CURVA DE AGNESI
Evandro Moreno de Siqueira (
[email protected]) (
[email protected]) Paulo Roberto Pola Campos (
[email protected] (
[email protected]) sp.br)
Curso de Licenciatura em Matemática Universidade Estadual Paulista–UNESP, Campus de Guaratinguetá Julho de 2007
Trabalho desenvolvido durante a disciplina de Calculo Diferencial e Integral II Professor: Dr. José Ricardo Zeni
Objetivo • • • • • • •
Este trabalho tem como objetivo mostrar: Quem foi Maria Gaetana Agnesi; O que é a Curva de Agnesi; Como construir essa curva; As varias formulas desta mesma; Suas características; Curvatura, área abaixo do gráfico, tangente... Aplicações.
Introdução – Um pouco sobre a História Maria Gaetana Agnesi
Agnesi nasceu em Milão, no ano de 1718. Garota precoce e inteligente, teve uma educação esmerada, orientada por seu pai, professor de Matemática na Universidade de Bolonha. Ele apresentou sua filha nas reuniões que organizava, onde se encontravam acadêmicos, cientistas e intelectuais renomados. As discussões nessas reuniões, que estavam em moda naquela época, se davam em latim, mas, se algum estrangeiro se dirigia a ela, prontamente respondia-lhe na sua própria língua. Ela era uma poliglota fluente. Já aos onze anos, falava latim e grego perfeitamente, além de hebraico, francês, alemão e espanhol. Agnesi conhecia a Matemática de sua época. Tinha estudado os trabalhos de Newton, Leibniz, Euler, dos irmãos Bernoulli, de Fermat e de Descartes, além de ser versada em Física e em vários outros ramos da ciência. Aos 20 anos publica um tratado escrito em latim, Propositiones Philosophicae, no qual insere várias de suas teses e defende a educação superior para mulheres. Nesse período ela decide dedicar-se à vida religiosa e entrar para uma ordem. Com a oposição de seu pai a essas idéias, o máximo que consegue é convencê-lo de não mais freqüentar suas reuniões acadêmicas, onde era exibida como um prodígio intelectual, e de ter uma vida reservada e simples. Entretanto, antes de definitivamente abraçar a vida religiosa, Agnesi passaria dez anos de sua vida dedicados ao estudo da Matemática e escreveria sua obra magna, a Instituzioni Analitiche ad uso delia Gioventú. Esse foi um dos primeiros textos de cálculo escrito de forma didática. A obra consiste em quatro grandes volumes, abordando tópicos de Álgebra, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais. Os volumes, publicados em 1748, somam mais de 1000 páginas. Com esse trabalho obteve aclamação imediata. Um comitê da Academia de Ciências da França encarregado de avaliar a obra declarou: "Este trabalho caracteriza-se por sua organização cuidadosa, por sua clareza e precisão. Não há nenhum outro livro, em qualquer língua, que possa permitir ao leitor penetrar tão profunda ou rapidamente nos conceitos fundamentais da análise. Nós o consideramos como o mais completo e o melhor em seu gênero".
Em 1775 esse trabalho era publicado em francês por decisão de uma comissão da Academia Real de Ciências, da qual participavam os matemáticos d'Alambert e Vandermonde. A notoriedade de Agnesi espalhou-se rapidamente. Embora não fosse aceita na Academia francesa, já que nem poderia ser indicada por ser mulher, a Academia Bolonhesa de Ciência a aceitou como membro. Em 1749, o papa Benedito XIV conferiu-lhe uma medalha de ouro e uma grinalda de flores de ouro com pedras preciosas pela publicação de seu livro e a indicou como professora de Matemática e Filosofia Natural da Universidade de Bolonha, cátedra que nunca chegou a assumir. Em 1762, a Universidade de Turim pede sua opinião sobre um trabalho de Cálculo das Variações escrito pelo jovem Lagrange. Entretanto esses assuntos já não mais a interessavam. Desde 1752, após a morte de seu pai, ela tinha abandonado a Ciência e assumido a vida religiosa. Não se tornou uma freira, mas vivia como uma delas. Fundou uma casa de caridade, isolou-se da família, fez voto de pobreza e seu único objetivo foi dar aulas de catecismo e cuidar dos pobres e doentes de sua paróquia, trabalho esse que só cessaria com sua morte, em 1799, aos 81 anos de idade. Infelizmente Agnesi, que muitos nem imaginam ser uma mulher, ficou apenas conhecida por uma curva de terceiro grau, que leva seu nome, a chamada "Curva de Agnesi", também chamada de “Bruxa de Agnesi”.
Curva de Agnesi Agnesi escreveu a equação desta curva na forma xy2=a2(a-x) porque considerava o eixo-x como sendo o eixo vertical e o eixo-y como sendo o eixo horizontal. Hoje essa equação é da forma y( x2 + a2) = a3. Essa curva foi originalmente estudada por Fermat. A curva era conhecida como “las versiera Agnesi”, onde versiera significa "a que gira". Porem versiera também é uma abreviação de “avversiera” (mulher do Demônio). Uma má tradução inglesa converteu “la versiera” em “avversiera”, então a curva (e também a própria matemática) ficou conhecida como “a bruxa de Agnesi”.
Desenvolvimento Construção da Curva de Agnesi Para definir a curva considere uma circunferência de centro (0, a/2) e raio a/2. Seja AB = a o diâmetro da circunferência, r a reta que contem o diâmetro AB, u a reta perpendicular a r que passa por A, t a reta perpendicular a r que passa por B, M um ponto que pertence à circunferência e s a reta que passa por M e A. Seja N o ponto de intersecção das retas s e t. Então: A curva de Agnesi é o lugar geométrico dos pontos P que estão a igual distância da reta u que o ponto M, e a mesma distância da reta r que o ponto N, quando M percorre a circunferência.
Portanto, se P tem como coordenadas P (x, y), sua abscissa x coincide com a do ponto N (x, a) e sua ordenada com a do ponto M. Equação Cartesiana
Para obter a equação cartesiana da Curva de Agnesi:
Equações Paramétricas Se é o ângulo MAB, então x = a.tg e y = AM .cos , logo y² = AM² · cos² . Aplicando o teorema do cateto ao triângulo retângulo AMB tem-se que AM² = ay, portanto y² = ay · cos² , e se y é diferente de zero: y =a.cos² . (Para y = 0, como cos = 0, também se verifica a equação). Logo as equações paramétricas são:
Apresentando a construção passo-a-passo (mas com r e u passando pelo ponto N e M respectivamente): a) Construa um sistema de coordenadas ortogonais de origem O. b) Construa uma circunferência de raio a/2 tangente ao eixo x na origem. c) Construa a reta t de equação y=a e a seguir considere um ponto N da reta t. O segmento ON intercepta a circunferência no ponto M. d) Seja r a reta por N, perpendicular ao eixo x e u a reta por M e perpendicular ao eixo y. Indique por P a intersecção de r e u. e) O lugar geométrico de P quando A se move sobre a reta y=a é a curva de Agnesi.
Fórmulas da Curva de Agnesi Encontram-se várias fórmulas que definem a curva de agnesi, a seguir apresento algumas delas: Alguns autores consideram o raio da circunferência igual a “ a”, então suas equações cartesianas e paramétricas ficam:
Outros autores, na hora do desenvolvimento para obter as equações paramétricas, consideram no momento da semelhança dos triângulos, as bases dos triângulos pertencendo ao eixo-x, obtendo as seguintes equações:
É comum também encontrar as equações paramétricas sem a utilização das formas trigonométricas:
Outras equações encontradas nada mais são do que uma combinação das situações apresentadas aqui.
Características
Algumas características da curva (considerando como “a” o diâmetro da circunferência): • Simétrica em relação ao eixo Y; Tem como assíntota o eixo X; • Pontos de inflexão (pontos onde a concavidade da curva muda): •
• •
Tem como valor máximo y = a . Crescente para x<0 e decrescente para x>0.
Reta Tangente (t 2+1)2 y + 2t x = a(3t 2+1) (reta tangente obtida a partir da equação paramétrica (x,y)=(at , a/(1+t²) ) ) Como exemplo as retas tangentes ao gráfico nos pontos (0,1) e (1,1/2), com a=1
Área abaixo do gráfico
(Pelo Cálculo Integral, a área limitada pela Curva de Agnesi com a=1 e o eixo dos x , área hachurada na figura, é exatamente igual ao numero irracional π)
Curvatura
(curvatura obtida a partir da equação paramétrica (x,y)=(2at,2a/(1+t²)), com diâmetro 2a ) No caso para a=1/2 e ponto (0,1), o circulo de curvatura é a própria circunferência que gera a Curva de Agnesi.
Aplicações Esta curva foi discutida por Fermat em 1703 e na época em que foi determinada esta curva, não se conhecia aplicação para ela. Foi estabelecido recentemente que é uma aproximação da distribuição do espectro de energia dos raios X Y dos raios ópticos, assim como a potência dissipada nos circuitos de alta freqüência de ressonância. Verificou-se que o efeito Doppler apresentou um erro na curva de Gauss, e a Curva de Agnesi se aproximou do resultado real esperado. Ainda há pesquisas sobre a aplicação da curva, feita, por exemplo, por Roy C. Spencer num laboratório de Física numa Universidade em Nebraska. Há aplicações em estatísticas. Pesquisa também esta associando a curva ao efeito atmosférico que uma montanha pode causar ao seu redor.
Conclusão Pode-se verificar que Maria Gaetana Agnesi destacou-se como matemática escrevendo um livro de grande importância na época, recebendo louvor por figuras importantes de todo o mundo. Uma curva de agnesi é construída através de um lugar geométrico definido através de uma circunferência que é tangente ao eixo-x e tangente a uma reta paralela ao eixo-x e uma reta que parte da origem. Foram apresentadas suas características, como a reta assíntota, ponto de máximo (y igual ao diâmetro da circunferência), equações diversas, curvatura, reta tangente e área abaixo do gráfico. Algumas aplicações recentes para esta Curva, na área de ondas do espectro de energia dos raios ópticos e potencia dissipada em circuitos de alta freqüência de ressonância da área de eletrônica. Enfim, uma noção geral da Curva de Agnesi, suas características e funções.
Bibliografia http://www.rpm.org.br/novo/conheca/30/2/mulheres.htm http://www.proem.pucsp.br/cabri/atividades/sessao13.doc http://www.paulomarques.com.br/arq11-6.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/AgnesiBiblio.asp http://www.epsilones.com/paginas/i-curvas.html#curvas-bruja http://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Witch.html http://mathforum.org/library/drmath/view/64324.html www.cs.appstate.edu/~sjg/womenandminoritiesinmath/final/agnesifinal/applications.pdf
