Andrés Miniguano
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 7: Distribuci!es Distribuci!es C!ti!uas "e Prbabi#i"a" $%a&&a' Beta' (eibu##) *. Ls tta#es tta#es "e +reci+i +reci+itaci, taci,! ! "ura!te "ura!te cuatr cuatr se&a!as se&a!as e! e# -era! -era! e! "eter&i!a "eter&i!a"a "a !a tie!e tie!e u! /ist0ra&a "e 1recue!cia re#ati-a 2ue +arece a3ustarse estrec/a&e!te a u!a "istribuci,! 0a&&a c! α =1.6 4 β =2.0 . f ( ( x ) =
− x
1 1.6
2 Γ 1.6
x
0.6
e
2
− x
≈ 0.36919 x
0.6
e
2
a) Esti Esti&e &e e# +r& r&e"i e"i 4 #a -ari -aria! a!a a "e "ic/ ic/a "ist "istri ribu buci ci,! ,! "e #s #s tta tta#e #ess "e +reci+itaci,!. μ= αβ ⇒ μ =3.2= 2
σ = α β
2
16 5
2
⇒ σ = 6.4 =
32 5
b) Dete Deter& r&i! i!ee u! i!te i!terr-a# a# 2ue 2ue c& c&+re! +re!"a "a e# tta tta## "e ##u##u-ia ia +ara +ara u! +er5 +er5" " "eter&i!a" "e cuatr se&a!as 4 2ue te!0a u!a +rbabi#i"a" &5!i&a "e 6.7. Por Chebyshev aproximadamente 1 P | X − μ|≤ kσ ≥ 1− 2
[
]
k
P [ μ μ − kσ ≤ X ≤ μ + kσ ] ≥ 1− 1−
1
2
k
=0.75
3
⇒ k =2 k 4 P [ μ μ − kσ ≤ X ≤ μ + 2 σ ] ≥ 0.75 X ∈ { μ μ −2 σ , μ + 2 σ }
X ∈
2
=
1
[ √ [ 16 5
−2
32 16 5
,
5
√] ]
+2
X ∈ − 1.8596,8.2596
32 5
8. Ls i!0ress i!0ress a!ua#es a!ua#es "e #s i!0e!ier i!0e!iers s "e "eter&i!a" "eter&i!a"aa i!"ustria i!"ustria si0ue! si0ue! a+r9i&a a+r9i&a"a&e! "a&e!te te u!a "istribuci,! 0a&&a c! α =600 4 β =50 . a) Ca#cu#e Ca#cu#e e# +r& +r&e"i e"i 4 #a -aria! -aria!a a "e #s i!0res i!0ress s μ= αβ ⇒ μ =600∗50=30000 2 2 2 2 σ = α β ⇒ σ = 600∗50 =1500000
b) Cree uste" uste" 2ue /a4 &uc/s &uc/s i!0e!ier i!0e!ierss e! esa i!"ustria i!"ustria cu4s i!0res i!0resss a!ua#es a!ua#es sea! &a4res 2ue ;.666< Anal Analic icem emos os la prob probab abil ilid idad ad::
f ( ( x )=
1
− x
x
599
e 50 , tie tiende nde a cero cero par para
50 Γ ( 600 ) cualquier valor debido a su denominador. Considerando cambios en la escala se puede obtener error, ejemplo es que al dividir la media para !!! tenemos una "unci#n que no es de densidad. Anali$ando los par%metros: se tiene una variabilidad no tan alta en relaci#n a la media. &e tiene que hay una desviaci#n estandar de ''(.)((*, lo cual no nos aleja mucho de estimar una alta probabilidad central. +%sicamente no hay muchos miles que se alejen de la media en este caso, por lo que se estima que si la media es, en e"ecto, el mejor
600
Andrés Miniguano representante de toda la muestra, hayan relativamente muchos ingenieros con aproximadamente dicho ingreso anual. Por Chebyshev aproximadamente 1 P | X − μ|≤ kσ ≥ 1− 2
[
]
k
5
| X − μ|≤ k σ ≡|35000 −30000|≤ k √ 1500000 ⇒ k ≥ √ 6 3
5
Tomando el mínimo valor : k = √ 6 3
ntonces:
P [ μ − kσ ≤ X ≤ μ + 2 σ ] ≥ 1 −
1
( ) 5 3
2
=
√ 6
47 50
≈ 0.94
-o cual con"irma lo anterior.
;. E# tie&+ se&a!a# "e +ar Y $e! /ras) "e u!a &=2ui!a i!"ustria# "eter&i!a"a tie!e a+r9i&a"a&e!te u!a "istribuci,! 0a&&a c! α =3 4 β =2 . La +>r"i"a' e! ",#ares' "e #a +eraci,! c& resu#ta" "e ese tie&+ "e +ar est= "a"a +r: 2
L=30 Y + 2 Y f ( x ) =
− x
1
2
2 Γ ( 3 ) 3
x e
2
=
1 16
− x 2
2
x e
a) ?a##e e# -a#r es+era" 4 #a -aria!a "e L μ= αβ =6 2 2 E [ L=30 Y + 2 Y ] =30 E [ Y ] + 2 E [ Y ] =30 ( 6 ) + 2 ( 36 ) =252 2 2 σ = α β = 12 2 2 2 2 V [ L =30 Y + 2 Y ] =30 V [ Y ] + 2 V [ Y ] =30 ( 12 ) + 2 ( 144 ) b) Deter&i!e u! i!ter-a# 2ue c!te!0a L e! u! @ a+r9i&a" "e #as se&a!as
e! #as 2ue se usa #a &=2ui!a. Por Chebyshev aproximadamente 1 P | X − μ|≤ kσ ≥ 1− 2
[
]
k
P [ μ − kσ ≤ X ≤ μ + kσ ] ≥ 1− 1−
1 2
=0.89 ⇒ k =
1 2
k
=0.75
10
√ 11
11 k P [ μ − kσ ≤ X ≤ μ + 2 σ ] ≥ 0.89 X ∈ μ −2 σ , μ + 2 σ }
[
X ∈ 6−
10
10
11
11
√ 11∗√ 12 , 6 +
]
√ 11∗√ 12
X ∈ [ −4.4447, 16.4447 ]
. La car0a tta# sste!i"a e! u!a a+ata "e c!cret "e u! e"i1ici e! +r4ect es #a su&a "e #a car0a &uerta &=s #a car0a -i-a $cu+a!tes 4 sus e!seres). Su+!0a 2ue #a car0a &uerta X 1 tie!e u!a "istribuci,! 0a&&a c! α 1=50 4 β 1=2 ' &ie!tras 2ue #a car0a -i-a X 2 tie!e u!a "istribuci,! 0a&&a c! α 2=20 4 β 2=2 . Las u!i"a"es s! &i#es "e #ibras. '
Andrés Miniguano
a) Ca#cu#e e# +r&e"i' #a -aria!a 4 #a 1u!ci,! "e "e!si"a" "e +rbabi#i"a" "e #a car0a tta# s+rta"a +r #a a+ata. &e tienen dos variables: X 1 : lira!de "ar#a m$er%a , X 1 &amma ( 50,2 )
X 2 : lira!de "ar#a viva, X 2 &amma ( 20,2 ) μ1=α 1 β 1 ⇒ μ 1=100 2
2
2
2
2
2
σ 1= α 1 β1 ⇒ σ 1=200 μ2=α 2 β 2 ⇒ μ2= 40 σ 2= α 2 β 2 ⇒ σ 2=80 Y &amma
(
μ= αβ ⇒ μ = 2
σ = α β
2
490 19
,
19 7 100 + 40 2
⇒ σ =
)
=70 2 200 + 80
=190
2
unci#n de densidad:
f ( x )=
471
1 19
490
Γ
19
7
( ) 490
x
19
−7
e
x 19
= ( 8.3435 ' 10
−37
) x
471 19
−7
e
x 19
19
b) E!cue!tre u! -a#r +ara #a car0a sste!i"a 2ue s,# rebase c! u!a +rbabi#i"a" 1
&e!r 2ue
.
16 Por Chebyshev aproximadamente: 1
P [| X − μ|≥ kσ ] ≤ 1
2
k
1
= ⇒ k =4 2 k 16 P [ X ≥ μ + kσ , X ≤ μ− kσ ] ≤
1 16
X ∈ (−( , μ− kσ ] ∪ [ μ + kσ , + ( ) X ∈ (−( , 70− 4 √ 190 ] ∪ [ 70 + 4 √ 190 , + ( ) X ∈ (− ( , 14.8638 ] ∪ [ 125.1362 , + ( ) &e estima que tomando cualquier valor de este conjunto se tendr% lo pedido.
. Ls tie&+s "e res+uesta e! u!a ter&i!a# e! #5!ea tie!e!' e! 1r&a a+r9i&a"a' u!a "istribuci,! 0a&&a' c! u! +r&e"i "e se0u!"s 4 u!a -aria!a "e @. Fr&u#e #a 1u!ci,! "e "e!si"a" "e +rbabi#i"a" +ara "ic/s tie&+s "e res+uesta. μ= αβ ⇒ α =2 2 2 σ = α β ⇒ β = 2 f ( x ) =
1 2
2 Γ ( 2 )
− x 1
x e
2
1
= x e 4
− x 2
x
− x
( )=∫ f ( x ) dx = ) ( x )=−4 + e 2 ( 4 + x )
⇒ ) x
o
. Su+!0a 2ue X tie!e u!a 1u!ci,! "e "e!si"a" re+rese!ta"a +r: /
Andrés Miniguano
{
k x ( 1− x ) f ( x ) = 0 3
2
0 ≤ x ≤1
o%ro!"a!o!
a) Ca#cu#e e# -a#r "e k +ara 2ue sea 1u!ci,! "e "e!si"a". 1
1
∫ f ( x )=∫ k x −2 k x + k x
) ( x )=
3
0
f ( x )=
4
5
dx =
kx
{
3
2
2k x
5
5
+
]
kx 6
6
1
k
= − 0
4
2 k k 5
+ = 6
k 60
=1 ⇒ k = 60
0≤ x ≤1
0
−
4
0
60 x ( 1− x )
4
o%ro!"a!o!
b) Deter&i!e E [ X ] 4 V [ X ] . X β ( 4,3 ) α 4 E [ X ] = ⇒ μ = α + β 7 αβ 3 V [ X ] = ⇒ V [ X ] = 2 98 ( α + β ) ( α + β + 1 )
7. Dura!te u! tur! "e c/ /ras' #a +r+rci,! "e tie&+ 2ue u!a tr2ue#a"ra "e #=&i!a est= +ara"a +r &a!te!i&ie!t re+araci,! tie!e u!a "istribuci,! beta c! α =1 4 β =2 . E# cst $e! cie!ts "e ",#ares) "e ese tie&+ i!acti-' "ebi" a #a +r"ucci,! +er"i"a 4 a# cst "e &a!te!i&ie!t 4 re+araci,! es: * =10 + 20 X + 4 X 2 Γ ( α + β ) α − 1 β −1 f ( x ) = X (1 − x ) = 2 ( 1 − x ) Γ ( α ) Γ ( β ) α 1 μ= ⇒ μ= 3 α + β 2 1 αβ 2 2 = σ = ⇒ σ = 2 9 ( 4 ) 18 ( α + β ) ( α + β + 1 )
a) Esti&e e# cst es+era" 4 #a -aria!a "e# cst. 1
E [ X ] =∫ xf ( x ) dx = 0
1 α = α + β 3
αβ
V [ X ] = E [ X ]− ( E [ X ] ) = 2
2
( α + β )2 ( α + β + 1 )
1
=
1 18
( )
2
1 1 3 1 α αβ + = + = = E [ X ] =∫ 2 x ( 1− x ) dx = 2 α + β ( α + β ) ( α + β + 1 ) 9 18 18 6 0 2
2
V [ X 2 ] = E [ X 22 ] −( E [ X 2 ])
2
1
1
( E [ X ]) = 36 , E [ X ]=∫ 2 x 2
2
4
4
( 1− x ) dx =
0
1 15
2
* =10 + 20 X + 4 X 2 E [ * ] =10 + 20 E [ X ]+ 4 E [ X ] E ( * ) =10 + 20
() () 1 3
+4
1 6
=
52 3
≈ 17.3333
V [ * ] =20 V [ X ]+ 4 V [ X ] 2
2
2
(
7 [ ]= 180 2
⇒ V X
Andrés Miniguano
V ( * ) =20
2
( ) ( ) 1
+ 42
18
7
180
=
1028 45
≈ 22.8444
b) Deter&i!e u! i!ter-a# e! e# 2ue 2ue"e 6.7. f ( x )=
* c! u!a +rbabi#i"a" &5!i&a "e
Γ ( α + β ) α −1 2 β − 1 x ( 1− x ) ⇒ f ( x ) =2 ( 1 − x ) ⇒ ) ( x )=2 x − x Γ ( α ) Γ ( β )
P ( X ) ≥ 0.75 ⇒ ) ( x ) ≥ 0.75 ⇔ 0.75 ≥ 2 x − x
2
⇒ x ∈
[ ] 1 3
,
2 2
@. E# +rce!ta3e "e i&+ureas +r #te e! "eter&i!a" ti+ "e susta!cia 2u5&ica i!"ustria# es u!a -ariab#e a#eatria X 2ue tie!e 1u!ci,! "e "e!si"a": f ( x ) =
{
12 x (1 − x ) 2
0≤ x ≤ 1
0
o%ro! "a!o!
+
X β ( 3,2 )
a) Su+!0a 2ue ! se +ue"e -e!"er u! #te c! &=s "e 6 "e i&+ureas. Cu=# es #a +rbabi#i"a" "e 2ue u! #te se#ecci!a" a# aar ! se +ue"a -e!"er< 0.40
P ( X ≥ 0.40 ) = 1− ) ( 0.40 )=1−
∫ 12 x ( 1− x ) dx =0.8208 2
0
b) Su+!0a 2ue e# -a#r "e ca"a #te e! ",#ares est= "a" +r: V =5 −0.5 X ' ca#cu#e e# -a#r es+era" 4 #a -aria!a. μ= 2
3
⇒ μ =
3 +2 ( 2 ) ( 3 )
σ =
( 5) ( 6) 2
=
3
5 1
25
E ( V ) =5 −0.5 E ( X )=5 − V ( V ) =0.25 V ( X )=
1 1 4 25
( )=
1 3 2 5
4.7
=0.01
. La +r+rci,! "e /ierr +ur e! "eter&i!a"as &uestras "e &i!era# tie!e u!a "istribuci,! beta c! α = 2 4 β =1 .
{
{
2
2 x 0≤ x≤1 0≤ x≤1 x f ( x ) = ⇒ ) ( x )= 0 o%ro!"a!o! 0 o%ro!"a!o!
a) Esti&e #a +rbabi#i"a" "e 2ue u!a "e esas &uestras te!0a &=s "e# 6 "e /ierr +ur P ( X > 0.50 ) =1 − ) ( 0.50 ) =1−0.25 = 0.75
b) Ca#cu#e #a +rbabi#i"a" "e 2ue "s "e #as &uestras te!0a! &e!s 2ue e# ;6 "e /ierr +ur. P ( X < 0.30 ) = ) ( 0.30 )= 0.09 Y inomial P ( Y < 0.30 )= ( 2,2,0.30 ) = 0.0081
0
Andrés Miniguano
*6. Su+,!0ase 2ue #a +r+rci,! "e u!i"a"es "e1ectusas e&barca"as +r u! -e!"e"r' #as cua#es -ar5a "e car0a&e!t a car0a&e!t' +ue"e c!si"erarse c& u!a -ariab#e a#eatria 2ue tie!e "istribuci,! beta c! α =1 4 β =4 . f ( x ) =
{
4 ( 1 − x )
3
0≤ x≤1
0
( )=
⇒ ) x
o%ro! "a!o!
{
1−( x −1 )
4
0≤ x ≤ 1
0
o%ro! "a!o!
a) E!cue!tre #a &e"ia "e esta "istribuci,! beta' es "ecir' e# +r&e"i "e u!i"a"es "e1ectusas e! u! car0a&e!t "e este -e!"e"r. μ=
1 α ⇒ μ= 5 α + β
b) Ca#c#ese #a +rbabi#i"a" "e 2ue u! e&bar2ue "e este -e!"e"r c!te!0a 8 &=s "e u!i"a"es "e1ectusas. P ( X ≥ 0.25 ) = 1− ) ( 0.25 ) =0.3164
**. Su+,!0ase 2ue e# tie&+ "e 1a##a $e! &i!uts) "e cierts c&+!e!tes e#ectr,!ics' su3ets a -ibraci!es c!ti!uas' +ue"e c!si"erarse c& u!a -ariab#e a#eatria "e (eibu## c! α =
1
4 β =
5
f ( x ) =αβ x
1
.
3 β
β− 1 −α x
e
=
1 15
−2 3
x
−1 5
e
1
x 3
a) Cu=!t +ue"e es+erarse 2ue "ure u! c&+!e!te< E [ X ] = b1
1
1 β
( ) 1
Γ 1 + =( 5 ) (3 ) - =750 min$%o! α β 3
Cu=# es #a +rbabi#i"a" "e 2ue ese c&+!e!te 1a##e e! &e!s "e /ras< (
P ( X > 300 )= ∫ 300
−2
1 15
x
3
−1 5
e
1
x 3
−1
dx =− e
5
1
x 3
]
( 300
≈ 0.2621
*8. Su+,!0ase 2ue #a -i"a ti# $e! /ras) "e u! se&ic!"uctr es u!a -ariab#e a#eatria 2ue tie!e "istribuci,! "e (eibu## c! α =0.025 4 β =0.500 . Cu=# es #a +rbabi#i"a" "e 2ue e# se&ic!"uctr a! est> 1u!ci!a!" "es+u>s "e .666 /ras< 1
f ( x )=αβ x x
) ( x ) =∫ 0
β
β− 1 − α x
1 80
e
−1
x
2
=
−1
1 80
−1 − 1 x 2
x
2
e 40
1
−1
x 2
e 40 dx =1− e 40 −1
P ( X > 4000 )=1− ) ( 4000 )= e
40
1
x 2
1
(4000 )2
− √ 10
=e
2
2
≈ 0.2057
