Curva de Bézier

Curva de Bézier

Construcción de una curva de Bézier.

Se denomina curvas de Bézier  a  a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para 1960 para el trazado de dibuos técnicos! en el diseño aeron"utico # en el de automóviles. Su denominación es en honor a $ierre Bézier ! quien ideó un método de descripción matem"tica de las curvas que se comenzó a utilizar con é%ito en los pro&ramas de C'( C'(.. )as curvas de Bézier *ueron publicadas por primera vez en 196+ por el in&eniero *rancés $ierre Bézier ! que las usó posteriormente con pro*usión en el diseño de las di*erentes partes de los cuerpos de un automóvil! en sus años de trabao en la ,enault ,enault.. )as curvas *ueron desarrolladas por $aul de Castelau usando Castelau usando el al&oritmo al&oritmo que  que lleva su nombre nombre.. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier. $osteriormente! los inventores del $ostScript $ostScript!! len&uae que permitió el desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador! introdueron en ese códi&o el método de Bézier para la &eneración del códi&o de las curvas # los trazados. -l len&uae $ostScript si&ue emple"ndose ampliamente # se ha convertido en un est"ndar de calidad universal por ello! los pro&ramas de diseño vectorial como vectorial como 'dobe  'dobe /llustrator ! el e%tinto acromedia ree2and # ree2and  # Corel (ra3! (ra3! tres de los pro&ramas m"s importantes de dibuo vectorial # otros como /n4scape /n4scape!! denominan 5bézier a al&unas de sus herramientas de dibuo! # se habla de 5trazados bézier! 5pluma bézier! 5l"piz bézier! etc. Su *acilidad de uso la ha estandarizado en el diseño &r"*ico! &r"*ico! e%tendiéndose también a pro&ramas de animación vectorial! como 'dobe como  'dobe lash!! # retoque *oto&r"*ico 7bitmap lash 7 bitmap8! 8! como$hotoshop como$hotoshop #  # imp imp!! donde se usa para crear *ormas cerradas o selecciones. )a idea de de*inir &eométricamente las *ormas no es demasiado complea: un punto del plano puede de*inirse por coordenadas. $or eemplo! un punto ' tiene unas coordenadas 7% 1! #18 # a un punto B le corresponde 7% +!#+8. $ara trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lu&ar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva! sur&en los elementos esenciales de una curva Bézier los puntos se denominan 5puntos de anclae o 5nodos. )a *orma de la curva se de*ine por unos puntos invisibles en el dibuo! denominados 5puntos de control! 5maneadores o 5manecillas.

Examen de los casos Curvas lineales de Bézier  (ados los puntos P0 # P1! una curva lineal de Bézier es una l;nea recta entre los dos puntos. )a curva viene dada por la e%presión:

Curvas cuadráticas de Bézier 
)as *uentes de letras =rue=#pe usan curvas de Bézier desdobladas compuestas por curvas cuadr"ticas de Bézier.

Curvas cúbicas de Bézier 

Curva c>bica de Bézier donde se aprecian los puntos o nodos de anclae $ 1 # $+.

Cuatro puntos del plano o del espacio tridimensional! P0! P1! P+ # P? de*inen una curva c>bica de Bézier. )a curva comienza en el punto P0 # se diri&e hacia P1 # lle&a a P? viniendo de la dirección del punto P+.
)os modernos sistemas de im"&enes como $ostScript! 's#mptote # eta*ont usan curvas de Bézier desdobladas! compuestas por curvas c>bicas de Bézier para dibuar las *ormas de las curvas.

Generalización )a curva de Bézier de &rado puede ser &eneralizada de la si&uiente manera. (ados los puntos P0! P1!...! Pn! la curva de Bézier es del tipo:

$or eemplo! una curva de orden cinco 7

8 quedar;a como:

-sta ecuación puede ser e%presada de manera recursiva como si&ue: sea la e%presión que denota la curva de Bézier determinada por  los puntos P0! P1!...! Pn. -ntonces

-n otras palabras! el &rado de la curva de Bézier es una interpolación entre los dos &rados de las curvas de Bézier.

Terminología -%iste una terminolo&;a asociada e%clusivamente para este tipo de curvas. Se tiene:

donde las polinomiales

son conocidas como polinomios de Bernstein de &rado n! de*inidos por 0 0 A 1. )os puntos Pi  son llamados puntos de control  de las curvas de Bézier. -l pol;&ono *ormado por  la cone%ión de los puntos de Bézier con rectas! comenzando por P0 # terminando en Pn! se denomina polígono de Bézier  7o polígono de control 8. )a envolvente conve%a del pol;&ono de Bézier contiene las curvas de Bézier.

Notas )a curva de Bézier se encuentra en el interior de la envolvente conve%a de los puntos

•

de control. •

)a curva de Bézier es in*initamente derivable.

•

-l control de la curva es &lobal. odi*icar un punto de control implica modi*icar completamente la curva. $ara e*ectuar una trans*ormación a*;n de la curva es su*iciente e*ectuar la

•

trans*ormación sobre todos los puntos de control. )a curva comienza en el punto P0 # termina en el Pn. -sta peculiaridad es

•

llamada interpolación del punto final . )a curva es un se&mento recto si! # sólo si! todos los puntos de control est"n

•

alineados. -l comienzo 7*inal8 de la curva es tan&ente a la primera 7>ltima8 sección del pol;&ono

•

de Bézier.
•

arbitraria en tantas curvas como se quieran! cada una de las cuales es una nueva curva de Bézier.

 'l&unas curvas que parecen simples! tales como una circun*erencia! no pueden ser

•

descritas de manera e%acta mediante curvas de Bézier o se&mentos de esta clase de curvas 7por raro que parezca una curva *ormada a su vez por cuatro se&mentos de curva puede apro%imarse a un c;rculo! con un error radial m"%imo menor de una parte por mil! en cada punto de control interno la distancia es

de manera horizontal o vertical de un

punto de control del e%terior sobre el c;rculo unidad8. )a curva compensada obtenida a partir de una curva de Bézier dada! *recuentemente

•

llamada curva compensada 7*alsa @paralela@ a la curva ori&inal! como los ra;les en una v;a de tren8 no puede ser trazada de manera e%acta mediante curvas de Bézier. (e todas *ormas ha# métodos heur;sticos que proporcionan! normalmente! una apro%imación adecuada en al &unos propósitos pr"cticos.

Construcción de curvas de Bézier Curvas lineales )a

en la *unción para la curva lineal de Bézier se puede considerar como un descriptor de

cu"n leos est"

de

lon&itud entre el punto recta de

a

. $or eemplo cuando

# el punto

. Como

!

var;a entre 0 # 1!

es un cuarto de la describe un l;nea

a

Curvas cuadráticas $ara curvas cuadr"ticas se pueden construir puntos intermedios desde var;a de 0 a 1: •

$unto

var;a de

a

# describe una curva lineal de Bézier.

•

$unto

var;a de

a

# describe una curva lineal de Bézier.

•

$unto

var;a de

a

a

tales que

# describe una curva cuadr"tica de Bézier.

Construcción de una curva cuadr"tica de Bézier.

 'nimación en

.

Curvas de órdenes superiores $ara curvas de orden superior se necesitan! ló&icamente! m"s puntos intermedios. $ara curvas c>bicas se pueden localizar puntos intermedios Q0! Q1 # Q+ que describen las curvas lineales de Bézier # los puntos R0 # R1 que describen las curvas cuadr"ticas:

Construcción de una curva c>bica de Bézier 

 'nimación t  en el intervalo 0!1

D para curvas de &rado E! se pueden localizar los puntos intermedios Q0! Q1! Q+ # Q? que describen las curvas lineales de Bézier! los puntos R0! R1 # R+ que describen las curvas cuadr"ticas # los puntos 0 # 1 que describen las curvas c>bicas.

Construcción de una curva de Bézier de cuarto orden.

 'nimación! t  en el intervalo 0!1.

 Aplicaciones !rá"icos de ordenador  )as curvas de Bézier han sido ampliamente usadas en los &r"*icos &enerados p or ordenador para modelado de curvas suaves. Como la curva est" completamente contenida en la envolvente conve%a de los puntos de control! dichos puntos pueden ser visualizados &r"*icamente sobre el "rea de trabao # usados para manipular la curva de una *orma mu# intuitiva. )as trans*ormaciones a*ines tales como traslaciones # rotaciones pueden ser aplicadas! con &ran *acilidad! a las curvas! aplicando las trans*ormaciones respectivas sobre los puntos de control. )as curvas cuadr"ticas # c>bicas son mu# corrientes. )as curvas de &rados superiores son m"s di*;ciles de evaluar. Cuanto m"s compleas son las super*icies que se necesitan! las curvas de bao orden son menos apropiadas. $ara &arantizar la suavidad de las curvas el punto de control en el que se untan dos curvas # el punto de control sobre cualquiera de los lados debe ser colineal. -sta opción est" *recuentemente desactivada en pro&ramas como 'dobe /llustrator o /n4scape. -stas curvas poliFBézier pueden ser observadas en el *ormato de archivo SG. -l método m"s simple para rasterizar  una curva de Bézier es evaluarla en muchos puntos espaciados! mu# pró%imos entre s;! # escanearla apro%imando la secuencia de se&mentos lineales. -sta manera de proceder no &arantiza un resultado con la su*iciente suavidad porque los puntos pueden estar espaciados demasiado separados. ' la inversa! se pueden &enerar bastantes puntos de control en "reas donde la curva est" cercana a la *orma lineal. n! es la subdivisión recursiva! en el que l os puntos de control de la curva son austados para ver si la curva se apro%ima a se&mentos lineales sin pequeñas

tolerancias. Si esto no se lo&ra! la curva es subdividida paramétricamente en dos se&mentos # # el mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad. =ambién ha# métodos que usan la di*erenciación! pero se debe tener cuidado # analizar los errores de propa&ación. )os métodos anal;ticos donde un desdoble es intersecado con cada l;nea escaneada hallando ra;ces de poli nomios de &rado tres 7por se&mentación c>bica8 # con m>ltiples ra;ces! pero no son *recuentes en la pr"ctica.