HARMONIJSKO_TITRANJE - skripte

fizika –gradivo 3. razreda

HARMONIJSKO TITRANJE

3. razred – HARMONIJSKO TITRANJE

1. Osnovni pojmovi - titranje Titranje je periodično (opetovano, ponavljano) gibanje oko ravnotežnog položaja, u dva suprotna smjera, zbog djelovanja elastične sile. elastična (povratna, harmonijska) sila – sila koja vraća tijelo u ravnotežni položaj ( x  0 ) – odgovorna za elastično titranje – formula za elastičnu silu : F   kx  F ~ x , sila je proporcionalna pomaku x x – pomak iz položaja ravnoteže, elongacija ( često se koristi oznaka y ili s ) harmonijski oscilator ( titrač ) – tijelo koje harmonijski titra harmonijsko titranje - ( harmonija = sklad )  gibanje pod djelovanjem elastične sile idealizirano titranje : 1) nema gubitaka energije ( na trenje, otpor zraka .... ) 2) pomaci iz ravnotežnog položaja su mali elastično sredstvo – sredstvo čije su čestice vezane elastičnim silama SLIKE : primjeri titrajnih sustava uteg na opruzi njihalo

izmjena dana i noći, gibanje planeta

LC-krug i dr.

Jedna od veličina koje opisuje titranje je frekvencija. Obilježava se sa f i znači broj titraja N u jednoj sekundi. Jedinica za frekvenciju je hertz ( Hz ) : 1 Hz = 1 s-1

frekvencija, f – broj periodičnih događaja u jedinici vremena period, T – vrijeme jednog titraja

T

f 

N  Hz  t

1 f

titraj – to je titranje koje traje vrijeme T Jedan titraj sadrži 4 amplitudna pomaka. njihaj – pola titraja položaj ravnoteže ( ravnotežni položaj ) : x  0 x – elongacija, pomak iz ravnotežnog položaja A – amplituda, najveći pomak iz ravnotežnog položaja

  kutna brzina ili kružna frekvencija, opisani kut u jedinici vremena 

  rad  t  s 



2  2f T

1

Nina Obradović, prof.



Energija pri titranju mehaničkih titrajnih sustava – sastoji se u načelu od 3 člana; pri tome vrijedi zakon očuvanja energije : E uk  konst. Euk  ukupna energija E k  kinetička energija Ek 

1 2 mv 2

E uk  E k  E p  E el J 

E p  potencijalna energija

E el  elastična potencijalna

E p  mgh

E el 

1 2 kx 2

Primjer jednog titrajnog sustava : UTEG ovješen ne OPRUGU

Fel  kx k

Fel  G

kx  mg  x 

F N  x  m 

mg k

Za vrijeme jednog titraja titrač prijeđe put jednak četverostrukom iznosu amplitude titranja. Grafikon energija : U promatranom slučaju nema trenja (tijelo i opruga čine zatvoreni sustav) pa je ukupna energija sustava konstantna te je jednaka zbroju kinetičke energije utega i potencijalne energije opruge. Ukupna energija sustava je onolika koliko smo energije uložili u sustav pomičući tijelo iz ravnotežnog položaja tj. tijelo smo povukli za amplitudu A. 1 Iz toga slijedi da je : E  Ek  E p  kA2 2

2. Ovisnost x(t) – jednadžba harmonijskog titranja Harmonijsko titranje usporediti ćemo sa jednolikim gibanjem po kružnici. Ono se može predočiti kao projekcija jednolikog gibanja po kružnici :

sin  

0

x r



x  r sin 

rA

   t

iz  

 t

1 2




Jednadžba harmonijskog titranja glasi : xt   A sin   t Postanak sinusoide :

Zbog veze koju znamo :  

2 , jednadžba harmonijskog titranja se može pisati i kao : T

xt   A sin

2 t T

2

Os apscisa može biti izražena preko kuta  ili preko vremena t :   t 

2 t   ~t T

Grafički prikaz harmonijskog titranja bez faznog pomaka : x   0

/s 0

Jednadžbe (1) i (2) vrijede u slučaju kada titranje počinje iz ravnotežnog položaja ( x = 0 ), tj. kada jednoliko gibanje po kružnici počinje iz točke O na gornjem crtežu. Kada titranje počinje općenito, iz bilo koje točke putanje, tada jednadžba harmonijskog titranja ima oblik :  2  x t   A sin  t    xt   A sin t    ili  T 

  početni fazni kut ( početna faza, fazni pomak )

faza titranja

Često se za početni fazni kut koristi i oznaka φ0. faza titranja – položaj tijela koje titra određenom elongacijom i brzinom ( po veličini i smjeru )

3




Grafički prikaz harmonijskog titranja sa faznim pomakom : x



t

0 

3. Ovisnost brzine o vremenu, v(t) Titranje je nejednoliko UBRZANO gibanje → elongacija i brzina su promjenjive veličine (a vidjet ćemo kasnije i akceleracija je promjenjiva) BRZINA : v(t )  v0  cos t



2 T

v0  amplituda brzine (maksimalna brzina)

v0 

2 A T

ili

v0    A

v v0

T/2

T

t

-v0

4. Ovisnost a(t), F(t) a  akceleracija ( ubrzanje ) Sila koja uzrokuje harmonijsko titranje je elastična sila. Za nju vrijedi 2. Newtonov zakon : F   kx  ma   kx : a k kA a x  sin   t gdje je x(t )  A sin   t , elongacija F  ma m m a0  amplituda akceleracije

4




Konačni oblik jednadžbe koja opisuje ovisnost ubrzanja kod harmonijskog titranja, dakle, ima oblik : m 2 a t   a 0 sin   t  2  gdje je a0   2 A Također se može pisati : a(t )   x(t ) s  Grafički prikaz vidi se na slici dolje :

a

a0



t T/2invbnvbnbbgT t

- a0 Već spomenuti 2. Newtonov zakon ( temeljna jednadžba gibanja ) daje :

F t   m  at    ma0 sin   t Kada se uzme da je : ma 0  F0 dobije se :

F t    F0 sin   t N 

F0  maksimalna sila ( amplituda sile ) F  F0  a  a 0  x  A  sin t  1 tada je, zbog svojstva funkcije sinus : 2   t  2n  1 n  0,1,2,3,..... T 2

5. Elastična opruga - titranje Jedan primjer mehaničkog titrajnog sustava je UTEG mase m ovješen na OPRUGU konstante elastičnosti k. Za titranje ovog sustava odgovorne su elastična sila Fel i inercija tijela. Fel   kx , elastična sila k

F N  x  m 

k – konstanta elastičnosti opruge

Fel  G

m – masa utega mg kx  mg  x  , elongacija k

5




IZVOD FORMULE ZA PERIOD TITRANJA T : Polazimo od 2. Newtonovog zakona i formule za elastičnu silu : (1) F  ma Fel  kx (2) Budući da znamo formule koje opisuju ovisnost ubrzanja kod harmonijskog titranja o vremenu : a   a 0 sin t a0   2 A a   2 A sin t   2 x što uvršteno u jednadžbu (1) daje : F  m 2 x ( 1*) Izjednačenjem (1*) i (2) dobijemo :  m 2 x  kx   2  Poznata nam je veza : T 

k m

m 2 , pa dobivamo : T  2 k 

Dakle, dobili smo formulu za period titranja mase m na opruzi konstante k.

6. Zakon očuvanja energije ( Z.O.E. ) - kod titranja mase na opruzi Zakon očuvanja energije kaže : u zatvorenom fizikalnom sustavu ukupna energija je očuvana. ( zatvoreni sustav – onaj za koji vrijedi da je suma vanjskih sila i momenata sila jednaka nuli ) U promatranom slučaju nema trenja ( tijelo i opruga čine zatvoreni sustav ) pa je ukupna energija sustava konstantna, te je jednaka zbroju kinetičke energije utega i potencijalne energije opruge. Z.O.E. primijenjen na slučaj harmonijskog titranja ima matematički oblik : E uk  konst .  E kin  E pot

Da biste rastegnuli oprugu za pomak x od ravnotežnog položaja, treba savladati elastičnu silu i izvršiti rad, zbog kojega se potencijalna energija opruge poveća za iznos jednak uloženom radu. Kada je opruga najviše rastegnuta, ima maksimalnu potencijalnu energiju. E pot 

1 2 kx - elastična potencijalna energija opruge ( x – elongacija ) 2

E max 

1 2 kA - maksimalna potencijalna energija ( A – amplituda ) 2

Kod titranja elongacija ( pomak ) ovisi o vremenu : x  A sin t Zbog toga će i energija ovisiti o vremenu : E pot (t ) 

1 2 kA sin 2 t J  E max  E0  1 kA 2 (4) 2 2

Tijelo koje harmonijski titra ima i kinetičku energiju, koja je također vremenski ovisna funkcija : E kin 

1 2 mv 2

vt   v 0 cos t



E kin t  

6

1 2 mv0 cos 2 t J  2

E max  E0 

1 2 mv 0 (5) 2




Sada jednadžba (1) poprima oblik : E uk  E pot  E kin 

Zbog (4) i (5) dobivamo : E uk 

1 2 1 kA sin 2  t  mv 02 cos  t  konst . 2 2

1 2 1 1 kA (sin 2  t  cos 2 t )  kA 2  mv 02 2 2 2

Maksimalna kinetička energija je u točci x  0 ( tamo je E pot  0 ) : E max 

1 2 mv 0  E uk  E 0 2

Maksimalna potencijalna energija je u točci A  0 ( tamo je E kin  0 ) : E max 

1 2 kA  Euk  E0 2

Z.O.E. kod harmonijskog titranja Ukupna energija sustava je onolika koliko smo energije uložili u sustav pomičući tijelo iz ravnotežnog položaja, tj. tijelo smo povukli za amplitudu A. Iz toga slijedi da je : E uk  E kin  E pot 

1 2 1 2 kA  mv0 2 2

Kod harmonijskog titranja dolazi do periodične pretvorbe energije, ali tako da je njihov zbroj uvijek jednak ukupnoj energiji sustava. U ravnotežnom položaju potencijalna energija tijela je nula ( x = 0 ), a kinetička energija je 1 1 maksimalna ( v = v0 ) i jednaka je ukupnoj energiji.Tada možemo pisati : mv02  kA 2 2 2 Pomoću gornje formule je moguće izračunati npr. maksimalnu brzinu, ako su nam ostale veličine poznate.

7. Matematičko njihalo ( jednostavno njihalo ) Matematičko njihalo je model ( ne postoji realno ), koji ima ove pretpostavke : 1. nit je nerastezljiva, duga i zanemarive mase 2. masa m je tzv. materijalna točka ( nema volumen – ima masu ) 3. otkloni njihala su mali ( 100 – 150 ) Sila koja ima ulogu elastične ( povratne, harmonijske ) sile je tangencijalna  komponenta ( sastavnica ) gravitacijske sile, F1 : sin  

x l

i

sin  



F1 Fg

Fg  mg

F1  Fg sin   mg sin  7

(1) Nina Obradović, prof.


gdje je :


m – masa tijela g – akceleracija slobodnog pada ( g  10ms 2 ) l – duljina njihala     Fg - gravitacijska sila Fg  F1  F2  F1 - tangencijalna ( duž tangente na putanju ) komponenta gravitacijske sile  F2 - radijalna komponenta gravitacijske sile

Za tijelo koje titra vrijedi jednadžba gibanja: F  ma (2) Kako je kod matematičkog njihala sila koja podržava titranje upravo sila F1 , izjednačavanjem jednadžbi (1) i (2) dobit ćemo : mg sin   ma g sin    2 x g x 2 g  2x    l l Otprije znamo da je :  

2 , pa formula za period jednostavnog njihala glasi : T  2 T

l g

s 

2

g 4 2 g 4 2 l  2  2 Kratki izvod :     2  T  l l g T T 

Gdje se sve može iskoristiti teorija o jednostavnom njihalu : ( primjena matematičkog njihala ) 1. već je G. Galilei koristio njihalo kao mjerilo vremena ( ura njihalica ) 2. mjerenje akceleracije slobodnog pada ( zapravo se mjeri T, a g se računa ) - ustanovljene su male razlike za g na različitim mjestima na Zemlji - g raste s geografskom širinom ( smanjuje se udaljenost njihala od središta Zemlje ) - g ovisi o gustoći prirodnih objekata ( na području mora g je veći nego na kopnu )

8. LC – krug ( Thomsonova formula ) Električni titrajni krug Električni titrajni krug sastoji se od kondenzatora ( kapacitora ) i zavojnice. Shematski prikaz LCkruga je na slici dolje : C  kapacitet kondenzatora F, farad  L  induktivnost zavojnice H , henri 

U LC – krugu nastaju električni titraji. Kako ? Početni uvjet je da se kapacitor napuni električnim nabojem, koji se dovedi iz nekog vanjskog strujnog kruga. Prekidač u LC – krugu je pri tome otvoren. Ako nakon nabijanja kondenzatora zatvorimo prekidač, dolazi do pojave slobodnih električnih titraja :

8




Struja počinje teći sa + ploče (gornje ploče) kapacitora (kapacitor se prazni) prema zavojnici, gdje zbog pojave samoindukcije postepeno raste prema maksimalnoj vrijednosti. Nakon izlaska iz zavojnice ( također postepeno – zbog samoindukcije) struja puni kapacitor (donja ploča postaje + nabijena). Time je opisano pola titraja. Dalje se nastavlja slično. Struja počinje teći sa donje ploče prema zavojnici .... itd. Značenje veličine L : Da nema zavojnice u strujnom krugu, struja bi „odmah“ poprimila maksimalnu vrijednost. Induktivnost L ovdje predstavlja nešto poput „tromosti“ sustava u mehaničkim titrajnim sustavima.

Osim što naboj na kondenzatoru periodično mijenja svoju vrijednost (titra), titraju također i napon i jakost struje. To se može prikazati grafički kao na slikama dolje : Q  Q0 cos   t

  kružna frekvencija, pulsacija struje Q  naboj C, kulon

Q0  amplituda naboja

u  u 0 cos   t u 0  maksimalni napon ( amplituda napona )

i  i0 sin   t i  jakost električne struje A, amper 

i0  maksimalna jakost struje ( amplituda struje )

Formula za period titranja LC - kruga Period titranja LC – kruga ili tzv. Thomsonovu formulu dobit ćemo iz činjenice da induktivni i kapacitivni otpor kruga moraju biti jednaki. Tada je ukupni otpor kruga najmanji, pa je struja koja teče krugom maksimalna.

RL  RC

LC 2  1   2 

1 LC

Budući nam je otprije poznata veza : T 

2 

1 L  C



 T  2

LC Thomsonova formula

  2  f Kod slobodnog titranja običaj je veličinu f obilježavati sa f 0 i zvati : vlastita ili rezonantna frekvencija LC – kruga

9




U LC – krugu se periodično mijenjaju energija električog polja i energija magnetskog polja. Za vrijeme titranja dolazi do pretvorbe energije, tj. do periodične izmjene električne i magnetske energije. U početnom trenutku nabijeni kondenzator sadržava električnu energiju. Njegovim izbijanjem nastaje struja koja u zavojnici stvara magnetsku energiju. U daljnjem koraku struja nabija kondenzator suprotnim nabojima od početnih. Tako se magnetska energija pretvara opet u električnu i cjelokupni se proces ponavlja. Ovo titranje analogno je mehaničkom harmonijskom oscilatoru u kojem se u početnom trenutku uspostavi otklon iz položaja ravnoteže i zatim ga se pusti da slobodno titra. Pritom se početna potencijalna energija pretvara u kinetičku i zatim obrnuto te nastaje titranje.

1 Q2 EE  2 C

EB 

- energija električnog polja

1 2 Li - energija magnetskog polja 2

Zakon očuvanja energije (Z.O.E.) kaže da ukupna energija sustava mora biti stalna : Euk  E E  E B  konst. I električna i magnetska energija su sinusne funkcije vremena : E

1 2 1 EE  Q t    Q02 cos 2   t J 2C 2C

 

EB 

1 2 1 2 2 Li  Li0 sin   t J 2 t  2

 

Q i0  0 t

EE

Q t

EB

i

–Q

0

+Q

9. Prisilno titranje U realnim titrajnim sustavima disipativne sile ( sile otpora ) prigušuje titranje, što ima za posljedicu gubitak energije, pa tijelo nakon nekog vremena prestaje titrati. Da bi se nadoknadila energija titranja, na sustav treba stalno djelovati vanjska (periodična) sila. Posljedica djelovanja takve sile biti će titranje sustava frekvencijom vanjske sile, nakon prijelaznog vremena. Pri prisilnom titranje sustav počne titrati vlastitom frekvencijom  0 i pritom nastoji slijediti titranje vanjskog oscilatora: rezultantno titranje je superpozicija (zbroj) tih dvaju titranja. Nakon određenog vremena vlastito titranje zbog prigušenja utrne i sustav titra frekvencijom vanjskog oscilatora, bez obzira na početne uvjete i vlastitu frekvenciju. Da bi prijenos bio optimalan, frekvencija vanjske sile mora biti jednaka vlastitoj frekvenciji titrajnog sustava (titrača). U tom slučaju kažemo da je nastupila rezonancija. Dakle, za    0  REZONANCIJA

(  0  2f 0 , f 0  vlastita ili rezonantna frekvencija )

rezonancija – pojava maksimalnog (optimalnog) prenošenja energije s jednog titrajnog sustava (davatelj, predajnik) na drugi ( primatelj, prijemnik ) kada su im vlastite frekvencije jednake.

10




Grafički prikaz krivulje rezonancije Sljedeća slika prikazuje ovisnost amplitude titranja o frekvenciji vanjske sile. Nacrtano je nekoliko rezonantnih krivulja za isti sustav, ali za različite otpore sredstva. Rezonantne karakteristike danog titrajnog sustava su bolje izražene što je rezonantna krivulja uža i viša. Ako se sa  označi širina rezonantne krivulje na polovici njezine visine, možemo reći da je rezonancija to oštrija što je  manji.

Naime, nije svejedno je li, na primjer,  =10 s 1 za titrajni sustav koji ima  0 =1 000 000 s 1 ili za sustav za koji je  0 =100 s 1 . U prvom slučaju  iznosi samo stotisući dio vlastite frekvencije, a u drugom slučaju čak deseti dio. Očito je u prvom slučaju rezonancija mnogo oštrija. Zato se, kao veličina koja karakterizira kvalitetu rezonancije, uvodi takozvani Q-faktor ili faktor dobrote. On se za slučaj rezonancije definira omjerom :

Q

0 

  širina rezonantne krivulje na polovini amplitude

Pokazuje se da tako definirani faktor-Q u cijelosti odgovara faktoru-Q definiranom u prigušenom titranju. Što je Q veći, rezonantne karakteristike su bolje. To znači da titrajni sustav lakše apsorbira energiju iz okoline ako je ona dana titrajima frekvencija približno jednake  0 . Q-faktor je to veći što je manja sila otpora sredstva. Prisilne oscilacije, a pogotovo pojava rezonancije, imaju značajnu ulogu u znanosti i tehnici i u mnogim praktičnim slučajevima.

11






mehanička rezonancija ljuljačka (pokus sa metronomom na ljuljački) ili Bartonovo njihalo :



ugađanje glazbenih instrumenata – akustična rezonancija



električna rezonancija biranje radio stanica

Primjeri :

U praksi, vezano za faktor-Q, ponekad je dobro da je on što manji, a ponekad što veći :  Q-faktor treba biti što manji u sljedećim primjerima o kada u radu stroja dođe do pojave prisilnih titraja dijelova stroja o kod visokih zgrada, mostova i tornjeva postoji velika opasnost od urušavanja za vrijeme potresa  Q-faktor treba biti što veći u komunikacijskim sustavima ( antena je otvoreni LC-krug ) o jer je poželjno da sustav što lakše apsorbira energiju, tj. da titra što dulje

10. Otpori u krugu izmjenične struje Ohmov zakon za izmjeničnu struju Omski otpor – otpor koji pružaju metalni vodiči i istosmjernoj izmjeničnoj struji - uzrok postojanja otpora su sudari slobodnih elektrona sa defektima kristalne rešetke metala i sa fononima ( izraz za kvante titranja u metalima)

- omski otpor

i

u U max  sin t U max    sin t R R R

struja i napon su u fazi

i   max  sin t

12




Induktivni otpor – otpor koji ima zavojnica u izmjeničnom strujnom krugu - postoji zbog samoindukcije zavojnice

R L  L  2f  L

  i   max  sin  t   2 

 max 

U max L

Induktivna struja zaostaje za jednu četvrtinu perioda iza napona ( ili za Za induktivnu struju vrijedi Ohmov zakon :



 ). 2

U RL

Kapacitivni otpor – otpor koji izmjeničnoj struji pruža kapacitor ( kondenzator ) - postoji jer kapacitor treba vremena za punjenje i pražnjenje ( zbog odbojne sile između istoimenih naboja na pločama )

RC 

Naboj i napona na pločama kapacitora :

1 1    C 2f  C

Q  C U

u  U max  sin t

 ili se može reći da kapacitivna struja (struja koja prolazi kapacitorom) 2 prethodi naponu za jednu četvrtinu perioda. Napon kasni za strujom za

i  C  U max    cos t

  i  C U max    sin  t   2    i   max  sin  t   2 

Za kapacitivnu struju vrijedi Ohmov zakon :



U Rc

RLC - krug Kada je na jedan izvor napona priključeno više pasivnih elemenata ( R, L, C ) dobiven je složeniji strujni krug izmjenične struje. Elementi strujnog kruga mogu se prikazati shematski, jednadžbama i vektorskim dijagramima. Sada ćemo vidjeti kako se računa ukupni otpor ( tzv. IMPEDANCIJA ) u serijskom spoju RLC – kruga : RLC – krug , osim zavojnice i kapacitora u njemu sa nalazi još i omski otpor

13




Kako se vidi sa slike, ukupni napon sastoji se od 3 člana : U  UC UL UR Ukupni otpor čitavog LCR – kruga nazivamo impedancija, i računa se prema formuli : 2

R 2   R L  RC 

Z

Električna impedancija je omjer napona i struje :

I

U Z

Gornja formula je poznata kao Ohmov zakon za izmjeničnu struju. Struja koju sinusoidalni napon daje iz izvora u ma kakvu kombinaciju linearnih elemenata R, L i C bit će također sinusoidalna, ali će između struje i napona postojati fazna razlika, a to je kut faznog pomaka  . Vektorski dijagram napona i struje za neko induktivno opterećenje izvora Zaostajanje u fazi se računa prema sljedećoj relaciji :

tg 

RL  RC R

Snaga izmjenične struje : Zbog pomaka u fazi struje prema naponu, snaga pri nekom opterećenju neće uvijek biti jednaka umnošku jakosti struje I i efektivnog napona U . Za snagu izmjenične struje, koja se još naziva stvarna snaga, vrijedi formula : P  UI cos 

I

I0

 0,707 I 0 , efektivna struja

U

U0

 0,707U 0 , efektivni napon 2 2 Umnožak UI zove se kod potrošača izmjenične struje prividna snaga. Ona se (za generatore, motore, transformatore) izražava u volt-amperima ( VA, kVA, MVA ), a stvarna snaga u watima (W, kW, MW ).

11. Snaga izmjenične struje Zbog pomaka u fazi struje prema naponu, snaga pri nekom opterećenju neće uvijek biti jednaka umnošku jakosti struje I i efektivnog napona U . Za snagu izmjenične struje, koja se još naziva stvarna snaga, vrijedi formula :

P  UI cos    fazni pomak između struje i napona

tg 

RL  RC R

cos   faktor snage

14




I U

I0 2 U0 2

 0,707 I 0 , efektivna struja  0,707U 0 , efektivni napon

U ovisnosti o faktoru snage, snaga može biti : 1. potpuno iskorištena (   0 ) ; čisto radno (omsko) opterećenje 2. djelomično iskorištena ( 0    90 0 ) 3. potpuno neiskorištena (   90 0 ) ; čisto induktivno ili čisto kapacitivno opterećenje Efektivna vrijednost struje ( ief = Ief = I ) ili napona ( uef = Uef = U ) je vrijednost koju ima istosmjerna struja ili napon da proizvede isti toplinski učinak kao i odgovarajuća izmjenična struja.

U ef  U 

U0

I ef  I 

2

I0 2

Maksimalna vrijednost struje ( i0 = Imax ) ili napona ( u0 = Umax ) je najveća vrijednost koju izmjenična struja postigne za vrijeme jednog perioda T.

Grafički prikaz :

Napomene :

U U0 U I ef  ef I R R R 2. Umnožak UI zove se kod potrošača izmjenične struje prividna snaga. Ona se (za generatore, motore, transformatore) izražava u volt-amperima ( VA, kVA, MVA ), a stvarna snaga u watima (W, kW, MW ). 3. Djelotvornost (korisnost) nekog trošila ne možemo prosuđivati samo na osnovi napona i struje što ih trošilo prima, jer umnožak tih veličina daje samo prividnu vrijednost snage. Djelatnu (radnu) snagu daje samo struja u fazi sa naponom, a ostatak snage, tj. energija vraća se natrag u izvor. 1. I dalje vrijedi Ohmov zakon ( R je omski otpor zavojnice ) : I 0 

12. Prigušeno titranje Kod dosadašnjeg razmatranja harmonijskog titranja zanemarili smo djelovanje sredstva u kojem je tijelo titralo. a) neprigušeno titranje - nema gubitaka energije ( idealno titranje, sile otpora nema , omski otpor je nula kod LC - kruga) x x(t )  A sin(  0 t   ) t

0 

15

k , (vlastita) kružna frekvencija m




Ako postoji otpor sredstva u kojem se tijelo giba, on uzrokuje prigušenje titranja, odnosno postupno smanjivanje amplitude. I neprigušeno i prigušeno titranje pripada grupi tzv. slobodnog titranja. To je takvo titranje kod kojega je sustav jedanputa pobuđen na titranje i dalje prepušten sam sebi. b) prigušeno titranje - energija se gubi na savladavanje sile trenja; amplituda titranja se smanjuje x

Postoji jače i slabije prigušenje (slike dolje ) :

t

ili

Amplituda je vremenski ovisna funkcija. Kod slabog prigušenja vremensku ovisnost amplitude možemo predočiti slijedećim grafom ( plavo) : x  - koeficijent prigušenja At   A e   t 0

Jednadžba prigušenog titranja : t

x(t )  A0 e t sin(t   ) A (t) , amplituda prigušenog titranja

02 

k ,  0  2  f 0 , vlastita frekvencija titrajnog sustava m

  kružna frekvencija ( kutna brzina ) prigušenog titranja

   02   2

Q – faktor Prigušeno titranje opisuje se Q - faktorom, koji se često naziva i faktor kvalitete ili dobrote. Faktor kvalitete definiran je omjerom elastične sile i sile otpora sredstva, tj. to je veličina koja pokazuje koliko puta je elastična sila veća od sile otpora sredstva :

Q

Fel  max .  Fotp max 

ili se definira kao omjer : Q 

Wn Wn  Wn 1 

Wn  energija titrajnog sustava pri n-tom titraju Wn 1  energija sustava pri (n+1) -om titraju (Wn  Wn1 )  energija koja se izgubi u jednom titraju = gubitak energije u jednom titraju Q - faktor je veći što je prigušenje manje, tj. što je titrajni sustav bliži idealnom. U konkretnim primjerima to izgleda kao što je navedeno dolje. Sila otpora sredstva razmjerna je trenutačnoj brzini tijela v, što u amplitudnom položaju vodi na proporcionalnost sa maksimalnom brzinom : Fotp    v 0      A   koeficijent otpora sredstva

16




kx m 2 A m m k Tada je : Q      A A   m

 za mehaničke titrajne sustave Q 

 ili za LC– krug Q 

mk 

1 L  ( vidi tablicu u dolje ) R C

DODATAK : Pri usporedbi mehaničkih i električnih titrajnih sustava postoji analogija prikazana u tablici : Mehanički titrajni Električni titrajni sustavi sustavi x, pomak Q, naboj m L v i 1 k C E pot Eel E kin

E mag

F 0 

ui , (  ) 0

 

R

 2m

 

R 2L

2 2 Npr. za RLC – krug imamo :    0  

 R        2L 

2

2 0

 

R 2L

17


HARMONIJSKO_TITRANJE - skripte

Recommend Documents