24 de Noviembre de 2014 7:15
´ CURVAS DE PERSECUCION Chauca Bryan1 * Chasillacta Milton 1 ** Abstract Se denomina curva de persecuci on o´ n a la curva que describe un objeto que se desplaza a una velocidad w constante, y que persigue de manera optima o´ ptima a otro que se desplaza en l´ l ´ınea ınea recta a una velocidad v tambi´ tambien e´ n constante. Formando una curva que se la denomina tractriz.
Keywords Curvas de Persecuci on o´ n - Trayectoria - Coordenadas Rectangulares - Coordenadas Polares. 1
´ ´ Departamento de Ciencias Exactas, Escuela Polit ecnica del Ej ercito, Sangolqu´ı, ı, Ecuador E cuador * bryan and@hotmai
[email protected] l.es ** junior
[email protected]
´ 1. Introduccion ´ 1.1 Curva Curvas s de Persecuci Persecuci´on La curva de persecuci on o´ n es el movimiento que define un objeto cualquiera cuando intenta perseguir a otro que se desplaza ´ en l´ l ınea ınea recta. Esto en un principio puede parecer muy complicado de plantearse matem aticamente a´ ticamente pero en realidad solo es necesario deducir la curva que forma dicha persecuci on. o´ n. De forma general la llaman llaman tractriz. Lo primero para resolver resolver el problema es plantearlo adecuadamente, entendiendo como se produce la persecuci on. o´ n. Lo ideal es ir directam directamente ente hacia hacia el objeto e ir corrigiendo la trayectoria seg´un un se desplace el objetivo.
2. Prob Problemas lemas de aplicac aplicaciones iones Problema 2.1 Un paso de insectos en el borde de una mesa giratoria de radio a que esta´ girando a una velocidad angular constante constante ω . Este se mueve en l´ l´ınea ınea recta hacia el centro de la tabla a una velocidad constante V r r . o´ n de su ruta en coordenadas polares, en relacion o´ n a los ejes fijos en el espacio. (Pista θ es el ´angulo angulo a a) Encuentra la ecuacion traves e´ s del cual la plataforma giratoria ha girado en el tiempo t tiempo t y y r es es la distancia del insecto hasta centro de la mesa en θ θ d θ d θ α . ese momento, entonces = ω , r = r α dt dt datos a = 10 pies, pies, α = = b) Con los siguientes datos a
π
rad /s, Vo = 1 pies/seg. seg. ¿Cuantas a´ ntas revoluciones se han hecho de la mesa en 4 el momento en que el insecto llegue al centro?
Condiciones Iniciales ω = =
θ d θ dt
V insecto insecto = V r r dr
= V r r dt θ d θ r = V φ φ dt θ d θ α r = r α dt
(1) (2) (3) (4) (5)
´ — 2/8 CURVAS DE PERSECUCION
Soluci´on a) Dividimos ecuaci o´ n (5) para (3) para eliminar el par a´ metro dt d θ r dt = r α dr V φ dt
Simplificamos d θ dr
=
α V r
Separamos variables e integramos con sus respectivos limites: la integral a la izquierda de 0-θ y la integral de la derecha de r a.
−
θ V r
α
0
a
d θ =
dr
En la ecuaci´on (6) como V r
α
θ
V r son constantes, las sacamos fuera de la integral α
a
d θ =
0
(6)
r
dr
r
Integramos la ecuaci o´ n anterior V r θ = a α
− r
(7)
Despejamos r de la ecuaci o´ n (7) para obtener la ecuacion de la trayectoria. r = a
− V α θ r
(8)
Soluci´on b) Cuando r=0 el insecto a llegado al centro de la mesa; tenemos como condiciones a = 10 f t , V r = 1 f t /s, α = tanto remplazamos estos valores en la ecuaci o´ n de la trayectoria (8) y encontramos θ 0 = 10
π 4
rad /s por lo
− π 1 θ 4
Despejamos θ θ =
5 π rad 2
(9)
De la ecuaci´on (9) transformamos de radianes a revoluciones 5π rad 1rev 5 = rev 2 2π rad 4
·
Por lo tanto 1 θ = 1 revoluciones 4
(10)
´ — 3/8 CURVAS DE PERSECUCION
Figure 1.
Gr´afico de la trayectoria
Problema 2.2 ´ comienza a Un nin˜ o se situ´ a en A, Por medio de una cadena de l pies de largo, que tiene un barco, que esta´ en el agua en B. El caminar en una direcci o´ n perpendicular por AB, manteniendo siempre la cuerda tensa. Encuentra la ecuaci o´ n de la trayectoria del barco. No haga caso de la altura del nin˜ o por encima de la horizontal y se supone que la cadena es siempre es tangente a la dy trayectoria. La curva resultante se conoce como un tractriz. Sugerencia. La pendiente de la tractriz es: tan θ = . dx Condiciones Iniciales tan θ =
dy
(11)
dx
Obtenemos el seno del angulo (π sin(π
− θ ) en tri´angulo rect´angulo de acuerdo a la Figura 1.
− θ ) = yl
(12)
Aplicamos en la ecuaci o´ n (12) la identidad trigonom e´ trica del seno de la resta de dos ´angulos sin π cos θ
− cos π sin θ = yl
Resolviendo obtenemos: sin θ =
y
(13)
l
Obtenemos el coseno del angulo (π cos(π
− θ ) en tri´angulo rect´angulo de acuerdo a la Figura 2.
− θ ) = yl
(14)
Aplicamos en la ecuaci o´ n (14) la identidad trigonom e´ trica del coseno de la resta de dos angulos cos π cos θ
− sin π sin θ =
− l2
y2
l
Resolviendo obtenemos: cos θ =
−
− l2
y2
l
(15)
Seg´un ecuaci´on (11) ; tenemos: dy sin θ = dx cos θ
(16)
´ — 4/8 CURVAS DE PERSECUCION
Remplazamos las ecauci´ones (13) y (15) en la ecuaci´on (16) y
−
l
=
− l2
y2
dy dx
l
Simplificamos y separamos variables
− − l2
dx =
y2
y
dy
Integramos y obtenemos la ecuaci o´ n de la curva de persecuci on ´ x = l ln
|
l+
l 2 + y2
y
|−
− l2
y2
(17)
Problema 2.3 Un piloto siempre tiene la punta de su avi o´ n apuntando hacia una ciudad que est a´ a 400 millas al Oeste de ´el. Un viento sopla desde el sur a una velocidad de 20 millas / hora. Su velocidad es de 300 millas / hora. Encuentra la ecuaci o´ n de su trayectoria. Resuelva de forma independiente, mediante el uso de tanto coordenadas rectangulares y polares.
Figure 2.
Coordenadas Polares
Soluci´on Sea P ( x, y) la posici´on del avio´ n en cualquier momento t . La diagonal del paralelogramo formado por los vectores v y w representa la direccio´ n real y la magnitud de la velocidad del avio´ n en el momento t . La direccio´ n de v debe ser tangente a la trayectoria del avi o´ n en P. Por lo tanto, debe ser la pendiente dy/dx .
dx dt dy dt
= v cos θ
−
(18)
= v sin θ
−
Por lo tanto la velocidad real en y , tomando en cuenta la velocidad del viento es: dy dt
= v sin θ + w
−
(19)
En la Figura 2 nosotros vemos que: sin θ =
y
x2 + y2
(20)
´ — 5/8 CURVAS DE PERSECUCION
x
cos θ =
(21)
x2 + y2
Sustituyendo estos valores en la ecuaci on ´ (18) y en (19) obtenemos que: dx dt dy dt
− −
vx
=
(22)
x2 + y2 vy
=
+w
x2 + y2
(23)
Dividimos la ecuaci o´ n (23) por (22) para eliminar el par a´ metro dt .
x2 + y2
−vy + w
dy
−
x2 + y2 vx
dt = dx
x2 + y2
dt
Simplificamos los extremos de la fracci o´ n:
−vy + w x = dx −vx dy
2 + y2
y
=
−
w v
x2 + y2
x
Para mayor comodidad, decimos que: k =
w v
,
Llegamos a una ecuaci´on homog´enea donde y = ux, entonces dy = udx + xdu xdy = ( y
− k
x2 + y2 )dx
Entonces realizamos el reemplazo y = ux y d y = udx + xdu x(udx + xdu ) = (ux
− kx
x2 + (ux)2 )dx
Simplificamos a x en ambos lados de la ecuaci o´ n, entonces tenemos: xdu = (u
1 + u2 )dx
− k
− udx
(24)
´ (24) y separamos las diferenciales a cada lado, as´ı: Simplificamos t e´ rminos semejantes en la ecuaci on du
√
1 + u2
=
dx k x
−
(25)
Las condiciones iniciales son: t = 0, x = a, y = 0, u = y/ x = 0. La ecuaci´on diferencial (25) ser´a una integral definida. y/ x
0
ln
x
d ( y/ x)
1 + ( y/ x)
2
−
= k
a
y x
+
1+
y
2
x
dx x
= k ln
−
Tenemos que u = y/ x
ln u +
1 + u2 =
−k ln
x
a
x
a
´ — 6/8 CURVAS DE PERSECUCION
Aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos: u+
− − − −
1 + u2 =
k
x
1 + u2 =
a
k
x
2
a
k
x
a
u + u2
Reemplazo el valor de k por w /v 2
− − − x
x
k
u =
a
k
a
1
(26)
Eliminamos t´erminos semejantes y optenemos la ecuaci o´ n (26). 1 u = 2
− − k
x
x
a
k
a
Tenemos que u = y/ x y =
x
2
− − k
x
x
a
k
a
Multiplicamos a la ecuaci o´ n (27) por
y =
a
2
− − x
1 k
x
a
x
x
a
y
a
(27)
para no alterarla
k +1
a
Reemplazo el valor de k por w /v y =
a
2
− − x
1 (w/v)
a
x (w/v)+1
a
Los datos del ejercico son: a = 400millas, k = w/v, w = 20millas/hora, v = 300millas/hora. La ecuaci´on (28) es: y = 200
− x
400
14/15
x
16/15
400
Problema 2.4 Resoluci´on por coordenadas polares.
Figure 3.
Coordenadas Polares
(28)
´ — 7/8 CURVAS DE PERSECUCION
Los componentes de la velocidad del viento w en las direcciones radiales y transversales en la Figura 3 son:
dr dt
= w sin θ (29)
d θ r = w cos θ dt
Por lo tanto la velocidad real del avi o´ n en la direcci o´ n radial, teniendo en cuenta la velocidad del viento w, es: dr dt
= v + w sin θ
−
(30)
Dividimos la ecuaci o´ n (30) por (29) para eliminar el par a´ metro dt dr
−v + w sin θ
dt = d θ r dt
w cos θ
−v + w sin θ
dr = rd θ dr
wcosθ v = sec θ + tan θ rd θ w Para mayor comodidad, decimos que: k =
−
− vw
(31)
dr
= (k sec θ + tan θ )d θ r Su solucio´ n, por integraci o´ n, es: ln r + ln c = k ln sec θ + tan θ
||
||
|
| − ln | cos θ |
Que puede ser escrito como k
cr = ( sec θ + tan θ ) sec θ
(32)
Las condiciones iniciales son: t = 0, r = a, θ = 0. Sustituyendo estos valores en (32) tenemos: ca = 1
1 a La ecuacio´ n de la trayectoria es, por lo tanto, despu e´ s de sustituir k por su valor en (31) c =
r = a(sec θ + tan θ )
−v/w sec θ
Multiplicamos ambos lados de la ecuaci´on por 1/ sec θ , asi tenemos: rcosθ = a(sec θ + tan θ )
−v/w
(33)
Los datos del ejercico son: a = 400millas, k = w/v, w = 20millas/hora, v = 300millas/hora. La ecuacion (33) ´ es:
−15
rcosθ = 400(sec θ + tan θ )
(34)
3. Conclusiones El presente trabajo nos muestra la trayectoria que sigue un objeto persiguiendo a otro. El primer objeto no puede adivinar lo que va a ir ocurriendo y, en consecuencia, no se dirige hacia donde estar´ıa el otro abjeto cuando este lo pudiera alcanzar, sino que suele ir hacia donde esta´ el objeto en el mismo instante en que lo ve. Estas trayectorias las podemmos obtener, es necesario comprender la curva que se marca (tractriz) y encontrar su ecuaci´on.
´ — 8/8 CURVAS DE PERSECUCION
References [1]
Morris Tenenbaum - Harry Pollard, Ordinary Differential Equations. , Dover Publications, 1985
[2]
http://jlmat.blogspot.com/2013/12/curvas-de-persecucion.html
[3]
http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html