Andrés Miniguano Trujillo
19 de marzo de 2013
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 6: Distribuciones Continuas de Probabilidad (Uniforme. Exponencial, Normal, etc.) 1. El tiempo del viaje de camiones que transportan concreto está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos dado que la duración del viaje es mayor a 55 minutos?
X U [ 50,70 ] 1 f ( x )= , a ≤ x ≤ b 20 0 , x <50 F ( x )= x−50 , 50 ≤ x <70 20 1 , x ≥ 70 P ( X >65 ) 1−F ( 65 ) 1 P ( X >65|X > 55 )= = = P ( X >55 ) 1−F ( 55 ) 3
{
2. El tiempo de utilización de una computadora para realizar cierto tipo de trabajo está distribuido uniformemente entre 30 y 90 minutos.
X U [ 30,9 0 ] 1 f ( x )= ,30 ≤ x ≤ 90 60 0 , x <3 0 F ( x )= x−3 0 , 3 0 ≤ x < 90 60 1 , x≥90
{
a) Halle la probabilidad de que el siguiente trabajo necesite utilizar la computadora entre 45 y 70 minutos.
P ( 45< X <70 )=F ( 70 ) −F ( 45 )=
5 12
b) Halle la probabilidad de que el trabajo que se está realizando necesite la computadora mas de 60 minutos si ya se la ha utilizado mas de 30 minutos.
P ( X >60|X > 30 )=
P ( X >60 ) 1−F ( 60 ) 1 = = P ( X >30 ) 1−F ( 30 ) 2
c) Si para utilizar la computadora se debe pagar C=1000−30 X + 2 X 2 (en dólares), donde X es el tiempo de utilización de la computadora, halle el ingreso esperado
( ) (
2
)
( b−a ) b+ a b+a E [ X ] =E [ 1000−30 X+ 2 X ]=1000−30 E [ X ] +2 E [ X ]=1000−30 +2 + =1000−30 2 12 2 2
3. Si
X
2
tiene distribución exponencial
X sobrepase su media P ( X > μ )=P ( X >θ )=1−F (θ )=e−1 ≈ 0.3679 b) Halle P (|X −μ|≤2 σ ) P (|X −μ|≤2 σ ) =P ( μ−2 σ ≤ X ≤ μ+2 σ )=P (−θ ≤ X ≤ 3 θ )=F (3 θ )−F (−θ )=F (3 θ )=1−e−3 ≈ 0.9502 c) Halle c para que P ( X ≤ cμ )=3 P ( X >cμ ) a) Halle la probabilidad de que
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P ( X ≤ cθ )=3 P ( X >cθ ) P ( X ≤ cθ )=3 [ 1−P ( X ≤ cθ ) ] 4 P ( X ≤ cθ ) =3 3 F ( cθ )= 4 −cθ 3 1−e θ = ⇒ c=ln ( 4 ) 4 4. La duración de vida de una válvula de radio es aleatoria. Se supone que la probabilidad de que una válvula esté activa durante un intervalo de tiempo después de ser puesta en servicio está dada por una distribución exponencial. Se admite que la vida media de una válvula es de 1000 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 válvulas de este tipo 2 funciones a lo más 1200 horas?
X E ( 4000 ) −x
F ( x )=1−e 4000 , x ≥0 −3
P ( X ≤ 1200 )=F ( 1200 )=1−e 10 ≈ 0.2592 5. Se sabe que el tiempo de atención a cualquier cliente de un supermercado tiene distribución exponencial con varianza 400 minutos al cuadrado.
X E ( 20 ) −x
F ( x )=1−e 20 , x ≥ 0 a) Halle la esperanza del tiempo de atención a cualquier cliente y la probabilidad de que tenga que esperar hasta ese tiempo para ser atendido.
E ( X )=θ=20 P ( X ≤ 20 ) =F ( 20 )=1−e−1 ≈ 0.6321 b) Halle la probabilidad de que tenga que esperar entre 30 y 40 minutos para ser atendido.
P (30 ≤ X ≤ 40 )=F ( 40 ) −F ( 30 ) ≈ 0.08779 c) Halle la probabilidad de que tenga que esperar hasta 50 minutos dado que ya se ha esperado mas de 25 minutos.
P ( X ≥ 25+25∨X ≥ 25 )=P ( X ≥25 )=1−F ( 25 ) ≈ 0.2865 d) De entre 5 clientes tomados al azar, cual es la probabilidad de que a lo más 3 de ellos tengan que esperar al menos 15 minutos para ser atendidos. −15 20
P (Y ≤ 3 )=B ( 3,5,1−e )=0.7761 6. Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente sobre ( 0,1 ) , halle la probabilidad de que X tome cualquier valor tal que la distancia entre ese valor y la media no sea mayor que la desviación estándar.
X U ( 0,1 ) f ( x )=1 , 0 ≤ x ≤1 0 , x <0 F ( x )= x , 0≤ x <1 1 , x≥1
{
P (|X −μ|≤σ )=P ( μ−σ < X < μ+ σ )=P
(
1 1 1 1 1 1 1 1 1 √3 −
) (
) (
)
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7. En la fabricación del petróleo, supongamos que la temperatura de destilación T (Grados centígrados) está distribuida uniformemente en [ 150℃ ,300 ℃ ] . Producir un galón cuesta D 1 sucres. Si el aceite se destila a una temperatura menor a 200 ℃ el producto se vende como nafta y se vende a D 2 sucres por galón. Si se destila a una temperatura mayor a 200 ℃ , se conoce como aceite destilado refinado y se vende a D3 sucres por galón. Encontrar la utilidad neta esperada por galón.
X U [ 150 ℃ , 300 ℃ ] 1 f ( x )= , 150 ≤ x ≤300 15 0 0 , x <15 0 x−15 0 F ( x )= , 15 0 ≤ x <30 0 15 0 1 , x ≥ 30 0 1 f ( x )= ,30 ≤ x ≤ 90 60 1 f ( x )= ,30 ≤ x ≤ 90 60 U=I −C=( D2 P ( X ≤200 )+ D 3 P ( X ≥200 )−D1 ) X
{
E ( U )=( D 2 P ( X ≤200 )+ D3 P ( X ≥200 )−D1 ) E ( X )=
( D3 + 2 3D −D ) 225=75 D +150 D −225 D [ sucres 2
2
1
1
X es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro s ,t >0 , pruebe que P ( X >s +t| X >t )=P ( X > s ) .
8. Si
2
1
θ , sean −s+t
−s −s P ( X> s +t ∩ X > t ) P ( X >s +t ) 1−P ( X ≤ s +t ) 1−F ( s+ t ) e θ P ( X >s +t| X >t )= = = = = −t =e θ =1−1+e θ = P ( X >t) P ( X >t ) 1−P ( X ≤ t ) 1−F ( t ) eθ
X tiene distribución normal con media 71.8 y varianza 31.36. Halle X tome un valor:
9. Una variable aleatoria la probabilidad de que
X N ( 71.8,5.6 2 ) a) Menor que 78.8
(
P ( X <78.8 )=P Z <
78.8−71.8 =F ( 1.25 )=0.8944 5.6
)
b) Mayor que 60.6
(
P ( X >60.6 )=1−P Z ≤
60.6−71.8 =1−F (−2 )=0.9772 5.6
)
c) Entre 74.6 y 80.2
P (74.6< X <80.2 ) =P
80.2−71.8
d) Entre 63.4 y 80.2
P (63.4 < X < 80.2 )=P 10. Si
80.2−71.8
X es una variable aleatoria normal con media 9 y varianza 25, halle c tal que P ( 9−c ≤ X ≤ 9+ c )=0.95 9+ c−9 9−c−9 c −c −c −c −c P ( 9−c ≤ X ≤ 9+ c )=F −F =F −F =1−F −F =1−2 F =0. 5 5 5 5 5 5 5
(
) (
) () ( )
( ) ( )
( )
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11. Si X N ( μ , σ 2 ) , halle c
P ( X ≤ c )=2 P ( X >c ) .
tal que
P ( X ≤ c )=2 P ( X >c ) P ( X ≤ c )=2 [ 1−P ( X < c ) ] 3 P ( X ≤ c )=2 c−μ 2 P Z≤ = σ 3 c−μ ≈ 0.4307 σ c ≈ μ+ 0.4307 σ
(
)
12. Sea t p un número tal que P ( Z ≤t p )= p , donde 0< p<1 y Z distribuida normalmente con media 0 y varianza 1. Si X es normal con media m y varianza s 2 , demuestre que para 0< p1 < p2 <1 , se tiene: P ( m+ t p s ≤ X ≤ m+ t p s ) =p 2− p1 . 1
P ( m+ t p s ≤ X ≤ m+ t p s ) =P 1
2
(
m+t p s−m 1
s
≤Z ≤
m+t p s−m 2
s
2
)
=P ( t p ≤ Z ≤t p )=P ( Z ≤ t p )−P ( Z ≤ t p ) = p2− p 1
2
2
1
13. Un fabricante de llantas quiere promocionar un intervalo de recorrido expresado en millas, que incluya alrededor de la media el 90% de los recorridos de las llantas que vende. Se sabe que para un gran número de llantas probadas, el recorrido tiene un comportamiento normal con media de 25000 millas y desviación estándar de 4000 millas. ¿Qué intervalo sugeriría?
X N ( 25000,40002 ) P (|X < c|< μ )=0.90 P ( c−μ< X < c+ μ )=F
−c −c ( cσ )−F ( −cσ )=1−2 F (−cσ )=1−2 F ( 4000 )=0.90 ⇒ F ( 4000 )=0.05 ⇒ c ≈ 6579
El intervalo estaría entre 18421 y 31759 millas. 14. Los alambres que se utilizan en cierto tipo de computadoras deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 [ Ohms ] . Las resistencias reales de los alambres producidos por la empresa A tienen una distribución normal con media 0.13 ohms y desviación estándar de 0.005 ohms .
X N ( 0 .13,0.0052 ) a) Halle la probabilidad de que satisfaga las especificaciones un alambre seleccionado al azar de la producción de la empresa A .
P ( 0.12≤ X ≤ 0.14 )=P (−2≤ Z ≤ 2 )=0.9545 b) Si se utilizan 4 de esos alambres de la empresa los 4 satisfagan las especificaciones.
A
en el sistema, halle la probabilidad de que
P (Y =4 )=b ( 4,4,0.9545 )=0.830049 15. El tiempo necesario X normal N ( 4.5,1.21 )
para atender un examen médico en un laboratorio tiene distribución
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un examen seleccionado al azar requiera más de 5 minutos o menos de 3.5 minutos para el servicio?
(
P ( X ≤ 3.5 ∪ X ≥5 )=P ( X ≤3.5 ) +1−P ( X ≤ 5 )=1+ P Z ≤−
10 5 −P Z ≤ =0. 5064 11 11
) (
)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un examen seleccionado al azar requiera menos de 7 minutos si ya se ha demorado mas de 3 minutos ?
Andrés Miniguano Trujillo P ( X <7|X > 3 )=
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P(3< X <7) =0.9874 1−P( X ≤ 3)
c) ¿Cuál debe ser el tiempo para el servicio si solo el 5% de todos los exámenes requiere mas de esa cantidad de tiempo?
(
P ( X ≥ t )=0.05 ⇒ P Z <
t−4.5 =0.95 ⇒ t ≈ 6.31 [ minutos ] 1.1
)
16. El costo promedio de las drogas para cierta enfermedad es de $19 con desviación estándar de $6.5. En el supuesto de que todos los costos tengan distribución normal.
X N ( 19,6.52 ) a) ¿Qué porcentaje de estos costos es menor que $29?
(
P ( X <29 )=P Z <
20 20 =F =0.93803⇒ 93.8 13 12
) ( )
b) ¿Qué porcentaje de estos costos está entre $10 y $22?
P (10< X <22 )=P
6 6 −18 < Z < )=F ( )−F ( =0. 5947 ⇒59.47 ( −18 13 13 12 13 )
c) ¿Qué porcentaje de estos costos está entre $10 y $17?
P (10< X <17 ) =P
−4 −4 −18 < Z< =F ( −F ( =0.29607 ⇒ 29.61 ( −18 13 13 ) 12 ) 13 )
d) ¿Cuál es el costo a partir del cual se da el 90% de los costos?
P ( X
X N ( 3,0.012) satisfacen :2.98 ≤ X ≤ 3.02 P (2.98 ≤ X ≤3.02 )=P (−2 ≤ Z ≤ 2 )=0.9545 El costo de producción (incluidos los costos administrativos) de cada rodamiento es de 5 dólares, el costo financiero es igual al 60% del costo de producción y se aspira a obtener una utilidad igual al 50% del costo de producción.
Costo Unitario :$ 5 Costo Producción:5 X Costo financiero: 3 X U=2.5 X ¿Cuál debe ser el precio de venta unitario si durante el año se producen 10000 artículos y se vende toda la producción que pase el control de calidad?
U=I −C=P ( 10000∗0.9545 )−3 ( 10000 )−5 ( 10000 ) =2.5 (10000 ) ⇒ P=$ 11 18. Una fábrica de pernos ha recibido un pedido de 10.000 unidades a ser colocados con un ajuste bastante aceptable en orificios que tienen un comportamiento normal con media 2 cm. de diámetro y desviación estándar 0.02 cm.. Se desechan los pernos con diámetros menores que 1.97 se retrabajan los pernos con diámetros mayores que 2.05
X N ( 2,0.022) pernosaceptados :1.97 ≤ X ≤ 2.05 a) ¿Cuántos pernos se desechan y cuántos se retrabajan? Desechan: P ( X <1. 97 )=P ( Z<−1.5 )=F (−1.5 )=0.0668 ⇒ 668 pernos
Andrés Miniguano Trujillo Re trabajan:
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P ( X >2.05 )=1−P ( Z <2.5 )=1−F ( 2.5 )=0.0062⇒ 62 pernos
b) La maquinaria se puede ajustar para producir con el nivel que se desee. ¿Cuál debe ser la media (con 3 cifras decimales) para desechar 100 pernos y en este caso cuántos se deben retrabajar?
=0.01 ⇒ μ=2.02 ( 1.97−μ 0.02 ) 3 P ( X >2.05 )=P ( Z > )=0.0668 2 P ( X <1.97 )=P Z <
Se re trabajan 668 pernos . c) La maquinaria se puede ajustar para producir con la variabilidad que se desee. ¿Cuál debe ser la desviación estándar (con 3 cifras decimales) para desechar 100 pernos y en este caso cuántos se deben retrabajar?
1.97−2 =0.01 ⇒ σ =0.013 σ P ( X >2.05 )=P ( Z>3.88 ) ≈ 0
(
)
P ( X <1.97 )=P Z <
Ninguno. d) Si no es posible bajar el valor de la desviación estándar hasta el calculado en c) pero se acepta desechar 150 y retrabajar 150 pernos, ¿Cuáles deben ser la media y la desviación estándar (con 4 cifras decimales) con las que se debe trabajar?
1.97−μ 1.97−μ =0.015 ⇒ =−2.17 ⇒ 1.97=μ−2.17 σ σ σ 2.05−μ 2.05−μ P ( X >2.05 )=1−P Z< =0.015 ⇒ =2,17 ⇒2.05=μ+ 2.17 σ σ σ
(
)
P ( X <1.97 )=P Z <
(
(
)( ) (
)
) ()(
1 −2.17 μ = −2.17 ⇒ μ = 1 −2.17 1 2.17 σ 2,17 σ 1 2.17
−1
)(
) ()(
)()
−2.17 ⇒ μ = 1.10−13 ≈ 0 2,17 σ 1 1
19. Supóngase que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerdas tiene distribución N (100,16 ) . Si X >95 , se obtiene una utilidad de 5 dólares por cada cuerda. Si X ≤ 95 , la cuerda puede utilizarse con un objetivo diferente y se obtiene una utilidad de 2.5 dólares por cada cuerda. Encuentre la utilidad esperada por cuerda.
U=5 P ( X >95 )+ 2.5 P( X ≤95) 95−100 95−100 −5 5 5 U=5 P Z > + 2.5 P Z ≤ =5 P Z > + 2.5 P Z ≤− =5−2.5 P Z ≤− =4.74 [ $ . c 4 4 4 4 4
(
)
(
) (
)
(
)
(
20. Una unidad de radar es utilizada para medir la velocidad de los automóviles en una vía rápida durante la hora de mayor congestionamiento. La velocidad de los automóviles está distribuida normalmente con una media de 62 millas por hora.
X N ( 62, σ 2 ) a) Encuentre la desviación estándar de todos los automóviles si el 3% de ellos viaja a velocidades superiores a 72 millas por hora
P ( X >72 )=0.03 10 P Z≤ =0.97 σ σ =5.32⇒ σ 2=28.27
(
)
b) Utilizando la desviación estándar encontrada en a), obtenga el porcentaje de esos vehículos que viajan a menos de 55 millas por hora.
100 ∗P ( X <55 )=100 ∗F
=0.40222 ( 55−62 5.32 )
)
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c) Utilizando la desviación estándar encontrada en a), halle la velocidad mínima del 5% de vehículos con las más altas velocidades.
(
P ( X ≤ v )=P Z ≤
v−62 =0.95 ⇒ v =62+σInvNorm ( 0.95,0,1 ) =70.75 millas por hora 5.32
)
21. Se sabe que los costos reales de mantenimiento semanal de cierta fábrica tienen distribución normal con media de 400 dólares y desviación estándar de 20 dólares.
X N ( 400,202 ) a) Si el presupuesto para la siguiente semana es de 450 dólares, halle la probabilidad de que los costos reales de mantenimiento superen la cantidad presupuestada.
P ( X ≥ 450 )=1−F
( 52 )=0.0062097
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales de mantenimiento semanal sean iguales a 450?
P ( X=450 )=f
( 52 )=0.01753
c) ¿De cuánto debe ser el presupuesto semanal de mantenimiento para que sea rebasado por los costos reales con una probabilidad de 0.1?
P ( X ≥ C )=1−F
C−400 =0.1 ⇒ F ( =0.9⇒C=$ 425.63 ( C−400 20 ) 20 )
