PRÁC PR ÁC TIC A
APLIC APL IC AC IO NES DE LA INT INTEGRAL EGRAL
Prá Pr á c tic a s M a tla b Prá Pr á c ti tic c a 12
Objetivos Profundizar en la comprensión del concepto de integración.
Aplicar la integral al cálculo de áreas y volúmenes
Comandos de Matlab int Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: s yms x i nt ( x^2/ ( x^6- 8) )
rsums Aproxima la integral de f mediante f mediante sumas de Riemann y realiza una representación gráfica de los rectángulos. Ejemplo: s yms x r sums exp( exp( - x^2)
Área entre dos curvas: Considerar la región A comprendida entre la parábola x 3 y 2 y la recta y x 1 .
1
a) Calcular a.1) una aproximación del área de A mediante áreas de rectángulos verticales a.2) el valor del área de la región A integrando respecto de x b) Calcular b.1) una aproximación del área de A mediante áreas de rectángulos
PÁGINA 2
MATLAB: APLICAC IONESDE LA INTEGRAL
horizontales b.2) el valor del área de la región A integrando respecto de y
Código Matlab
a) Considerando rectángulos verticales e integrando respecto de x syms x a1=ar eaApr oxi mada( ' x- 1' , ' - s qr t ( 3- x) ' , - 1, 2, 16) ; hol d on a2=ar eaApr oxi mada( ' s qr t ( 3- x) ' , ' - sqr t ( 3- x) ' , 2, 3, 7) ; apr ox=a1+a2 %El punt o de cor t e ent r e l as dos c ur vas es x=- 1, x=2 ar ea_A=i nt ( ( x- 1) +sqr t ( 3- x) , - 1, 2) +i nt ( sqr t ( 3- x) +sqr t ( 3- x) , 2, 3)
donde se ha utilizado la función siguiente en la que se supone, por simplificar el código, que f está por encima de g en el intervalo a, b f unc t i on area=ar eaApr oxi mada( f , g, a, b, n) dx=( b- a) / n; ar ea=0; hol d on f or i =1: n c=a+( i - 1) *dx; h1=subs( f , c) ; h2=subs( g, c) ; h=h1- h2; ar ea=ar ea+dx*h; %Cr ea un r ect ángul o con un vér t i ce en el punt o ( c, 0) de %ancho dx y de al t o h i f h>0 r ect angl e( ' pos i t i on' , [ c h2 dx h] , ' FaceCol or ' , [ 1 0. 9 0. 8] ) end end xx=a: 0. 01: b; y1=subs( f , xx) ; y2=subs( g, xx) ; pl ot ( xx, y1, ' r ' , ' Li neWi dt h' , 3) pl ot ( xx, y2, ' b' , ' Li neWi dt h' , 3) end
b) Considerando rectángulos horizontales e integrando respecto de la variable y syms y a1=ar eaApr oxi madaV( ' 3- y^2' , ' y+1' , - 2, 1, 16) %El punt o de cor t e ent r e l as dos c ur vas es y=- 2, y=1 ar ea_A=i nt ( ( 3- y^2) - ( y+1) , - 2, 1)
donde se ha utilizado la función siguiente en la que se supone, por simplificar el código, que f está por encima de g en el intervalo a, b f unc t i on ar ea=ar eaApr oxi madaV( f , g, a, b, n)
MATLAB: PRÁCTICA 12
PÁGINA 3
dx=( b- a) / n; ar ea=0; hol d on f or i =1: n c=a+( i - 1) *dx; h1=subs( f , c) ; h2=subs( g, c) ; h=h1- h2; ar ea=ar ea+dx*h; %Cr ea un r ect ángul o con un vér t i ce en el punt o ( c, 0) de %ancho dx y de al t o h i f h>0 r ect angl e( ' pos i t i on' , [ h2 c h dx] , ' FaceCol or ' , [ 1 0. 9 0. 8] ) end end yy=a: 0. 01: b; x1=subs( f , yy) ; x2=subs( g, yy) ; pl ot ( x1, yy, ' r ' , ' Li neWi dt h' , 3) pl ot ( x2, yy, ' b' , ' Li neWi dt h' , 3) end
Área de una región plana limitada por una curva definida por ecuaciones paramétricas: x x t , y y t t a, b
a) Dibujar la lemniscata de Bernouilli de ecuaciones x t
a cos t
t 1 a sen t cos t y t 2 sen t 1 sen
2
y calcular el área encerrada por dicha curva.
2
Nota: La ecuación cartesiana de la lemniscata es
x
2
2
y 2 a 2 x2 y 2
Esta curva se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a dos puntos fijos es constante e igual al cuadrado de la semidistancia entre dichos puntos. b) Repetir el apartado a) considerando la cicloide de ecuaciones paramétricas: x R t sen t y R 1 cos t
t
Nota: Esta curva es la que describe una chincheta clavada en una rueda de radio R que avanza girando sin deslizar.
PÁGINA 4
MATLAB: APLICAC IONESDE LA INTEGRAL
c) Repetir el apartado a) considerando la cardioide de ecuaciones paramétricas: x a cos t 1 cos t y a sen t 1 cos t
t 0, 2
Nota: La ecuación cartesiana de la cardioide es
x
2
2
ax y 2 x2 y2 a2 siendo a un parámetro. Esta curva es la
que describe un punto fijo del borde de un círculo que rueda sin deslizar sobre otro del mismo radio.
Una curva dada en paramétricas es el conjunto de puntos x, y de la forma x x t y y t
t a, b
Si las funciones x e y tiene derivada continua entonces ‐ el área limitada por C y el eje OX es b
y t x ' t dt a
‐ el área limitada por C y el eje OY es b
x t y ' t dt a
Accede a la página http://www.giematic.com/integralDef/laboratorios/parametricas.html para ver la representación de las curvas que se definen en este ejercicio. Observa que: ‐ se recorre toda la lemniscata cuando t 0, 2 ‐ se recorre un ciclo de la cicloide cuando t 0, 2 R ‐ se recorre la cardioide cuando t 0, 2
Código Matlab syms a t %Lemni scat a de Bernoui l l i x=a*cos( t ) / ( si n( t ) ^2+1) ; y=a*si n( t ) *cos( t ) / ( si n( t ) ^2+1) ; l emni s cat a=4* i nt ( abs ( y* di f f ( x, t ) ) , t , 0, pi / 2) %Ci cl oi de syms R
MATLAB: PRÁCTICA 12
PÁGINA 5
x=R* ( t - s i n( t ) ) ; y=R*( 1- cos( t ) ) ; ci cl oi de=s i mpl i f y( i nt ( abs ( y* di f f ( x , t ) ) , t , 0, 2* pi ) ) %Car di oi de x=a*cos( t ) *( 1+cos( t ) ) ; y=a*si n( t ) *( 1+cos( t ) ) ; c ar di oi de=2* i nt ( abs ( y *di f f ( x, t ) ) , t , 0, pi )
El siguiente código permite representar la cicloide con Matlab f unc t i on c i c l oi de( a, k, m) % ci cl oi de( a, k, m) di buj a 1 ci cl o de l a ci cl oi de dada por ( a( t - s en( t ) , a( 1- cos ( t ) ) % así como l a ci r cunf er enci a gener at r i z % ci cl oi de( a, k) di buj a k ci cl os de l a mi sma ci cl oi de t =0: . 01: 2*pi ; i f nar gi n==3 x=a* ( t - s i n( t ) ) ; y=a*( 1- cos( t ) ) ; pl ot ( x, y, ' - - r ' ) axi s equal hol d on f or i =0: 2*pi / m: 2*pi xc=a*cos( t ) +i *a; yc=a*si n( t ) +a; pl ot ( xc, yc ) px=a* ( i - s i n( i ) ) ; py=a* ( 1- cos ( i ) ) ; pl ot ( px, py, ' or ' ) pl ot ( i * a, a, ' o' ) pl ot ( [ i * a, px] , [ a, py] ) pause( 2) end el s e f or n=0: k- 1 x=a*( t - si n( t ) ) +2*pi *n*a; y=a*( 1- cos( t ) ) ; pl ot ( x , y) axi s equal hol d on end end hol d of f
Áreas planas en coordenadas polares a) Calcular el área encerrada por la cardioide de ecuación polar a 1 cos siendo a un número real.
3
b) Calcular el área de la región encerrada a la vez en la cardioide y en la circunferencia a sen considerando a 0 . Nota: Este ejercicio está resuelto analíticamente paso a paso en la página http://www.giematic.com/integralDef/ejercicios/Eareapol3.html
Accede a la página http://www.giematic.com/integralDef/laboratorios/polares.html
PÁGINA 6
MATLAB: APLICAC IONESDE LA INTEGRAL
para ver la representación de las dos curvas y como ‐ se recorren la cardioide cuando 0, 2 ‐ se recorre la circunferencia cuando 0,
a) Para calcular el área del sector limitado por la curva , continua en el intervalo
1 , 2 , y los dos radios vectores se calcula como: A
2
1
2
d . 2 1
En el caso de la cardioide será: a2 2
2
1 cos
2
d
0
3 2
a
2
Código Matlab: syms a phi r ho=a*( 1+cos( phi ) ) ; i nt ( 1/ 2*r ho^2, phi , 0, 2*pi )
Puedes utilizar la función cardioide.m para representar en Matlab esta curva. b) Calculamos los puntos de corte que son para
2
y
El área pedida será: a2 2
/2
0
sen
2
d
a2 2
1 cos
2
/2
d 1 a 2 2
Código Matlab: syms a phi r ho=a*( 1+cos( phi ) ) ; r ho1=a*si n( phi ) ; punt os=sol ve( r ho- r ho1, phi ) area2=i nt ( 1/ 2*r ho1^2, phi , 0, punt os( 2) ) + i nt ( 1/ 2*r ho^2, phi , punt os( 2) , punt os( 1) ) ; pr et t y( s i mpl i f y( ar ea2) )
Para representar la cardioide y la circunferenencia con Matlab puedes utilizar el siguiente código: f unc t i on curvasp( a) % Repr esent aci ón de l a car di oi de t =0: . 01: 2*pi ; r =a*( 1+cos( t ) ) ; pol ar ( t , r ) hol d on % Bast ar í a consi der ar t ent r e 0 y pi % par a r ecor r er l a ci r cunf er enci a r =a* s i n( t ) ; pol ar ( t , r , ' r ' )
MATLAB: PRÁCTICA 12
PÁGINA 7
l egend( ' r =a( 1+cos( t ) ' , ' r =a s i n( t ) ' ) hol d of f
Ejercicios propuestos
1
La superficie de una parte de una máquina es la región entre las gráficas de y1 x y y2 0.08x 2 k a) Encontrar k si la parábola es tangente a la gráfica de y1 b) Encontrar el área de la superficie de la parte de la máquina.
Demostrar, con ayuda de Matlab, que: a)
El área de una circunferencia de centro a, b y radio r es r 2 . ‐ Utilizando coordenadas cartesianas: ‐ Utilizando ecuaciones paramétricas x t a r cos t
2
y t b r sen t
t 0, 2
b) El área de una elipse de centro , y de semiejes a y b es ab ‐ Utilizando coordenadas cartesianas: ‐ Utilizando ecuaciones paramétricas x t a cos t y t b sen t
t 0, 2
Áreas planas en coordenadas polares
3
a) Calcular el área de una rosa de 2n pétalos de ecuación cos n para n 2 y para n 4 . b) Calcular el área de las dos primeras vueltas de la espiral de Arquímedes de ecuación a con a 0 c) Calcular el área de la región rodeada por un lazo de la lemniscata 2 cos 2
