CURS - Teoria Similitudinii

Transferul de căldur ă - Curs

Cap. 3: Teoria similitudinii

Teoria similitudinii Similitudinea reprezintă o generalizare a asemănării geometrice. Fenomenele de aceeaşi natur ă şi descrise analitic de ecuaţii identice ca formă şi conţinut sunt similare. Similitudinea (asemănarea) geometrică

Două figuri geometrice sunt corespunzătoare sunt propor ţionale.

l l '

=

b b '

=

h

=

asemenea

R

h ' R '

=

l c l c'

dacă

segmentele

lor

= cl c

unde cl se numeşte factor de asemănare sau coeficient de scar ă al lungimii c

caracteristice, l c . Similitudinea cinematică

w w'

= cw

τ =c τ ' τ

;

Similitudinea dinamică

F F '

= c F

a

;

a '

= ca

m

;

m '

= cm

Similitudinea termică

t t ' Remarcă:

Două

= ct ;

q& q& '

= cq&

fenomene

λ = cλ λ '

;

similare

au

coeficienţi

de

interdependenţi. Exemplu:

τ' l c τ' cl c cw = = ⋅ = ⋅ = w' τ l c' l c' τ cτ w l c

cw

→

1

=

cl

c

cτ

→

cw ⋅ cτ cl

=1

c



scar ă



w ⋅τ l c

=

w' ⋅τ ' l c '

= const . = Ho

unde constanta adimensională Ho este criteriul de homocronie, iar expresia ei se numeşte invariant, criteriu adimensional sau criteriu de similitudine. Ho =

w ⋅τ l c

[-]

Legile similitudinii 1. Legea lui Newton: Două fenomene similare au criterii de similitudine identice. 2. Legea lui Buckingham: Soluţia generală a sistemului de ecuaţii care descrie un fenomen poate fi exprimat ă cu ajutorul criteriilor de similitudine corespunzătoare fenomenului sub forma unei ecua ţii criteriale:

f ( K 1 , K 2 ,K , K n ) = 0 unde K 1 , K 2 , ... , K n sunt criterii de similitudine. 3. Legea lui Kirpicev-Guhmann Kirpicev-Guhmann: Condiţiile de unicitate a dou ă fenomene similare sunt la rândul lor similare şi respectă legea lui Newton. Criteriile de similitudine corespunzătoare condiţiilor de unicitate se numesc criterii determinante.

Similitudinea proceselor dinamice  ∂ 2 w x ∂ 2 w x ∂ 2 w x  ∂ w x ∂ w x ∂ w x 1 ∂ p  + g x w x ⋅ + w y ⋅ + w z ⋅ =− ⋅ +ν  2 + +  ∂ x ∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ x  ∂ y 2 ∂ z 2 

(cw )2 cl

c

=

c p c ρ ⋅ cl

c

2

c ⋅c = ν 2w = c g

(cl c )




(cw )2

c p

=

cl


→

c ρ ⋅ cl

c

c p cρ

c

=1

2

⋅ (cw )

p

→

ρ ⋅w

2

= const . = Eu

unde Eu este criteriul Euler. Not ă:

De regulă, în exprimarea criteriului Euler, se folose şte diferenţa de

presiune corespunzătoare pierderilor de sarcină: Eu

(c w )2

=

cl

c

cν ⋅ c w

cw ⋅ cl

c

→

(cl c )

2

cν

=1

→

= ∆ p ρ ⋅ w 2 w ⋅ l c

ν

= const . = Re

unde Re este criteriul Reynolds.

(c w )2 cl

= c g

c g ⋅ cl

c

→

2

(cw )

c

=1

g ⋅ l c

→

w

2

= const . = Fr

unde Fr este criteriul Froude.

Similitudinea proceselor termice 2 2 2  t t t ∂ t ∂ t ∂ t  ∂ ∂ ∂ w x ⋅ + w y ⋅ + wt ⋅ = a 2 + 2 + 2  ∂ x ∂ y ∂ z  ∂ x ∂ y ∂ z 

c w ⋅ ct cl

c

=

ca ⋅ ct

(cl c )

2

→

c w ⋅ cl

=1

c

ca

→

w ⋅ l c a

= const . = Pe

unde Pe este criteriul Péclet. Remarcă: Criteriul Péclet mai poate fi scris şi sub următoarea formă:

Pe =

w ⋅ l c a

unde Pr este criteriul Prandtl:

=

w ⋅ l c

ν

ν ν ⋅ = Re⋅ = Re⋅ Pr a

Pr =

3

a

ν a





Similitudinea condiţiilor la limită ∂ t α = − ⋅ (t p − t f ) ∂ n p λ ct cl

=

c

cα cλ

⋅ ct

cα ⋅ cl

c

→

cλ

=1

α ⋅ l c = Nu λ

→

unde Nu este criteriul Nusselt, criteriul de similitudine determinant pentru procesele de transfer de căldur ă prin convecţie. Pentru mişcarea for ţată: Nu

= f ( Re, Pr )

Pentru mişcarea liber ă: Nu = f (Gr , Pr )

Criterii de similitudine combinate

Fr ⋅ Re

2

=

g ⋅ l c w 2 ⋅ l c 2 w

2

⋅

ν

2

=

g ⋅ lc 3

ν

2

= const . = Ga

ρ o − ρ g ⋅ l c 3 ρ o − ρ Ga ⋅ = 2 ⋅ = const . = Ar ρo ρ ν o Ga ⋅ β

Gr ⋅ Pr =

Nu Pe

=

⋅ ∆ t =

g ⋅ l c 3

ν

2

Nu Re⋅ Pr

=

g ⋅ l c 3

ν

2

⋅ β ⋅ ∆ t = const . = Gr

ν

g ⋅ l c 3

a

ν ⋅a

⋅ β ⋅ ∆ t ⋅ =

(criteriul Arhimede)

(criteriul Grashof )

⋅ β ⋅ ∆ t = const . = Ra

α ⋅ l c ν a α ⋅ ⋅ = = const . = St λ w ⋅ l c ν ρ ⋅ w ⋅ c p

4

(criteriul Galilei)

(criteriul Rayleigh)

(criteriul Stanton)



CURS - Teoria Similitudinii

Recommend Documents