Grundbau und Bodenmechanik Übung Vertikalspannungen Vertikals pannungen
Seite D.1 Lehrstuhl für Grundbau, Bodenmechanik und Felsmechanik
D Vertik Vertik alspannungen im B oden D.1 Allgemeines
Man unterscheidet im Boden folgende Spannungen: Effektive Spannungen ( σ’): werden vom Korngerüst übertragen Porenwasserdruck (u): im Porenraum wirkender Wasserdruck (hydrostatisch, wenn keine Strömung vorliegt; durch Auflasten und Konsolidation werden Strömungen und Porenwasserüberdrücke erzeugt) Totale Spannungen ( σ): Summe aus effektiven Spannungen und Porenwasserdruck Porenwasserdruck D.2 D.2 Spannungen aus Bo deneigengewicht deneigengewicht und Wasser Wasser D.2.1 Geschichteter Baugrund
Für den in Bild D-1 dargestellten geschichteten Baugrund sind die Vertikalspannungen zu ermitteln und in das Diagramm einzutragen. GOF ±0,0
z [m] 0 4,0
γ
σz
[kN/m³] 17,0
7,0
21,0
[kN/m²] 0 4 · 17,0 = 68,0 68,0 + 3 · 21 = 131,0 131,0 + 4 · 19,0 = 207,0
11,0
19,0
lockerer Sand γ=17 kN/m³
-4,0 68,0
Schluff, sandig γ=21 kN/m³ -7,0 131,0
Ton, schluffig, steif γ=19 kN/m³ -11,0
207,0
σz
Bild D-1: Baugrund und Spannungen An Schichtgrenzen entsteht bei unterschiedlichen Dichten der Böden immer ein Knick in der Verteilung der vertikalen Spannungen. D.2. D.2.2 2 Grundwasser und großflächige Auf last
Bei dem in Bild D-2 dargestellten Bodenaufbau handelt es sich um einen weitgestuften Kies, das Grundwasser steht 2,0 m unter GOK an. Eine großflächige Auflast von p = 10 kN/m² (z.B. aus Verkehrslast einer Lagerhalle) ist zu berücksichtigen. berücksichtigen.
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Seite D.2
Zuerst müssen aus den gegebenen Bodenkennwerten die Wichten ermittelt werden (siehe dazu im Skriptum Seiten C.9, C.10): - Wichte trocken γd: γ d = g ⋅ ρ s ⋅ (1 − n) = 10 ⋅ 2,65 ⋅ (1 − 0,3) = 18,55 kN/m³ - Wichte teilgesättigt γ: γ = g ⋅ ρ s ⋅ (1 − n) + n ⋅ Sr ⋅ γ w = 10 ⋅ 2,65 ⋅ (1 − 0,3) + 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 10 = 19,75 kN/m³ - Wichte unter Auftrieb γ’: γ ' = (1 − n) ⋅ ( γ s − γ w ) = (1 − 0,3) ⋅ (26,5 − 10) = 11,55 kN/m³
Somit ergeben sich die effektiven Vertikalspannungen zu: z γ bzw. γ’ σz’ [m] [kN/m³] [kN/m²] 0 p = 10,0 10,0 + 2,0 · 19,75 = 2,0 19,75 49,5 49,5 + 4,0 · 11,55 = 6,0 11,55 95,7 95,7 + 4,0 · 11,55 = 10,0 11,55 141,9 Die Porenwasserdrücke u haben einen hydrostatischen Verlauf, wenn keine Strömungen zu berücksichtigen sind. Die totalen Spannungen werden durch Addition der beiden Spannungsanteile errechnet: σ = σ’ + u GOF ±0,0
p = 10,0 kN/m² -2,0
10,0
10,0
10,0
Sr = 0,4 49,5
49,5
GW n = 0,3 ρs = 2,65 t/m³ -6,0 95,7
135,7
128,5
-10,0 141,9
Tst
σz'
80,0
u
221,9
σz = σz' + u
174,7
σz' (nach Absenkung)
effektive Spannungen + Porenwasserdruck = totale Spannungen
Bild D-2: Baugrundaufbau und Spannungen
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Durch eine Wasserhaltung wird der Grundwasserspiegel auf Kote –6,0 m abgesenkt, so dass nur mehr der Boden unterhalb dieser Kote unter Auftrieb steht. Dadurch erhöhen sich die effektiven Spannungen σz’. Für den Boden oberhalb des Grundwasserspiegels sei die Sättigungszahl weiterhin Sr = 0,4. z [m] 0
γ
bzw. γ’ [kN/m³] -
6,0
19,75
10,0
11,55
σz’
[kN/m²] p = 10,0 10,0 + 6,0 · 19,75 = 128,5 128,5 + 4 · 11,55 = 174,7
Durch die Grundwasserabsenkung ergibt sich auf Höhe OK Tonstein eine zusätzliche effektive Spannung von σz’ = 174,7 – 141,9 = 32,8 kN/m². D.3 Aushubentlastu ng
Fundamente binden in aller Regel in den Baugrund ein, so dass zu ihrer Herstellung Boden ausgehoben werden muss. Somit wird der Boden unterhalb der Fundamentunterkante entlastet und hebt sich; durch die Herstellung des Fundamentes und der aufgehenden Bauteile wird wieder zusätzliche Last aufgebracht, so dass sich das Fundament setzt.
σ0’
In etwa dem Umfang, in welchem der Boden entlastet wurde und sich zunächst gehoben hatte, setzt sich das Fundament ohne größere Zeitverzögerung und mit sehr flacher LastVerformungs-Linie (Wiederbelastung). Wenn die Aushub- und die Wiederbelastungsfläche annähernd gleich groß sind, ist es vereinfachend möglich, Sohlspannungen unter einem Fundament um die Aushubentlastung zu reduzieren, siehe Bild D-3.
σ 0 ’o . A . σü’
Aushub
Die reduzierten Sohlspannungen ergeben sich zu: σ0 '
σ 0 ' o. A .
γ Boden
t
V bx by
γ Boden
t
σ’
Belastung
ε Bild D-3: Entlastung durch Aushub, Wiederbelastung durch Fundament
D.4 Spannungen infolge äußerer Lasten D.4.1 Schlaffe Lastflächen – starre Lastflächen
Bei der Ermittlung von Spannungsverteilungen im Boden infolge äußerer Lasten wird der Boden als Halbraum verstanden, auf den die äußeren Lasten einwirken. Bei den auf den Halbraum wirkenden Lasten wird zwischen schlaffen und starren Lastflächen unterschieden.
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Seite D.4
Eine schlaffe Lastfläche kann unter Bauelementen angenommen werden, die keine Biegesteifigkeit besitzen (z.B. ein Damm oder ein Tank einer Ölraffinerie). In diesem Fall geht man von einer linearen Verteilung der Spannungen in der Sohlfuge aus. Entsprechend der Wirkung der schlaffen Lastfläche entsteht unter dem Fundament eine Setzungsmulde mit dem Maximum unter der Fundamentmitte (Bild D-4). Eine starre Lastfläche kann unter Bauelementen mit großer Biegesteifigkeit angenommen werden (z.B. ein Stahlbetonfundament). Charakteristisch für eine starre Lastfläche ist eine konstante Verschiebung der Fundamentsohle. Um die zugehörige spezielle Form der Setzungsverteilung zu erzeugen, muss der Sohldruck an den Rändern Spannungsspitzen aufweisen. Diese sind theoretisch unendlich groß, in der Natur werden sie aber durch plastische Verformungen des Bodens abgebaut (Bild D-4). Die Sohldruckverteilung unter einem starren Streifenfundament wurde von BOUSSINESQ ermittelt. (siehe dazu Abschnitt H.4.1.5 im Vorlesungsskript).
Bild D-4: Vergleich starres Fundament – schlaffes Fundament Vergleicht man die Setzungsverläufe unter einer schlaffen und einer starren Last, so ergibt sich ein Punkt, an dem die Setzungen gleich sind (Bild D-5). Dies ist der kennzeichnende oder charakteristische Punkt; er liegt im Abstand 0,37 · b vom Fundamentmittelpunkt entfernt. Bild D-5: charakteristischer Punkt
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Dieser Zusammenhang ermöglicht es, die Setzungen eines starren Fundamentes über die Ermittlung der Setzungen des charakteristischen Punktes unter einer schlaffen Lastfläche zu berechnen. Dazu wird in der Regel folgendermaßen vorgegangen: 1) Berechnung der Sohlspannungsverteilung unter einem schlaffen Fundament (konstante Verteilung) 2) Ermittlung der vertikalen Spannungsverteilung im Boden unterhalb des Fundaments im charakteristischen Punkt infolge der Sohlspannungen 3) Berechnung der Setzungen aus der in 2) ermittelten Spannungsverteilung (Näheres dazu siehe Übung Setzungen) Diese Vorgehensweise bietet den Vorteil, dass die Spannungsermittlung im Boden nicht mit dem komplizierten Sohlspannungsverlauf eines starren Fundamentes durchgeführt werden muss, sondern dass man auf die einfache, konstante Sohlspannungsverteilung eines schlaffen Fundamentes zurückgreifen kann. D.4.2 Spannun gen unt er einem Damm
Im Zuge einer Baumaßnahme wurde der in Bild D-6 dargestellte Damm errichtet. Es soll die Spannungsverteilung in Dammmitte aufgrund des Eigengewichtes des Damms ermittelt werden. 15,00
0 0 , 0 1
60,00
15,00
γ = 20 kN/m³
- 15,0
Ton -9 k = 5 · 10 m/s Es = 5 MN/m² Sand Es = 75 MN/m²
- 35,0 Sandstein Bild D-6: Dammquerschnitt und Bodenaufbau
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Zunächst muss die Spannungsverteilung in der Sohlfuge zwischen Untergrund und Dammkörper berechnet werden. Da der Damm keine Biegesteifigkeit besitzt, handelt es sich um eine schlaffe Lastfläche (Bild D-7). Die Sohlspannungen ergeben sich zu:
σ0
B Bild D-7: Sohlspannungsverteilung
σ0 '
γ
H
20 10
200 kN/m²
Näherungsweise soll die Spannungsermittlung mit einer rechteckigen Sohlspannungsverteilung durchgeführt werden. Dazu werden die eingeleiteten Spannungen auf ein Rechteck der Breite B = 75 m umgelegt.
Der allgemein gültige Ansatz zur Berechnung der Spannungen infolge einer schlaffen Rechtecklast wurde von STEINBRENNER für die Vertikalspannungen unter dem Eckpunkt und unter dem charakteristischen Punkt einer rechteckigen Lastfläche ausgewertet. Da das Superpositionsprinzip gilt, können die Spannungen unter jedem Punkt der Lastfläche berechnet werden, indem man die Fläche in entsprechende Teilflächen zerlegt. Zur Ermittlung der Spannung in Dammmitte unterteilt man den Damm in vier Flächen mit den Abmessungen a = ∞ (unendlich langer Damm) und b = 37,5 m, und ermittelt sich die Spannungsbeiwerte für bestimmte Tiefen mit der STEINBRENNER-Tafel für den Eckpunkt. Für alle 4 Teilflächen a gilt = ∞ . b Kote [m]
z [m]
z/b [-]
iTeilfläche [-]
iGesamtfläche = Σ iTeilfl. [-]
0,0
0,0
0,0
0,25
4 · 0,25 = 1,0
1,0 · 200,0 = 200,0
-5,0
5,0
5,0 / 37,5 = 0,13
0,25
4 · 0,25 = 1,0
1,0 · 200,0 = 200,0
-10,0
10,0
10,0 / 37,5 = 0,27
0,247
4 · 0,247 = 0,988
0,988 · 200,0 = 199,2
-15,0
15,0
15,0 / 37,5 = 0,40
0,243
4 · 0,243 = 0,972
0,972 · 200,0 = 194,4
-20,0
20,0
20,0 / 37,5 = 0,53
0,236
4 · 0,236 = 0,944
0,944 · 200,0 = 188,8
-25,0
25,0
25,0 / 37,5 = 0,67
0,230
4 · 0,23 = 0,920
0,920 · 200,0 = 184,0
-30,0
30,0
30,0 / 37,5 = 0,8
0,220
4 · 0,22 = 0,880
0,880 · 200,0 = 176,0
-35,0
35,0
35 / 37,5 = 0,93
0,207
4 · 0,207 = 0,828
0,828 · 200,0 = 165,6
Δσz’=
iGesamt · σ0’ [kN/m²]
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D.4.3 Spannungen unter einem Rechteckfundament
In Bild D-8 ist ein quadratisches Rechteckfundament der Abmessungen b x · by = 2,5 m · 2,5 m und die dazu gehörige Baugrundsituation dargestellt. Das in Stahlbeton ausgeführte Fundament kann als starr angesehen werden. 2.50
P = 3500kN
GOF ±0,0 550,0
0.50
G,s γ = 20,0 kN/m³ -3,0 U,t,s' γ = 19,5 kN/m³ γ' = 10,0 kN/m³
126,5
GW=-5,0
12,1
17,6
60,5
-7,0
15,4
31,9
Sst
Δσz'
Δσz'
unter dem charakteristischen Punkt
unter dem charakteristischen Pun des Nachbarfundamentes
Bild D-8: Einzelfundament und Spannungen
D.4.3.1 Vertik alspannungen unterhalb des charakteristisch en Punktes
Im Hinblick auf eine nachfolgende Setzungsberechnung wird die Spannungsverteilung im Boden unter Annahme einer schlaffen Lastfläche für den charakteristischen Punkt berechnet. Dazu wird die STEINBRENNER-Tafel für den charakteristischen Punkt verwendet. Es muss keine Flächenzerlegung erfolgen. Für das im Bild dargestellte Fundament ergeben sich die Sohlspannungen (schlaffe Last) zu σ 0 ' o. A .
P A
3500 2,5 2,5
560 kN/m²
unter Berücksichtigung der Aushubentlastung σ0 '
3500 20,0 0,5 550 kN/m² 2,5 2,5
Für die Lastfläche gilt: a = b = 2,5 m und somit a / b = 1
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Seite D.8
Kote [m]
z [m]
z/b [-]
i [-]
-0,5
0,0
0,0
1,0
1,0 · 550,0 = 550,0
-3,0
2,5
2,5 / 2,5 = 1,0
0,23
0,23 · 550,0 = 126,5
-5,0
4,5
4,5 / 2,5 = 1,8
0,11
0,11 · 550,0 = 60,5
-7,0
6,5
6,5 / 2,5 = 2,6
0,058
0,058 · 550,0 = 31,9
Δσz’
= iGesamt · σ0’ [kN/m²]
D.4.3.2 Einfl uss auf Nachb arfun damente
Im Beispiel soll es sich um eine auf Einzelfundamenten gegründete Fabrikhalle handeln. Das Stützenraster sei 5,0 m. Im Folgenden soll untersucht werden, inwieweit sich die einzelnen Fundamente gegenseitig beeinflussen. Das heißt, gesucht wird die vertikale Spannung unter einem Fundament (im charakteristischen Punkt) hervorgerufen durch ein Nachbarfundament. Hierzu wird die STEINBRENNER-Tafel für den Eckpunkt verwendet, wobei die Flächen wie folgt zusammengesetzt werden (Bild D-9 / Bild D-10): Teilfläche
Länge a
Breite b
Verhältnis a / b
1
1,25 + 5,00 – 0,93 = 5,32 m
2,50 – 0,32 = 2,18 m
5,32 / 2,18 = 2,44
2
5,32 m
0,32 m
5,32 / 0,32 = 16,6
3
5,32 – 2,50 = 2,82 m
2,18 m
2,82 / 2,18 = 1,29
4
2,82 m
0,32 m
2,82 / 0,32 = 8,81
Anmerkung: Es gilt immer a ≥ b 2,50
2,50
0 5 , 2
0,32 5,00
0,93
1
+
3
-
2
+
4
-
2 3 , 0
Bild D-9: Grundriss der Einzelfundamente
Bild D-10: Zusammensetzung der Teilflächen
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] = σ ² · ´ m z t / σ m N a k Δ s e [ g i
0 , 0 = 0 , 0 5 5 · 0 , 0
1 , 2 1 = 0 , 0 5 5 · 2 2 0 , 0
6 , 7 1 = 0 , 0 5 5 · 2 3 0 , 0
4 , 5 1 = 0 , 0 5 5 · 8 2 0 , 0
4 = i 2 i t m + – ] a 3 [ s 1 i e i g – i
0
2 2 0 , 0
2 3 0 , 0
8 2 0 , 0
4 ] i [
5 2 , 0
8 3 0 , 0
8 1 0 , 0
1 1 0 , 0
b ] / [ z
0
8 , 7
1 , 4 1
3 , 0 2
3 ] i [
5 2 , 0
3 7 1 , 0
6 9 0 , 0
6 5 0 , 0
b ] / [ z
0
5 1 , 1
6 0 , 2
8 9 , 2
2 ] i
[
5 2 , 0
3 4 0 , 0
1 2 0 , 0
5 1 0 , 0
b ] / [ z
0
8 , 7
1 , 4 1
3 , 0 2
1 ] i [
5 2 , 0
9 1 , 0
5 2 1 , 0
8 0 , 0
b ] / [ z
0
5 1 , 1
6 0 , 2
8 9 , 2
] z m [
0 , 0
5 , 2
5 , 4
5 , 6
e ] t o m K [
5 , 0 -
0 , 3 -
0 , 5 -
0 , 7 -
´ 0
4 1 e 8 , h 8 c = ä l f b l i / e T a
3 9 e 2 , h 1 c = ä l f l i b e / T a
2 6 , e 6 h 1 c = ä l f b l i / e T a
1 4 e 4 , h 2 c = ä l f b l i / e T a
Seite D.9
. g i t i e s n e g e g g n a f m U n e g n i r e g m e n i e n i r u n e t n e m a d n u F n e n l e z n i e e i d h c i s n e s s u l f n i e e b h c i l t h c i s n e f f O
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Seite D.10
D.4.4 Spannung en unt er einem Streifenf und ament
Zur Ermittlung der Spannungen unter einem Streifenfundament kann man auch auf analytische Lösungen zurückgreifen. Mit den in Bild H04.80 im Skript angegebenen Winkeldefinitionen ergibt sich:
p
Δσ z ´
π
p
Δσ x ´
π
(2 ϑ 0
cos(2ϑm ) sin(2ϑ 0 )) (Winkel im Bogenmaß)
(2 ϑ 0
cos(2ϑm ) sin(2ϑ 0 ))
Die Spannungen müssen für jede Tiefenstufe einzeln berechnet werden. Im Bild D-11 ist ein 1,0 m breites Streifenfundament dargestellt, welches mit einer Last von p = 300,0 kN/m belastet ist. Im Folgenden sollen die Vertikalspannungen direkt unterhalb der Fundamentachse und in 1,0 m Entfernung von der Achse bestimmt werden. 1,00
p = 300 kN/m GOF ±0,0 UL γ = 21,0 kN/m³
0 8 , 0
283,2 1,00
276,7 197,0 135,1
-3,0 -4,0
79,2
3,1 38,2 57,2 59,7 56,3 46,4
55,4
GW γ = 19,5 kN/m³ γ' = 11,5 kN/m³
32,1
34,4
24,9
24,0
19,5
19,1
Δσz'
Δσz'
unter dem Fundament
1,0 m neben der Fundamentachse
Bild D-11: Streifenfundament und Spannungsverteilung D.4.4.1 Vertikals pannun gen unt erhalb der Fundamentach se
In der Sohle wirkt die Spannung (unter Berücksichtigung der Aushubentlastung) 300 σ0 ' = − 21,0 ⋅ 0,8 = 283 kN/m² . 1,0 Direkt unterhalb der Achse gilt: ϑ1
2π ϑ 0
ϑ 2 = ϑ0
ϑm =
1 (ϑ + ϑ2 ) = π 2 1
ϑ0
arctan
b 2z
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Die weitere Berechnung erfolgt tabellarisch. p = 283 [kN/m²] Kote [m]
z [m]
2·ϑ0 [-]
[kN/m²]
-0,8 -1,0 -1,5 -2,0 -3,0 -4,0 -6,0 -8,0 -10,0
0,0 0,2 0,7 1,2 2,2 3,2 5,2 7,2 9,2
3,14 = π 2,38 1,24 0,79 0,45 0,31 0,19 0,14 0,11
283,0 276,6 197,0 135,1 79,2 55,4 34,4 24,9 19,5
cos (2 ϑm ) = cos (2 π) = 1
Δσz´
Δσz´
p π
p π
(2 ϑ0 cos(2ϑm ) sin(2ϑ0 )) (2 ϑ0 sin(2ϑ0 ))
D.4.4.2 Vert ikals pannun gen 1,0 m neben der Fund amentachse
In diesem Falle müssen die Winkel einzeln berechnet werden: 0,5 ϑ1 = arctan( ) 2 ⋅ ϑm = ϑ1 + ϑ2 z 2 ⋅ ϑ0 = ϑ1 − ϑ2 1,5 ϑ 2 = arctan( ) z p = 283 [kN/m²] Kote [m] -0,8 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,0 -4,0 -6,0 -8,0 -10,0
z [m] 0,0 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 3,2 5,2 7,2 9,2
ϑ1
ϑ2
[-] 0,00 1,19 0,62 0,39 0,29 0,22 0,15 0,10 0,07 0,05
[-] 0,00 1,44 1,13 0,90 0,72 0,60 0,44 0,28 0,21 0,16
2·ϑm [-] 0,00 2,63 1,75 1,29 1,01 0,82 0,59 0,38 0,27 0,22
2·ϑ0 [-] 0,00 0,25 0,51 0,50 0,44 0,37 0,28 0,18 0,14 0,11
Δσz´
[kN/m²] 0,0 3,1 38,2 57,2 59,7 56,3 46,4 32,1 24,0 19,1
In der Darstellung der Ergebnisse ist ein deutliches Maximum in ca. 2,5 m Tiefe zu erkennen.
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D.5 Anh ang D.5.1 Spannungs einflussw erte I unter dem Eckpunkt
Bild D-12: STEINBRENNER-Tafel für den Eckpunkt einer Rechteckfläche unter konstanter Last
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Seite D.13
D.5.2 Spannungs einflussw erte I unter dem charakteristisc hen Punkt
Bild D-13: STEINBRENNER-Tafel für den charakteristischen Punkt einer Rechteckfläche unter konstanter Last
