ESTADÍSTICA I Nombre: Marcelo Garcés Fecha: 02-08-2017 NRC: 2285
Sección 7.4 y 7.5 7.15.- Un ingeniero civil hace pruebas con la resistencia a la comprensión del concreto. Para ello examina 12 especímenes y obtiene los siguientes datos:
2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295 a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la resistencia promedio. n=12 =2259.91 S x=35.56
=0.05 ..,11=2.201 , − 1 √ ≤ ≤ + , − 1 √ = 1− − −2.201.√ ≤ ≤ 2259.9.91 + 2.2.201 .√ = 0.95 ≤ ≤ 2282.2.50=0 = 0.0.95 2259.91
2237.31
b. Construya un intervalo de confianza inferior del 95% para la resistencia promedio.
=0. 0 5 , 1 1=1. 7 96 . . −,−1. −7961 .√ ≤≤=0.=0.9595 √ ≤ =0.95 56
2259.91
2241.47
7.17.- Un ingeniero de control de calidad midió el espeso de la pared de 25 botellas de vidrio de dos litros. La media muestral es x =4.05 mm, mientras que la desviación ̅
estándar muestral es s=0.08 mm. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la media del espesor de la pared de las botellas.
=0.0.1008S =0.08 t.,24=1.7110.08 P4.05−1.711√ 25≤ ≤ 8.23+1.711√ 25 =0.90 P4.02≤ ≤ 4.07 =0.90 n=25
= 4.05
7.19.- Un artículo publicado en el Journal of Composite Materials (diciembre de 1989, Vol. 23, pág. 1200) describe el efecto de la perdida de láminas sobre la frecuencia natural, de vigas formadas por varias láminas. Se sujetaron cinco vigas con pérdida de láminas a varias cargas, y las frecuencias resultantes fueron las siguientes (en Hz): 230.66, 233.05, 232.58, 229.48, 232.58. Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 90% para la frecuencia natural.
=0. 1 0 S =1. 5 3 t , 4 =2. 1 32 . 0.√ 01992 ≤ ≤ 231.67+2.1320.√ 01992 =0.90 P231.67−2.132P231. 60≤ ≤231.73 =0.90 = 158.68 =18 =0.40 =8. 7 3, =0. 6 5, = = n=5
= 231.67
7.21.- Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en dos diferentes máquinas de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaños ; las medias y las varianzas muestrales son , respectivamente. Suponga que . Construya un intervalo de confianza bilateral del 95 % para la diferencia en el diámetro promedio de la varilla. n1= 15
1=
8.73 S12= 0.35
n2=18
2=
8.68, S 22= 0.40
=0. 0 5 t .,31=2.021 −1 + −1 = + −2 =0.377 P −, + −2 + ≤ − ≤ +, + − 2 + =1− ((
1-
2)
(
1-
2)
P
−2.0210.377 ≤0.−95 ≤ +2.0210.377 = P −0.576≤ ≤−0.043=0.95
((8.37-8.68)
(8.37-8.68)
(
7.23.- En un proceso químico pueden emplearse dos catalizadores. Doce lotes se prepararon con el catalizador 1, lo que dio como resultado un rendimiento promedio de 86 y una desviación estándar muestral de 3. Quince lotes se prepararon con el catalizador de 2. Suponga que las mediciones de rendimiento están aproximadamente distribuidas de manera normal. Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 99% para la diferencia en el rendimiento promedio de los dos catalizadores. n1= 12 n2=15
86 S1= 3
S12= 9
89
S22= 4
1= 2=
S2=2
=0.01 t.,20=2. 845 + = −2 + =19. +1 +1 66≈20 P −2.845 ≤ − ≤ −2.145 =0.99 P−5.86≤ − ≤ =0.99 ((86-89)
(300-305) -0.13
7.25.- Un científico de la computación está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar las tareas de programación. Se pide a doce programadores expertos, familiarizados con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar en ambos lenguajes, anotando el tiempo, en minutos, que requieren para hacer esta tarea. Los datos obtenidos son los siguientes:
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los tiempos de codificación promedio. ¿Existe algo que indique una preferencia por alguno de los lenguajes?
P
17.91 S12= 13.17
n1= 12
1=
n2=12
2=17.25
S22= 21.11
=0.05 t.,23=2. 069 + = −2 +1 + +1 =22. 67≈23 −2.069 ≤ − ≤ −2.069 =0.95 P−2.17≤ − ≤ 3.61 =0.99
((17.91-17.25)
(17.91-17.25)
7.27.- Un artículo publicado en el Journal of Aircraft (Vol. 23,1986, págs. 859-864) describe la formulación de un método nuevo para el análisis de placas que es capaz de modelar estructuras de aeroplanos, tales como el armazón del ala, y que produce resultados similares a los obtenidos con el método del elemento finito, el cual emplea muchos más cálculos. Se calculan las frecuencias de vibración naturales para el armazón de un ala utilizando para ello ambos métodos. Los resultados obtenidos para las siete primeras frecuencias naturales son los siguientes:
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia promedio entre los dos métodos. n 1= 7 n2=7
1= 2
134.16 S12= 8622.42
=139.64
S 22= 9689.54
=0.05 t.,14=2. 145 + = −2 +1 + +1 =13. 94≈14 134.16−139.≤ 61434. 1−2.6−139. 145√ 642615. +2.919≤45√ 2615.−99=0.99 P−115.18≤ − ≤ 104.22 =0.99 Sección 7.9 y 7.10 7-40.- De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al azar 823 son de pacientes que fallecieron. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la tasa de mortalidad del cáncer pulmonar.
̅ ̅ ∗ ∗ − ∗ ≤≤ + ∗ =1− = = 1000823
− ∗≤≤ + ∗=0.95 =0.05 . =1.96 0.823−1.96 0.82310000.177≤≤ 0.823+1.96 0.82310000.177 =0.95 0.799≤≤ 0.8466 =0.95 7-41.- ¿Cuán grande debe ser el tamaño de la muest ra requerida en el ejercicio 7-40 para tener una confianza de al menos el 95% de que el error al estimar la tasa de mortalidad del cáncer pulmonar sea menor que 0.03?
= =0.05 . =1.96 = =621.78≈622
7-42.- Se toma una muestra de 50 cascos de suspensión utilizados por los corredores de motocicletas y los conductores de automóviles de carreras, y se sujetan a una prueba de impacto. En 18 de los cascos se observa cierto daño. a. Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 95% para la verdadera proporción de cascos de este tipo que mostraran daño como resultado de la prueba.
= 1850 = − ≤≤ + =0.95 =0.05 . =1.96 0.36−1.96 0.36500.64≤≤ 0.36+1.96 0.36500.64 =0.95 0.22≤≤ 0.49 =0.95
b. Al utilizar la estimación puntual de p obtenida a partir de la muestra preliminar de 50 cascos, ¿Cuántos cascos deben probarse para tener una confianza del 95% de que el error al estimar el verdadero valor de p sea menor que 0.02?
= =0.05 . =1.96 = =18.65≈19
c. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que el error al estimar p sea menor que 0.02 sin importar el valor verdadero de p?
= =0.05 . =1.96 = =18.65≈19
7.43.- El departamento de transporte de cierto estado de Estados Unidos desea encuestar a los residentes para determinar a qué proporción de la población le gustaría incrementar los límites de velocidad de las carreteras estatales de 55 a 65 mph. ¿Cuántos residentes son necesarios encuestar si se desea tener una confianza de al menos el 99% de que la proporción de la muestra este a no más del 0.05 de la verdadera proporción?
̅ ∗ = ∗ ∗ = ^2∗0. 5 ∗0. 5 2. 5 8 . = 0.05 = 0.0∗0.5 25 =665.64≈666 7.44.- Un fabricante de calculadoras electrónicas está interesado en estimar la fracción de unidades defectuosas producidas. Se toma una muestra aleatoria de 800 calculadoras, de las cuales 10 resultan defectuosas. Calcule un intervalo de confianza superior del 99% para la fracción de calculadoras defectuosas.
≤ + ∗ ∗̅ =1− ≤0.0125+. ∗ 0.0125∗0.800 9875=0.99 ≤0.022=0.99 7.45.- Se lleva a cabo un estudio para determinar el porcentaje de hogares donde hay al menos dos televisores. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 99% de que el error al estimar esta cantidad es menor que 0.017?
̅ ∗ = ∗ ∗ = 2 . 5 8 = 0.0∗170.5∗0.5 =5758.13≈5759
7.46.- Se lleva a cabo un estudio paran determinar la efectividad de una nueva vacuna contra la gripe. Se administra la vacuna a una muestra aleatoria de 3000 sujetos, y de este grupo 13 contraen gripa. Como grupo de control se seleccionan al azar 2500 sujetos, a los cuales no se les administra la vacuna, y de este grupo 170 contraen gripe. Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre proporciones p 1 – p2.
− − ∗ ∗ + ∗ ≤ − ≤ −+ ∗ ∗ + ∗ =1−
170 13 ∗0. 9 95 13 170 3000 − 2500−1.96∗ 30003000 + 25002500∗0.932 ≤ − ( 13 170 ∗0. 9 32 ∗0. 9 95 13 170 3000 2500 ≤3000 − 2500+1.96∗ 3000 + 2500 =1− ) −0.0738 ≤ − ≤−0.053 =0.95 7.47.- Se analiza la fracción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción. Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la línea 1 contiene 10 que son defectuosas, mientras que una muestra aleatoria de 120 unidades de la línea 2 tiene 25 que son defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en fracciones de productos defectuosos producidos por las dos líneas.
− − ∗ ∗ + ∗ ≤ − ≤ − + ∗ ∗ + ∗ =1− 10 25 ∗0. 9 10 25 100 − 120−2.58∗ 100100 + 120 ∗0.1207916 ≤ − ( 10 25 ∗0. 9 10 25 ≤100 − 120+2.58∗ 100100 + 120 ∗0.1207916 =0.99 ) −0.2313≤ − ≤0.01470 =0.99
