CURVAS DE DECLINACION. Marco A. Ruiz.
.
1
2. CURVAS DE DECLINACION.
PRESENTACIÓN.
Una curva de declinación representa un gráfico ó una expresión que permite estimar el comportamiento del caudal con el tiempo ó con volumen de aceite producido total.
A partir de los datos de tasa de producción de un pozo se seleccionan valores para intervalos de tiempo definidos a partir de los cuales se estima la declinación en un pozo productor. Tabla 1. Ejemplo de Datos de Producción utilizados para Evaluar la Declinación en un Pozo.
Mes
Con una curva de declinación se puede calcular las reservas de petróleo de un yacimiento, el incremento de la producción acumulada en un intervalo de tiempo ó el pronóstico de la tasa de flujo a un tiempo dado. Los modelos de declinación representan técnicas de pronóstico desarrolladas a partir de la historia de producción conocida para un intervalo de tiempo dado. La Figura 1 muestra una curva típica para la declinación de tasa de flujo con el tiempo.
Año
Bbl/mes Caudal q
Meses Tiempo t
∆t
1
Enero
1958
28200
0
0
2
Julio
1958
15680
6
6
3
Enero
1959
9700
12
6
4
Julio
1959
6635
18
6
5
Enero
1960
4775
24
6
6
Julio
1960
3628
30
6
7
Enero
1961
2850
36
6
8
Julio
1961
2300
42
6
9
Enero
1962
1905
48
6
10
Julio
1962
1610
54
6
11
Enero
1963
1365
60
6
12
Julio
1963
1177
66
6
13
Enero
1964
1027
72
6
CONCEPTOS. Tasa de declinación ó Declinación. Se representa por D y representa el cambio del caudal de producción con el tiempo. Sin embargo, se expresa como una fracción, como un coeficiente, del caudal de producción instantáneo q . La declinación se expresa en unidades de tiempo a la menos uno.
Figura 1. Forma Típica de la Declinación de la Tasa de Producción con el Tiempo para un Pozo Productor.
D = −
1 dq
q dt
(2.1).
2
2.1 DECLINACION EXPONENCIAL. EXPONENCIAL
En la forma de diferencias, se expresa como:
(∆q / q ) D = −
(2.2)
∆t
La expresión (2.2) ofrece una forma de estimar el valor de D para cada caudal q sí se tiene un registro de la tasa de producción con el tiempo. Exponente de Declinación Declinación.. SSe representa por b y representa la variación del inverso de la tasa de declinación con el tiempo. Su valor está entre 0 y 1 y de acuerdo con mecanismos de empuje puede asumir los siguientes valores para b : Gas en Solución Capa de gas Drenaje por Gravedad Empuje Hidráulico
: : : :
0.5 < b < 0.85. 0.5 < b < 0.85 0.0 < b < 0.40 0.0 < b < 0.2
Se habla de tres tipos de declinación dependiendo del valor del exponente de declinación. Además, cada tipo de declinación se caracteriza por desarrollar una relación típica – un gráfico - del caudal con tiempo. De acuerdo al valor del exponente de declinación - b -, se tiene:
⋅ ⋅ ⋅
Tipo Exponencial: Hiperbólica: Armónica:
Exponente de declinación b . 0.0 0.0 < b <1.0 1.0
La declinación exponencial aparece con mayor regularidad debido a su simplicidad en su aplicación. Para el caso de declinación hiperbólica aparece la necesidad de estimar con precisión el valor del exponente b . Petróleo Primar Primario io Móvil (RPPM). (RPPM . Pronóstico del volumen de petróleo acumulado producido al momento en el cual la tasa llega a cero.
Se caracteriza por una declinación ó tasa de declinación constante. Así, se puede plantear:
D = −
1 dq q dt
dq
−
q
= cons tan te
(2.3)
= D dt
ln q = − Dt + C
(2.4)
La expresión anterior define un gráfico de Log (q) en función del tiempo como una línea recta cuya pendiente m resulta equivalente a: m =
− D
(2.5)
2.303
Una relación entre caudal y tiempo se puede mostrar como: q
∫
dq
qi
ln
q
q qo
t
= − D ∫ dt to
= − D ( t − t o )
q = q o e − D t
(2.6)
3
La expresión (2.6) facilita estimar el pronóstico del caudal futuro para un tiempo de producción determinado a partir de un caudal inicial conocido. La expresión (2.6) facilita estimar el pronóstico del tiempo recorrido para alcanzar un caudal q a partir de un caudal inicial conocido. Para la situación específica en el cual q representa el caudal limete económico, este se puede estimar: q f =
U .S producción cos tos / tiempo U .S ingreso neto / Barril
=
Barril tiempo
De la expresión (2.6) se puede inferir la forma lineal del gráfico del caudal en función del tiempo en escala semi logaritmica. Log q = Log q o − D t
La Figura 2 muestra la forma de la declinación para un modelo Exponencial ó geométrico.
Figura 2. Forma de la Declinación del Caudal para un Modelo Exponencial.
RPPM =
Para el volumen de petróleo producido acumulado a partir de un tiempo cero hasta que el caudal asuma el valor q: t
∫
N P = q o e − D t dt = − 0
qo D
e − D*t
t 0
=
qo D
(1 − e − ) = 1 (q D*t
D
o
− q)
La expresión muestra que un gráfico de caudal en función del Petróleo producido – q - vs. NP, en un sistema coordenado normal, debe tener tendencia lineal con pendiente equivalente a la declinación D . Las reservas de petróleo móvil se pueden estimar:
D
qi
(2.8)
Procedimiento para Pronósticos de la Declinación de la Producción con un Modelo Exponencial. Procedimiento Analítico. Estimar el valor de la declinación D . Para cada fila de la Tabla 1 se puede ⋅ estimar la declinación D de acuerdo a la expresión (2) y se toma la media de la columna ó la moda como el estimativo buscado. La Tabla 2 esquematiza un ejemplo para los datos de la Tabla 1. Estimar el tiempo requerido hasta alcanzar al valor de caudal dado. Se aplica la ⋅ expresión (2.6) a partir de un caudal inicial. Estimar con la expresión (2.6) el caudal alcanzado para un tiempo de ⋅ producción definido. Estimar con la expresión (2.7) el pronóstico de volumen de petróleo producido ⋅ hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
(2.7)
1
4
Para un tiempo inicial t o se puede plantear que:
Tabla 2. Estimativo de la Declinación D. Bbl/dia
Meses
Caudal q
Suma t
∆t
∆q
∆q/∆t
1/D D qave / (∆q/∆t) mes-1
q ave
Tave
0
0
0
0
3
6
-440
-73,3
-10,23
-0,0978
Do = C qob
(2.10)
Al resolver para la constante se obtiene:
970
0
530
6
750
326
12
428
9
6
-204
-34,0
-12,59
-0,0794
224
18
275
15
6
-102
-17,0
-16,18
-0,0618
166
24
195
21
6
-58
-9,7
-20,17
-0,0496
126
30
146
27
6
-40
-6,7
-21,90
-0,0457
100
36
113
33
6
-26
-4,3
-26,08
-0,0383
81,4
42
90,7
39
6
-18,6
-3,1
-29,26
-0,0342
67,4
48
74,4
45
6
-14
-2,3
-31,89
-0,0314
56,6
54
62
51
6
-10,8
-1,8
-34,44
-0,0290
48
60
52,3
57
6
-8,6
-1,4
-36,49
-0,0274
41,6
66
44,8
63
6
-6,4
-1,1
-42,00
-0,0238
36,2
72
38,9
69
6
-5,4
-0,9
-43,22
-0,0231
C =
Do
(2.11)
q ob
Se puede plantear de (2.1) y (2.11) la siguiente expresión general para la declinación hiperbólica.
q − = D0 q dt q0 dq 1
b
(2.12)
En esta declinación los parámetros D0 , q0 y b se consideran constantes y constituyen parámetros a estimar de los datos de producción conocidos.
⋅ ⋅ ⋅
⋅
Procedimiento Grafico. Graficar en papel Semilogaritmico los datos de producción en función del tiempo. Delinear la mejor recta a partir de los datos. Estimar la declinación D a partir del gráfico. Leer del gráfico, el tiempo requerido hasta alcanzar un valor de caudal dado. Leer del gráfico el caudal alcanzado para un tiempo dado. Estimar con la expresión (2.7) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
Al separar variables e integrar se puede notar:
− q −(b +1) dq = q
D0 q0
− ∫ q −(b +1) dq =
D0
qi
2.2 DECLINACION HIPERBOLICA. La variación de caudal de producción por unidad de tiempo, expresada como una fracción del caudal de producción, resulta proporcional a una potencia de la tasa des producción. D = C q
b
(2.9)
1
b
(q −
q −b b
b
=
− q0−b ) = q0− b b
+
dt
q0b
t
∫ dt 0
D0 t
1
q 0b
q0b D0 t
5
1 q = q0 + 1 b D0 qb =
t
q ob
1/ b
(2.13)
(2.14)
1 + b D0 t La expresión (2.14) permite denotar la forma parabólica de un grafico de caudal en función del tiempo para una escala semilogaritmica, Figura 3.
t
t
∫
∫ (1 + b D
0
0
N P = q (t ) dt = q i
N P =
N P =
N P =
q0
0
t )
−1 / b
[(1 + b D t ) ] 1−1 / b
1 1 − Do b b
o
dt
t 0
b −1 (1 + b D0 t ) b − 1 (b − 1) D0
q0
q0
(b − 1) D0
b −1 + b D t 1 ( ) b − 1 0
(2.15)
Sin embargo, se puede notar de la expresión (2.13) que:
q 1 + b D0 t = 0 q
b
La expresión (2.14) se puede modificar a la forma siguiente:
Figura 3. Declinación Hiperbólica en Escala Semilogaritmica.
q (b −1) − 1 N P = 0 (b − 1) D0 q q0
En la expresión anterior D0 representa la tasa de declinación inicial correspondiente al caudal q 0 .
El volumen de producción acumulada en función del tiempo se puede desarrollar de:
N P =
q0 q 0(b −1) 1
1 (b −1) − (b −1) (b − 1) Di q q0
(2.16)
(2.17)
6
N P =
q 0b
(1 − b ) Di
[q ( − ) − q ( − ) ] 1 b 0
1 b
(2.18)
Para aplicar la ecuación (2.18) se requiere establecer un procedimiento para estimar el exponente b con antelación. Las reservas de petróleo primario móvil (RPPM) se pueden estimar a partir de la ecuación (2.18) bajo la forma final: RPPM =
q0b
(1 − b ) Di
[q ( − ) ] 1 b 0
1 q
=
q=
1 q0
(1 + D0 t ) q0
(2.22)
(1 + D0 t )
Una expresión para el pronóstico del volumen producido se puede desarrollar de:
(2.19)
t
N P =
q0
q0
∫ (1 + D t ) dt = D 0
0
[ln(1 + D0 t )]t 0 =
0
q0 D0
ln (1 + D0 t )
(2.23)
2.3 DECLINACION ARMONICA. En la declinación armónica la tasa de declinación se establece como proporcional a la tasa de flujo: D0 = C q0
D = −
−
1 dq
q dt
1 dq
q dt
(2.20)
= C q
= D0
q q = q 0 ln 0 0 N P = ln D0 q 0 D0 q 1 + D0 t q0
(2.24)
De acuerdo a la expresión (2.24) se puede observar que:
q q0
Al desarrollar, por separación de variables, se obtiene: q
1 D 0 q = q q 0
(2.21)
Sin embargo, se puede modificar la expresión (2.23) a la forma siguiente:
t
N P =
q0 D0
2.303 (log q 0 − log q )
log q = log q 0 −
Do 2.303
N P
(2.25)
0
La expresión (2.25) define una gráfico lineal de la cual de cuya pendiente se puede estimar el valor de la declinación Do .
8
⋅
Si se define un grafico de tendencia lineal estimar el parámetro b de la pendiente. Estimar D0 con C y b .
Método de la “Razón de Pérdida” ( Loss Ratio).
De acuerdo a la definición del parámetro b se puede notar: b =
∂ 1 ∂ ∂t ∆ ∆t ∆ q (2.31) = q = q = ∂t D ∂t ∂q ∆t ∆q ∆t ∆q /∆t
Con los datos de producción disponibles se puede desarrollar el s iguiente procedimiento tabulado, Tabla 3.
Tabla 3. Esquema propuesto para estimar el valor del parámetro b . t
-
q
-
q
-
∆q ∆t -
q
∆q / ∆t -
∆ q ∆t ∆q / ∆t -
Una estimación para el parámetro b está representada por el valor obtenido para la última columna. En este caso se selecciona el valor que mas se repite y para tiempos altos de la tabla donde se puede presentar mayor estabilización del comportamiento de la tasa de flujo debido a que está involucrado mayor parte del yacimiento. Estimado el valor del parámetro b se procede con los pronósticos requeridos. Procedimiento para Pronósticos de la Declinación de la Producción con un Modelo Hiperbólicos.
⋅
Procedimiento Analítico.
⋅ ⋅
Estimar el valor de los parámetros Do y b . Para cada fila de la Tabla 1 se puede estimar la declinación D de acuerdo a la expresión (2) y el parámetro b de acuerdo al procedimiento de la Tabla 4. En cada caso se toma la media de la columna ó la moda como el estimativo buscado. La Tabla 4 esquematiza un ejemplo para los datos de la Tabla 1. Estimar el tiempo requerido hasta alcanzar al valor de caudal dado. Se aplica la expresión (2.14) a partir de un caudal inicial. Estimar con la expresión (2.18) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
Tabla 4. Ejemplo de Estimativos para la Declinación D y del Parámetro b .
Bbl/dia Caudal q
Meses Suma t
∆q
∆q/∆t
1/D D qave / (∆ mes-1
q ave
Tave
∆
0
0
0
0
3
6
-440
-73,3
-10,23
∆
(1/D)
∆
(1/D)/ ∆t
Columna kColumna M / ∆t
970
0
530
6
750
0
326
12
428
9
6
-204
-34,0
-12,59
-0,0794
-2,36
-0,39
224
18
275
15
6
-102
-17,0
-16,18
-0,0618
-3,59
-0,60
166 126
24 30
195 146
21 27
6 6
-58 -40
-9,7 -6,7
-20,17 -21,90
-0,0496 -0,0457
-4,00 -1,73
-0,67 -0,29
100
36
113
33
6
-26
-4,3
-26,08
-0,0383
-4,18
-0,70
81,4 67,4
42 48
90,7 74,4
39 45
6 6
-18,6 -14
-3,1 -2,3
-29,26 -31,89
-0,0342 -0,0314
-3,18 -2,63
-0,53 -0,44
56,6
54
62
51
6
-10,8
-1,8
-34,44
-0,0290
-2,56
-0,43
48
60
52,3
57
6
-8,6
-1,4
-36,49
-0,0274
-2,04
-0,34
41,6
66
44,8
63
6
-6,4
-1,1
-42,00
-0,0238
-5,51
-0,92
36,2
72
38,9
69
6
-5,4
-0,9
-43,22
-0,0231
-1,22
-0,20
-0,0978
0
9
2.6. UN MODELO ALTERNO DE DECLINACION HIPERBOLICA. Al observar la ecuación (2.30) se puede postular una relación lineal en escala log – log para la declinación hiperbólica.
La expresión (2.35) se puede reescribir como:
Debido a la inexistencia del cero en escala log – log, se propone una relación lineal para Log q en función de Log (t + t o ) donde D =
t o representa una constante arbitraria.
La expresión para la relación propuesta asume la forma: Ln q = Ln q o − a [ Ln ( t + t o ) − Ln t o
t + t o q = q0 t 0
1
]
(2.32)
−a
(2.33)
Do t
a
D = Do 1 +
D
=
Do
D t 1 + o a 1 Do
+
t a
−1
(2.37)
(2.38)
(2.39)
De acuerdo a (2.39), un gráfico del inverso de la declinación en función del tiempo permite estimar los parámetros Do y la pendiente a , Figura 4.
De acuerdo a la expresión (2.32) un gráfico de Log q en función de Log (t + t o ) exhibe una tendencia lineal con pendiente a .
Además se puede desarrollar de la expresión (2.33): q t + t o ∂q = −a o t o t 0 ∂ t
− a −1
= −a
q t o
t + t o t 0
−1
(2.34)
De la expresión (2.34) y de la definición (2.1) se puede lograr: D =
a t o
t + t o t 0
−1
De la expresión (2.35) se puede notar: a Para t = 0 , t o = ⋅ Do
(2.35) Figura 4. Comportamiento de la Tasa de Declinación con el Tiempo. (2.36).
10
Además se puede observar que para un valor de a → ∞ , es decir, una pendiente del gráfico con tendencia a cero, implica que la declinación D equivale a Do . Es decir, se tiene una declinación constante ó modelo de declinación exponencial. De acuerdo a la expresión (2.33) y al resultado (2.36) se puede notar:
Do t
q = q 0 1 +
a
−a
(2.40)
q q o
D t = 1 + o a
−a / a
D t = 1 + o a
N p =
−1
Al combinar la expresión anterior con la (2.38), se puede notar:
q q o
1/ a
=
D Do
qo a 1 1 − N p = a −1 Do (a − 1) D t 1 − o a
(2.41)
a −1 q 1 − a N p = q Do (a − 1) o
⋅
a
(2.42) ⋅ ⋅
PRODUCCION ACUMULADA Y EL TIEMPO. Para desarrollar una expresión para el volumen acumulado y el tiempo se procede con la definición de N p y la expresión (2.40).
a −1 D 1 − Do (a − 1) Do
qo a
qo a
⋅
q D = q o Do
(2.43)
A partir de las expresiones (2.38) y (2.43) se puede presentar:
Además se puede observar de la expresión (2.40):
1/ a
−a
D ∫ 1 + ao t ∂ t Do t qo a N p = 1 + a − 1 Do (1 − a ) N p =
⋅ ⋅
(2.44)
(2.45)
Procedimiento Gráfico Propuesto para la Declinación Hiperbólica. Para cada fila de la Tabla 1 se puede estimar la declinación D de acuerdo a la expresión (2). La Tabla 4 esquematiza un ejemplo para los datos de la Tabla 1. Graficar el inverso de la declinación en función del tiempo y definir la tendencia lineal de los valores para señalar una curva de forma exhibida en la Figura 4. A partir del gráfico estimar los parámetros Do y la pendiente a . Estimar el tiempo requerido hasta alcanzar al valor de caudal dado. Se aplica la expresión (2.40) a partir de un caudal inicial. Estimar con la expresión (2.40) el caudal alcanzado para un tiempo de producción definido. Estimar con la expresión (2.45) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
11
12
