ 5 dt
dq =
( t )
ln q( t )=−5 t +
q( t ) =e
−5 t +
−5 t
∗e(
q( t ) =e
q( t ) =) ∗e
e
(
= )
−5t
'#tenemos la rimera "eri$a"a "e la eresión '
−5 t
q =) ' e
−5 ) e−
5 t
Reemlaamos en la ecuación inicial
− 5 t
−5 ) e− t + 5 ) e− t =2 e− t +e−
)'e
'
) =
5
−3 t
5
3
+ e−
2e
6 t
−5 t
e
−2 t
'
+ e−t
) =2 e
∫ ) ' =∫ 2 e +∫ e− 2 t
t
−e−t
2 t
) =e
Reemlaamos q( t ) =( e
− e−t )∗e−
2 t
−3 t
5 t
− e− t
q( t ) =e
6
Ca*"a "e $olta!e en el caacitor V c =
1
∗q(t )
C
e (¿ ¿−3 t − e−6 t ) V c =
1 0.01
∗¿
− 3 t
V c =100 e
−100 e−
6 t
6 t
