Deber 4

Andrés Miniguano Trujillo

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA Deber N. 4: Variables Aleatorias Coti!as

{

1 16

k 

". Si f  ( ( x )= 16 1 16 0

si

−5 ≤ x <−1

si

−1 ≤ x < 4

si

4 ≤ x <6

para para otros otros valor valores es

#alle: a$ El %a %alor &e k   'ara (!e f  sea )!*i+ &e &esi&a&.

 ( ( x ) ∀ x ∈ R

0 ≤ f 

i.

∞

∫ f  ( ( x ) dx =1

ii.

−∞

−5

∞

−1

4

1

6

k 

1

∞

x

| | | −1

 kx

4

x

∫ f  ( ( x ) dx =∫ f  ( ( x ) dx +∫ 16 dx +∫ 16 dx +∫ 16 dx +∫ f  ( ( x ) dx =0 + 16 − + 16 − + 16

−∞

−∞

−5

−1

4

5

6

b$ La )! )!*i+ *i+  &e &e &istr &istrib! ib!*i+ *i+  &e  X  .  x

−5

 x

−∞

−∞ −5

−5 −1

 x

−∞ −5

−5 −1

−∞

−∞

−5

 F 1 ( x )=

∫ f  ( ( x x ) dx = ∫ f  ( ( x ) dx +∫ 161  dx = x16+5  x

 F 2 ( x )=

∫ f  ( ( x x ) dx = ∫ f  ( ( x ) dx +∫

−∞

 F 3 ( x )=

 F ( x ) =

*$

∫ f  ( ( x ) dx = ∫ f  ( ( x ) dx +∫

{

si

0

 x + 5

∫

 x

4

1 1 1  x + 10  dx +  dx +  dx = 16 16 4 16 −1 8

∫

∫

x <5

si −5 ≤ x <−1

16  x + 3 8  x + 10 16 1

si

−1 ≤ x < 4

si

4 ≤ x <6

si

x≥6

P (−2 ≤ X < 3 ) −1

∫

 P (−2 ≤ X < 3 ) =

−2

&$

 x

1 1  x + 3  dx +  dx = 16 8 −1 8

3

1 1 9  dx +  dx = 16 16 −1 8

∫

P ( X < 5| X ≥ − 3 ) −1

 P ( X < 5| X ≥− 3 ) =

 P (− 3 ≤ X < 5 ) =  P ( X ≥ − 3 )

4

1

5

∫− 16 dx +∫− 8 dx +∫ 161 dx 3

1

1

−3

−∫

1

4

1

− 5 16

= 13 14

dx

1

6

4

+ 0=

−1 16

+

2

Gráfica de la función de densidad

Gráfica de la función de distribución

,. Si la %ariable aleatoria  X   tiee *o-o )!*i+ &e &istrib!*i+:

 F ( x ) =

{

( x + 2 )

2

15

1−

x <−2

si

0

2 ( 3− x )

10 1

si −2 ≤ x < 1 si

1 ≤ x <3

si

x≥3

a$ #alle la )!*i+ &e &esi&a&  F  ( x ) = f  ( x ) ' 

f  ( x )=

{

2 15 1 5

( x + 2 ) si −2 ≤ x <1

(3 − x ) si

1≤ x

<3

b$ Si  A 1= { x|− 1 < x < 1 }   A 2= { x|1 < x ≤ 2.5 }   A 3= { x|−1.5 ≤ x < 2 } #alle: 1

2  P ( A 1 ∪ A2 ) = P (−1 < x ≤ 2.5 ) =  ( x + 2 ) dx + 15 −1

∫

1

 P ( A 1 ∩ A 3 )= P (−1 < x < 1 )=

2.5

09  ≈ 0.9083 ∫ 15 ( 3 − x ) dx = 1120 1

∫ 152 ( x + 2) dx = 158 ≈ 0.5333 −1

3

2

 P ( A 3| A 2 )=

∫ 15 ( 3 − x ) dx

P ( 1 < x < 2 ) 1 = 2.5  P ( 1 < x ≤ 2.5 ) 1

∫5

= 4 = 0. 8 5

( 3− x ) dx

1

*$

P  P

( < <) ( − < < )= ∫ −3 2

 X 

2

3  X  2 2

1

2

2  ( x + 2 ) dx + 1 ( 3 − x ) dx = 53 ≈ 0.8833 60 1 5 − 1.5 15

∫

&$ La es'era/a 0 la %aria/a &e  X  . ∞

 μ X =

∫  xf  ( x ) dx

−∞ 1

∫

 μ X =

−2

3

2  ( x + 2 ) xdx + 1 ( 3− x ) xdx = 2 15 3 1 5

∫

∞

2

σ  X =

∫  x

2

2

f  ( x ) dx − μ X 

−∞ 1 2

2

∫ 15 ( x +2 ) x

σ  X =

−2

3

2

∫ 15 (3− x ) x

dx +

1

2

2

13

3

6

dx − =

≈ 2.1667

Gráfica de f 

Gráfica de F

4

1. Si la %ariable aleatoria  X   tiee *o-o )!*i+ &e &esi&a& a:

{

−2 ≤ x < 0 si si 0 ≤ x <2 para otros valores

k

f  ( x )= 0.3− 0.1 x 0

#alle: a$ El %alor &e k  ∞

∫ f  ( x ) dx =1

−∞

−2

∞

0

∞

2

∫ f  ( x ) dx =∫ f  ( x ) dx +∫ k dx +∫ 0.3− 0.1 x dx +∫

−∞

−∞

−2

0

2

3 x − x f  ( x ) dx = 0 + xk |−2 + 10 0

b$ La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  .  x

−2

 x

−∞

−∞ −2

−2

 x

−∞

−∞

−2

 F 1 ( x )=  F 2 ( x )=

 F ( x ) =

*$

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫ 103 dx = 3 ( x10+ 2 ) 0

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫

{

3 ( x + 2 ) 2

(

)

+6

si −2 ≤ x < 0

10 3 x −0.5 x 10 1

∫

2

x <−2

si

0

 x

3 1 1 3 x −0.5 x dx + 3−  x dx = 10 2 10 0 10

+6

si

0 ≤ x <2

si

x≥2

P (− 1 ≤ X < 1 ) 0

1

11 = 0.55 ∫ 10 dx +∫ 101 ( 3− x ) d x = 20

 P (−1 ≤ X < 1 )=

−1

&$

3

0

P ( X < 1.5| X >−0.5 )  P (− 0.5 < X < 1.5 )  F ( 1.5 ) − F (−0.5 ) 39 = =  ≈ 0. 8864  P ( X < 1.5| X >−0.5 ) = 44  P ( X >−0.5 ) 1 − F (−0.5 )

Gráfico de f 

|

2 2

0

2 5

+ 0=2 k + =1 ⇒ k 

(

Gráfico de F

4. Si la )!*i+ &e &esi&a& &e  X   est2 &a&a 'or: f  ( x )=

{

−kx

ke

0

x ≥ 0, k > 0 x <0

si si

#alle: a$ La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  .

{

x< 0 −e   0 0≤x,k> b$ La 'robabili&a& (!e  X   se 3alle etre 4 0   F ( x )=

si si

0 −kx

8

∫

− kx

 P ( 4 ≤ X ≤ 8 )= k e

8

|4=−e−8 k + e−4 k 

−kx

dx =− e

4

*$ La 'robabili&a& (!e  X   sea -a0or (!e 5 −5 k 

 P ( X > 5 ) = 1 − P ( X ≤ 5 )= 1 + e &$ El %alor &e k   'ara (!e  P ( X > 6 ) =0.3 Por comlemento  P ( X ≤ 6 ) = 1− 0.3 = 0.7 =− e−6 k  ⇒ no existeel valor de k  F no es una función de distribución ues es negati!a ara todo k  ma"or #ue cero. Para $%&' f'

F'

)

5. La )!*i+ &e &esi&a& &e  X   est2 &a&a 'or:

{

( ) (−)

1  x 1+ 3 3

f  ( x )= 1 3

1

 x

3

si

−3 ≤ x < 0

si

0 ≤ x <3

para otros valores

0

#alle: a$ La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  . −3

 x

 F 1 ( x ) =

−∞ −2

 x

−3 0

1

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫ 3

−∞

 F ( x ) =

1

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫ 3

−∞

 F 2 ( x ) =

 x

{

−∞

si

0

( ) ( − )+ 2

1  x  x + 3 6 1  x 3

−3

 x

+

2

6

1

( ) ( + )+ ( + ) +∫ ( − ) = ( − )+ 1

1

 x

+

3

 x

3

dx =

1 3

 x

dx

0

 x

1 3

 x

2

1

6

1

2

 x

3

1

dx

3

 x

 x

2

6

x <−3

1 2

si − 3 ≤ x < 0

1 2

si

0 ≤ x <3

si

x≥ 3

b$ La 'robabili&a& (!e  X   sea -eor (!e 6" o -a0or (!e " 4

 P ( X <−1 ∪ X > 1 ) = P ( X <−1 )+ P ( X > 1 ) = F (−1 ) + 1 − F ( 1 )= ≈ 0.4444 9

*$

P ( X >−2 )  P ( X >−2 )=1− F  (−2 ) =

&$

17  ≈ 0.9444 18

P ( X ≤ 2| X >−1 )  P ( X ≤ 2| X >−1 ) =

 P (−1 < X ≤ 2)  P ( X >−1 )

=

 F ( 2 )− F (−1) 1

− F (−1 )

=

13 22

≈ 0.5909

1 2

*

Gráfica de f 

Gráfica de F

7. La )!*i+ &e &esi&a& &e la %ariable  X   est2 &a&a 'or:

f  ( x )=

{

 x + 1 18 1 4 8− x 32 0

si

−1 ≤ x < 2

si

2≤ x< 4

si

4 ≤ x<8

para o trosvalores

#alle: a$ La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  .  x

−1

 x

−∞

−∞ −1

−1

 F 1 ( x )=

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫  x

 F 2 ( x ) =

2

 x + 1

−1 18

−∞ −1

 x

2

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫

−∞

 F ( x ) =

18

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫

−∞

 F 3 ( x )=

 x + 1

{

−∞

si

0

( x + 1 ) 4

 x 4

(

− 1

x <−1

si −1 ≤ x < 2

( x −1 ) 1

−1

2

36 1

 x + 1

x 16

)

si

2≤x

<4

si

4≤x

<8

si

x≥8

18

dx =

( x + 1 )

2

36

 x

∫ 14 dx = 14 ( x −1 )

dx +

2

4

∫

dx +

2

 x

(

1 8 − x  x x  dx + dx = 1− 4 32 4 16 4

∫

)

+

b$

P ( X > 0 )  P ( X > 0 ) =1− F ( 0 )=

*$

P ( X > 5| X < 2.5 )

 P ( X > 5| X < 2.5 )=

&$

35  ≈ 0.9722 36

P ( ∅) =0  P ( X < 2.5 )

| ) < < )  ( )− ( ) ( ( < | > )= > = − = (

P 0 ≤ X < 7  X >

 P

3 2 3

0 ≤ X  7  X 

3

 P

2

 X 

 F  7

7

( )

2

 P  X 

3

1

2

3

 F 

2

()

 F 

3

467 476

≈ 0.9811

2

e$ La es'era/a 0 la %aria/a &e  X  . ∞

 μ X =

∫  xf  ( x ) dx

−∞ 2

∫

 μ X =  x

 x + 1 18

−1

4

1

∫

dx +  x

4

2

8

∫

dx +  x

 8

− x

32

4

dx =

37 12

≈ 3.0833

∞

2

σ  X =

∫  x

2

2

f  ( x ) dx − μ X 

−∞ 2 2

∫

σ  X =  x

2

 x + 1 18

−1

4

∫

2

dx +  x 2

1 4

8

∫

2

dx +  x 4

8

− x

32

( )

dx −

37 12

Gráfica ara f 

Gráfica ara F

8. Da&a

f  ( x )=

{

1−kx 1 2 0

1 2

si

0 ≤ x<

si

1 ≤ x <2 2

en otroscasos

2

= 413 ≈ 2. 8681 144

,

#alle: a$ La *ostate k   'ara (!e f   sea )!*i+ &e &esi&a& &e  X  . ∞

∫ f  ( x ) dx =1

−∞

1

∞

0

2

2

1

∞

(

 x

2

)| + | + = −

∫ f  ( x ) dx =∫ f  ( x ) dx +∫ 1− xk dx +∫ 2 dx +∫ f  ( x ) dx =0 +  x − 2 k 

−∞

−∞

0

1

2

2

b$ La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  .  x

0

 x

−∞

−∞

0

 x

0

2

 x

−∞

−∞

0

1

 F 1 ( x )=

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫ 1− 2 x dx = x ( 1 − x ) 1

 F 2 ( x ) =

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫ 1− 2 x dx +∫ 12 dx = x2 2

 F ( x ) =

*$

P  P

{

x <0

si

0

 x ( 1− x )

si 0 ≤ x <

 x

1 ≤ x< 2 2 x ≥2

si

2 1

1 2

si

( ) ( ) ( ) ( < )= ( )− ( )= ( < )= ( )= = ( > )= − ( )= = 1 3 3 1 ≤ X < , P  X < , P  X > 3 2 4 5 1 3 ≤ X  3 2

 F 

 P  X 

3 4

 F 

 P  X 

1 5

1  F 

3 2

 3 4

1 3

 F 

3 8

19  ≈ 0.5278 36

0.375

1 5

4 25

0.16

&$ La es'era/a 0 la %aria/a &e  X  . ∞

 μ X =

∫  xf  ( x ) dx

−∞ 1 2

2

 ≈ 0.9792 ∫ ( 1−2 x ) x dx +∫  x2 dx = 47 48

 μ X =

0

1 2

∞

2

σ  X =

∫  x

2

2

f  ( x ) dx − μ X 

−∞ 1 2

2

∫ ( 1−2 x ) x

σ  X =

0

2

2

 x

2

∫ 2 dx −

dx +

1 2

( )= 47 48

2

839  ≈ 0.3641 2304

1 2

0

 x

2

2

1 2

0

1

1

2

8

k + 1 −

1 4

=1 ⇒ k =

&-

Gráfica de f 

Gráfica de F

. Si  X   es !a %ariable aleatoria *o )!*i+ &e &esi&a&:

{

 x −5 4

f  ( x )= 9− x 4 0

si

5 ≤ x <7

si

7 ≤ x <9

para otrosvalores

#alle: a$ La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  . 5

 x

 F 1 ( x )=

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫  x −4 5 dx = 18 ( x −10 x + 25) 2

−∞

−∞

 x

5

 F 2 ( x )=

b$

5 7

∫ f  ( x ) dx = ∫ f  ( x ) dx +∫

−∞

 F ( x ) =

 x

{

−∞

0

1 2 ( x −10 x + 25 ) 8 −1 ( 73−18 x + x2 ) 8 1

5

si

 x −5 4

 x

∫ 9 −4  x dx = −81 (73−18 x + x )

x <5

si 5 ≤ x < 7 si 7 ≤ x < 9 si

x≥ 9

P (6 < X < 8 ) , P ( X sea par ) , P ( X > 7.5| X > 6 ) 3

 P (6 < X < 8 )= F ( 8 )− F ( 6 ) = = 0.75 4

 P ( X sea par )= P ( X = 6 ∪ X = 8 ) = 0

2

dx +

7

&&

 P ( X > 7.5| X > 6 ) =

− F ( 7.5 ) 9 = ≈ 0.3214 28 1− F ( 6 )

1

*$ La es'era/a 0 la %aria/a &e  X  . ∞

 μ X =

∫  xf  ( x ) dx

−∞ 7

∫

 μ X =  x

 x −5 4

5

9

∫

dx +  x 7

 9 − x dx =7 4

∞

2

σ  X =

∫  x

2

2

f  ( x ) dx − μ X 

−∞ 7

2

∫

σ  X =  x 5

2

 x −5 4

9

∫

dx +  x 7

2

9 − x 2 dx − 49= 4 3

Gráfica de f 

Gráfica de F

9. Si la )!*i+ &e &istrib!*i+ est2 &a&a 'or:  F ( x ) =

{

−kx

1−e 0

si si

x ≥ 0, k > 0 x <0

#alle: a La )!*i+ &e &esi&a& &e  X  .

{

− kx

si x ≥ 0, k > 0 0 si x <0 b$ La 'robabili&a& (!e  X   se 3alle etre 1 0 7 −3 k  −6 k   P (3 < X < 6 ) = F ( 6 ) − F ( 3 )= e − e P (3 < X ) *$ −3 k   P (3 < X ) = 1 − F ( 3 )= e &$ El %alor &e k   'ara (!e  P ( X > 3 )= 0.1 ' 

 F  ( x ) =f  ( x ) =

ke

&2

−3 k 

 P ( X ≤ 3 ) =0.9 ⇒ e

Por comlemento

=0.1 ⇒ k =

1  ln ( 10 ) 3

Gráfica de f ara $ de /d

Gráfica de F ara $ de /d

". La %ariable aleatoria  X   tiee *o-o )!*i+ &e &istrib!*i+:

 F ( x )=

{

si

0

 x 8

kx

si

0≤ x

<2

si

2≤ x

<4

2

4 1

x <0

  si

x ≥4

#alle: a$ La )!*i+ &e &esi&a& &e  X  ' 

 F  ( x ) =f  ( x ) =

{

 1 8

kx 2

si

0 ≤ x <2

si 2 ≤ x < 4

b$ El %alor &e k  . ∞

∫ f  ( x ) dx =1

−∞ ∞

0

2

−∞

−∞

0

∫ f  ( x ) dx =∫ f  ( x ) dx +∫

*$

4

∫

P ( X > 1.5 )  P ( X > 1.5 )=1 − F ( 1.5 )=

∞

1 kx 1 1 1  dx + dx + f  ( x ) dx =0 + + 4 k − k + 0 =3 k + =1 ⇒ k = 8 4 4 4 2 2 4

13 16

=0.8125

∫

&3

&$

P ( X ≥ 1| X ≤ 3 )  P ( X ≥ 1| X ≤ 3 )=

 F ( 3 ) − F  ( 1 )  F ( 3 )

7

= ≈ 0.7778 9

e$ La es'era/a 0 la %aria/a &e  X  ∞

 μ X =

∫  xf  ( x ) dx

−∞ 2

4

 x

 x

2

≈ 2.5833 ∫ 8 dx +∫ 8 dx = 31 12

 μ X =

0

2

∞

2

σ  X =

∫  x

2

2

f  ( x ) dx − μ X 

−∞ 2

2

4

2

 x

 x

3

∫ 8 dx+∫ 8 dx −

σ  X =

0

2

( )= 31 12

2

167  ≈ 1.1597 144

Gráfica de f 

Gráfica de F

"". Da&a: f  ( x )=

{

1 2

( ) 1

| x| −

si

−2≤ x< 2

0

si

| x|≥ 2

2

a$ Pr!ebe si f   es )!*i+ &e &esi&a& i.

0n los e1tremos 0ntonces

f  ⟶ 0  mientras #ue en el inter!alo se tiene #ue

f ≥ 0 ∀ x ∈ R .

( ) 1−

| x| 2

≥0 .

&4

∞

∫ f  ( x ) dx =1

ii.

−∞ ∞

−2

−∞

−∞

∫ f  ( x ) dx =∫

2

( )

∞

| x|

0

( )

2

1 1  x 1  x  x  x f  ( x ) dx + 1− dx + f  ( x ) dx = 1+ dx + 1− dx = + 2 2 2 2 8 2 0 2 −2 2 −2 2

∫

∫

∫

∫

f   es una función de densidad.

b$ Si f   es )!*i+ &e &esi&a& 3alle la )!*i+ &e &istrib!*i+ &e  X  .

 F ( x ) =

{

si

0

( ) (+− )

x <−2

2

1  x 1 + x + 2 4

 x

1 1  x 2

si −2 ≤ x < 0

2

4

1

si

0 ≤ x <2

si

x ≥2

*$ #alle  P (−1 < X < 2 )  P (−1 < X < 2 )= F ( 2 )− F  (−1 )= 0.875 =

7 8

Gráfica de f 

Gráfica de F

",. La )!*i+ &e &istrib!*i+ &e !a %ariable aleatoria  X   est2 &a&a 'or

 F ( x ) =

{

si

0

x< 0

2

 x

18 1 2 x

( ) (

2

si

0≤x

<3

si

3≤ x

<6

2

− x −18 18 1

si

a$ #alle la )!*i+ &e &esi&a&

x ≥6

0

)| + ( − )| −2

2

 x

 x

2

8

&(

' 

 F  ( x ) =f  ( x ) =

{

x 9 1 ( 6 − x ) 9

si

0 ≤ x <3

si

3 ≤ x <6

b$ #alle la es'era/a 0 la %aria/a &e X  . ∞

 μ X =

∫  xf  ( x ) dx

−∞ 3

 x

2

6

∫ 9 dx +∫

 μ X =

0

3

2

6 x − x dx =3 9

∞

2

σ  X =

∫  x

2

2

f  ( x ) dx − μ X 

−∞ 3 2

3

 x

6

∫ 9 dx +∫

σ  X =

0

3

6 x

2

− x

9

3

3

dx − 9= =1.5 2

*$ Si  A = { x| x > 1 } ; B ={ x|2 ≤ x < 5 } ;  ={ x| x < 4 }  3alle:  P ( A ∪ B ) , P ( B ∩  ) , P ( A −  ) 8 9

 P ( A ∪ B )= P ( 1 ≤ X < 5 )=− F ( 1 ) + F ( 5 ) =  ≈ 0.8889 5 9

 P ( B ∩ )= P ( 2 ≤ x < 4 )= F ( 4 )− F  ( 2 )= ≈ 0.5556 2 9

 P ( A − )= P ( A ∩  ) = P ( A )− P ( A ∩  )=1 − F ( 1 )− F ( 4 )+ F  ( 1 )= ≈ 0.2222 c

Gráfica de f 

Gráfica de F