/var/www/apps/conversion/tmp/scr /var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/1602461 atch_2/160246120.doc 20.doc
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA INGENIERIA DEL TERRENO CARTOGRÁFICA Y GEOFÍSICA DOCTORADO EN INGENIERÍA SÍSMICA Y DINÁMICA ESTRUCTURAL
APLICACIÓN DE CURVAS DE CAPACIDAD CORRESPONDIENTES CORRESPONDIENTES A ESTRUCTURAS METÁLICAS CON EL PROGRAMA RUAUMOKO
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CARLO ARLOS S ALB ALBER ERTO TO BERM BERMUD UDEZ EZ MEJI MEJIA A BECARIO FUNDACION CAROLINA
Tra Trabajo bajo Pres resenta entado do a:
Docto ctor HO HOR RIA ALEJ ALEJAN ANDR DRO O BARB ARBAT BAR BARBAT BAT Doctor LUIS GONZAGA PUJADES BENEIT
BARCELONA, ABRIL DE 2006
2
2
INTRODUCCION
En el estudio del comportamiento sísmico de las edificaciones una técnica de fácil aplicación y de uso cada vez mayor es la denominada Curva de Capacidad o Pushover . En este trabajo se ilustra cómo pueden obtenerse estas curvas para el caso de los pórticos de acero, acero, sean estos arriostrados o no. El procedimiento que se sigue es el delineado en Seismic evaluation and retrofit of concrete concrete buildings, buildings, publicación del Applied Technology Council y conocido como ATC-40.
3
4
OBJETIVOS
•
Presentar los fundamentos del método de análisis no lineal denominado Curva de Capacidad, también conocido como Pushover
•
Ilustrar cómo obtener curvas de capacidad de estructuras mediante el programa de análisis dinámico inelástico llamado RUAUMOKO, desarrollado en la Universidad de Canterbury por el profesor Athol J. Carr y con cuya licencia cuenta la Universidad Politécnica de Cataluña.
5
6
OBTENCIÓN DE CURVAS DE CAPACIDAD CON EL PROGRAMA RUAUMOKO Una curva de capacidad es una relación entre la fuerza horizontal aplicada a una edificación, de acuerdo con un determinado patrón de distribución vertical, y el desplazamiento que se produce en la parte superior de la estructura por efecto de la acción de la carga. Mientras todos los miembros estructurales tengan un estado de tensiones que correspondan al rango elástico dicha relación será proporcional. Cuando uno o varios componentes del sistema resistente empiecen a entrar en el rango inelástico, esa relación dejará de ser lineal. Su pendiente irá diminuyendo hasta hacerse horizontal, condición que corresponderá a la pérdida total de resistencia de la estructura. Un método para hallar la curva de capacidad de una estructura se presenta en el documento Seismic evaluation and retrofit of concrete building publicado por el Applied Technology Council y conocido como ATC-40, el cual se ha usado como base para el presente trabajo. El procedimiento consiste en realizar una serie de análisis elásticos secuenciales que finalmente se superponen para obtener una aproximación al diagrama de capacidad fuerza- desplazamiento de la entera estructura. Previamente a la realización de cada uno de tales análisis, el modelo matemático de la estructura se habrá modificado para tener en cuenta la reducción en la resistencia que implica el hecho de que algunos componentes estructurales hayan alcanzado la fluencia en los análisis anteriores. Estos análisis se repiten hasta que la edificación llega a ser inestable o hasta alcanzar un límite predeterminado. En el presente trabajo se utiliza el programa RUAUMOKO para la realización de los análisis estructurales elásticos mencionados el párrafo anterior, y así, paso a paso, se encontrará una curva de capacidad para una estructura en particular. En un segundo procedimiento se usará el mismo programa pero ahora aprovechando una de sus opciones que permite obtener directamente la curva de capacidad y se compararán entre sí las dos curvas obtenidas. La versión que se usará de este programa, que fue desarrollado en la Universidad de Canterbury por el profesor Athol J. Carr para análisis dinámico inelástico y del cual la Universidad Politécnica de Cataluña posee una licencia, será la de julio 1 de 2002. El presente documento consta de tres partes. La primera está dedicada al estudio de un pórtico elemental no arriostrado y consta de los capítulo 1 a 3. En el primero se define un pórtico elemental compuesto por perfiles metálicos de dimensiones y resistencia comerciales. Se verifica que su resistencia para carga vertical cumple con los requisitos de diseño estipulados por la LRFD SPECIFICATION FOR STRUCTURAL STEEL BUILDINGS, publicado por el American Institute of Steel Construction (AISC) en 1993. En el segundo capítulo se presenta el procedimiento de obtención de la curva de capacidad con el método paso a paso mediante análisis elásticos consecutivos y utilizando para ello el programa RUAUMOKO en su opción de análisis elástico. 7
En el tercer capítulo se halla la curva de capacidad para la misma estructura mediante la opción de análisis inelástico del mismo programa y se comparan los resultados con los obtenidos en la parte anterior. En la segunda parte se procede de manera análoga pero para un pórtico elemental arriostrado. Así, el capítulo 4 contiene la descripción del pórtico arriostrado, el cual es igual al anterior, salvo que tiene riostras concéntricas para controlar su comportamiento ante cargas horizontales. El capítulo 5 presenta el cálculo paso a paso de la curva de capacidad de ese pórtico elemental arriostrado, y el capítulo 6 contiene su curva de capacidad obtenida con RUAUMOKO. De particular interés son las consideraciones que se hacen aquí para tener en cuenta la degradación de resistencia que ocurre cuando se presentan ciertos estados límite. En la tercera parte se analiza con el programa antes mencionado una estructura real, cuyas características y curva de capacidad se publican Advanced Seismic Assessment Guidelines (Bazzurro et al., 2004), y se comparan los resultados.
8
PARTE I: PÓRTICO NO ARRIOSTRADO
1. DEFINICION DE LA ESTRUCTURA A ESTUDIAR El pórtico elemental que se ha escogido para dar inicio a esta investigación tiene las siguientes características:
2
2 2
5
3
1
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 1. Pórtico elemental a estudiar Material: • • • • •
Tipo de acero: Módulo de elasticidad: Módulo de cortante: Punto de fluencia: Resistencia mínima especificada a la tensión:
ASTM A570, Grado 50 E = 2 E 11 N/m 2 G = 7.7 E 10 N/m 2 Fy = 3.43 E 8 N/m 2 F u = 4.46 E 8 N/m 2
Secciones estructurales:
Miembro 1 2 3 4
Perfil W 12 x 53 W 12 x 35 W 12 x 35 W 12 x 53
Tabla 1. Secciones estructurales del pórtico a estudiar
9
Las secciones estructurales quedan definidas por las dimensiones de sus elementos, cuya nomenclatura se indica en la figura 2. bf = Ancho de la aleta tf tw
tf = Espesor de la aleta
d
d = Altura del perfil tw = Espesor del alma
bf
Figura 2. Nomenclatura de los perfiles metálicos Las propiedades de los perfiles empleados se indican en las tablas 2 y 3. W 12 X 35 bf = tf = d= tw = Área = As = Peso =
0,16660 0,01321 0,31750 0,00762 0,0066196 0,0024194 510
m m m m m2 m2 N/m
Fy = Fr = Fy - Fr = E= Ixx = Sxx = Zxx = Mr = My = Mpf = Mp =
3,430E+08 7,000E+07 2,730E+08 2,000E+11 1,176E-04 7,409E-04 8,311E-04 2,023E+05 2,541E+05 2,666E+05 2,851E+05
N/m^2 N/m^2 N/m^2 N/m^2 m^4 m^3 m^3 N,m N,m N,m N,m
3,430E+08 7,000E+07 2,730E+08 2,000E+11 1,735E-04 1,133E-03 1,250E-03 3,092E+05 3,885E+05 4,096E+05 4,288E+05
N/m^2 N/m^2 N/m^2 N/m^2 m^4 m^3 m^3 N,m N,m N,m N,m
Tabla 2. Propiedades del perfil W 12 X 35 W 12 X 53 bf = tf = d= tw = Área = As = Peso =
0,25390 0,01461 0,30630 0,008763 0,009847 0,0026841 758
m m m m m2 m2 N/m
Fy = Fr = Fy - Fr = E= Ixx = Sxx = Zxx = Mr = My = Mpf = Mp =
Tabla 3. Propiedades del perfil W 12 X 53
10
EVALUACIÓN DE LAS CARGAS Carga muerta Se asume que la losa de piso será de hormigón vaciado sobre lámina de acero corrugado con la sección indicada en la figura 3.
0.05 m 0.05 m 0.075 0.075 m 0.075 0.075 m 0.075 0.075 m 0.075 0.075 m 0.075 0.075 m 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025
Figura 3. Sección de la losa de piso Las cargas muertas estimadas son las siguientes: • • • •
Peso losa de piso: Acabado de piso: Divisiones interiores: Cielo raso:
Total carga muerta: Se asume un ancho aferente de 9 m: Total carga muerta lineal:
2 001 N/m 2 1 079 N/m 2 981 N/m2 98 N/m2 4 159 N/m 2
37 431 N/m
Carga viva •
1 962 N/m 2
Carga viva de oficinas:
Total carga viva lineal:
17 658 N/m
Combinaciones Se han de contemplar en todo diseño de estructuras de acero las siguientes combinaciones, tomadas del código del AISC: 1.4 D 1.2 D + 1.6 L + 0.5( Lr or S or R) 1.2 D + 1.6( Lr or S or R) + (0.5 L or 0.8W ) 1.2 D + 1.3W + 0.5 L + 0.5( Lr or S or R) 1.2 D ± 1.0 E + 0.5 L + 0.2S 0.9 D ± (1.3W or 1.0 E )
(A4-1) (A4-2) (A4-3) (A4-4) (A4-5) (A4-6)
En la mencionada fuente se explica que los coeficientes de esta combinaciones fueron originalmente obtenidos por el A58 Load Factor Subcommittee of the American 11
National Standards Institute, ANSI. ( LRFD Manual of Steel Construction ,
AISC, 1994, página 2-7), y son de naturaleza estadística. Se considera que si varias cargas actúan simultáneamente sobre una misma estructura, cuando una de ellas alcance su valor máximo esperado en cincuenta años las demás tendrán valores arbitrarios. Por eso cada combinación refleja la condición de que un tipo de carga alcance su máximo esperado en cincuenta años. En virtud de lo que se ha explicado arriba, en el presente trabajo se usarán las combinaciones A4-2 y A4-5. La primera para hacer el diseño por carga vertical y se usará en este numeral. La segunda se empleará en el cálculo de la curva de capacidad, toda vez que este procedimiento representa lo que sería una máxima carga horizontal, que ocurriría mientras las cargas verticales tendrían valores arbitrarios. Carga de diseño por concepto de cargas gravitacionales: ‘1.2 D + 1.6 L = 1.2 * 37 431 + 1.6 * 17 658 = 73 170 N/m ANÁLISIS ESTRUCTURAL En este numeral se explicará cómo analizar, mediante el programa RUAUMOKO, el pórtico seleccionado bajo las cargas encontradas, según se muestra en la figura 4:
73 170 N/m 2
2 2
5
1
3
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 4. Pórtico con carga vertical de diseño Para analizar este pórtico se ha elaborado el archivo numérico denominado miej.txt, que se puede visualizar en la figura 5 y cuyas partes y variables se explican a continuación:
12
PORTICO ELEMENTAL * Pórtico de una sola luz en perfiles metálicos. 0 5 0 0
0 4 5 0
0 0 2 1 0 0 0.0
0 0 2 0 0 0 0 1 3 9.81 3.0 3.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.5 0.7 0.1 1 2 0 0 0
NODES ! n x 1 0.0 2 0.0 3 6.0 4 6.0 5 3.0 ELEMENT ! N Sect 1 1 2 2 3 2 4 1
y 0.0 3.5 3.5 0.0 3.5
I 1 2 5 4
fixity 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
J 2 5 3 3
i 0 0 0 0
j 0 0 0 0
slaving output 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
output
PROPS 1 FRAME 3 0 0 0 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt 2 FRAME 3 0 1 0 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt -54878 -54878 -109755 109755 ! M1 M2 V1 V2 WEIGHT 0 LOADS ! n Fx 2 0 3 0 5 0
Fy
! Loads representing gravity loads Mz
Figura 5. Vista del archivo Miej.txt, base para correr un pórtico con RUAUMOKO Fila
Contenido (Nombre de variable = valor:
explicación)
‘1
Denominación Título = PORTICO ELEMENTAL
‘2
Opciones principales de análisis IPANAL = 0: Análisis estático IFMT = 0: Archivo para post-proceso binario con extensión .RES IPLAST = 0: Análisis histórico elástico IPCONM = 0: Matriz de masas concentradas para el análisis histórico 13
ICTYPE = 0: IPVERT = 0: INLGEO = 0: IPNF = 0: IZERO = 0: ORTHO = 0: IMODE = 0:
Amortiguamiento de Rayleigh según rigidez inicial Sismo en dirección X únicamente Efectos P-Delta incluidos Se hace análisis modal después del análisis elástico No se imprimen los resultados iguales a cero No se imprime el chequeo de ortogonalidad Se usa el algoritmo HOUSEHOLDER QR para el cálculo de valores propios
‘3
Parámetros de control del pórtico NNP = 5: Cantidad de nodos de NMEM = 4: Cantidad de miembros NTYPE = 2: Cantidad de secciones diferentes M = 1: Cantidad de modos que se quiere calcular MODE1 = 1: Número del modo al cual se aplica el primer amortiguamiento MODE2 = 3: Número del modo al cual se aplica el segundo amortiguamiento GRAV = 9.81: Valor de la gravedad C1 = 3.0: Porcentaje del amortiguamiento crítico en el MODE1 C2 = 3.0: Porcentaje del amortiguamiento crítico en el MODE2 DT = 0: Paso (s) TIME = 0: Duración del análisis histórico (s) FACTOR = 1.0 Factor de escala a aplicar a la serie de tiempo de entrada
‘4
Intervalos de salida y parámetros de control de impresión KP = 0: Salida de registro histórico inhabilitada KPA = 5: Salida para el post-procesador DYNAPLOT cada tantos intervalos de tiempo KPLOT = 0: Ploteo de rótulas plásticas a cada cambio de estado JOUT = 0: Se selecciona para el post-procesador DYNAPLOT: desplazamientos, velocidades, aceleraciones y cargas nodales DSTORT = 1.0: Factor de distorsión para gráficas DFACT = 1.5: Multiplicador de desplazamientos para gráficos en pantalla XMAX = 0.7: Máximo desplazamiento en X para gráficos en pantalla YMAX = 0.1: Máximo desplazamiento en Y para gráficos en pantalla NLEVEL = 1.0: Número de niveles para calcular deriva de piso NUP = 2 El eje vertical para calcular la deriva de piso es Y IRESID = 0 No se requiere que después del análisi histórico presente las fuerzas y los desplazamientos residuales
‘5
Control de iteración y velocidades de onda MAXIT = 0: Máximo número de ciclos de la iteración Newton- Raspón por intervalo de tiempo. (Cuando MAXIT = 0 no hay iteración) MAXCIT = 0: Máximo número de ciclos de iteración para modelos de amortiguamiento ICTYPE = 2, 3 ó 4. En otros modelos de ICTYPE use 0 FTEST = 0.0: Cuadrado de la tolerancia requerida de iteración 14
WAVEX = 0: WAVEY = 0: ‘6
Velocidad de propagación de onda en la dirección X. (Si WAVEX = 0 se toma como infinito) Velocidad de propagación de onda en la dirección Y. (Si WAVEY = 0 se toma como infinito)
Controles de salida del registro histórico Esta línea no aparece en este ejemplo
Entrada de puntos nodales ‘7 NODES Da comienzo a la información sobre los nodos. En cada una de las siguientes filas se leerán estas variables: N = 1: Número de nodo X(N) = 0.0: Coordenada en X del nodo N Y(N) = 0.0: Coordenada en Y del nodo N NF1 = 1: El desplazamiento en X está restringido NF2 = 1: El desplazamiento en Y está restringido NF3 = 1: El giro alrededor de Z está restringido KUP1 = 0: El grado de libertad del desplazamiento en X no está ligado al de ningún otro nodo KUP2 = 0: El grado de libertad del desplazamiento en Y no está ligado al de ningún otro nodo KUP3 = 0: El grado de libertad del giro alrededor de Z no está ligado al de ningún otro nodo Entrada de la topología o geometría de los miembros ‘8 ELEMENT Da comienzo a la información sobre los miembros. En cada una de las siguientes filas se leerán estas variables: N = 1: Número de miembro MT = 1: Tipo de sección NODE1 = 1: Nodo en el extremo 1 del miembro NODE2 = 2: Nodo en el extremo 2 del miembro NODE3 = 0: Nodo interno en el extremo 1 del miembro NODE4 = 0: Nodo interno en el extremo 2 del miembro Tabla de propiedades de los tipos de secciones ‘9 PROPS Da comienzo a la información sobre los tipos de secciones ‘10
Información de las propiedades de los tipos de secciones Esta fila encabeza el conjunto de datos de entrada de cada tipo de sección y en ella se leen las siguientes variables: N = 1: Número de sección MTYPE = FRAME: Tipo de miembro
‘11a
Propiedades de una sección tipo FRAME En esta fila se leen las siguientes variables: ITYPE = 3: Miembro viga-columna de acero IPIN = 0: Miembro conectado rígidamente ICOND = 0: No tiene cargas iniciales aplicadas IHYST = 0: No tiene regla de histéresis ILOS = 0: No experimenta degradación de resistencia 15
IDAMG = 0: ‘11b
No se calcula índice de daño
Propiedades elásticas de una sección tipo FRAME En esta fila se leen las siguientes variables: E = 2E11: Módulo de elasticidad del material del miembro G = 7.7E10: Módulo de cortante del material del miembro A = 1.006E-2: Área de la sección transversal As = 2.684E-3: Área resistente a cortante de la sección transversal I = 1.769E-4: Momento de inercia WGT = 773.7 Peso por unidad de longitud
NOTA: Las filas 10 a 11b constituyen un conjunto de datos propio de cada tipo de sección y se repiten tantas veces como tipos de secciones FRAME haya. En el archivo estudiado aparece un segundo conjunto, correspondiente a la sección 2, del cual solo se explicará aquí el valor de la variable ICOND y lo que esta implica que aparece en la nueva fila 11e. ‘11a
Propiedades de una sección tipo FRAME . . . . . ICOND = 1: Hay fuerzas iniciales en los extremos del miembro, producto de las cargas distribuidas en el mismo. Estas fuerzas se calculan considerando que en los extremos del miembro hay empotramiento perfecto, como suele hacerse en los diversos métodos de análisis matricial. Este procedimiento se ilustra en la figura 5.
‘11e
Fuerzas iniciales en los extremos del miembro empotrado En esta fila se leen las siguientes variables: M1 = -54878: Momento en el extremo 1 del miembro M2 = -54878: Momento en el extremo 2 del miembro V1 = -109755: Cortante en el extremo 1 del miembro V2 = 109755: Cortante en el extremo 2 del miembro
’20 Masas concentradas en los nodos, expresadas como pesos WEIGHT Da comienzo a la información sobre masas. ejemplo no la hay.
En este
’21 Fuerzas puntuales externas estáticas aplicadas en los nodos LOADS Da comienzo a la información sobre cargas puntuales. En este ejemplo no la hay. Al correr este archivo con el programa RUAUMOKO se obtiene el archivo de resultados Miej.wri, cuyo diagrama de momento flector se halla en la figura 6.
16
73 170 N/m 2
22
5
3
MF= wL.L/12= 54 878 N.m 2
3
22
3
5
3
V= wL/2= 109 755 N 1
1
4
1
4
4
1
4
Figura 5. Aplicación de las cargas iniciales
150 500
180 200
77 840 N.m
180 200
77 840
Figura 6. Diagrama de momentos en N.m Estos momentos flectores así como sus correspondientes fuerzas cortantes pueden convenientemente ser resistidos por los perfiles escogidos por lo que se considera que la estructura está bien definida y se procederá a calcular la curva de capacidad en la siguiente parte.
17
18
2. CÁLCULO PASO A PASO DE LA CURVA DE CAPACIDAD Como se explicó en el numeral 1.1.3 se usará la combinación de carga A4-5 para calcular la carga vertical presente en un tiempo arbitrario: ‘1.2 D + 0.5 L = 1.2 * 37 431 + 0.5 * 17 658 = 53 746 N/m Esta carga actuará sobre la viga superior como se muestra en la figura 7. El correspondiente diagrama de momentos se obtiene a partir del anterior y aparece en la figura 8. Para efecto de estimar en dónde se presentará la primera rótula plástica se aplicará a la estructura una fuerza horizontal en su punto superior, como se ve en la figura 9, que produce el diagrama de la figura 10. 53 746 N/m 2
2 2
5
3
1
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 7. Pórtico con carga vertical reducida 110 500
132 400
57 180 N.m
132 400
57 180
Figura 8. Diagrama de momentos producido por la carga de la figura 7
19
1 000 N 2
5
2 2
3
3
1
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 9. Aplicación de fuerza horizontal unitaria
608.1 602.1
1 156
1 134
Figura 10. Diagrama de momentos (N.m) producido por la fuerza de la figura 9 Puesto que el procedimiento de obtención de la Curva de Capacidad implica ir aumentando gradualmente la carga horizontal hasta lograr una primera rótula plástica, cabe ahora preguntarse: ¿dónde se producirá la primera rótula plástica y bajo qué carga? Al analizar las figuras 8 y 10 se nota que la carga horizontal aumentará los momentos de los nodos 3 y 4, pero a primera vista no se puede saber cuál se plastificará primero. Para determinarlo será necesario encontrar el nodo en donde haya la menor relación: Momento faltante para la plastificación del perfil (M fpp) . Momento producido por una carga horizontal unitaria (M push u) La evaluación de estas relaciones para los dos nodos en cuestión aparece en la tabla 4.
NODO 3 4
Mfpp 289 300 - 132 400 = 156 900 440 000 – 57180 = 382 800
Mpush u. 0.6021 1.134
Mfpp / Mpush u. 260 660 337 600
Tabla 4. Determinación del nodo que se plastificará primero 20
Por lo tanto al aplicar una fuerza horizontal de 260 660 N en el extremo superior de la estructura cargada verticalmente se formará una rótula plástica en el nodo 3. Para confirmar este hecho y hallar el diagrama completo de momentos, así como el estado de deformaciones, se corrió nuevamente el pórtico con esta condición de carga (figura11), para lo cual se preparó el archivo de entrada denominado Miej5.txt (figura 12, en la cual se aprecia que en la sección LOADS se ha incluido la carga de 260 660 N en el nodo 2 y en la dirección X) y se obtuvo el archivo de salida Miej5.wri graficado en la figura 13.
260 660 N
53 746 N/m 2
2 2
5
1
3
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 11. Condición de carga que lleva a la primera rótula plástica En el archivo Miej5.wri también se lee que la deformación que alcanza el nodo 2 en la dirección X es de 2.824E-02 m. Por lo tanto se tiene la primera pareja de coordenadas para la Curva de Capacidad, ( 2.824E-02 m, 260 600 N ). Hasta este punto el comportamiento de la estructura es completamente elástico. Para hallar el segundo punto de la Curva de Capacidad se deben repetir los mismos pasos que se han dado hasta ahora y que se alistan a continuación: •
Considerar una nueva estructura, una que contenga una articulación en el punto donde se ha presentado la primera rótula plástica y aplicar a ella una carga lateral unitaria (figura 14).
•
Hallar el diagrama de momentos producido por la carga unitaria (figura 15).
•
Determinar en dónde y bajo qué carga se presentará la siguiente rótula plástica (tabla 5).
•
Para esta nueva condición de carga (figura 16) elaborar el archivo de entrada al programa de análisis (figura 17) y una vez corrido diagramar los momentos flectores que arroja (figura 18) y tomar nota de la deflexión máxima horizontal en el extremo superior de la estructura.
21
PORTICO ELEMENTAL * Pórtico de una sola luz en perfiles metálicos. 0 5 0 0
0 4 5 0
0 0 2 1 0 0 0.0
0 0 2 0 0 0 0 1 3 9.81 3.0 3.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.5 0.7 0.1 1 2 0 0 0
NODES ! n x 1 0.0 2 0.0 3 6.0 4 6.0 5 3.0 ELEMENT ! N Sect 1 1 2 2 3 2 4 1
y 0.0 3.5 3.5 0.0 3.5
I 1 2 5 4
fixity 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
J 2 5 3 3
i 0 0 0 0
j 0 0 0 0
slaving output 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
output
PROPS 1 FRAME 3 0 0 0 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt 2 FRAME 3 0 1 0 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt -40310 -40310 -80619 80619 ! M1 M2 V1 V2 WEIGHT 0 LOADS ! Loads representing gravity loads ! n Fx Fy Mz 2 260660 0 0 3 0 0 0 5 0 0 0
Figura 12. Vista del archivo Miej5.txt, que aplica condición de carga de figura 11
22
112 300 26 990 291500
246 700
356 100
Figura 13. Diagrama de momentos en N.m según archivo de salida Miej5.wri 1 000 N 2
5
2 2
3
1
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 14. Aplicación de fuerza horizontal unitaria al pórtico con una articulación 292.4 584.8
1 593
1 322
Figura 15. Diagrama de momentos (N.m) para las condiciones de la figura 14 23
NODO 1 2viga 4 5
Mfpp 440 000 - 246 700 = 193 300 289 300 – 26 990 = 262 310 440 000 – 356 100 = 83 900 289 300 – 112 300 = 177 000
Mpush u. 1.593 0.5848 1.322 0.2924
Mfpp / Mpush u. 121 343 448 547 63 464 605 335
Tabla 5. Determinación del próximo nodo a plastificar De esta tabla se concluye que al aplicar una carga horizontal en el nodo 2 de 63 464 N se alcanzará el momento plástico en el nodo 4.
63 464 N 2
2 2
5
1
3
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 16. Incremento de carga que lleva a la segunda rótula plástica
24
PORTICO ELEMENTAL * Pórtico de una sola luz en perfiles metálicos. 0 5 0 0
0 4 5 0
0 0 3 1 0 0 0.0
0 0 2 0 0 0 0 1 3 9.81 3.0 3.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.5 0.7 0.1 1 2 0 0 0
NODES ! n x 1 0.0 2 0.0 3 6.0 4 6.0 5 3.0 ELEMENT ! N Sect 1 1 2 2 3 3 4 1
y 0.0 3.5 3.5 0.0 3.5
I 1 2 5 4
fixity 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
J 2 5 3 3
i 0 0 0 0
j 0 0 0 0
slaving output 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
output
PROPS 1 FRAME 3 0 0 0 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt 2 FRAME 3 0 0 0 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt 3 FRAME 3 2 0 0 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt WEIGHT 0 LOADS ! n Fx Fy 2 63464 0 3 0 0 5 0 0
! Loads representing gravity loads Mz 0 0 0
Figura 17. Vista del archivo Miejp1.txt, que aplica condición de carga de figura 16 Es de resaltar de esta figura que fue necesario crear un nuevo tipo de sección (Fila 3: NTYPE = 3), que se aplica al miembro 3, que esta sección se caracteriza por tener su extremo 2 articulado (internamente) al nudo (Fila 11a: IPIN = 2) y que se han eliminado las cargas de gravedad (Fila 11a: ICOND = 0).
25
18 558 37 115
83 897
101 112
Figura 18. Diagrama de momentos en N.m según archivo de salida Miejp1.wri Se toma nota de que de acuerdo con este mismo archivo de salida el desplazamiento en la dirección X del nodo 2 es de 1.02E-02 m. En resumen, se tiene que el estado de cargas que produce la segunda rótula plástica es la suma de las condiciones mostradas en la figuras 11 y 16, es decir:
324 124 N
53 746 N/m 2
2 2
5
1
3
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 19. Condición de carga que lleva a la segunda rótula plástica El diagrama de momento cuando se produce la segunda plastificación es la suma de las figuras 13 y 18, es decir:
26
130 858 64 105 291500
347 812
439 997
Figura 20. Diagrama de momentos que produce la segunda rótula plástica El desplazamiento acumulado en la dirección X del nodo 2 es: Hasta la primera plastificación: Incremento hasta la segunda plastificación: Total hasta segunda plastificación:
2.824 E-02 m 1.020 E-02 m 3.844 E-02 m
Por lo tanto se tiene la segunda pareja de coordenadas para la Curva de Capacidad, (3.844E-02 m, 324 124 N ). Análogamente, para hallar el tercer punto de la Curva de Capacidad : •
Considerar una nueva estructura, una que contenga dos articulaciones en los puntos donde se han presentado las anteriores rótulas plásticas y aplicar a ella una carga lateral unitaria (figura 21).
•
Hallar el diagrama de momentos producido por la carga unitaria (figura 22).
•
Determinar en dónde y bajo qué carga se presentará la siguiente rótula plástica (tabla 6).
•
Para esta nueva condición de carga (figura 23) elaborar el archivo de entrada al programa de análisis (figura 24) y una vez corrido diagramar los momentos flectores que arroja (figura 25) y tomar nota de la deflexión máxima horizontal en el extremo superior de la estructura.
27
1 000 N 2
2 2
5
3
3
1
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 21. Fuerza horizontal unitaria sobre el pórtico con dos articulaciones
939.7
2 560
Figura 22. Diagrama de momentos (N.m) para las condiciones de la figura 21 NODO 1 2viga
Mfpp 440 000 - 347 812 = 92 188 289 300 – 64 105 = 225 195
Mpush u. 2.560 0.9397
Mfpp / Mpush u. 36 011 239 646
Tabla 6. Determinación del próximo nodo a plastificar
28
36 011 N 2
2 2
5
1
3
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 23. Incremento de carga que lleva a la tercera rótula plástica
29
PORTICO ELEMENTAL * Pórtico de una sola luz en perfiles metálicos. 0 5 0 0
0 4 5 0
0 0 4 1 0 0 0.0
0 0 2 0 0 0 0 1 3 9.81 3.0 3.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.5 0.7 0.1 1 2 0 0 0
NODES ! n x 1 0.0 2 0.0 3 6.0 4 6.0 5 3.0 ELEMENT ! N Sect 1 1 2 2 3 3 4 4
y 0.0 3.5 3.5 0.0 3.5
I 1 2 5 4
fixity 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
J 2 5 3 3
i 0 0 0 0
j 0 0 0 0
slaving output 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
output
PROPS 1 FRAME 3 0 0 0 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt 2 FRAME 3 0 0 0 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt 3 FRAME 3 2 0 0 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt 4 FRAME 3 1 0 0 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt WEIGHT 0 LOADS ! n Fx Fy 2 36011 0 3 0 0 5 0 0
! Loads representing gravity loads Mz 0 0 0
Figura 24. Vista del archivo Miej2p1.txt, aplica condición de carga de figura 23 Es de resaltar de esta figura que fue necesario crear un nuevo tipo de sección (Fila 3: NTYPE = 4), que se aplica al miembro 4, que esta sección se caracteriza por tener su extremo 1 articulado (internamente) al nudo (Fila 11a: IPIN = 1) y que se han eliminado las cargas de gravedad (Fila 11a: ICOND = 0). Nótese también que en la sección LOADS aparece la carga de 36 011 N aplicados en la dirección X en el nodo 2. 30
16 920 33 840
92 200
Figura 25. Diagrama de momentos en N.m según archivo de salida Miej2p1.wri Se toma nota de que de acuerdo con este mismo archivo de salida el desplazamiento en la dirección X del nodo 2 es 9.298 E-03 m. Al consolidar, se tiene que el estado de cargas que produce la tercera rótula plástica es la suma de las condiciones mostradas en la figuras 19 y 23, es decir: 360 135 N
53 746 N/m 2
2 2
5
1
3
3
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 26. Condición de carga que lleva a la tercera rótula plástica El diagrama de momento cuando se produce la tercera plastificación es la suma de las figuras 20 y 25, es decir:
31
147 778 97 945 291500
440 012
439 997
Figura 27. Diagrama de momentos que produce la tercera rótula plástica El desplazamiento acumulado en la dirección X del nodo 2 es: Hasta la segunda plastificación: 3.844 E-02 m Incremento hasta la tercera plastificación: 9.298 E-03 m Total hasta tercera plastificación: 4.774 E-02 m Por lo tanto se tiene la tercera pareja de coordenadas para la Curva de Capacidad, ( 4.774 E-02 m, 360 135 N ). Con idéntico procedimiento se encuentra que el cuarto y último punto de la Curva de Capacidad tiene como coordenadas: ( 1.279 E-01 m, 414 808 N) , que corresponde a la plastificación del nodo 4. Cuando esto ocurre la estructura pierde completamente su capacidad de resistir más carga y sin más incremento de carga podrá desplazarse hasta colapsar. En resumen los puntos encontrados se presentan en la tabla 7 y con ellos se ha dibujado la curva de la figura 28. En la siguiente parte se presenta la manera de encontrar esta curva directamente con el programa RUAMOKO.
Orden de plast. 1 2 3 4
Nodo 3 4 1 2
Desplazamiento (m) 2.824 E-02 3.844 E-02 4.774 E-02 1.279 E-01
Fuerza (N) 260 600 324 124 360 135 414 808
Tabla 7. Puntos encontrados de la Curva de Capacidad
32
CURVA DE CAPACIDAD 450.000 1,279E-01; 414.808 400.000 4,774E-02; 360.135 350.000 3,844E-02; 324.124 ] 300.000 N [ E S A250.000 B E D E T 200.000 N A T O C
2,824E-02; 260.660
150.000
100.000
50.000
0 0,000E+00
2,000E-02
4,000E-02
6,000E-02
8,000E-02
1,000E-01
1,200E-01
1,400E-01
DESPLAZAMIENTO DE TECHO [M]
Figura 28. Curva de Capacidad hallada con procedimiento paso a paso
33
34
3. CÁLCULO DE LA CURVA DE CAPACIDAD DIRECTAMENTE CON RUAMOKO
450000
0,12379; 399130
0,14456; 400040
400000
0,047056; 346870 350000 0,036762; 306950 300000 E S A B 250000 E D E T N A200000 T R O C
0,02576; 239590
150000
100000
50000
0 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
DESP EN X NUDO 2
Figura 29. Curva de Capacidad hallada con RUAUMOKO La gráfica que encabeza este capítulo se ha obtenido a partir de los puntos que arroja el programa RUAUMOKO cuando se aprovecha su opción de análisis inelástico. Las diferencias con respecto a los resultados obtenidos por el método paso a paso se presentan en la tabla 8. PROCEDIMIENTO MANUAL
CON RUAUMOKO
Diferencias
Desplazamiento Cortante Desplazamiento Cortante Desp. Cort. [m] [N] [m] [N] % %
0,000E+00 2,824E-02 3,844E-02 4,774E-02 1,279E-01
0 260.660 324.124 360.135 414.808
0,000E+00 2,576E-02 3,676E-02 4,706E-02 1,238E-01
0 239.590 306.950 346.870 399.130
-8,8 -4,4 -1,4 -3,2 -4,4
-8,1 -5,3 -3,7 -3,8 -5,2
Tabla 8. Comparación de resultados obtenidos Como se ve arriba los resultados de fuerza que arroja el RUAUMOKO son en promedio 5.2% menores que los obtenidos manualmente. Antes de pasar a considerar la posible razón de esas diferencias, véase el archivo que sirvió de base para obtener esos resultados en la figura 30.
35
PORTICO ELEMENTAL * Pórtico de una sola luz en perfiles metálicos. 2 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 5 4 2 1 1 3 9.81 3.0 3.0 0.01 10.0 1.0 1 5 5 0 1.0 10.0 0.7 0.1 2 2 1 5 0 0.0001 0 0 NODES ! n x y fixity slaving output 1 0.0 0.0 1 1 1 0 0 0 2 0.0 3.5 0 0 0 0 0 0 3 6.0 3.5 0 0 0 0 0 0 4 6.0 0.0 1 1 1 0 0 0 5 3.0 3.5 0 0 0 0 0 0 DRIFT ! N1 N2 1 2 ELEMENT ! N Sect I J i j output 1 1 1 2 0 0 2 2 2 5 0 0 3 2 5 3 0 0 4 1 4 3 0 0 PROPS 1 FRAME 3 0 0 1 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt 0.0 0.0 -2756612.0 -551322.0 394072.0 437858.0 690424.0 394072.0 3452122.0 0 2 FRAME 3 0 1 1 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt 0.0 0.0 -40310 -40310 -80619 80619 ! M1 M2 V1 V2 -1968200.0 -393640.0 259005.0 287783.0 455857.0 259005.0 2279286.0 0 WEIGHT 0 2 112293 112293 112293 3 112293 112293 112293 5 0 0 0 LOADS ! n Fx 2 0 3 0 5 0
Fy
! Loads representing gravity loads Mz
SHAPE 1 0.0 2 500000.0 3 0.0 4 0.0 5 0.0 EQUAKE 1 1 1.0 1.0 START Format 1 0.0 2 1.0
! Linear Ramp Function 'Caltech' 0.1 1.0
0.2 1.0
0.3 1.0
0.4 1.0
0.5 1.0
0.6 1.0
0.7 1.0
0.8 1.0
0.9 1.0
Figura 30. Vista del archivo Miejpu.txt, para análisis inelástico
36
Nótese en la figura anterior que los elementos FRAME se han definido como “miembro viga-columna de acero” (ITYPE = 3). Esto implica que se les solicita bajo una condición de tensiones combinadas de momento flector y fuerza axial. Por esta razón su falla estructural no estará en función únicamente de que se alcance el momento de diseño sino de que la suma de los efectos producidos por la fuerza axial y por el momento flector no sobrepase la resistencia del material. Esto se puede expresar en la forma de la llamada desigualdad de tensiones combinadas: fa Fa
+
fb Fb
≤ 1.0
Es posible aproximar los resultados de RUAUMOKO a los obtenidos manualmente cambiando la naturaleza de los miembros que constituyen las vigas. En efecto, estas pueden definirse como “viga Giberson un componente” (ITYPE = 1), en las cuales no se calcula la contribución por carga axial. Las diferencias que se obtienen de esta manera se aprecian en la tabla 9 y el archivo de entrada modificado aparece en la figura 31. PROCEDIMIENTO MANUAL
RUAUMOKO- VIGAS GIBERSON
Desplazamiento Cortante Desplazamiento [m] [N] [m]
0,000E+00 2,824E-02 3,844E-02 4,774E-02 1,279E-01
0 260.660 324.124 360.135 414.808
0,000E+00 2,788E-02 3,688E-02 4,755E-02 1,288E-01
Diferencias Cortante [N]
0 259.780 314.190 352.770 407.930
Desp. Cort. % %
-1,3 -4,0 -0,4 0,7 -1,3
-0,3 -3,1 -2,0 -1,7 -1,8
Tabla 9. Comparación de resultados obtenidos al introducir vigas Giberson Con esta modificación los resultados que arroja el RUAUMOKO son en promedio 1.8 % menores que los obtenidos manualmente. Esta comparación permite validar los resultados obtenidos aprovechando la opción de análisis inelástico del programa RUAUMOKO y su post-procesador DYNAPLOT. La figura 32 contiene una gráfica conjunta de las tres Curvas de Capacidad obtenidas. Hasta aquí se ha trabajado con un pórtico elememntal no arriostrados. En la siguiente parte del trabajo se procederá de manera similar pero se tendrá como objeto de estudio
37
PORTICO ELEMENTAL * Pórtico de una sola luz en perfiles metálicos. 2 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 5 4 2 1 1 3 9.81 3.0 3.0 0.01 10.0 1.0 1 5 5 0 1.0 10.0 0.7 0.1 2 2 1 5 0 0.0001 0 0 NODES ! n x y fixity slaving output 1 0.0 0.0 1 1 1 0 0 0 2 0.0 3.5 0 0 0 0 0 0 3 6.0 3.5 0 0 0 0 0 0 4 6.0 0.0 1 1 1 0 0 0 5 3.0 3.5 0 0 0 0 0 0 DRIFT ! N1 N2 1 2 ELEMENT ! N Sect I J i j output 1 1 1 2 0 0 2 2 2 5 0 0 3 2 5 3 0 0 4 1 4 3 0 0 PROPS 1 FRAME 3 0 0 1 0 0 ! W12x53 Viga columna 2E11 7.7E10 1.006E-2 2.684E-3 1.769E-4 773.7 ! E G A As I wgt 0.0 0.0 -2756612.0 -551322.0 394072.0 437858.0 690424.0 394072.0 3452122.0 0 2 FRAME 1 0 1 1 0 0 ! W12x35 Viga columna 2E11 7.7E10 6.645E-3 2.419E-3 1.186E-4 511.0 ! E G A As I wgt 0.0 0.0 -40310 -40310 -80619 80619 ! M1 M2 V1 V2 2279286.0 -1968200.0 287783.0 -287783.0 287783.0 -287783.0 WEIGHT 0 2 112293 112293 112293 3 112293 112293 112293 5 0 0 0 LOADS ! n Fx 2 0 3 0 5 0
Fy
! Loads representing gravity loads Mz
SHAPE 1 0.0 2 500000.0 3 0.0 4 0.0 5 0.0 EQUAKE 1 1 1.0 1.0 START Format 1 0.0 2 1.0
! Linear Ramp Function 'Caltech' 0.1 1.0
0.2 1.0
0.3 1.0
0.4 1.0
0.5 1.0
0.6 1.0
0.7 1.0
0.8 1.0
0.9 1.0
Figura 31. Vista del archivo Miejpu2.txt, para análisis inelástico con viga Giberson 38
GRAFICO CONJUNTO 450.000
400.000
350.000
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
0 0,000E+00
2,000E-02
4,000E-02
6,000E-02
8,000E-02
1,000E-01
1,200E-01
1,400E-01
DESP EN X NUDO 2 (M) MANUAL
RUA CON GIB
RUA
Figura 32. Gráfico conjunto de las tres Curvas de Capacidad Obtenidas 39
40
PARTE II: PÓRTICO ARRIOSTRADO 4. DEFINICION DE LA ESTRUCTURA ARRIOSTRADA A ESTUDIAR
2
2 2
5
3
3
5
6 1
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 33. Pórtico arriostrado elemental a estudiar Material: • • • • •
Tipo de acero: Módulo de elasticidad: Módulo de cortante: Punto de fluencia: Resistencia mínima especificada a la tensión:
ASTM A570, Grado 50 E = 2 E 11 N/m 2 G = 7.7 E 10 N/m 2 Fy = 3.43 E 8 N/m 2 F u = 4.46 E 8 N/m 2
Secciones estructurales:
Miembro 1 2 3 4 5 6
Perfil W 12 x 53 W 12 x 35 W 12 x 35 W 12 x 53 ST 8” x 4” x 3/8” ST 8” x 4” x 3/8”
Tabla 10. Secciones estructurales del pórtico a estudiar Las propiedades de los perfiles correspondientes a los miembros 1 a 4 se hallan en la figura 2 y en las tablas 2 y 3. El pórtico se arriostrará mediante los miembros 5 y 6, articulados en sus extremos y cuyas propiedades se hallan en la figura 34 y en la tabla 11.
41
bf = Ancho de la aleta d
t
t = Espesor del perfil d = Altura del perfil
bf
Figura 34. Nomenclatura de los perfiles ST
ST 8" x 4" x 3/8" bf = t= d= Área = As = Peso =
0,1016 0,009525 0,2032 0,0054435 0,0067902 419,20
m m m m2 m2 N/m
Fy = Fr = Fy - Fr = E= Ixx = Sxx = Zxx = My = Mp =
3,430E+08 7,000E+07 2,730E+08 2,000E+11 2,808E-05 2,764E-04 3,489E-04 9,532E+04 1,203E+05
N/m^2 N/m^2 N/m^2 N/m^2 m^4 m^3 m^3 N,m N,m
Tabla 2. Propiedades del perfil W 12 X 35
42
5. CÁLCULO PASO A PASO DE LA CURVA DE CAPACIDAD DEL PÓRTICO ARRIOSTRADO Se aplicará a la estructura una carga vertical reducida para representar la condición en que puede hallarse a momento de ser solicitada por sismo. Como es explicó en el capítulo 2 debe usarse la combinación de carga A4-5: ‘1.2 D + 0.5 L = 1.2 * 37 431 + 0.5 * 17 658 = 53 746 N/m Los diagramas de fuerza axial y momento flector que genera esta condición de carga se presentan en las figuras 36 y 37. Para efecto de estimar en dónde se presentará la primera rótula plástica se aplicará a la estructura una fuerza horizontal en su punto superior, como se ve en la figura 38, que produce los diagrama de las figuras 39 y 40.
53 746 N/m 2
5
2 6
3
3
5 2
1
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 35. Pórtico arriostrado sometido a carga vertical
-31150 -154100
-154100 -28150
-28150
Figura 36. Diagrama de fuerza axial por condición de carga de figura 35 [N]
43
111 000
133 600
133 600
58 160 N.m
58 160
Figura 37. Diagrama de momento flector por condición de carga figura 35 [N.m]
1 000 5
2
2
3
6
3
5 2
1
3.5 m
4
1
4
6m
Figura 38. Pórtico arriostrado sometido a carga unitaria
500 -500
287.3
-287.3 553.4
-553.4
Figura 39. Diagrama de fuerza axial por condición de carga unitaria [N] 44
25.47 25.47
51.36 N.m
51.47
Figura 40. Diagrama de momento flector por condición de carga unitaria [N.m]
45
CONCLUSIONES •
El método de análisis no lineal conocido como Curva de Capacidad permite hacer una evaluación de los estados que se presentarán en una estructura antes del colapso.
•
Al aplicar la opción de RUAUMOKO para análisis inelástico se obtienen resultados muy parecidos a los obtenidos con el método paso a paso presentado en el ATC 40.
•
El programa RUAUMOKO puede arrojar resultados más exactos que los obtenidos manualmente porque puede incorporar el uso de miembros vigacolumna en los que se tiene en cuenta la interacción de tensiones de producidas por fuerza axial y momento flector.
•
Las deformaciones inelásticas envueltas en la secuencia de plastificación de una sección de acero pueden llegar a ser muy importantes y se debe profundizar en su efecto para lograr Curvas de Capacidad más confiables.
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