ACADEMIA NAVALĂ “MIRCEA CEL BĂTRÂN” FACULTATEA DE MARINĂ CIVILĂ DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT CU FRECVENŢĂ REDUSĂ DOMENIUL INGINERIE ELECTRICĂ SPECIALIZAREA ELECTROMECANICĂ
TEORIA SISTEMELOR ŞI REGLAJ AUTOMAT
PAUL BURLACU
Constanţa 2011
PREFAŢĂ Manualul este destinat disciplinei „Teoria sistemelor şi reglaj automat” care se predă studenţilor de la specializarea “Electromecanică navală”, forma de învăţământ frecvenţă redusă, Facultatea de Marină Civilă, . În prezent, în domeniul naval se evidenţiază tendinţa de trecere de la automatizarea locală a diverselor mecanisme la automatizarea complexă a proceselor navale, devenind operante sistemele integrate de conducere a navei în ansamblul ei. Conducerea distribuită şi ierarhizată a proceselor specifice navei a devenit o realitate des întâlnită, s-au construit nave cu deplasamente mari a căror echipaje sunt formate din câţiva specialişti (SUA, Japonia etc.). Utilizarea calculatoarelor, în general, a permis implementarea unor strategii flexibile de conducere şi respectiv luarea unor decizii optime privind conducerea navei. Dacă ne referim la nava de luptă, atunci evident că sistemele de armament, de comunicaţii, locaţie etc., interconectate, formează sisteme complexe a căror folosire în luptă necesită solide cunoştinţe teoretice şi practice în domeniul automaticii. Suportul de curs dezvoltă problemele fundamentale de analiză şi în mai mică măsură de sinteză a sistemelor automate, însuşirea acestora dând posibilitatea studentului de a aborda individual lucrări de specialitate complexe, scrise de personalităţi ştiinţifice consacrate domeniului automaticii. Altfel spus, suportul de curs reprezintă o introducere în automatică, suficient de profundă, care însuşită, să permită studentului să exploateze corect diferitele sisteme automate întâlnite la bordul navei.
CUPRINS Introducere Obiectivele cursului Concepţia curriculară Scopul unităţilor de învăţare Tematica unităţilor de învăţare Bibliografie Unitatea de învăţare 1 Introducere în automatică Obiective 1.1 Obiectul automaticii, definiţii, terminologie. Structuri de sisteme automate convenţionale, principii de funcţionare. Clasificarea sistemelor automate. Principalele probleme ale sistemelor de regalre automată Unitatea de învăţare 2 Analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante Obiective 2.1 Introducere în analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante. Clasificarea modelelor matematice utilizate în analiza sistemelor. Principalele tipuri de semnale de excitaţie convenţionale. Regimurile de funcţionare ale sistemelor liniare netede. Principalele performanţe în raport cu referinţa şi perturbaţia treaptă unitară. Statica sistemelor de reglare automată. 2.2 Calculul răspunsului sistemelor automate şi elementelor prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale. Calculul răspunsului şi performanţelor elementului aperiodic de ordinul 1. Calculul răspunsului şi performanţelor unui sistem liniar neted de ordinul 2. 2.3 Funcţia de transfer: definiţia funcţiei de transfer în raport cu referinţa, algebra funcţiilor de transfer. Utilizarea funcţiei de transfer pentru calculul erorii permanente. 2.4 Răspunsul la frecvenţă al sistemelor automate liniare netede. Definirea răspunsului la frecvenţă, caracteristicile de frecvenţă, proprietăţile caracteristicilor de frecvenţă. Caracteristicile logaritmice de frecvenţă. Corelaţia dintre răspunsul indicial şi răspunsul la frecvenţă. 2.5 Metoda variabilelor de stare. Definirea variabilelor de stare şi fază. Ilustrarea alegerii variabilelor de stare şi fază. Soluţia ecuaţiilor de stare. Calculul matricei fundamentale. Realizări. 2.6 Stabilitatea sistemelor liniare netede. Definiţii, stabilitatea internă şi externă. Criteriul de stabilitate Nyquist, marginile de stabilitate. Criteriul practic de stabilitate al lui Bode. 2.7 Aplicaţii. 2.8 Teste de autoevaluare. Unitatea de învăţare 3 Elemente de sinteză a sistemelor liniare Obiective 3.1. Regulatoare automate clasice. Funcţiile de transfer ale regulatoarelor automate tipizate. Funcţia de transfer simplificată a regulatorului automat electronic. Scheme de regulatoare automate electronice pentru procese rapide, deducerea funcţiilor de transfer. Criteriul modului şi simetriei de acordare optimă a regulatoarelor automate 3.2. Corecţia sistemelor liniare netede. Definiţii, clasificări, metode de corecţie. Corecţia serie şi derivaţie, circuite de corecţie.
3.3 Aplicaţii. 3.4 Teste de autoevaluare. Unitatea de învăţare 4 Sisteme automate neliniare Obiective 4.1. Introducere privind sistemele neliniare. Definiţii, scheme de structură. Principalele tipuri de neliniarităţi statice. Particularităţile sistemelor neliniare în raport cu sistemele liniare 4.2. Analiza sistemelor neliniare. Metoda planului fazelor. Metoda liniarizării armonice, principiul metodei, funcţia de descriere, studiul stabilităţii pe baza liniarizării armonice. Analiza sistemelor neliniare cu regulatoare bipoziţionale şi tripoziţionale. 4.3 Aplicaţii. 4.4 Teste de autoevaluare. Bibliografie
INTRODUCERE OBIECTIVELE CURSULUI 1. Să descrie corect schemele de structură ale sistemelor automate liniare invariante şi neliniare; 2. Să explice corect principiile de funcţionare ale sistemelor automate liniare netede şi neliniare; 3. Să utilizeze modelele matematice studiate în scopul analizei sistemelor automate liniare netede şi neliniare; 4. Să utilizeze programul MATLAB-SIMULINK în scopul analizei sistemelor automate liniare netede şi neliniare; 5. Să descrie matematic funcţiile de transfer ale regulatoarelor automate electronice liniare; 6. Să descrie schemele de regulatoare clasice pentru procesele rapide; 7. Să precizeze relul circuitelor de corecţie din cadrul sistemelor automate liniare netede şi invariante; 8. Să descrie corect principiul de funcţionare al unor sisteme automate de la nave: sisteme de stabilizare a drumului navei, sisteme de stabilizare a turaţiei motoarelor Diesel din cadrul grupurilor electrogene. CONCEPŢIA CURRICULARĂ Lucrarea de faţă îţi propune să asigure pregătirea de specialitate a viitorului ofiţer maritim inginer electrotehnic în domeniul automatizărilor navale. Parcurgerea, înţelegerea şi însuşirea unităţilor de învăţare se bazează pe cunoştinţele dobândite în cadrul disciplinelor fundamentale: analiză matematică, matematici speciale, bazele electrotehnicii, fizică, materiale electrotehnice, măsurări electrice şi electrotehnice. Parcurgerea acestei discipline de către studenţi este necesară pentru înţelegerea disciplinelor de specialitate: acţionări electrice, instalaţii electrice de bord, producerea şi distribuţia energiei electrice, etc. După parcurgerea acestei discipline studenţii trebuie să fie în măsură să descrie corect principiul de funcţionare al unor sisteme automate de la nave: sisteme de stabilizare a drumului navei, sisteme de stabilizare a turaţiei motoarelor Diesel din cadrul grupurilor electrogene, să remedieze defecţiunile ce survin în funcţionarea acestora şi să execute calculul de dimensionare al acestora. SCOPUL UNITĂŢILOR DE ÎNVĂŢARE Unităţile de învăţare au fost stabilite astfel încât să ajute cursanţii în primul rând sa identifice locul şi rolul acestei discipline în categoria disciplinelor de de bază din domeniul ingineriei electrice . Acest curs vine să aprofundeze noţiuni specifice domeniului ingineriei electrice, să ofere noţiuni noi care pot fi asimilate, evidenţiate şi puse în valoare în rezolvarea situaţiilor practice pe care le poate întâlni cel care studiază această disciplină. Totodată unităţile de învăţare selectate au fost alese astfel încât să ajute cursanţii să dobândească o serie de noţiuni de bază legate de automatizările navale şi de utilizarea acestora la bordul navelor maritime şi fluviale. Ca disciplină de învăţământ, “Teoria sistemelor şi reglaj automat” este prezentă în toate planurile de învăţământ ale facultăţilor Academiei Navale “Mircea cel Bătrân”, ceea ce denotă importanţa deosebită a acesteia.
TEMATICA UNITĂŢILOR DE ÎNVĂŢARE Unitatea de învăţare 1 Introducere în automatică Unitatea de învăţare 2 Analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante Unitatea de învăţare 3 Elemente de sinteză a sistemelor liniare Unitatea de învăţare 4 Sisteme automate neliniare BIBLIOGRAFIE 1. Călin S., Dumitrache I., ş.a, „Automatizări electronice”, E.D.P., Bucureşti, 1982; 2. Mihail Voicu, „Introducere în automatică”, ED: Polirom, Iaşi, 2002; 3. Gheorghe Livinţ, „Teoria sistemelor automate”, ED. Gama, Iaşi, 1996; 4. Şerban I., Corâci I.C., Popescu O., Popescu C.D., „Teoria sistemelor – Culegere de probleme. Răspunsul în timp al sistemelor liniare. Analiza stabilităţii sistemelor liniare.”, ED. MATRIX-ROM, Buc. 1997; 5. Şerban S., Corâci I.C., „Teoria sistemelor. Analiza în frecvenţă a sistemelor liniare”, ED. MATRIX-ROM, Buc., 1997; 6. Sever Şerban, Emil Creţu, „Sisteme liniare. Aplicaţii numerice.”, Editura Universităţii Titu Maiorescu, Buc., 2003; 7. Constantinescu M., „Tehnica reglării automate”, ED. A.N.M.B., 2003; 8. Constantinescu M., Preda I., „Teoria reglării automate. Sisteme liniare netede invariante. Culegere de probleme.”, ED. ANMB, Constanţa, 2006.
Unitatea de învăţare 1 INTRODUCERE ÎN AUTOMATICĂ Cuprins Obiectul automaticii, definiţii, terminologie. Structuri de sisteme automate convenţionale, principii de funcţionare. Clasificarea sistemelor automate. Principalele probleme ale sistemelor de regalre automată Aplicaţii. Teste de autoevaluare OBIECTIVE - să indice principalele tipuri de sisteme automate; - să cunoască principiile de funcţionare ale sistemelor automate; - să enumere, să definească şi să compare sistemele automate; - să enumere principalele probleme ale sistemelor de regalre automată.
INTRODUCERE ÎN AUTOMATICĂ 1.1. Obiectul automaticii. Automatizarea proceselor. Definiţii.
Ştiinţa conducerii sau cibernetica se ocupă cu stabilirea principiilor generale şi a legilor de conducere a obiectelor, de naturi diferite, pentru atingerea de către acestea a unor scopuri anumite, pe baza obţinerii, transmiterii, prelucrării şi utilizării informaţiei. Baza metodelor sale o constituie modelarea matematică, adică construcţia şi studiul comportării modelelor abstracte aferente sistemelor reale. În domeniul tehnic, ramura ştiinţei care se ocupă cu studiul principiilor, metodelor şi mijloacelor prin intermediul cărora se asigură conducerea instalaţiilor şi proceselor tehnice, fără intervenţia directă a omului, poartă denumirea de automatică. Prin automatizare se înţelege aplicarea concretă, efectivă, în practică a principiilor, metodelor şi mijloacelor automaticii în scopul transformării proceselor tehnice conduse nemijlocit de om în procese automate, desfăşurate deci fără participarea sa. Ansamblul de elemente pasive şi active care asigură conducerea şi controlul desfăşurării proceselor tehnice sau altor categorii de procese, fără intervenţia directă a operatorului uman, se numeşte echipament de automatizare sau dispozitiv de automatizare. În continuare dispozitivul de automatizare va fi notat cu DA. Înainte de a definii noţiunea de sistem automat, vom definii noţiunea generală de sistem. Sistemul poate fi definit drept un ansamblu de elemente sau obiecte, interconectate, având o anumită structură (organizare) şi o anumită destinaţie impusă de utilizator. Fiecare element din structura sistemului îndeplineşte o funcţie bine definită, iar în cadrul ansamblului trebuie să se respecte relaţia de cauzalitate dintre mărimile de intrare şi cele de ieşire. În cadrul sistemului transmisia semnalelor este unidirecţională. Considerăm un sistem oarecare, pe care îl notăm cu „S”, şi specificăm legăturile acestuia cu exteriorul.
Fig. 1.1
Fig. 1.2.
În figura 1.1. este reprezentat un sistem multivariabil, iar în figura 1.2. un sistem monovariabil. Corespunzător figurii 1.1. deosebim următoarele mărimi care leagă sistemul „S” cu exteriorul: mărimile ri , i 1,2,..., m; se numesc variabile de intrare sau mărimi de intrare sau mărimi de referinţă şi sunt aplicate la intrarea sistemului (sunt mărimi de cauză); mărimile y j , j 1,2,..., n ; se numesc variabile de ieşire sau mărimi de ieşire (sunt mărimi de efect); mărimile p k , k 1,2,..., q; se numesc mărimi perturbatoare sau, simplu, perturbaţii (sunt mărimi de cauză). Mărimea perturbatoare p k este ,în general, acea mărime care constituie cauza care produce variaţii nedorite ale mărimi de ieşire. Mărimile ri , y j şi p k sunt funcţii de timp (conform STAS 6019-62, mărimile notate cu litere mici sunt funcţii de timp)[1]. Se constată faptul că sistemul multivariabil se caracterizează prin existenţa mai multor mărimi de intrare şi respectiv de ieşire. Din figura 1.2 rezultă că în cazul sistemului monovariabil, avem o singură mărime de intrare r şi respectiv o singură mărime de ieşire y. Un sistem poate fi definit pornind de la structura sa sau de la funcţia îndeplinită sau în mod axiomatic, abstract. Orice sistem se proiectează astfel încât să asigure realizarea unui anumit algoritm de funcţionare impus procesului supus automatizării. Referindu-ne numai la tranziţia intrare-ieşire a unui sistem monovariabil, dacă sistemul are variabila de ieşire y şi variabila de intrare r (fig. 1.2), vom defini sistemul ca
fiind un model fizic realizabil al dependenţei variabilei y de variabila r, dacă există o relaţie de cauzalitate ry şi nu există cauzalitatea yr. Din punct de vedere matematic, un sistem este descris de o relaţie care exprimă dependenţa cauzală dintre mărimile aplicate din exterior (mărimile de cauză - de excitaţie) şi mărimile de ieşire (mărimile de efect), şi sub forma cea mai generală o astfel de relaţie poate fi exprimată astfel: y A(r, p) , (1.1) în care A este un operator algebric, diferenţial, integral etc, liniar sau neliniar. Relaţia (1.1) din punct de vedere matematic devine o univocitate a lui y în funcţie de perechea (r, p), cu specificarea prealabilă a condiţiilor iniţiale, adică dându-se funcţia r(t), respectiv p(t) şi condiţiile amintite, funcţia y(t) este determinată univoc, iar reciproc nu. Reversibilitatea este în majoritatea cazurilor imposibilă sau fără sens, deci y(t) este cauzat de r(t), respectiv de p(t), unidirecţional. Relaţia (1.1) se numeşte model matematic abstract şi caracterizează sistemul. Menţionăm că prin modelul matematic abstract se asociază sistemului fizic (real) un sistem idealizat, aspect necesar obţinerii unor rezultate cu caracter general. Modelele matematice judicios elaborate descriu cu suficientă fidelitate sistemele reale şi constituie suportul teoretic în proiectarea sistemelor tehnice cu calităţi prestabilite(algoritmul de funcţionare al sistemului şi performanţele sunt impuse). Dacă pentru A există un corespondent fizic, spunem că A are o realizare sau că admite o realizabilitate fizică. Menţionăm că noţiunea de sistem este relativă. O parte a unui sistem se numeşte subsistem. Şi noţiunea de subsistem este relativă. Aceeaşi realitate fizică poate conţine unul sau mai multe sisteme distincte [3]. Prin sistem automat (SA) se înţelege ansamblul format din dispozitivul de automatizare şi instalaţia tehnologică în care se desfăşoară procesul. Sistemele automate dat fiind scopul acestora de a conduce procese cu evoluţie mai lentă sau mai rapidă în timp (deci timpul este un factor predominant) sunt sisteme dinamice. Noţiunea de proces are un înţeles mai general, mai larg, şi reprezintă un ansamblu de transformări ( fizice, chimice, tehnologice etc.). Procesul este caracterizat prin una sau mai multe mărimi măsurabile ( mărimile de ieşire) a căror evoluţie în timp trebuie să corespundă unui algoritm de funcţionare impus. Automatizarea are ca obiectiv realizare algoritmului funcţional impus procesului. În continuare se fac referiri numai la sistemele monovariabile. Instalaţia tehnologică, IT (procesul condus) are trei mărimi de legătură cu exteriorul, prezentate în figura 1.3. În figura 1.3, x m reprezintă mărimea de execuţie, y este mărimea de ieşire (răspunsul sistemului),
p a este perturbaţia aditivă, iar p p reprezintă perturbaţia parametrică. Perturbaţiile sunt aplicate instalaţiei
tehnologice IT. Efectul perturbaţiilor (mărimi exogene) asupra lui y trebuie compensate prin automatizare. Influenţa perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire y se exercită după anumite legi interne de dependenţă din interiorul instalaţiei tehnologice (IT), pe un canal de transfer perturbaţie-mărime de ieşire [1]. Fig. 1.3 Fig. 1.4. Perturbaţiile pot fi aditive (pa) sau parametrice (pp) [2]. Perturbaţiile aditive (pa) nu modifică
parametrii IT, iar efectul lor se cumulează la ieşire cu acţiunea mărimii x m (fig. 1.4). Deoarece modelul matematic al IT nu este influenţat de perturbaţiile aditive, care intervin în funcţionarea acestor procese, spunem că modelul matematic al IT este invariant. Perturbaţiile parametrice (pp) acţionând asupra IT determină modificarea parametrilor procesului, deci modificarea modelului matematic abstract al acestuia. Mărimea de execuţie xm este generată de dispozitivul de automatizare DA şi prin intermediul ei se execută modificările necesare în funcţionarea IT, astfel încât să se obţină o anumită variaţie în timp stabilită, prin algoritmul funcţional al procesului, pentru mărimea de ieşire y.
În cazul când asupra IT acţionează numai perturbaţii aditive sunt utilizate structuri convenţionale de SA , iar în cazul când asupra IT acţionează şi perturbaţii parametrice sunt adoptate structuri de sisteme automate evoluate de conducere adaptivă şi optimală [2]. 1.2. Structuri de sisteme automate În automatică se folosesc scheme de principiu (similare cu cele din electrotehnică, electronică etc.), scheme de conexiuni şi scheme de structură (scheme bloc). În schemele de structură (schemele bloc), fiecare element (parte componentă care îndeplineşte o funcţiune independentă) se reprezintă de regulă printr-un dreptunghi, cu excepţia anumitor elemente care sunt reprezentate prin cercuri (de exemplu, sumatoarele etc.). Semnalele transmise între elemente se reprezintă prin săgeţi (transmitere unidirecţională), prin semnal înţelegându-se purtătorul material al informaţiei [1]. După structură se deosebesc două grupe de sisteme automate: sisteme automate cu structură deschisă (se mai numesc SA deschise sau SA cu circuit deschis); sisteme automate cu structură închisă (se mai numesc SA închise sau SA cu circuit închis). Dacă avem în vedere natura perturbaţiilor care acţionează asupra IT, putem clasifica sistemele automate astfel: sisteme automate convenţionale, care conţin procese (IT) invariante, ale căror modele matematice nu sunt influenţate de perturbaţiile care intervin în funcţionarea acestor procese [2,3]. Perturbaţiile care acţionează în cazul acestor procese, aşa cum s-a menţionat, se numesc aditive [2] şi s-au notat cu p a ; sisteme evoluate, care conţin procese ale căror modele matematice se modifică, de obicei nepredictibil, sub acţiunea perturbaţiilor denumite parametrice (notate cu p p ) [2,3]. În continuare se vor prezenta schemele de structură fundamentale pentru SA convenţionale şi respectiv evoluate, evidenţiindu-se principiul de funcţionare al acestora.
1.2.1. Structuri de sisteme automate convenţionale a) Sisteme de comandă automate [3] Sunt sisteme automate cu structură deschisă în care dispozitivul de automatizare DA prelucrează numai mărimea de referinţă. Schema de structură este reprezentată în figura 1.5 Fig. 1.5
În figura 1.5. sunt evidenţiate următoarele blocuri componente: T i - traductorul de intrare; EA elementul de amplificare; EE - elementul de execuţie; IT - instalaţia tehnologică în care se desfăşoară procesul, g - aparat de măsură prin intermediul căruia se măsoară mărimea de ieşire. Dispozitivul de automatizare DA conţine blocurile Ti, EA, EE. Mărimile caracteristice care intervin în schema de structură a sistemului de comandă automată sunt: r- mărimea prescrisă care se doreşte a fi obţinută la ieşire procesului; r – mărimea de intrare (de referinţă), compatibilă cu intrare în EA; u – mărimea de comandă (sau comanda); x m – mărimea de execuţie; y – mărimea de ieşire (sau răspunsul sistemului); - abaterea sau eroarea mărimii de ieşire faţă de valoarea dorită a acesteia. Pentru început analizăm cazul când perturbaţia aditivă este nulă (pa=0). Traductorul de intrare Ti are rolul de a converti mărimea prescrisă r , introdusă de operatorul uman, într-o mărime r compatibilă cu intrarea în EA. Elementul de amplificare EA elaborează comanda u la un nivel de putere necesar pentru a acţiona asupra elementului de execuţia EE, care debitează mărimea de execuţie x m prin intermediul căreia se execută modificările necesare în funcţionarea IT, astfel încât să se obţină o anumită variaţie în timp stabilită pentru mărimea de ieşire y. Elementul de execuţie este un element
de putere care poate acţiona asupra IT (procesului). De exemplu, dacă ne referim la procesul de modificare a drumului navei, ansamblul navă-cârmă reprezintă IT, iar mărimea de ieşire este drumul navei. În acest caz EE îl constituie motorul de acţionare a cârmei care poate fi, de regulă, motor electric sau hidraulic. În schema de structură considerată, aşa cum s-a mai menţionat, s-a presupus că elementele sunt unidirecţionale, respectiv asigură transferul semnalelor într-un singur sens, ceea ce corespunde realităţii cu o foarte bună aproximaţie [1]. Se constată că sunt respectate condiţiile de cauzalitate r u x m y , deci ry. A rezultat că un sistem de comandă automată (SA deschis) cuprinde două subsisteme: DA care elaborează mărimea de execuţie x m şi IT care reprezintă subsistemul condus (figura 1.6). Deci, în cazul analizat, când pa=0, DA are rolul de a genera mărimea de execuţie xm astfel încât evoluţia în timp a răspunsului y să fie cea impusă de relaţia de cauzalitate r y. În realitate asupra IT pe lângă xm mai acţionează mărimile perturbatoare p a, care determină modificarea nedorită a răspunsului y.
Fig. 1.6 Este specific SA cu structură deschisă (SA cu circuit deschis) faptul că lipseşte controlul automat asupra modului în care are loc evoluţia în timp a răspunsului y. Asigurarea algoritmului funcţional impus procesului necesită prezenţa operatorului uman a cărui rol este următorul: compară valoarea măsurată a mărimii de ieşire y cu valoarea prescrisă r , calculează abaterea =r y şi introduce corecţii modificând corespunzător valoarea mărimii r, astfel încât să compenseze efectul perturbaţiilor asupra răspunsului y. De menţionat este faptul că asupra IT acţionează mai multe perturbaţii, din care unele sunt dominante din punctul de vedere al influenţei asupra răspunsului y. Din cele prezentate se pot desprinde următoarele concluzii privind sistemele de comandă automată: SA este sensibil la perturbaţiile care acţionează asupra procesului tehnologic (IT), aspect care necesită prezenţa operatorului uman; În cazul când pa=0,mărimea de ieşire y depinde numai de mărimea de intrare r. Eliminarea operatorului uman se realizează în cadrul SA cu structuri închise ( SA cu circuit închis), în care are loc controlul permanent asupra mărimii de ieşire y(t) şi prelucrarea în mod automat a abaterii (erorii) (t). b) Sisteme de reglare automată Sistemele de reglare automată (SRA) sunt sistemele automate cu structură închisă (SA cu circuit închis) care funcţionează după principiul reglării după abatere. Principiul reglării după abatere constă în următoarele : SA compară în permanenţă variabila de ieşire y(t) cu variabila de intrare r(t), calculează în mod automat eroarea (t)=r(t) - yr(t) şi acţionează prin calea directă asupra IT în sensul anulări abaterii. O structură minimală a unui SRA este redată în figura 1.7.
Fig.1.7.
În figura 1.7, EC reprezintă elementul de comparaţie, RA este regulatorul automat, iar T r este traductorul de reacţie. Traductorul de reacţie Tr converteşte mărimea de ieşire y într-o mărime yr , numită mărime de reacţie, de aceeaşi natură fizică cu r, ambele compatibile cu intrarea în regulatorul automat RA. Traductorul de reacţie Tr este, de obicei, un element proporţional, în sensul că mărimea de la ieşirea sa y r, este în orice moment proporţională cu y. Legătura stabilită de la ieşirea la intrarea sistemului se numeşte reacţie principală negativă şi este specifică SRA. În elementul de comparaţie EC se efectuează diferenţa dintre mărimea de intrare r şi mărimea de reacţie yr, rezultând la ieşirea elementului de comparaţie eroarea (abaterea) : (1.2) ( t ) r ( t ) y r ( t ) . După rolul pe care îl îndeplineşte, EC este un sumator cu două intrări, una pozitivă şi una negativă. Eroarea se aplică regulatorului automat RA, format din amplificatoare şi circuite de reacţie. La ieşirea RA se obţine mărimea de comandă u, aplicată elementului de execuţie EE, care modifică mărimea de execuţie x m şi deci mărimea de ieşire y. Dacă: ( t ) r ( t ) y r ( t ) , respectiv când: (1.3) r(t) y r (t) , răspunsul y are valoarea prescrisă. Dacă acţiunea unei perturbări modifică valoarea mărimii de ieşire y, abaterea ei de la valoarea prescrisă va fi numai temporară, deoarece modificarea mărimii de reacţie yr va face ca egalitatea (1.3) să nu mai fie îndeplinită, ca urmare r y r 0 şi atunci prin modificarea corespunzătoare a mărimii x m , sistemul va aduce din nou mărimea de ieşire la valoarea prescrisă. Se constată că în SRA acţiunea dispozitivului de automatizare DA (traductorul T r, elementul de comparaţie EC, regulatorul automat RA, elementul de execuţie EE) este determinată nu numai de mărimea de intrare r, ci şi de perturbări; acest lucru se datorează reacţiei principale şi negative prin intermediul căreia DA primeşte informaţii asupra valorilor parametrului reglat y, deci şi asupra efectelor perturbaţiilor [1]. A rezultat că în cazul SRA se realizează o legătură între mărimile y şi x m (elaborată de DA), care determină modificările necesare ale mărimii u ( comenzii) pentru ca influenţa nedorită a perturbaţiilor asupra răspunsului y să fie eliminată şi ca urmare mărimea de ieşire y să fie influenţată numai de mărimea de referinţă r, fiind astfel menţinută automat o lege de dependenţă dorită între mărimile r şi y. Este de menţionat faptul că elementul de comparaţie EC face parte din regulatorul automat RA, dar se reprezintă separat pentru a evidenţia principiul reglării după abatere. Referindu-ne la schema de structură din figura 1.7 trebuie subliniat faptul că sarcina specialistului în automatică constă în proiectarea RA, în condiţiile în care este cunoscută partea fixată a sistemului. Partea fixată (sau blocul fixat F) a sistemului cuprinde EE, IT şi T r. Regulatorul automat îndeplineşte următoarele funcţiuni principale: Calculează în mod automat eroarea: (t)=r(t)–yr(t), (1.4) sau (t)=r(t) – y(t), (1.5) în cazul când reacţia principală şi negativă este unitară (cu acţiune directă), adică coeficientul de transfer al traductorului de reacţie este egal cu unitatea. Prelucrează dinamic semnalul de eroare (t). Elaborarea mărimii de comandă (de conducere) u, în SRA, presupune prelucrarea după un anumit algoritm a semnalului de eroare . Pentru exemplificare, considerăm un RA liniar şi continuu a cărui lege de reglare (sau algoritm de comandă) este de tipul PID, înţelegând prin aceasta că mărimea de comandă u(t) conţine trei componente: o componentă P proporţională cu eroarea + o componentă I proporţională cu integrala în timp a abaterii + o componentă D proporţională cu derivata în funcţie de timp a abaterii . Deci, în acest caz, dependenţa u(t)=f[(t)] (algoritmul de comandă sau legea de comandă) este de forma: t 1 d( t ) u ( t ) k R ( t ) ( t )dt Td , Ti 0 dt
P
+
I
+
D
PID.
(1.6)
În relaţia (1.6) deosebim următoarele mărimi: k R - factorul de amplificare al RA; Ti – constanta de
timp de integrare a RA; Td – constanta de timp de derivare a RA.
Valorile k R , Ti , Td depind de partea fixată a SRA şi sunt rezultatul calculelor de proiectare a RA. Parametri k R , Ti , Td se numesc parametrii de acordare ai RA. Amplifică semnalul rezultant la un nivel de putere suficient de mare pentru a acţiona EE; Compensează constantele de timp mari ale părţii fixate, asigurând astfel reducerea timpului tranzitoriu al sistemului. În general, un SRA conţine şi circuite de reacţie locală (secundare) în scopul corecţiei performanţelor (aducerea lor la valorile prescrise). În figura 1.8. se prezintă un SRA cu reacţie principală negativă unitară şi un circuit de reacţie locală. În figura 1.8, EP reprezintă elementul de prescriere cu ajutorul căruia se fixează programul SRA (adică legea de variaţie în timp a referinţei r(t)), iar EC este elementul de corecţie destinat îmbunătăţirii performanţelor sistemului. Circuitul de reacţie locală, în cazul prezentat, cuprinde numai elementul de execuţie şi, în general, reacţia poate fi atât pozitivă cât şi negativă (în figura 1.8. nu s-a menţionat, la elementul sumator, natura reacţiei, pozitivă sau negativă). În figura 1.8 x mr este mărimea de reacţie de la ieşirea elementului de corecţie E C.
Fig. 1.8. Pentru exemplificare, în figura 1.9 se prezintă schema de structură, de principiu, a unui autopilot naval care este un SRA a cărui destinaţie este stabilizarea automată a drumului navei. Mărimea de intrare (de referinţă) este drumul giro impus navei r=Dg0=ct., iar mărimea de ieşire o constituie drumul giro real al navei Dg. Mărimea de ieşire Dg este în permanenţă măsurată de girocompas, care în schema de structură din figura 1.9 este reprezentat prin traductorul TR dispus pe circuitul reacţiei principale negative. Pentru simplificare, sa considerat că girocompasul este un element proporţional, având coeficientul de transfer unitar, deci elaborează un semnal de aceeaşi natură fizică cu referinţa şi egal cu D g. Eroarea de la ieşirea elementului de comparaţie va fi ryr=Dg0Dg=Dg. Algoritmul de comandă (legea de reglare) este de tipul PID. Cele trei componente (conform relaţiei (1.6)) ale algoritmului de comandă sunt elaborate astfel: Blocul P (proporţional) generează un semnal proporţional cu eroarea, blocul I (integrator) generează un semnal proporţional cu integrarea erorii în timp, iar blocul D (derivativ) elaborează un semnal proporţional cu derivata erorii în timp.
Fig. 1.9. Contribuţia celor trei blocuri P,I,D se adună în sumatorul . SRA conţine un circuit de reacţie secundară cu un element de corecţie EC, de tip proporţional, care elaborează o mărime de corecţie proporţională cu unghiul de cârmă (U =k ). Acest semnal de corecţie se aplică, cu semnul , la una din intrările sumatorului . Tensiunea u1 de la ieşirea sumatorului se aplică blocului amplificator A care
elaborează mărimea u2. Tensiunea u2 conţine atât comanda u (conform relaţiei 1.6), cât şi mărimea de corecţie de la ieşirea elementului EC. Mărimea u2 se aplică elementului de execuţie EE(motor electric sau hidraulic), iar ca rezultat cârma se bandează cu unghiul . Conform principiului reglării după abatere, când =0, rezultă Dg0=Dg, deci nava se deplasează pe drumul impus. Asupra navei acţionează perturbaţiile p a (vântul, curentul apei etc.) a căror influenţe nedorite asupra drumului navei sunt eliminate de SRA. c) Sisteme de compensare automată Aceste sisteme funcţionează pe principiul reglării după perturbaţie. Acest principiu a fost introdus în tehnică, pentru prima dată, de inginerul şi matematicianul francez Victor Poncelet (1788-1867). În cazul sistemelor de comandă automate, care sunt sisteme deschise, s-a arătat că urmare a acţiunii mărimilor perturbatoare, pentru o valoare determinată a mărimii de intrare, se pot obţine valori deferite ale mărimii de ieşire. Pentru diminuarea efectului perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire, în sistemele de compensare automată, se măsoară valoarea perturbaţiei aditive şi se elaborează o componentă a comenzii u p ,dependentă de perturbaţie, astfel încât prin intermediul mărimii de execuţie x m să compenseze efectul nedorit al perturbaţiei asupra răspunsului. Sistemul de compensare automată este tot un sistem deschis deoarece nu este prevăzut cu circuit de reacţie principală negativă. În figura 1.10. se prezintă schema de structură, de principiu, a unui sistem de compensare automată. În schema de structură din figura 1.10. s-a notat cu Tp traductorul destinat măsurării perturbaţiei, iar cu RP regulatorul de perturbaţie. Comanda u(t), pe lângă componenta ur(t) corespunzătoare referinţei r(t), conţine şi componenta u p (t) destinată compensării efectului perturbaţiei.
Fig.1.10 Din cele prezentate se desprind următoarele concluzii privind sistemele de compensare automată: perturbaţia trebuie să fie accesibilă măsurării; trebuie să se cunoască dependenţa mărimii de ieşire funcţie de mărimea perturbatoare: f y( t ), p a ( t ), t 0 ; sistemul automat este deschis; componenta comenzii u p aste elaborată în funcţie de perturbaţie, şi SA realizează compensarea directă a acţiunii perturbaţiei asupra IT. d) Sisteme de reglare combinată Funcţionarea sistemelor de reglare combinată au la bază principiul reglării după abatere şi principiul reglării după perturbaţie. În figura 1.10. se prezintă o schemă de structură a unui sistem de reglare combinată. Cu astfel de sisteme se realizează: compensarea directă a acţiunii perturbaţiei aditive; funcţia de reglare în raport cu referinţa r.
Fig. 1.11.
În figura 1.11, Reg este regulatorul automat care prelucrează dinamic eroarea , conform principiului reglării după abatere, elaborând componenta comenzii u ,iar Reg p reprezintă regulatorul de perturbaţie care elaborează componenta comenzii u p . Deci, se constată că mărimea de comandă are două componente:
u u u p , comanda elaborându-se atât în funcţie de abaterea cât şi în funcţie de perturbaţia pa , care trebuie să fie măsurabilă. De regulă, pentru diminuarea efectelor perturbaţiilor, asupra mărimii de ieşire, se introduc filtre de perturbaţie, aşa cum se arată şi în figura 1.11.
1.2.2. Structuri de sisteme automate evoluate (facultativ) În paragraful precedent au fost prezentate structuri de sisteme convenţionale, care conţin procese invariante, ale căror modele matematice nu sunt influenţate de perturbaţiile aditive care intervin în funcţionarea acestora. Aşa cum s-a menţionat, în practică există procese al căror model matematic se modifică nepredictibil sub acţiunea perturbaţiilor, denumite parametrice. Automatizarea unui asemenea proces implică utilizarea unor dispozitive automate care să asigure pe de o parte identificare automată a procesului şi pe de altă parte în funcţie de rezultatul ei şi în conformitate cu programul impus, să genereze comanda corespunzătoare desfăşurării procesului cu satisfacerea criteriilor de performanţă dorite. Un asemenea sistem poartă denumirea de sistem adaptiv [2]. Uneori sistemele adaptive se mai denumesc şi sisteme de reglare parametrice. Ţinând cont de faptul că perturbaţiile aditive sunt compensate prin reacţia principală negativă (principiul reglării după abatere), rezultă că dispozitivul automat suplimentar introdus în scopul obţinerii adaptării trebuie să realizeze (fig. 1.12) următoarele funcţii: identificarea procesului; calculul valorilor parametrilor blocului de reglare (regulatorului automat) funcţie de indicele de performanţă adoptat; execuţia adaptării (realizarea valorilor calculate). Există mai multe criterii de clasificare a sistemelor adaptive [60]: a) După modul de realizare a identificării există sisteme adaptive fără semnale de probă şi cu semnale de probă; b) După informaţia obţinută prin identificare se întâlnesc sisteme adaptive: cu identificarea caracteristicilor părţii fixate, cu identificarea caracteristicilor întregului sistem şi cu identificarea caracteristicilor unor semnale aplicate din exterior; c) După modul de acţionare a circuitului de adaptare se deosebesc: sisteme adaptive cu autoajustare, cu autoorganizare şi instruibile. La sistemele cu autoajustare, circuitul de adaptare comandă modificarea unuia sau mai multor parametrii de acord ai regulatorului automat, iar la sistemele cu autoorganizare se comandă modificarea structurii blocului de reglare. Sistemele adaptive instruibile posedă pe lângă circuitul clasic de reglare şi circuitul de adaptare, un circuit de instruire care, pe baza informaţiilor acumulate din evoluţia anterioară, comandă modificarea programului elementelor de calcul din circuitul se adaptare [61] Prin identificare se înţelege determinarea unor expresii matematice care să descrie, pe cât posibil mai aproape de realitate, procesele fizice din instalaţii [1]. Structura cea mai generală a unui sistem adaptiv este prezentată în figura 1.12. În această figură s-a considerat că asupra procesului acţionează atât perturbaţii aditive p a cât şi perturbaţii parametrice pp. Se constată că structura sistemului adaptiv este organizată pe două nivele ierarhice, conform celor menţionate, [2]: primul nivel este destinat reglării propriu zise ( SA închis); al doilea nivel, îl constituie circuitul de adaptare care trebuie să îndeplinească două funcţii: în primul rând să efectueze o identificare automată a caracteristicilor procesului supuse unor modificări arbitrare şi în al doilea rând să realizeze, în conformitate cu rezultatul identificării, modificări corespunzătoare ale parametrilor sau structurii regulatorului [1]. Pentru a realiza o compensare cât mai bună a modificărilor arbitrare survenite, sub acţiunea perturbaţiilor parametrice, circuitul de adaptare este de regulă prevăzut cu elemente de calcul (mai complexe sau mai simple, funcţie de complexitatea IT), cărora li se fixează iniţial un anumit program, pentru ca în funcţie de rezultatul identificării să determine modificările necesare ale parametrilor sau structurii regulatorului[1]. În figura 1.12, circuitul de adaptare conţine blocul de identificare şi blocul de calcul.
Fig. 1.12. În cazul de faţă, cum rezultă din figura 1.12, este o identificare în baza valorilor măsurate privind procesul (sunt măsurate mărimile de intrare şi ieşire din proces, adică mărimea de execuţie şi răspunsul sistemului), blocul de identificare determinând parametrii procesului, care precum s-a arătat, nu sunt cunoscuţi apriori. În general, forma modelului matematic, care descrie procesul, este cunoscută şi se pune problema, ca prin identificare, să se determine coeficienţii modelului care depind de parametrii procesului supuşi modificării datorită acţiunii perturbaţiilor parametrice. În figura 1.12 blocul de identificare elaborează variabila de identificare funcţie de parametrii procesului, care sunt variabili. Blocul de calcul elaborează variabila de adaptare în conformitate cu criteriul de adaptare impus . După natura criteriului de adaptare se deosebesc [3]: sisteme adaptive convenţionale, care asigură realizarea unor valori prestabilite a criteriului de adaptare ; sisteme adaptive optimale, la care prin adaptare se urmăreşte extremizarea criteriului de adaptare , fără cunoaşterea apriorică a valorilor extreme. Privind sistemele automate optimale, acestea pot fi clasificate funcţie de scopul optimizării, între care se menţionează: optimizarea statică (parametrică) şi optimizarea dinamică. În continuare se prezintă câteva aspecte privind optimizarea parametrică. O serie de instalaţii sunt caracterizate de faptul că mărimea de ieşire, în regim staţionar y ST, prezintă o dependenţă neliniară (cu extrem) în funcţie de variabilele de intrare u i (comenzii): y ST f u 1ST , u 2ST , ..., u mST , (1.7) Această dependenţă poate fi reprezentată într-un spaţiu (m+1) dimensional printr-o hipersuprafaţă (fig. 1.13.a) şi corespunde, de exemplu, cazurilor când mărimea de ieşire este o mărime rezultată din calcul (randament, productivitate etc).
Fig. 1.13 Sistemul care asigură funcţionarea IT în punctul de extrem (sau în jurul acestuia) se numeşte sistem de optimizare automată, iar dispozitivul automat care permite determinarea valorilor u 1ST0, u2ST0,...,umST0 ale mărimilor de intrare în procesul supus automatizării poartă denumirea de optimizator automat (OA). Schema de principiu a unui astfel de sistem de optimizare automată este reprezentată în figura 1.13.c. Optimizatorul automat OA este format din blocul operativ BO, care primeşte mărimea de ieşire y (care poate fi o mărime de calcul aşa cum s-a menţionat) şi restricţiile impuse mărimilor de comandă u1, u2, ..., um exprimate prin intermediul funcţiilor Fj sub forma unor inegalităţi Fj u 1 , u 2 , ..., u m 0 , şi din blocul de comandă BC [61].
Optimizatorul automat efectuează operaţiile de căutare a extremului funcţiei (1.7) şi determină valorile optime ale mărimilor (parametrilor) u1ST, u2ST, ..., umST. După cu se ştie, problema determinării extremelor unei funcţii (liniare sau neliniare) cu ( sau fără) restricţii formează obiectul programării matematice, deci într-un anumit sens, sistemele de optimizare statică reprezintă aplicarea tehnicilor programării matematice liniare şi neliniare. Indiferent de structură, trebuie menţionat că atributul esenţial al unui SA este acela de a fi realist (realizabil fizic). Prin aceasta se înţelege că SA este neanticipativ, adică o valoare actuală a mărimii de ieşire y(t1) nu poate fi influenţată de nici o valoare ulterioară a mărimii de intrare r(t 2) pentru t2t1 (altfel spus, mărimea de ieşire nu apare înaintea mărimii de intrare), iar r şi y sunt funcţii reale de timp (sunt vectori reali). Privind funcţiile SA, pe lângă cele prezentate, în mod obligatoriu, sunt asigurate prin proiectare şi următoarele: funcţia de semnalizare ( optic, acustic, local, general etc.). Sistemul de semnalizare aste deosebit de dezvoltat în cazul aeronavelor precum şi în cazul navelor maritime şi fluviale. De exemplu, în Partea A-XI – Echipamente electrotehnice, Registrului Naval Român impune utilizarea anumitor culori, impune felul semnalului şi semnificaţie acestora, conform tabelului de mai jos. Nr. crt 1
Culoarea
Semnificaţia
Roşie
Pericol
Felul semnalului Intermitent Continuu
2
Galbenă
Atenţie
Intermitent Continuu
3
Verde
Siguranţă
Intermitent Continuu
4
Albastră
Instrucţiuni şi informaţii
Continuu
5
Albă
Informaţii generale
Continuu
Folosirea Alarmă pentru stări de pericol care necesită o intervenţie imediată. Alarmă generală pentru stări de pericol precum şi pentru stări de pericol constatate dar neînlăturate încă. Stări anormale, dar care nu necesită înlăturare imediată. Stare intermediară între starea anormală şi starea de pericol. Starea anormală constatată dar neînlăturată încă. Indică faptul că mecanismele au intrat în funcţiune, din starea de rezervă. Regim normal de funcţionare şi de acţionare. Mecanisme şi instalaţii gata pentru pornire. Tensiune în reţea. Totul este în regulă. Semnalizări obişnuite. Inscripţii referitoare la acţionarea automată. Alte semnale suplimentare.
funcţia de protecţie care asigură oprirea funcţionării procesului atunci când anumiţi parametri depăşesc valorile prestabilite. Cele două aspecte menţionate nu pot fi separate, în sensul că există o selectivitate a protecţiilor corelată cu nivelele corespunzătoare de semnalizare. 1.3. Clasificarea sistemelor automate Sistemele automate se clasifică după diferite criterii care au în vedere destinaţia acestora, principiul de funcţionare, proprietăţile dinamice, mărimile exogene aplicate etc. Aceste criterii evidenţiază particularităţile sistemelor automate şi sunt relativ numeroase.
Dintre multiplele posibilităţi de clasificare a SA, în funcţie de criteriul adoptat, următoarele sunt mai importante [1]: a) După modelul matematic abstract care exprimă dependenţa dinamică intrare-ieşire ale elementelor componente ale SA, se deosebesc [1]: a1) SA liniare (SAL), când toate dependenţele menţionate sunt descrise de ecuaţii liniare; a2) SA neliniare (SAN), când cel puţin un element al SA este neliniar, deci este descris de o ecuaţie neliniară. b) După caracteristicile de transfer ale procesului tehnologic: b1) SA pentru procese invariante în timp: caracteristicile procesului rămân nemodificate în timp (sisteme convenţionale); b2) SA pentru procese cu caracteristici variabile în timp (sisteme adaptive, optimale etc.). c) După aspectul variaţiei în timp a mărimii de referinţă, deosebim: c1) SA cu referinţă constantă în timp. Dacă ne referim la SRA cu referinţă constantă în timp, rolul acestora constă în a menţine mărimea reglată la o valoare cât mai constantă, independent de natura şi valoarea perturbaţiilor care acţionează asupra sistemului. Astfel de SRA se numesc de stabilizare; c2) SA cu referinţă variabilă în timp, care la rândul lor pot fi: c2.1) Sisteme cu program, la care referinţa este cunoscută (adică variază în timp după un program cunoscut); c2.2) Sisteme de urmărire, dacă mărimea de referinţă variază arbitrar, legea de variaţie în timp a acestei mărimi fiind necunoscută dinainte şi în general are caracter aleator. d) După caracterul prelucrării semnalelor se deosebesc: d1) SA continue (sau netede), când toate mărimile care intervin în SA sunt funcţii continue de timp; d2) SA discrete, când cel puţin una dintre mărimile din sistem are o variaţie discretă, discontinuă. Astfel de sisteme se împart în SA cu impulsuri modulate şi SA numerice. e) După numărul mărimilor de ieşire, deosebim: e1) SA monovariabile, au o singură mărime de ieşire; e2) SA multivariabile, care au mai multe mărimi de ieşire. f) După caracteristicile constructive ale DA, deosebim: f1) Sisteme unificate, când toate elementele componente ale dispozitivelor de automatizare au la intrare şi ieşire mărimi unificate, adică mărimi de aceeaşi natură fizică şi cu aceeaşi gamă de variaţie (exemplu de mărimi unificate: 2...10 mAcc; 4...20 mAcc, 0...1 bar etc.); f2) Sisteme specializate, când condiţia menţionată mai sus nu este îndeplinită. g) După viteza de răspuns a proceselor automatizate: g1) SA pentru procese rapide: constantele de timp ale IT nu depăşesc 10 secunde ( procese de natură electrică, electronică etc.); g2) SA pentru procese lente( căldări, caldarine etc.): când IT au constante de timp mai mari de 10 secunde şi de multe ori sunt cu timp mort. h) După agentul purtător de semnal deosebim sisteme electronice, pneumatice, hidraulice şi mixte (electro-pneumatice, electro-hidraulice etc.). 1.4. Principalele probleme ale teoriei sistemelor de reglare automată Sunt prezentate acele probleme ale teoriei sistemelor de reglare automată la care se va apela pe parcursul disciplinei. Dintre acestea menţionăm [1]: a) Analiza sistemelor de reglare automată care constă în următoarele: fiind date elementele componente ale SRA şi valorile parametrilor lor, se cere a se determina răspunsul sistemului (legea de variaţie în timp a mărimii de ieşire) datorat acţiunii mărimii de intrare r şi a perturbaţiilor pa , iar pe baza răspunsului se obţin şi sunt analizate performanţele sistemului. Se concluzionează dacă SRA analizat poate fi folosit în anumite cazuri concrete, în practică. b) Sinteza sau proiectarea SRA a cărei problematică este: fiind date IT şi performanţele impuse funcţionării sistemului, se cere a se determina celelalte elemente componente (elementele DA, printre care locul central îl constituie RA) şi parametrii lor, astfel încât SRA rezultat să asigure performanţele impuse. O fază de proiectare de amploare redusă este corecţia SRA, în acest caz sistemul în ansamblu este dat, dar în urma analizei se constată că nu sunt satisfăcute toate performanţele impuse şi atunci se proiectează elemente suplimentare, cu rol de corecţie, care adăugate sistemului iniţial (necorectat) conduce la un sistem (corectat) la care toate performanţele vor corespunde cu cele impuse.
c) Identificarea proceselor care au loc în IT automatizată, respectiv determinarea prin metode specifice a unor expresii matematice care să descrie, pe cât posibil mai fidel, procesele fizice din instalaţie. Identificare proceselor din IT are un rol deosebit de important deoarece în sinteza SRA este necesară cunoaşterea modelele matematice care descriu procesul. Metodele de identificare a sistemelor dinamice pot fi clasificate astfel: metode active care utilizează semnale de probă (test) aplicate la intrarea procesului şi în baza acestora se obţin informaţiile necesare (mărimea de ieşire), care prelucrate conduc la modelul căutat; metodele pasive care utilizează variaţiile din funcţionarea normală a procesului. Metodele de acest tip nu mai sunt legate de generarea unor semnale de probă, însă din punctul de vedere al efortului de calcul sunt mai complexe. De regulă, totdeauna în cazul unei operaţii de identificare există o informaţie apriorică disponibilă despre proces. În cazul IT în care se desfăşoară procese rapide, cum sunt sistemele de acţionările electrice, identificarea se efectuează cu un grad ridicat de precizie, deoarece ecuaţiile care descriu funcţionarea maşinilor electrice sunt cu precizie determinate. În cazul IT în care au loc procese lente (căldări, caldarine etc.), operaţia de identificare este mult mai dificilă şi se efectuează cu aproximaţii relativ largi [1]. d) Precizia SRA , practic, este legată de eroarea cu care mărimea de ieşire reproduce semnalul aplicat la intrarea sistemului. În practică orice sistem este supus influenţei unor semnale aleatoare, unor zgomote, de aceea asigurarea preciziei necesare reprezintă o problemă fundamentală a reglării automate. e) Utilizarea calculatoarelor electronice atât pentru analiza şi sinteza SRA („off-line”), cât şi ca elemente componente ale sistemelor („on-line”). Rezultate preţioase se obţin, având în vedere complexitatea relaţiile matematice care descriu comportarea SA, prin simularea sistemelor. În acest sens au apărut software specializate pentru modelarea şi simularea SA.
Unitatea de învăţare 2 ANALIZA SISTEMELOR AUTOMATE MONOVARIABILE LINIARE NETEDE INVARIANTE Cuprins Introducere în analiza sistemelor automate monovariabile liniare netede invariante. Clasificarea modelelor matematice utilizate în analiza sistemelor. Principalele tipuri de semnale de excitaţie convenţionale. Regimurile de funcţionare ale sistemelor liniare netede. Principalele performanţe în raport cu referinţa şi perturbaţia treaptă unitară. Statica sistemelor de reglare automată. Calculul răspunsului sistemelor automate şi elementelor prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale. Calculul răspunsului şi performanţelor elementului aperiodic de ordinul 1. Calculul răspunsului şi performanţelor unui sistem liniar neted de ordinul 2. Funcţia de transfer: definiţia funcţiei de transfer în raport cu referinţa, algebra funcţiilor de transfer. Utilizarea funcţiei de transfer pentru calculul erorii permanente. Răspunsul la frecvenţă al sistemelor automate liniare netede. Definirea răspunsului la frecvenţă, caracteristicile de frecvenţă, proprietăţile caracteristicilor de frecvenţă. Caracteristicile logaritmice de frecvenţă. Corelaţia dintre răspunsul indicial şi răspunsul la frecvenţă. Metoda variabilelor de stare. Definirea variabilelor de stare şi fază. Ilustrarea alegerii variabilelor de stare şi fază. Soluţia ecuaţiilor de stare. Calculul matricei fundamentale. Realizări. Stabilitatea sistemelor liniare netede. Definiţii, stabilitatea internă şi externă. Criteriul de stabilitate Nyquist, marginile de stabilitate. Criteriul practic de stabilitate al lui Bode. Aplicaţii. Teste de autoevaluare. OBIECTIVE - să indice principalele modele matematice utilizate în analiza sistemelor automate; - să cunoască regimurile de funcţionare ale sistemelor automate; - să enumere, să definească principalele performanţe ale sistemelor automate; - să definească funcţia de transfer; - să definească răspunsul la frecvenţă; - să definească variabilele de fază şi de stare; - să ilustreze modul de alegere al variabilelor de stare şi de fază; - să calculeze matricea fundamentală; - să aprecieze stabilitatea sistemelor automate liniare netede.
ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ MONOVARIABILE LINIARE ŞI CONTINUE 2.1. Introducere în analiza sistemelor de reglare automată monovariabile invariante liniare şi continue 2.1.1. Modele matematice utilizate în teoria reglării automate Cunoaşterea modelului matematic al elementelor unui SA, precum şi a sistemului în ansamblu reprezintă o etapă deosebit de importantă în vederea analizei sistemului, a determinării performanţelor sau a sintezei acestuia. Pentru analiza SRA este folosită o varietate relativ largă de modele matematice. Modelele matematice, utilizate frecvent, sunt de două tipuri: a) Modele matematice de tipul intrare-ieşire, care se obţin luându-se în considerare numai relaţiile între intrarea şi ieşirea sistemului (sau subsistemului). Modelele matematice de tipul intrare – ieşire sunt: a1) Ecuaţiile diferenţiale. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale, care descrie funcţionarea SA, se poate realiza pe calea cercetărilor experimentale (identificare), fie pe cale analitică. Studiul teoretic al unui sistem fizic, oricare ar fi natura lui (mecanic, hidraulic, electric etc.) constă în:
aplicarea legilor fizicii în scopul stabilirii ecuaţiilor sistemului respectiv; prelucrarea matematică a ecuaţiilor stabilite, care conduc la cunoaşterea comportării sistemului.
Prima fază impune cunoaşterea acelor domenii ale ştiinţei şi tehnicii (mecanicii, electrotehnicii, electronicii, hidraulicii etc.) de care aparţin prin natura lor elementele componente ale SA studiat, astfel încât să se poată exprima matematic relaţiile dintre parametrii care intervin în sistemul fizic respectiv. Prelucrarea matematică a acestor relaţii conduce la ecuaţii diferenţiale sau integro-diferenţiale care leagă mărimea de ieşire de mărimea de intrare, dar şi de mărimile perturbatoare de care depinde mărimea de ieşire. De menţionat este faptul că orice sistem fizic conţine neliniarităţi. În cazul când neliniarităţile sunt neesenţiale şi se pot neglija, în urma liniarizării se obţin ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi dependenţi de o serie de parametri concentraţi ce caracterizează sistemul fizic respectiv. Ordinul ecuaţiei diferenţiale depinde de numărul şi de natura elementelor acumulatoare de energie din sistemul considerat [8].
Cunoaşterea ecuaţiilor diferenţiale ale sistemului studiat şi a condiţiilor iniţiale reprezintă problema esenţială care stă la baza teoriei S.A. [8]. În continuare menţionăm câteva aspecte referitoare la ecuaţiile diferenţiale ale SRA, care fac obiectul prezentului capitol. Considerăm un SRA monovariabil, liniar, continuu, invariant cu parametrii concentraţi descris de următoarea ecuaţie diferenţială care exprimă dependenţa cauzală ry. dn y dn1y dy dmr dm1r dr an n an1 n1 a1 a0y bm m bm1 m1 b1 b0r; (2.1) dt dt dt dt dt dt în care r şi y sunt mărimea de intrare şi respectiv cea de ieşire.
SRA fiind invariant în timp, coeficienţii ecuaţiei diferenţiale sunt constante reale care depind de parametrii sistemului invarianţi în timp. Datorită invarianţei în timp a procesului, se poate fixa arbitrar momentul iniţial, considerându-se, de obicei, t0=0. Ca urmare interesează restricţiile semnalelor de intrare numai pentru t 0, influenţa intrării pentru t 0 fiind concentrată în condiţiile iniţiale. SRA este cu parametrii concentraţi deoarece prin ecuaţia diferenţială (2.1) se pune în evidenţă o singură variabilă independentă – timpul t. SRA liniare li se aplică principiul superpoziţiei. Se presupune că r variază după o lege f(t) cunoscută, r = f(t). În acest caz, membrul drept al ecuaţiei (2.1) se poate exprima într-o formă F(t) şi reprezintă aşa-zisa funcţie de excitaţie, noţiune diferită faţă de mărimea de intrare r(t).
Principiul superpoziţiei constă în următoarele: dacă mărimea de intrare r1=f1(t), respectiv funcţia de excitaţie F1(t) produce o mărime de ieşire y1=1(t), iar mărimea de intrare r2(t)=f2(t), respectiv funcţia de excitaţie F2(t) produce mărimea de ieşire y2=2(t), atunci mărimea de intrare r3=c1r1+c2r2=c1f1(t)+c2f2(t) sau funcţia de excitaţie c1F1(t)+c2F2(t) determină o mărime de ieşire y3=3(t)=c11(t)+c22(t), unde c1 şi c2 sunt constante arbitrare.
În particular dacă c2=0 avem y3=c1r1=c1f1(t), funcţia de excitaţie devine c1F1(t), iar mărimea de ieşire y3=c11(t). Proprietatea că multiplicarea (amplificarea) mărimii de intrare de c ori duce la multiplicarea (amplificarea) de c ori atât a funcţiei de excitaţie, cât şi a mărimii de ieşire, poartă denumirea de omogenitate.
Aceste condiţii se realizează numai atunci când fiecare membru al relaţiei (2.1), atât din stânga cât şi din dreapta semnului egalităţii, este o formă liniară de variabilele:
dy dn y dr dmr , , n şi respectiv r, , , m dt dt dt dt În ecuaţia diferenţială cu coeficienţi constanţi (2.1) trebuie să se respecte condiţia de realizabilitate fizică n m. Se spune că un SRALC este de ordinul n, dacă n este ordinul ecuaţiei diferenţiale care descrie sistemul. Ecuaţiile diferenţiale reprezintă modele matematice de bază pe care se „construiesc” şi celelalte tipuri de modele matematice, aşa cum va rezulta din cele prezentate pe parcursul disciplinei. a2) Funcţiile de transfer, bazate pe utilizarea transformatei Laplace directă şi inversă. Utilizarea funcţiilor de transfer permite să se stabilească anumite corespondenţe între domeniul variabilei complexe şi domeniul timpului, corespondenţe utile atât pentru analiza cât şi pentru sinteza SRA [1]; y,
a3) Caracteristicile de frecvenţă, care stabilesc corespondenţe între domeniul frecvenţelor şi domeniul timpului, permiţând aprecierea stabilităţii şi comportării SRA fără a fi necesară rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale care descriu funcţionarea sistemelor respective [1].
b) Modele matematice de tipul intrare-stare-ieşire, bazate pe utilizarea unor mărimi numite variabile de stare (respectiv de fază), variabile care definesc univoc şi complet starea unui sistem şi permit să se determine evoluţia sa viitoare [1]. Aceste modele matematice au avantajul că permit folosirea relaţiilor matriceal-vectoriale pentru descrierea funcţionării sistemului, avantaj care are o însemnătate deosebită în cazul sistemelor multivariabile [1]. Implementarea unui model matematic pe un sistem de calcul analogic sau numeric în vederea studierii proprietăţilor esenţiale ale acestuia (răspunsul la intrări tip, performanţe, stabilitate etc.) se numeşte modelare analogică, respectiv modelare numerică. De reţinut este faptul că pentru determinarea modelului unui sistem nu se poate utiliza exclusiv analiza teoretică sau experimentală, ci o combinaţie adecvată de procedee teoretice şi experimentale, succesiunea acestora fiind determinată de scopul modelării, de particularităţile sistemului şi informaţia iniţială disponibilă [2].
2.1.2. Principalele tipuri de semnale de excitaţie convenţionale Performanţele verificate prin analiza SA depind de tipul semnalului aplicat la intrare sau de tipul de variaţie în timp a perturbaţiei. Aceste semnale de excitaţie sunt adoptate prin convenţie şi permit compararea SA în funcţie de performanţele obţinute pentru aceeaşi referinţă. În continuare sunt prezentate principalele tipuri de semnale de excitaţie utilizate în analiza şi sinteza SA.
1. Semnalul sau funcţia treaptă unitară 1(t)
Funcţia treaptă unitară, sau funcţia lui Heaviside, notată cu 1(t) şi reprezentată în figura 2.1, are valori nule pentru t 0 şi valoarea 1 pentru t 0, la t =0 având loc trecerea în salt între cele două valori [1]:
1 1( t ) 0
,
t0 (2.2)
,
t0
aceasta nefiind definită pentru t=0: 1(0+)=1 şi 1(0-)=0. În relaţia (2.2) s-a avut în vedere faptul că 1(t)=1 pentru t(0+ , ), ceeace corespunde aspectelor practice.Dacă treapta unitară este întârziată cu t 0, se notează cu 1(t-t0) (figura 2.2) şi este definită astfel:
1 1( t t 0 ) 0
,
t t0 (2.3)
,
t t0
Fig. 2.1. Fig. 2.2. Imaginea Laplace a funcţiei treaptă unitate 1(t) este:
L 1(t)
1 ; s
(2.4)
şi corespunzător pentru semnalul 1(t-t0):
L
0
t0
1(t - t 0 ) 1( t t 0 ) e st dt e st dt 1 e st0 , s
(2.5)
Răspunsul unui SA monovariabil liniar neted la un semnal de intrare treaptă unitară, în condiţii iniţiale nule, se numeşte răspuns indicial sau funcţie indicială, notată pe parcursul disciplinei, cu h(t). Un semnal treaptă neunitară, sau simplu semnal treaptă, de înălţime C=ct. se defineşte prin relaţia C1(t), iar dacă semnalul treaptă este întârziat cu t0 , se exprimă prin C1(t-t0). O utilizare a funcţiei treaptă unitară 1(t), frecvent întâlnită, constă în următoarele [7]: o funcţie mărginită f(t) definită în intervalul - t , multiplicată cu 1(t), se anulează pentru t 0 şi în rest este neschimbată (figura 2.3.):
0 f ( t ) 1( t ) f ( t )
,
t 0; (2.6)
,
t 0; Fig. 2.3.
Dacă funcţia este întârziată cu t0, atunci se scrie [7]:
, t t0 0 f ( t t 0 ) 1( t t 0 ) (2.7) f ( t t ) , t t 0 0 Acest aspect simplifică exprimarea unor funcţionale definite pentru t 0. 2. Semnalul dreptunghiular finit Acest tip de semnal, deşi mai puţin utilizat în analiza SALC, apare frecvent în diversele pachete de programe specifice automaticii, în plus se obişnuieşte ca pe baza lui să se introducă semnalul impuls unitar. Semnalul dreptunghiular neîntârziat p(t,T), reprezentat în figura 2.4, este definit astfel [7]:
0 A p( t , T ) T 0
,
t 0;
, 0 t T; ,
(2.8)
t T
unde A este aria impulsului.
Fig. 2.4.
Fig. 2.5.
Cu ajutorul funcţiei treaptă unitate 1(t), semnalul p(t,T) se exprimă în felul următor ( fig. 2.5.):
p( t , T ) H[1( t ) 1( t )]
A [1( t ) 1( t T )]; T
(2.9)
Relaţia (2.9) permite, cu uşurinţă, să se deducă imaginea Laplace a semnalului dreptunghiular neîntârziat:
T
H L p(t,T)L H1(t)-H1(t- T)H estdtH estdtH estdt (1esT); s 0 T 0 sau
L p(t, T) A
1 e sT ; sT
(2.10)
(2.11)
În cazul semnalului dreptunghiular unitar (de arie unitate) se obţine:
L p A 1 ( t , T )
1 e sT ; sT
(2.12)
Impulsul dreptunghiular finit întârziat cu (figura 2.6.) se poate exprima sub forma: Fig. 2.6
pt , T H1t 1t T ,
(2.13)
şi corespunzător imaginea Laplace este:
L p(t - , T)
H (1 e sT ) e s ; s
(2.14)
Relaţia (2.14) se poate obţine, direct, din (2.11) dacă se utilizează teorema întârzierii. 3. Semnalul impuls unitar (funcţia lui Dirac sau impulsul delta) Impulsul delta (t) (figura 2.7) reprezintă cazul limită idealizat al impulsului dreptunghiular de durată T extrem de scurtă (T0) şi infinit de înalt ( H având aria egală cu unitatea (A=1).
1 ), T
( t ) lim p ( t , T );
(2.15)
T 0
Fig. 2.7.
Fig. 2.8.
Se constată că (t) nu este definit printr-o funcţie în sensul matematic obişnuit. Impulsul (t) se încadrează în clasa distribuţiilor. În timp ce în cazul unei funcţii f(t), fiecărei valori a funcţiei îi putem asocia o valoare bine determinată pentru t, în cazul unei distribuţii, nu este posibil de a asocia distribuţiei o valoare pentru fiecare valoare t. Astfel, în cazul distribuţiei (t), indiferent de modul de trecere la limită, se pune
condiţia
( t ) dt 1, care
defineşte de fapt funcţionala, dar nu se poate asocia o anumită valoare
funcţionalei (t) în jurul valorii t=0 [6]. Impulsul Dirac (t) se numeşte unitar pentru că măsura sa sau aria sa este egală cu unitatea. Frecvent, impulsul (t), se reprezintă grafic ca în figura 2.8. Imaginea Laplace a funcţiei (t) este:
0
0
0
0
0
L δ(t) ( t ) e st dt ( t ) e st dt ( t ) dt 1;
(2.16)
în care s-a avut în vedere, la schimbarea limitelor de integrare, figura 2.7 conform căreia (t) este nulă peste tot, mai puţin în vecinătatea lui 0. Se obţine acelaşi rezultat utilizând relaţiile (2.12) şi (2.15):
1 e sT ; T 0 sT
L δ(t) lim
0 0
deoarece pentru T0, L δ(t) ; se aplică regula lui L
Hopital şi rezult (2.16):
s e sT 1 e sT lim e 0 1; T 0 sT s T 0
L δ(t) lim
Pentru impulsul Dirac întârziat cu , notat cu (t - ), imaginea Laplace este: L δ(t - τ) e s ; (2.17) Pentru funcţii cu salturi finite (cu discontinuităţi de specia I) a fost introdusă noţiunea de derivată generalizată, sau derivată în sens distribiţii. Impulsul unitar reprezintă derivata în sens generalizat a treptei unitare:
( t )
d 1( t ) ; dt
(2.18)
şi corespunzător: t
1( t ) () d,
(2.19)
Privind limitele de integrare din (2.19) se pot face următoarele observaţii: funcţia 1(t), prin definiţie, este nulă pentru toate valorile t 0. Corespunzător cu relaţia (2.19) funcţia treaptă unitară de asemenea este nulă pentru t 0, deoarece în acest domeniu de variaţie a variabilei funcţia (t) este nulă. Prin definiţie, funcţia 1(t) este egală cu unitatea pentru t 0. Acest aspect rezultă şi din expresia lui 1(t) din (2.19), deoarece aria funcţiei (t) este unitară corespunzând ariei impulsului de lăţime infinit mică şi infinit de înalt.
Răspunsul unui SA monovariabil neted, având condiţiile iniţiale nule, la un semnal de excitaţie funcţie Dirac (t) se numeşte funcţie pondere. Funcţia pondere va fi notată cu w(t). Pentru SA liniare , netede, invariante cu parametri concentraţi, relaţia (2.18) conduce la o relaţie de forma [1]:
w (t)
d h(t) ; dt
(2.20)
între răspunsurile la impuls unitar şi la treaptă unitară. Deci funcţia pondere reprezintă derivata răspunsului indicial. Din relaţia (2.20) rezultă imediat: t
h ( t ) w () d,
(2.21)
0
Evidenţiem o proprietate importantă a funcţiei Dirac. Fie o funcţie f(t) continuă în origine, mărginită şi integrabilă. Facem produsul f(t)(t) şi integrăm de la - la + :
0
0
f ( t ) ( t ) dt 0 f ( t ) ( t ) dt f (0) 0 ( t ) dt f (0);
(2.22)
Această proprietate se numeşte de filtrare (figura 2.9) [7].
Fig. 2.9.
Fig. 2.10.
Dacă impulsul unitar este întârziat cu t 0, atunci (fig. 2.10):
t 0
t 0
f ( t ) ( t t 0 ) dt
f ( t ) ( t t
0
) dt f ( t 0 );
(2.23)
4. Semnalul rampă unitară În figura 2.11 s-a reprezentat un semnal rampă unitară, iar în figura 2.12 un semnal rampă unitară întârziat cu t0. Semnalul rampă unitară, corespunzător figurii 2.11, este definit de relaţia:
0 v( t ) t
,
t 0 (2.24)
,
t0
iar imaginea Laplace a funcţiei v(t) este:
L v(t)
1 ; s2
(2.25)
Fig. 2.11.
Fig.2.12.
În cazul semnalului rampă unitară întârziată cu t 0 sunt evidente relaţiile:
0 v( t t 0 ) t şi corespunzător:
L v(t - t 0 )
,
t0 (2.26)
,
t t0
1 st 0 e ; s2
(2.27)
Din cele prezentate se constată că între v(t) şi 1(t) există dependenţa:
d v( t ) 1( t ); dt
(2.28)
Relaţia (2.28) adesea se utilizează, în diferite medii de programare, pentru obţinerea semnalului treaptă unitară, generând iniţial o funcţie rampă unitară, după care aceasta este supusă derivării. Din (2.28) rezultă:
v( t )
t
1() d ,
(2.29)
Răspunsul unui SRA la un semnal de intrare rampă unitară se numeşte caracteristică de timp de ordinul 1. 5. Semnalul moment de ordinul 2 (parabolă) Funcţia moment de ordinul 2 este reprezentată în figura 2.13 şi definită de relaţia:
0 f (t) t2 2
,
t0 (2.30)
,
t0
iar imaginea Laplace este de forma:
L f(t)
1 , s3
(2.31)
Răspunsul SA la un astfel de semnal se Fig. 2.13 numeşte caracteristică de timp de ordinul doi [2]. 6. Semnalul sinusoidal Acest semnal este utilizat pentru a studia comportarea sistemelor în domeniul frecvenţelor. Vom apela frecvent la relaţii, bine cunoscute, cum sunt:
sin t
e jt e jt e jt e jt ; cos t ; 2j 2
(2.32)
s ; L cos t 2 ; 2 s s 2
(2.33)
şi respectiv:
L sin t
2
2.1.3. Regimurile de funcţionare ale SRA monovariabile, invariante, liniare şi continue Scriem ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi (2.1) sub forma: dn y d n 1 y dy a n n a n 1 n 1 a 1 a 0 y F( t ) ; dt dt dt
(2.34)
cu condiţiile iniţiale:
y(0) y( t ) t 0; y ' (0)
dy( t ) dt
t 0
, ..., y ( n 1) (0)
d n 1 y( t ) dt n 1
; t 0
(2.35)
În ecuaţia (2.34), aşa cum s-a menţionat, F(t) este funcţia de excitaţie, iar y este mărimea de ieşire. Ne propunem să arătăm cum se comportă în timp mărimea de ieşire (răspunsul sistemului), când funcţia F(t)
aplicată la intrare este de o formă cunoscută. În ecuaţia diferenţială neomogenă (2.34) necunoscuta este mărimea de ieşire y şi deci prin integrarea ecuaţiei se obţine soluţia generală căutată. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale neomogene este suma dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene şi soluţia particulară a ecuaţiei neomogene: y( t ) y tr ( t ) y p ( t ), (2.36) în care y tr t se numeşte componentă tranzitorie sau componentă liberă a răspunsului, iar y p t este componenta permanentă sau forţată a răspunsului. Răspunsul liber este dat de soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.34) pentru intrare zero şi depinde numai de condiţiile iniţiale care determină constantele de integrare respective, iar răspunsul forţat se obţine când toate condiţiile iniţiale sunt nule, depinzând numai de intrarea sistemului. Pentru determinarea soluţiei generale y(t) a ecuaţiei diferenţiale neomogene se parcurg patru etape: rezolvarea ecuaţiei caracteristice ataşate ecuaţiei diferenţiale omogene; stabilirea soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale omogene; determinarea soluţiei particulare a ecuaţiei diferenţiale neomogene; calculul constantelor de integrare. Componenta tranzitorie (liberă) este soluţia ecuaţiei omogene aferente ecuaţiei (2.34):
an
d n y tr d n 1 y tr dy a a 1 tr a 0 y tr 0 ; n 1 n n 1 dt dt dt
(2.37)
şi depinde numai de condiţiile iniţiale ale sistemului.
Ecuaţia caracteristică, se obţine introducând în ecuaţia omogenă operatorul diferenţial p este de forma:
d (.)
dt
şi
A ( p) a n p n a n 1 p n 1 a 1 p a 0 0 ,
(2.38) Menţionăm că cele n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice, p i, i=1...n, depind de coeficienţi constanţi ai ecuaţiei omogene, care la rândul lor depind de parametrii sistemului. A ( p) a n p n a n 1 p n 1 a 1 p a 0 ; (2.39) se numeşte polinom caracteristic al SALC. Soluţiile ecuaţiei diferenţiale omogene formează un spaţiu vectorial de dimensiune n şi orice bază a spaţiului soluţiilor ecuaţiei omogene se numeşte sistem fundamental de soluţii. Forma soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale omogene (2.37) depinde de natura rădăcinilor ecuaţiei caracteristice (2.38). Funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice se stabilesc soluţiile liniar independente ale ecuaţiei diferenţiale omogene având în vedere următoarele: Dacă toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice r1 , r2 ,..., rn sunt reale şi simple, atunci soluţia generală a ecuaţiei (2.37) este de forma:
y tr t C1e 1 C 2 e 2 C n e rn t , t 0 ; r t
r t
(2.40)
Dacă o rădăcină reală r este de ordin de multiplicitate k ( r1 r2 rk ) atunci contribuţia acestor rădăcini la soluţia generală a ecuaţiei omogene se obţine înlocuind, în mod corespunzător, în relaţia (2.40) cei k termeni cu expresia: (2.41) C1 C 2 t C k t k 1 e r t ;
Dacă ecuaţia caracteristică are o pereche simplă de rădăcini complexe conjugate r1, 2 j
atunci contribuţia acestei perechi de rădăcini la soluţia generală a ecuaţiei (2.37) se obţine înlocuind, în mod corespunzător, în (2.40) perechea de termeni cu: (2.42) e t C1 cos t C 2 sin t ;
Dacă o pereche de rădăcini complexe conjugate
r1, 2 j
are ordinul de multiplicitate
m, atunci în mod corespunzător cei 2m termeni din relaţia (2.40) se înlocuiesc cu expresia: (2.43) e t C1 C 2 t C m t m 1 cos t D1 D 2 t D m t m 1 sin t ,
unde C k , D k , k 1,2,..., m, sunt 2m constante arbitrare. Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene (2.34), care reprezintă componente permanentă (forţată) a răspunsului sistemului, putem folosi metoda variaţiei constantelor care ne permite,
cunoscând soluţia generală a ecuaţiei omogene, să găsim o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin n cuadraturi. Sunt cazuri frecvente în aplicaţii când putem găsi prin identificare soluţia particulară, fără a folosi metoda variaţiei constantelor, metodă care pentru n2 conduce la calcule numeroase. Menţionăm cazurile: a) Funcţia de excitaţie F(t) este un polinom Pm ( t ) de gradul m. Soluţia particulară va fi în acest caz
tot un polinom de t, de acelaşi grad m, dacă a 0 0 . Luăm pentru y p un polinom de grad m, Q m t , (n) calculăm derivatele y p , y p ,..., y p , le introducem în ecuaţia diferenţială:
a n y ( n ) a n 1 y ( n 1) a 1 y a 0 y Pm ( t ),
şi prin identificare determinăm pe Q m t . Ca exemplu, considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul II: a 2 y a 1 y a 0 y Pm ( t ) , unde Pm ( t ) b m t m b m 1 t m 1 b 1 t b 0 , b m 0 , Deci, avem de determinat soluţia particulară a ecuaţiei: a 2 y a 1 y a 0 y b m t m b m 1 t m 1 b 0 ,
(2.44)
(2.45) (2.46)
(2.47)
Vom presupune că a 0 0 , ori în caz contrar, printr-o integrare ecuaţia (2.47)
s-ar reduce la o
ecuaţie diferenţială liniară de ordinul I. Se căută soluţia particulară sub forma unui polinom Q m t , de acelaşi grad cu polinomul din membrul drept, adică:
y p c m t m c m1 t m1 c m2 t m2 c 0 ,
(2.48)
cu coeficienţii c m , c m 1 ,..., c 0 pentru moment nedeterminaţi. Avem:
y p m c m t m1 (m 1) c m1 t m2 (m 2) c m2 t m3 c1 ,
(2.49)
şi, respectiv,
y p m(m 1) c m t m 2 (m 1)(m 2) c m 1 t m 3 (m 2)(m 3) c m 2 t m 4 c 2 ,
(2.50)
Înlocuind valorile (2.48), (2.49), (2.50) în (2.47) şi ordonând după puterile lui t, se obţine:
a 0 c m t m (a 0 c m 1 m a 1 c m ) t m 1 a 0 c m 2 (m 1) a 1 c m 1 m(m 1) a 2 c m t m 2 b m t m b m 1 t m 1 b m 2 t m 2 b 0
Din
identitatea astfel obţinută, rezultă: a 0 cm bm ,
a 0 c m 1 m a 1 c m b m 1 , a 0 c m 2 (m 1) a 1 c m 1 m(m 1) a 2 c m b m 2 , etc.
şi în continuare din aproape în aproape:
bm , a0 1 c m 1 ( b m 1 m a 1 c m ) , a0 1 b m 2 (m 1) a 1 c m 1 m(m 1) a 2 c m etc. c m2 a0
cm
b) Funcţia de excitaţie F(t) este de forma e t Pm ( t ) . Soluţia particulară va fi în acest caz tot un
t polinom, de forma y p e Q m ( t ) unde Q m t este un polinom arbitrar de ordinul m. Prin identificare se
determină coeficienţi lui Q m t .
Dacă este o rădăcină de ordinul k a ecuaţiei caracteristice, atunci:
y p t k e t Q m ( t ) ,
forma:
c) Funcţia de excitaţie este de forma: Pm ( t ) cos t Q m ( t ) sin t . Soluţia particulară este de
y p Pm ( t ) cos t Q m ( t ) sin t ,
unde Pm ( t ) , Q m ( t ) sunt polinoame arbitrare de grad m, care se determină prin identificare. În literatura de specialitate 12,18 sunt precizate şi alte forme speciale, pe care le poate lua funcţia de excitaţie, care permit determinarea soluţiei particulare prin identificare. Cazurile prezentate mai sus satisfac pe deplin cerinţele disciplinei. A rezultat că soluţia particulară determinată prin identificare va avea forma membrului drept, F(t), a ecuaţiei diferenţiale neomogene (2.34). Corespunzător celor două componente ale răspunsului (2.36) se definesc două regimuri de funcţionare pentru sistemele automate liniare şi netede, invariante: - regimul permanent - regimul tranzitoriu. Un SALC este în regim permanent dacă forma de variaţie în timp a mărimii de ieşire aste identică cu forma de variaţie în timp a funcţiei de excitaţie. Regimul permanent este caracterizat de lipsa componentei libere (tranzitorii) y tr 0 . Deci, regimul permanent se stabileşte după un timp, necesar amortizării componentei libere. Regimul permanent poate avea forme diferite funcţie de expresia funcţiei de excitaţie, astfel deosebim: Regimul staţionar, când mărimea de excitaţie şi cea de ieşire rămân invariabile în timp (constante) 8. Dacă funcţia de excitaţie este de forma F(t)= b0 r(t) cu r(t)=1(t), atunci valoarea de regim staţionar, notată cu y st ,va fi o constantă. Introducând în ecuaţia (2.34) pe y st derivatele se vor anula şi va rezulta: b y st 0 ct. a0 Se constată că valoarea staţionară y st a mărimii de ieşire depinde atât de mărimea de excitaţie cât şi
de parametrii sistemului prin coeficientul a 0 . Regimul permanent sinusoidal, când mărimea de excitaţie şi cea de ieşire variază sinusoidal cu aceeaşi frecvenţă. Regimul permanent proporţional, când cele două mărimi variază proporţional cu timpul, deci cu o viteză constantă 8. Tot astfel se pot defini diferite alte regimuri permanente ca: parabolic, hiperbolic etc. Regimul tranzitoriu apare la trecerea SALC de la un regim permanent la altul. Deci, apare ca urmare a modificării funcţiei de excitaţie. Regimul tranzitoriu este caracterizat atât prin existenţa componentei y tr(t) cât şi a componentei yp(t), sau numai prin existenţa regimului liber la anularea mărimii de excitaţie. Sistemele automate liniare continue care realizează un regim permanent se numesc strict stabile. sau lim y tr ( t ) 0 . În cazul unui SALC strict stabil: lim y( t ) y p ( t ) t
t
2.1.4. Principalele performanţe în raport cu răspunsul sistemului la o variaţie în treaptă unitară a mărimii de intrare şi respectiv la o variaţie în treaptă unitară a unei perturbaţii Răspunsul unui SALC depinde de variabilele de excitaţie aplicate din exterior (referinţa şi perturbaţia). Calitatea sau performanţele SALC se apreciază în baza unor indici sintetici definiţi pentru anumite tipuri de semnale exterioare. Cel mai frecvent sunt utilizate performanţele ce caracterizează răspunsul indicial precum şi performanţele definite pe baza răspunsului la frecvenţă. În categoria performanţelor sunt incluse şi cele referitoare la stabilitate, aspect care va fi tratat ulterior.
Prezentăm principalii indici de performanţă a unui SRALC (fig. 2.14.) la o variaţie în treaptă unitară a mărimii de intrare şi respectiv la o variaţie în treaptă unitară a perturbaţiei.
Fig.2.14 2.1.4.1. Principalele performanţe în raport cu răspunsul sistemului la o treaptă unitară a mărimii de intrare
variaţie în
Considerăm r(t)=1(t) şi p(t)=0.
A) Performanţele în regim staţionar. Principalele mărimi caracteristice regimului staţionar sunt: valoarea de regim staţionar y st şi eroarea staţionară st .
Eroarea staţionară caracterizează precizia de funcţionare a SA în regim staţionar, care se stabileşte după amortizarea procesului tranzitoriu provocat de variaţia mărimii de intrare, deci se calculează, teoretic, pentru t. Pentru SRA cu reacţie principală unitară, mărimea de reacţie este egală cu mărimea de ieşire, y r y , şi eroarea staţionară corespunzătoare răspunsului indicial reprezentat în figura 2.15 are expresia:
st r y st
(2.51)
unde y st este valoarea de regim staţionar a răspunsului. Deci eroarea staţionară st reprezintă diferenţa dintre valoarea staţionară a mărimii de intrare şi valoarea staţionară a mărimii de ieşire. Prin valoare staţionară a mărimii de intrare se înţelege valoarea r ( t ) t 0 . După cum se constată din figura 2.15: y st r 1 , şi deci st 1 y st 0 . În acest caz, când eroarea staţionară este nulă, st = 0 şi SRA se numeşte astatic în raport cu referinţa 1(t). Dacă ne referim la un răspuns indicial de forma celui reprezentat în figura 2.16, rezultă : y st r 1, şi deci : st 0; SRA a cărui eroare staţionară nu este nulă, st 0 , se numeşte static în raport cu referinţa 1(t). Performanţa impusă erorii staţionare a unui sistem este de forma: , (2.52) st
st imp
unde st imp este o valoare impusă erorii staţionare, maximă admisibilă, din considerente legate de buna desfăşurare a procesului tehnologic automatizat [1]. Cu cât eroarea staţionară este mai mică, adică mai aproape de valoarea nulă, cu atât calitatea regimului staţionar este mai bună. Adesea eroarea staţionară este dată în procente faţă de valoarea staţionară a mărimii de ieşire:
st
r y st st 100 [%]; y st
(2.53)
B. Performanţele de regim tranzitoriu Performanţele tranzitorii ce caracterizează răspunsul indicial al unui SRA sunt [2: suprareglajul (abaterea dinamică maximă) , durata regimului tranzitoriu (timpul de răspuns) tr , gradul de amortizare , timpul de creştere tc, timpul de întârziere tî, numărul de oscilaţii N ale procesului tranzitoriu Esenţiale pentru aprecierea calităţii răspunsului indicial sunt primele trei performanţe tranzitorii, ultimele două permiţând aprecierea vitezei de răspuns a sistemului [2. Suprareglajul Suprareglajul reprezintă diferenţa dintre valoarea maximă a mărimii de ieşire y max şi valoarea acesteia de regim staţionar y st (fig. 2.15):
= ymax – yst ,
(2.54)
Fig. 2.15 Deci suprareglajul reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire y a valorii de regim staţionar yst. Se obişnuieşte ca suprareglajul să se raporteze la valoarea staţionară a mărimii de ieşire şi se exprimă în procente, astfel:
y max y st 100 % , y st
(2.55)
Fig. 2.16 forma:
Performanţa impusă suprareglajului are aspectul unei condiţii limitative (exprimată în procente) de
imp , (2.56) unde imp este valoarea impusă, maximă admisibilă pentru suprareglaj, depinzând de tipul IT şi de procesului care se desfăşoară în această instalaţie. Valorile mari ale suprareglajului conduc la suprasolicitări ale instalaţiei, a materialelor care intervin în procesul tehnologic, determinând uzuri inadmisibile. În practică, de regulă, imp = (10...15)%. În anumite cazuri răspunsul SRA poate fi aperiodic (fig. 2.17), rezultând deci = 0. Durata regimului tranzitoriu (timpul de răspuns) t r : este timpul măsurat din momentul aplicării semnalului treaptă unitară şi până în momentul în care valoarea absolută a diferenţei dintre mărimea de ieşire şi valoarea ei de regim staţionar devine mai mică şi se menţine sub o anumită limită , numită plajă de reglare[11, deci:
y y st , t t r ;
(2.57)
unde pentru se adoptă: =0,05 yst sau =0,02 yst. În figura 2.15, s-a adoptat valoarea =0,05. Se
constată că, în limitele adoptate, răspunsul y(t) poate avea oscilaţii faţă de valoarea staţionară, fără a depăşi însă plaja de reglare. Timpul de răspuns t r este principalul indice de calitate ce caracterizează rapiditatea răspunsului SA. Pentru tr se impune operformanţă de forma: Fig. 2.17 (2.58) t r t r imp , Gradul de amortizare se defineşte astfel (fig.2.15):
1 3 1 3 , 1
(2.59)
în care s-a ţinut cont de faptul că 1= (suprareglajul). Din figura 2.15, rezultă că gradul de amortizare exprimă raportul între două „pulsuri” de acelaşi semn ale regimului tranzitoriu 1. În practică, gradul de amortizare se exprimă în procente:
3 100 %;
(2.60)
Cu cât este mai mare, deci mai apropiat de unitate, cu atât amortizarea oscilaţiilor este mai rapidă, deci calitatea reglării este mai bună. Pentru gradul de amortizare se impune o performanţă de forma (de regulă în procente): imp , unde 1, (2.61)
Timpul de creştere t C 2, reprezintă timpul necesar evoluţiei răspunsului în domeniul
(0,1 0,9) y st ; Timpul de întârziere t î 2, este timpul necesar pentru ca răspunsul să atingă valoarea 0,5y st; Numărul de oscilaţii N ale procesului tranzitoriu. Acest număr nu trebuie să depăşească 3-4 oscilaţii în decursul tipului de răspuns al SA. Pentru unele sisteme de stabilizare şi urmărire, utilizate la nave, această condiţie este ceva mai restrictivă: 1-2 oscilaţii. Pe baza acestor indici de performanţă se apreciază precizia, viteza de răspuns şi gradul de stabilitate al SRA. Precizia, care se referă la performanţele regimului staţionar, se apreciază prin eroarea staţionară st respectiv st %, viteza de răspuns se apreciază prin durata regimului tranzitoriu t r si timpul de creştere tc, gradul de stabilitate prin suprareglarea % şi gradul de amortizare 17. Dacă referinţa este o excitaţie treaptă, performanţele se stabilesc în mod analog cu cele prezentate.
2.1.4.2. Principalele performanţe în raport cu răspunsul la o variaţie în unei perturbaţii
treaptă unitară a
Adoptăm schema de structură a SRA redată în figura 2.14 şi considerăm că până în momentul t=0, când se aplică perturbaţia treaptă unitară p(t)=1(t), sistemul se află în regim staţionar, valoarea de regim staţionar a mărimii de ieşire, pentru t 0, fiind ysto=ct. Mărimea de referinţă, în situaţia analizată, este o treaptă oarecare supraunitară r(t)=C1(t ) şi C1. O formă posibilă a răspunsului y(t), determinat de acţiunea perturbaţiei p(t)=1(t), este prezentată în figura 2.18. Întru-un astfel de caz, ysto = yst , unde yst este valoarea de regim staţionar a răspunsului realizat de SRA în condiţiile acţiunii perturbaţiei p(t)=1(t). Corespunzător, eroarea staţionară este nulă, st = ysto – yst = 0, deci SRA aste astatic în raport cu perturbaţia treaptă unitară (menţionăm că perturbaţia poate fi şi o treaptă cu un nivel oarecare). Dacă răspunsul y(t) are aspectul redat în figura 2.19, eroarea staţionară este diferită de zero: st = ysto – yst 0;
Fig.2.18. Un astfel de răspuns corespunde unui SRA static în raport cu perturbaţia considerată. Pentru performanţa staţionară st datorată acţiunii unei perturbaţii treaptă unitară (sau treaptă) se impune o condiţie de forma: st st imp, (2.62) Performanţele tranzitorii cele mai importante sunt: abaterea maximă şi durata regimului tranzitoriu tr 1. Abaterea maximă (fig. 2.18 şi 2.19) reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire y(t)t 0 a valorii de regim staţionar yst. Din considerente analoage cu cele menţionate pentru suprareglajul , abaterii maxime (exprimată în procente) i se impune o condiţie de forma: imp , (2.63) unde imp este valoarea impusă, maximă admisă.
Fig.2.19 Durata regimului tranzitoriu tr (fig. 2.18.) se defineşte ca şi în cazul răspunsului sistemului la o variaţie în treaptă unitară (sau treaptă) a mărimii de intrare, fiind impusă o performanţă de forma (2.58). Din cele prezentate a rezultat faptul că performanţele SRA la o variaţia treaptă a perturbaţiei se definesc în mod analog ca şi în cazul performanţelor sistemului la o variaţie treaptă a referinţei.
2.1.4.3. Statica sistemelor de reglare automată
Pentru regimul staţionar este foarte importantă caracteristica statică în raport cu perturbaţia (dependenţa mărimii de ieşire, în regim staţionar, în funcţie de perturbaţie). Considerăm un sistem de stabilizare cu schema de structură prezentată în figura 2.20. Se consideră că asupra IT acţionează perturbaţiile aditive p 1 , p 2 ,..., p k ,..., p q . Mărimea de ieşire ,în regim staţionar, y st poate fi o funcţie de una sau mai multe perturbaţii: y st f p1 , p 2 ,..., p k ,..., p q ,
(2.64)
Fig. 2.20 Dacă yst este dependentă de perturbaţia de rang k, rezultă că:
y st sk 0 , p k
(2.65)
unde s k se numeşte statism sau grad de statism. Răspunsul SRA, în regim staţionar, poate fi dependent de unele perturbaţii şi independent în raport cu alte perturbaţii. Deci sistemul automat poate fi static (s0) în funcţie de anumite perturbaţii şi astatic (s=0) faţă de celelalte perturbaţii. În practică, prezintă interes caracteristica statică liniarizată pe domeniul maxim de variaţie a perturbaţiei p0,pmax, numit domeniul de proporţionalitate al sistemului 17. În cazul SRA din electroenergetică se poate considera o singură mărime perturbatoare ca fiind dominantă, de exemplu: sarcina activă în cazul reglării turaţiei motoarelor Diesel din cadrul grupurilor electrogene de curent alternativ; sarcina reactivă în cazul reglării tensiunii generatoarelor sincrone. Pentru SRA cu aplicaţii în electroenergetică se admite, cu aproximaţie, că eroarea staţionară este proporţională cu perturbaţia: st r y st sp , (2.66) iar r y0 ; şi atunci st y 0 y st sp , (2.67) unde y0 este valoarea mărimii de ieşire la funcţionarea în gol (când perturbaţia este considerată, în caz ideal, ca fiind nulă). Relaţia (2.67) se numeşte lege de reglare în regim staţionar. Funcţie de efectul perturbaţiei asupra mărimii de ieşire, în regim staţionar, deosebim: SRA cu statism pozitiv: s0, (caracteristica statică 1 din fig. 2.21); SRA astatice: s=0, (caracteristica statică 2 din fig. 2.21); SRA cu statism negativ: s0, (caracteristica statică 3 din fig. 2.21). În figura 2.21 sunt prezentate caracteristicile statice liniarizate corespunzătoare celor trei cazuri menţionate mai sus. În figura 2.21 se evidenţiază şi faptul că statismul reprezintă panta caracteristicii statice:
tgα
BC Δy st y 0 y B st ε B st s, CD pA pA pA
(2.68)
Privind gradul de statism deosebim: statismul propriu (sau natural) son : este statismul ce caracterizează procesul, deci statismul înaintea introducerii echipamentului de automatizare; statismul artificial s: este statismul rezultat în urma introducerii automatizării. Statismul poate fi exprimat şi în unităţi relative. Dacă împărţim relaţia (2.67) la y 0 se obţine:
y st p p 1 s n 1 s p , y0 y0 pn
sau
(2.69)
y st 1 s p
Fig. 2.21 unde p n este valoarea nominală a mărimii perturbatoare, p
p reprezintă perturbaţia exprimată în pn
pn pn 100 . este statismul relativ care poate fi redat şi în procente s % s y0 y0 Rolul SRA este de a reduce gradul de statism de la valoarea statismului propriu (natural) la zero, în cazul reglării astatice, sau la o valoare acceptabilă în cazul reglării statice, de regulă s = (38)%. Pentru majoritatea proceselor şi SRA statismul este pozitiv, dar se întâlnesc, mai rar, şi cazuri în care s0. unităţi relative, iar s s
2.2. FOLOSIREA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE PENTRU ANALIZA S.R.A. 2.2.1. Modele matematice liniarizate
În marea lor majoritate procesele supuse automatizării (sau partea fixată a sistemelor) sunt descrise de ecuaţii diferenţiale neliniare. Pentru simplificarea analizei, ecuaţia neliniară se înlocuieşte, dacă aceasta este posibil, cu o ecuaţie diferenţială liniară, a cărei soluţie să descrie cu o bună aproximaţie procesul. Procedura de înlocuire a ecuaţiei diferenţiale neliniare cu una liniară, echivalentă cu cea neliniară în anumite condiţii, se numeşte liniarizare. Baza formală a liniarizării o constituie cunoscuta teoremă a lui Cauchy privind descompunerea funcţiei analitice continue în serie Taylor în vecinătatea unui punct oarecare pentru variaţii mici ale variabilelor independente şi renunţarea la termenii dezvoltării de ordin superior n 2. În cazul proceselor fizice, dezvoltarea în serie Taylor se face în vecinătatea unui punct static de funcţionare, pentru abateri mici ale variabilelor independente în raport cu coordonatele punctului static considerat. Pentru exemplificare considerăm un motor de curent continuu cu excitaţie independentă comandat pe indus care acţionează un mecanism de lucru oarecare având o caracteristică statică neliniară. În figura 2.22 se prezintă caracteristica neliniară a cuplului static rezistent M r() a mecanismului de lucru acţionat ( care reprezintă instalaţia tehnologică) şi caracteristicile mecanice ale motorului de curent continuu cu excitaţie independentă comandat pe indus M(u,). S-a notat cu u tensiunea aplicată indusului motorului şi cu viteza unghiulară la arborele motorului electric. În figura 2.22, punctul P(u0,0) este un punct static de funcţionare determinat de intersecţia caracteristicii cuplului static rezistent M r cu caracteristica mecanică M a motorului de curent continuu cu excitaţie independentă având tensiunea aplicată indusului egală cu u 0=ct. Ecuaţia fundamentală a mişcării ansamblului motor electric - mecanism de lucru este de forma: d J M Mr , (2.70) dt
unde J kgm2 este momentul de inerţie raportat la arborele motorului electric, iar s -1 este viteza unghiulară la arborele motorului electric.
Fig. 2.22. Deoarece cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul electric M şi cuplul static rezistent M r sunt funcţii neliniare de argumentele respective, ecuaţia (2.70) este neliniară şi se dezvoltă în serie Taylor în vecinătatea punctului static de funcţionare P caracterizat de valorile u 0 şi 0, a căror variaţii mici le notăm cu u şi respectiv . Atunci: M M (u , ) M (u 0 u , ) M (u 0 , 0 )
M u
2
u u
u 0
1 M M u 2! u
M r () M r ( 0 )
M r
0
0
(2.71) (2.72)
Renunţând la termenii care conţin variaţiile u, la puteri mai mari decât unu şi introducând termenii care rămân din dezvoltările (2.71) şi (2.72), în ecuaţia (2.70), obţinem: d Mr M M J u , (2.73) dt u s-a avut în vedere că 0 şi deci :
d d 0 d ; 0 ct. dt dt dt
Introducând notaţiile: M r
M
Fr ;
J
Fr
T;
M / u Fr
k,
(2.74)
(2.75)
ecuaţia (2.73) poate fi scrisă sub forma: d (2.76) T ku ; dt Ecuaţia (2.76) reprezintă ecuaţia diferenţială liniarizată a motorului de curent continuu cu excitaţie independentă comandat pe indus care acţionează un mecanismul de lucru a cărui moment de inerţie şi viteză unghiulară sunt raportate la arborele motorului. Ecuaţia (2.76) descrie regimul tranzitoriu de trecere dintr-un regim permanent (u0,0) într-un alt regim permanent apropriat
caracterizat prin parametrii (u 0 u , 0 ) . Constanta Fr se numeşte coeficient de autoreglare. Prin autoreglare se înţelege capacitatea I.T. ( sau părţii fixate ) ca sub acţiunea perturbaţiei să treacă dintr-o stare permanentă în altă stare permanentă apropiată fără intervenţia regulatorului automat. M r M 0, 0 rezultă că Fr>0 şi ca urmare I.T. este cu autoreglare. Dacă Fr Deoarece 0, atunci apar coeficienţi negativi în ecuaţia diferenţială şi corespunzător, subsistemul analizat va fi instabil. În ecuaţia (2.76), T(secunde) reprezintă constanta de timp, iar k este coeficientul de transfer (amplificare). În regim staţionar: (2.77) 0 şi k u , t Coeficientul de transfer k se determină în regim staţionar de funcţionare şi reprezintă raportul dintre valoarea de regim staţionar a variaţiei mărimii de ieşire şi cea a mărimii de intrare. Eroarea pe care o introduce aproximarea liniarăeste dată de restul dezvoltării în serie Taylor. Trebuie menţionat faptul că acelaşi proces (sau parte fixată) supus automatizării poate fi descris de ecuaţii diferenţiale diferite. Forma ecuaţiei diferenţiale depinde, în principal, de trei aspecte: dacă este posibilă liniarizarea, de mărimile adoptate ca mărime de intrare şi respectiv de ieşire şi în ce măsură sunt considerate mărimile intermediare din proces în exprimarea dependenţei dintre mărimea de ieşire şi cea de intrare.
2.2.2. Răspunsul unui element de întârziere de ordinul I la o mărime de intrare treaptă Elementele de întârziere de ordinul I (EÎO1) sunt descrise de ecuaţii diferenţile de forma: d y( t ) a1 a 0 y( t ) b 0 r ( t ) , t 0, (2.78) dt în care r(t) = 1(t). Considerăm condiţia iniţială nulă: (2.79) y(0) y( t ) t 0 0,
Ecuaţia (2.78) se aduce la o formă prin care să se evidenţieze constanta de timp a EÎO1 şi coeficientul de transfer (de amplificare). Pentru aceasta se împarte (2.78) cu a 0 şi se obţine: d y( t ) (2.80) T y( t ) k 1( t ), t 0, dt în care: a T 1 este constanta de timp a EÎO1, a0 k
bo ao
este coeficientul de transfer (amplificare).
A determina răspunsul elementului, soluţie a ecuaţiei (2.80), înseamnă a găsi expresia mărimii de ieşire y(t) de la t = 0, când se aplică semnalul de intrare şi până la t = , când teoretic se încheie regimul tranzitoriu şi elementul se află în regim staţionar. După cum s-a specificat, soluţia generală a ecuaţiei (2.80) are două componente (doi termeni): (2.81) y( t ) y tr ( t ) y st , t 0, Componenta tranzitorie (sau liberă) a răspunsului este soluţia ecuaţiei omogene aferentă ecuaţiei (2.80): dy ( t ) (2.82) T tr y tr ( t ) 0 . dt
Notând d() / dt p ecuaţia caracteristică este Tp 1 0, şi corespunzător rădăcina acesteia este p 1 / T . A rezultat: pt
t T
y tr ( t ) C e C e , t 0 , (2.83) în care C reprezintă constanta de integrare care se determină având în vedere condiţia iniţială (2.79). În cazul analizat mărimea de intrare fiind o constantă, pentru t 0, componenta de regim staţionar (forţat) impusă de mărimea de intrare este de asemenea constantă, deci y st = ct. Introducând yst în (2.80) şi ţinând cont de faptul că derivata unei constante este zero, iar 1(t)t 0 =1, se obţine valoarea de regim staţionar a răspunsului: (2.84) y st k , t 0, Deci, conform cu (2.81), a rezultat că expresia răspunsului EÎO1 la o mărime de intrare treaptă este de forma:
t
T
y( t ) C e k , t 0, Se determină constanta de integrare din condiţia iniţială: y(0) C k 0; C k,
(2.85) (2.86)
şi corespunzător răspunsul EÎO1 este descris de expresia: t (2.87) y( t ) k 1 e T 1( t ), În figura 2.23 se reprezintă răspunsul EÎO1 la un semnal de intrare treaptă. Răspunsul elementului fiind aperiodic stabil (componenta tranzitorie se amortizează în timp) suprareglajul = 0. Elementele descrise de ecuaţia (2.80) se mai numesc elemente aperiodice de ordinul 1 şi se mai notează cu T1. Din figura 2.23 rezultă că y(0) 0 , ceea ce justifică condiţia iniţială (2.79) şi de asemenea relaţia: dy( t ) k tg , (2.88) dt t 0 T din care rezultă că se poate stabili valoarea constantei de timp T, cu ajutorul curbei de răspuns ridicară experimental, ducând tangenta în origine la curba răspunsului.
Fig. 2.23 Constanta de timp T se poate determina şi din condiţia t=T, care se obţine din (2.87):
y (T ) k 1 e unde e
1
0,632 k ,
(2.89)
1
0,368 . Deci timpul în care răspunsul sistemului, la semnal de intrare treaptă, devine gal cu 0,632k reprezintă constanta de timp T. Teoretic, regimul tranzitoriu se încheie la infinit. Practic, însă timpul tranzitoriu este t r = 3T, când valoarea mărimii de ieşire atinge valoarea de 95% din valoarea staţionară a răspunsului, sau t r = 4T, când valoarea mărimii de ieşire atinge valoarea de 98% din valoarea staţionară. Din (2.80) se constată că eroarea staţionară este nulă dacă k=1, deci dacă a 0=b0.
2.2.3. Răspunsul indicial şi performanţele unui sistem liniar continuu invariant de ordinul doi
Un sistem liniar continuu invariant de ordinul doi este descris de ecuaţia: d 2 y( t ) dy( t ) (2.90) a2 a1 a 0 y( t ) b 0 r ( t ) , 2 dt dt în care coeficienţii a 2 , a 1 , a 0 sunt constanţi şi depind de parametrii sistemului. Totdeauna prezintă interes influenţa parametrilor sistemului asupra performanţelor, deci influenţa coeficienţilor asupra răspunsului. Pentru că în ecuaţia (2.90) intervin trei coeficienţi, se preferă ca aceasta să fie scrisă sub o formă în care să intervină numai doi parametrii (coeficienţi) numiţi parametri caracteristici ai sistemului de ordinul doi. Parametri caracteristici ai sistemului sunt: factorul de amortizare al sistemului notat cu ; pulsaţia naturală a sistemului neamortizat notată cu n . Din ecuaţia (2.90), după împărţirea cu a 2 , se obţine: b d 2 y( t ) a 1 dy( t ) a 0 (2.91) y( t ) 0 r ( t ) , 2 a 2 dt a2 a2 dt şi în continuare ecuaţia (2.91) se pune sub următoarea formă, în care intervin numai cei doi parametrii caracteristici , n : d 2 y( t ) dy( t ) (2.92) 2 n 2n y( t ) 2n r ( t ) , 2 dt dt În ecuaţia (2.92) s-a notat cu coeficientul de amplificare al sistemului. Din ecuaţiile (2.91) şi (2.92) prin identificare obţinem: b b a b a1 n a 0 a 2 ; 0 0 0 2n ; 0 ; ; (2.93) a2 a0 a2 a0 2 a0 a2
Coeficientul de amplificare al sistemului, după cum rezultă din (2.93), depinde de parametrii sistemului prin coeficientul a 0 . Deoarece a 0 0, a 1 0, a 2 0 , se constată că 0. Pentru exemplificare, vom considera un circuit electric liniar de ordinul doi, RLC serie, cu parametrii concentraţi, prezentat în figura 2.24.
Ne propunem să exprimăm ecuaţia de funcţionare a circuitului sub forma (2.90) şi corespunzător sub forma ecuaţiei (2.92), considerând că ieşirea circuitului este în gol, iar condiţiile iniţiale sunt nule.
Circuitul prezentat în figura 2.24 are la bornele de alimentare o tensiune continuă U = ct. La închiderea bruscă a întrerupătorului, la momentul t=0, se aplică circuitului o tensiune sub formă de treaptă u i ( t ) U 1( t ) , care reprezintă mărimea de intrare, iar mărimea de ieşire notată cu u e t este tensiune de la bornele condensatorului u e t u C t .
Fig. 2.24. Ecuaţia de funcţionare a circuitului, pentru t 0 este: u R ( t ) u L t u C t u i t , (2.94) Intensitatea curentului electric se exprimă prin relaţia: du t i t C e , (2.95) dt iar căderile de tensiune pe rezistenţă şi inductivitate, cu luarea în considerare a relaţiei (2.95), pot fi scrise astfel: du t d 2 u e (t) dit u R t Rit RC e , u L ( t ) L LC , (2.96) dt dt dt 2 Ecuaţia (2.94), cu luarea în considerare a relaţiilor (2.96), devine: d 2 u e t du t LC RC e u e t U 1( t ) , t 0 , (2.97) 2 dt dt Conform notaţiilor folosite în ecuaţia (2.90), pentru ecuaţia de funcţionare a circuitului electric în regim tranzitoriu (2.97),se stabilesc expresiile coeficienţilor: a 2 LC, a 1 RC, a 0 1, b 0 U , (2.98) şi corespunzător parametri caracteristici ai circuitului electric care simulează sistemul de ordinul 2, conform cu (2.93), sunt: 1 R C n , , (2.99) 2 L LC iar coeficientul k U . Determinăm răspunsul indicial al sistemului descris de ecuaţia diferenţială cu coeficienţi constanţi (2.92), deci r(t ) 1(t ) , adoptând condiţiile iniţiale nule: (2.100) y0 y (0) 0 . Răspunsul sistemului are două componente: yt y tr t y st t , (2.101) Componenta de regim staţionar, care se stabileşte după anularea componentei tranzitorii, este: y st k , (2.102) iar eroarea staţionară pentru semnalul de intrare treaptă unitară va fi: st r ( t ) t 0 y st 1 k , (2.103) Pentru a obţine eroarea staţionară nulă este necesar ca valoarea coeficientului de amplificare să fie egală cu unitatea: (2.104) k 1, într-un astfel de caz componenta staţionară a răspunsului fiind egală cu unitatea. Adoptând condiţia (2.104) sistemul analizat este astatic în raport cu mărimea de intrare. Cu luarea în considerare a condiţie (2.104) ecuaţia (2.92) devine:
d 2 y( t ) dy( t ) (2.105) 2 n 2n y( t ) 2n 1t , 2 dt dt În continuare, determinăm răspunsul indicial al sistemului descris de ecuaţia (2.105). După cum s-a menţionat, corespunzător condiţiei (2.104), componenta staţionară a răspunsului este: (2.106) y st 1 ,
Pentru determinarea componentei tranzitorii y tr ( t ) se scrie ecuaţia caracteristică aferentă ecuaţiei diferenţiale (2.105), care adoptând notaţia p d dt , este de forma: p 2 2 n p 2n 0 , rădăcinile acesteia fiind:
(2.107)
p1, 2 n j n 1 2 , (2.108) Pentru componenta tranzitorie a răspunsului a rezultat o expresie de forma: p t y tr ( t ) C1e p1 t C 2 e 2 ; t 0 , (2.109) şi corespunzător răspunsul sistemului va fi de forma: y( t ) y st y tr ( t ) 1 C1 e p1t C 2 e p 2 t ; t 0 , (2.110) în care constantele de integrare se determină din condiţiile iniţiale. Corespunzător cu (2.100) şi având în vedere expresia răspunsului (2.110) se obţine sistemul format din două ecuaţii, în care necunoscutele sunt constantele de integrare: y ( 0) 1 C 1 C 2 0 y (0) p1C1 p 2 C 2 0 rezultând: 1 1 0 p2 p2 C1 , (2.111) 1 1 p 2 p1 p1 p 2
1 p C2 1 1 p1
1 0 p1 , 1 p 2 p1 p2
(2.112)
Introducând relaţiile (2.111) şi (2.112) în (2.110) obţinem următoarea expresie pentru răspunsul indicial al sistemului: p2 p1 (2.113) y( t ) 1 e p1t e p2t , t 0 . p 2 p1 p 2 p1 Din (2.113) rezultă că forma de variaţie în timp a răspunsului depinde de natura rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, care la rândul lor depind de parametrii sistemului. Funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţie caracteristice, deci de valorile pe care le poate lua , se disting următoarele forme de variaţie în timp ale răspunsului indicial: Răspuns oscilant neamortizat. În acest caz şi corespunzător din (2.108) se obţin două rădăcini imaginare p1 = jn, p2= - jn. Expresia răspunsului indicial se obţine introducând rădăcinile p 1 şi p2 în (2.113): p t p t j n j n e y( t ) 1 e1 e 2 1 2 j n 2 j n
j t n
e 2
j t n
,
cum e rezultă:
j n t
cos n t j sin n t ,
y( t ) 1 cos n t , pulsaţia naturală a sistemului neamortizat n are expresia: 1 n 2 f n 2 , Tn unde Tn este perioada oscilaţiilor neamortizate.
(2.114) în care (2.115)
Fig. 2.25 Fig. 2.26 În figura 2.25 s-au reprezentat cele două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice în planul complex, pe care îl vom numi planul rădăcinilor, iar în figura 2.26 răspunsul indicial calculat cu relaţia (2.114) în care s-a adoptat pentru perioada oscilaţiilor neamortizate valoarea Tn = 1 secundă.
Sistemul pentru =0 se află la limită de stabilitate, mărimea de ieşire h(t) reprezintă o oscilaţie neamortizată (amplitudinea este constantă), deci în sistem nu se realizează un regim staţionar. Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt localizate pe axa imaginară a planului complex al rădăcinilor ( care se mai numeşte axa limitei de stabilitate).
Răspuns oscilant amortizat.
În cazul răspunsului oscilant amortizat 0 1 şi corespunzător rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă:
p1 n j n 1 2 ,
(2.116)
p 2 n j n 1 2 , şi au acelaşi modul:
(2.117)
p1 p 2
n 2 2n 1 2
n ,
(2.118)
iar p 2 p 1 2 j n 1 2 , Introducând (2.116), (2.117) şi (2.119) în (2.113) se obţine:
y( t ) 1
n j n 1 2 2 j n 1 2
n j n 1 2 2 j n 1 2
j 1 e n 1 2 2 j e
t n
t n e
1 2 t
e
t n e
e
j
n
e
j
n
1 2 t
1 2 t
j 1 2 t n
(2.119)
1 2 2 1
e
t n
j n e
1 2 t
j 1 2 t e n
sin n 1 2 t 1 2 cos n 1 2 t . , t ,
(2.120) 1 Reprezentăm rădăcinile ecuaţiei caracteristice în planul complex pentru diverse valori ale lui . 2
(figura 2.27).
Fig.2.27.
Pentru simplificarea expresiei răspunsului sistemului, pentru , se introduce, ca mărime ce caracterizează poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex, unghiul , aşa cum se arată în figura 2.27. Din figura 2.27, pentru cazul analizat , rezultă: n , cos (2.121) n şi sin
respectiv
n 1 2 1 2 , n
(2.122)
1 2 , (2.123) Înlocuind (2.121) şi (2.122) în (2.120), expresia răspunsului oscilant amortizat devine: tg
y( t ) 1
1
e
e
t n
1
t n 2
2
cos sin n 1 2 t sin cos n 1 2 t
sin n 1 2 t , t,
1 iar dacă avem în vedere (2.123) se obţine:
(2.124)
t n
1 2 sin n 1 2 t arc tg , t (2.125) 1 2 Din expresia (2.125), rezultă că răspunsul sistemului la semnal de intrare treaptă unitară, pentru , are o componentă tranzitorie sinusoidală amortizată. y( t ) 1
e
Pulsaţia oscilaţiei sinusoidale amortizate este p n 1 2 n şi se numeşte pulsaţie proprie.În baza acesteia se poate determina perioada proprie (exprimată în secunde) a oscilaţiei sinusoidale amortizate: Tp 2 / p [16]. Se demonstrează faptul că răspunsul oscilant amortizat este optim pentru . În figura 2.28 se reprezintă, conform relaţiei (2.125), răspunsul indicial al sistemului pentru =0.1, 0.2, 0.4, 0.707 şi Tn=1 s. În continuare sunt calculate performanţele sistemului pentru cazul răspunsului oscilant amortizat . a) Suprareglajul şi gradul de amortizare . După cum s-a menţionat în subcapitolul 2.1.4., suprareglajul se calculează cu relaţia:
y max y st y max 1 y( t m ) 1 , (2.126) în care y(tm) este valoarea maximă a răspunsului indicial, iar pentru cazul analizat yst=1. Pentru determinarea momentelor de maxim şi minim ale răspunsului y(t), printre care şi tm, se anulează derivata dy(t) / dt = 0, rezultând 1:
Fig.2.28. dy( t ) 1 dt 1 2
n 1 2 e
t n sin( 1 2 t ) e n n
t n
de unde conform cu (2.123):
cos( n 1 2 t ) 0 ,
1 2 tg , ceea ce conduce la relaţia din care se obţin toate momentele de maxim şi minim ale răspunsului y(t): tg ( n 1 2 t )
n 1 2 t k k , k 0,1,2,... , şi, în final: k tk , k 0,1,2,3,... , n 1 2
(2.127)
S-a arătat că regimul tranzitoriu se poate considera încheiat atunci când mărimea de ieşire intră într-o gamă de 5% din valoarea ei staţionară (numită plajă de reglare) şi ulterior nu o mai părăseşte 1.
În cazul analizat yst = 1, deci regimul tranzitoriu se va încheia când componenta tranzitorie y tr(t) a mărimii de ieşire va intra în banda 0,05 şi nu o va mai părăsi. Acest lucru se exprimă astfel: y( t ) y st y( t ) 1 0,05, t t r , (2.133) Relaţia (2.133) se mai poate scrie: y( t ) 1 y tr ( t ) 0,05, t t r , (2.134) Conform cu (2.134) condiţia încheierii regimului tranzitoriu devine: y tr ( t )
e
t n
1
2
sin n 1 2 t 0,05, t t r ,
(2.135)
Fig. 2.31 Având în vedere faptul că valorile absolute ale sinusului sunt limitate la unitate, în mod acoperitor, condiţia (2.135) devine: e
t n
1 2
0,05,
t t r ,
(2.136)
În cazul egalităţii t = t r :
e
t n r
1 2
0,05,
(2.137)
Din (2.137) se obţine:
n t r ln (0,05 1 2 ) ,
(2.138)
respectiv:
tr
ln (0,05 1 2 ) , n
(2.139)
4 , n
(2.140)
Pentru sisteme descrise de o ecuaţie diferenţială de ordinul II de forma (2.105), care cuprinde în membrul al doilea numai mărimea de intrare, fără derivate ale acestei mărimi, numite sisteme de ordinul II, se poate stabili 1 următoarea relaţie aproximativă, acoperitoare, pentru durata regimului tranzitoriu:
t r
Această relaţie pentru diferite valori ale lui conduce la valori mai mari decât prin utilizarea relaţiei (2.139), deci valori acoperitoare. Influenţa factorului de amortizare , care în practică are o gamă limitată de variaţie ( ), asupra duratei tr este redusă, influenţa hotărâtoare asupra duratei t r este exercitată de n. Răspunsul aperiodic critic
În acest caz =1 şi corespunzător rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale, negative şi multiple: p1 p 2 n , (2.141)
În figura 2.27 se evidenţiază poziţia rădăcinilor în planul complex. Din (2.113) şi (2.141) se poate scrie: pt p t p 2 e 1 p1e 2 y( t ) 1 l i m p 2 p1 p p 2 1
,
(2.142)
care conduce la o nedeterminare. Se aplică regula lui l’Hospital: pt d p1t pt pt p2e p1e 2 dp2 e 1 p1 t e 2 y(t) 1 1 , (2.143) d 1 p2 p1 p p dp2 2 1 n p p 2 1 n
si sub formă finală:
t y( t ) 1 1 n t e n 1( t ) ,
(2.144)
În figura (2.32) se prezintă răspunsul aperiodic critic pentru cazul T n=1 secundă. Răspunsul supraamortizat ( se mai numeşte aperiodic) Regimul supraamortizat corespunde valorilor şi corespunzător, rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale negative şi distincte:
p1, 2 n n 2 1 0 ,
(2.145)
Fig. 2.32 iar reprezentarea rădăcinilor în planul complex este redată în figura 2.27. Expresia răspunsului indicial va fi de forma: (2.146) y( t ) 1 C1e p1 t C 2 e p2 t , t 0 , în care constantele de integrare se vor determina din condiţiile iniţiale (2.111). În figura 2.32 se redă răspunsul indicial pentru = 2 şi Tn=1 secundă. Din figura 2.32 se constată faptul că durata regimului tranzitoriu, în cazul răspunsului supraamortuzat, tr2 este mare în comparaţie cu cea a răspunsul aperiodic critic t r1. Viteza de răspunsul a sistemului pentru 1 este foarte lentă. Pentru răspunsul sistemului este instabil, aspect care nu este admis în practică. Studiul sistemului de ordinul II prezintă importanţă deoarece concluziile rezultate pot fi extinse şi la analiza
comportării sistemelor de ordin superior. Influenţa rădăcinilor ecuaţiei caracteristice asupra răspunsului rămâne valabilă şi în aceste cazuri. De asemenea, se va arăta că în cazul acordării optime a regulatorului automat după varianta Kassler a criteriului modulului, pe ansamblu, va rezulta un sistem de ordinul II, aspect care impune studiul detailat al acestui sistem. Se va constata că şi în cazul sintezei sistemelor liniare continue invariante, SALC de ordinul II prezintă o importanţă deosebită .
2.3. UTILIZAREA FUNCŢIILOR DE TRANSFER PENTRU ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ 2.3.1. Funcţia de transfer în raport cu mărimea de intrare
Considerăm un sistem (ansamblu de elemente sau element) liniar, invariant şi continuu descris de o ecuaţie diferenţială de forma: dn y d n 1 y dy dmr d m 1 r a n n a n 1 n 1 a 1 a 0 y b m m b m 1 m 1 dt dt dt dt dt (2.147) dr b1 b 0 r ; dt în care coeficienţii ai, i=0,...,n şi bj, j=0,...,m sunt reali şi constanţi, iar n şi m sunt numere reale, întregi şi pozitive. În ecuaţia (2.147), y(t) este mărimea de ieşire (răspunsul sistemului), iar r(t) este mărimea de intrare în sistem, aşa cum se specifică în figura 2.33. Fig. 2.33 Condiţia de realizabilitate fizică a sistemului este n m. Considerăm că procesul de reglare porneşte din repaus, adică r(t) = 0, pentru t 0 şi respectiv y(t) = 0, pentru t 0, ceea ce înseamnă că şi derivatele acestor mărimi sunt nule pentru t 0. În acest caz, condiţiile iniţiale nule se scriu explicit astfel: y(0) y (0) y(0) y ( n 1) (0) 0 , (2.148) ( m 1) r (0) r (0) r(0) r ( 0) 0 , (2.149) Descrierea sistemelor automate liniare, invariante şi continue prin funcţii de transfer se bazează pe utilizarea transformatei Laplace. Notăm imaginile Laplace ale mărimilor y(t) şi r(t) prin:
Y(s) L y(t) y(t) e st dt şi 0
R(s) L r(t) r(t) e st dt 0
Aplicăm transformata Laplace ecuaţiei (2.147) cu condiţiile iniţiale nule (2.148), (2.149) şi se obţine: (a n s n a n1s n1 a1s a 0 )Y(s) (bms m bm1s m1 b1s b0 )R(s) , (2.150) Funcţia de transfer se defineşte ca raportul dintre transformate Laplace Y(s) a mărimii de ieşire şi transformate Laplace R(s) a mărimii de intrare, în condiţii iniţiale nule. Notăm funcţia de transfer cu G(s) şi din (2.150) va rezulta expresia: def Y (s) b m s m b m 1s m 1 b1s b 0 B(s) G (s ) , (2.151) R (s ) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0 A (s ) În (2.151) polinoamele A(s), B(s) au coeficienţii reali şi de obicei sunt prime (simplificările sunt subînţelese). Din modul cum a fost definită, se constată că funcţia de transfer este independentă de mărimea de intrare şi depinde numai de parametrii sistemului. În expresia funcţiei de transfer (2.151), grad B(s)=m şi respectiv grad A(s)=n, şi condiţia de ralizabilitate fizică a sistemului se exprimă astfel: grad A(s) grad B(s), sau n m, (2.152)
După cum rezultă din (2.151), funcţia de transfer reprezintă un model matematic de tipul intrare – ieşire, având proprietatea de a transfera acţiunea mărimii de intrare R(s) asupra mărimii de ieşire Y(s): Y(s)=G(s)R(s), (2.153) Reprezentarea relaţiei liniare (2.153) este dată în figura 2.34. A rezultat că având cunoscută funcţia de transfer G(s) se poate calcula direct mărimea de ieşire pentru orice mărime de intrare impusă: 1
G (s)R (s) y( t ) L (2.154) Fig.2.34 Din (2.153) mai reiese şi proprietatea de superpoziţie a efectelor, valabilă numai în cazul sistemelor liniare. Aceasta înseamnă că ieşirea Y(s) corespunzătoare intrării R 1(s)+R2(s) este: Y(s)=G(s)R1(s)+R2(s)=G(s)R1(s)+G(s)R2(s), (2.155) Comparând (2.147) cu (2.151), se constată că polinomul A(s) de la numitorul funcţiei de transfer este polinomul caracteristic aferent ecuaţiei diferenţiale (2.147) şi corespunzător ecuaţia A(s)=0 reprezintă ecuaţia caracteristică; această regulă este generală 1. Rădăcinile numărătorului funcţiei de transfer G(s), deci ale ecuaţiei B(s)=0, notate cu z1, z2, ..., zm sunt zerourile finite ale funcţiei G(s), iar rădăcinile ecuaţiei A(s)=0 notate cu p1, p2,...,pn sunt polii finiţi ai funcţiei G(s). Funcţia de transfer G(s) se poate exprima cu ajutorul polilor p i, i=1...n şi a zerourilor zj , j=1...m, astfel: b (s z1 ) (s z 2 ) (s z m ) , (2.156) G (s) m a n (s p1 ) (s p 2 ) (s p n ) Atât zerourile zj, cât şi polii pi pot să fie mărimi reale pozitive sau negative ori mărimi complexe conjugate (cu partea reală pozitivă, negativă sau nulă). Reprezentarea funcţiei de transfer G(s) în planul complex s, al rădăcinilor, prin polii şi zerourile ei constituie un mod de a pune în evidenţă proprietăţile dinamice ale sistemului (ansamblului de elemente sau elementului) din punct de vedere al tranziţiilor intrare-ieşire. Păstrând notaţiile de mai sus pentru mărimea de intrare şi respectiv ieşire, prezentăm, în continuare, ecuaţiile diferenţiale şi funcţiile de transfer pentru elementele frecvent întâlnite în automatică (aşa numitele elemente tipice) 1: Elementul proporţional (P): y( t ) k P r ( t ) , (2.157a) respectiv cu condiţii iniţiale nule: Y (s) G (s) kP , (2.157b) R (s) unde kP este o constantă. Elementul derivativ (D): dr ( t ) y( t ) k d , (2.158a) dt respectiv cu condiţii iniţiale nule: Y (s) G (s) k ds , (2.158b) R (s) unde kd este un coeficient de proporţionalitate. Elementul de integrare (I): y( t ) k I r ( t )dt , (2.159a) respectiv cu condiţii iniţiale nule:
G (s)
Y (s) k I 1 , R (s) s sTi
(2.159b)
unde Ti 1 k I este constanta de timp integratoare. Elementul de întârziere de ordinul I (EÎO1): dy ( t ) T y( t ) kr ( t ) , (2.160a) dt respectiv cu condiţii iniţiale nule: Y(s) k , (2.160b) G (s) R (s) Ts 1 unde k este coeficientul de transfer, iar T este constanta de timp a elementului. Elementul de întârziere de ordinul II( denumit şi element oscilant): d 2 y( t ) dy( t ) (2.161a) 2 n 2n y( t ) k 2n r ( t ) , cu ,, 2 dt dt respectiv cu condiţii iniţiale nule: 2n Y(s) , (2.161b) G (s) k 2 R (s) s 2 n s 2n Elementul de anticipare de ordinul I sau elementul proporţional–derivativ (PD): dr ( t ) y( t ) k P r ( t ) Td , (2.162a) dt Se constată că elementul PD are mărimea de ieşire y(t) formată din două componente: una proporţională cu mărimea de intrare r(t), iar cealaltă proporţională cu derivata mărimii de intrare. În relaţia (2.161a), kP este factorul de proporţionalitate, iar Td este constanta de timp a componentei derivative. Cu condiţii iniţiale nule din (2.162a) rezultă: Y(s) (2.162b) G (s) k P 1 sTd , R (s) Elementul de anticipare de ordinul II sau elementul PDD 2: d 2 r(t) dr ( t ) , y( t ) k P r ( t ) Td1 T2 (2.163a) d2 dt 2 dt unde Td1 şi Td2 sunt constantele de timp ale componentelor derivative. Mărimea de ieşire are trei componente: una proporţională cu mărimea de intrare r(t), a doua proporţională cu prima derivată a mărimii de intrare şi a treia proporţională cu a doua derivată a mărimii de intrare. Aplicând transformata Laplace cu condiţii iniţiale nule, din (2.163a) se obţine funcţia de transfer a elementului PDD2: Y(s) (2.163b) G (s) k P (Td22 s 2 Td1s 1) , R (s) Elementul proporţional – integrator sau elementul PI: 1 y( t ) k P r ( t ) r ( t )dt , (2.164a) Ti respectiv cu condiţii iniţiale nule: T s 1 Y (s) 1 G (s) k P (1 ) kP i , (2.164b) R (s) Ti s Ti s unde kP este un factor de proporţionalitate, iar Ti este constanta de timp a componentei integratoare.
Conform relaţiilor (2.164a), (2.164b) elementul PI are două componente: una proporţională cu mărimea de intrare r(t), iar a doua proporţională cu integrala în timp a mărimii de intrare. Elementul proporţional – integral – derivativ, sau elementul PID are trei componente ale mărimii de ieşire y(t): una proporţională cu mărimea de intrare r(t), a doua proporţională cu integrala în timp a mărimii de intrare, iar a treia proporţională cu prima derivată a mărimii de intrare 1: 1 dr( t ) y( t ) k P r ( t ) r ( t )dt Td (2.165) , Ti dt În condiţii iniţiale nule, din (2.164) se obţine: 1 R (s ) Y (s ) k P R (s ) k P k P Td s R (s) , (2.166) Ti s deci: T T s 2 Ti s 1 Y(s) 1 , (2.167) G (s) k P (1 Td s) k P i d R (s) Ti s Ti s Din (2.167) rezultă că funcţia de transfer a elementului PID nu este realizabilă fizic deoarece polinomului de la numărătorul funcţiei de transfer este de gradul doi, iar polinomul de la numitorul funcţiei de transfer este de gradul unu, deci nu se respectă condiţia (2.152). Elementul cu timp mort care se mai numeşte element cu întârziere constantă sau întârziere de transport 1: se caracterizează prin faptul că mărimea de ieşire y(t) reproduce fidel variaţiile mărimii de intrare r(t), însă cu o întârziere constantă, deci are loc egalitatea: y(t) = r(t - ), (2.168) respectiv, aplicând transformata Laplace: Y(s) R (s) e s , rezultând:
G (s)
Y(s) e s , R (s)
(2.169)
2.3.2. Răspunsul indicial
Răspunsul sistemului (elementului) determinat de mărimea de intrare treaptă unitară, în condiţii iniţiale nule, se numeşte răspuns indicial. Notăm răspunsul indicial cu h(t). Consideram un sistem de reglare automată a cărui funcţie de transfer este H o(s), definită astfel: Y (s) , (2.170) H 0 (s) R (s) şi corespunzător, imaginea Laplace a răspunsului este: (2.171) Y (s) R (s) H 0 (s) , Utilizând transformata Laplace inversă ( integrala Mellin - Fourier), răspunsul ,în timp a sistemului, y(t) va fi: y( t ) L
Y(s)
-1
c j
1 R (s)H 0 (s)e st ds , 2j c j
(2.172)
Mărimea de intrare fiind o treaptă unitară R (s) L1(t) 1 / s şi din (2.172) rezultă că expresia răspunsului indicial va fi de forma: c j
H 0 (s) st 1 h(t) e ds , 2j c j s
(2.173)
Se poate stabili o legătură între răspunsul sistemului y(t) determinat de o mărime de intrare oarecare şi răspunsul indicial. Fie, r(t) o mărime de intrare oarecare şi corespunzător R (s ) Lr ( t ) . Imaginea Laplace a răspunsului, deci relaţia (2.171), poate fi exprimată în felul următor:
H (s) H (s) H (s) Y(s) R(s) H0 (s) sR(s) r(0) r(0) 0 sR(s) r(0) 0 r(0) 0 , s s s
(2.174)
-1 -1 Dacă se are în vedere faptul că L sR(s) - r(0) dr( t ) dt , L H 0 (s) s h( t ) este răspunsul indicial, iar r(0) este valoarea mărimii de intrare la momentul t=0, utilizând produsul de convoluţie se obţine: t
y( t ) r (0) h ( t ) r ( t ) h () d ,
(2.175)
0
Expresia (2.175) reprezintă integrala Duhamel şi aşa cum s-a menţionat exprimă legătura dintre răspunsul sistemului determinat de o mărime de excitaţie oarecare şi răspunsul indicial. Integrala din (2.175) are şi alte forme de scriere: t
y( t ) r ( t )h (0) r ( t )h ()d ,
(2.176)
y( t ) r (0)h ( t ) r ()h ( t )d ,
(2.177)
y( t ) r ( t )h (0) r ()h ( t )d ,
(2.178)
0
Valoarea de regim staţionar a răspunsului indicial se poate determina cu ajutorul teoremei valorii finale. Având în vedere relaţia (2.71) şi faptul că: R (s) L1(t) 1 / s , imaginea Laplace a răspunsului indicial este: H (s) Y(s) 0 , s şi conform teoremei valorii finale, valoarea staţionară a răspunsului indicial se calculează astfel: H (s) h st limh ( t ) lims Y (s) lims 0 H 0 (0) , (2.179) t s 0 s 0 s Deci, având cunoscută funcţia de transfer, H0(s), în care se face substituţia s=0, se obţine valoarea staţionară a răspunsului indicial. Se va arăta că răspunsul indicial este o caracteristică importantă a sistemului liniar continuu invariant, cu ajutorul căreia, pe lângă performanţe, se poate studia stabilitatea acestuia. De asemenea, sunt programe specializate care permit, având cunoscută funcţia de transfer a sistemului sau elementului, să se calculeze răspunsul indicial.
2.3.3. Funcţia pondere
Răspunsul sistemului la o excitaţie impuls unitar (funcţia Dirac), în condiţii iniţiale nule, se numeşte funcţie pondere (sau răspuns la impuls unitar) şi o vom nota cu w(t). Considerăm un sistem de reglare automată a cărui funcţie de transfer este H0(s). În general, conform cu (2.171), răspunsul sistemului de reglare automată y(t) la o excitaţie oarecare R (s ) Lr ( t ) reprezintă originalul lui Y(s) şi este determinat cu ajutorul transformatei Laplace inverse (2.172). Dacă mărimea de intrare este un impuls unitar r(t)=(t) şi deci R (s) L( t ) 1 , atunci funcţia pondere w(t) (răspunsul la impuls unitar) reprezintă originalul lui Y(s)=H 0(s) şi corespunzător cu (2.172), este descrisă de relaţia: w (t) L
H 0 (s)
-1
c j
1 H 0 (s)e st ds , 2jc j
Deci, originalul funcţiei de transfer reprezintă funcţia pondere.
(2.180)
În cazul în care funcţia de transfer H0(s) are polii în semiplanul stâng al planului complex, se poate considera c=0 şi deci se integrează dealungul axei imaginare, relaţia (2.180) devenind: j
1 w (t) H 0 (s)e st ds , 2j j
(2.181)
Se constată, din (2.180), (2.181) că funcţia pondere w(t) reprezintă o caracteristică importantă a sistemului automat, ea evidenţiază proprietăţile dinamice ale acestuia şi depinde, la fel ca şi funcţia de transfer H0(s), numai de parametrii sistemului. Din relaţiile (2.180), (2.181) se constată că funcţia de transfer H0(s) reprezintă imaginea Laplace a funcţiei pondere w(t):
H 0 (s) w ( t )e st dt ,
(2.182)
0
Comparând expresia funcţiei indiciale h(t), dată de relaţia (2.173), cu expresia funcţiei pondere w(t) dată de relaţia (2.180) rezultă că între acestea există o legătură care se poate exprima prin relaţia: dh ( t ) w (t) , (2.183) dt
Relaţia (2.183) devine evidentă dacă expresia funcţiei indiciale (2.173) se derivează în funcţie de timp. Prin derivarea în raport cu timpul rezultă relaţia (2.180).
Cunoscând expresia funcţiei pondere w(t) putem determina răspunsul sistemului y(t) pentru orice mărime de intrare r(t), utilizând produsul de convoluţie. Deoarece imaginea Laplace Y(s) a răspunsului sistemului este: Y(s) R (s)H 0 (s) , şi reprezintă produsul a două imagini Laplace din care originalul lui H 0(s) este funcţia pondere w(t), iar imaginea R(s) corespunde unei mărimi de intrare oarecare r(t), conform produsului de convoluţie se scrie: t (2.184) L w(t - ) r( ) d R (s)H 0 (s), t , 0 Originalul din (2.184) va fi răspunsul sistemului la mărimea de intrare oarecare r(t):
L
t
t
0
0
Y(s) y(t) w(t)r(t) w(t ) r()d w() r(t )d, t , ,
-1
(2.185)
Dacă mărimea de intrare este aplicată, cu întârziere, la momentul t 0, atunci introducând o nouă variabilă = t - , se scrie: t
y( t ) w ( t ) r () d t0
t t0
0 w () r(t ) d ,
(2.186)
Ca exemplu calculăm, utilizând funcţia pondere, răspunsul elementului de întârziere de ordinul I la o excitaţie treaptă 1: r ( t ) C 1( t ) , Aşa cum s-a menţionat, elementul de întârziere de ordinul I este descris de ecuaţia diferenţială ( 2.78), care este adusă la forma: d y( t ) (2.187) T y( t ) k r ( t ), t 0, dt Pentru a calcula funcţia de transfer se aplică transformata Laplace ecuaţiei (2.87), cu condiţia iniţială nulă y(0)=0, şi obţinem: (Ts 1) Y (s ) kR (s ) , (2.188) şi corespunzător funcţia de transfer:
Y (s ) k k R (s) Ts 1 T
G (s )
1
, (2.189) 1 s T Funcţia pondere w(t) se obţine ca transformată Laplace inversă a funcţiei de transfer G(s): t k w ( t ) L -1G (s) e T , t 0 , (2.190) T Calculăm răspunsul elementului la o mărime de intrare treaptă utilizând relaţia (2.185): t
y( t ) w () r ( t ) d , în care: deci
(2.191)
0
r(t - )=1, pentru t t
y( t ) C w () d ,
(2.192)
0
Introducând (2.190) în (2.192) şi efectuând calculele se obţine răspunsul elementului la excitaţia treaptă considerată: t t Ck T T ) 1( t ) y( t ) e d C k ( 1 e , (2.193) T 0
Relaţia (2.193) se mai poate scrie astfel încât să se evidenţieze răspunsul indicial h(t) al elementului: y ( t ) C h ( t ) 1( t ) , (2.194) în care:
t
h ( t ) k (1 e T ) 1( t ) , este răspunsul indicial al elementului de întârziere de ordinul I.
(2.195)
În figura alăturată sunt prezentate funcţia pondere şi răspunsul la excitaţie treaptă pentru elementul de întârziere de ordinul I, adoptându-se valorile k=3, C=1,5 şi T=1 secundă.
Valoarea staţionară a răspunsului la excitaţia treaptă, conform cu (2.193), este y st lim y( t ) C k 4,5 ceea ce t
se constată şi din figura 2.34. Acelaşi rezultat se obţine dacă se are în vedere (2.179) şi funcţia de transfer (2.189): y st C G (0) C k 4,5 ;
2.3.4. Algebra funcţiilor de transfer
Sistemele de reglare automată, în mod curent, sunt prezentate sub forma schemelor de structură. Schemele de structură, într-o măsură importantă, uşurează studiul sistemelor deoarece indică sensul unidirecţional de transmitere a semnalelor şi oferă o reprezentare clară privind interacţiunea dintre elementele din componenţa sistemului.
Principalele elemente ale schemelor de structură sunt: blocurile componente, descrise prin ecuaţii diferenţiale sau funcţii de transfer, care prelucrează şi transmit unidirecţional semnalele, elementul de comparaţie şi sumatoarele, liniile de legătură unidirecţionale dintre elemente şi
nodurile din care semnalele sunt transmise spre diferitele elemente din structură. Se întâlnesc scheme de structură cu grade diferite de complexitate. Algebra funcţiilor de transfer cuprinde un grup de reguli care permit ca având cunoscute funcţiile de transfer ale mai multor elemente componente să se determine funcţia de transfer a unui element echivalent cu întregul ansamblu; echivalenţa constă în faptul că pentru acelaşi semnal aplicat la intrarea ansamblului şi la intrarea elementului echivalent, răspunsurile ansamblului şi elementului echivalent să fie identice 1. Se va evidenţia faptul că simplificarea schemelor de structură, prin aducerea lor la scheme echivalente, va uşura aspectele referitoare la analiza şi sinteza sistemelor de reglare automată. Se vor prezenta principalele reguli referitoare la întocmirea schemelor de structură echivalente. 2.3.4.1. Funcţia de transfer echivalentă a elementelor conectate în serie
Considerăm, pentru simplificarea tratării, trei elemente conectate în serie, ca în figura 2.35, având funcţiile de transfer cunoscute şi definita astfel:
X (s ) X 2 (s ) X (s ) , G B (s ) 3 , G C (s ) 4 , (2.196) X 1 (s ) X 2 (s ) X 3 (s ) În cazul conexiunii serie, semnalul de ieşire al fiecărui element este aplicat la intrarea elementului următor. Este de menţionat faptul că acţiunea unidirecţională a elementelor este concretizată prin faptul că un element , oarecare, din structură nu exercită nici o influenţă asupra elementului precedent, ci numai asupra intrării elementului următor. G A (s )
Fig.2.35 Se cere a se determina funcţia de transfer echivalentă a conexiunii serie, definită prin: X (s) G D (s) 4 , (2.197) X1 (s) Din (2.196) rezultă: X 4 (s) G C (s) X 3 (s) G C (s) G B (s) X 2 (s) G C (s) G B (s) G A (s) X 1 (s) , şi înlocuind în (2.197) se obţine funcţia de transfer echivalentă: X (s) G D (s) 4 G A (s) G B (s) G C (s) , (2.198) X1 (s) În relaţia (2.198) se are în vedere faptul că funcţia de transfer echivalentă a conexiunii serie nu depinde de ordinea în care sunt conectate elementele. În cazul când sunt conectate, în serie, n elemente, funcţia de transfer echivalentă va fi: Ge
serie (s )
n
G k (s ) , k 1
(2.199)
A rezultat că funcţia de transfer echivalentă a unui grup de elemente conectate în serie este egală cu produsul funcţiilor de transfer ale acestor elemente.
2.3.4.2. Funcţia de transfer echivalentă a elementelor conectate în paralel În figura 2.36 se prezintă o schemă de structură cu trei elemente conectate în paralel. La intrarea fiecărui element se aplică acelaşi semnal X1(s), iar semnalele de la ieşirea elementelor X2(s), X3(s), X4(s) se însumează formând astfel mărimea de ieşire X5(s) a conexiunii paralel.
Fig. 2.36. Cunoscând funcţiile de transfer ale elementelor componente, definite prin: X (s ) X (s ) X (s ) G A (s ) 2 , G B (s ) 3 , G C (s ) 4 , (2.200) X 1 (s ) X 1 (s ) X 1 (s ) se caută funcţia de transfer echivalentă a întregului ansamblu definită prin relaţia: X (s) G D (s) 5 , (2.201) X1 (s) Din (2.200) rezultă că semnalul de la ieşirea elementelor conectate în paralel este:
X 5 (s) X 2 (s) X 3 (s) X 4 (s) G A (s) G B (s) G C (s) X 1 (s) , de unde rezultă funcţia de transfer a celor trei elemente conectate în paralel: X (s) G D (s) 5 G A (s) G B (s) G C (s) , (2.202) X1 (s) În cazul când sunt conectate în paralel n elemente, funcţia de transfer echivalentă este de forma: n
G e. paralel (s) G k (s) ,
(2.203)
k 1
adică, funcţia de transfer echivalentă a unui grup de elemente conectate în paralel este egală cu suma funcţiilor de transfer ale acestor elemente, indiferent de numărul lor.
Dacă sumatorul care generează semnalul de ieşire are intrări negative, atunci contribuţia blocului de la intrarea negativă se va lua cu semnul minus.
Şi în acest caz, se păstrează principiul transmiterii unidirecţionale a semnalelor. Modul în care se realizează însumarea semnalelor de la ieşire depinde de aplicaţia concretă care se analizează. 2.3.4.3. Funcţia de transfer echivalentă a elementului cu reacţie Conexiunea cu reacţie a unui element, sau a unui grup de elemente, se realizează printr-o legătură inversă care transmite semnalul de la ieşire înapoi spre intrarea elementului sau grupului de elemente. Legătura inversă poate fi directă sau prin intermediul unui element (fig. 2.37).
a)
Fig. 2.37
b)
În figura 2.37.a. se reprezintă un element prevăzut cu legătură inversă neunitară, iar în figura 2.37.b. acelaşi element, dar prevăzut cu o legătură inversă directă (reacţie unitară). În figura 2.37, în circuitul legăturii inverse, semnul () corespunde unei reacţii negative, iar semnul (+) unei reacţii pozitive. Este cunoscută funcţia de transfer a elementului de pe calea directă: X s G A s 3 , (2.204) X 2 s precum şi funcţia de transfer a elementului de pe calea (circuitul) de reacţie: X s G B s 4 , (2.205) X 3 s
Ecuaţia sumatorului în cazul unei reacţii negative este X 2 s X1 s X 4 s , de unde X1 s X 2 s X 4 s , iar în cazul unei reacţii pozitive X 2 s X1 s X 4 s şi corespunzător X1 s X 2 s X 4 s. Funcţia de transfer echivalentă a elementului cu reacţie este dată de relaţia: X s X 3 s G c s 3 , (2.206) X1 s X 2 s X 4 s în care se ţine seama de expresiile (2.204), (2.205), rezultând: X 3 s G c s , (2.207) X 3 s G B s X 3 s G A s iar după simplificarea cu X 3 s se obţine: G A s G c s , (2.208.a) 1 G A s G B s Din calculele efectuate a rezultat că, în relaţia (2.208.a), semnul (+) corespunde unei legături inverse negative, iar semnul () legăturii inverse pozitive. Dacă legătura este unitară (reacţie directă), aşa cum se ilustrează în figura 2.37.b., atunci pentru a obţine funcţia de transfer echivalentă, în relaţia (2.208.a) se consideră G B s 1 şi se obţine: G A s G A s , (2.208.b) în care 1 G A s semnificaţia semnelor este aceeaşi ca şi în relaţia (2.208.a). 2.3.4.4. Regula deplasării unui nod în schemele de structură Pentru a obţine o transformare echivalentă convenabilă, frecvent se pune problema deplasării unui nod (punct de convergenţă a mai multor linii de legătură) peste un bloc, fie în sensul transmiterii semnalului, fie în sensul opus transmiterii semnalului. Considerăm schema de structură din figura 2.38.a., în care trebuie deplasat nodul N, în sensul transmiterii semnalului, peste elementul cu funcţia de transfer G B s .
a)
Fig. 2.38
b)
Şi în acest caz, condiţia de echivalenţă a schemelor constă în faptul că pentru acelaşi semnal aplicat la intrarea schemei de structură iniţiale şi respectiv la intrarea schemei echivalente, răspunsurile să fie identice. Având în vedere relaţiile (2.208.b) şi (2.199), funcţia de transfer corespunzătoare schemei de structură din figura 2.38.a. este: X s G A s G s G B s G c s 3 G B s A , (2.209) X1 s 1 G A s 1 G A s Relaţia (2.209) se scrie sub forma: G A s G B s G c s , (2.210) G A s G B s 1 G B s Compararea relaţiei (2.210) cu expresia funcţiei de transfer a elementului cu reacţie negativă neunitară (2.208.a) permite stabilirea schemei de structură echivalente (fig. 2.38.b) în care nodul N este deplasat în sensul transmiterii semnalului peste un bloc. Din relaţia (2.210) se constată că în ramura directă sunt conectate în serie două elemente cu funcţiile de transfer G A s , G B s , iar pe circuitul de reacţie negativă se află un element cu funcţia de transfer 1 G B (s) În felul acesta, la deplasarea unui nod peste un element cu funcţia de transfer G B s , în sensul transmiterii semnalului, este necesar ca în circuitul de reacţie să se conecteze un element a cărui funcţie de transfer este 1 G B (s) . În continuare, se consideră schema de structură din figura 2.39.a. în care se cere ca nodul N să fie deplasat peste elementul G B s în sens opus transmiterii semnalului. Funcţia de transfer corespunzătoare schemei de structură din figura 2.39.a este: X s G A s G B s G c s 3 , (2.211) X1 s 1 G A s G B s şi poate fi exprimată sub forma:
a)
Fig. 2.39
b)
X 3 s G A s G B s , (2.212) X 1 s 1 G A s G B s Relaţia (2.212) evidenţiază o conexiune cu reacţie negativă neunitară cu funcţia de transfer G A s 1 G A s G B s , în serie cu un element având funcţia de transfer G B s , (fig. 2.39.b). A rezultat că pentru a deplasa un nod peste un bloc cu funcţia de transfer G B s , în sens opus transmiterii semnalului, trebuie ca în circuitul de reacţie să se conecteze un element având aceeaşi funcţie de transfer G B s . Cele prezentate sunt utile, în mod deosebit, pentru eliminarea conexiunilor cu reacţii încrucişate, din schemele de structură. Pentru exemplificare, ne referim la schema de structură din figura 2.40, în care se cere eliminarea conexiunilor încrucişate [1]. G c s
Fig. 2.40 Pentru eliminarea conexiunilor încrucişate, din schema de structură din figura 2.40, sunt posibile două variante: varianta 1: nodul M este deplasat peste elementul cu funcţia de transfer G c s în sens opus transmiterii semnalului, rezultând schema de structură din figura 2.41; varianta 2: nodul N este deplasat peste elementul cu funcţia de transfer G c s în sensul transmiterii semnalului, rezultând schema de structură din figura 2.42.
Fig. 2.41
Fig. 2.42 2.3.4.5. Regula deplasării unui sumator în schemele de structură În scopul simplificării schemelor de structură, elementul sumator poate fi deplasat peste unul sau mai multe blocuri, atât în sensul transmiterii semnalului, cât şi în sens opus transmiterii semnalului. În schema de structură din figura 2.43.a., la intrările elementului sumator (1) sunt aplicate două semnale: f t având imaginea Laplace L f t Fs şi respectiv X 2 s G B s X1 s . Imaginea Laplace a semnalului de la ieşirea elementului sumator este: Xs G B s X1 s Fs , (2.213) Relaţia (2.213) poate fi scrisă sub forma: Xs X1 s Fs G B s G B s , (2.214) Relaţia (2.214) corespunde unei scheme de structură în care la intrarea elementului cu funcţia de transfer G B s se aplică semnalul de la ieşirea unui sumator, la intrările căruia acţionează semnalele cu imaginile Laplace X1 s şi Fs G B s . Expresia (2.214) corespunde schemei de structură reprezentată în figura 2.43.b., în care elementul sumator a fost poziţionat peste elementul cu funcţia de transfer G B s , în sens opus transmiterii semnalului din ramura directă. Relaţia (2.214) şi schema de structură asociată ei, conduc la concluzia că pentru deplasarea blocului sumator peste un element cu funcţia de transfer G B s , în sens opus transmiterii semnalului din ramura directă, este necesar ca în circuitul de intrare, în sumator, în care acţionează semnalul Fs să se introducă un element cu funcţia de transfer 1 G B s .
Fig. 2.43 În schema de structură din figura 2.44.a. se cere să se deplaseze sumatorul peste elementul cu funcţia G B s în sensul transmiterii sumatorului din ramura directă. În figura 2.44.a. mărimea de ieşire Xs este: Xs X1 s Fs G B s , (2.215) Relaţia (2.215) se pune sub forma: Xs X1 s G B s Fs G B s , (2.216)
Fig. 2.44 care permite o nouă interpretare. Relaţia (2.216) corespunde unei scheme de structură în care mărimea de ieşire Xs este obţinută de la ieşirea unui element sumator, la intrările căruia se aplică semnalele X1 s G B s şi respectiv Fs G B s . Relaţia (2.216) conduce la schema de structură echivalentă prezentată în figura 2.44.b. Deci, pentru deplasarea elementului sumator peste un element cu funcţia de transfer G B s , în sensul transmiterii semnalului în ramura directă, este necesar ca în circuitul de intrare, în sumator, în care acţionează semnalul Fs să se introducă un element cu funcţia de transfer G B s . 2.3.4.6. Regula deplasării sumatoarelor În schemele de structură se poate schimba locul sumatoarelor prin intermediul cărora se realizează operaţiile de adunare (fig. 2.45.a) sau scădere (fig. 2.44.b) a semnalelor, aşa cum se ilustrează în figurile 2.45.c. şi 2.45.d.
Fig. 2.45 2.3.4.7. Funcţiile de transfer asociate sistemului de reglare automată Considerăm (fig. 2.46).
un
sistem
de
reglare
automată
cu
reacţie
principală
directă
Fig. 2.46 Corespunzător schemei de structură din figura 2.46 se stabilesc următoarele notaţii pentru funcţiile de transfer: - Funcţia de transfer a regulatorului automat: Us H R s , (2.217) Es - Funcţia de transfer a elementului de execuţie: X s H EE s m , (2.218) Us - Funcţia de transfer a instalaţiei tehnologice: Y s H IT s , (2.219) X m s - Funcţia de transfer a părţii fixate (blocului F): Ys (2.220) H F s H EE s H IT (s), Us - Funcţia de transfer a sistemului automat deschis (SAD): Ys (2.221) H d s H R s H EE s H IT s H R s H F s , s Mărimea de intrare în SAD este s , iar mărimea de ieşire Ys . Având în vedere relaţia (2.221), schema de structură din figura 2.46 poate fi redată, sub o formă simplificată, ca în figura 2.47.a.
Fig. 2.47 - Funcţia de transfer a sistemului automat închis (SRA): H d s Y s H 0 s , (2.222) R s 1 H d s Utilizând relaţia (2.222) schemele de structură ale sistemului automat închis (SRA) prezentate în figurile 2.46 şi respectiv 2.47.a. pot fi redate, în funcţia de H 0 s , ca în figura 2.47.b. Funcţia de transfer a SAD, H d s , se obişnuieşte să se exprime astfel încât să se evidenţieze numărul de poli în origine şi factorul total de amplificare a sistemului. Analizăm următoarele cazuri [1]: Cazul I: funcţia de transfer a SAD nu conţine pol în origine. În acest caz, funcţia de transfer H d s , exprimată ca raportul a două polinoame în s, este de forma: Ys Bs B m s m B m 1s m 1 ... B1s B 0 , n m, A 0 0, (2.223) s As A n s n A n 1s n 1 ... A1s A 0 Se pune în evidenţă factorul total de amplificare a sistemului deschis, definit ca raportul coeficienţilor, care nu conţin variabila complexă s, a celor două polinoame Bs şi respectiv As : Bm m B s ... 1 s 1 B0 Bs B 0 B 0 bs H d s Kd K d G s , (2.224) A A As A 0 a s n n s ... 1 s 1 A0 A0 În relaţia (2.224) coeficientul K d B 0 A 0 reprezintă factorul total de amplificare a sistemului H d s
deschis, care se măsoară în regim staţionar, iar Gs reprezintă raportul a două polinoame în s, cu termenii care nu conţin variabila s egali cu unitatea: bs b m s m ... b1s 1 G s , G s S0 G 0 1, n m, (2.225) a s a n s n ... a 1s 1
unde coeficienţii b j B j B 0 , j 1, m, iar a K A K A 0 , k 1, n. Cazul II: funcţia de transfer a SAD conţine un pol în origine (conţine un element de integrare ideal) În relaţia (2.223), dacă A0 0, atunci H d s are un pol de ordinul I în origine (o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a SAD este nulă). În acest caz relaţia (2.223) devine: Bs 1 B m s m ... B1s B 0 H d s , As s A n s n ... A 2 s A1 în care 1/s reprezintă elementul integrator ideal. În continuare se pune în evidenţă factorul total de amplificare a SAD: Bm m B s ... 1 s 1 B0 K bs K d Bs 1 B 0 B 0 H d s d G s , (2.226) A As s A1 A n n 1 s a s s s ... 2 s 1 A1 A1
unde: K d
B0 - este coeficientul total de amplificare a SAD, A1
b j B j B0 , a K A K A1 ,
grad a (s) n 1; G (s) a (s) b(s), G (0) 1. Cazul III: funcţia de transfer a SAD are un pol de ordinul în origine În acest caz: Bs K d b m s m ... b1s 1 K d bs H d s , (2.227) As s a r s r ... a 1s 1 s a s sau: K H d s d G s , (2.228) s unde: r n α, iar α este ordinul polului în origine 1 - reprezintă cele elemente integratoare ideale în funcţia de transfer a SAD, s B K d 0 - este factorul total de amplificare a SAD, A G (s) b(s) a (s), G (0) 1 . Se face o clasificare a SRA, după ordinul polului în origine din funcţia de transfer a SAD (după numărul de elemente integratoare ideale din funcţia de transfer a SAD), astfel [1]: - SA de tipul 0, (SAD nu conţine element integrator ideal); - SA de tipul 1, (SAD conţine un element integrator ideal); - SA de tipul 2, (SAD conţine două elemente integratore ideale). Deci, în funcţia de transfer a SAD ordinul polului în origine poate fi 0,1,2, iar pentru 2 sistemele automate nu sunt stabile [1]. Din cele prezentate a rezultat că funcţia de transfer a SAD se exprimă, într-un mod mai eficient, sub forma: Y s K d (2.229) H d s G s ; 0,1,2; G 0 1, s s Relaţia (2.229) va fi utilizată pentru calculul erorii permanente a sistemelor de reglare automată. Se va arăta că eroarea permanentă depinde în mod esenţial de tipul SA, adică de valorile pe care le poate lua în practică . Introducând relaţia (2.229) în (2.222) se obţine pentru funcţia de transfer a sistemului automat închis expresia: K d bs Y s H 0 s , (2.230) R s s a s K d bs În schema de structură a SRA din figura 2.47.a. s-a considerat reacţia principală directă. Dacă pe circuitul reacţiei principale se găseşte un element traductor (fig. 2.48) cu funcţia de transfer H TR s , atunci sistemul respectiv poate fi echivalat cu un sistem cu reacţie principală unitară, introducând anumite elemente suplimentare, cu păstrarea echivalenţei faţă de sistemul iniţial [1]. Fig. 2.48 Aplicând relaţia (2.208), pentru reacţie negativă, la schema de structură din figura 2.48 se obţine pentru sistemul închis o funcţie de transfer de forma:
H 0 (s )
Y (s ) R (s )
H d (s )
(2.231)
1 H d (s) H TR (s)
Introducând, între mărimea de referinţă r t şi elementul de comparaţie, două elemente conectate în serie, cu funcţiile de transfer H TR s şi 1 H TR s se obţine un sistem echivalent cu cel iniţial (fig. 2.49), deoarece funcţia de transfer a ansamblului celor două elemente suplimentare, 1 conectate în serie, este egală cu unitatea 1: H TR s 1 H TR s Ca urmare, funcţia de transfer a ansamblului reprezentat în figura 2.49, notată cu H T (s ) are expresia: H T s
Ys
1
H TR s
R s H TR s deci o expresie identică cu (2.231).
H d s
1 H d s H TR s
(2.232)
Fig. 2.49 Se scrie relaţia (2.232) în următoarea formă echivalentă:
H T s
H d s H TR s , H TR s 1 H d s H TR s 1
(2.233)
În relaţia (2.233) expresia H d s H TR s 1 H d s H TR s corespunde unei structuri închise cu reacţie unitară negativă, având în calea directă funcţia de transfer H d s H TR s , care este în serie cu un element având funcţia de transfer 1 H TR s . Deci, relaţia (2.233) conduce la o schemă de structură echivalentă, cu reacţie principală unitară, reprezentată în figura 2.50.
A rezultat că pentru a trece de la o schemă de structură cu un element traductor pe reacţia principală, la o schemă echivalentă cu reacţie principală directă, este necesar ca funcţia de transfer a traductorului de pe reacţia principală să fie introdusă pe calea directă, iar înaintea elementului de comparaţie să se introducă un element a cărui funcţie de transfer să fie inversa funcţiei de transfer a traductorului [1].
Prezenţa acestui element nu modifică mult calculele efectuate pentru bucla cu reacţie principală directă considerată fără acest element, întrucât în multe cazuri funcţiile de transfer ale traductoarelor pot fiaproximate prin nişte constante şi din rezultatele calculelor efectuate pentru bucla menţionată vor trebui înmulţite cu o constantă [1].
Fig. 2.50 2.3.4.8. Funcţia de transfer a elementului de comparaţie Considerăm schema de structură a unui SRA, cu reacţie principală directă, reprezentată în figura 2.47.a. Pentru elementul de comparaţie a sistemului considerat se defineşte o funcţie de transfer H EC s (se mai numeşte f.d.t. a erorii şi se obişnuieşte să se noteze cu H ε(s)) de forma [1]:
s (2.234) , R s Având în vedere că: ε(t) r(t) y(t), deci: s R s Ys , respectiv: R s s Ys , conform cu (2.234) rezultă: s s H EC s , R s s Ys şi împărţind cu s la numărător şi numitor obţinem: s 1 H EC s , (2.235) R s 1 Y s s Având în vedere (2.221), relaţia (2.235) devine: s 1 H EC s , (2.236) R s 1 H d s Relaţia (2.236) conduce la o schemă de structură echivalentă, asociată elementului de comparaţie, redată în figura 2.51.a. Funcţia de transfer a elementului de comparaţie se mai poate scrie sub forma: H EC s 1 H 0 s , (2.237) Expresia (2.236), precum şi cea echivalentă ei (2.237), reprezintă funcţia de transfer a elementului de comparaţie (se mai numeşte funcţie de transfer a erorii SRA) şi caracterizează eroarea cu care se face tranziţia mărimii de intrare la ieşirea sistemului. Din expresia funcţiei de transfer a sistemului automat închis cu reacţie principală directă (fig. 2.47.a) mai rezultă: H d s 1 H 0 s H d s H EC s H d s (2.238) 1 H d s 1 H d s O schemă de structură echivalentă cu cea din figura 2.47.a. se obţine în baza relaţiei (2.238), aşa cum se redă în figura 2.51.b. def
H EC s
Fig.2.51
2.3.5. Utilizarea funcţiei de transfer a sistemului deschis pentru determinarea erorii permanente în raport cu mărimea de referinţă
Eroarea în regim permanent lim t pentru un sistem automat cu circuit închis poate t
fi calculată cu ajutorul teoremei valorii finale, dacă se cunoaşte funcţia de transfer a sistemului deschis H d s şi mărimea de intrare r t .
Considerăm schema de structură a sistemului automat închis, cu reacţie principală directă, redată în figura 2.47.a. De asemenea, în calculul erorii permanente considerăm că sistemul automat este strict stabil, adică S.A. închis are toţi polii poziţionaţi în C . Din expresia funcţiei de transfer a elementului de comparaţie, relaţia (2.236), rezultă: R s s R s H EC s , (2.239) 1 H d s Având în vedere că funcţia de transfer a sistemului automat deschis poate fi scrisă sub forma: Ys K d H d s G s , G 0 1, 0,1,2 s s relaţia (2.239) devine: 1 s R s , (2.240) Kd 1 G s s Conform teoremei valorii finale: lim t lims s , (2.241) t
S 0
şi după înlocuirea relaţiei (2.240) în (2.241) se obţine relaţia de calcul a erorii în regim permanent: 1 (2.242) lim s R s , G 0 1, S 0 K 1 d G s s În cele ce urmează vom studia eroarea permanentă, în raport cu mărimea de refrinţă, a unui SRA în următoarele trei cazuri: mărimea de intrare (de referinţă) este o funcţie treaptă unitară sau funcţie treaptă. În acest caz eroarea permanentă se numeşte eroare staţionară (la poziţie)şi o notăm cu ST ; mărimea de intrare este o funcţie rampă unitară sau rampă. În acest caz se va considera eroarea la viteză şi o notăm cu v ; mărimea de intrare este o parabolă unitară sau parabolă (referinţa variază în timp cu acceleraţie constantă). În acest caz eroarea respectivă constituie eroarea la acceleraţie şi o notăm cu a. a) Mărimea de intrare este o funcţie treaptă unitară r t 1t . Imaginea Laplace a mărimii de intrare treaptă unitară este: 1 R s , (2.243) s Înlocuind în (2.242) relaţia (2.243) se obţine expresia erorii staţionare: 1 1 1 ST lim s lim (2.244) , 0,1,2. S0 S0 s 1 K d G s 1 K d G s s s Pentru sistemele automate de tipul 0 rezultă: 1 1 ST lim ct, (2.245) S 0 1 K 1 Kd d
SA de tipul 0 este static în raport cu mărimea de intrare treaptă unitară (şi treaptă). În figura 2.52.a se prezintă un răspuns aperiodic pentru un SA de tipul 0, cu reacţie principală directă, static în raport cu mărimea de intrare treaptă unitară. Din relaţia (2.245) rezultă că pentru
micşorarea erorii staţionare ST trebuie mărit factorul total de amplificare a sistemului automat deschis K d . Pentru sistemele automate de tipul 1,2 Din relaţia (2.244) rezultă: 1 1 ST lim s (2.246) 0, S0 s 1 K d G s s Se constată că la referinţă treaptă unitară (sau treaptă) prezenţa unor elemente integratoare în funcţia de transfer a SA deschis, puse în evidenţă prin termenul 1 s , 1,2, elimină (anulează) eroarea staţionară ST . Sistemele automate de tipul 1,2 sunt astatice în raport cu mărimea de intrare treaptă unitară (sau treaptă). În figura 2.52.b se prezintă un răspuns aperiodic pentru SRA astatic în raport cu referinţa treaptă unitară.
Fig.2.52 b) Mărimea de intrare are o variaţie rampă unitară r t t. 1 Pentru referinţa rampă unitară R s 2 , şi conform cu relaţia (2.242) pentru mărimea de s intrare rampă unitară se obţine expresia erorii la viteză: 1 1 1 v lim s 2 lim (2.247) , 0,1,2, S0 S0 s 1 K d G s s K d G S s s 1 Pentru un SA de tipul 0 se obţine: 1 v lim (2.248) , S0 s sK G s d
ceea ce arată că în regim permanent, cu creşterea timpului, diferenţa dintre r t t şi răspunsul yt va tinde către infinit (figura 2.53.a). Un astfel de sistem, cu 0, nu este utilizat în cazul referinţei rampă unitară (sau rampă). Pentru un SA de tipul 1 : 1 1 v lim ct, (2.249) S0 s K G s d Kd SA de tipul 1 este static în raport cu mărimea de intrare rampă unitară (sau rampă). Se constată că, şi în acest caz, creşterea factorului total de amplificare a SA deschis K d , conduce la micşorarea erorii de viteză v . În figura 2.53.b se prezintă răspunsul yt a unui SRA static în raport cu mărimea de intrare rampă unitară; Pentru un SA de tipul 2 :
1 v lim (2.250) 0, S0 s K d G s s Sistemul automat de tipul 2 este astatic în raport cu mărimea de intrare rampă unitară sau rampă (fig. 2.53.c).
Fig. 2.53 c) Mărimea de intrare este o parabolă unitară r t t 2 2 Pentru referinţa parabolă unitară: 1 R s 3 , (2.251) s Introducând relaţia (2.251) în (2.242) se obţine expresia erorii acceleraţie de forma: 1 1 1 a lim s 3 lim (2.252) , 0,1,2, S0 S0 s 1 K d G s s 2 K d G s s s 2 Pentru SA de tipul 0 se obţine: 1 a lim (2.253) , S0 s 2 K d G s s 2 Deci, SA de tipul 0 nu poate fi utilizat în cazul când mărimea de intrare este o parabolă unitară sau parabolă. Pentru un SA de tipul 1 expresia erorii de acceleraţie este: 1 a lim (2.254) , S0 s 2 K d G s s 1 A rezultat că şi SA de tipul 1 nu sunt utilizabile pentru referinţă parabolă unitară sau parabolă. Pentru un SA de tipul 2 : 1 1 a lim 2 ct, (2.255) S0 s K G s d Kd Se constată că sunt necesare două elemente integratoare în calea directă pentru ca a ct. Sistemul automat de tipul 2 este static în raport cu mărimea de intrare parabolă unitară sau parabolă. Din relaţia (2.255) rezultă că micşorarea erorii la acceleraţie a se poate obţine prin mărirea coeficientului total de amplificare a sistemului automat deschis. Rezultatele obţinute sunt redate în tabelul 2.1. Din tabelul 2.1 se constată că pentru fiecare valoare există un singur tip de semnal de intrare pentru care eroarea în regim permanent este finită şi
diferită de zero; în aceste cazuri valoarea erorii în regim permanent variază invers cu factorul total de amplificare a SA deschis [1]. Rezultatele obţinute sunt utile în proiectare [1]. De exemplu, când se impune o performantă staţionară ST 0, este necesar să se obţină un SA de tipul 1, iar dacă se impune v 0 este necesar ca sistemul să fie astfel proiectat încât să se obţină 2. Tabelul 2.1 Tipul intrării Treaptă unitară Rampă unitară Parabolă unitară R s 1/ s R s 1 / s 2 R s 1 / s 3 Tipul SA 1 0 1 Kd 1
0
1 Kd
2
0
0
1 Kd
În situaţiile când nu se impune o performanţă de forma 0, ci o performanţă de forma: impus ,
aceasta conduce la condiţia: K d K d .impus ,
(2.256) (2.257)
unde K d .impus este valoarea impusă pentru factorul total de amplificare a SA deschis, corespunzător valorii impuse impus , [1].
2.3.6. Coeficienţii erorilor Conform relaţiei (2.236), imaginea Laplace a erorii în raport cu mărimea de intrare este: 1 s H EC s .R s R s , (2.258) 1 H d s unde: s 1 H EC s , (2.259) R s 1 H d s reprezintă funcţia de transfer a elementului de comparaţie pentru un SRA cu reacţie principală unitară. Conform teoremei valorii finale regimului permanent îi corespunde în domeniul variabilei complexe s 0, iar în domeniul timpului t . Se dezvoltă în serie Mac-Laurin funcţia de transfer a elementului de comparaţie (2.259): C C 1 H EC s C 0 C1s 2 s 2 3 s 3 (2.260) 1 H d s 2! 3! în care coeficienţii dezvoltării au expresiile: dH EC s d 2 H EC s C 0 H EC s S0 , C1 , C2 , ds S0 ds 2 S0
C3
d 3 H EC s d n H EC s , , C , n ds 3 S0 ds n S 0
(2.261)
Introducând relaţia (2.260) în (2.258) se obţine:
C C s C 0 C1s 2 s 2 3 s 3 R s , 2! 3!
(2.262) Seria (2.262) este convergentă pentru valori mici ale lui ss 0, deci, aşa cum s-a menţionat, corespunde regimului permanent. Coeficienţii C0 , C1 , C2 , C3 , se numesc coeficienţi generalizaţi ai erorii (sau simplu coeficienţii erorilor) şi se calculează cu relaţiile (2.261). Dacă se trece la funcţiile original, din relaţia (2.262) se obţine eroarea de regim permanent în raport cu mărimea de intrare: dr t C 2 d 2 r t (2.263) C 0 r t C 1 , dt 2! dt 2 În această expresie coeficienţii generalizaţi ai erorii sunt legaţi de erorile de poziţie, de viteză şi respectiv de acceleraţie. Pentru regimul permanent în scopul caracterizării erorii, pe lângă coeficienţii generalizaţi ai erorii, se definesc factorii totali de amplificare de poziţie, de viteză şi respectiv, de acceleraţie. Din relaţia (2.228) se determină factorul total de amplificare a sistemului deschis (care este un coeficient de transfer static): K d lim s H d s , (2.264) S0
În relaţia (2.228) s-a avut în vedere faptul că G0 1. Factorul total de amplificare a sistemului deschis K d se notează diferit şi are denumiri diferite, pentru cazurile celor trei valori întâlnite în practică 0, 1 şi 2, astfel [1]: pentru 0, conform cu (2.264), se defineşte factorul total de amplificare de poziţie (se mai numeşte coeficientul erorii de poziţie) notat cu K p : K p K d lim H d s ,
(2.265)
S0
0
pentru 1, se defineşte factorul total de amplificare de viteză (se mai numeşte coeficientul erorii de viteză) notat cu K V : K V K d lims H d s ,
(2.266)
S0 1
pentru 2, se defineşte factorul total de amplificare de acceleraţie (se mai numeşte coeficientul erorii de acceleraţie) notat cu K A : (2.267) K A K d lim s 2 H d s , S 0
2
Având în vedere (2.227) respectiv (2.228), se verifică faptul că pentru fiecare tip de sistem 0, 1, 2 unul singur dintre factorii totali de amplificare menţionaţi este finit şi diferit de zero: K p în cazul 0; K V în cazul 1; KA în cazul 2 [1]. Coeficienţii seriei (2.260) pot fi exprimaţi în funcţie de factorii K p , K V , K A din (2.265), (2.266), (2.267). Pentru sistemele cu diferite valori ale lui 0,1,2 , primii trei coeficienţi generalizaţi ai erorii permanente, în raport cu mărimea de intrare, calculaţi cu relaţiile menţionate, au următoarele valori: pentru sistemele de tipul 0 : C 0 1 1 Kp; pentru sistemele de tipul 1 : C 0 0 şi C1 1 K V ; pentru sistemele de tipul 2 : C o 0, C1 0 şi C 2 2 K A . Astfel, la un sistem automat de tipul 0 din (2.260), cu considerarea relaţiei (2.265), se obţine: 1 1 , (2.268) C 0 lim H EC (s) lim s 0 s 0 1 H (s ) KP d
S-a arătat că la sistemele cu 0, în cazul aplicării unui semnal de intrare treaptă unitară, eroarea staţionară are expresia (relaţia 2.245): 1 ST , (2.269) 1 Kd Comparând (2.269) cu (2.268) şi având în vedere (2.265), se constată că la SA cu 0, cărora li se aplică o treaptă unitară, are loc relaţia [1]: (2.270) C0 ST , Pentru sistemele cu 1, a căror funcţie de transfer a sistemului deschis este: K H d s d G s , G 0 1, (2.271) s factorul total de amplificare de poziţie rezultă din (2.265): K p lim H d s , (2.272) S0
şi înlocuind în (2.268) se obţine: (2.273) C0 0, Înlocuind (2.273) în (2.260), se obţine pentru sistemele cu 1 expresia [1]: C C 1 H EC s C1s 2 s 2 3 s 3 , (2.274) 1 H d s 2! 3! de unde având în vedere că numai C1 0, rezultă:
1 1 1 1 1 C1 lim H EC s lim lim , (2.275) S0 s S0 s 1 H d s S0 sH d s K v Comparând (2.249) cu (2.275) şi având în vedere (2.266), se constată că la sistemele cu 1, cărora li se aplică la intrare un semnal rampă unitară r t t, are loc relaţia [1]: 1 C1 v , (2.276) Kv În mod analog, pentru un sistem cu 2 se obţine C0 0 şi C1 0, rezultând apoi [1]:
C2 1 a , 2 KA
Înlocuind (2.268), (2.275) şi (2.277) în (2.260), se obţine:
(2.277)
1 1 1 2 s s , (2.278) 1 Kp K v KA Coeficienţii generalizaţi ai erorii mai pot fi determinaţi împărţind polinomul de la numărătorul funcţiei de transfer a elementului de comparaţie, la polinomul de la numitorul acestuia şi identificând rezultatul obţinut cu seria (2.263). Ca exemplu, considerăm, pentru un SRA cu reacţie principală unitară, că mărimea de intrare (funcţia de excitaţie) este de forma: r t b 0 1t vt at 2 2, (2.279) iar funcţia de transfer a sistemului deschis are expresia: Kd (2.280) H d s , sTs 1 Se cere a se determina eroarea permanentă în raport cu mărimea de intrare. Funcţia de transfer a elementului de comparaţie pentru sistemul dat este: 1 Ts 2 s (2.281) H EC s 2 , 1 H d s Ts s K d Din relaţia (2.281), împărţind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor, se obţine seria: H EC s
T 2T 1 1 1 s 2 s 2 2 3 s 3 Kd Kd Kd Kd Kd iar după înmulţirea cu imaginea Laplace a mărimii de intrare R s se obţine: H EC s
1 T 2T 1 1 s s 2 s 2 2 3 s 3 R s , Kd Kd Kd Kd Kd
(2.282)
Identificând coeficienţii pentru aceleaşi puteri ale lui s din (2.282) şi (2.262) se obţin coeficienţii generalizaţi ai erorii: T 1 2T 1 1 C 0 0; C1 ; C 2 2 2 ; C 3 6 3 2 ,... (2.283) Kd Kd Kd Kd Kd
Calculăm derivatele mărimii de intrare: rt v at şi rt a (celelalte derivate sunt nule) şi le introducem împreună cu coeficienţii erorilor din (2.283) în (2.263), determinând astfel eroarea de regim permanent în raport cu mărimea de intrare (2.279): v at a T 1 K d t , (2.284) Kd Kd
2.3.7. Funcţiile de transfer în raport cu perturbaţia Considerăm schema de structură a unui SRA, cu reacţie principală unitară, reprezentată în figura 2.54. În deducerea funcţiilor de transfer în raport cu perturbaţia se consideră mărimea de referinţă nulă r t 0.
Fig.2.54 Deoarece mărimea de intrare este nulă, la intrarea regulatorului automat (cu funcţia de transfer H R s va acţiona semnalul Yp s L y p t , unde y p t reprezintă răspunsul sistemului
determinat de perturbaţia pt , a cărei imagine Laplace s-a notat cu P(s)= L p(t). Semnalul de la ieşirea blocului părţii fixate, egal cu Us H F s , se adună în sumatorul () cu semnalul de la ieşirea blocului cu funcţia de transfer Vs , egal cu Ps Vs . Funcţia de transfer Vs corespunde canalului prin care perturbaţia pt acţionează asupra mărimii de ieşire. La ieşirea elementului sumator se obţine mărimea de ieşire y p t . Funcţia de transfer a sistemului deschis conform relaţiei (2.221) este de forma: H d s H R s H F s , (2.285)
iar funcţia de transfer a sistemului automat închis în raport cu perturbaţia Ps va fi: def Y s Vs p H 0 p s , (2.286) Ps 1 H d s Expresia funcţiei de transfer a sistemului automat închis, în raport cu perturbaţia, (2.286) conduce la o schemă de structură echivalentă cu cea din figura 2.54 şi care este reprezentată în figura 2.55.
Dacă se întrerupe legătura inversă din schema de structură din figura 2.54, atunci ut 0 şi rezultă că funcţia de transfer a sistemului automat deschis în raport cu perturbaţia va avea expresia: Y (s) (2.287) H P (s) P V(s) , P(s) În condiţii normale, asupra sistemului Fig. 2.55 automat acţionează atât mărimea de referinţă r t , cât şi perturbaţia pt . În acest caz, la ieşirea sistemului are loc superpoziţia efectelor celor două mărimi de excitaţie şi mărimea de ieşire se determină cu relaţia: H d s V s Y s Yr s Yp s R s Ps , (2.288) 1 H d s 1 H d s sau Y s H 0 s R s H 0 p s P s , (2.289) în care Yr s este componenta răspunsului determinată de mărimea de referinţă R s ; Yp s este
componenta răspunsului determinată de acţiunea perturbaţiei Ps , iar H 0 s este funcţia de transfer a sistemului automat închis în raport cu mărimea de referinţă R s .
În continuare, se determină funcţia de transfer a erorii în raport cu perturbaţia pt , pentru sistemul reprezentat în figura 2.54. Pentru aceasta, în figura 2.54 se consideră mărimea de referinţă nulă r t 0 şi corespunzător eroarea (mărimea de la ieşirea elementului de comparaţie) în raport cu perturbaţia va fi: p t y p t , (2.290) sau în imagini Laplace: p s Yp s , (2.291) în care expresia mărimii de ieşire determinată de acţiunea perturbaţiei Ps se obţine din relaţia (2.286): V s Yp s Ps , (2.292) 1 H d s Introducând relaţia (2.292) în (2.291) se obţine: V s p s P s , (2.293) 1 H d s În baza relaţiei (2.293) se defineşte funcţia de transfer a erorii sistemului în raport cu perturbaţia: def (s) Vs p (2.294) H p s , Ps 1 H d s De menţionat este faptul că în (2.294) expresia funcţiei de transfer H d s rămâne aceeaşi, iar
funcţia de transfer Vs depinde de locul în care se aplică perturbaţia. Funcţia de transfer a sistemului automat închis în raport cu perturbaţia (2.286) ia diferite forme după cum SA este static sau astatic, la acţiunea perturbaţiei. Din relaţia (2.286) şi utilizând teorema valorii finale, pentru regimul permanent se obţine expresia mărimii de ieşire determinată de acţiunea perturbaţiei: lim y p t lims P s H 0 P s , (2.295) t
S 0
sau
Vs lim y p t lims Ps , t S 0 1 H d s
(2.296)
Considerăm că funcţia de transfer Vs a sistemului deschis în raport cu perturbaţia conţine un pol de ordinul în origine şi poate fi redată sub forma: K P (s) K (2.297) V (s) 1 G (s) , s P2 (s) s în care K este coeficientul de transfer static al sistemului deschis în raport cu perturbaţia, iar P1 s şi P2 s sunt polinoame în s care au proprietatea: P1 0 P2 0 1, (2.298) şi deci: G p 0 1, (2.299)
Funcţia de transfer H d s a SA deschis se exprimă prin relaţia (2.228) şi este de forma: K H d s d G s , G 0 1, (2.300) s unde este ordinul polului în origine. Ne referim la SA de stabilizare în care se consideră că perturbaţia pt are o variaţie treaptă [19]: (2.301) pt p 0 lt , şi corespunzător: p P s 0 , (2.302) s Introducând expresiile (2.297), (2.300), (2.301) în (2.296) se obţine: s G p s lim y p t lim p 0 K (2.303) , t S 0 s K d G s Dacă expresia din partea dreaptă a relaţiei (2.303) este egală cu zero, atunci abaterea mărimii reglate sub acţiunea perturbaţiei este egală cu zero şi SA este astatic în raport cu perturbaţia treaptă. Cazul când termenul din partea dreaptă a relaţiei (2.303) este diferit de zero, corespunde unui SA static în raport cu perturbaţia treaptă. Se constată că în relaţia (2.303) lim y p t 0 dacă . Deci, sistemul automat este astatic în t
raport cu perturbaţia treaptă dacă ordinul polului în origine din funcţia de transfer a SA deschis în raport cu mărimea de referinţă este mai mare decât ordinul polului în origine din funcţia de transfer a SA deschis în raport cu perturbaţia. În cazul când sistemul automat este static în raport cu perturbaţia treaptă, dar este astatic în raport cu mărimea de referinţă treaptă. Erorile staţionare, după cum s-a arătat, reprezintă performanţe de regim staţionar ale sistemului de reglare automată. Se constată că atunci când se impune o eroare staţionară, în raport cu referinţa sau perturbaţia, este necesar să se precizeze tipul acestor mărimi de excitaţie. 2.4. ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ LINIARE NETEDE ŞI ÎNVARIATE ÎN DOMENIUL FRECVENŢELOR În studiul sistemelor de reglare automată se folosesc mai multe metode, fiecare metodă fiind legată de un model matematic specific prin care se evidenţiază o serie de proprietăţi care, în cele din urmă, vizează performanţele sistemului. Răspunsul la frecvenţă a unui SRA, precum şi caracteristicile de frecvenţă asociate acestuia, reprezintă modele matematice de tipul intrare-ieşire [1]. Metoda caracteristicilor de frecvenţă a primit o largă utilizare în analiza şi sinteza SRA deoarece permite aprecierea stabilităţii, a rezervei de stabilitate, precum şi sinteza circuitelor de corecţie. Totodată au avantajul că permit să se obţină, cu o anumită aproximaţie, răspunsul unui sistem la un semnal de intrare treaptă [1].
2.4.1. Definirea răspunsului la frecvenţă Metoda frecvenţială de analiză a proprietăţilor dinamice ale unui sistem de reglare automată (subsistem sau element) constă în cercetarea răspunsului sistemului în regim permanent sinusoidal. La intrarea sistemului (subsistemului sau elementului) se aplică oscilaţii armonice de amplitudine constantă, dar de pulsaţii diferite, iar la ieşirea sistemului pentru fiecare pulsaţie, în regim permanent sinusoidal, se obţin de asemenea oscilaţii armonice de aceeaşi pulsaţie, dar cu amplitudinea şi faza iniţială diferite faţă de mărimea de intrare. Pentru definirea răspunsului la frecvenţă considerăm un element oarecare descris de o ecuaţie diferenţială de forma: aq
q q 1 k d y d y dy d r dr a a a y b q q 1 q 1 1 dt 0 k k b1 dt b 0 r , dt dt dt
(2.304)
care prin aplicarea transformatei Laplace, în condiţii iniţiale nule, conduce la expresia: a q s q a q 1s q 1 ... a 1s a 0 Ys b k s k ... b1s b 0 R s ,
şi respectiv la funcţia de transfer: def Ys b s K b k 1s k 1 ... b1s b 0 P1 s Ws k q , R s a q s a q 1s q 1 ... a 1s a 0 P2 s
(2.304.a)
Pentru sistemele sau elementele reale se îndeplineşte totdeauna condiţia de realizabilitate fizică q k. Conform celor menţionate, dacă la intrarea elementului se aplică (pentru fiecare pulsaţie din domeniul considerat) un semnal sinusoidal de amplitudine şi pulsaţie constante, atunci după terminarea regimului tranzitoriu, în regim permanent sinusoidal, la ieşire se obţine tot un semnal sinusoidal de aceeaşi pulsaţie, dar cu amplitudinea şi faza iniţială diferite faţă de mărimea de intrare. După cum s-a menţionat, răspunsul elementului yt conţine două componente: y( t ) y tr ( t ) y f ( t ), unde: y tr ( t ) - este componenta tranzitorie sau liberă a răspunsului; y f ( t ) - este componenta de regim permanent sinusoidal sau forţată a răspunsului.
Determinarea analitică sau experimentală a răspunsului la frecvenţă se face, după cum s-a specificat, în regim permanent sinusoidal, deci cu respectarea condiţiei: lim yt y f t t
sau lim y tr t 0 t
Pentru o pulsaţie oarecare ct , în regim permanent sinusoidal, considerăm că mărimile de intrare şi ieşire sunt de forma: (2.305) r t A i sin t i , (2.306) yt A e sin t e , unde: A i - este amplitudinea mărimii de intrare i - este faza iniţială a mărimii de intrare A e - este amplitudinea mărimii de ieşire e - este faza iniţială a mărimii de ieşire. 2 f , este pulsaţia.
Reprezentăm în complex nesimplificat mărimile sinusoidale din relaţiile (2.305), (2.306). Amintim că imaginea în complex nesimplificat a unei mărimi sinusoidale este o funcţie complexă de timp având modulul constant şi egal cu amplitudinea mărimii sinusoidale şi argumentul egal cu faza acesteia. Notăm reprezentările în complex nesimplificat astfel [20]: Cr r şi C y y, (2.307) unde C este operatorul reprezentării în complex nesimplificat. Deci:
r Ai e
y Ae e
j t
i
(2.308)
,
j (ω t e )
,
(2.309)
În regim permanent sinusoidal, în ecuaţia diferenţială (2.304) mărimea de intrare este r , iar mărimea de ieşire y. Operaţiei de derivare în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi corespunde, prin reprezentarea în complex nesimplificat, înmulţirea cu j a imaginii în complex a mărimii supuse derivării. Derivatelor din (2.304) le corespund expresiile: dy (jω) y , (2.310) dt d2 y 2 jω y , 2 dt
(2.311)
q d y q q jω y , dt
(2.312)
. . .
dr jω r , dt d2 r 2 jω r , dt 2 . . . dk r k jω r , k dt Substituind expresiile (2.310)(2.315) în ecuaţia (2.304) se obţine:
q1 q a q ( j) a q1 j ... a1 j a 0 y
k
k1
b k j b k1 j
... b1 j b0 r
,
(2.313) (2.314)
(2.315)
(2.316)
În baza relaţiei (2.316), raportul dintre mărimea de ieşire şi cea de intrare, reprezentate în complex nesimplificat, pentru valori constante ale pulsaţiei , teoretic cuprinse între - şi +, se numeşte răspuns la frecvenţă a elementului (sau sistemului). Notăm răspunsul la frecvenţă a elementului cu W j. Atunci, din relaţia (2.316) rezultă expresia răspunsului la frecvenţă: k k 1 def y b j b k 1 j ... b1 j b0 P j W j k 1 , (2.317) q q 1 r a q j a q 1 j ... a1 j a 0 P2 j
Comparând expresia (2.317) cu (2.304.a) se constată că pentru a obţine răspunsul la frecvenţă este necesar ca în funcţia de transfer a elementului să se facă substituţia s j, deci: W j W s s j ,
(2.318)
şi corespunzător: Y j P1 j W j , (2.319) R j P2 j Avându-se în vedere relaţia (2.318) şi prin analogie cu (2.304), răspunsul la frecvenţă se mai numeşte funcţie de transfer în frecvenţă [10, 11]. Răspunsul la frecvenţă descris prin funcţia complexă W j de variabilă reală defineşte complet regimul permanent sinusoidal, pentru R, al sistemului liniar continuu învariat cu funcţia de transfer W s . Deşi răspunsul la frecvenţă caracterizează regimul permanent sinusoidal, cu ajutorul lui se pot determina proprietăţile dinamice ale sistemelor automate (stabilitatea, performanţe tranzitorii). La relaţiile (2.318), (2.319) se mai poate ajunge, pe o cale mult mai scurtă, dacă se are în vedere legătura dintre transformata Laplace şi transformata Fourier. Practic, dacă în transformata Laplace se înlocuieşte variabila complexă s σ jω cu variabila imaginară s j, se obţine transformarea Fourier. Rezultă că în expresia (2.319) mărimile Y( j) şi R ( j) reprezintă transformatele Fourier directe ale mărimii de ieşire şi respectiv intrare:
jω t Y jω Fy(t) y(t) e dt ,
(2.320)
0
jω t R jω Fr(t) r ( t) e dt ,
(2.321)
0
numite imaginea Fourier a mărimii de ieşire, respectiv a celei de ieşire. Conform relaţiei (2.319) răspunsul la frecvenţă (funcţia de transfer în frecvenţă) reprezintă raportul dintre transformata Fourier directă a mărimii de ieşire şi transformata Fourier directă a mărimii de intrare, ambele în condiţii iniţiale nule. Având în vedere faptul că funcţia de transfer reprezintă imaginea Laplace a funcţiei pondere w(t), precum şi relaţia (2.318), se constată că funcţia de transfer în frecvenţă este imaginea Fourier a funcţiei pondere, deci:
Wj wt e j t dt,
(2.322)
0
Funcţia compexă W(j) de variabilă reală , se poate pune sub forma: (2.323) W j A e j() U jV , unde: P j A W j 1 - reprezintă amplitudinea sau modulul funcţiei de transfer în P2 j frecvenţă () argW ( j) - reprezintă faza sau argumentul funcţiei de transfer în frecvenţă U () ReW ( j) - este partea reală a funcţiei de transfer în frecvenţă V () ImW ( j) - este partea imaginară a funcţiei de transfer în frecvenţă. Dependenţele între A şi U , V , precum şi între şi U , V , sunt date de relaţiile evidente:
- Caracteristica amplitudine-frecvenţă (pulsaţie) A reprezintă dependenţa raportului amplitudinilor mărimilor de ieşire şi intrare în funcţie de pulsaţia 0, . A A W j e , 0, , (2.332) Ai
Modulul A W j reprezintă amplificarea elementului sau sistemului dacă A 1 şi
respectiv atenuarea dacă A 1. Pulsaţia pentru care valoarea raportului amplitudinilor mărimilor de ieşire şi intrare este egală cu unitatea se numeşte pulsaţie de tăiere, notată cu t , deci:
A t W t 1 ,
(2.333)
- Caracteristica fază-frecvenţă (pulsaţie) reprezintă dependenţa diferenţei dintre fazele iniţiale ale oscilaţiilor armonice corespunzătoare mărimilor de ieşire şi intrare funcţie de pulsaţia 0, . argW j e i , 0. , (2.334) Un element sau sistem dinamic este realizabil fizic dacă satisface condiţia de cauzalitate, adică răspunsul nu precede în timp mărimea de intrare. Pentru sistemele şi elementele reale mărimea sinusoidală de la ieşire este defazată în urma mărimii sinusoidale aplicate la intrare, pentru orice pulsaţie , deci: 0, (2.335) Polii şi zerourile funcţiei de transfer influenţează asupra caracteristicilor de frecvenţă. O funcţie de transfer este de fază minimă dacă polii şi zerourile acesteia se găsesc în semiplanul stâng C al planului complex al rădăcinilor. Analizăm influenţa polilor şi zerourilor asupra caracteristicilor A( şi . Pentru exemplificare, se consideră două funcţii de transfer W1 s şi W2 s , de formă mai simplă, care îndeplinesc condiţia W1 j W2 j , şi a căror formă este: s2 s2 , W2 s , s5 s5 Cele două funcţii de transfer au acelaşi pol p1 5, , iar zerourile sunt diferite, z1 2 şi respectiv W1 s
z 2 2 . În scopul unei analize comparative s-a adoptat situaţia când poziţia zerourilor ( z1 2 şi z 2 2 ) este simetrică faţă de axa imaginară a planului rădăcinilor. Se arată că funcţia de transfer W1(s) este de fază minimă. Caracteristicile amplitudine-pulsaţie asociate celor două funcţii de transfer sunt identice (fig. 2.57), Fig. 2.57 în schimb caracteristicile fază-pulsaţie 1 argW1 j , reprezentată în figura 2.58 şi respectiv 2 argW2 j , reprezentată în figura 2.59, sunt diferite. Din figurile 2.58 şi 2.59 rezultă că , pentru aceeaşi gamă a pulsaţiilor, domeniul în care ia valori caracteristica 1 , asociată funcţiei de transfer de fază minimă, este mult mai mic decât cel corespunzător caracteristicii 2 . Funcţia de transfer W2(s) este de fază neminimă. Se numesc sisteme de defazaj neminim sistemele dinamice liniare a căror funcţii de transfer au toţi polii şi numai o parte din zerouri în Re s 0 .
Fig. 2.58
Fig. 2.59
Trasarea experimentală a caracteristicilor de frecvenţă A şi presupune ca pentru fiecare pulsaţie din domeniul considerat, în regim permanent sinusoidal, să se calculeze raportul A e A i şi diferenţa e i , după care în bază rezultatelor obţinute se trasează caracteristicile.
- Caracteristica reală de frecvenţă (pulsaţie) U arată cum se modifică partea reală a răspunsului la frecvenţă W j în funcţie de pulsaţia 0, . Caracteristica reală de pulsaţie satisface condiţia de simetrie menţionată prin relaţia (2.326). Cu ajutorul caracteristicii reale de pulsaţie se poate calcula răspunsul indicial al elementului sau sistemului [1]. - Caracteristica imaginară de frecvenţă (pulsaţie) V() reprezintă dependenţa părţii imaginare a răspunsului la frecvenţă în funcţie de pulsaţia . Caracteristica imaginară de pulsaţie satisface condiţiile menţionate prin relaţiile (2.327), (2.328) şi de asemenea permite determinarea răspunsului indicial al elementului sau sistemului [1]. Avantajul metodelor de frecvenţă constă în faptul că principalele reprezentările grafice (carcteristica amplitudine-pulsaţie şi caracteristica fază-pulsaţie) pot fi obţinute prin cercetări experimentale, aspect important pentru cazurile în care procesele supuse automatizării sunt complexe şi nu pot fi descrise analitic cu suficientă exactitate. Pentru sistemul automat deschis, cu funcţia de transfer H d s , se introduc: l.d.t. (sau locul Nygnist), caracteristicile logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie (diagramele Bode), iar pentru sistemul automat închis cu funcţia de transfer H 0 s se introduc caracteristicile: caracteristica amplitudine-pulsaţie, caracteristicile reală şi imaginară de pulsaţie şi caracteristica fază-pulsaţie [2].
2.4.3. Proprietăţile locurilor de transfer ale sistemelor deschise O importanţă deosebită în analiza SRA o prezintă caracteristica amplitudine-fază (l.d.t.) a sistemului deschis deoarece permite, în conformitate cu criteriul de stabilitate Nygnist, să se aprecieze stabilitatea şi rezerva de stabilitate a sistemului. Se consideră schema de structură a SRA cu reacţie principală directă reprezentată în figura 2.47.a, iar funcţia de transfer a sistemului automat deschis descrisă de relaţia (2.227): Ys Bs K d b m s m ... b1s 1 K d bs K d H d s G s , (2.336) s As s a r s r ... a 1s 1 s a s s şi prin substituţia s j se obţine răspunsul la frecvenţă:
H d j
K d b m j ... b1 j 1 B j A j j a r jr ... a 1 j 1 m
(2.337) K d b j Kd G j, j a j j în care r n şi n m, iar 0,1,2. Răspunsul la frecvenţă a sistemului automat deschis poate fi exprimat sub o formă, analoagă cu (2.329), prin care sunt evidenţiate cele cinci caracteristici de frecvenţă: H d j A e j U jV , în care: H d j - este locul de transfer al sistemului automat deschis,
A H d j
(2.338)
- este caracteristica amplitudine-fază,
- este caracteristica fază-pulsaţie, argH d j - este caracteristica reală de pulsaţie, U ReH d j - este caracteristica imaginară de pulsaţie. V ImH d j Aspectul l.d.t. a sistemului automat deschis depinde de valoarea şi de diferenţa m – r dintre gradele polinoamelor b j şi a j, respectiv dintre gradele polinoamelor bs şi a s din (2.336). Se propune a se determina asimptotele l.d.t. a sistemului deschis pentru pulsaţii joase 0, respectiv pentru pulsaţii foarte mari , [1]. Pentru SA de tipul 0 expresia (2.337) devine: b j H d j K d K d G j, a j Pentru 0 rezultă: H d j0 K d ,
(2.339) (2.340)
deoarece G0 1 şi respectiv G j0 1. Pentru SA cu 0, l.d.t. începe de pe axa reală pozitivă (figura 2.60.a), în sensul că punctul corespunzător pulsaţiei 0 se află pe semiaxa reală pozitivă [1]. Când în expresia (2.339) intervin numai termenii de cel mai mare grad din polinoamele b j şi a j şi cum n > m rezultă: b j (2.341) lim H d j lim K d 0, a j deci, l.d.t. se termină în originea axelor de coordonate (figura 2.60.a). Pentru SA de tipul 1 relaţia (2.337) ia forma: K b j K d H d j d G j, (2.342) j a j j în care grad( j) r n 1 . Atunci când 0 se obţine: j K K (2.343) lim H d j lim d lim d e 2 , 0 0 j 0
În relaţia (2.343) s-a avut în vedere că G j0 1 şi faptul că j e 2 , este un operator de rotaţie cu j
j 1 (în sens direct trigonometric), iar j e 2 , este un operator de rotaţie cu , în sens 2 j 2 invers trigonometric. Din relaţia (2.343) rezultă că pentru 0 modulul vectorului complex H d j tinde către infinit, iar argumentul lui tinde către (figura 2.60.b). Deci, pentru 0 asimptotă este semiaxa 2 imaginară negativă. Când , conform cu (2.342) rezultă: K b j lim H d j lim d 0, (2.344) j a j deoarece n = r + 1 şi n >m. Deci, şi în cazul SA de tipul 1 l.d.t. se termină în origine (figura 2.60.b). Pentru SA de tipul 2 relaţia (2.337) devine:
H d j
Kd
j
2
Kd b j G j, a j j 2
Pentru 0 se obţine: K lim H d ( j) lim 2d e j 0 0 în care s-a ţinut cont de faptul că G j0 1 şi
(2.345)
(2.346) 1 j 2 e j , corespunde unei rotaţii cu în sens j2
invers trigonometric. Din relaţia (2.346) se constată că pentru 0 modulul lui H d j tinde către infinit, iar argumentul său tinde către , (figura 2.60.b). Deci, pentru 0 asimptotă este semiaxa reală negativă. Pentru fiind îndeplinită condiţia n > m, n = r + 2, se obţine: K b j lim H j d 0, (2.347) d j a j deci, şi în acest caz l.d.t. se termină în origine (figura 2.60.b). Din cele prezentate a rezultat: - în domeniul pulsaţiilor mici, când 0, argumentul vectorului complex H d j tinde către valoarea: 0 , (2.348) 2 în care ia valorile practice 0,1,2 . - în domeniul pulsaţiilor foarte mari datorită condiţiei n > m, unde n r , totdeauna lim H d j 0 (2.349)
Fig. 2.60 Pentru cazul n = m, din relaţia (2.337) se obţine: b (2.350) lim H d ( j) K d m , an Deci, punctul de pe l.d.t. corespunzător pulsaţiei se găseşte, în acest caz, pe semiaxa reală pozitivă [8]. Dacă n m, punctul l.d.t. corespunzător lui este totdeauna la infinit. Elementele fizice reale nu satisfac această condiţie.
2.4.4. Caracteristicile de frecvenţă ale sistemelor automate închise Se consideră schema de structură a SRA, cu reacţie principală directă, reprezentată în figura 2.47.a, iar funcţia de transfer a sistemului automat deschis descrisă de relaţia (2.336). În relaţia (2.336): Ys B(s) H d s , (2.351) s As în care grad A(s) n, grad B(s) m şi n m Funcţia de transfer a sistemului automat închis este de forma: H d (s) Y(s) H 0 (s) (2.352) R (s) 1 H d (s) în care introducând relaţia (2.351) se obţine: Bs Bs b m s m b m 1s m 1 ... b1s b 0 H 0 s , (2.353) As Bs Ds d n s n d n 1s n 1 ... d 1s d 0 Se constată că grad D(s) n , deci funcţia de transfer a sistemului automat închis este realizabilă fizic, respectându-se condiţia: n m, (2.354) Din relaţiile (2.351) şi (2.353) se constată că funcţiile de transfer ale sistemului automat deschis H d s şi respectiv a sistemului automat închis H 0 s au acelaşi polinom la numărător, iar polinoamele de la numitor sunt diferite, dar de acelaşi grad. În relaţia (2.352) făcând substituţia s j se obţine funcţia de transfer în frecvenţă H 0 j a sistemului automat închis, care poate fi redată sub forma: H 0 j M e j P jQ, (2.355) Din expresia (2.355) se pot obţine, pentru sistemul în stare închisă, caracteristicile de frecvenţă: caracteristica amplitudine-pulsaţie: M H 0 j ; caracteristica fază-pulsaţie: argH 0 j;
caracteristica reală de pulsaţie: P ReH 0 j; caracteristica imaginară de pulsaţie: Q ImH 0 j.
(2.356)
aceste caracteristici exprimând, pentru sistemul în stare închisă, dependinţele de pulsaţie ale modulului, argumentului, părţii reale şi părţii imaginare a vectorului complex H 0 j. În baza teoremelor valorii finale şi iniţiale se poate stabili o corespondenţă între caracteristicile de frecvenţă ale sistemului închis şi răspunsul indicial. Pentru SRA cu reacţie principală directă, descris de funcţia de transfer (2.352), considerăm mărimea de intrare treaptă unitară r t 1t şi corespunzător: 1 R s , (2.357) s Conform teoremei valorii finale, când la intrarea sistemului închis se aplică o treaptă unitară se obţine: y lim yt limsY s limsR s H 0 s lim H 0 s H 0 0 , (2.358) t
s0
s0
iar după substituţia s j : y lim H 0 j H 0 j0 , 0
s0
(2.359)
Din (2.359) rezultă că regimul staţionar t este determinat de zona frecvenţelor joase ale caracteristicii de frecvenţă 0. Prin aplicarea teoremei valorii iniţiale se obţine: 1 y0 lim yt lim sY s lim s H 0 s lim H 0 s , (2.360) t 0 s s s s şi cum pentru trecerea în domeniul frecvenţial se face substituţia s j, rezultă că începutul procesului tranzitoriu este determinat de zona frecvenţelor ridicate ale caracteristicii de frecvenţă, deci lui t 0 îi corespunde în domeniul pulsaţiilor . Această zonă a frecvenţelor ridicate prezintă mai puţin interes. Porţiunea din regimul tranzitoriu pentru care se stabilesc performanţele sistemului este dată de zona pulsaţiilor medii ale caracteristicii de frecvenţă. Dintre caracteristicile de frecvenţă din (2.356), două sunt mai frecvent utilizate: caracteristica amplitudine-pulsaţie M() şi caracteristica reală de pulsaţie P().
2.4.4.1. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului automat închis Pentru schema de structură a SRA cu reacţie principală directă (figura 2.47.a), având în vedere expresia funcţiei de transfer a acestuia, dată de relaţia (2.352), precum şi expresia funcţiei de transfer a sistemului automat deschis (relaţia 2.336) care este de forma: Y s Bs K d H d s G s , (2.361) s A s s se obţine: H 0 (s )
Y (s ) R (s )
K G (s ) d , D (s ) s K G (s ) d
(2.362)
H 0 ( j0) M (0) 1
(2.364)
B(s)
în care valorile practice ale lui sunt 0,1,2 şi G(0) 1. Făcând substituţia s j, din (2.362) se obţine răspunsul la frecvenţă a sistemului închis: K d G j (2.363) H 0 j , j K d G j În cazul SA de tipul 0, pentru 0, din (2.363) rezultă [1]: H 0 ( j0)
Kd
1 Kd
întrucât K d este o mărime reală şi pozitivă, iar G j0 1. În cazul SA de tipul 1 sau 2, relaţia (2.363), pentru 0, conduce la:
H 0 ( j0)
Kd Kd
(2.365)
H 0 ( j0) M (0) 1
Caracteristica M începe fie de la valoarea M 0 1 când 1 sau 2, fie de la o valoare subunitară 0 M 1 când 0. Valoarea iniţială M 0 furnizează informaţii asupra preciziei sistemului. De exemplu, pentru a obţine eroarea staţionară ST 0, pentru o mărime de intrare treaptă unitară, se impune ca
M 0 1, deci SA să fie de tipul 1 sau 2. Când , din (2.349) şi (2.363) rezultă [1]: lim H 0 ( j ) 0 , deci: lim M lim H 0 j 0,
(2.366)
În figurile 2.61.a şi 2.61.b sunt reprezentate, în principiu, caracteristicile M pentru cazul 0, iar în figurile 2.62.a şi 2.62.b pentru cazurile 1,2.
Fig. 2.61 Caracteristica M permite determinarea lărgimii de bandă a sistemului automat închis, care caracterizează proprietăţile de filtru ale sistemului, adică comportarea acestuia în raport cu perturbaţiile de înaltă frecvenţă [1].
Fig. 2.62 Se consideră ca lărgime de bandă gama de pulsaţii pentru care este îndeplinită condiţia [1]: 2 M , (2.367) 2 la limita acestei game găsindu-se pulsaţia B , pentru care: 2 , (2.368) 2 Pentru pulsaţii 0 B sistemul se comportă ca un filtru trece jos, iar pentru pulsaţii B se M B
consideră că atenuarea semnalelor este puternică (reamintim că M H 0 j reprezintă raportul amplitudinilor sinusoidelor de la ieşirea şi intrarea sistemului automat închis). Pentru ca influenţa perturbaţiilor de înaltă frecvenţă asupra mărimii de ieşire să fie cât mai redusă, pentru lărgimea de bandă se impune o performanţă de forma:
H 0 ( s ) st e are un pol simplu în origine (s= 0). În acest caz se efectuează integrarea de-a s lungul axei imaginare (c = 0) şi se ocoleşte originea prin semicercul de rază g infinit mică g 0, aşa cum se ilustrează în figura 2.63. Fig. 2.63 Efectuând integrarea (2.372) după conturul c rezultă:
Funcţia
c j
1 H 0 j jt 1 H 0 s st y t e d( j) e , t 0, j Re z 2j j 2j s S 0
(2.373) În integrala din (2.373), din intervalul j, j s-a exclus intervalul jg, jg , g 0. Dar: H s H s Re z 0 e st lims 0 e st H 0 0, s S0 S0 s (2.374) c j
Având în vedere (2.374), relaţia (2.373) devine
1 H 0 j jt 1 y t e d H 0 0 , t 0, 2 j 2
(2.375)
Înlocuind în (2.375) relaţiile cunoscute: H 0 j P jQ, e jt cos t j sin t se obţine:
1 1 P jQ cos t j sin t d, t 0, (2.376) yt H 0 0 2 2 j
În relaţia (2.376) se evidenţiază partea reală şi partea imaginară:
1 1 P sin t Q cos t yt H 0 0 d 2 2
j P cos t Q sin t d, t 0, 2
(2.377)
Întrucât în membrul stâng al relaţiei (2.377) apare funcţia reală yt , partea imaginară din membrul drept trebuie să fie nulă. Reţinând numai partea reală din membrul drept, relaţia (2.377) devine:
1 1 sin t 1 cos t yt H 0 0 d d, t 0, P Q 2 2 2
(2.378)
Sub cele două integrale din expresia (2.378) apar funcţii pare de deoarece P şi cos t sunt funcţii pare, iar Q, sin t şi sunt funcţii impare, aspect care permite a se lua dublul rezultatului integrării pe o jumătate a intervalului, obţinându-se:
1 1 sin t 1 cos t yt H 0 0 P d Q d, t 0, 2 0
0
(2.379)
Se ştie că răspunsul indicial yt este identic nul pentru t < 0, sistemul respectând condiţia de cauzalitate.
Dacă în (2.379) se face schimbarea de variabilă t cu (-t) şi se are în vedere că yt t 0 0, se obţine:
1 1 sin t 1 cos t 0 H 0 0 P d Q d, t 0, 2 0
(2.380)
0
Scăzând membru cu membru (2.380) din (2.379) se obţine:
2 sin t yt h t P d, t 0,
(2.381)
0
Dacă adunăm relaţiile (2.380) şi (2.381) obţinem:
2 cos t yt h t H 0 0 Q d, t 0,
(2.382)
0
De menţionat este că H 0 0 P0 . Relaţiile (2.381) şi (2.382) exprimă răspunsul indicial în funcţie de partea reală, respectiv partea imaginară a răspunsului la frecvenţă. Procedând în mod similar se calculează funcţia pondere wt în funcţie de P şi respectiv Q.
Deoarece imaginea Laplace a impulsului unitar t este R s L t 1, pentru funcţia pondere se obţine o relaţie de forma: c j
1 st y t w t H 0 s e ds, t 0, 2j
(2.383)
c j
în care c = 0. Urmărind aceeaşi metodologie de calcul, pentru funcţia pondere se obţine:
1 y t w t P cos td, t 0, 2
(2.384)
0
y t w t
1 Q sin t d, t 0, 2
(2.385)
0
Menţionăm că, de exemplu, în baza relaţiei de legătură dintre răspunsul indicial şi funcţia pondere, care este de forma: t
ht w( )d,
(2.386)
0
din (2.384) se obţine (2.381) şi respectiv din (2.385) se obţine (2.382). Rezolvarea integralei din (2.381) şi (2.382) este dificilă deoarece deseori P şi Q sunt polinoame de ordin superior. Pentru calculul răspunsului indicial se utilizează, de regulă, formula (2.381). Pentru determinarea răspunsului indicial, în baza relaţiei (2.381), se foloseşte metoda trapezelor (elaborată de Solodovnicov în 1948) care este o metodă grafoanalitică de integrare [1, 2, 3, 17, 21]. 2.4.4.3. Determinarea performanţelor SRA cu ajutorul caracteristicii P() Caracteristica reală de pulsaţie P a sistemului de reglare automată permite aprecierea performanţelor staţionare şi tranzitorii. Valoarea iniţială a caracteristicii P dă informaţii privind regimul staţionar şi depinde de tipul sistemului automat. Pentru SRA cu reacţie principală directă, având funcţia de transfer a sistemului
deschis dată de relaţia (2.361), rezultă funcţia de transfer a sistemului închis care este de forma (relaţia 2.362): H 0 (s )
Y (s )
R (s )
K G (s ) d , D (s ) s K G (s ) d
(2.387)
1
(2.389)
B(s)
în care G0 1, iar 0,1,2. În (2.387) făcând substituţia s j se obţine răspunsul la frecvenţă a sistemului închis: K d G j H 0 j P jQ , (2.388) j K d G j Dacă SA este de tipul 0, atunci din (2.388) pentru 0 se obţine: H 0 ( j0) P (0)
Kd
1 Kd
deoarece Q(0) 0. Caracteristica P, pentru SA de tipul 0, are valoarea iniţială P0 subunitară (caracteristica 1 din figura 2.64), conform cu (2.389). În cazul când SA este de tipul 1 sau 2, relaţia (2.388) pentru 0 devine: H 0 ( j0) P (0)
Kd Kd
(2.390)
1
deci, totdeauna pentru 1,2 valoarea iniţială P0 1 (caracteristica 2 din figura 2.64).
Fig. 2.64 Se constată că relaţia (2.389) este identică cu (2.364), iar (2.390) identică cu (2.365). Legătura dintre regimul staţionar al sistemului şi caracteristica P se stabileşte cu ajutorul teoremei valorii finale. În acest scop se scrie relaţia (2.359) astfel: h lim H 0 j lim P jQ P0 , (2.391) 0
0
Relaţiile (2.391), (2.389), (2.390) permit determinarea valorii de regim staţionar a răspunsului indicial: h H 0 0 P0 , (2.392) Utilizând teorema valorii iniţiale se stabileşte legătura dintre valoarea iniţială a funcţiei indiciale şi valoarea finală a caracteristicii P() . Conform relaţiei (2.360) putem scrie; h 0 lim P jQ lim P , (2.393)
Funcţia Q devine nulă pentru , dacă gradul m al polinomului de la numărătorul funcţiei de transfer H 0 s este mai mic sau egal cu gradul n al polinomului de la numitorul funcţiei de transfer, deci dacă se respectă condiţia de cauzalitate n m. Pentru m < n valoarea finală a caracteristicii P este egală cu zero:
lim P 0,
(2.394)
În cazul m = n valoarea P pentru este diferită de zero şi se poate demonstra că: b lim P n h 0, (2.395) dn în care b n şi d n corespund relaţiei (2.353). Performanţele regimului tranzitoriu corespund zonei pulsaţiilor medii a caracteristicii P şi depind de proprietăţile caracteristicii de frecvenţă din această zonă. Una din performanţele tranzitorii fundamentale este suprareglajul , de valoarea acestuia fiind legată amortizarea sistemului. Suprareglajul funcţiei indiciale nu depăşeşte 18% din valoarea staţionară h h ST , dacă funcţia P (figura 2.65) este pozitivă şi monoton descrescătoare P 0 cu , în tot intervalul pulsaţiilor 0 : P 0 (2.396) dP 0 d Se demonstrează cele menţionate plecând de la expresia răspunsului indicial (relaţia 2.381):
Fig. 2.65
ht
2 sin t d, t 0 , P 0
în care se face schimbarea de variabilă: x t , şi deci:
(2.397)
2 x sin x h t P dx , t x
(2.398)
0
Se dă lui t o valoare oarecare şi se dezvoltă răspunsul indicial ht în următoarea serie: x x 2 P P 2 2 t t h t sin xdx sin xdx ... x x
(2.399)
0
Expresia (2.399) mai poate fi redată astfel:
h t
2 k 0
k 1 P x
k
t sin x dx , x
(2.400)
Deoarece P 0, seria (2.400) este alternantă şi are loc pentru orice moment de timp t considerat [2]. Corespunzător cu (2.399) răspunsul indicial se poate scrie sun forma [2]: (2.401) h t h 0 h 1 h 2 h 3 în care:
h k 1
k
k 1 P x
2
k
t sin x dx 0, x
(2.402)
Seria alternantă (2.400) este convergentă deoarece cu creşterea lui x şi îndeplinirea condiţiilor (2.396) valorile absolute ale termenilor ei descresc şi tind către zero. Deoarece suma restului unei serii alternante convergente nu poate avea valoarea mai mare decât valoarea primului său termen, se poate scrie inegalitatea: x P 2 t h t sin x dx , (2.403) x 0
x Înlocuind sub integrală funcţia P cu valoarea ei maximă P0, inegalitatea (2.403) se va t accentua şi mai mult şi se poate scrie:
2 sin x h t P0 dx , x
(2.404)
0
Având în vedere valoarea sinusului integral
sin x Si dx 1,85 x 0
2 din (2.404) se obţine h ( t ) 1,85 P(0) şi deci: ht 1,18 P0, t 0 , (2.405) Inegalitatea (2.405) are loc pentru orice moment de timp, deci şi pentru momentul de timp când răspunsul indicial ht atinge valoarea maximă h m . Cunoscând că P0 h se obţine h m 1,18 h , de unde rezultă valoarea suprareglajului : h h m 0,18, (2.406) h Adesea caracteristica P nu satisface condiţiile (2.396) prezentând o valoare maximă, pentru 0, care conduce la creşterea suprareglajului în raport cu valoarea determinată de (2.406). În acest caz, pentru a aprecia suprareglajul se apelează la relaţia (2.381) şi la rezultatul obţinut pentru valori mici ale suprareglajului (când se respectă 2.396). În figura 2.66.a se prezintă o caracteristică reală de pulsaţie care conţine un maxim Pmax şi care îndeplineşte condiţia P 0 pentru valori crescătoare ale pulsaţiei , de la 0 la . O astfel de caracteristică poate fi echivalată sub forma diferenţei caracteristicilor P1 şi P2 : P P1 P2 , (2.407) aşa cum se redă în figura 2.66.b.
Fig. 2.66 Având în vedere (2.407), conform relaţiei (2.381) se poate scrie:
2 P 2 P h t 1 sin td 2 sin td, 0
(2.408)
0
Renunţând în (2.408) la ultima integrală din membrul doi, care este pozitivă, se obţine:
2 P h t 1 sin td,
(2.409)
0
Întrucât funcţia P1 satisface condiţiile (2.396) se poate utiliza relaţia (2.405), cu luarea în considerare a faptului că pentru caracteristica P1 avem P0 Pmax (fig. 2.64.b), deci: h t 1,18 Pmax
în care înlocuind ht cu h m şi având în vedere egalitatea h P0 rezultă: 1,18Pmax P0 P 1,18 max 1, (2.410) P0 P0 Dacă, de exemplu, în (2.410) se consideră raportul Pmax P0 1,3, atunci suprareglajul nu depăşeşte 53,5%. O limitare de forma M V M v imp asigură o limitare de forma [1]:
Pmax Pmax imp
în care Pmax imp este o valoare maximă impusă caracteristicii P în scopul limitării suprareglajului şi deci în scopul asigurării unei performanţe de forma imp .
În situaţia când caracteristica P prezintă un maxim şi un minim, suprareglajul este determinat atât de valoarea maximă Pmax cât şi de valoarea minimă Pmin a caracteristicii. Cu cât valorile maximă şi minimă a caracteristicii P vor fi mai mari, caracterul oscilant al răspunsului indicial va fi mai pronunţat. În literatura de specialitate [2] pentru o caracteristică P , având forma din figura 2.67, se prezintă următoarea relaţie pentru evaluarea suprareglajului :
1,18Pmax 0,274 Pmin P 0 , P 0
(2.411)
Inegalitatea (2.411) în cazul când Pmin 0 conduce la inegalitatea (2.410) iar dacă P nu prezintă un maxim pentru 0, deci Pmin P0, se obţine inegalitatea (2.405) care poate fi considerată ca o inegalitate de referinţă [2].
Fig. 2.67 Dacă funcţia P () prezintă o discontinuitate pentru o pulsaţie oarecare 1 (fig. 2.68), atunci sistemul se află la limită de stabilitate22.
Fig. 2.68 Se consideră, conform cu (2.353), răspunsul la frecvenţă a sistemului automat închis de forma: B j H 0 j P jQ , D j în care partea reală a lui H 0 j poate fi exprimată astfel:
P Re B j D j / D j D j , unde D j d n j s1 j s 2 j s k
(2.412)
se obţine din polinomul caracteristic D(s) prin evidenţierea polilor, iar D j este conjugata complexă a lui D j . Din (2.412) rezultă că P numai în cazul când Ds 0 are rădăcinile imaginare conjugate (j) şi când corespunzător D j şi D j devin nuli. Prezenţa rădăcinilor imaginare conjugate indică faptul că sistemul se află la limită de stabilitate. Durata procesului tranzitoriu se poate evalua în funcţie de pulsaţia de bandă 0 (fig. 2.69) definită pentru o caracteristică trapezoidală 2,4.
Fig. 2.69
Pentru
d 8 10 0.2,0.5 se utilizează relaţia t tr în cazul caracteristicii trapezoidale 2,4 În 0 0
cazul unei caracteristici P arbitrare, trebuie selectat trapezul reprezentativ şi în raport cu parametrii caracteristici ai acestuia, se evaluează şi ttr 2.
2.4.5. Obţinerea caracteristicilor P şi Q ale sistemului automat închis cunoscând locul de transfer a sistemului deschis Pe cale grafo-analitică se poate determina caracteristicile reală de pulsaţie P şi respectiv imaginară de pulsaţie Q ale sistemului automat închis, dacă sunt cunoscute caracteristicile de pulsaţie ale sistemului deschis. Se prezintă modul cum se determină caracteristicile P şi Q utilizând l.d.t. a sistemului deschis. Pentru un SRA cu reacţie principală unitară între răspunsul la frecvenţă a sistemului închis H 0 j
şi răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis H d j există relaţia: H d j H 0 j , (2.413) 1 H d j în care conform relaţiilor (2.355), (2.338): (2.414) H 0 j P jQ, (2.415) H d j U jV, Introducând relaţiile (2.414) şi (2.415) în (2.413) se obţine: U jV H 0 j P jQ , 1 U jV respectiv: U jV 1 U jV , H 0 j P jQ (2.416) 1 U2 V 2 Din relaţia (2.416) separând părţile reală şi imaginară rezultă: U 1 U V 2 (2.417) P , 1 U2 V 2 V Q , (2.418) 1 U2 V 2 Relaţiile (2.417) şi (2.418) exprimă dependenţele dintre funcţiile P şi Q ale sistemului închis în funcţie de coordonatele U şi V ale l.d.t. a sistemului deschis. Aceste relaţii permit a stabili, în planul U , jV , locul geometric al punctelor corespunzătoare valorilor constante P P ct şi respectiv Q Q ct ale sistemului închis. Din relaţia (2.417) se obţin ecuaţiile pentru P = ct, iar din (2.418) ecuaţiile pentru Q ct. Pentru simplificarea scrierii se folosesc notaţiile [1]: P P, Q Q, U U, V V. Se scrie relaţia (2.417) sub forma: P PU 2 2PU PV 2 U U 2 V 2 0, sau: U 2 P 1 V 2 P 1 U2P 1 P, respectiv: 1 2P P U2 V2 U , (2.419) 1 P 1 P
2
2
1 1 (2.421) , 2Q 2Q care reprezintă pentru Q = ct, în planul U , jV , un cerc cu centrul în punctul de coordonate
1 U 2 V
1, 1 2Q şi de rază r 1 2Q .
Pentru diverse valori ale parametrului Q se obţine, familia
cercurilor de Q = ct având centrele pe dreapta U()=-1 şi trecând prin punctul de coordonate 1, j0, aşa cum se prezintă în figura 2.71. Metodica determinării caracteristicii de pulsaţie Q() cunoscând l.d.t. Fig. 2.71 a sistemului deschis H d j este similară cu cea descrisă pentru familia de cercuri P = ct.
2.4.6. Caracteristicile logaritmice de frecvenţă În analiza şi sinteza SRA au primit o largă utilizare caracteristicile logaritmice de frecvenţă (pulsaţie) datorită unor avantaje care conduce la diminuarea efortului de calcul. De asemenea, utilizarea caracteristicilor logaritmice de pulsaţie permite cuprinderea unor domenii extinse de valori pentru pulsaţia . Cele mai importante caracteristici, la scară logaritmică, sunt caracteristica amplitudine-pulsaţie şi caracteristica fază-pulsaţie. Reprezentarea la scară logaritmică a caracteristicilor amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie permite aproximarea acestora prin segmente de dreaptă, fără erori importante [1]. Liniarizarea acestor caracteristici constituie un avantaj al reprezentării la scară logaritmică. Un alt avantaj îl constituie faptul că reprezentările la scară logaritmică, a caracteristicilor menţionate, permit o trece uşoară de la caracteristicile logaritmice ale elementelor componente la caracteristica ansamblului. Pentru argumentarea acestei afirmaţii se consideră trei elementele cu funcţiile de transfer G 1 s , G 2 s , G 3 s conectate în serie (fig. 2.35). Conform figurii 2.35 funcţia de transfer echivalentă a conexiunii serie este G 4 s G 1 s G 2 s G 3 s , iar prin substituţia s j se obţine: G 4 j G 1 jG 2 jG 3 j, şi, în continuare, folosind expresiile: G 1 ( j) G 1 ( j e j1 ( j) G 2 ( j) G 2 ( j e j2 ( j) G 3 ( j) G 3 ( j e j3 ( j) G 4 ( j) G 4 ( j e j4 ( j) va rezulta: G 4 ( j) e j4 ( ) G 1 ( j) G 2 ( j) G 3 ( j) e j[ 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )] , şi deci: G 4 j G1 j G 2 j G 3 j ,
4 () 1 () 2 () 3 (), Prin logaritmare relaţia (2.422) devine: lg G 4 j lg G 1 j lg G 2 j lg G 3 j ,
(2.422) (2.423)
(2.424) Conform relaţiilor (2.423) şi (2.424) caracteristicile logaritmice de pulsaţie ale elementului echivalent (ale ansamblului) se obţin prin simple însumări ale caracteristicilor elementelor componente. Pentru trasarea caracteristicilor logaritmice de pulsaţie menţionate, cel mai frecvent în automatică, sunt utilizate ca unităţi logaritmice decibelul, decada şi, mai rar, octava şi neperul. Pentru a evidenţia cum sunt utilizate aceste unităţi în trasarea caracteristicilor de pulsaţie, la scară logaritmică, se consideră un element cu funcţia de transfer Ws (relaţia (2.304)) şi respectiv cu răspunsul la frecvenţă W( j) , pe care-l exprimăm sub forma exponenţială:
(2.425) W j W j e j A e j , În cazul caracteristicii amplitudine-pulsaţie sunt exprimate logaritmic atât valorile din axa ordonatelor, cât şi cele din axa absciselor. Pe axa ordonatelor se trasează la scară liniară valoarea modulului W j A exprimată în decibeli notată cu A db :
A dB () 20 lg W ( j) 20 lg A() , (2.426) Decibelul este unitatea logaritmică cu ajutorul căruia se poate exprima valoarea unei mărimi adimensionale cum ar fi raportul a două tensiuni, presiuni, amplitudini etc. În cazul considerat ( relaţia (2.426)) se exprimă în decibeli raportul dintre amplitudinea A2 a sinusoidei de la ieşirea elementului şi amplitudinea A1 a sinusoidei de la intrare, pentru fiecare pulsaţie , din domeniul considerat. Dacă, de exemplu, raportul celor două amplitudini este A2 A1 10, atunci pentru pulsaţia respectivă are loc o amplificare, în decibeli, egală cu 20 lg(A 2 A1 ) 20db. Dacă, A2 A1 1, atunci 20 lg1 0 şi amplitudinea în decibeli este nulă. Pulsaţia pentru care A2 A1 1 se numeşte pulsaţie de tăiere şi se notează cu t . Deci, pentru pulsaţia de tăcere t : A dB ( t ) 20 lg W ( j t ) 20 lg A( t )
(2.427)
şi deci t corespunde intersecţiei caracteristicii logaritmice amplitudine pulsaţiei cu axa abscisei. În gama de pulsaţii în care are loc atenuarea mărimii de intrare, raportul amplitudinilor este subunitar A2 A1 1 şi acestei atenuări îi corespunde (pe ordonată) valori negative exprimate în decibeli. Porţiunea de caracteristică, la scară logaritmică, corespunzătoare atenuării semnalului de intrare se găseşte sub axa abscisei. Pe axa absciselor, vom avea la scară logaritmică pulsaţia ω(rad/s) pentru care la scară liniară va corespunde decada sau octava. Decada este intervalul de pulsaţii, la scară logaritmică, cuprins între ωi şi 10ωi unde ωi este o valoare oarecare a pulsaţiei. Logaritmând pe ωi şi 10ωi se stabileşte intervalul definit de o decadă astfel: lg i lg 10i lg 10 lg i , Intervalul definit de o decadă va fi: lg 10i lg i lg 10 1 decadă
În intervalul unei decade scara este logaritmică. Octava este intervalul de pulsaţie, la scară logaritmică, cuprins între i şi 2i , unde i este o valoare oarecare a pulsaţiei. Logaritmând pe i şi 2i , se obţine: lg i lg 2i lg 2 lg i , iar intervalul de pulsaţii definit de o octavă va fi: lg 2i lg i lg 2 1 octavã. În automatică şi în produsele software specializate pentru automatică se utilizează decada, fapt pentru care în continuare se operează cu această unitate logaritmică. Deci, caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie este diagrama lg , A db .
La caracteristica fază-pulsaţie numai axa pulsaţiilor este gradată logaritmic în decade (uneori octave), iar axa ordonatelor este gradată în grade sau în radiani (uneori). Deci, caracteristica logaritmică fază-pulsaţie este diagrama lg , . Cele două caracteristici logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie se prezintă, de regulă, împreună alcătuind diagrama Bode (sau caracteristicile logaritmice). Pentru caracteristicile logaritmice, deşi s-a precizat că abscisa este lg şi nu , totuşi valorile gradaţiilor acestei axe se trec pentru şi nu pentru lg . Acest aspect uşurează interpretarea acestor caracteristici. Sistemul de axe la scară logaritmică (semilogaritmică) se prezintă în figura 2.72.
Fig. 2.72 În figura 2.72 s-au trasat mai multe segmente de dreaptă având pante diferite. În intervalul de o decadă, de la 0,01 la 0,1, s-au trasat trei segmente de dreaptă cu pantele 20 dB / dec ,20 dB / dec ,40 dB / dec , iar în intervalul de panta o decadă, de la 0,1 la 1, un segment cu 40dB / dec. Prezintă interes, din punctul de vedere al stabilităţii sistemul liniar, caracteristica de pulsaţie amplitudine-fază, care se gradată în trasează în coordonate ,20 lg A şi este pulsaţii. În figura 2.73 se prezintă diagrama amplitudine logaritmicăfază pentru un element a cărui răspuns la frecvenţă este de forma [32]: 5 G j , j0,5 j 1 j 6 1 În figura 2.73 pe axa abscisei valorile lui sunt grade, iar pe ordonată amplitudinea este exprimată A db 20 lg G j . Caracteristica este gradată iar atunci când nu sunt specificate valorile
redate în în decibeli în pulsaţii, pulsaţiilor
sensul de creştere al pulsaţiilor se indică printr-o săgeată.
Fig. 2.73
2.4.7. Răspunsul la frecvenţă a unor elemente tipizate
Se consideră schema din figura 2.34 în care R s L r t este mărimea de intrare în elementul considerat, iar Ys L yt este mărimea de ieşire. 2.4.7.1. Elementul proporţional (tip P) Ecuaţia de funcţionare, conform cu relaţia (2.157.a), este: yt K r t , (2.428) iar funcţia de transfer este: Ys (2.429) W s K, R s În relaţia (2.429) făcând substituţia s j se obţine funcţia de transfer în frecvenţă (în imagini Fourier), care se scrie sub forma (2.323): Y j (2.430) W j A e j U jV K, R j Din relaţia (2.430) rezultă: A U K, (2.431) V 0, (2.432) V arctg 0, (2.433) U A dB 2 lg A 20 lg W j 20 lg K. (2.434) Caracteristicile de frecvenţă sunt redate în figura 2.74 şi corespund pentru K > 0 şi 0, .
Fig. 2.74 Locul de transfer W j K se reprezintă printr-un punct situat pe axa reală, de coordonate K , j0. Caracteristica amplitudine-pulsaţie A, figura 2.74.a, şi respectiv caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie (figura 2.74.d) nu depind de pulsaţia . Unei valori K >1 îi corespunde amplificarea semnalului de intrare, iar K<1 corespunde atenuării acestuia. Deoarece 0, pentru toată gama de pulsaţii considerată, mărimea sinusoidală de la ieşire este în fază cu cea de la intrare.
2.4.7.2. Elementul integrator ideal (tip I) Ecuaţia de funcţionare, conform cu relaţia (2.159.a), este de forma yt K r t dt , (2.435) iar funcţia de transfer este Ys K (2.436) W s , R s s Făcând substituţia s j din relaţia (2.436) se obţine răspunsul la frecvenţă a elementului, care poate fi pus sub forma: K K K j2 j (2.437) W j A e U jV j e , j Din relaţia (2.437) se constată că: K A , (2.438) ct , (2.439) 2 U 0, (2.440) K V , (2.441) Din relaţiile (2.438)(2.441) rezultă: A 0 lim A ; V 0 lim V , (2.442a) 0
0
A lim A 0; V lim V 0,
(2.442b)
Caracteristicile de pulsaţie ale elementului integrator ideal, pentru 0, şi K 0, sunt reprezentate în figura 2.75. Din expresia (2.438) se obţine ecuaţia caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie, care este ecuaţia unei drepte: K A dB 20 lg 20 lg K 20 lg , (2.443) Pentru a determina panta caracteristicii amplitudine-pulsaţie se consideră un domeniu de pulsaţii egal cu o decadă (de la 1 la 2 10) şi se calculează variaţia amplitudinii, la scară logaritmică, corespunzătoare acestui interval. Pentru 2 10 se scrie: K A dB 10 20 lg 20 lg K 20 lg 10 20 lg , (2.444) 10 Având în vedere relaţia (2.443) care corespunde lui 1 şi expresia (2.444) se calculează variaţia amplitudinii, în decibeli, pentru o decadă: (2.445) A dB A dB 10 A dB 20 lg 10 20 dB. A rezultat că panta caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie a elementului integrator ideal este de – 20 dB/dec (fig. 2.75.f.). Pulsaţia de tăiere t corespunde intersecţiei caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie cu axa abscisei, deci: K A dB t 20 lg 0, t Din relaţia de mai sus se constată că valorii K = 1 îi corespunde t 1, iar pentru K 1 va corespunde pulsaţia t K.
Din relaţia (2.439), căreia îi corespunde figura 2.75.e, rezultă că elementul integrator ideal este un element de întârziere care introduce un defazaj egal cu - /2, adică mărimea sinusoidală de la ieşire este defazată în urma celei de la intrare cu 2, indiferent de pulsaţie.
Fig. 2. 75 2.4.7.3. Elementul derivativ ideal (tip D) Ecuaţia de funcţionare, conform cu relaţia (2.158.a), este de forma dr t y t K , (2.446) dt şi corespunzător funcţia de transfer este: Y s W s Ks, (2.447) R s Se determină funcţia de transfer în frecvenţă făcând în (2.447) substituţia s j : W j jK, (2.448) care poate fi scrisă sub forma: j
W j Ae j U jV jK Ke 2 , Din relaţia (2.449) se obţine: A K, ct , 2 U 0, V K, A dB 20 lgK 20 lg K 20 lg ,
(2.449) (2.450) (2.451) (2.452) (2.453) (2.454)
Caracteristicile de frecvenţă ale elementului derivativ ideal, pentru K > 0 şi 0, , sunt reprezentate în figura 2.76.
Fig. 2.76 Caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie (relaţia 2.454) reprezintă o dreaptă a cărei pantă se determină similar cu cazul precedent. Având în vedere relaţia (2.454) şi faptul că: A dB 10 20 lg A10 20 lg K 20 lg 20 lg 10, se obţine variaţia amplitudinii, în decibeli, corespunzătoare unei decade: (2.455) A dB 10 A dB 20 lg 10 20 db, deci panta caracteristicii logaritmice A dB este de + 20 dB/dec. Privind pulsaţia de tăiere, se constată că pentru K=1, din relaţia A dB t 20 lg Kt 0 , rezultă t=1, iar pentru K1 se obţine t=1/K. Din relaţia (2.451), căreia îi corespunde figura 2.76.d, se constată că elementul derivativ ideal este un element de anticipaţie care introduce un defazaj egal cu 2, adică mărimea sinusoidală de la ieşire este defazată, pentru toată gama de pulsaţii, înaintea celei de la intrare cu 2 (este un element necauzal). 2.4.7.4. Elementul de întârziere de ordinul I Ecuaţia de funcţionare a elementului de întârziere de ordinul I este descrisă de relaţia (2.160.a): dy t T yt K r t , (2.456) dt în care T este constanta de timp a elementului, iar K coeficientul de transfer. Funcţia de transfer (relaţia 2.160.b) este: Ys K W s , (2.457) R s Ts 1 Efectuând substituţia s j, se obţine răspunsul în frecvenţă: K K 1 jT K KT W j j , 2 2 2 2 1 jT 1 T 1 T 1 2 T 2 Dacă funcţia de transfer în frecvenţă se scrie sub forma: W j A e j U jV , atunci din (2.458) se obţine: K KT U , V , 2 2 1 T 1 2 T 2
(2.458)
(2.459)
A U 2 V 2 arctg
K 1 2 T 2
,
(2.460)
V arctg T arctgT, U
(2.461)
A dB 20 lg A 20 lg K 20 lg 1 T 2 2 ,
(2.462)
Din relaţiile (2.459)(2.461) se constată că: U0 lim U K; V0 lim V 0; 0
0
(2.463)
A0 lim A K; 0 lim 0; 0
0
lim U 0; lim V 0;
lim A 0;
lim 90 ,
(2.464)
În figura 2.77 sunt prezentate caracteristicile de frecvenţă ale elementului de întârziere de ordinul unu având K=1,5 şi T=0,5(s). În figura 2.77.b de redă caracteristica U(), iar în figura 2.77.d caracteristica amplitudine-pulsaţie A(). Caracteristica imaginară de pulsaţie V prezintă puncte de extreme a căror pulsaţie sunt determinate din relaţia: dV KT 2 T 2 1 1 1 0, 1 , 2 , (2.465) 2 2 2 d T T 1 T
iar valorile extreme ale funcţiei V sun egale cu V1 K / 2 şi respectiv V2 K / 2 (figura 2.77.c.) Pentru a trasa l.d.t. se determină dependenţa V f U, astfel:
U 2 V 2 A 2
K2 kU, 1 2 T 2
deci: U 2 KU V 2 0,
În relaţia (2.466) se adună şi se scade K / 2 şi se obţine:
(2.466)
2
U 2 KU K / 2 V 2 K / 2 , 2
2
2
iar în final:
2
K K 2 (2.467) U 2 V 2 , deci, a rezultat ecuaţia unui cerc, cu raza K/2, al cărui centru se află pe semiaxa reală pozitivă în punctul de coordonate K / 2,0. În figura 2.77.a. se prezintă l.d.t. pentru EÎO1 cu valorile T şi K adoptate. Din relaţiile (2.459)(2.461) pentru pulsaţia 1 / T , egală cu modulul polului funcţiei de transfer, se obţine: K 1 K 1 1 K 1 U , V , A , 45 , (2.468) 2 2 T 2 T T T Din relaţia (2.462) se constată că: A dB 0 lim A dB 20 lg K , (2.469) 0
A dB lim A dB ,
(2.470)
Caracteristica AdB admite ca asimptote drepte pentru 0 şi respectiv . Relaţia (2.469) conduce la o asimptotă orizontală, iar relaţia (2.470) la o asimptotă oblică, la înaltă frecvenţă. Se obişnuieşte [11, 26] ca domeniul de pulsaţii să fie împărţit în două intervale, în raport cu pulsaţia 1 / T , astfel:
- intervalul pulsaţiilor joase în care 1 / T (sau T 1), deci în relaţia (2.462) se poate neglija termenul 2 T 2 de sub radical, rezultând: A dB 20 lg K 20 lg 1 20 lg K, T 1, relaţie care coincide cu (2.469) şi care corespunde unei drepte paralele cu axa abscisei la nivelul 20 lg K; - intervalul pulsaţiilor înalte în care 1 / T (sau T 1); în relaţia (2.462) se consideră 1 << 2 T 2 şi deci se poate neglija valoarea 1 de sub radical, obţinându-se expresia: A dB 20 lg K 20 lg T, T 1, (2.471) care reprezintă asimptota oblică la înaltă frecvenţă. Pentru determinarea pantei asimptotei oblice se procedează ca în cazurile precedente. Având în vedere relaţia (2.471) şi faptul că: A dB 10 20 lg K 20 lg T 20 lg 10, T 1, se determină variaţia amplitudinii în decibeli, corespunzătoare unei decade: A dB 10 A dB 20 lg 10 20 dB, T 1, A rezultat că asimptota oblică are panta de –20 dB/dec. Cele două asimptote (care reprezintă două drepte) se intersectează în punctul a cărui abscisă este f 1 / T, rezultând astfel o caracteristică logaritmică AdB de forma unei linii frânte (caracteristica (1) din fig. 2.77.f), motiv pentru care pulsaţia f se numeşte pulsaţie de frângere.
a)
c)
b)
d)
e)
f) Fig. 2.77. Caracteristica logaritmică aproximativă (asimptotică), faţă de cea exactă (caracteristica (2) din figura 2.77.f.), prezintă eroare maximă la pulsaţia f :
A dB f 20 lg K 20 lg 2 20 lg K 3dB, deci eroarea maximă este de – 3 dB. Se constată că pulsaţia de frângere f este egală cu inversul constantei de timp, care reprezintă modulul valorii polului funcţiei de transfer. În general, pentru elemente (sisteme) complexe, pulsaţiile de frângere sunt egale cu modulele polilor şi zerourilor funcţiei de transfer. Caracteristica logaritmică (semilogaritmică) are numai valori negative (fig. 2.77.e), deci mărimea sinusoidală de la ieşire este defazată în urma mărimii sinusoidale de la intrare, pentru toată gama de pulsaţii. Acest aspect justifică denumirea de element de întârziere. 2.4.7.5. Elementul aperiodic de ordinul II Ecuaţia de funcţionare a elementului aperiodic de ordinul II este descrisă de relaţia (conform cu 2.105): d 2 y t dyt 2 n n2 yt n2 r t , (2.472) 2 dt dt în care 1, iar funcţia de transfer este de forma:
n2 Ys 2 , (2.473) R s s 2 n n2 Se notează rădăcinile reale şi negative ale ecuaţiei caracteristice aferente funcţiei de transfer, în care 1, cu s1 p1 şi s 2 p 2 şi atunci relaţia (2.473) devine: W s
2n Y (s ) , R (s) (s p1 )(s p 2 ) care se mai poate scrie astfel: Y s K W s , R s T1s 1T2 s 1 W (s )
(2.474)
în care K 2n p1 p 2 este coeficientul de transfer, iar T1 1 / p1 şi T2 1 / p 2 sunt constantele de timp.
Rezultă că elementul aperiodic de ordinul II este echivalent cu două elemente de întârziere de ordinul I conectate în serie, deci este un element de întârziere. Caracteristicile de frecvenţă pentru elementele echivalente sunt descrise în paragraful precedent. Dacă se notează expresiile funcţiilor de transfer echivalente cu W1 s şi W2 s , atunci caracteristicile de frecvenţă asociate funcţiei de transfer (2.474) vor fi:
W j W1 j W2 j; A W j A1 A 2 ,
A dB 20 lg A 20 lg A 1 20 lg A 2 ;
argW j 1 2 ;
2.4.7.6. Elementul oscilant amortizat de ordinul II Funcţia de transfer a elementului oscilant amortizat este descrisă de relaţia (2.473) în care 0 1, deci rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă. Funcţia de transfer se scrie sub o formă în care se evidenţiază constanta de timp T introdusă prin relaţia n 1 / T 0, astfel: 1 1 T2 W s 2 2 , (2.475) 1 1 T s 2Ts 1 s 2 2 s 2 T T Din relaţia (2.475), pentru s j se determină răspunsul la frecvenţă:
1 1 2 T 2 2 jT , 2 T 2 2 jT 1 1 2 T 2 2 4 2 2 T 2 şi corespunzător: 1 2 T 2 U , 1 2 T 2 2 4 2 2 T 2 2T V , 2 2 2 1 T 4 2 T 2 2 1 A W j , 1 2 T 2 2 4 2 T 2 2 W j
Caracteristica de fază nu poate fi redată peste tot de funcţia arctg exprimarea [11]: 2T arctg 1 T 2 2 , arctg 2T , 1 T 2 2
1 , T 1 pentru , T
pentru
(2.476)
(2.477) (2.478) (2.479)
V şi trebuie să se folosească U
(2.480)
(2.481) A dB 20 lg A 20 lg 1 2 T 2 4 2 T 2 2 , Se constată că funcţiile de frecvenţă depind atât de pulsaţia cât şi de factorul de amortizare (pentru o constantă de timp T > 0 dată). Din relaţiile (2.477) (2.480) rezultă: U(0) 1, V(0) 0, A(0) 1, (0) 0, 2
U (1 T ) 0, V (1 T ) 1 2, A (1 T ) 1 2, (1 T ) 2,
U 0; V 0; A 0; ;
De asemenea, din relaţia (2.478) se constată că pentru 0, rezultă V 0 indiferent de valorile factorului de amortizare , iar din relaţia (2.479) se constată că la creşterea lui amplitudinea A scade. În figura 2.78.a se prezintă l.d.t. a elementului, iar în figurile 2.78.b,c caracteristicile reală şi imaginară de pulsaţie. Pulsaţia corespunzătoare intersecţiei l.d.t. cu semiaxa imaginară negativă se determină din condiţia U 0. Din această condiţie, care devine 1 2 T 2 0, pentru 0, se determină pulsaţia 1 / T , care permite având cunoscută pulsaţia corespunzătoare intersecţiei l.d.t. cu semiaxa imaginară negativă să se determine constanta de timp a elementului. Se mai constată, de exemplu, că în punctul D care corespunde lui 0,4 (fig. 2.78.a) şi în care 1 / T ,
valoarea ordonatei este V 1 / T 1 / 2. . Valoarea absolută a ordonatei punctului D permite determinarea factorului de amortizare [22]: 1 2 V1 T .
Caracteristica U , prezentată în figura 2.78.b, admite un maxim, iar caracteristica V are valori negative şi prezintă un minim. Aceste valori extreme depind de parametrii şi T. În figura 2.79, se prezintă caracteristica amplitudine-pulsaţie A pentru 0, T =0,8 (s), f 1 / T 1,251 / s , 0,1;0,4;0.6;0.7;1,0. Din figura 2.79 se constată că amplitudinea A
scade, în toată gama de pulsaţii, cu creşterea factorului de amortizare . Punctul de extrem local al caracteristicii A corespunde pulsaţiei de rezonanţă r a elementului.
Elementul de ordinul II cu 0, 2 2 prezintă fenomenul de rezonanţă la pulsaţia r 1 2 2 T f 1 2 2 , unde f 1 / T este pulsaţia de frângere.
Fig. 278.a
b)
Fig. 2. 78
Din relaţia (2.481) se rezultă că: A dB 0 lim A dB 0,
(2.482)
0
A dB lim A dB ,
(2.483)
A dB 1 / T lim A dB 20 lg f
c)
1 , 2
(2.484)
Se constată că toate caracteristicile logaritmice AdB pentru 0 tind către asimptota pulsaţiilor joase (dreapta AB din fig. 2.80) care se suprapune peste axa abscisei (pentru f.d.t. considerată, relaţia 2.475). Pentru caracteristicile logaritmice AdB tind către asimptota oblică la înaltă pulsaţie (dreapta BC din fig. 2.80), care are panta egală cu – 40 dB/dec. Pentru a determina panta asimptotei oblică la înaltă pulsaţie se procedează ca şi în cazurile precedente.
Fig. 2.79 În domeniul pulsaţiilor mari se consideră 1 / T, deci T 1 şi în relaţia (2.481), sub radical, se neglijează valoarea 1 şi termenul 4 2 2 T 2 , obţinându-se: A dB 20 lg 2 T 2 40 lg T , T 1, (2.485) Având în vedere relaţia (4.485) şi faptul că: A dB 10 40 lg T 40 lg 10, T 1, rezultă variaţia lui AdB corespunzătoare unei decade: A dB 10 A dB 40 lg 10 40dB, deci, panta asimptotei oblice la înaltă frecvenţă este – 40 dB/dec. Cele două asimptote se intersectează în punctul B care corespunde pulsaţiei de frângere f 1 / T.
Fig. 2.80 După cum rezultă din figura 2.80, abaterea caracteristicilor logaritmice AdB trasate exact, conform relaţiei (2.481), faţă de caracteristica asimptotică, pentru f 1 / T şi în apropierea acesteia, este importantă şi este determinată de valoarea factorului de amortizare . Numai în cazurile când 0,4 0,7 eroarea caracteristicii asimptotice în raport cu cea exactă nu depăşeşte 3 dB în toată gama de pulsaţii [22]. În situaţia când factorul de amortizare nu se
încadrează în limitele menţionate, se preferă să se lucreze cu caracteristicile AdB exacte, cu atât mai mult cu cât produsele software specializate permit acest lucru. Dacă în funcţia de transfer (2.475) la numărător există un coeficient de transfer K 1 şi K 0, atunci caracteristica A dB , faţă de cazul prezentat, suferă o translatare paralelă cu 20 lg K. Caracteristica fază pulsaţie se construieşte utilizând relaţia (2.480). Pentru 0, variaţia fazei este de la 0 grade la –180 grade. Elementul oscilant amortizat de ordinul II, la fel ca şi elementul de întârziere de ordinul I, introduce o întârziere în fază, în toată gama de pulsaţii.
Fig. 2.81 În figura 2.81 se prezintă caracteristicile pentru =0;0,1;0,4;0,7;1. Din această figură se constată că toate caracteristicile indiferent de valoarea lui trec prin punctul E corespunzător pulsaţiei de frângere f 1 / T . În punctul E, indiferent de valoarea factorului de amortizare, f 90 grade . Cu micşorarea lui viteza de variaţie a fazei în punctul E (tangenta dusă în punctul E) creşte. Având în vedere cele prezentate mai sus, nu este dificil să se construiască caracteristicile de frecvenţă pentru elementul de ordinul II instabil, descris prin funcţii de transfer de forma: Y (s ) 1 , (2.486) W (s ) 2 2 R (s) T s 2Ts 1 sau Y s 1 W s 2 2 , (2.487) R s T s 2Ts 1 De exemplu, pentru funcţia de transfer (2.486) prin substituţia s j se obţine: 1 W j A e j , (2.488) 2 2 1 T 2 jT în care:
1 T 4 T arctg2T 1 T , A 1
2
2 2
2
2
2
2
2
,
(2.489)
(2.490) Caracteristica amplitudine-pulsaţie descrisă de relaţia (2.489) este identică cu caracteristica amplitudine-pulsaţie a elementului oscilant stabil (relaţia (2.479)). Caracteristica fază-pulsaţie (2.490) se deosebeşte de caracteristica a elementului oscilant amortizat descrisă de relaţia (2.480) numai prin semn. Ca urmare, l.d.t. (relaţia (2.488)) a elementului de ordinul II instabil se poate obţine din l.d.t. a elementului stabil (fig. 2.78.a) prin rotirea cu 180 în jurul axei reale. Funcţia de transfer (2.475) pentru 0 devine:
1 , (2.491) T s 1 Elementul cu f.d.t. de forma (2.491), care conduce la un răspuns indicial oscilant neamortizat, se mai numeşte element conservativ. Caracteristica amplitudine-fază a elementului conservativ este de forma: 1 W j , (2.492) 1 2 T 2 Din relaţia (2.492) se constată că pentru pulsaţia 1 / T caracteristica amplitudine-pulsaţie şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie tind către (fig. 2.80), iar caracteristica pentru 1 / T prezintă o discontinuitate de la 0 la -180 (fig. 2.81). În scopul obţinerii unor relaţii cu caracter de generalizare, caracteristicile sunt exprimate nu în funcţie de pulsaţia , ci în funcţie de raportul dintre pulsaţia şi pulsaţia naturală a oscilaţiilor neamortizate n . Acest raport se numeşte pulsaţie normată şi rezultă din expresia [3]: 1 , n , n T W s
2 2
2.4.7.7. Elementul de anticipare de ordinul I Ecuaţia de funcţionare este de forma: dr t y t K T r t , (2.493) dt şi corespunzător funcţia de transfer este: Ys W s K Ts 1, (2.494) R s Se constată că în funcţia de transfer gradul polinomului în s de la numărător este mai mare decât al numitorului, deci f.d.t. nu este realizabilă fizic. Totuşi, elementul se studiază separat deoarece poate interveni în factorizarea f.d.t. de formă mai complicată. În relaţia (2.494) efectuând substituţia s j se obţine răspunsul la frecvenţă de forma: Y j (2.495) W j K 1 jT K jKT, R j din care rezultă funcţiile de frecvenţă:
U K ct; V KT; A K 1 2 T 2 ;
arctg T; A dB 20 lg K 1 2 T 2 20 lg K 20 lg 1 2 T 2 . În figura 2.82 sunt reprezentate caracteristicile de frecvenţă.
Fig. 2.82
Din figura 2.82 se constată că pe măsură ce pulsaţia creşte, amplitudinea şi faza oscilaţiilor cresc. Pentru amplitudinea tinde către , iar faza spre valoarea 90. Elementul introduce o anticipare, pentru toată gama de pulsaţii (element necauzal). Caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie poate fi aproximată prin două asimptote AB şi BC (fig. 2.82.c). Asimptota oblică la înaltă frecvenţă are panta de 20dB/dec. Se constată că în zona frecvenţelor f 1 / T, asimptotele oblice ale elementului de întârziere de ordinul I şi a elementului de anticipare de ordinul I sunt simetrice faţă de nivelul 20 lg K (iar pentru K = 1 sunt simetrice faţă de axa abscisei). 2.4.7.8. Elementul anticipativ de ordinul II Acesta are funcţia de transfer de forma: W s T 2 s 2 2Ts 1, (2.496) în care 0 < <1 şi T >0. Dacă 1 elementul anticipativ de ordinul II poate fi echivalat cu două elemente anticipative de ordinul I conectate în serie. Elementul cu f.d.t. (2.496) este ideal deoarece nu este realizabil fizic în domeniul 0 . Se constată că f.d.t. (2.496) este inversa f.d.t. a elementului oscilant amortizat (relaţia 2.475). Răspunsul la frecvenţă a elementului, obţinut prin substituţia s j în relaţia (2.496), este de forma: (2.497) W j 1 2 T 2 j2T U jV , Din (2.497) rezultă funcţiile de frecvenţă: (2.498) U 1 2 T 2 , V 2T, (2.499)
1 T 4 T arctg 2T 1 T , A
2
2 2
2
2
2
2
2
,
(2.500)
(2.501) Corespunzător relaţiei (2.497) în figura 2.83 se prezintă, în principiu, locul de transfer a elementului. Se constată că la creşterea pulsaţiei , faza creşte în sens pozitiv (direct trigonometric). Privind caracteristica amplitudine-pulsaţie a elementului anticipativ de ordinul II (relaţia 2.500) se constată că este inversa relaţiei (2.479) a elementului de ordinul II oscilant amortizat, iar expresia caracteristicii fază-pulsaţie (2.501) se deosebeşte numai prin semn de relaţia (2.480) a elementului oscilant amortizat de ordinul II. Deci, caracteristicile logaritmice amplitudine pulsaţie şi fază-pulsaţie ale elementului anticipativ de ordinul II pot fi obţinute din caracteristicile analoage ale elementului oscilant amortizat prin rotirea acestora cu 180 în raport cu abscisa (faţă de care caracteristicile celor două elemente prezintă simetrie). Astfel, caracteristica logaritmică amplitudinepulsaţie a elementului anticipativ de ordinul II va avea asimptota la Fig. 2.83 înaltă frecvenţă cu panta +40 dB/dec. La modificarea pulsaţiei de la 0 la infinit, faza acestui element se va modifica de la 0 la +180, rezultând astfel că elementul este de anticipare în toată gama de pulsaţii. Pentru pulsaţia de frângere f 1 / T se obţine f 90 şi prin acest punct vor trece toate caracteristicile indiferent de valoarea lui . În figura 2.84 se prezintă caracteristicile logaritmice A dB şi pentru elementul anticipativ de ordinul II având T=0,1 secunde şi =0,3.
Fig. 2.84 2.4.7.9. Trasarea diagramelor logaritmice (Bode) Cunoscând caracteristicile logaritmice ale elementelor tipizate se pot construi caracteristicile logaritmice asimptotice ale subsistemelor (sistemelor) a căror funcţie de transfer poate fi exprimată ca o combinaţie din aceste elemente tipizate. Considerăm, de exemplu, că f.d.t. a sistemului automat deschis este descrisă de o expresie de forma: q
Y s K d H d s s s
p
T s 1 T s K 1 z
K
K 1 r
Tis 1 i 1
i 1
2 2 K
2 K TK s 1
T s
2 2 i
2i Ti s 1
(2.502)
În relaţia (2.502), qpm, unde m este gradul polinomului în s de la numărătorul f.d.t. H d(s), iar zrn , unde n aste gradul polinomului de la numitorul f.d.t. a sistemului automat deschis. Aşa cum s-a menţionat, totdeauna n m, iar în practică 0,1,2. Se face substituţia s j şi se determină modulul relaţiei (2.502), după care se logaritmează, obţinându-se expresia caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie a sistemului automat deschis, de forma: q
20 lg H d j 20 lg A 20 lg K d 20 lg 20 lg TK2 2 1 k 1
z
p
i 1
K 1
1 T 4
20 lg Ti2 2 1 20 lg r
20 lg i 1
1 T 4 T 2 i
2
2 i
2 i
2
2
2 K
2 K
TK2 2
(2.503)
,
Caracteristica fază-pulsaţie a sistemului deschis va fi descrisă de relaţia: z q arctgTK arctgTi 2 K 1 i 1 (2.504) p r 2 K TK 2 i Ti arctg arctg , 1 TK2 2 i1 1 Ti2 2 K 1 Din relaţiile (2.503) şi (2.504) se constată că pentru obţinerea caracteristicii logaritmice aproximative ale sistemului deschis se însumează algebric caracteristicile logaritmice amplitudinepulsaţie şi fază-pulsaţie ale elementelor tipizate componente.
Trasarea caracteristicii AdB totdeauna începe cu asimptota de joasă frecvenţă, cu luarea în considerare a coeficientului de amplificare K d . Fiecare din constantele de timp Ti şi TK din ecuaţia (2.503) determină modificarea pantei asimptotei de joasă pulsaţie corespunzător pulsaţiilor de frângere i 1 / Ti şi K 1 / TK . În cazul elementelor de întârziere de ordinul I şi a elementelor oscilant amortizate de ordinul II, panta devine – 20 dB/dec., respectiv –40 dB/dec., iar în cazul elementelor de anticipare de ordinul I şi II panta devine +20 dB/dec. şi corespunzător +40 dB/dec. Totdeauna constantele de timp sunt considerate în sensul descreşterii lor, iar pulsaţiile de frângere sunt în sensul creşterii lor. Dacă, de exemplu, o frângere a caracteristicii logaritmice amplitudine-pulsaţie corespunde unui element oscilant amortizat de ordinul II sau unui element anticipativ de ordinul II şi valoarea factorului de amortizare nu se încadrează în limitele 0,40,7, atunci în jurul pulsaţiei de frângere se lasă un interval, în stânga şi dreapta acestuia, de aproximativ 0,51 decadă, urmând ca pentru acest interval să se traseze caracteristica logaritmică exactă, utilizând relaţiile deduse anterior [22]. Trasarea caracteristicii , conform relaţiei (2.504), se preferă să se facă utilizând relaţiile exacte. De reţinut este faptul că, în prezent, se dispune de produse software specializate care permit trasarea exactă a diagramelor Bode, important este ca acestea să fie interpretate corect. De exemplu, în mediul de programare Matlab având cunoscută funcţia de transfer a elementului sau sistemului, se determină valorile numerice corespunzătoare caracteristicilor de frecvenţă amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie şi sunt trasate caracteristicile respective la scară logaritmică (diagramele Bode).
Cele prezentate permit a stabili, pentru diferite zone de pulsaţii, care element tipizat din componenţa f.d.t. are influenţă dominantă şi corespunzător ar trebui supus unor modificări în sensul dorit.
2.5. METODA VARIABILELOR DE STARE ŞI DE FAZĂ. FOLOSIREA EXPRESIILOR MATRICEAL-VECTORIALE
Stabilirea unor modele matematice de tipul intrare-ieşire, pentru sistemele de reglare automată, nu reprezintă singura modalitate de descriere matematică a comportării acestor sisteme dinamice. A căpătat o extindere din ce în ce mai largă modalitatea de descriere matematică a sistemelor automate în spaţiul abstract al variabilelor de stare [1]. Metoda variabilelor de stare, din punct de vedere matematic, apelează la teoria algebrei matriceale şi a ecuaţiilor matriceale, ceea ce permite scrierea principalelor relaţii sub formă compactă şi comodă utilizării calculatorului numeric. Metoda variabilelor de stare permite rezolvarea problemelor specifice atât în cazul sistemelor liniare (care fac obiectul prezentului subcapitol) cât şi a celor neliniare, Menţionăm că aplicarea metodei în cazul sistemelor continue învariante monovariabile nu afectează caracterul de generalitate a metodei.
2.5.1. Variabile de stare. Variabile de fază O caracterizare mai generală şi mai eficientă a sistemului automat se obţine dacă în modelul matematic, pe lângă informaţiile de tipul intrare-ieşire, se includ şi informaţii structurale prin intermediul variabilelor de stare [2]. Starea unui sistem reprezintă o cantitate minimă de informaţii, despre sistem, la un moment instantaneu dat, necesară pentru determinarea evoluţiei viitoare a sistemului, dacă este cunoscută evoluţia în timp a mărimilor de intrare. Altfel spus, starea sistemului este determinată de mulţimea coordonatelor generalizate ce caracterizează sistemul. Variabilele de stare (sau mărimile de stare) reprezintă un grup de mărimi care definesc complet starea sistemului la un moment instantaneu dat t 0 şi această stare îndeplineşte rolul unor condiţii iniţiale pentru evoluţia ulterioară a sistemului (pentru t t o ), având cunoscute mărimile de intrare. Deci, variabilele de stare permit să se determine comportarea viitoare a unui sistem atunci când starea prezentă a sistemului (la momentul t 0 ) şi intrările sunt cunoscute.
Pentru un sistem automat liniar descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul n, numărul de variabile de stare necesar pentru definirea stării sistemului este egal cu ordinul ecuaţiei diferenţiale, deci va trebui să alegem n variabile de stare [1]. Alegerea variabilelor de stare nu este unică, starea unui sistem automat al cărui model matematic abstract este o ecuaţie diferenţială de ordinul n este complet definită de diferite grupuri de n variabile de stare alese [1]. Un avantaj al metodei variabilelor de stare îl constituie faptul că o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n, cu coeficienţi constanţi sau variabili în timp, este echivalentă cu un sistem format din n ecuaţii diferenţiale de ordinul I, alegând n variabile de stare [1]. Prezintă interes deosebit trecerea de la ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi de ordinul n (sau a funcţiei de transfer asociată ei) la sistemul de n ecuaţii diferenţiale de ordinul I. Un caz particular al variabilelor de stare îl constituie aşa-numitele convenţional variabile de fază, în cazul în care în grupul de n variabile alese, pentru definirea stării sistemului, n 1 variabile reprezintă derivatele succesive ale variabilei cu care se completează grupul [1]. Conform metodei variabilelor de stare un SA este descris prin ecuaţiile de stare. Pentru început, deducem forma matriceală a ecuaţiilor de stare considerând un sistem automat liniar continuu invariant de ordinul II, descris de ecuaţia diferenţială (relaţia 2.92 în care k= 1): d2y dy (2.505) 2n 2n y 2n r t , 2 dt dt în care considerăm condiţiile iniţiale y0, y 0. Se vor alege variabilele de stare ca variabile de fază. În (2.505) n = 2, deci se aleg două variabile de pe fază pe care le notăm x, x 2 , iar ca variabilă de bază adoptăm mărimea de ieşire x1 y . Variabilele de fază sunt definite astfel: x 1 y, (2.506) x 2 y x 1 , (2.507) Din (2.505) se obţine: y x 2 x1 2 n y 2n y 2n r , (2.508) Rezultă sistemul format din două ecuaţii diferenţiale de ordinul I: x 1 x 2 , , (2.509) 2 2 x 2 n x 1 2n x 2 n r Sistemul (2.509) se scrie în forma matriceal-vectorială: x 1 0 1 x 0 1 2 r, (2.510) 2 x 2 n 2n x 2 n sau:
dX AX Br , X (2.511) dt În (2.511) s-a notat: x ( t ) Xt 1 - este vectorul coloană al variabilelor de fază având n = 2 componente. În cazul x 2 ( t )
general, vectorul de stare X are n componente, care sunt variabile de stare sau de fază;
t x 1 ( t ) - este derivata vectorului de stare; X x ( t ) 2 A - este matricea sistemului care, în cazul general, este o matrice pătrată cu n linii şi n coloane, unde n este ordinul ecuaţiei diferenţiale care descrie sistemul (ordinul sistemului) şi implicit numărul variabilelor de fază (stare);
B - este matricea de intrare care, în general, are un număr de linii egal cu ordinul n al ecuaţiei diferenţiale şi un număr de coloane egal cu numărul m al mărimilor de intrare. În cazul sistemului monovariabil considerat (de ordinul II) n = 2 şi m = 1. Pentru a calcula mărimea de ieşire y, la ecuaţia (2.511) se mai adaugă o ecuaţie matricealvectorială. În cazul considerat mărimea de ieşire este una din variabilele de fază (care reprezintă mărimea de ieşire) şi deci : x y 1 0 1 , (2.512) x 2 sau y C X, (2.513) unde C este matricea de ieşire. Matricea de ieşire C , în cazul general, are un număr de linii egal cu numărul p al mărimilor de ieşire şi un număr de coloane egale cu ordinul n al ecuaţiei diferenţiale. În cazul sistemului monovariabil considerat (de ordinul n = 2) p = 1 şi n = 2. Pentru cazul analizat (n = 2) condiţiile iniţiale formează un vector coloană al stării iniţiale, pe care-l notăm cu: X0 Xt t0 , (2.514) şi a cărui expresie, conform relaţiilor (2.506), (2.507), este: x 0 X0 1 , (2.515) x 2 0 În general, vectorul coloană a stării iniţiale are n componente, deoarece ecuaţiei diferenţiale de ordinul n i se impun n condiţii iniţiale. În cazul analizat (al sistemului de ordinul II) n = 2 şi X 0 conţine 2 componente. Vectorul stării iniţiale prezintă importanţă în determinarea componentei libere a soluţiei ecuaţiilor de stare. Dacă, în cazul unui sistem multivariabil invariat asupra mărimii de ieşire y acţionează direct mărimea de intrare, printr-o matrice D, atunci ecuaţiile de stare (relaţiile 2.511, 2.513) devin: AX Br, X (2.516) y CX Dr , (2.517) în care:
X R n1 , r R m1 , y R p1 , A R nn , B R nm , C R pn , D R pm , Pentru un sistem multivariabil ieşirea y este un vector coloană având un număr de componente egal cu numărul mărimilor de ieşire, adică egal cu p, iar r este vectorul coloană al mărimilor de intrare având numărul de componente egal cu numărul m Fig. 2.85 al mărimilor de intrare. Privind ordinul matricelor A, B, C, D se poate stabili o schemă de forma prezentată în figura 2.85.Ecuaţiile de stare (2.516), (2.517) conduc la o schemă de modelare vectorială, aşa cum se prezintă în figura 2.86.
Fig. 2.86 În cazul sistemelor monovariabile invariate se prefer ă ca ecuaţiile de stare (2.516), (2.517) să se pună sub forma [1, 2, 3, 4, 5, 11]:
AX br , X
(2.518) (2.519)
T
y c X dr ,
în care A R nn , b R n1 , c T R 1n , d R , Se constatã că în sistemele liniare invariate multivariabile sau monovariabile, matricele (A, B, C, D) şi respectiv A, b, c T , d sunt matrice constante. Dacă în modelul matematic al sistemului sunt evidenţiate în mod explicit şi perturbaţiile, atunci ecuaţiile de stare (2.516), (2.517) devin [1]: AX Br Ev, (2.520) X y CX Dr , (2.521) unde matricele A, B, C, D au semnificaţia cunoscută, vt este vectorul coloanã al perturbaţiilor având un numãr de componente egal cu numărul l de perturbaţii, iar E este o matrice cu un număr de linii egal cu n şi cu un număr de coloane egal cu l, E R nl . Din cele prezentate a rezultat că în cazul când modelul matematic abstract, care descrie sistemul, este o ecuaţie diferenţială de ordinul n, vectorul coloană X t al variabilelor de fază va avea n componente. Conform teoriei sistemelor de ecuaţii liniare, cele n componente aparţin unui spaţiu liniar n – dimensional, denumit spaţiul fazelor. La sistemele liniare de ordinul II, spaţiul fazelor se reduce la un plan al fazelor, acesta având ca axe de coordonate, pe abscisă x1 , iar pe ordonată x 2 x 1 . În planul fazelor evoluţia în timp a sistemului este descrisă de traiectorii de fază, gradate în valori ale timpului. În cazul general al variabilelor de stare, pentru sistemul automat descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul n, se aleg n variabile de stare x 1 , x 2 ,..., x n , acestea reprezentând componentele vectorului X al stărilor într-un spaţiu liniar n – dimensional [1, 2, 3]. Spre deosebire de variabilele de fază, variabilele de stare nu mai sunt legate prin relaţii de derivare succesivă. Nu toate variabilele de stare sunt variabile măsurabile ale sistemului, dar sunt măsurabile cele care prezintă interes în sensul prelucrării lor. Evoluţia în timp a sistemului în spaţiul abstract al variabilelor de stare este descrisă prin traiectorii de stare [1, 2, 3]. Alegerea variabilelor de stare nu este unică, adică variabilele de stare depind de alegerea bazei spaţiului liniar al stărilor [1, 2, 3, 23]. Schimbarea bazei spaţiului stărilor cu ajutorul unei transformări liniare (matrice nesingulară) conduce la noi variabile de stare, pe care le notăm cu ~ ~ ~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n [1]. Între vectorii coloană X şi X , unde X este în vechea bază, iar X în noua bază, există o relaţie de forma: ~ X TX , (2.522)
unde T este matricea transformării de tipul n n, unde n este ordinul sistemului. Matricea T este nesingulară, deci T det T 0. Deoarece T este nesingulară, există o relaţie de reciprocitate de forma[1]: ~ X T 1 X , (2.523) 1 unde T este inversa matricei T. Considerăm sistemul monovariabil invariant descris de ecuaţiile de stare (relaţiile (2.518), (2.519)): AX br , (2.524) X T (2.525) y c X dr în care schimbăm componentele x1 , x 2 ,..., x n ale vectorului de stare X, din vechea bază, cu ~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n componente ale vectorului de stare X în noua bază. Pentru aceasta variabilele de stare ~ înlocuim pe (2.523) în (2.524) şi (2.525) şi se obţine: ~ ~ (2.526) T 1 X AT 1 X br , T 1 ~ y c T X dr , (2.527) În relaţia (2.526) se înmulţesc toţi termenii la stânga cu T obţinându-se: ~ ~ TT 1 X TAT 1 X T br , respectiv: ~ ~ X TAT 1 X Tbr . (2.528) Dacă se notează [1]: ~ TAT 1 A, ~ Tb b , (2.529) c T T 1 ~c T , ~ dd atunci ecuaţiile de stare (2.526), (2.527) primesc forma: ~ ~ ~ ~ (2.530) X AX b r, ~ ~ T y ~c X d r , (2.531) Se evidenţiază analogiile dintre (2.524) şi (2.530) şi respectiv (2.525) şi (2.531). Răspunsul y nu este modificat de schimbarea bazei şi deci de schimbarea variabilelor de stare. Acest aspect mai rezultă şi din faptul că polinomul caracteristic al sistemului este un invariant la ~ schimbarea bazei. Cele două matrice A şi A sunt asemenea, având acelaşi polinom caracteristic, deci aceleaşi valori proprii. Problema care se pune este de a găsi o matrice diagonalizatoare ~ (nesingulară) T, cu elemente din R, astfel încât matricea A TAT 1 să fie o matrice diagonală peste R, [23]. Dacă polinomul caracteristic are rădăcini multiple, se poate să nu existe totdeauna o transformare care să reducă matricea A la o formă diagonală. Se poate arăta [23] că există totdeauna o formă relativ simplă numită forma canonică Jordan, care se obţine aplicând o transformare de asemănare matricei date A. În continuare, se redă structura formelor canonice Jordan în cazul spaţiului cu n = 3 dimensiuni. Orice matrice A cu 3 linii şi 3 coloane poate fi redusă la una din matricele de forma: 1 0 0 1 0 1 0
J1 0 0
2 0
0 , sau J 2 0 0 , sau J 3 0 1 3 0 0 3 0 0
În forma J 1 se va reduce o matrice care are 3 valori proprii distincte 1 , 2 , 3 , cu 3 vectori proprii independenţi. Pe diagonală se vor afla valorile proprii ale matricei A. În forma J 2 se va reduce o matrice care are 2 valori proprii egale 1 2 şi una distinctă, existând numai 2 vectori
independenţi. În forma J 3 se va reduce o matrice a cărui valoare proprie are ordinul de multiplicitate 3 deci 1 2 3 şi are un singur vector propriu. Matricea transformării se caută să fie astfel adoptată încât matricea asemenea să fie o formă canonică Jordan. Dacă notăm cu S matricea unei astfel de transformări, atunci: SAS 1 J , (2.532) unde J este forma canonică Jordan a matricei A. În acest caz ecuaţiile de stare (2.530), (2.531) devin: ~ ~ Xt JXt Sbr t , ~ y t c T S 1 X t d r t ,
Sistemul liniar invariant se obişnuieşte să se noteze A, B, C, D n sau A, b, c T , d n , unde n reprezintă dimensiunea vectorului de stare sau fază, deci ordinul sistemului. Două sisteme liniare ~ ~ T ~ c , d n se numesc echivalente, notându-se monovariabile invariate A , b, c T , d n şi A, b, ~ ~ ~ ~ A, b, c T , d A, b, ~c T , d , dacă există o matrice nesingulară T astfel încât să fie satisfăcute n
n
condiţiile (2.529). Se verifică direct că este o relaţie de echivalenţă, adică este reflexivă, simetrică şi tranzitivă [1, 2, 3]. Sistemele liniare invariante echivalente sunt caracterizate prin invarianţa polinomului caracteristic; sistemele au aceeaşi dimensiune şi aceeaşi funcţie de transfer.
2.5.2. Alegerea variabilelor de stare Pentru a obţine ecuaţiile de stare ale unui sistem monovariabil liniar invariant descris printr-o ecuaţie diferenţială sau funcţie de transfer sunt utilizate mai multe metode [3, 1, 2]. 2.5.2.1. Metode bazate pe utilizarea ecuaţiei diferenţiale Se analizează două variante. În prima variantă se consideră că funcţia de excitaţie conţine mărimea de intrare, iar în a doua variantă funcţia de excitaţie conţine derivate ale mărimii de intrare până la ordinul m = n, unde n este ordinul sistemului. Pentru simplificarea scrierii algoritmilor de întocmire a schemelor de modelare se va considera n = 3. Prima variantă: se consideră un sistem monovariabil liniar invariant descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul n = 3 în care funcţia de excitaţie conţine numai mărimea de intrare, iar variabilele de stare sunt alese ca variabile de fază: d 3 y t d 2 y t dyt (2.533) a3 a a1 a 0 yt r t , 2 3 2 dt dt dt unde a i ct, i 0,3. Se impun n = 3 condiţii iniţiale independente, care în mod univoc vor determina răspunsul sistemului pentru mărimea de intrare adoptată: y0, y 0, y0, (2.534) Se alege ca primă variabilă de fază mărimea de ieşire x1 y, iar celelalte două variabile de fază se obţin prin derivarea succesivă a acesteia [1]. Notăm variabilele de fază cu x 1 , x 2 , x 3 . Rezultă următoarele dependenţe ale variabilelor de fază în funcţie de mărimea de ieşire: (2.535) x 1 y, x 2 x 1 y , x 3 x 2 y, Având în vedere relaţiile (2.535), din ecuaţia (2.533) rezultă: a a a 1 x 3 y 2 y 1 y 0 y r, respectiv, a3 a3 a3 a3
a0 a a 1 x 1 1 x 2 2 x 3 r, a3 a3 a3 a3 A rezultat următorul sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul I: x 3
(2.536)
x 1 x 2 , x 2 x 3 ,
a0 a a 1 x 1 1 x 2 2 x 3 r, (2.537) a3 a3 a3 a3 La acest sistem de ecuaţii se adaugă ecuaţia prin care se determină mărimea de ieşire, în raport cu starea sa: y x1 , (2.538) Relaţiile (2.537) şi (2.538) scrise sub formă matriceală devin: 1 0 x 1 0 x 1 0 x 0 0 1 x 2 0 r , (2.539) 2 a a a x 3 0 1 2 x 3 1 a3 a 3 a 3 x1 y 1 0 0 x 2 , (2.540) x 3 x 3
Din relaţiile (2.539) şi (2.540) rezultă ecuaţiile de stare scrise sub forma standard: AX br , (2.541) X T (2.542) y c X, în care: 1 0 0 0 A 0 0 1 , b 0, c T 1 0 0, (2.543) a a1 a2 0 1 a3 a 3 a 3 Se constată că în relaţia (2.542), comparativ cu (2.519), d = 0, deci are o formă mai simplă. În baza relaţiilor (2.537) şi (2.538) se poate întocmi schema de modelare reprezentată în figura 2.87.
Fig. 2.87 Vectorul de fază al condiţiilor iniţiale este X0 x 1 0, x 2 0, x 3 0 şi corespunde relaţiei (2.534). Condiţiile iniţiale se introduc în blocurile integratoare. De exemplu, condiţia iniţială x 3 (0) y(0) se impune blocului integrator care generează mărimea x 3 ş.a.m.d. A doua variantă: se consideră sistemul descris de o ecuaţie diferenţială în care n = m şi n = 3, de forma: T
d 3 y t d 2 y t dyt a a1 a 0 y t 2 3 2 dt dt dt (2.544) d 3 r t d 2 r t dr t b3 b2 b1 b 0 r t , dt dt 3 dt 2 cu condiţiile iniţiale: y0, y 0, y0, (2.545) Utilizând operatorul de derivare p d / dt, ecuaţia (2.544) se scrie sub forma: a 3 y b 3 r p 3 a 2 y b 2 r p 2 a 1 y b1 r p a 0 y b 0 r 0, (2.546) Se adoptă următoarele variabile de stare [3]: x 1 a 3 y b 3 r, a3
x 2 pa 3 y b 3 r a 2 y b 2 r px 1 a 2 y b 2 r,
x 3 p a 3 y b 3 r pa 2 y b 2 r a 1 y b1 r px 2 a 1 y b1 r, Derivând ultima relaţie din (2.547) se obţine: x 3 p 3 a 3 y b 3 r p 2 a 2 y b 2 r pa 1 y b 1 r ,
(2.547)
2
şi având în vedere ecuaţia (2.546) rezultă: x 3 a 0 y b 0 r 0, de unde: (2.548) x 3 a 0 y b 0 r , Prima ecuaţie din sistemul (2.547) conduce la expresia mărimii de ieşire: b x y 1 3 r, (2.549) a3 a3 care se înlocuieşte în ultimele două ecuaţii din (2.547) şi respectiv în relaţia (2.548), obţinându-se: x b a 1 x 2 x 1 a 2 1 3 r b 2 r x 1 2 x 1 b 2 a 3 a 2 b 3 r, a3 a3 a3 a3
x b a 1 x 3 x 2 a 1 1 3 r b1 r x 2 1 x 1 b1a 3 a 1 b 3 r, a3 a3 a3 a3 x b a 1 x 3 a 0 1 3 r b 0 r 0 x 1 b 0 a 3 a 0 b 3 r, a3 a3 a3 a3 În sistemul de ecuaţii (2.550) se introduc notaţiile [3]: 1 b 3 K a 3 a 3 K b 3 ; k 1,3, 0 b 3 a 3 , K a3
(2.550)
(2.551)
după care se separă în membrul stâng derivatele x K , k 1,3, rezultând următorul sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul I: a x 1 2 x 1 x 2 1 r, a3
x 2
a1 x 1 x 3 2 r, a3
(2.552)
a0 x1 3 r a3 iar ecuaţia de ieşire (2.549) cu notaţia din (2.551) ia forma: x y 1 0 r, (2.553) a3 Din ecuaţiile (2.552) şi (2.553) se obţine sistemul de ecuaţii în forma matriceal-vectorială: x 3
a2 1 0 x 1 a 3 x 1 1 x a 1 0 1 x r, (2.554) 2 a 2 2 3 x 3 x 3 3 a 0 0 0 a 3 1 (2.555) y [ 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ]T 0 r a3 sau scrise sub forma standard: AX br X (2.556) T (2.557) în care d 0 . y c X dr În baza relaţiilor (2.552) şi (2.553) se întocmeşte schema de modelare reprezentată în figura 2.88. Condiţiile iniţiale ale variabilelor de stare x 1 0 , x 2 0 , x 3 0 sunt determinate în funcţie de valorile y0; y 0; y0 şi r 0; r0; r0 utilizând ecuaţiile (2.550). Se constată din (2.550) că în cazul când condiţiile iniţiale impuse intrării şi ieşirii sunt nule, valorile componentelor vectorului de stare iniţială sunt de asemenea, nule. Condiţiile iniţiale ale mărimilor de stare se introduc în blocurile integratoare [3]. Se constată că în ecuaţiile de stare, pentru cazul n = m, deci şi în cazul particular descris, valoarea d 0.
Fig. 2.88 În literatura de specialitate [3. 24] sunt prezentate şi alte variate de trecere de la ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi, sau variabili în timp, la ecuaţiile de stare. După modul cum au fost prezentaţi algoritmi de trecere de la ecuaţia diferenţială la ecuaţiile de stare, a rezultat că în nici o etapă nu s-a făcut referire la necesitatea coeficienţilor constanţi, deci ecuaţiile de stare stabilite corespund şi situaţii când ecuaţia diferenţială liniară are coeficienţii variabili în timp. De exemplu, pentru o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi variabili în timp, de forma: n
k 0
n
a k t y k t b k t r k t , k 0
ecuaţiile de stare devin: t At Xt bt r t , X
yt c t Xt dt r t , În ecuaţia (2.558) se are în vedere că y 0 t yt şi r 0 t r t . T
(2.558) (2.559) (2.560)
2.5.2.2. Metode bazate pe utilizarea funcţiei de transfer Ecuaţiile de stare şi respectiv schemele de modelare pot fi obţinute prin diferite metode, care au la bază funcţia de transfer. Principalele metode sunt următoarele [1, 2, 3]: - metoda directă, care nu necesită determinarea polilor şi zerourilor funcţiei de transfer; - metoda algoritmului serie, care presupune stabilirea unei structuri serie echivalentă funcţiei de transfer dată; - metoda algoritmului paralel, care presupune stabilirea unei structuri paralel echivalentă cu funcţia de transfer dată.
Sunt cazuri în care pentru simplificarea ecuaţiilor de stare se apelează atât la algoritmul serie, cât şi la cel paralel. Schemele de modelare sunt formate, de regulă, din elemente integratoare ideale, elemente de întârziere de ordinul I, blocuri de amplificare şi sumatoare. Eventualele funcţii de transfer mai complicate se aduc la forme echivalente astfel încât schemele de modelare asociate să conţină blocurile menţionate. O astfel de componenţă a schemelor de modelare permite evidenţierea evoluţiei în timp a tuturor mărimilor care prezintă interes. 2.5.2.2.1. Metoda directă
Se consideră funcţia de transfer a sistemului automat închis corespunzătoare ecuaţiei diferenţiale (2.544): Ys b 3 s 3 b 2 s 2 b1s b 0 H 0 s , (2.561) R s a 3 s 3 a 2 s 2 a 1s a 0 pe care o scriem sub forma: Y s 1 H 0 s b 3 s 3 b 2 s 2 b1s b 0 , 3 2 R s a 3 s a 2 s a 1s a 0
care, conform algebrei funcţiilor de transfer, conduce la exprimarea lui H 0 s prin produsul a două funcţii de transfer, astfel: Y s Ys H 0 s 1 H1 s H 2 s , (2.562) R s Y1 s în care: Y s 1 H1 s 1 , (2.563) 3 R s a 3s a 2 s 2 a 1s a 0 Y s H 2 s b 3 s 3 b 2 s 2 b 1s b 0 , (2.564) Y1 s Relaţiei (2.562) îi corespunde schema de structură din figura 2.89. În stabilirea ecuaţiilor de stare se parcurg două etape. În prima etapă se determină ecuaţia matriceală intrare-stare utilizând f.d.t. (2.563), iar în etapa a doua se determină ecuaţia matriceală stare-ieşire utilizând f.d.t. (2.564).
Fig. 2.89 Prima etapă. Având cunoscută f.d.t. (2.563) în care mărimea de intrare este R s , iar cea de ieşire Y1 s , se adoptă cele n = 3 variabile de stare ca variabile de fază. Se notează variabilele de fază cu x 1 , x 2 , x 3 , iar ca variabilă de bază se alege x 1 y1 .
Pentru determinarea ecuaţiei matriceale intrare-stare se utilizează algoritmul descris în paragraful 2.5.2.1, prima variantă (funcţia de excitaţie conţine numai mărimea de intrare). Din expresia f.d.t. H1 s , descrisă de relaţia (2.563), rezultă: a 3 s 3 Y1 s a 2 s 2 Y1 s a 1sY1 (s) a 0 Y1 s R s ,
Notând cu y1 L Y1 s şi r L forma: a 3y1 a 2 y1 a 1 y 1 a 0 y1 r, 1
R s ,
1
(2.565)
ecuaţia diferenţială asociată relaţiei (2.565) este de
Având adoptată prima variabilă de fază x1 y1 , rezultă: x 1 y1 , x 2 x 1 y 1 ,
(2.566)
(2.567)
x 3 x 2 y1 , iar din ecuaţia (2.566) se determină: a a a 1 x 3 y1 2 y1 1 y 1 0 y1 r, (2.568) a3 a3 a3 a3 Sistemul format din cele trei ecuaţii diferenţiale de ordinul I este de forma: x 1 x 2 , x 2 x 3 , (2.569)
a a2 a 1 y1 1 y 1 0 y1 r, a3 a3 a3 a3 Ecuaţia matriceală intrare-stare este de forma: AX br , X în care: 1 0 0 0 A 0 0 1 ; b 0 ; a 1 a a 0 1 2 a3 3 a 3 a 3 x 3
(2.570)
(2.571)
Etapa a doua. Se stabileşte ecuaţia matriceală stare-ieşire utilizând f.d.t. H 2 s prin care se face tranziţia mărimii Y1 s la ieşirea sistemului. Din relaţia (2.564) rezultă: Y s H 2 s Y1 s b 3 s 3 Y1 s b 2 s 2 Y1 s b 1sY1 s b 0 Y1 s , care trecută în domeniul timp devine: (2.572) yt b 3y1 b 2 y1 b1 y 1 b 0 y1 , În relaţia (2.572) se introduc variabilele de stare conform relaţiei (2.567): (2.573) y b 3 x 3 b 2 x 3 b1 x 2 b 0 x 1 ,
Pentru a evidenţia în vectorul linie c T a mărimii de ieşire coeficienţii sistemului a i , i 0,3 , în relaţia (2.573) se înlocuieşte x 3 exprimat prin relaţia (2.568) şi se obţine:
a a a 1 y b 3 0 x 1 1 x 2 2 x 3 r b 2 x 3 b1 x 2 b 0 x 1 , a3 a3 a3 a3 Relaţia (2.574) se scrie sub forma: b b b b y b 0 3 a 0 x 1 b1 3 a 1 x 2 b 2 3 a 2 x 3 3 r, a3 a3 a3 a3 Introducând notaţiile [3]:
(2.574)
(2.575)
b b c k b k 1 3 a k 1 , k 1,3; 0 3 , (2.576) a3 a3 relaţia (2.575) devine: y c1 x 1 c 2 x 2 c 3 x 3 0 r , (2.577) A rezultat ecuaţia matriceală stare-ieşire: (2.578) y c T X dr , în care: c T c1 c 2 c 3 ; d 0 , (2.579) Schema de modelare a sistemului descris prin funcţia de transfer (2.561) se obţine din relaţiile (2.567), (2.568), (2.573) şi este reprezentată în figura 2.90. Condiţiile iniţiale x i 0, i 1,3, se determină din relaţia (2.577) şi a derivatelor acesteia până la
ordinul n 1 2, în care se înlocuiesc succesiv derivatele variabilelor de stare din relaţia (2.569). Se obţine un sistem format din trei ecuaţii algebrice în care necunoscutele sunt x i 0, i 1,3.
Fig. 2.90
2.5.2.2.2. Metoda algoritmului serie Această metodă de alegere a variabilelor de stare se utilizează în cazul în care ecuaţia caracteristică asociată funcţiei de transfer admite rădăcini reale simple [1, 3]. Alegerea variabilelor de stare se face pornind de la o schemă echivalentă serie dedusă din funcţia de transfer [1]. Sunt analizate două cazuri: Cazul I: în funcţia de excitaţie intervine numai mărimea de intrare fără derivate ale acesteia; Cazul II: funcţia de excitaţie conţine mărimea de intrare şi derivatele acesteia până la ordinul m
s i p i , i 1,3, (2.582) Se scrie funcţia de transfer (2.580) astfel încât să se evidenţieze polii acesteia: 1 1 H 0 s , (2.583) s s1 s s 2 s s 3 s p1 s p 2 s p 3 sau 1 1 1 H 0 s H 1 s H 2 s H 3 s , (2.584) s p1 s p 2 s p 3 unde: 1 1 1 H 1 s ; H 2 s ; H 3 s , (2.585) s p1 s p2 s p3 Expresia (2.584) conduce la o schemă echivalentă formată din trei elemente de întârziere de ordinul I, cu funcţiile de transfer conform relaţiei (2.585), conectate în serie, ca în figura 2.91.
Fig. 2.91 Ca variabile de stare se aleg mărimile de ieşire x 1 , x 2 , x 3 ale celor trei elemente conectate în serie. Se are în vedere că x 3 y, relaţie necesară în a stabili ecuaţia matriceală stare-ieşire.
Fig. 2.92 Un element de întârziere de ordinul I cu funcţia de transfer de forma (2.585) poate fi echivalat cu o schemă având pe calea directă un element de integrare ideal (cu funcţia de transfer H i s 1 / s) şi pe calea de reacţie negativă un element proporţional (cu funcţia de transfer H p s p), conform figurii 2.92.Din figura 2.92 rezultă funcţia de transfer a elementului de întârziere de ordinul I (EÎ01): 1 1 H EÎ01 s s , (2.586) 1 sp 1 p s şi deci, schema din figura 2.91 capătă aspectul din figura 2.93. Din figura 2.91, se constată că variabilele de stare adoptate sunt mărimile de ieşire din integratoare, iar mărimile aplicate la intrarea integratoarelor ideale sunt derivatele variabilelor de stare.
Fig. 2.93 Ecuaţiile de stare se obţin din ecuaţiile celor trei sumatoare, astfel: x 1 p1 x 1 r, x 2 p 2 x 2 x 1 , x 3 p 3 x 3 x 2 , iar ecuaţia matriceală stare-ieşire rezultã din: y x3. Forma matriceal-vectorialã a relaţiei (2.587) este: 0 0 x 1 1 x 1 p1 x 1 p2 0 x 2 0 r, 2 x 3 0 1 p 3 x 3 0
(2.587)
(2.588)
(2.589)
respectiv AX br , X (2.590) în care: 0 0 p1 1 A 1 p2 0 ; b 0, (2.591) 0 0 1 p 3 Conform cu relaţia (2.588) rezultă ecuaţia stare-ieşire: T y 0 0 1 x 1 x 2 x 3 , (2.592) sau y c T X, (2.593) T în care c 0 0 1. Cazul II. Funcţia de excitaţie conţine derivatele mărimii de intrare până la ordinul m < n. Se adoptă n = 3, m = 2 şi atunci funcţia de transfer a sistemului închis va avea aspectul: b 2 s 2 b 1s b 0 Ys H 0 s , (2.594) R s a 3 s 3 a 2 s 2 a 1s a 0 Se consideră cazul când H 0 s este de fază minimă, având polii şi zerourile reali şi simpli. Notăm zerourile cu 1 z1 , 2 z 2 , iar polii cu 1 p1 , 2 p 2 , 3 p 3 . Funcţia de transfer (2.594) poate fi scrisă sub forma: Ys b 2 s z1 s z 2 1 H 0 s , (2.595) R s a 3 s p1 s p 2 s p 3
Se constată din (2.595) că funcţiei de transfer H 0 s i se poate asocia o schemă echivalentă serie:
H 0 s în care:
H1 s
Ys b 2 H1 s H 2 s H 3 s , R s a 3
(2.596)
s z1 s z2 1 , H 2 s , H 3 s , s p1 s p2 s p3
(2.597)
Din relaţia (2.595) rezultă: b s z1 s z 2 1 Ys 2 R (s) , a 3 s p1 s p 2 s p 3
(2.598)
Funcţia de transfer H 3 s corespunde unui element de întârziere de ordinul I. Se aduc şi funcţiile de transfer H1 s şi H 2 s la o formă prin care să se evidenţieze un element de întârziere de ordinul I. De exemplu, funcţia de transfer H1 s se poate scrie astfel: s z1 z p1 H1 (s) 1 1 , (2.599) s p1 s p1
în care z1 p1 s p1 corespunde unui element de întârziere de ordinul I. Dacă se consideră că la intrarea blocului cu funcţia de transfer H1 s se aplică mărimea de intrare R s , atunci relaţiei:
z p1 , R s H1 s R s 1 1 (2.600) s p1 îi corespunde schema echivalentă reprezentată în figura 2.94. Ca variabilă de stare, în figura 2.94, s-a ales mărimea X1 s de la ieşirea elementului de întârziere de ordinul I. Având în vedere relaţia (2.599) şi schema echivalentă din figura 2.94, relaţiei (2.598) îi corespunde schema de structură din figura 2.95.
Fig. 2.94 Ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşirea elementelor de întârziere de ordinul I (blocurile (1), (2), (3)) din schema de structură reprezentată în figura 2.95.
Fig. 2.95 Conform schemei de structură din figura 2.95, variabilele de stare sunt exprimate prin relaţiile: z p1 X 1 s 1 R s s p1
X 2 s
z2 p2 R s X1 s , s p2
1 R s X1 s X 2 s , s p3 iar imaginea Laplace a mărimii de ieşire este: b Ys 2 X 3 s , a3
(2.601)
X 3 s
(2.602)
În ecuaţiile (2.601) se separă în membrul stâng termenii de forma sXs L x t , unde Xs este imaginea Laplace a variabilei de stare considerate şi se obţine sistemul:
sX1 (s) p1X1 (s) (z1 p1 )R (s) sX 2 (s) (z 2 p 2 )X1 (s) p 2 X 2 (s) (z 2 p 2 )R (s)
(2.603)
sX 3 (s) X1 (s) X 2 (s) p 3 X 2 (s) R (s) Trecând relaţiile (2.603) în domeniul timpului se obţine sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul I, de forma: x 1 p1 x 1 z 1 p1 r, (2.604) x 2 z 2 p 2 x 1 p 2 x 2 z 2 p 2 r,
x 3 x 1 x 2 p 3 x 3 r, Corespunzător relaţiei (2.602), ecuaţia de ieşire, în domeniul timpului, va fi: b y 2 x3, (2.605) a3 Sub forma matriceal vectorială ecuaţiile (2.604), (2.605) devin: 0 0 x 1 z 1 p1 x 1 p1 x 1 p2 0 x 2 z 2 p 2 r, (2.606) 2 x 3 0 1 p 3 x 3 1
b2 T y 0 0 (2.607) x 1 x 2 x 3 , a3 sau sub forma standard: AX br , (2.608) X T (2.609) y c X, În practică se întâlnesc frecvent structuri serie formate din elemente de întârziere de ordinul I, distincte. Mărimile de ieşire ale acestor elemente sunt mărimi fizice reale. Din această cauză variabilele de stare care constituie mărimi de ieşire ale unor elemente de întârziere de ordinul I se mai numesc variabili de stare fizice [3]. 2.5.2.2.3. Metoda algoritmului paralel Alegerea variabilelor de stare se face pornind de la o schemă echivalentă paralel, obţinută prin exprimarea funcţiei de transfer impuse, sub forma unor sume de funcţii de transfer corespunzătoare unor elemente de întârziere de ordinul I [1]. Ecuaţia caracteristică a sistemului, asociată funcţiei de transfer impuse, poate avea rădăcini reale simple, reale multiple, complexe conjugate simple, complexe conjugate multiple. În funcţie de natura rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, variabilele de stare se aleg în mod diferit [2, 3].
În continuare, sunt analizate cazurile rădăcinilor reale simple şi a rădăcinilor reale multiple. Pentru celelalte cazuri menţionate se poate apela la metoda directă sau la schemele de modelare prezentate în literatura de specialitate [3].
a) Cazul rădăcinilor reale simple În acest caz, pentru a face o comparaţie între forma matricei sistemului obţinută prin aplicarea metodei algoritmului serie şi matricea sistemului obţinută prin algoritmul paralel, adoptăm funcţia de transfer a unui sistem închis H 0 s de forma (2.580): Y s 1 H 0 s 3 , (2.610) 2 R s s a 2 s a 1s a 0 Ecuaţia caracteristică (ecuaţia 2.581) are rădăcinile reale simple (relaţia 2.582) de forma: si pi , i 1,3, (2.611)
Având în vedere (2.611), funcţia de transfer H 0 s din (2.610) se poate scrie [1]: Y s 1 H 0 S R s s p1 s p 2 s p 3 (2.612) c3 c1 c2 H 1 s H 2 s H 3 s , s p1 s p 2 s p 3 şi corespunzător: Y s
c3 c1 c2 R s R s R s s p1 s p2 s p3
(2.613)
R s H 1 s H 2 s H 3 s ,
în care valorile c 1 , c 2 , c 3 se obţin prin identificare sau conform cu relaţiile [1]:
c1 s p1 H 0 s s p ; 1
c 2 s p 2 H 0 s s p ; 2
c 3 s p 3 H 0 s s p , 3
În relaţia (2.613), H i s , i 1,3 sunt funcţii de transfer a unor elemente de întârziere de ordinul I, fiecăreia putându-i-se asocia o schemă echivalentă de forma redată în figura 2.92, dar cu un bloc de amplificare (cu coeficientul de transfer c i , i 1,3 la ieşire. Relaţiei (2.613) i se asociază schema de structură redată în figura 2.96. Şi în această situaţie, ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşirea blocurilor integratoare, ceea ce înseamnă că la intrarea integratoarelor ideale se găsesc derivatele variabilelor de stare [1]. Sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul I se obţine din ecuaţiile scrise blocurilor sumatoare din structura elementelor de întârziere de ordinul I, [1].
x 1 p1 x1 r, x 2 p 2 x 2 r,
(2.614)
x 3 p3 x 3 r.
Mărimea de ieşire y rezultă din ecuaţia scrisă sumatorului de la ieşire (figura 2.96): y c1 x 1 c 2 x 2 c 3 x 3 ,
(2.615)
Fig. 2.96 Relaţiile (2.614) pot fi exprimate prin următoarea relaţie matriceal-vectorială: 0 x1 1 x 1 p1 0 x 0 p (2.616) 0 x 2 1 r , 2 2 x 3 0 0 p3 x 3 1 respectiv: X b r , X 1 iar relaţia (2.615) se scrie sub forma: T y c1 c 2 c 3 x 1 x 2 x 3 , respectiv: y c T X,
(2.617) (2.618) (2.619)
Pentru integrarea ecuaţiilor (2.614) sunt necesare condiţiile x i 0, i 1,3. Acestea se determină cu ajutorul relaţiei (2.618) şi a derivatelor ei până la ordinul n 1 2 , în care se elimină de fiecare dată x i , i 1,3 cu expresia din relaţia (2.614). Se obţine astfel un sistem de n ecuaţii cu n = 3 necunoscute [3]. Condiţiile iniţiale se introduc în blocurile integratoare. Spre deosebire de ecuaţia (2.589), se constată că în (2.616) matricea sistemului, notată cu , este o matrice diagonală a căror elemente de pe diagonala principală sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice (polii funcţiei de transfer). În această situaţie se spune că variabilele de stare sunt complet decuplate. Forma matriceală obţinută (ecuaţiile (2.617), (2.619)) poartă denumirea de formă canonică diagonală [3]. b) Cazul rădăcinilor reale multiple Se consideră un sistem automat închis, de ordinul n = 3 şi n = m, descris de următoarea funcţie de transfer: Y s P1 s b 3s 3 b 2 s 2 b1s b 0 H 0 s , (2.620) R s P2 s a 3s 3 a 2 s 2 a 1s a 0 Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice, notate cu , sunt reale şi negative, iar o rădăcină, de exemplu 1 , are ordinul de multiplicitate 2, atunci relaţia (2.620) poate fi scrisă astfel:
H 0 s
forma:
Y s P1 s b 3s 3 b 2 s 2 b1s b 0 , R s P2 s s 1 2 s 2
(2.621)
Descompunând relaţia (2.621) în fracţii simple se obţine expresia mărimii de ieşire Ys de
c c1 c (2.622) 2 3 ] R(s) c 0 R(s) , 2 (s 1 ) s 1 s 2 unde coeficienţii au expresiile: P (s) P ( ) c 0 lim H 0 s , c1 lim[ 1 (s 1 ) 2 ] 1 1 , s s 1 P (s) (1 2 ) 2 P P1 1 d P1 s 2 c 2 lim s 1 1 1 , 2 s1 ds P s 2 1 2 1 2 P (s) P ( ) c3 lim[ 1 (s 2 )] 1 2 s 2 P (s) ( 2 1 ) 2 Relaţiei (2.622) îi corespunde schema de structură reprezentată în figura 2.97. Y(s) H 0 (s) R(s) [
Fig. 2.97 Deoarece blocul (1) conţine două elemente de întârziere de ordinul I conectate în serie, se constată că schema de structură din figura 2.97 conţine patru astfel de elemente, deci numărul elementelor de întârziere de ordinul I depăşeşte ordinul sistemului. În figura 2.98 se reprezintă o schemă de structură simplificată care conţine un număr n = 3 elemente de întârziere de ordinul I [3].
Fig. 2.98 În figura 2.98, variabilele de stare X 1 s , X 2 s , X 3 s reprezintă mărimile de la ieşirea elementelor de întârziere de ordinul I.
Conform schemei de structură din figura 2.98, expresiile variabilelor de stare, în imagini Laplace, sunt: 1 X 1 s X 2 s , s 1
X 2 s
1 R s , s 1
(2.623)
1 R s , s 2 Pentru a stabili sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul I, este necesar să exprimăm derivatele variabilelor de stare în funcţie de acestea. 1 Având în vedere că x i L sX i s , i 1,3, relaţiile (2.623) se pot scrie sub forma: X 3 s
sX 1 s 1 X 1 s X 2 s , sX 2 s 1 X 2 s R s ,
(2.624)
sX 3 s 2 X 3 s R s , Trecând relaţia (2.624) în domeniul timpului, se obţine sistemul format din n = 3 ecuaţii diferenţiale de ordinul I: x 1 1 x 1 x 2 , (2.625) x 2 1 x 2 r , x 3 2 x 3 r , Ecuaţia stare-ieşire se obţine din ecuaţia sumatorului din figura 2.98, astfel: (2.626) Ys c 0 R s c1 X 1 s c 2 X 2 s c 3 X 3 s , şi respectiv: 3
y c k x k c 0 r,
(2.627)
k 1
În forma matriceal-vectorială ecuaţiile intrare-stare-ieşire (2.625), (2.627) devin: x 1 1 1 0 x 1 0 x 0 0 x 2 1 r, (2.628) 1 2 x 3 0 0 2 x 3 1
y c1 c 2 c 3 x 1 x 2 x 3 c 0 r, (2.629) sau AX br X (2.630) T (2.631) y c X dr În ecuaţia (2.631) se constată că d c 0 . Matricea A este o matrice Jordan corespunzătoare sistemului n = 3 şi două valori proprii egale. Pentru integrarea ecuaţiilor (2.625), din cele n = 3 condiţii iniţiale sunt determinate condiţiile iniţiale ale variabilelor de stare cu ajutorul relaţiei (2.629) şi a derivatelor ei până la ordinul n 1 2 , în care se elimină de fiecare dată x i cu expresiile din relaţiile (2.625). T
2.5.3. Rezolvarea ecuaţiilor de stare. Matricea de tranziţie Se consideră un sistem automat liniar monovariabil invariant neted descris de ecuaţiile de stare: t AXt br t , (2.632) X
y(t) cT X(t) , cu condiţiile iniţiale:
(2.633)
Xt t 0 X0,
(2.634)
în care A R nn , b R n1 , cT R1n , iar Xt şi X0 sunt n – vectori coloană. Se determină soluţia X t a ecuaţiei matriceal vectoriale intrare-stare (2.632), după care în baza soluţiei obţinute se calculează ieşirea yt . Soluţia ecuaţiei matriceale intrare-stare (2.632) conţine două componente: X(t) X l (t) X f (t), unde componenta X l t este componenta liberă a vectorului de stare determinată numai de condiţiile iniţiale r t 0, soluţie a ecuaţiei matriceale omogene asociată ecuaţiei (2.632), iar X f (t) este componenta forţată determinată numai de mărimea de excitaţie (intrare) în condiţii iniţiale nule, soluţie particulară a ecuaţiei matriceal-vectoriale (2.632), [3]. Corespunzător şi răspunsul sistemului va avea două componente: y(t) yl (t) y f (t),
în care yl (t) este componente liberă a răspunsului, iar y f (t) este componenta forţată a răspunsului. Conform cu (2.633) şi având în vedere cele două componte ale vectorului de stare rezulă: y(t) c T X(t) c T [X l (t) X f (t)] c T X l (t) c T X f (t) . a) Soluţia ecuaţiei omogene asociată ecuaţiei matriceale intrare-stare; Ecuaţia matriceală omogenă se obţine din ecuaţia (2.632) în care r t 0 : t AXt , t 0, (2.635) X
cu valoarea iniţială a vectorilor de stare de forma (2.634). Soluţia ecuaţiei (2.635) este determinată de condiţiile iniţiale nenule. Pentru a găsi soluţia ecuaţiei omogene (2.635), dezvoltăm X t în serie Mac-Laurin: 2 3 n 0 t X 0 t X 0 t ... X n 0 t ... (2.636) X t X 0 X 2 3! n! 0 , X 0 ,..., X n 0 , se derivează (2.635) până la ordinul n, Pentru a înlocui în relaţia (2.636) pe X după care se face t = 0. Derivând relaţia (2.635) se obţine: t AX t A 2 X t , X X t A 2 X t A 3 X t , (2.637) .................................................... X n t A n X t Din relaţiile (2.637) şi (2.635) pentru t = 0 rezultă: 0 AX 0, X 0 A 2 X 0, X
0 A 3 X 0, X
(2.638)
.....................................
X n 0 A n X 0 Având în vedere (2.638), relaţia (2.636) devine: t2 t3 tn Xt X0 t AX0 A 2 X0 A 3 X0 ... A n X0 ... 2 3! n! sau A2t 2 A3t 3 An tn X t I A ... _ .... X0, 2 3! n!
(2.639)
Cunoscând că dezvoltarea funcţiei scalare f x e x după formula lui Mac-Laurin este: x2 x3 xn xn ex 1 x ... ... , 2 3! n! n! n 0 şi comparând cu relaţia (2.639) se constată că paranteza reprezintă dezvoltarea în serie a funcţiei e At , unde A este matricea sistemului (exponenţială matriceală):
An t n n! n 0 Deci, relaţia (2.639) devine: (2.640) Xt e At X0 , Având în vedere că: d At d A2t 2 A3t 3 e I A .... A A 2 t 2 ... Ae At , dt dt 2 3! înlocuind relaţia (2.640) direct în ecuaţia diferenţială (2.635) se constatã cã relaţia (2.640) este soluţie a acestei ecuaţii cu satisfacerea condiţiilor iniţiale (2.634). Relaţia (2.640) reprezintã soluţia de regim liber (componenta liberã a răspunsului) scrisă sub formă matriceală, care se notează, aşa cum s-a menţionat, astfel: (2.641) X l t e At X 0 , Din relaţia (2.641), pentru t t 0 , se obţine: e At
Xt 0 e 0 X0, şi corespunzător: A t t 0 At A t t 0 e At X 0 e e 0 X 0 e X t 0 , rezultă că soluţia (2.641) poate fi redată sub forma: A t t 0 (2.642) X l t e X t 0 , t 0, Expresia (2.642) reprezintã soluţia ecuaţiei diferenţiale matriceale (2.635) care satisface condiţia iniţialã: (2.643) Xt t t Xt 0 , At
0
0 t t poartă denumirea de matrice de tranziţie sau matrice Exponenţiala matricealã e 0 fundamentală a sistemului automat. Matricea fundamentală t t 0 caracterizeazã regimul liber al sistemului. În soluţiile (2.641) şi (2.642) putem privi pe X0 şi Xt 0 , respectiv pe X l t ca puncte ale spaţiului vectorial n – dimensional al condiţiilor iniţiale şi spaţiului vectorial n – dimensional al soluţiilor, care este izomorf cu spaţiul vectorilor condiţiilor iniţiale. Transformarea de la X 0, respectiv X t 0 , la soluţia X l t este determinatã de operatorul , care este un operator liniar. A tt
Deci, soluţia ecuaţiei (2.635) este imaginea lui X 0 prin operatorul liniar t în spaţiul soluţiilor. În figura 2.99 se prezintă grafic interpretarea soluţiei (2.641) din punctul de vedere al operatorului liniar t .
Fig. 2.99 Denumirea de matrice de tranziţie este justificată prin faptul că t t 0 determină tranziţia sistemului din starea iniţială t 0 în starea corespunzătoare unui moment de timp t t 0 . Principalele proprietăţi ale matricei de tranziţie sunt următoarele : (2.644) t t 0 t t 0 I, (matricea unitate), 0
t 2 t 1 t 1 t 0 t 2 t 0 ,
(2.645)
t 1 t 0 t 0 t 1 sau t t , (2.646) d t A t , (2.647) dt Matricea fundamentală este similară funcţiei pondere pentru sistemele monovariabile intrare-ieşire [1]. Se mai constată că matricea fundamentală nu este unică deoarece orice transformare asemenea asupra matricei sistemului conduce la matricea fundamentală. 1
1
b) Componenta forţată a răspunsului şi vectorului de stare Dacă se introduce prin definiţie funcţia pondere [2]: def
w ( t ) c T ( t ) b c T e At b , atunci utilizând produsul de convoluţie, componenta forţată a răspunsului determinată numai mărimea de intrare, va fi de forma: t
t
t
0
0
0
y f ( t ) w ( t ) r () d c T e A ( t ) br () d c T ( t )br () d, t 0 , ( 2.648) Abând în vedere faptul că: ( 2.649) y f (t) c T X f (t) , şi comparând (2.648) cu (2.649) rezultă expresia componentei forţate a vectorului de stare (care corespunde regimului tranzitoriu pe care l-ar realiza mărimile din sistem în condiţii iniţiale nule (vectorul de stare iniţial ar fi nul)): t
t
0
0
X f ( t ) e A ( t ) br ()d ( t )br ()d .
(2.650)
c) Soluţia generală a ecuaţiei matriceale neomogene intrare-stare şi răspunsul complet al sistemului. relaţia:
Vectorul de stare X(t), în cazul când condiţia iniţială este de forma (2.634), se determină cu t
X( t ) X l ( t ) X f ( t ) e X(0) e A ( t ) br ()d , At
(2.651)
0
care se mai scrie:
t
X( t ) X l ( t ) X f ( t ) ( t ) X(0) ( t ) b r () d .
(2.652)
0
Dacă se impune o condiţie iniţială de forma (2.643) expresia vectorului de stare devine: t
X ( t ) e A ( t t 0 ) X ( t 0 ) e A ( t ) br ( )d, t t 0 ,
(2.653)
t0
care se mai poate scrie sub forma: t
X ( t ) ( t t 0 ) X ( t 0 ) ( t ) b r ( )d, t t 0 , t0
(2.654)
Mărimea de ieşire, corespunzător ecuaţiei stare-ieşire de forma (2.633) în care s-a considerat d=0, şi având în vedere expresia (2.654), este de forma: t
y( t ) c T X ( t ) c T ( t t 0 ) X ( t 0 ) c T ( t )br ()d, t t 0 ,
(2.655)
t0
Dacă ecuaţia stare – ieşire are expresia: y( t ) c T X ( t ) d r ( t ) , atunci pentru mărimea de ieşire se obţine relaţia:
(2.656)
t
y( t ) c T X ( t ) c T [( t t 0 ) X ( t 0 ) ( t ) br ( )d] d r ( t ), t t 0 ,
(2.657)
t0
A rezultat că dinamica sistemului automat liniar este definită dacă este cunoscută matricea fundamentală t sau t t 0 . S-a menţionat că răspunsul sistemului yt nu este modificat de schimbarea bazei, în spaţiul n – dimensional al variabilelor de stare. Acest aspect se poate deduce în baza relaţiei (2.657). Se consideră sistemul liniar invariant monovariabil având ecuaţiile de stare (2.524), (2.525), scrise în vechea bază şi ecuaţiile de stare (2.530), (2.531) scrise în noua bază, iar matricea nesingulară a transformării fiind T, conform relaţiei (2.522). Se notează cu yt expresia y t în cazul mărimii de ieşire în cazul exprimării variabilelor de stare în vechea bază şi cu ~ exprimării variabilelor de stare în noua bază. Atunci, corespunzător cu (2.657) şi având în vedere relaţia (2.656) se poate scrie: t
T
y( t ) c e
A(tt0 )
X ( t 0 ) c T e A ( t ) b r ( )d d r ( t ), t t 0 ,
iar în noua bază:
(2.658)
t0
t
~ T 1 TAT 1 t ~y t c T T 1e TAT 1 t t 0 X t br d dr t , t t 0 , c T e
(2.659)
t0
Având în vedere că pentru o funcţie de matrice f A şi orice matrice nesingulară T este adevărată relaţia 27: (2.660) f TAT 1 T f A T 1 , iar ~ ~ Xt 0 T 1 Xt 0 , respectiv Xt 0 TXt 0 , (2.661) relaţia (2.659) devine:
t
~y t c T T 1Te A t t 0 T 1TX t c T T 1Te A t T 1Tbr d 0 t0
dr t , t t 0 , şi respectiv:
(2.662)
t
~y t c T e A t t 0 Xt c T e A t br d dr t , t t , 0 0
deci: yt ~ yt ,
(2.663)
t0
indiferent de mărimea de intrare r t .
(2.664)
După cum s-a menţionat, se caută ca matricea transformării să fie astfel adoptată încât matricea să fie o matrice Jordan (relaţia (2.532)), matricea fundamentală devenind:
t t 0 e 0 , unde J este forma canonică Jordan a matricei A. J tt
(2.665)
2.5.3.1. Calculul matricei fundamentale Există mai multe metode de calcul a matricei fundamentale t sau t t 0 . Se va considera matricea fundamentală de forma: (2.670) t e At , t 0, fără ca prin aceasta să se piardă din generalitate. În continuare, este prezentată numai metoda transformate Laplace, care este cea mai utilizată în aplicaţii. Metoda transformatei Laplace. Relaţia dintre modelul intrare-stare-ieşire şi funcţia de transfer. Realizări. Pentru a stabili legătura dintre imaginea Laplace a matricei fundamentale şi matricea sistemului se pleacă de la ecuaţia omogenă (2.635) cu condiţia iniţială (2.634), deci de la relaţiile: t AXt , t 0, (2.671) X
Xt t 0 X0,
(2.672)
Se aplică transformata Laplace ecuaţiei (2.671), obţinându-se: sXs X0 AXs , care se mai scrie sub forma sI A Xs X0, respectiv: 1 X s sI A X 0 , (2.673) iar originalul este: 1 X t L 1X s L 1 sI A X 0 , (2.674) Dacă se compară (2.674) cu soluţia ecuaţiei omogene (relaţia (2.640)) care este de forma: Xt e At X0 , rezultă: 1 t e At L 1 sI A , (2.675) deci 1 s L 1 t sI A , (2.676) Cunoscând matricea coeficienţilor A se poate determina matricea fundamentală a sistemului calculând inversa matricei sI A şi transformata inversă Laplace a acesteia [1]. Pentru a determina matricea fundamentală t utilizând relaţia (2.676) se parcurg următoarele etape: a) se determină matricea sI n A :
0 ... 0 a 11 s 0 ... 0 a 21 0 s ... 0 a 31 ... ... ... ... ... 0 0 ... s a n1 a 12 a 13 ... a 1n s a 22 a 23 ... a 2 n
s 0 sI n A 0 ... 0 s a 11 a 21 a 31 ... a n1
0
a 32 ...
s a 33 ...
a n2
a n3
a 12
a 13
a 22 a 32
a 23 a 33
... a n2
... a n3
... a 1n ... a 2 n ... a 3n ... ... ... a nn
... a 3n , ... ... ... s a nn
a) se calculează matricea inversă sI n A : 1
A n1 A 11 A 211 ... A 22 A n2 12 1 ... s sI n A ... ... ... ... A A nn n1 2n ... 11 s 12 s ... 1n s s s ... s 22 2n , 21 ... ... ... ... n1 s 2 n s ... nn s unde detsI n A , iar A ik este complementul algebric al elementului matricei (sI n A) T numeric egal cu minorul ik al elementului corespunzător liniei i şi coloanei k, luat cu semnul
1ik .
Matricea adjunctă a matricei sI n A are ca elemente A ik , adică complementele algebrice ale matricei (sI n A) T . Deci se mai poate scrie: adjsI n A 1 s sI n A , detsI n A
b) se determină matricea fundamentală t calculând originalul fiecărui element al matricei s : ik t L
1
A ki s L
ik s.
1
În continuare se stabileşte relaţia dintre modelul intrare-stare-ieşire şi funcţia de transfer. Se consideră un sistem de reglare liniar invariant monovariabil descris de ecuaţiile de stare (2.632) şi (2.633) cu condiţia iniţială (2.672). În ecuaţia stare-ieşire (2.633) se consideră d = 0. Ecuaţiile menţionate sunt: t AXt br t , (2.677) X
(2.678) yt c T Xt , Se aplică transformata Laplace ecuaţiei neomogene (2.677) cu condiţia iniţială (2.672) şi se obţine:
sXs X0 AXs bR s , (2.679) sau sI A Xs X0 b R s, de unde: 1 1 X s sI A X 0 sI A b R s , (2.680) care în baza relaţiei (2.676) se scrie sub forma: Xs s X0 s b R s , (2.681) Transformata Laplace a ecuaţiei (2.678) este: Ys c T Xs , care, avându-se în vedere relaţia (2.681) se exprimă sub forma: (2.682) Y (s) c T (s) X (0) c T (s) b R (s) . Deoarece funcţia de transfer se defineşte în condiţii iniţiale nule, X 0 0, relaţia (2.682) devine: (2.683) Y(s) c T (s) b R (s) c T (sI A) 1 b R (s) , Funcţia de transfer a sistemului de reglare se defineşte prin relaţia [1]: def Y s 1 (2.684) H 0 s c T sI A b, R s Dacă se ţine seama de exprimarea matricei inverse în funcţie de matricea adjunctă şi determinantul acesteia, expresia funcţiei de transfer devine [1]: adjsI A (2.685) H 0 s c T b, det sI A Realizări Funcţia de transfer H 0 s a unui sistem liniar invariant monovariabil permite obţinerea unei
realizări A, b, c T printr-o alegere corespunzătoare a variabilelor de stare [2]. Problema realizării se poate formula astfel: dându-se un model intrare-ieşire, se cere a se determina o realizare A, b, c T T astfel încât H 0 s c sI A b.
1
Se numeşte realizare a lui H 0 s orice sistem A, b, c T , dacă relaţia (2.684) este satisfăcută [2]. De menţionat este faptul că pentru o funcţie de transfer există mai multe realizări, teoretic o infinitate de realizări [2]. Deci, trecerea de la realizarea A, b, c T sau A, b, c T , d la funcţia de transfer nu este unică. În cazul prezentat s-a avut în vedere sistemul închis cu funcţia de transfer H0(s), cele prezentate sunt valabile pentru orice subsistem, bloc etc. Se consideră că funcţia de transfer H(s) este o raţională strict proprie, adică gradul numărătorului este strict mai mic decât gradul numitorului (într-un astfel de caz în ecuaţia (2.656) d=0) şi este de forma: b s n 1 b1s b 0 . (2.686) H(s) n n 1 n 1 s a n 1s a 1s a 0 O realizare a funcţiei de transfer, raţională strict proprie, (2.686) este cea numită standard controlabilă:
0 0 0 , c T [b b b b ] , b 0 1 2 n 1 0 1 1 a n 1 O realizare a funcţiei de transfer, raţională strict proprie, (2.686) este cea numită standard observabilă: b 0 0 0 a0 0 b 1 1 0 0 a1 b2 0 1 0 T A , b , c [0 0 0 1] 0 0 a n 2 b 0 0 1 a n 2 n 1 b n 1 1 0 0 0 0 1 A 0 0 0 a a a 1 2 0
0
Controlabilitatea şi observabilitatea SLN Controlabilitatea şi observabilitatea sistemelor dinamice sunt 2 proprietăţi interne (structurale) ale acestora, care definesc condiţiile necesare şi uneori suficiente pentru existenţa unei soluţii în problemele de conducere automată. Aceste proprietăţi se referă şi la sistemele SISO; Pentru un sistem pot exista mai multe realizări ( ABCD)n , funcţie de alegerea bazei spaţiului stărilor. Proprietăţile de controlabilitate şi observabilitate se referă la realizările (A, B, C) sau (A,b,cT) pentru cele SISO. Controlabilitatea stării Interpretarea grafică pentru un SLN cu n=2 (are 2 variabile de stare).
Fig. 1 Evoluţia sistemului are loc între starea iniţială x0 şi o stare finală xF x1 f x X 0 10 prin translatare când t [t 0 , t f ] , rezultă X F . x20 x2 f
Def. 1 – un SLN se numeşte de stare complet controlabilă dacă pentru orice stare iniţială a sistemului X 0 X 0 (t ) există o comandă u : [t0 , t f ) astfel aleasă încât să aducă sistemul la o stare finală
X F X (t f ), X F R n într-un timp finit. Def. 2 – Un SLN este de stare complet controlabilă dacă există o comandă prin care sistemul se poate translata, în timp finit, între 2 stări oarecare X 0 X (t0 ) şi X F X (t F ) , din spaţiul stărilor. Un SLN care nu este de stare complet controlabilă se numeşte necontrolabil, iar acesta poate fi: - sistem de stare complet necontrolabil; - sistem de stare parţial controlabil (necontrolabil). Exemplu: Sistem parţial controlabil – interpretare grafică(n=2)
Fig. 2 Din figura 2 se poate constata că numai componenta x 1 a sistemului este controlabilă. Se va nota cu Xc spaţiul stărilor controlabile (spaţiul stărilor accesibile prin comenzi), atunci pentru un SLN de ordin n deosebim: - complet controlabil: X c n sau X c R n ; -
parţial controlabil: X c n1 n, X c R n ;
stare necontrolabilă: X c [0] . Pentru verificarea proprietăâii de controlabilitate se foloseşte perechea (A,B). Se spune că sistemul ( A, B, C ) n este controlabil dacă perechea (A,B) este controlabilă. Pentru verificarea controlabilităţii se construieşte matricea de controlabilitate: Qc( n m ) [ B AB A2 B ... An 1B ] Def. 2 – O pereche (A,B) este controlabilă dacă şi numai dacă: rangQc=n=dimX (invariant la schimbarea bazei). Def. 3 – Criteriul lui Hantus – O pereche (A,B) este controlabilă dacă şi numai dacă: rangI n A B n; ( A) unde σ(A) este spectrul matricei A (mulţimea valorilor proprii ale matricei A). -
Observabilitatea stării Observabilitatea este o proprietate structurală care pune în evidenţă posibilitatea determinării unei stări din prelucrarea mărimilor măsurate de intrare şi respectiv de ieşire. Def. 4 – Un SLN este de stare complet observabilă dacă specificându-se intrarea şi respectiv ieşirea acestuia pe un interval de timp, se poate determina în mod unic starea acestuia pe acest interval de timp. Pentru verificarea proprietăţii de observabilitate se operează cu perechea (C,A). Se construieşte matricea de observabilitate:
2.6. STABILITATEA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ LINIARE ŞI CONTINUE INVARIATE
Orice sistem de reglare automată (SRA) trebuie să fie, înainte de toate, stabil. Răspunsul yt al sistemelor de reglare automată liniare continue şi invariante are două componente (relaţia (2.36)), una permanentă y p t şi alta liberă (sau tranzitorie) y tr t . Sistemele liniare în care se poate realiza un regim permanent se numesc sisteme stabile. Deci, în cazul SRA stabile componenta liberă a răspunsului se amortizează după trecerea unui interval de timp suficient de mare de la aplicarea mărimii exterioare de excitaţie. Din punct de vedere matematic, problema stabilităţii presupune studiul sistemelor dinamice pentru valori mari ale timpului, teoretic t . Evoluţia liberă a sistemului, descrisă de componenta liberă a răspunsului, corespunde soluţiei generale a ecuaţiei omogene aferentă ecuaţiei diferenţiale neomogene (relaţia (2.37)) care descrie sistemul şi depinde numai de condiţiile iniţiale, mărimile aplicate sistemului din exterior fiind identic nule. Evoluţia liberă a sistemului depinde de rădăcinile ecuaţiei caracteristice (relaţia (2.38)), care la rândul lor depind numai de parametrii sistemului. Aceasta explică faptul că în cazul SRA liniare netede şi invariante stabilitatea este o proprietate intrinsecă a sistemului. Cele menţionate justifică importanţa polinomului caracteristic şi respectiv a soluţiei ecuaţiei omogene în aprecierea stabilităţii. Soluţia ecuaţiei omogene (evoluţia liberă a sistemului) este analizată atât în cazul modelelor matematice de tipul intrare-ieşire, cât şi a modelelor matematice de tipul intrare-stare-ieşire. Abordarea stabilităţii sistemului utilizând modelele matematice de tipul intrare-ieşire poartă denumirea de stabilitate externă sau stabilitate intrare-ieşire. În acest caz aprecierea stabilităţii implică studierea simultană a intrărilor şi ieşirilor sistemului, deci a mărimilor externe [3]. Abordarea stabilităţii sistemului utilizând modelul matematic de tip intrare-stare-ieşire poartă denumirea de stabilitate internă (sau stabilitate în sens Liapunov). Denumirea de stabilitate internă este justificată prin faptul că variabilele de stare sunt mărimi interne ale sistemului, măsurabile sau nemăsurabile. În scopul definirii unor noţiuni specifice stabilităţii, este util să se facă o analiză calitativă a stabilităţii prin care să se evidenţieze stările (punctele) de echilibru posibile pentru un sistem şi corespunzător stabilitatea acestora. Considerăm un sistem mecanic idealizat, foarte simplu, format dintr-un mic corp solid de masă m, având un singur grad de libertate [27]. În regim liber, corpul punctiform de masă m se mişcă cu frecare, sub acţiunea forţei de greutate, de-a lungul unui fir, care în planul vertical descrie o curbă oarecare x (figura 2.100.a). Acest sistem mecanic este descris de două ecuaţii diferenţiale de ordinul I, care exprimă impulsul punctului material pt mx t sau 1 pt şi respectiv legea a doua a lui Newton p t F t . Astfel, ecuaţiile de mişcare pot m fi redate sub forma următoarelor dependenţe [27]: x t f x x t , pt , p t f p x t , pt , x t
în care x este deplasarea orizontală; p impulsul corpului punctiform (în direcţia tangentei la curbă); x este o funcţie derivabilă care descrie forma curbei, iar x derivata acesteia.
Ca variabile de stare se aleg mărimile x t şi pt . O stare oarecare notată cu q t x t pt este o stare de echilibru dacă [27]: x 0 şi p 0. Astfel, o stare de echilibru va fi descrisă de o relaţie de forma: k q e , unde k are o astfel de valoare încât k 0 0 T
Aspectele calitative ale stabilităţii stărilor (punctelor) de echilibru sunt analizate în raport cu forma firului în vecinătatea punctelor pentru care x 0. Modificând forma curbei x se pot realiza diferite variante, de astfel de sisteme, care prezintă interes din punctul de vedere al interpretării stabilităţii.
Fig. 2.100 În figura 2.100.b, corpul ocupă o poziţie iniţială de echilibru în domeniul x1 x x 2 , în care firul este orizontal. Dacă la t t 0 se imprimă corpului o anumită viteză iniţială, suficient de mică, corpul va ocupa o nouă poziţie de echilibru în apropierea celei iniţiale. O astfel de stare (punct) de echilibru este stabilă. Dacă se modifică forma firului, la ambele capete, realizând un punct de echilibru stabil x = k, ca în figura 2.100.c, astfel încât x 0, k x k; x 0; k x k , atunci la abateri mici (mai mici decât în modul) faţă de acest punct de echilibru, corpul în final va reveni la poziţia iniţială, fie printr-o mişcare aperiodică, fie efectuând câteva oscilaţii (amortizate) în jurul punctului de echilibru. O astfel de stare de echilibru este asimptotic stabilă. Deoarece abaterea maximă faţă de punctul de echilibru este limitată, se spune că stabilitatea asimptotică este locală sau în sens restrâns. Dacă firul descrie curba din figura 2.100.d, pentru care x 0, x k; k 0; x 0, x k , atunci pentru orice abatere faţă de punctul de echilibru k 0, în final, corpul revine în punctul iniţial. Revenirea corpului în punctul de echilibru se poate face aperiodic sau după efectuarea unor oscilaţii amortizate. Deoarece nu s-au pus restricţii abaterii maxime faţă de punctul de echilibru, teoretic această abatere putând fi infinită, se spune că stabilitatea asimptotică este globală sau în mare. Dacă firul este curbat în jos, la ambele capete, ca în figura 2.100.e, atunci, pentru abateri oricât de mici faţă de punctul de echilibru, corpul părăseşte punctul de echilibru depărtându-se continuu de acesta. Această stare de echilibru este instabilă. Se constată, cu uşurinţă, că şi punctul de echilibru din figura 2.100.f este instabil.
Aceste exemple evidenţiază, sugestiv, sensurile fizice legate de stabilitatea în sens Leapunov şi permit o înţelegere mai uşoară a unor teoreme şi definiţii specifice stabilităţii.
2.6.1. Stabilitatea externă
Proprietatea unui sistem de a fi stabil extern (stabil intrare-ieşire) poate fi formulată astfel [2, 3]: Un SRA monovariabil liniar este stabil extern dacă pentru orice mărime de intrare mărginită r t M r , t 0, (2.688) mărimea de ieşire este, de asemenea, o funcţie mărginită yt M y , t 0, (2.689) unde M r , M y sunt mărimi pozitive oarecare. Corespunzător formulării de mai sus, acest tip de stabilitate se mai numeşte “intrare mărginită – ieşire mărginită” [IMEM sau BIBO (bounded input – bounded autput )].
Stabilitatea externă a SRA monovariabile netede şi invariante poate fi analizată cu ajutorul funcţiei pondere, răspunsului indicial şi răspunsului la frecvenţă [3].
2.6.1.1. Stabilitatea externă a SRA liniare netede şi invariante în raport cu pondere
funcţia
Pentru definirea stabilităţii externe se va pleca de la funcţia pondere:
w t L
unde
H 0 s , H 0 s Ys R s este funcţia de transfer a SRA. 1
(2.690)
Cunoscând funcţia pondere wt se poate determina răspunsul SRA pentru orice variabilă de intrare r t , astfel: t
yt w t r d, t ,
(2.691)
0
Deoarece în studiul stabilităţii variabila independentă t are valori mari, teoretic t , limită superioară a integralei (2.691) poate fi luată şi atunci yt y f t .
Se caută să se stabilească condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească w t şi H 0 s pentru ca SRA să fie stabil extern (stabil în sens IMEM). Definiţia 1. Un sistem monovariabil liniar neted şi invariant este stabil extern (stabil IMEM) dacă există un număr real M > 0 astfel încât: w t M, t 0, (2.692) Definiţia 2. Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem monovariabil liniar neted şi invariant să fie strict stabil IMEM este ca funcţia pondere wt să fie absolut integrabilă:
w ( ) d M , t R , 0
(2.693)
unde M > 0, iar wt 0 pentru t < 0. Pentru a demonstra condiţia necesară de stabilitate strictă IMEM se consideră că:
w ( ) d M , 0
iar r t este o variabilă de intrare mărginită rt M r , pentru toate valorile lui t > 0. Răspunsul sistemului, în condiţii iniţiale nule, în valori absolute este:
0
0
yt w r t d w r t d (2.694)
M r w d M r M 0
deci:
w ( ) d M ,
(2.695)
0
pentru toate valorile lui t > 0. În felul acesta , SRA este strict stabil IMEM. Condiţia suficientă de stabilitate IMEM, a SRA, se demonstrează arătând că dacă într-un caz particular condiţia (2.693) nu este satisfăcută, SRA nu este strict stabil. Se presupune că SRA este strict stabil IMEM, dar nu se respectă condiţia (2.693), deci:
w () d
(2.696)
0
Răspunsul sistemului, cu condiţii nule, la momentul t 1 , în care 0 t 1 t, se determinã utilizând relaţia: t1
yt 1 w t 1 r d ,
Se consideră cazul particular când mărimea de intrare este unitară, deci mărginită, exprimată astfel [19, 27]: w t 1 (2.697) r , w t 1 atunci, având în vedere relaţia (2.696), se poate scrie: t1
y t 1
t1
w t 1 w t 1
2
t1
d w t 1 d
(2.698)
w t 1 d
ceea ce contrazice ipoteza iniţială (relaţia (2.693)). De menţionat este faptul că funcţia pondere wt depinde de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice asociate funcţiei de transfer H 0 s , deci problema stabilităţii externe este o problemă de alocare a polilor raţionalei ireductibile H 0 s . 2.6.1.2. Criteriul fundamental de stabilitate Este important a stabili o corelaţie între poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice ale lui H 0 s şi proprietăţile funcţiei pondere, în scopul aprecierii stabilităţii externe a SRA. Prezintă interes, din punctul de vedere al stabilităţii, delimitarea în planul complex s a domeniului rădăcinilor stabile [3].
Conform cu relaţiile (2.181), (2.182) relaţiile dintre funcţia pondere wt şi funcţia de transfer H 0 s sunt următoarele: c j
1 st w t H 0 s e ds, t 0, 2j
(2.699)
c j
şi
H 0 s wt e st dt , s j ,
(2.700)
0
cu R es 0 în care 0 este abscisa de convergenţă absolută a integralei (2.700). În (2.699) integrarea trebuie să se facă pentru valori care aparţin intervalului care asigură convergenţa absolută a integralei (2.700). Funcţia de transfer a sistemului există numai în semiplanul variabilei complexe s, în partea dreaptă a dreptei verticale infinite care trece prin rădăcina ecuaţiei caracteristice cu cea mai mare parte reală, această parte reală reprezentând 0 . În (2.700) integrarea se face după dreapta verticală determinată prin relaţiile Ims pentru R es 0 , deci, în relaţia (2.699) se ia c 0 . Din punctul de vedere al stabilităţii prezintă interes rădăcinile ecuaţiei caracteristice dispuse în semiplanul stâng C al planului complex (corespunde rădăcinilor stabile), deci se adoptă 0 0 şi integrarea în (2.699) se face în lungul axei imaginare de la –j la + j. Funcţia H 0 s e st este
analitică în domeniul de convergenţă determinat de relaţia R es 0 , unde 0 0, dar are o singularitate esenţială în punctul s = . De aceea trebuie adăugată o curbă astfel încât axa verticală să formeze un contur închis (C), iar (2.699) pe acest contur închis să fie egală cu integrala efectuată pe axa verticală. Această curbă poate fi redată considerând semiplanul drept din planul complex s ca un semicerc, cu centrul în originea axelor planului s, de rază R tinzând spre infinit (rezultă din teorema rezidurilor şi lema lui Jordan), ca în figura 2.101.a. În felul acesta, este evitată singularitatea de la , iar domeniul delimitat de curbă şi axa imaginară reprezintă domeniul de convergenţă al integralei (2.699). Pentru t > 0, funcţia de transfer H 0 s nu poate avea singularităţi în domeniul de convergenţă. În caz contrar sistemul este instabil şi astfel de sisteme nu prezintă interes practic. Unele funcţii de transfer, cum sunt cele ale sistemelor deschise, au adesea poli pe axa imaginară a planului s, aceşti poli constituind puncte singulare care pot fi excluse din conturul C prin ocolirea lor cu circumferinţe de rază infinit mică, aşa cum se arată în figura 2.101.b. Conturul C din figurile 2.101.a şi 2.101.b poartă denumirea de contur Nyguist [2, 3, 8, 9]. Conform relaţiei (2.362) funcţia de transfer a SRA nu poate avea poli în origine.
Fig. 2.101 Integrala (2.699) se rezolvă utilizând teorema reziduurilor şi pentru t > 0:
c j
1 wt H 0 s e st d s 2j
reziduurilor funcţiei H 0 s
c j
în punctele singulare din stânga abscisei.
Pentru o funcţie de transfer, asistemului închis, realizabilă fizic (de forma (2.151) cu n > m), funcţia pondere w(t), pentru t>0, a sistemului închis, este o funcţie continuă şi satisface ecuaţia diferenţială omogenă, asociată lui H 0 (s) . Deoarece SRA este liniar, conform principiului superpoziţiei, funcţia pondere wt poate fi redată astfel: n
w t w i t , i 1
(2.701) unde w i t
reprezintă contribuţia fiecărei rădăcini, a ecuaţiei caracteristice a SRA, la răspunsul wt . Prin criteriul fundamental de stabilitate se exprimă condiţiile de stabilitate în funcţie de poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex, astfel [3]: Teoremă. Un SRA monovariabil liniar invariant este strict stabil IMEM dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului închis au partea reală strict negativă [2, 3]. În condiţiile teoremei de mai sus, R e i 0, i 1, n fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice, fiecare termen din (2.701) satisface condiţia lim w i t 0, t
şi deci: lim w t 0, t
(2.702)
ceea ce conduce la satisfacerea condiţiei (2.693). Relaţia (2.702) corespunde SRA strict stabil IMEM. Teoremă. Un SRA monovariabil liniar neted invariant este stabil IMEM dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului închis au partea reală negativă sau nulă, iar acei poli care au partea reală nulă trebuie să fie simpli [2]. În condiţiile teoremei menţionate, fiecare termen din (2.701), care reprezintă contribuţia unui pol cu partea reală strict negativă, se amortizează pentru t , iar termenul care corespunde unei perechi de rădăcini conjugate dispuse pe axa imaginară este mărginit (funcţiile cos şi sin fiind mărginite). Un astfel de SRA se spune că se află la limită de stabilitate. În practică sunt utilizate SRA strict stabile. Din cele prezentate a rezultat că pentru aprecierea stabilităţii IMEM se impune determinarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice. Există metode, numite criterii de stabilitate, care permit aprecierea stabilităţii fără a determina rădăcinile ecuaţiei caracteristice. Se deosebesc criterii de stabilitate algebrice şi criterii de stabilitate frecvenţiale.
2.6.2. Stabilitatea internă
În cazul SRA liniare netede şi invariante se studiază stabilitatea stărilor (punctelor) de echilibru. Se consideră ecuaţia omogenă aferentă ecuaţiei matriceale intrare-stare (2.632): t AXt , (2.703) X O stare (punct) de echilibru satisface condiţia: t 0 , (2.704) X Se consideră punctul de echilibru caracterizat de vectorul coloană al variabilelor de stare T X e x1e x 2e x ne , în care variabilele de stare (coordonatele vectorului de stare) x ie , i 1, n , sunt constante.
Evoluţia liberă a sistemului, pentru t t 0 , datorată unor condiţii iniţiale (impuse la momentul t t 0 ) din vecinătatea punctului de echilibru este descrisă de o traiectorie de stare pe care o numim
mişcare perturbată. Stabilitatea punctului de echilibru înseamnă, din punct de vedere geometric, că în orice moment t t 0 punctul de pe traiectoria de stare a mişcării perturbate se găseşte într-o vecinătate destul de mică a punctului de echilibru X e . Punctul de echilibru este instabil dacă,
pentru t t 0 , mişcarea perturbată se depărtează continuu de acest punct, oricât de mici ar fi condiţiile iniţiale care scot sistemul din echilibru. Analiza stabilităţii în vecinătatea punctului de echilibru X e poate fi redusă la analiza stabilităţii în vecinătatea centrului de coordonate al spaţiului stărilor. Acest lucru se obţine totdeauna printr-o schimbare de variabile, care din punct de vedere geometric corespunde unei translatări (fără rotaţie) a sistemului de coordonate, în punctul de echilibru considerat. Se presupune, în cele ce urmează, că translatarea este realizată şi se studiază stabilitatea în sens Liapunov a soluţiei banale X 0. Se poate demonstra că orice soluţie a ecuaţiei omogene (2.703) este stabilă dacă soluţia banală este stabilă [33]. Se consideră condiţia iniţială X t 0 din vecinătatea punctului (stării) de echilibru X 0. Se ştie că evoluţia liberă a sistemului, pentru t t 0 , este descrisă de ecuaţia:
0 X t t t X t , (2.705) X t e 0 0 0 În sens Liapunov, starea de echilibru X 0 a sistemului liber este stabilă dacă pentru orice număr real 0 existã un număr real ( depinde de ) astfel încât dacă starea iniţială satisface condiţia Xt 0 , (2.706) atunci Xt , t t 0 , (2.707) În relaţiile (2.706) şi (2.707) s-a considerat norma euclidiană a vectorilor respectivi. Starea (punctul) de echilibru X 0 a sistemului liber, este asimptotic stabilă dacă el este stabil şi în plus orice mişcare perturbată tinde către centrul de coordonate când teoretic t , deci: lim Xt 0, (2.708) A t t
t
În figura 2.102 se prezintă o interpretare geometrică, pentru cazul bidimensioanal n =2, a noţiunilor de stabilitate în sens Liapunov. În figura 2.102, domeniul din jurul stării de echilibru X 0 , în care pot lua valori stările iniţiale, este reprezentat prin cercul C cu centrul în originea axelor şi de rază , iar domeniul mărginit în care pot evolua mişcările libere perturbate este reprezentat prin cercul C de rază , [3]. În figura 2.102.a interpretarea geometrică corespunde situaţiei când soluţia banalã X 0 x 1e 0, x 2e 0 este stabilă, deoarece oricare ar fi starea iniţială (perturbată) X t 0 , deci în interiorul cercului C ,traiectoria de stare a mişcării perturbate, după normă, X t , la creşterea nelimitată a timpului rămâne în interiorul cercului C , deci X t , ,
t .
A rezultat că dacă starea X 0 este stabilă, atunci soluţia sistemului liber perturbat X t poate fi obţinută oricât de apropiată de soluţia banală, după normă, printr-o alegere corespunzătoare a condiţiilor iniţiale X t 0 . Conform Figurii 2.102.b, punctul de echilibru X 0 este instabil deoarece pentru o valoare 0 şi corespunzător o valoare , există o stare iniţială din interiorul cercului C căreia îi corespunde o traiectorie de stare care, după normă, depăşeşte domeniul mărginit de cercul C .
În figura 2.102.c punctul de echilibru X 0 este asimptotic stabil deoarece pentru orice stare iniţială din interiorul cercului C , traiectoria de stare a mişcării rămâne în interiorul cercului C şi în plus, când t , ea tinde către soluţia banală (originea centrului de coordonate).
Fig. 2.102 Altfel spus, starea de echilibru X 0 este asimptotic stabilă dacă ea este stabilă şi dacă toate mişcările libere care încep dintr-o stare iniţială oarecare, dar mărginită, tind către zero. Dacă domeniul din vecinătatea punctului de echilibru X 0 în care pot lua valori stările iniţiale este infinit, se spune că stabilitatea asimptotică este globală sau în mare [3]. Dacă domeniul din vecinătatea stării X 0 în care stările iniţiale satisfac condiţia de stabilitate asimptotică este limitat, stabilitatea asimptotică este locală sau în sens restrâns. Conform relaţiei (2.705) în care X t 0 este un vector coloană cu componente constante, rezultă că toate condiţiile de stabilitate impuse răspunsului liber perturbat, pot fi exprimate în raport cu matricea fundamentală a sistemului. Dacă ne referim la ecuaţia matriceală intrare-stare, rezultă că soluţia ecuaţiei de stare neomogene este stabilă (asimptotic stabilă) atunci şi numai atunci când este stabilă (asimptotic stabilă) soluţia ecuaţiei omogene asociate. Formulările şi interpretările geometrice prezentate conduc la următoarele definiţii ale stabilităţii în sens Liapunov, prezentate în continuare. A) Punctul de echilibru X 0 al sistemului liniar, caracterizat prin realizarea A, b, c T , este intern stabil dacă şi numai dacă norma matricei fundamentale este mărginită, adică există o constantă M >0 astfel încât: t t 0 M , t t 0 , (2.709)
Analizăm matricea fundamentală t t0 pentru justificarea stabilităţii definite prin relaţia
(2.709). Condiţia (2.709) este suficientă, în sensul că pentru un 0 dat, există un / M astfel încât dacă X t 0 atunci X t . Având în vedere proprietatea normei, din relaţia (2.705) rezultă: X t t t 0 X t 0 t t 0 X t 0
în care se presupune că funcţia t t 0 este mărginită:
Xt M Xt 0 ,
(2.710)
Dacă starea iniţială X t 0 satisface condiţia: X t 0 , M unde este arbitrar, din (2.710) se obţine: Xt , t t 0 ,
(2.711) (2.712)
deci punctul de echilibru X 0 este stabil în sens Liapunov. Condiţia (2.709) este necesară, în sensul că dacă soluţia banală X 0 este stabilă, atunci relaţia (2.712) este satisfăcută pentru t t 0 şi pentru X( t 0 ) .
B) Punctul de echilibru X 0 al sistemului liniar, caracterizat prin realizarea A, b, c T , este intern asimptotic stabil dacă matricea fundamentală, după normă, este mărginită şi tinde către zero atunci când t : t t 0 M , t t 0 , (2.713) şi
lim t t 0 0
(2.714)
t
Deoarece condiţiile stabilităţii asimptotice ale sistemului liniar liber sunt determinate în exclusivitate de norma matricei fundamentale, aceste condiţii coincid şi cu condiţiile stabilităţii asimptotice în mare. Deoarece X t t t 0 X t 0 şi lim t t 0 0, t
atunci lim Xt 0 , t
pentru toate stările iniţiale: Xt 0 Proprietăţile matricei fundamentale sunt determinate numai de valorile proprii ale matricei A. Deoarece condiţiile de stabilitate internă sunt impuse matricei fundamentale, rezultă că stabilitatea internă depinde numai de repartiţia valorilor proprii ale matricei A în planul complex. În raport de valorile proprii ale matricei sistemului A, cele două definiţii referitoare la stabilitatea internă mai pot fi redate astfel [3]: a) un sistem liniar neted invariant, caracterizat prin realizarea A, b, c T , este stabil intern ( X 0 este stabil) dacă şi numai dacă valorile proprii ale matricei A au toate partea reală negativă, iar cele care au partea reală nulă trebuie să fie valori proprii simple. b) un sistem liniar neted invariat A, b, c T este asimptotic stabil intern (punctul X 0 este asimptotic stabil) dacă şi numai dacă toate valorile proprii ale matricei A au partea reală negativă. Întotdeauna, stabilitatea asimptotică (internă) implică stabilitatea (externă) strictă. Implicaţia inversă are loc numai dacă forma primară a funcţiei de transfer este ireductibilă [2].
2.6.3. Criteriul de stabilitate Hurwitz Problema criteriilor de stabilitate, adică a evaluării stabilităţii fără a determina rădăcinile ecuaţiei caracteristice, pentru sisteme descrise de ecuaţii diferenţiale de orice ordin, a fost formulată de Maxwell în anul 1868. Această problemă, a fost rezolvată, pentru prima dată, sub formă algebrică de Routh în anul 1873 pentru ecuaţii de ordinul patru şi cinci, iar în anul 1877 – complet (criteriu cunoscut sub denumirea de criteriul Routh). Independent de Routh, matematicianul Adolf Hurwitz, la solicitarea profesorului slovac
Stodel care se ocupa cu procesele de reglare a turbinelor, în anul 1895 a formulat criteriul algebric de stabilitate care-i poartă numele. S-a demonstrat în 1911 (Bompiani) că cele două criterii de stabilitate, Routh şi Hurwitz, sunt echivalente. Deoarece criteriul Routh are un algoritm de calcul mai incomod, o largă utilizare a primit criteriul Hurwitz [26]. În continuare, se prezintă criteriul de stabilitate Hurwitz fără a fi demonstrat. Criteriul de stabilitate este reprezentat de Hurwitz sub formă de determinanţi. Considerăm un SRA monovariabil liniar neted invariant descris de următoarea funcţie de transfer (relaţia 2.353):
Ys b m s m b1s b 0 Bs H 0 s , n m, R s d n s n d 1s d 0 Ds
(2.715)
Polinomului caracteristic
D s d n s n d n 1s n 1 d 1s d 0 ,
(2.716) i se asociază determinantul lui Hurwitz care se construieşte astfel: pe diagonala principală se trece coeficienţii polinomului caracteristic Ds scris în ordinea descrescătoare a puterilor lui s, ca în relaţia (2.716), începând cu d n 1 şi până la d 0 ; pe fiecare coloană sub diagonala principală se trece coeficienţii termenilor de grad superior, iar deasupra diagonalei principale se trec coeficienţii termenilor de grad inferior; locurile rămase libere, după epuizarea coeficienţilor, se completează cu zerouri. Determinantul Hurwitz construit cu coeficienţii polinomului caracteristic Ds este de forma:
d n 1 d n 0 0 n 0 0 0
d n 3 d n 2
d n 5 d n 4
d n 1
d n 3
dn
d n 2
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 , d2 d0 0 d 3 d1 0 d 4 d 2 d 0
0 0
0 0
(2.717)
Notăm rădăcinile ecuaţiei caracteristice Ds 0 cu i , i 1, n , atunci formulăm criteriul de stabilitate Hurwitz, astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca rădăcinile polinomului caracteristic Ds d n s n d n 1s n 1 d 1s d 0 , d i 0, i 0,1,2, , n (2.718) să fie toate plasate în C , deci R e i 0, este ca determinantul Hurwitz precum şi toţi minorii principali ai acestuia, să fie strict pozitivi j 0, j 1,2, , n.
Criteriul Hurwitz precizează condiţiile pentru ca SRA să fie strict stabil.
Un polinom cu coeficienţi reali, peste C, se numeşte hurwitzian dacă are toate rădăcinile plasate în C , deci partea reală strict negativă. Un polinom hurwitzian are toţi coeficienţii strict pozitivi. Deci pentru ca SRA să fie strict stabil este necesar şi suficient ca polinomul caracteristic al acestuia să fie hurwitzian. De exemplu, polinomul s 3 3s 2 1 nu este hurwitzian deoarece coeficientul lui s este zero. Nu este hurwitzian nici polinomul s 4 s 3 3s 2 2 s 1. Se verifică cu uşurinţă, că pentru polinoamele de ordinul unu şi doi condiţia coeficienţilor strict pozitivi este nu numai necesară, dar şi suficientă pentru ca rădăcinile acestora să fie plasate în C (să aibă partea reală strict negativă). Pentru polinoame de ordin superior condiţia coeficienţilor strict pozitivi este necesară dar nu şi suficientă. De exemplu, toţi coeficienţii polinomului s 3 s 2 s 6 sunt strict pozitivi, dar din cele trei rădăcini 2, 1 j 11 2 , 1 j 11 2 două sunt poziţionate în
C. După Hurwitz, condiţia ca SRA să se afle la limită de stabilitate (deci stabil IMEM) este ca:
n d 0 n 1 0,
(2.719)
n 1 0,
(2.720)
de unde:
Hurwitz a demonstrat că dacă n 1 0, în condiţiile în care toţi ceilalţi determinanţi minori principali sunt strict pozitivi, ecuaţia caracteristică admite două rădăcini imaginare conjugate [26, 8]. Un inconvenient esenţial a criteriului Hurwitz constă în faptul că pentru ecuaţii de ordin superior se obţine răspunsul numai la întrebarea dacă sistemul este stabil sau instabil.
2.6.4. Criterii frecvenţiale de stabilitate
În baza răspunsului la frecvenţă, fără a determina rădăcinile ecuaţiei caracteristice a SRA, au fost concepute reguli prin care se stabilesc condiţiile necesare şi suficiente pentru ca rădăcinile polinomului caracteristic Ds 0 să fie dispuse în C . Aceste reguli se numesc criterii frecvenţiale de stabilitate. Criteriile frecvenţiale de stabilitate se bazează pe teoria funcţiilor de variabilă complexă (teoria reziduurilor, principiul variaţiei argumentului etc.). 2.6.4.1. Consideraţii asupra principiului variaţiei argumentului Principiul variaţiei argumentului unei funcţii de variabilă complexă poate fi dedus plecând de la reziduul logaritmic [2, 3, 17] sau în baza unei interpretări geometrice simple [11, 15, 21]. În continuare se tratează posibilitatea a doua. Analizăm un polinom oarecare de variabilă complexă Ns , de gradul n, cu coeficienţi reali şi constanţi, de forma: N s c n s n c n 1s n 1 c1s c 0 , s j, (2.721) care poate fi scris sub forma:
Ns c n s s1 s s 2 s s K s s n ,
(2.722)
unde s i , i 1, n, sunt rădăcinile ecuaţiei Ns 0. Rădăcinile s i , în general, pot fi dispuse atât în semiplanul complex C , cât şi în semiplanul C . Se consideră că pe axa imaginară a planului complex s nu se găsesc dispuse rădăcini.
Trecem (2.722) în domeniul frecvenţial făcând substituţia s j şi se obţine: N j x jy c n j s1 j s 2 j s K j s n , (2.723) 0 . unde Relaţia (2.723) poate fi adusă la forma: n
N j c n N i e i 1
unde
n
ji
N e j ,
N N j c n N i i 1
este
(2.724)
modulul
vectorului
N j,
N i e
ji
n
j s i ; N i j s i ; i arg j s i ; i arg N j este argumentul lui i 1
N j.
Se pune problema de a determina variaţia argumentului vectorului N j când variază de la 0 la . Variaţia argumentului vectorului N j când 0 este egală cu suma algebrică a variaţiei argumentelor termenilor de forma j s i pentru 0 , deci se poate scrie: n
arg N j 0 arg j si 0
i 1
Se determină pentru termenul j s i variaţia argumentului:
(2.735)
arg j s i 0 ,
(2.726)
pentru următoarele cazuri frecvent întâlnite: Cazul 1. Rădăcina s 1 este reală negativă şi simplă (stabilă) s1 1 , unde 1 0. Corespunzător j s1 1 j. Construim hodograful acestui vector pentru 0 . Pentru 0, rezultă x 0 1 , iar y0 0; acest punct corespunde punctului A1 de pe axa reală din figura 2.103.a. La modificarea pulsaţiei 0 , capătul vectorul 1 j rămâne în centrul de coordonate, iar vârful vectorului (punctul B) se deplasează pe dreapta verticală care trece prin punctul A1 ; vectorul 1 j se va roti cu 1 / 2 radiani în sens pozitiv (sens trigonometric direct), deci: arg 1 j 0 / 2,
(2.727)
Fig. 2.103
Cazul 2. Rădăcina s 2 este reală pozitivă şi simplă s 2 C , deci s 2 2 , cu 2 0. Atunci
j s 2 2 j.
În mod analog cazului 1, se construieşte hodograful vectorului
2 j,
reprezentat în figura 2.103.b şi se constată că pentru 0 , vectorul se va roti, cu 2 / 2 radiani, în sensul invers trigonometric (sens negativ), deci:
arg 2 j 0 / 2,
(2.728)
Cazul 3. Se consideră două rădăcini s 3 , s 4 complexe conjugate cu partea reală negativă
s 3, 4 j. Termenii corespunzători din (2.723) sunt de forma: j j şi j j. Pentru
0, poziţia celor doi vectori este redată prin punctele A 3 şi A 4 din figura 2.104.a. Primul vector,
j j,
pentru 0, este rotit în raport cu axa reală, în sens invers trigonometric, cu unghiul
arctg , iar al doilea, j j, este rotit cu acelaşi unghi în sens direct trigonometric.
a)
Fig. 2.104
b)
arg j s 3 j s 4 0 arg j s 3 0
(2.729) arg j s 4 0 , 2 2 Cazul 4. Dacă avem două rădăcini complexe conjugate cu partea reală pozitivă (aparţin C ) s 5, 6 j, atunci (figura 2.104.b): arg j s 5 j s 6 0 , (2.730) 2 2 Presupunem că Ns 0 are k rădăcini instabile (în C ) şi corespunzător (n – k) rădăcini stabile (în C ). În acest caz variaţia argumentului hodografului N j când 0 , conform cu (2.725) şi în baza cazurilor analizate, va fi: arg N j 0 n k k n 2k , (2.731) 2 2
Dacă toate rădăcinile sunt poziţionate în C R esi 0, i 1, n , deci k = 0, atunci: arg N j 0 n , (2.732) 2 Relaţiile (2.731), (2.732) rămân valabile indiferent dacă rădăcinile lui Ns 0 sunt simple sau multiple. Dacă polinomul N s este polinomul caracteristic asociat ecuaţiei diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi care descrie tranziţia intrare-ieşire sau funcţiei de transfer a sistemului automat închis, atunci relaţia (2.732) reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca SRA să fie strict stabil IMEM. În cazul în care , relaţia (2.731) devine: arg N j n 2k ,
(2.733)
iar relaţia (2.732):
arg N j n,
(2.734)
2.6.4.2. Criteriul de stabilitate Mihailov Criteriul de stabilitate Mihailov (formulat de Mihailov în anul 1936) este un criteriu frecvenţial, care utilizează polinomul caracteristic al sistemului automat închis. Având cunoscută funcţia de transfer a sistemului automat închis (relaţia 2.715) expresia polinomului caracteristic, conform cu (2.716), este: D s d n s n d 1s d 0 , d n 0, (2.735) În (2.735) făcând substituţia s j se trece în domeniul frecvenţial: D j x jy, (2.736) Caracteristica de frecvenţă D j poartă denumirea de hodograful lui Mihailov [8, 10]. Hodograful lui Mihailov are proprietatea că D j0 x 0 d 0 , care rezultă din proprietăţile lui x şi y. Relaţia (2.732), în care se consideră N j D j, reprezintă condiţia necesară şi suficientă ca sistemul automat închis să fie strict stabil IMEM. În baza relaţiei (2.732) se formulează criteriul de stabilitate Mihailov, astfel: Pentru ca polinomul caracteristic cu coeficienţi reali: Ds d n s n d 1s d 0 , cu d n 0, care nu are rădăcini pur imaginare, să fie un polinom Hurwitz este necesar şi suficient ca hodograful lui Mihailov trasat pentru pulsaţii 0 să parcurgă succesiv în sens direct trigonometric n cadrane [30].
Polinomul caracteristic Ds nu este hurwitzian şi respectiv sistemul dinamic corespunzător nu este stabil, dacă sensul de parcurgere al cadranelor este invers trigonometric, sau dacă numărul cadranelor parcurse este mai mic decât gradul polinomului Ds , [3]. În figura 2.105.a sunt prezentate hodografele Mihailov pentru sisteme strict stabile IMEM, având n = 1, 3, 5. Pentru n = 3 hodograful D j se roteşte în jurul centrului de coordonate în sens direct trigonometric, la creşterea pulsaţiei 0 , parcurgând succesiv cadranele I, II şi III. În cadranul III modulul vectorului D j tinde spre infinit când . În cazul n = 5 hodograful
D j parcurge succesiv cadranele I, II, III, IV şi din nou cadranul I. Dacă nu sunt îndeplinite condiţiile formulate în criteriu SRA este instabil. De exemplu, în figura 2.105. b curba 1 (pentru n = 1) corespunde situaţiei când hodograful Mihailov, pentru 0, nu începe de pe semiaxa reală pozitivă, iar curba 2 (pentru n = 2) nu respectă sensul trigonometric direct şi deci nici succesiunea cadranelor parcurse. Dacă hodograful Mihailov trece prin centrul de coordonate, aşa cum este hodograful 1 din figura 2.105. c, pentru n = 3, atunci polinomul caracteristic are rădăcini imaginare conjugate şi SRA se află la limită de stabilitate.
a)
b)
Fig. 2.105
c)
Dezavantajul acestui criteriu constă în faptul că nu permite a evalua influenţa parametrilor sistemului automat deschis asupra stabilităţii. 2.6.4.3. Criteriul de stabilitate Nyquist Este un criteriu frecvenţial de stabilitate, formulat de Nyquist în anul 1932, care permite aprecierea stabilităţii sistemului automat închis utilizând locul de transfer a sistemului automat deschis, sau caracteristicile logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie (diagramele Bode) ale sistemului deschis. Avantajul criteriului de stabilitate Nyquist constă tocmai în faptul că stabilitatea sistemului închis se apreciază în baza răspunsului la frecvenţă a sistemului deschis [1]. Iniţial acest criteriu s-a referit la stabilitatea amplificatoarelor cu reacţie, iar ulterior datorită lucrărilor lui Cauchy, Mihailov şi altora, el a fost extins şi la sisteme automate [8]. Considerăm un SRA cu reacţie principală directă, ca în figura 2.47.a. Funcţia de transfer a sistemului automat deschis, de tipul 0 , se scrie sub forma: Ys b m s m b1s b 0 Bs H d s , n m, (2.737) s As a n s n a 1s a 0 iar funcţia de transfer a sistemului închis (relaţia 2.715) este: H d s Ys Bs b m s m b1s b 0 (2.738) H 0 s , n m, R s 1 H d s Ds d n s n d 1s d 0 Ecuaţia caracteristică a sistemului automat închis este de forma: Fs 1 H d s 0, iar cu notaţiile din (2.737) devine:
(2.739)
Bs As Bs Ds (2.740) 0, As As As Se constată din (2.737) şi (2.740) că ecuaţia As 0 este ecuaţia caracteristică a sistemului automat deschis, iar rădăcinile acesteia reprezintă şi polii funcţiei Fs 1 H d s . Din relaţiile Fs 1
(2.738), (2.740) rezultă că ecuaţia Ds 0 este ecuaţia caracteristică a sistemului automat închis, dar rădăcinile acesteia sunt şi zerourile funcţiei Fs . S-a arătat că grad As grad Ds n. Notând cu s i , i 1, n polii expresiei Fs , deci rădăcinile ecuaţiei As 0, şi cu s i , i 1, n zerourile expresiei Fs , deci rădăcinile ecuaţiei Ds 0, relaţia (2.740) primeşte forma: s s1 s s 2 s s n Fs 1 H d s C 0 0, (2.741) s s 1 s s 2 s s n
unde C 0 este o constantă care este diferită de unitate în cazul când coeficienţii termenilor reprezentând cele mai mari puteri ale variabilei s sunt diferiţi de unitate. Considerăm că Ds 0 are l rădăcini instabile şi corespunzător (n – l) rădăcini stabile, iar ecuaţia As 0 are k rădăcini instabile şi (n – k) rădăcini stabile. Trecem funcţia Fs 1 H d s în domeniul frecvenţial făcând substituţia s j şi determinăm
variaţia argumentului vectorului F j 1 H d j când pulsaţia variază . Având în vedere că: arg F j arg D j arg A j, (2.742) şi aplicând relaţia (2.733) pentru D j şi A j se obţine: arg 1 H d j n 2l n 2 k 2 k l ,
(2.743)
Pentru ca sistemul automat închis să fie strict stabil IMEM (polinomul Ds să fie hurwitzian) este necesar şi suficient ca toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice ale sistemului automat închis să fie stabile (situate în semiplanul stâng al planului rădăcinilor), deci l = 0 şi atunci: arg1 H d j 2k , (2.744) Relaţia (2.744) exprimă condiţia necesară şi suficientă pentru ca SRA să fie strict stabil IMEM în condiţiile în care sistemul automat deschis este instabil, ecuaţia sa caracteristică având k rădăcini instabile (situate în C , deci cu partea reală strict pozitivă). Dacă ecuaţia caracteristică a sistemului automat deschis As 0 are toate rădăcinile poziţionate în C , deci cu partea reală strict negativă, şi deci k = 0, atunci (2.744) conduce la relaţia: arg1 H d j 0, (2.745)
Relaţia (2.745) exprimă condiţia necesară şi suficientă pentru ca SRA să fie strict stabil IMEM în condiţiile în care sistemul automat deschis este strict stabil. Dacă hodograful vectorului F j 1 H d j se trasează pentru 0 , atunci relaţia (2.744) devine: arg1 H d j k , (2.746) În planul locului de transfer H d j, a sistemului automat deschis, centrul de coordonate al vectorului 1 H d j corespunde punctului de coordonate 1, j0, care se numeşte punct critic de stabilitate (figura 2.106).
În figura 2.106 se prezintă, pentru un SA de tipul 0 şi k 0, locul de transfer H j al sistemului deschis şi punctul critic de stabilitate 1, j0. În unele lucrări de specialitate [1, 2, 5, 21] Fig. 2.106 sunt prezentate două variante ale criteriului Nyquist, una denumită criteriul simplificat (corespunzător relaţiei (2.745), iar celălalt este denumit criteriul generalizat (corespunzător relaţiei (2.744)). În continuare, sunt redate cele două variante ale criteriului Nyquist. Varianta generalizată se referă la sistemele deschise care conţin k poli în semiplanul drept al planului rădăcinilor şi se enunţă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca sistemul închis să fie intern asimptotei stabil este ca locul de transfer al sistemului deschis să înconjoare în sens antiorar punctul critic 1, j0 de k ori, atunci când variază de la - la . Varianta simplificată se referă la situaţia când sistemul automat deschis nu are poli în semiplanul drept C şi nici pe axa imaginară şi se enunţă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem automat închis să fie intern asimptotic stabil, în cazul în care H d s are polii în C , este ca locul de transfer al sistemului deschis parcurs pentru pulsaţii crescătoare pe intervalul [0, ) să nu înconjoare critic 1, j0. Astfel spus, punctul critic 1, j0 să se găsească în afara locului de transfer H d j al sistemului deschis pentru [0, ) . Relaţiile (2.744) şi (2.745) sunt stabilite pentru situaţia când funcţia de transfer a sistemului deschis nu conţine poli în origine. Se demonstra că pentru sistemele automate de tipul 1,2, criteriul Nyquist se aplică corespunzător celor două variante formulate [1, 2]. Hodograful din figura 2.106, reprezentat pentru un SA de tipul 0 şi cu k 0, corespunde unui SRA asimptotic stabil. În figura 2.107.a se prezintă locul de transfer corespunzător unui SA de tipul 0, stabil în stare deschisă (k= 0), dar instabil în stare închisă.
Fig. 2.107 În figura 2.107.b se prezintă l.d.t. al unui SA deschis instabil, de tipul 0, având k = 2 (2 rădăcini instabile). Deoarece vectorul [1 H d j] (vectorul AB din fig. 2.107. b) la creşterea
pulsaţiei 0, , se roteşte în jurul punctului critic de stabilitate 1, j0 în sens direct trigonometric (sens pozitiv) cu unghiul 2, denotă faptul că SRA este asimptotic stabil (conform relaţiei (2.746)). În cazul când , , locul de transfer al sistemului deschis se roteşte în jurul punctului critic de stabilitate 1, j0 de două ori (cu 4 radiani), îndeplinindu-se condiţia de stabilitate asimptotică (2.744) pentru k = 2. În figura 2.107.b cu linie punctată este reprezentat l.d.t. negativ, deci pentru ,0. În cazul unor f.d.t. H d s mai complexe, pentru a evita dificultăţile referitoare la stabilirea unghiului de rotaţie pe care îl face vectorului 1 H d j în jurul punctului critic, se poate da o formulare echivalentă criteriului Nyquist, utilizând regula trecerilor (sau regula lui Ţîpkin [22, 11]). Corespunzător regulii trecerilor (lui Ţîpkin) se analizează punctele de intersecţie ale l.d.t. H d j
cu porţiunea din semiaxa reală negativă, dispusă în stânga punctului critic de stabilitate 1, j0, deci în porţiunea U ,1 şi V 0. Se deosebesc treceri pozitive şi respectiv treceri negative. Dacă l.d.t. H d j intersectează semiaxa reală negativă, în porţiunea ,1, de sus în jos, pentru valori crescătoare ale pulsaţiei , atunci trecerea este pozitivă şi i se atribuie valoarea (+1), iar dacă trecerea este de jos în sus se formează o trecere negativă şi i se atribuie valoarea (1). În cazul când l.d.t. H d j începe (pentru 0 dintr-un punct de pe semiaxa reală negativă, U() (,1] şi cu creşterea pulsaţiei hodograful H d j se continuă în cadranul III, atunci punctului iniţial (considerat ca semitrece pozitivă) i se atribuie valoarea (+1/2). În cazul când l.d.t. H d j se continuă în cadranul II al planului H d j , punctul iniţial se consideră o semitrecere negativă şi i se atribuie valoarea (-1/2). Având în vedere regula trecerilor, criteriul de stabilitate Nyquist în varianta generalizată poate fi formulată astfel: Dacă sistemul automat deschis este instabil şi ecuaţia sa caracteristică are k rădăcini în C , atunci pentru ca SA închis să fie asimptotic stabil este necesar şi suficient ca diferenţa dintre numărul trecerilor pozitive şi numărul trecerilor negative, ale l.d.t. H d j, dispuse pe semiaxa reală negativă în porţiunea ,1, să fie egală cu k/2, la creşterea pulsaţiei de la 0 la . Conform acestei reguli, referindu-ne la figura 2.107.b se constată că l.d.t. a sistemului deschis are o trecere pozitivă în punctul C, iar treceri negative nu are. Deoarece în acest caz k = 2, diferenţa dintre numărul trecerilor pozitive şi negative trebuie să fie egal cu unitatea, condiţie care este îndeplinită, deci SRA este asimptotic stabil. Se poate arăta că sistemele a căror funcţie de transfer în stare deschisă este de forma: K H d s d G s , G 0 1, în care 2, sunt instabile [1]. De exemplu, pentru un sistem s K , deschis a cărui funcţie de transfer este de forma H d (s) 3 d s Ts 1 locul de transfer H d j este reprezentat în figura 2.108.a. Sistemul este instabil indiferent de valoarea lui K d . Un sistem automat liniar este la limită de stabilitate (funcţionează cu oscilaţii de amplitudine constantă) dacă locul de transfer H d j trece prin punctul critic de stabilitate 1, j0. În figura 2.108.b se prezintă diagramele Nyquist pentru două SA de tipul 1, care nu au poli în C . Un SA închis este asimptotic stabil , iar celălalt se află la limită de stabilitate (l.d.t. trece prin punctul critic de stabilitate).
Fig. 2.108 Dacă SRA nu are reacţie principală directă, ci pe acest circuit se găseşte un element (un traductor de reacţie) cu funcţia de transfer H TR s , ca în figura 2.109, atunci f.d.t. a sistemului închis devine:
H 0 s
H d s Ys , R s 1 H d (s) H TR s
(2.747)
şi deci expresia Fs din (2.739) capătă forma: Fs 1 H d s H TR s 0 ,
Fig. 2.109 Pentru aplicarea criteriului Nyquist se reprezintă locul de transfer H d j H TR j pentru
, , apreciindu-se stabilitatea sistemului conform variantelor formulate dar, în acest caz, în funcţie de poziţia relativă a punctului critic 1, j0 în raport cu l.d.t. H d j H TR j. Criteriul Nyquist permite aprecierea gradului de stabilitate (rezervei de stabilitate), indicând cât de departe sau de aproape se găseşte sistemul de limita de stabilitate [1]. Problema gradului de stabilitate poate fi abordată în planul rădăcinilor, în planul l.d.t. a SA deschis H d j sau în baza caracteristicilor logaritmice de frecvenţă A dB şi ale SA deschis (se apelează la criteriul Bode). În planul rădăcinilor situaţia limită este dată de axa imaginară (care este axa limitei de stabilitate), iar în planul H d j limita de stabilitate corespunde trecerii l.d.t. prin punctul critic 1, j0.
Admiţând că H d s este de fază minimă (polii şi zerourile lui H d s sunt situaţi în C , în planul H d j se apreciază gradul de stabilitate (rezerva de stabilitate) a unui SRA în baza a doi indicatori sintetici [1, 2]: a) Marginea de amplitudine (rezerva de modul), notată cu M A , mărime adimensională; b) Marginea de fază (rezerva de fază), notată cu M , măsurată în grade. Pentru definirea celor doi indicatori sintetici se apelează la diagramele prezentate în figura 2.110. În această figură s-au considerat trei locuri de transfer asociate aceleaşi funcţii de transfer de fază minimă H d s , dar cu valori diferite ale factorului total de amplificare a sistemului deschis K d . Astfel, l.d.t. H d1 j corespunde sistemului strict stabil extern (l.d.t. 1 din fig. 2.110), H d 2 j corespunde sistemului la limită de stabilitate (l.d.t. 2 din fig. 2.110), iar H d 3 j corespunde sistemului instabil (l.d.t. 3 din fig. 2.110) . În cazul considerat 1. În figura 2.110, s-a notat cu t pulsaţia de tăiere care se bucură de proprietatea că A t 1, iar cu pulsaţia pentru care argH d j . În figura 2.110 este trasat cercul de rază unitară şi este de menţionat că porţiunea din l.d.t. din exteriorul cercului corespunde pulsaţiilor pentru care are loc o amplificare a semnalului, iar porţiunea din interiorul cercului corespunde pulsaţiilor pentru care se obţine o atenuare a semnalului.
Fig. 2.110 Punctele A,B,C corespund intersecţiei l.d.t. cu semiaxa reală negativă. Pulsaţiile corespunzătoare acestor puncte satisfac condiţia argH d j . , menţionată mai sus. Cercul de rază unitară intersectează locurile de transfer în punctele corespunzătoare pulsaţiilor de tăiere. Din figura 2.110 se constată că în cazul sistemului stric stabil extern (l.d.t. 1) pulsaţia de tăiere este mai mică decât pulsaţia corespunzătoare punctului A, deci t1 1 , iar OA A( 1 ) 1. Faza t1 0 deoarece este măsurată în sens invers trigonometric, deci în sens negativ. Locul de transfer al sistemului aflat la limită de stabilitate trece prin punctul critic (-1,j0), care corespunde punctului B din figura 2.110. Caracteristic punctului B este faptul că t 2 2 . Faza
corespunzătoare acestei pulsaţii este 2 180 0 , iar OB A( 2 ) 1. Privind sistemul instabil, se constată că t 3 3 şi OC A( 3 ) 1.
Marginea de amplitudine M A este definită ca raportul dintre unitate şi modulul vectorului
H d j corespunzător pulsaţiei , la care unghiul de fază este 180 . def
MA
1 1 , H d j A
(2.748)
Marginea de fază M se defineşte ca unghiul pe care îl face vectorul complex de modul unitar H d j t cu semiaxa reală negativă. def
M 180 t , t 0,
(2.749)
sau, se mai scrie def
M 180 argH d j t , argH d j t 0 Pentru SRA asimptotic stabil, cum este sistemul cu l.d.t. 1 din figura 2.110, se obţine: M A 1, M 0, t . Pentru SRA la limită de stabilitate, l.d.t. 2 trece prin punctul critic de
stabilitate 1, j0 şi deci M A 1, M 0 (deoarece t 2 180 , t 2 . În cazul SRA instabile, cum este sistemul descris prin l.d.t. 3 din figura 2.110, se constată că M A 1, M 0, t .
0 0 În practică se recomandă M 20 45 şi M A 2 10 pentru ca sistemul să aibă un grad bun de stabilitate. De menţionat este faptul că, în prezent, sunt produse software specializate care permit determinarea cu uşurinţă a rezervei de stabilitate.
2.6.4.4. Criteriul practic al lui Bode Acest criteriu permite aprecierea stabilităţii sistemului închis în baza caracteristicilor logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie ale sistemului deschis. Criteriul practic al lui Bode reprezintă tratarea logaritmică a criteriului de stabilitate Nyquist. Aplicarea criteriului lui Bode presupune ca sistemul în circuit deschis H d s să fie de fază minimă. În acest caz caracteristica logaritmică se poate obţine cunoscând caracteristica AdB , deci este suficient să se cunoască, în astfel de cazuri, numai caracteristica logaritmică amplitudinepulsaţie. După cum s-a văzut, clasa sistemelor de fază minimă este foarte largă şi, de exemplu, ea cuprinde elementele de întârziere de ordinul I, elementele de întârziere de ordinul II, elementele derivative de ordinul I şi II, combinaţii ale acestora etc. Sistemul închis este intern asimptotic stabil dacă şi numai dacă sunt satisfăcute condiţiile: a) funcţia de transfer H d s este o funcţie raţională ireductibilă;
b) caracteristica asimptotică amplitudine-pulsaţie AdB este monoton descrescătoare cu pulsaţia şi are panta asimptotei de joasă frecvenţă egală cu 0 sau – 20 dB/dec; c) caracteristica AdB este simetrică (sau cvasisimetrică) faţă de pulsaţia de tăiere t , panta la această pulsaţie fiind – 20 dB/dec. În coordonate logaritmice, pulsaţia de tăiere t se află la intersecţia caracteristicii logaritmice A dB cu axa pulsaţiilor deoarece A t 1 şi A dB 20 lg A t 0. Deoarece , rezultă că pulsaţia se găseşte la intersecţia caracteristicii semilogaritmice cu orizontala corespunzătoare valorii . În figura 2.111 sunt prezentate diagramele Bode pentru un SRA intern asimptotic stabil. Se constată că t , SRA fiind intern asimptotic stabil. Din figura 2.111 rezultă că segmentul AB din caracteristica fază-pulsaţie corespunde valorii t , iar segmentul BC, conform relaţiei (2.749), reprezintă marginea de fază M 0. Corespunzător pulsaţiei , pe caracteristica A dB se determină marginea de amplitudine M A dB. Marginea de amplitudine exprimată în
decibeli devine M A dB 20 lg1 A 20 lg A şi corespunde segmentului DE.
Fig. 2.111
2.7. METODA LOCULUI RĂDĂCINILOR (facultativ)
Repartiţia în planul complex a zerourilor şi polilor funcţiei de transfer a sistemului închis, determină în totalitate proprietăţile dinamice ale acestuia. Deoarece funcţia de transfer H 0 s a sistemului închis, cu reacţie principală directă, este legată de funcţia de transfer H d s a sistemului deschis
prin relaţia H 0 s H d s 1 H d s , rezultă că există o legătură între repartiţia zerourilor şi polilor funcţiei de transfer H 0 s şi repartiţia polilor şi zerourilor f.d.t. H d s . Zerourile şi polii funcţiei de transfer a sistemului deschis, de regulă, se cunosc. Metoda locului rădăcinilor, elaborată de W.R. Evans în 1948 – S.U.A., permite cunoscând repartiţia zerourilor şi polilor f.d.t. a sistemului deschis să se stabilească sensul şi caracterul modificării polilor funcţiei de transfer a sistemului închis, în planul complex, atunci când variază un parametru al SRA. Metoda este utilizată în analiza şi sinteza SRA liniare fără timp mort [2]. Cel mai des, în calitate de parametru variabil al SRA se alege factorul total de amplificare K d a sistemului deschis. Se scrie funcţia de transfer a sistemului deschis sub forma: m
b Ys Bs H d s Kd Kd m s As an
s z k k 1 n
s p i 1
, n m,
(2.750)
i
unde: Bs b m s m b m1s m1 ... b1s 1; As a n s n ... a 1s 1; z k , k 1, m sunt zerourile, iar p i , i 1, n sunt polii funcţiei de transfer H d s .
devine:
Având în vedere relaţia (2.750), funcţia de transfer a SRA, considerat cu reacţie principală directă,
K d Bs K Bs Ys d , (2.751) R s As K d Bs Ds Din relaţia (2.751) se constată că zerourile funcţiei de transfer a sistemului închis sunt aceleaşi cu zerourile funcţiei de transfer a sistemului deschis şi sunt rădăcinile ecuaţiei Bs 0. Polii funcţiei de transfer a sistemului închis sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice: (2.752) D A K d B 0, H 0 s
în care gradD gradA n. În planul complex se trasează locul geometric al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice aferente sistemului închis (numit prescurtat locul rădăcinilor) în funcţie de variaţia factorului total de simplificare K d al sistemului deschis [1]. În practică, ca parametru variabil este de cele mai multe ori ales factorul total de amplificare K d al sistemului deschis, deoarece variaţia acestui coeficient are efecte opuse asupra performanţelor tranzitorii şi staţionare; astfel mărirea coeficientului K d înrăutăţeşte condiţiile de stabilitate şi deci performanţele tranzitorii, iar din tabela 2.1. se constată că mărirea lui K d micşorează eroarea permanentă [1]. În cazul când K d se modifică în limitele de la 0 la , atunci se vor modifica şi rădăcinile ecuaţiei (2.752), adică polii funcţiei de transfer a sistemului închis. Prin aceasta fiecare pol al funcţiei de transfer (2.751) a sistemului închis va descrie în planul complex o curbă (un loc geometric) numită ramură a locului rădăcinilor. Locul rădăcinilor este format din n ramuri distincte, unde n este ordinul ecuaţiei caracteristice (2.752) a sistemului închis. Pe locul rădăcinilor se indică sensul creşterii valorilor coeficientului K d , iar în dreptul diferitelor puncte marcate se notează valorile respective pentru K d [1]. Se scrie ecuaţia (2.752) sub forma: n
m
i 1
k 1
a n p i K d b m z k 0,
(2.753)
şi se determină coeficientul total de amplificare K d al sistemului deschis:
n
Kd
a n p i i 1 m
b m z k
n
k 1
în care: p i p i e jpi , i 1, n
z K z k e jzk , n
m
i 1
k 1
a n pi i 1 m
bm zk
e j ,
(2.754)
k 1
k 1, m
pi zk
Deoarece coeficientul K d este o mărime reală şi pozitivă, rezultă că unghiul de fază rezultant , din expresia (2.754), trebuie să satisfacă condiţia: n
m
i 1
k 1
pi zk 2 N 1, N 0,1,2,3,...
(2.755)
În acele puncte ale planului complex în care este satisfăcută relaţia (2.755), coeficientul total de amplificare a sistemului deschis devine: n
a K d n im1 bm
k 1
pi zK
,
(2.756)
Expresiile (2.755) şi (2.756) stau la baza trasării locului rădăcinilor. Relaţia (2.755) reprezintă condiţia de argument (de unghi), iar relaţia (2.756) reprezintă condiţia de modul, pentru trasarea locului rădăcinilor. În figura 2.112, pentru simplificare, se reprezintă în planul complex al rădăcinilor cazul când sistemul deschis are un singur zero z1 şi trei poli p1 , p 2 , p 3 . Se consideră că un punct particular se află pe o ramură a locului rădăcinilor, altfel spus este o rădăcină a ecuaţiei caracteristice (2.752) corespunzătoare unei anumite valori a coeficientului K d . Unim zeroul şi polii cu punctul singular prin vectorii z1 , p1 , p 2 , p 3 . Corespunzător cu condiţia de argument (2.755), suma algebrică a unghiurilor de fază a acestor vectori trebuie să fie egală cu 180 (pentru N = 0): p 1 p 2 p 3 z 1 180 0 Dacă relaţia de mai sus este satisfăcută, atunci după cum rezultă din condiţia de modul (2.756) coeficientul de amplificare va fi: p1 p 2 p 3 a n Kd , z1 bm În cazul în care punctul particular nu aparţine ramurii locului rădăcinilor, condiţia de argument (2.755) nu este satisfăcută. În astfel de cazuri se modifică, în planul complex, poziţia punctului particular până se obţine o poziţie în care este satisfăcută relaţia (2.755); altfel spus, devine o rădăcină a ecuaţiei caracteristice (2.752) corespunzătoare unei valori K d determinată din condiţia de modul (2.756). Pentru trasarea cu uşurinţă a ramurilor locului geometric sunt utilizate o serie de proprietăţi geometrice ale locului rădăcinilor care, în literatura de specialitate [1, 2, 22], sunt enunţate sub forma unor reguli:
Regula 1. Locul rădăcinilor are n ramuri în lungul cărora 0 K d . Toate ramurile locului geometric al rădăcinilor încep din polii funcţiei de transfer a sistemului deschis, deci din punctele în care K d 0. Acest aspect rezultă din ecuaţia caracteristică a sistemului închis (2.752), care pentru K d 0 devine A 0, deci se obţine ecuaţia caracteristică a sistemului deschis. Pentru K d 0 polii funcţiei de transfer a sistemului închis sunt aceeaşi cu polii funcţiei de transfer a sistemului deschis. Acelaşi lucru rezultă şi din relaţia (2.750) conform căreia K d 0, dacă se îndeplineşte condiţia: Fig. 2.112 n
i 1
p i 0,
Condiţia de mai sus, are loc în cazul apropierii punctelor ramurilor locului de transfer de polii p i ai sistemului deschis, deci fiecare pol al sistemului deschis este un punct iniţial pentru o ramură a locului rădăcinilor. Regula 2. Dacă numărul de zerouri ale sistemului deschis este m, atunci pentru K d , m ramuri ale locului rădăcinilor se termină în cele m zerouri finite ale sistemului deschis, iar n m ramuri tind către punctul de la infinit. Această regulă rezultă din relaţia (2.756). Coeficientul total de amplitudine K d devine infinit de mare, dacă m
k 1
z k 0,
deci atunci când, pe o ramură, valoarea curentă se apropie (tinde) către un zero finit z K a sistemului deschis. Deoarece n > m, pentru celelalte (n – m) ramuri, coeficientul K d tunde către pentru valori infinit mari ale lui , deci cele (n – m) ramuri tind la infinit. Regula 3. Asimptotele celor (n – m) ramuri care, pentru K d , tind la infinit, reprezintă drepte care sunt (toate) concurente într-un punct de pe axa reală numit originea asimptotelor sau centrul locului rădăcinilor. Abscisa centrului locului rădăcinilor se calculează cu relaţia: m n (2.757) 0 p i z k n m , k 1 i 1 unde p i şi z k sunt polii şi zerourile sistemului deschis. Regula 4. Unghiurile între asimptotele ramurilor care tind la infinit şi axa reală se calculează cu relaţia: 2N 1 a , pentru K d 0, N 0,1,2,..., n m 1, (2.758) nm Dacă n – m =1, atunci există o singură asimptotă a cărui unghi este a 180 ; iar în cazul când n – m =2, sunt două asimptote înclinate faţă de axa abscisei cu unghiurile 90 şi 270 (-90). Pentru n – m = 3 ramurile locului rădăcinilor tind către infinit după trei asimptote înclinate faţă de axa reală cu unghiurile 60, 180 şi 300 (-60). De exemplu, dacă funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma: Kd Ys H d s , (2.759) s ss 2s 5 în care n = 3, m = 0, p1 0, p 2 2, p 3 5. atunci corespunzător cu relaţiile (2.757) şi (2.758) se obţine: 25 2 0 2,33; ai i, i 0,1,2. 3 3 3 şi deci a 0 / 3; a1 180 ; a 2 300 60 . Originea asimptotelor şi cele trei asimptote corespunzătoare f.d.t. (2.759) sunt reprezentate în figura 2.213.
Regula 5. Pentru K d 0, un segment de pe axa reală aparţine locului rădăcinilor dacă în dreapta oricărui punct de pe acest segment diferenţa dintre numărul de poli şi zerouri reprezintă un număr impar. În figura 2.213, în care se prezintă repartiţia polilor funcţiei de transfer (2.759), segmentul de pe axa reală cuprins între p1 0 şi p 2 2 aparţine locului rădăcinilor, de asemenea segmentul, de pe axa reală, din stânga polului p 3 5. În figura 2.214 se prezintă o repartiţie a polilor şi zerourilor conform căreia segmentul de pe axa reală dintre polii p 3 şi p 4 nu aparţine locului rădăcinilor, deoarece în dreapta oricărui punct, care aparţine acestui segment, diferenţa dintre poli şi zerouri este un număr par şi egal cu doi. Segmentul de pe axa reală dintre polul p 2 şi zerorul z1 , din acelaşi motiv, nu aparţine locului rădăcinilor. Celelalte segmente ale axei reale reprezintă ramuri ale locului rădăcinilor.
Fig. 2.213
Fig. 2.214
Regula 6. Pe porţiunile axei reale, care aparţin locului rădăcinilor, cuprinse între doi poli sau două zerouri are loc desprinderea locului rădăcinilor de pe axa reală [11]. Astfel, în figura 2.114 în intervalul dintre polii p1 şi p 2 ramura locului rădăcinilor se desprinde de axa reală şi tinde către infinit, după asimptotele corespunzătoare. Punctul de intersecţie a ramurii locului rădăcinilor cu axa reală (valoarea x de exemplu, din fig. 2.114) corespunde unei valori K d pentru care rădăcinile ecuaţiei caracteristice (2.752) a sistemului închis sunt multiple [34]. Pentru a determina rădăcina multiplă e se apelează la proprietatea polinoamelor numerice conform căreia rădăcinile multiple ale polinomului D , din relaţia (2.752), sunt rădăcini comune pentru acesta şi pentru polinomul derivat dD d. Ca urmare în completare la ecuaţia (2.752) se adaugă ecuaţia: dA dB Kd 0, (2.760) d d Din ecuaţiile (2.752) şi (2.760) se elimină K d şi se obţine ecuaţia pentru determinarea coordonatelor punctelor (rădăcinilor) multiple: dB dA A B 0, (2.761) Valorile e d d determinate cu ecuaţia (2.761) trebuie să satisfacă condiţia (2.755). Dacă, de exemplu, funcţia de transfer a sistemului deschis este dată de relaţia (2.759), atunci: A 3 72 10, B 1, şi corespunzător ecuaţia (2.761) devine: 32 14 10 0, de unde:
1 e1 3,77 şi 2 e 2 0,89. Condiţia de argument este satisfăcută numai în punctul de coordonate e1 0,89, deci acesta va fi punctul multiplu pentru cazul considerat (figura 2.115).
Fig. 2.115
Fig. 2.116
Regula 7. Unghiurile de plecare a ramurii dintr-un pol precum şi cel de sosire într-un zero, pot fi determinate cu ajutorul relaţiei (2.755), cu care se calculează unghiul de înclinare al tangentei la ramură în polul şi zeroul respectiv. Ecuaţia (2.755) este satisfăcută în orice punct al ramurii locului rădăcinilor, deci şi în punctele de capăt ale acesteia. Se notează cu x unghiul corespunzător tangentei dusă la ramură în polul respectiv, iar în relaţia (2.755) separăm în membrul stâng această valoare şi notând cu suma celorlalte unghiuri, se obţine: x 2 N 1 , (2.762) Unghiul de plecare a ramurii dintr-un pol, precum şi unghiul de sosire a acesteia într-un zero, se calculează cu relaţia (2.762). Utilizarea relaţiei (2.762) este explicată pentru exemplul prezentat în figura 2.116. În figura 2.116, sunt reprezentaţi patru poli p1 , p 2 , p 3 , p 4 şi un zero z 1 , corespunzători unui sistem deschis. Unghiul de plecare a ramurii locului geometric din polul complex p1 este notat cu x . Conform cu relaţia (2.762) acest unghi este egal cu: x 180 1 2 N p 2 p 3 p 4 z1 , Deoarece N ia valori întregi, unghiul de plecare a ramuri locului rădăcinilor nu depinde de N, deci în calcule se poate considera N = 0. Regula 8. Punctele de intersecţie al locului rădăcinilor cu axa imaginară (puncte critice) se pot determina apelând la un criteriu de stabilitate (Routh, Hurwitz sau Mihailov). Dacă se utilizează criteriul lui Mihailov [34], atunci în ecuaţia (2.752) se face substituţia s j. Egalând cu zero, separat, partea reală şi respectiv cea imaginară, se obţine: ReA j K d ReB j 0 (2.763) ImA j K d ImB j 0 În (2.763) eliminând pe K d se stabileşte ecuaţia cu ajutorul căreia se determină valorile cr corespunzătoare limitei de stabilitate (în punctul critic): ReA j ImB j ReB j ImA j 0, (2.764) 2 În cazul particular când m n 8, ecuaţia (2.764) în raport cu nu depăşeşte gradul trei [34]. Valoarea K d din punctele critice se poate determina grafic utilizând relaţia (2.756), sau analitic exprimând pe K d , conform cu (2.763), astfel: ReA j ImA j (2.765) Kd , ReB j ImB j
Regula 9. Locul rădăcinilor este simetric în raport cu axa reală datorită rădăcinilor complexe care pot exista numai în perechi complexe conjugate [1, 34, 35].
În cazurile simple, când ordinul ecuaţiei care descrie dinamica sistemului nu este mai mare de doi, ramurile locului rădăcinilor se construiesc simplu. Pentru a ilustra acest aspect considera sistemul de reglare automată reprezentat în figura 2.117.
Fig. 2.117 În cazul considerat, funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma:
H d (s)
în care:
k 1 , Kd s(T1s 1) s(s a)
(2.766)
k 1 , ,a T1 T1 Corespunzător, funcţia de transfer a sistemului automat închis este: Kd H 0 (s) 2 , (2.767) s sa K d Ecuaţia caracteristică a sistemului închis, având în vedere relaaţia (2.767) este: (2.768) s 2 sa K d 0 , Kd
a a2 Kd . 2 4 Pentru Kd=0 se obţin rădăcinile s1 0, s 2 a 1 T1 şi rădăcinile ecuaţiei (2.768) corespund polilor f.d.t. a sistemului deschis (2.766) (aceştia sunt reprezentaţi în figura 2.117 cu cruciuliţe). Dacă 0 K d a 2 4 , atunci rădăcinile se deplasează pe axa reală şi pentru K d K d1 a 2 4 cale două rădăcini se suprapun într-o rădăcină multiplă. În continuare, cu creşterea lui Kd rădăcinile devin complexe conjugate, ramurile celor două traiectorii se desprind de axa reală şi tind spre după o dreaptă paralelă cu axa imaginară. Din figura 2.117, în care s-a redat locul rădăcinilor, se constată că pentru orice valoare Kd>0 sistemul este strict stabil, deoarece rădăcinile ecuaţiei caracteristice ale sistemului închis se găsesc poziţionate în semiplanul stâng al planului rădăcinilor. Valoarea factorului de amortizare se va micşora cu creşterea lui Kd , iar pulsaţia naturală a sistemului neamortizat n creşte. Se deduce acest aspect identificând ecuaţia omogenă a sistemului de ordinul II studiat (relaţia (2.92)), care aste de forma: y 2ξξ n y ω 2n y 0 , cu ecuaţia (2.768), iar în urma identificării se obţine: n K d k T1 , a 2n a 2 K d 1 2 kT1 . Aplicaţie. Pentru a exemplifica modul de aplicare a regulilor menţionate, se consideră următoarea funcţie de transfer a sistemului deschis: K Ys H d s 2 d , (2.769) s s s 4s 8 iar rădăcinile acesteia sunt: s1 0, s1, 2
R1. Numărul de poli n = 3, cu valorile p1 0, p 2 2 j2, p 3 2 j2, iar zerourile m = 0. Deoarece n = 3, locul rădăcinilor conţine trei ramuri care pleacă din polii p1 , p 2 , p 3 , aşa cum se arată în figura 2.117. R2. Deoarece n = 3 şi m = 0, pentru K d , cele trei ramuri ale locului rădăcinilor tind spre infinit. R3. Originea asimptotelor are valoarea abscisei egală cu: n
i 1
m
pi z K
0 2 j2 2 j2 4 nm 30 3 R4. Unghiurile dintre cele trei asimptote şi axa reală se calculează conform relaţiei (2.758) în care n m 3, N 0,1,2 şi se obţine a=600, 1800 şi 1200 (-600). R5. Locul rădăcinilor are o ramură, pe axa reală, care pleacă din origine către , deoarece orice punct de pe semiaxa reală negativă are în dreapta un singur pol p1 0. R6. Locul rădăcinilor nu are rădăcini multiple. 0
k 1
Fig. 2.118 R7. Utilizând relaţia (2.762) se determină unghiurile de plecare ale ramurilor din polii funcţiei de transfer a sistemului deschis. Unghiul de plecare a ramurii din polul p 2 este:
x 2 180 p1 p 2 180 135 90 45
Unghiul de plecare a ramurii locului rădăcinilor din polul p 3 este 45, iar ramura a treia se suprapune peste semiaxa reală negativă, deci unghiul de plecare din p1 0 este 180. R8. Corespunzător expresiei (2.769): As s 3 4s 2 8s şi Bs 1. Făcând substituţia s j se obţine:
A j 4 2 j 3 8 ; Pentru cazul considerat, ecuaţia (2.764) devine: 2 8 0, deci cr 8 2,83.
În figura 2.118 sunt trecute câteva valori ale coeficientului total de amplificare.
Aplicaţii PR.1.1. Ecuaţiile diferenţiale şi funcţiile de transfer asociate circuitelor electrice liniare de ordinul 1. Sunt studiate următoarele circuite liniare filiforme de ordinul 1. a) circuitul serie RL (fig. 1.12.a) b) circuitul serie RC (fig. 1.12.b)
Fig. 1.12 a) Se consideră că i(0 ) i(0 ) 0 , deci circuitul are condiţia iniţiala nulă. La momentul t 0 se închide întrerupătorul K . Mărimea de intrare este tensiunea aplicată u i ( t ) , iar mărimea de ieşire este căderea de tensiune pe R , notată cu u e u R . Se consideră că circuitul funcţionează în gol. Ecuaţia de funcţionare a circuitelor este: (1.1) u i (t) u L (t) u R (t) , în care:
di( t ) : este căderea de tensiune inductivă, dt u e ( t ) u R ( t ) Ri( t ) : este căderea de tensiune rezistivă.
u L (t ) L
Relaţia (1.1) primeşte forma:
di( t ) Ri( t ) , dt care, având în vedere că i( t ) u e ( t ) / R , devine: L du e ( t ) u e (t) u i (t) R dt u i (t) L
sau
T în care:
du e ( t ) u e (t) u i (t) , dt
(1.2)
L [s] este constanta de timp a circuitului. R di( t ) Vs Din u L ( t ) L rezultă L , iar din u R ( t ) Ri( t ) rezultă A dt T L s . R T
R V , A
deci
Pentru a obţine funcţia de transfer se aplică transformata directă Laplace ecuaţiei diferenţiale (1.2), cu condiţia iniţială nulă i(0) 0 . Notăm Lu i ( t ) U i (s) şi LU e ( t ) U e (s) , obţinându-se:
U i (s) TsU e (s) U e (s) Ts 1 U e (s) , şi corespunzător fdt va fi : U (s ) 1 G (s) e U i (s) Ts 1
(1.3)
b) Se consideră condiţia iniţială nulă u C (0 ) u C (0 ) 0 . La momentul t 0 se închide întrerupătorul K . Mărimea de intrare u i ( t ) este tensiunea aplicată circuitului, iar mărimea de ieşire este căderea de tensiune pe condensator u e ( t ) u C ( t ) . Circuitul funcţionează în gol. Ecuaţia de funcţionare a circuitului este: în care:
u i (t) u R (t) u C (t)
u R ( t ) Ri ( t ) şi i( t ) C Relaţia (1.4) devine:
u i ( t ) RC sau:
(1.4)
du C ( t ) du ( t ) , deci u R ( t ) RC C . dt dt
du C ( t ) u C (t) , dt
du e ( t ) u e (t) u i (t) , dt în care: T R C(s) este constanta de timp a circuitului. T
(1.5)
Aplicând transformata directă Laplace ecuaţiei diferenţiale (1.5), cu condiţia iniţială nulă u e (0) 0 , şi păstrând notaţiile de la punctul a, se obţine: T s 1 U e (s) U i (s) , şi corespunzător fdt este:
G (s)
U e (s) 1 . U i (s) T s 1
(1.6)
PR.1.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale şi a funcţiei de transfer pentru tahogeneratorul de c.c. Tahogeneratorul de curent continuu este cel mai utilizat traductor de viteză unghiulară (turaţie) [3]. Acest traductor este un generator de c.c. de mică putere excitat cu magneţi permanenţi, pentru asigurarea unui flux de excitaţie constant (fig.1.13). Tensiunea electromotoare produsă de tahogenerator este: (1.7) e t K e n ( t ) , iar tensiunea de ieşire: (1.8) u E (t) R 2 i T (t) .
În expresia t.e.m., K e este o constantă a maşinii de curent continuu, care în cazul când turaţia n se introduce în rotaţii/minut este egală cu:
Ke unde:
pN , 60 a
p este numărul de perechi de poli, N este numărul total de conductoare ale înfăşurării rotarice, iar
a reprezintă numărul de perechi de căi de curent.
Fig. 1.13 Ecuaţia diferenţială de funcţionare a circuitului indusului este de forma:
e( t ) 2(R 1 R 2 ) R T i T ( t ) L T
di T ( t ) , dt
(1.9)
unde R T şi L T sunt rezistenţa, respectiv inductivitatea înfăşurării rotarice a tahogeneratorului T G . Având în vedere relaţia (1.7), ecuaţia diferenţială (1.9) devine:
T
du E ( t ) u E (t) K T n(t) , dt
(1.10)
unde:
R 2 Ce , C e K e ct , (1.11) 2(R 1 R 2 ) R T LT T (secunde). (1.12) 2R 1 R 2 R T În practică, constanta de timp T a T G este de ordinul milisecundelor [3]. Coeficientul de transfer K T V / rotatii se măsoară în regim staţionar. Considerând condiţia iniţială nulă u E ( t ) t 0 u E (0) 0 , se aplică transformata directă Laplace KT
ecuaţiei diferenţiale (1.10): în care:
T s 1 U E (s) K T n (s) ,
U E (s) Lu E ( t ) şi n (s) Ln ( t ) Rezultă expresia fdt a tahogeneratorului de c.c.:
G (s)
U E (s) KT . n (s) Ts 1
(1.13)
PR1.3. Calculul răspunsului indicial al elementului aperiodic de ordinul 1 prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale, precum şi în baza funcţiei de transfer Se notează cu r ( t ) mărimea de excitaţie (referinţă), iar cu y( t ) mărimea de ieşire (răspunsul). Se consideră EÎ01 descris prin: ecuaţia diferenţială liniară de ordinul 1 de forma:
T
dy( t ) y( t ) r ( t ), r ( t ) 1( t ) , dt
(1.14)
cu condiţia iniţială nulă:
y( t ) t 0 y(0) 0
funcţia de transfer de forma:
(1.15)
G (s )
Y (s ) 1 R (s ) T s 1
(1.16)
Rezolvare a) Determinarea răspunsului indicial al EÎ01 utilizând ecuaţia diferenţiala (1.14). Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1.14) are două componente: y( t ) y ( t ) y ST . (1.17)
Pentru determinarea soluţiei generale y( t ) a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene se parcurg următoarele etape: rezolvarea ecuaţiei caracteristice asociate ecuaţiei diferenţiale omogene; stabilirea soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale omogene; determinarea soluţiei particulare a ecuaţiei diferenţiale neomogene; calculul constantei de integrare. Componenta tranzitorie (liberă) a răspunsului, y tr ( t ) , este soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene aferentă ecuaţiei (1.14):
dy tr ( t ) y tr ( t ) 0 . dt Notând d() / dt p , ecuaţia caracteristică este: Tp 1 0 T
(1.18) (1.19)
şi corespunzător rădăcina acesteia este:
p
1 . T
(1.20)
Rezultă:
t
(1.21) y tr ( t ) C e pt C e T , t 0 , în care constanta de integrare C se determină având în vedere condiţia iniţială (1.15). Deoarece referinţa r ( t ) t 0 1 rămâne constantă în timp, se caută soluţia de regim staţionar (forţat) de aceeaşi formă y ST ct , care înlocuită în ecuaţia diferenţială (1.14) conduce la relaţia:
y ST 1, t 0 .
(1.22)
Conform cu (1.17) a rezultat expresia răspunsului indicial al EÎ01 , de forma:
y( t ) C e
t T
1, t 0 . Se determină constanta de integrare utilizând condiţia iniţială: y(0) y( t ) t 0 C 1 0, C 1 .
(1.23) (1.24)
Componenta tranzitorie (liberă) a răspunsului, având în vedere (1.21) şi (1.24), are expresia:
y tr ( t ) e
t T
1( t ) ,
(1.25)
iar răspunsul indicial (soluţia completă) este de forma:
y( t ) 1 e
t T,
t 0.
(1.26)
b) Calculul răspunsului indicial al EÎ01 utilizând fdt (1.16) Transformator Laplace a mărimii de intrare este R (s) L1( t ) 1 / s , iar imaginea Laplace a răspunsului elementului, având în vedere (1.16), este:
Y ( s) R( s) G ( s)
1 . s (T s 1)
(1.27)
Pentru determinarea răspunsului indicial y( t ) L1 Y(s) , expresia (1.27) se descompune în fracţii simple şi corespunzător se apelează la tabelul din Anexa 1:
A ( A T B)s 1 A B , s (T s 1) s T s 1 s (T s 1) şi prin identificarea rezultă: A 1 şi B T . Y (s)
S-a obţinut:
Y (s )
1 T 1 s Ts 1 s
1
,
1 s T
(1.28)
(1.29)
rezultând expresia răspunsului indicial:
y( t ) L1 Y (s) 1 e
t T,
t0
(1.30)
Observaţie. Pentru determinarea originalului y( t ) L Y(s) se mai poate proceda astfel: se aduce Y(s) la forma: 1
Y(s)
1 T
1 s(s ) T
A s
B
1 s T
,
şi având în vedere că rădăcinile polinomului de la numitorul lui Y(s) (polinomului caracteristic) sunt s1 0 şi s 2 1 / T , se pot utiliza relaţiile (Anexa 1):
1/ T 1 A lims Y(s) lim s s 0 s 0 1 s s T 1 1 1 T 1 , B lim s Y(s) lim s 1 1 1 T T s s s s T T T
rezultând relaţia (1.29):
1 1 Y(s) s s 1/ T
şi corespunzător (1.30)
PR.1.4. Calculul răspunsului indicial al elementului aperiodic de ordinul 1 în MATLAB şi SIMULINK. Performanţe Se consideră EÎ01 descris de ecuaţia diferenţială (1.14) şi respectiv de fdt (1.16) din PR.1.3, iar pentru calcule se adoptă T 1,5(s) . Din relaţia de definiţie a timpului de răspuns t r :
y( t r ) y ST ,
(1.31)
în care pentru plaja de reglare s-a adoptat valoarea 0,05 y ST (5% din y ST ) , iar valoarea de regim staţionar a răspunsului, conform relaţiei (1.22), fiind: (1.32) y ST 1 , şi având în vedere (1.26), se obţine:
1 e
t r T
1 e
t r T
0,05 y ST 0,05
A rezultat:
t r T ln 0,05 .
(1.33)
Pentru 5% , timpul tranzitoriu este t r 3T (timpul în care răspunsul atinge valoare de 95% din
y ST ), iar dacă se consideră 2% se obţine t r 4 T (când mărimea de ieşire atinge valoarea de 98% din y ST ). Dacă în ecuaţia diferenţială (1.14) se adoptă ca mărime de intrare o funcţie treaptă, r ( t ) K 1( t ), K ct , respectiv în (1.16) la numitorul fdt vom avea K , atunci relaţia (1.33) devine: (1.34) t r T ln(0,05 K ) .
Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se trasează graficele răspunsului indicial y(t ) h(t ) , componentei libere y tr ( t ) şi corespunzător relaţiei (1.33) se calculează t r .
% Raspunsului indicial h(t) al EÎO1; Componenta tranzitorie ytr(t), % F.d.t. este de forma: G(s)=1/(Ts+1); T=1,5 secunde t=0:0.1:9; T=1.5 num=[1] den=[T 1] ys=step(num,den,t); yl=-exp(-t/T); yst=1 tr=-T*log(0.05) v=t; %%Se generează o rampă unitate df1=diff(v)./diff(t); %%Treaptă la nivelul yst=1.00 df2=0.95*df1; %%Treaptă la nivelul 0.95*yst td=t(2:length(t)); plot(t,ys,'-k',t,yl,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k');grid title('EÎO1-Răspunsul indicial, comp. tranzitorie, timpul de răspuns') xlabel('t(secunde)') ylabel('h(t)') axis([0 9 -1.2 1.2]); gtext('------------ytr(t)') gtext('------------h(t)') gtext('G(s)=1/(Ts+1), T=1,5 secunde') [X,Y]=ginput Observaţie. Instrucţiunea X, Y =ginput se foloseşte, în cazul de faţă, pentru a ridica coordonatele punctului rezultat prin intersecţia răspunsului indicial h ( t ) cu treapta 0,95 y ST . Abscina acestui punct reprezintă timpul tranzitoriu t r . S-a obţinut, prin program, valoarea t r corespunzătoare relaţiei (1.33), dar şi prin ridicarea coordonatelor punctului precizat, direct din graficul răspunsului. Graficele corespunzătoare secvenţelor MATLAB sunt prezentate în fig.1.14. În fereastra de comandă (Command Window) sunt returnate valorile:
T 1.5000; num 1; den 1.5000 1.0000; y ST 1; t r 4.4936; X 4.5104; Y 0.9503
Se constată că diferenţa dintre valorile t r obţinute cu relaţia exactă (1.33) şi respectiv abscisa punctului a cărui coordonate au fost ridicate cu instrucţiunea X, Y = ginput, este neglijabilă. Se mai constată că relaţia
t r 3T 3 1,5 4,5 secunde, conduce la rezultate foarte bune (relaţie frecvent utilizată în practică). Din figura 1.14 rezultă că suprareglajul 0 , iar eroarea staţionară ST r ( t ) t 0 y ST 1 1 0 .
Fig. 1.14 b) Determinarea răspunsului indicial al EÎ01 în SIMULINK. Performanţe S-a utilizat fdt (1.16) din PR.1.3, cu T 1,5(s) . Schema echivalentă de modelare în SIMULINK. este prezentată în figura 1.15.
Fig. 1.15 În schema echivalentă de modelare, destinaţia blocurilor STEP este următoarea: STEP: generează mărimea de intrare treaptă unitară 1( t ) ;
y ST
1;
STEP 1: generează o treaptă unitară, în grafic, care corespunde valorii de regim staţionar
STEP 2: generează o funcţia treaptă 0,95 1( t ) corespunzătoare plajei de reglare din fereastra
grafică.
Parametrii blocurilor din schema echivalentă de modelare: Block Parameters: STEP STEP STEP1 Step time: 0 0 Initial value 0 0 Final value: 1 1 Block Parameters: Numerator: Denominator:
Transfer Fcn [1] [1.5 1]
Block parameters: Number of inputs:
MUX 3
Properties:
Scope
STEP2 0 0 0.95
Ymax: 1.2 Ymin: 0 Time range: auto În pagina de editor se apelează Simulation Parameters (sau taste duble CTR+E). În fereastra Simulation parameters valorile implicite (în câmpurile de valori care pot fi modificate) sunt: Start time: 0.0 şi respectiv Stop time: 10.0. În cazul analizat având T 1,5(s) , deci t r 3T 4,5(s) , se introduce Stop time: 7.0 (obs. în cele două câmpuri valorile sunt în secunde). Pentru obţinerea răspunsului, în pagina de editor, se apelează Simulation Star (sau taste duble Ctrl +T). În figura 1.16.a se prezintă răspunsul indicial. Pentru a determina timpul tranzitoriu se deschide (cu butonul din stânga mous-ului) o mică fereastră în jurul punctului de intersecţie a răspunsului indicial cu treapta 0,95 1( t ) .
a)
b) Fig. 1.16 Fereastra selectată se extinde pe toată suprafaţa graficului (fig.1.16.b). Abscisa punctului menţionat reprezintă timpul tranzitoriu. Din figura 1.16.b se constată că t r 4,5(s) . PR.1.5. Calculul răspunsului EÎ01 la impuls unitar a) Determinarea analitică a răspunsului la impuls unitar utilizând funcţia de transfer. Funcţia de transfer, conform cu (1.16), este de forma:
Y(s) 1 . R (s) Td 1
(1.35)
1 1 . R (s) Ts 1 Ts 1
(1.36)
Rezultă că răspunsul la impuls unitar este: y( t ) L1 G(s) . Se aduce relaţia (1.36 )la forma:
(1.37)
G (s)
Mărimea de intrare fiind un impuls unitar r(t ) (t ) , se obţine R (s) L( t ) 1 şi deci:
Y (s)
Y (s)
1/ T , 1 s T
şi conform tabelului din Anexa 1 se obţine: t
1 T (1.38) e , t 0. T În (1.38) s-a notat cu w ( t ) răspunsul EÎ01 la intrare impuls unitar - funcţie pondere. Din relaţiile (1.30) şi (1.38) se verifică faptul că între răspunsul indicial h ( t ) şi răspunsul la impuls unitar w ( t ) există y( t ) w ( t )
legătura:
w (t)
d h(t) , dt
care se verifică imediat:
(1.39)
t t d T 1e T, 1 e T d t
w (t)
(1.40)
şi corespunzător: t
h ( t ) w ()d .
(1.41)
0
b) Calculul răspunsului la impuls unitar în MATLAB Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se trasează grafic răspunsul la impuls unitar (funcţia pondere) a EÎ01 adoptând T 1,5(s) :
% Raspunsul EÎO1 la impuls unitar % Fdt a EÎO1: G(s)=1/Ts+1, cu T=1,5 (s). t=0:0.1:7;num=[1];den=[1.5 1];yi=impulse(num,den,t); plot(t,yi,'-k');grid title('Raspunsul EIO1 la impuls unitar') xlabel('t(secunde)'),ylabel('w(t)') gtext('G(s)=1/(Ts+1), T=1,5(s)')
Graficul răspunsului la impuls unitar este prezentat în figura 1.17:
Fig. 1.17 PR. 1.6. Calculul răspunsului indicial al EÎ01 utilizând produsul de convoluţie Considerând fdt de forma (1.35), iar răspunsul EÎ01 la impuls unitar este dat de relaţia (1.38): t
1 w ( t ) L G (s) e T , t 0 . T 1
(1.42)
Răspunsul indicial se calculează utilizând integrala de convoluţie [1]: t
y( t ) h ( t ) r ( t ) w ()d , în care:
(1.43)
0
r(t ) 1, t Relaţia (1.43) devine: t
y( t ) h ( t ) w ()d . 0
Înlocuind relaţia (1.42) în (1.44) se obţine [1]:
(1.44)
t
1 y( t ) h ( t ) e T 0
1 e T T d 1 T T
t
e
t
e
T
t T
(1) 1 e
t T
.
(1.45)
0 0
Comparând relaţia (1.45) cu relaţiile (1.26) şi 1.30 se verifică obţinerea aceluiaşi rezultat. PR.1.7. Calculul răspunsului EÎ01 la mărime de intrare rampă unitară a) Utilizarea fdt pentru calcularea analitică răspunsului EÎ01 la mărime de intrare rampă unitară. Considerând fdt a EÎ01 de forma (1.16) şi având în vedere că imaginea Laplace a mărimii de intrare rampă unitară r(t ) t este [Anexa 1]:
R (s) L( t ) 1 / s 2 rezultă imaginea Laplace a răspunsului:
Y (s) R (s) G (s)
1 1 1 . 2 2 s T s 1 s (T s 1)
(1.46)
Din relaţia (1.46) rezultă că ecuaţia caracteristică s 2 (T s 1) 0 , are rădăcinile: s1 s 2 0 şi
s 3 1 / T .
Pentru a calcula originalul y( t ) L1 Y(s) se foloseşte metoda tabelară, relaţia (1.46) scriindu-se sub forma:
Y (s)
A B C , 2 s Ts 1 s
(1.47)
în care:
1 A lim s 2 Y(s) lim s 2 2 1, S0 S0 s (T s 1)
(1.48)
T d d 1 B lim (s 2 Y(s) lim ( ) lim T , S 0 d s S 0 d s T s 1 S0 T s 12 1 1 1 1/ T 1 C lim s 2 ( 2 ) T2 . (s ) Slim Slim S 1 / T 1 / T 1 / T 1 T s (T s 1) T s s 2 (s ) T
(1.50)
Relaţia (1.47) devine:
Y (s)
1 1 1 1 1 T T2 2 T T 2 s Ts 1 s s s
1 s
1 T
.
(1.51)
Transformata inversă Laplace y( t ) L1 Y(s) este de forma (Anexa 1):
y( t ) t T T e
t T,
t 0.
Având în vedere faptul că: y( t ) y f ( t ) y tr ( t ) , se constată că: y f (t) t T ,
y tr ( t )
t Te T
. Din relaţia (1.52) mai rezultă:
lim y( t ) 0 T T 0 t 0
(1.52) (1.53) (1.54) (1.55)
(1.49)
deci răspunsul y( t ) pleacă din origine, corespunzător valorii iniţiale, iar pentru valori suficient de mari ale variabilei independente t (teoretic t ), componenta tranzitorie y tr ( t ) se amortizează: t lim y tr ( t ) lim T e T 0 t t
A rezultat eroarea permanentă:
() r(t ) y() t (t T) T ct b) Calculul răspunsului EÎ01 , la mărime de intrare rampă unitară, în SIMULINK Schema echivalentă de modelare în SIMULINK este prezentată în figura 1.18.
Fig. 1.18 S-a considerat fdt a EÎ01 dată de relaţia (1.35), în care T 1,5(s) . Destinaţia blocurilor Ramp din figura 1.18: Ramp: generează mărimea de intrare rampă unitară r(t ) t ;
Ramp 1: generează o funcţie rampă unitară, în fereastra grafică, necesară a determina eroarea permanentă () t ( t T) T ct . Parametrii blocurilor din schema echivalentă de modelare: Block Parameters: Ramp Slope: 1 Start time: 0 Initial output: 0 Block parameters: Transfer Fcn Numerator: [1] Denominator: [1.5 1] Block Parameters: MUX Number of inputs: 2 Properties: Scope Ymax = 10 Ymin = 0 Time range: auto În figura 1.19. a. se prezintă rezultatul simulării. În reprezentarea grafică se disting două funcţii, o funcţie reprezintă rampa unitară generată de blocul Ramp 1, iar cealaltă funcţie reprezintă răspunsul EÎ01 . S-a selectat o fereastră care cuprinde ambele curbe, la momentul instantaneu t 8 secunde, redată în figura 1.19.b. Fin figura 1.19.b se constată că eroarea de regim permanent este T 1,5(s) .
a)
b) Fig. 1.19
PR. 1.8 Calculul răspunsului indicial al SLN de ordinul 2 prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale. Performanţe SLN2 este descris de o ecuaţie diferenţială de forma [1]:
d y( t ) d 2 y( t ) 2 n 2n y( t ) n r ( t ), r ( t ) 1( t ) , (1.56) 2 dt dt unde este factorul de amortizare, iar n este pulsaţia naturală a sistemului neamortizat [1]. Se determină răspunsul indicial al sistemului considerând condiţiile iniţiale nule: y(0) y (0) 0 . (1.57) Răspunsul y( t ) al sistemului conţine cele două componente:
unde:
y( t ) y tr ( t ) y ST ,
(1.58)
y ST ( t ) este componenta tranzitorie a răspunsului, soluţie a ecuaţiei diferenţiale omogene; y ST ct este componenta forţată (permanentă) a răspunsului, soluţie particulară a ecuaţiei
neomogene (1.56). Ecuaţia diferenţială (1.56) este dedusă în condiţiile în care coeficientul de amplificare este egal cu unitatea şi deci valoarea de regim staţionar a răspunsului este: y ST 1 . (1.59) Pentru determinarea componentei tranzitorii y tr ( t ) se scrie ecuaţia caracteristică aferentă ecuaţiei diferenţiale (1.56): (1.60) p 2 2 n p 2n 0 , care conduce la rădăcinile:
p1, 2 n j n 1 2 .
(1.61)
Factorul de amortizare, care depinde de parametri sistemului, în cazul când sistemul nu este instabil, nu poate lua valori negative, ci numai valori pozitive: 0. (1.62) Componenta tranzitorie a răspunsului are o expresie de forma [1]: (1.63) y tr ( t ) C1e p 1t C 2 e p 2 t , t 0 , şi corespunzător răspunsul sistemului este: (1.64) y( t ) y ST y tr ( t ) 1 C1e p1t C 2 e p 2 t , t 0 . Având condiţiile iniţiale (1.57) precum şi expresia răspunsului (1.64), se obţine sistemul de două ecuaţii algebrice în care necunoscutele sunt constantele de integrare C 1 , C 2 :
y(0) 1 C1 C 2 0 y (0) p1C1 p 2 C 2 0
rezultând:
C1
C2
1
1
0
p2
1
1
p1
p2
1 p1
1 0
1
1
p1
p2
p2 , p 2 p1
(1.65)
p1 . p 2 p1
(1.66)
Introducând relaţiile (1.65) şi (1.66) în (1.64) se obţine următoarea expresie pentru răspunsul indicial al sistemului:
y( t ) 1
p2 p1 e p1t e p1t , t 0 . p 2 p1 p 2 p1
(1.67)
Din (1.67) rezultă că forma de variaţie în timp a răspunsului y( t ) depinde de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, rădăcini care depind de parametrii sistemului. În figura 1.20 se reprezintă planul complex al rădăcinilor în care sunt poziţionate posibilele tipuri de rădăcini ale ecuaţiei caracteristice. În figura 1.20 având n ct şi diferite valori ale lui , sunt evidenţiate tipurile de rădăcini: imaginare, complexe conjugate cu partea reală negativă, reale negative simple şi multiple. Rădăcinile poziţionate exclusiv în semiplanul stâng C al planului rădăcinilor sunt rădăcini stabile.
Fig. 1.20 Pentru 0 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt poziţionate în C +, sistemul este instabil şi nu prezintă interes pentru a fi analizat. Funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, deci de valorile pe care le poate lua , se disting următoarele forme de variaţie în timp a răspunsului indicial: a) Răspuns oscilant neamortizat: 0, p 1 j n , p 2 j n Cele două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice se găsesc pe axa imaginară a planului rădăcinilor (fig.1.20). Expresia răspunsului indicial se obţine introducând rădăcinile p 1 , p 2 în (1.67):
y( t ) 1
j n j n e j n t e j n t e j n t e j n t 1 , 2 j n 2 j n 2
şi având în vedere că e
j n t
y( t ) 1 cos n t , în care n are expresia:
cos n t j sin n t , rezultă: (1.68)
n 2 f n
2 , Tn
(1.69)
unde Tn este perioada oscilaţiilor neamortizate, care de regulă se impune.
Adoptând Tn 1(s) , cu următoarele secvenţe MATLAB se trasează graficul răspunsului oscilant neamortizat:
%% SLN2. Raspuns oscilant neamortizat, Tn=1 secunda t=0:0.1:3.0; omega=2*pi;y=1-cos (omega*t); plot(t,y,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi') %se selectează Arial-Bold-12 title('SLN de ordinul 2-raspuns oscilant neamortizat') xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)') În figura 1.21 se prezintă graficul răspunsului indicial corespunzător secvenţelor de mai sus.
Fig. 1.21 Se constată , din figura 1.21, că perioada oscilaţiilor neamortizate este Tn 1(s) , iar amplitudinea oscilaţiilor este constantă. Un astfel de sistem se află la limită de stabilitate. În practică nu se acceptă acest răspuns, sistemul fiind considerat instabil. b) Răspuns oscilant amortizat sau subamortizat În acest caz 0 1 şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă:
p 1 n j n 1 2 ,
(1.70)
p 2 n j n 1 2 ,
(1.71)
şi au acelaşi modul:
p1 p 2
n 2 2n 1 2 n ,
(1.72)
iar
p 2 p 1 2 j n 1 2 .
Introducând (1.70), (1.71) şi (1.73) în (1.67) se obţine:
(1.73)
y( t ) 1
n j n 1 2 2 j n 1 2
n j n 1 2
e
2 j n 1 2 1
e
e
n t
n t
j n (e 2 1 2 j
1 2 j n e 2
1 2 t
e
e
1 2 t
n t
e
j n 1 2 t
j n 1 2 t
e
j n 1 2 t
j n 1 2 t
Se are în vedere faptul că:
...
) ...
1 j n 12 t j 1 2 t 2 e n e sin n 1 t , 2j 1 j n 12 t j 12 t 2 e n e cos n 1 t , 2
şi se obţine:
y( t ) 1
e
n t
1
2
sin(
n
1 2 t 1 2 cos( n 1 2 t ) , t 0 .
(1.74)
Pentru simplificarea expresiei (1.74) se introduce ca mărime ce caracterizează poziţia rădăcinilor complexe conjugate p 1 , p 2 în planul rădăcinilor, unghiul , aşa cum se arată în figura 1.20, din care rezultă:
cos
n , n
(1.75)
sin
n 1 2 1 2 , n
(1.76)
tg
1 2 .
(1.77)
Înlocuind (1.75) şi (1.76) în (1.74) se obţine:
y( t ) 1
e
1
şi în continuare:
y( t ) 1
n t
e
2
n t
1
2
cos sin n 1 2 t sin cos n 1 2 t , t 0 ,
sin n 1 2 t , t 0 ,
(1.78)
iar dacă se are în vedere relaţia (1.77):
1 2 (1.79) sin n 1 2 t arctg , t 0. 1 2 Din (1.79) rezultă că răspunsul indicial, pentru 0 1 , are o componentă tranzitorie amortizată. Performanţele SLN2 pentru 0 1 . Suprareglajul şi gradul (indicele) de amortizare (1.80) y max y ST y max 1 y( t 1 ) 1 , în care y ( t 1 ) este valoarea maximă a răspunsului indicial. y( t ) 1
e
n t
Pentru determinarea momentelor de timp de maxim şi minim ale răspunsului y( t ) , printre care şi momentul t 1 , se anulează derivata d y(t ) / dt 0 , rezultând [1]:
dy( t ) 1 n t n e sin n 1 2 t ... dt 1
de unde:
n 1 2 e
n t
cos n 1 2 t ) 0
tg n 1 2 t
1 2 tg ,
ceea ce conduce la relaţie din care se obţin toate momentele de timp de maxim şi minim locale ale răspunsului y( t ) :
n 1 2 t K k , k 0,1, 2...
şi în final:
tK
k n 1 2
, k 0,1, 2...
(1.81)
Pentru k 0 se obţine t 0 0 , deci minimul local din origine, ceea ce justifică condiţia iniţială
y (0) 0 . Pentru k 1 se obţine momentul de timp t 1 la care apare suprareglajul (fig. 1.22): . (1.82) t1 n 1 2
Fig. 1.22 Introducând relaţia (1.78) se obţine:
y( t 1 ) 1 e
1 2
1 .
(1.83)
Corespunzător cu (1.80) a rezultat:
e
1 2
. (1.84) Relaţia (1.84) evidenţiază faptul că suprareglajul depinde exclusiv de factorul de amortizare şi nu depinde de n . Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice (relaţiile (1.70) şi (1.71)) se deplasează pe
semicercul de rază n , aflat în C (fig.1.20), suprareglajul creşte pe măsură ce acestea se aproprie de axa imaginară, care este axa limitei de stabilitate. Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se trasează graficul f () .
%Graficul sigma=f(csi), sigma=suprareglajul, csi=factorul de amortizare csi=0:0.1:1;sigma=exp(-pi*csi./(sqrt(1-csi.^2)))*100; plot(csi,sigma,'-k'),grid title('Suprareglajul funcţie de factorul de amortizare in procente') xlabel('Factorul de amortizare'),ylabel('Suprareglajul') În figura 1.23 se reprezintă graficul f ()
Fig. 1.23 Gradul de amortizare Pentru a determina gradul de amortizare se calculează a doua depăşire a valorii staţionare, notată
cu 3 (Fig. 1.22), şi având în vedere relaţia (1.81) în care k 3 :
3 y( t 3 ) y ST e
3 12
, şi atunci expresia gradului de amortizare devine:
3 1 3 1 e
2
(1.85)
1 2
.
(1.86)
Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se reprezintă grafic dependenţa f () .
%Dependenta gradului de amortizare funcţie de factorul de amortizare csi=0:0.1:1;psi=1-exp(-2*pi*csi./(sqrt(1-csi.^2))); plot(csi,psi,'-k'),grid axis([0 1 0 1.2]) title('Gradul de amortizare funcţie de factorul de amortizare') %Se apeleaza fereastra de dialog pentru a stabili fondurile uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selectează xlabel('x'),ylabel('y') În figura 1.24 se prezintă graficul f ()
Fig. 1.24
Timpul de răspuns t r Din relaţia:
y( t ) y ST , t t r ,
(1.87)
în care y ST 1 şi adoptând 0,05 , se obţine:
y( t ) 1 0,05, t t r .
(1.88)
Deoarece y( t ) y ST y tr ( t ) , pentru t t r rezultă y tr ( t r ) 0,05 , şi având în vedere relaţia (1.78) se obţine:
y tr ( t r ) devine:
e
n t r
1
2
sin n 1 2 t r 0,05, 0 1 .
(1.89)
Valorile absolute ale funcţiei sinus sunt limitate la unitate şi atunci în mod acoperitor condiţia (1.89)
e
n t r
1 2
0,05 ,
din care se obţine:
n t r ln 0,05 1 2 ,
respectiv:
tr
ln 0,05 1 2 . n
(1.90)
4 . n
(1.91)
Pentru sistemele descrise de o ecuaţie diferenţială de ordinul 2 de forma (1.56), care cuprinde în membrul drept numai mărimea de intrare, fără derivate ale acestei mărimi, numite sisteme de ordinul 2, s-a stabilit următoarea relaţie aproximativă, acoperitoare, pentru durata regimului tranzitoriu [1] :
tr
Din (1.90) şi (1.91) se constată că t r depinde de şi n . În practică, are o gamă limitată de
variaţie 0,5 0,8 şi influenţa sa asupra lui t r este redusă, influenţa dominantă o are n [1]. Dacă mediul de programare utilizat, cum este MATLAB, permite ridicarea coordonatelor unor puncte, atunci din fereastra grafică 2D a răspunsului indicial se poate determina timpul de răspuns astfel: - în graficul 2D a răspunsului se trasează două funcţii treaptă la nivelul 1,05 1(t ) şi respectiv la nivelul 0,95 1( t ) , acestea corespunzând plajei de reglare (fig. 1.22);
- se ridică coordonatele punctului în care răspunsul y( t ) intră în limitele 1 0,05 (sau 1 0,02 ), fără a mai ieşi ulterior din aceste limite, abscisa punctului menţionat reprezentând timpul de răspuns t r . c) Răspuns aperiodic critic (sau critic amortizat). În acest caz 1 şi corespunzător rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale negative şi multiple:
p 1 p 2 n .
În figura 1.20 se Din (1.64) şi (1.92) se poate scrie:
evidenţiază
p 2 e p1t p1e p 2 t y( t ) 1 lim p 2 p1 p 2 p1
poziţia
rădăcinilor
(1.92) în planul
,
complex.
(1.93)
care conduce la o nedeterminare. Pentru eliminarea nedeterminării se aplică regula lui LHospital:
d p 2 e p1t p1e p 2 t d p2 y( t ) 1 d p 2 p1 d p2 1
e p1t p1 t e p 2 t 1
şi sub formă finală:
(1.94)
p 2 p1 n
p 2 p1 n
y( t ) 1 1 n t e n t 1( t ) .
(1.95)
p1, 2 n n 2 1 ,
(1.96)
d) Răspuns supraamortizat (sau aperiodic). În acest caz 1 şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale, negative şi simple: iar reprezentarea acestora în planul complex este redată, în principiu, în figura 1.20. Corespunzător relaţiei (1.67) expresia răspunsului indicial este de forma:
y( t ) 1
p2 p1 e p1t e p2t , t 0 . p 2 p1 p 2 p1
(1.97)
Din cele prezentate rezultă: - forma de variaţie în timp a răspunsului indicial depinde de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, care la rândul lor depind de coeficienţii constanti 0, 0 , deci de parametrii sistemului; - în planul complex al rădăcinilor, cu cât rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt mai apropiat de axa imaginară, cu atât răspunsul y( t ) , pentru 0 1 , are un caracter mai oscilant cu şi t r mari, iar răspunsurile aperiodice 1 sunt caracteriyate, de asemenea, de valori mari ale timpului de răspuns (evoluţii aperiodice lente în timp); - este util, ca la începutul analizei, să se calculeze rădăcinile ecuaţiei caracteristice, ale oricărui SLN, pentru a distinge după tipul rădăcinilor forma de variaţie în timp a răspunsului. PR.1.9. Calculul răspunsului indicial al SLN de ordinul 2 utilizând funcţia de transfer În ipoteza tuturor condiţiilor iniţiale nule (relaţia (1.57)), se aplică transformata directă Laplace ecuaţiei diferenţiale liniare (1.56): (1.98) s 2 2 n s 2n Y (s) 2n R (s) , rezultând f .d.t. a SLN2 de forma:
2n Y(s) 2 . (1.99) R (s) s 2 n s 2n Din f .d.t. (1.99), pentru r(t ) 1(t ) , deci R (s) 1 / s , se deduce valoarea de regim staţionar a H 0 (s)
răspunsului utilizând teorema valorii finale:
y ST lim y( t ) limsY (s) lims R (s) H 0 (s) limH 0 (s) H 0 (0) ,
deci:
t
S 0
S 0
S 0
y ST
2n 1. 2n
(1.100)
Polinomul de la numitorul f .d.t. (1.99) reprezintă polinomul caracteristic, îl notăm cu A(s) , şi prin egalarea cu zero a acestuia se obţine ecuaţia caracteristică: (1.101) A(s) s 2 2 n s 2n 0 , cu rădăcinile:
s1, 2 n j n 1 2
(1.102)
Comparând (1.60) cu (1.10) se constată că egalând cu zero polinomul de la numitorul f .d.t. şi obţine ecuaţia caracteristică aferentă ecuaţiei diferenţiale care descrie funcţionarea sistemului; această regulă este generală [1]. În relaţia (1.101) prin s nu se înţelege variabila complexă utilizată în scrierea transformatei Laplace, ci este o notaţie adoptată pentru scrierea ecuaţiei caracteristice asociată ecuaţiei diferenţiale. În ecuaţia (1.101) s-a păstrat notaţia s pentru a evidenţia legătura dintre f .d.t. şi ecuaţia caracteristică. b) Calculul răspunsului oscilant amortizat: 0 1 . Pentru r(t ) 1(t ) , deci R (s) 1 / s , din (1.99) rezultă:
Y(s) R (s) H 0 (s) Din ecuaţia:
s
2n . s(s 2 2 n s 2n )
2
2 n s 2n s 0 , se determină polii funcţiei Y(s) :
(1.103) (1.104)
s1 n j n 1 2 , s 2 n j n 1 2 , s 3 0 .
(1.105)
Relaţia (1.103) se pune sub forma:
Y(s) în care:
A 2n A1 A2 3, (s s1 ) s s 2 s s s1 s s 2 s
A K lim s s K Y(s), k 1, 2, 3 , SSK
(1.106) (1.107)
şi corespunzător:
2n 2n A1 lim s s1 Y(s) lim . (1.108) SS1 SS1 (s s )s 2 (s1 s 2 ) s1 Introducând în (1.108) expresia rădăcinilor s 1 , s 2 din (1.105) se obţine: 2n 2n 1 A1 ... 2 2 2 2 (s1 s2 )s1 2n 1 j 1 2 1 ( 1 2 j )
1 2 j 2 1 2
1 j 2 2 1 2
2n ... 2 s s s 1 (s 2 s1 ) s 2
A 2 lim s s 2 Y(s) lim SS SS 2
2n
1 j 2 2 1 2
2n 2n 2n A 3 lims Y(s) lim 1. S0 S0 s s (s s ) s1 s 2 2n 1 2 S-a obţinut:
(1.109)
(1.110)
(1.111)
1 A1 j s s1 2 2 1 2
şi corespunzător Anexei 1:
1 , s j 1 2 n n
A 1 L1 1 j 2 1 2 s s1 2
n j n e
1 2 t
A 1 L1 2 j 2 1 2 s s 2 2
n j n
1 2 t
şi în continuare:
,
,
A3 1 şi L1 1 / s 1( t ) . s s
Sistemul fiind liniar, răspunsul este dat de relaţia:
A A A y( t ) L1 Y(s) L1 1 L1 2 L1 3 , s s s1 s s2
care după unele transformări elementare devine:
y( t ) 1( t )
1
n t
e
1
2
2
cos n 1 2 t sin n 1 2 t .
(1.112)
Se constată că relaţia (1.112) este identică cu relaţia (1.74) dedusă prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale. Introducând în (1.112) relaţiile (1.75), (1.76) se obţine:
y( t ) 1( t )
e
n t
1
2
sin( n 1 2 t ), t 0 ,
deci, s-a obţinut relaţia (1.78). b) Calculul răspunsului aperiodic critic: 1 . Pentru un astfel de răspuns, polii fdt , corespunzător cu (1.102) sunt: s1 s 2 n . Imaginea Laplace a răspunsului indicial devine:
Y(s) R (s) H 0 (s) şi în continuare:
Y(s) în care:
A lim (s s1 ) 2 Y(s)
2n C lims Y(s) lim S0 S0 (s s ) 2 1
Relaţia (1.115) devine:
(1.115)
2n n ; s1
d 2 d 2 B lim s s1 Y(s) lim n SS1 ds SS1 ds s
Y(s)
(1.114)
2n 2n (s s1 )(s s 2 ) s (s s1 ) 2 s
2n A B C , 2 2 s s1 s (s s1 ) s (s s1 )
SS1
(1.113)
1 ;
1 .
n n 1 1 1 1 2 2 s s1 s s n s (s s1 ) (s n )
Cunoscând că (Anexa 1):
L t e a t
1 (s a ) 2
răspunsul y( t ) va fi de forma:
y( t ) L1 Y(s) n t e n t e n t 1( t ) 1( t ) (1 n t ) e n t . (1.116)
Se constată că s-a obţinut relaţia (1.95) determinată prin rezolvarea directă a ecuaţiei diferenţiale. c) Calculul răspunsului supraamortizat: 1 În acest caz polii fdt sunt reali, negativi şi simpli (fig.1.20):
s 1 n n 2 1, s 2 n n 2 1 . Se adoptă valorile: 2,5; Tn 1(sec .); n 2
(1.117)
Imaginea Laplace a răspunsului indicial este:
Y (s) R (s) H 0 (s)
2n (s 2 2 n s 2n )s
Ecuaţia caracteristică este:
s
2
2 n s 2n s 0
iar rădăcinile acesteia, pentru valorile numerice adoptate, sunt:
s1 30,1045, s 2 1,3114, s 3 0 deci, Y(s) se pune sub forma:
A 2n A1 A2 3, (s s1 ) (s s 2 ) s s s1 s s 2 s unde coeficienţii A k , k 1, 2, 3 sunt calculaţi cu relaţia (1.107): Y(s)
A 1 lim s s1 Y(s) SS1
A 2 lim s s 2 Y(s) SS2
A 3 lim s Y(s) SS3
(1.118)
2n (2) 2 0,0455 (s1 s 2 ) s1 (30,1045 1,3114) 30,1045
2n 22 1,0455 s 2 s1 s 2 1,3114 30,1045 1,3114
2n 2 2 n n2 1 s1 s 2 s1s 2 n
Relaţia (1.118) se poate scrie astfel: unde:
forma:
Y(s) Y1 (s) Y2 (s) Y3 (s)
Y1 (s)
A1 0,0455 s s1 s 30,1045
Y2 (s)
A2 1,0455 s s2 s 1,3114
Y3 (s)
A3 1 s s
Descompunerea în fracţii simple se poate obţine folosind funcţia MATLAB residue, care este de
r, p, k residue (num, den) în care r este vectorul coloană al rezidurilor, p este vectorul coloană al polilor, iar k este vectorul linie al polinomului cât (num/den). Ca argumente funcţia residue are polinomul de la numărătorul şi numitorul funcţiei raţionale care se doreşte a fi descompusă în fracţii simple. Pentru cazul analizat se descompune în fracţii simple funcţia Y(s) din (1.118), cu următoarele secvenţe:
num 2 p i ^ 2; den 1 2 2.5 2 pi ( 2 pi )^ 2 0 r, p, k residue (num, den)
Se obţine: r 0.0455 1.0455 1.0000 p 30.1045 1.3114 0 k
Notând:
r1 0,0455; r2 1,0455; r3 1,0000; p1 30,1045; p 2 1,3114; p 3 0
se obţine:
Y(s)
r3 r1 r2 0,0455 1,0455 1 (s p1 ) (s p 2 ) (s p 3 ) s 30,1045 s 1,3114 s
Y1 (s) Y2 (s) Y3 (s)
deci, acelaşi rezultat. Corespunzător proprietăţii de liniaritate a transformatei Laplace:
y( t ) L1 Y (s) L1 Y1 (s) L1 Y2 (s) L1 Y3 (s) y 1 ( t ) y 2 ( t ) y 3 ( t )
şi în continuare, utilizând tabelul din Anexa 1, se determină:
y( t ) 0,0455e 30,1045t 1,0455e 1,3114 t 1( t ), t 0 .
(1.118a) Din (1.118a) se constată că valoarea de regim staţionar a răspunsului este:
y ST lim y( t ) 1 t
iar valoarea răspunsului în momentul iniţial t 0 , este: 10,0455 1,0455 1 0 , ceea ce justifică una din condiţiile iniţiale. PR.1.10. Stabilirea ecuaţiilor intrare-stare-ieşire pentru SLN2 utilizând variabilele de fază, calculul vectorului de stare X( t ) şi a răspunsului sistemului y( t ) Se consideră SLN invariant de ordinul 2 descris de ecuaţia diferenţială (1.56), cu condiţia iniţiale (1.57): y( t ) 2 n y ( t ) 2n y( t ) 2n r ( t ) , (1.119) (1.120) y(0) y(0) 0 . Sistemul fiind de ordinul n 2 , se aleg două variabile de fază pe care le notăm cu x 1 ( t ), x 2 ( t ) şi
x 1 ( t ) y( t ) .
Variabilele de fază sunt definite astfel: x 1 ( t ) y( t ) ,
x 2 ( t ) y ( t ) x 1 ( t ) .
Din ecuaţia diferenţială (1.119) se obţine:
y( t ) x 2 ( t ) 2 n y ( t ) 2n y( t ) 2n r ( t ) ,
(1.121) (1.122)
sau
y( t ) x 2 ( t ) 2n x 1 ( t ) 2 n x 2 ( t ) 2n r ( t ) ,
(1.123)
rezultând sistemul format din două ecuaţii diferenţiale de ordinul 1:
x 1 ( t ) x 2 ( t )
x 2 ( t ) 2n x 1 ( t ) 2 n x 2 ( t ) 2n r ( t )
.
(1.124)
Sistemul (1.124) se scrie sub forma matriceal-vectorială:
x 1 ( t ) 0 x ( t ) 2 n 2
sau
1 x1 (t) 0 r(t) 2 n x 2 ( t ) 2n
(1.125)
( t ) A X( t ) b r ( t ) , (1.126) X unde X( t ) este vectorul de stare (fază), vector coloană având n 2 componente. Pentru a determina mărimea de ieşire y( t ) se are în vedere că x 1 ( t ) y( t ) şi deci: x (t) y( t ) 1 0 1 , x 2 ( t )
sau
(1.127)
y( t ) c T X ( t ) .
(1.128) Ecuaţia (1.126) reprezintă ecuaţia intrare-stare (fază), iar ecuaţia (1.128) este ecuaţia stare (fază) -
ieşire.
A rezultat sistemul de ecuaţii intrare-stare-ieşire:
( t ) A X( t ) b r ( t ) X
(1.129)
y( t ) c T X ( t ) în care:
A este matricea constantă a sistemului de tipul 2 2 ; b este matricea de intrare de tipul 2 1 ; c T este matricea de ieşire de tipul. 1 2 . Pentru mărimea de intrare treaptă unitară, în ecuaţia intrare-stare (1.126) se pune r(t ) 1(t ) . Soluţia completă a ecuaţiei (1.126) este de forma 1, 8 :
X( t ) X ( t ) X f ( t ) e
At
t
X(0) e A t b r () d , t 0 ,
(1.130)
0
care se mai scrie:
t
X( t ) X ( t ) X f ( t ) ( t ) X(0) ( t ) b r () d , t 0 , (1.131) 0
unde:
X (t) e
At
X(0) ( t ) X(0) este componenta liberă a vectorului de stare, soluţia a ecuaţiei omogene asociată ecuaţiei (1.126) şi depinde de ( t ) şi vectorul de stare (fază) iniţială X(0) , care are forma:
iar
x (0) y(0) X(0) 1 x 2 (0) y (0) t
X f ( t ) ( t ) b r () d , este componenta forţată a vectorului de stare, determinată de 0
mărimea de intrare şi nu depinde de vectorul de stare iniţială. Se determină mărimea de ieşire conform ecuaţiei stare-ieşire (1.128):
t
y( t ) c T X( t ) c T ( t ) X(0) c T ( t ) b r () d , t 0 .
(1.132)
0
( t ) :
A rezultat că dinamica SLN este definită dacă este cunoscută matricea fundamentală (de tranziţie)
(t ) e
At
Ak tk , tR . k 0 k !
(1.133)
PR.1.11. Calculul răspunsului indicial al SLN2, în MATLAB, în baza soluţiei ecuaţiei diferenţiale. Performanţe. a) Răspunsul oscilant amortizat. Se utilizează relaţia (1.78) în care se adoptă: Tn 1(s), 0,50 deci n 2 / Tn 2 . Secvenţe MATLAB:
%Raspunsul indicial al SLN2: Tn=1(sec), %Factorul de amortizare:csi=0,50;pulsatia sistemului neamortizat: wn=2*pi; %Calculul performanţelor t=0:0.01:2.5; csi=0.5,wn=2*pi; p=[1 2*csi*wn wn^2], r=roots(p) %Radacinile ecuatiei caracteristice a1=exp(-csi*wn*t); a2=sqrt(1-csi^2); fi=acos(csi); b=sin(wn*a2.*t+fi); y=1-(a1/a2).*b; % Raspunsul indicial yst=1.00 %Valoarea de regim staţionar m=max(y) sigma=(m-yst)*100 tr=log(0.05*a2)/(-csi*wn) % Timpul de raspuns %% Se generează o rampă unitară v=t; %% Se obţine o treaptă unitară la nivelul yst=1, prin derivarea lui v(t) df1=diff(v)./diff(t); %% Se trasează plaja de reglare ± 0,05 din yst df2=1.05.*df1; df3=0.95.*df1; td=t(2:length(t)); plot(t,y,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k',td,df3,'-k'),grid title('Raspunsul indicial al SLN2') xlabel('t(sec.'),ylabel('h(t)') gtext('Factorul de amortizare = 0,5') gtext('1,05*1(t)') gtext('0,95*1(t)') [X,Y]=ginput %Se ridică din grafic coordonatele punctului de % maxim şi a punctului corespunzător duratei % regimului tranzitoriu În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate: rădăcinile ecuaţiei caracteristice:
r 3.1416 5.4414 i 3.1416 5.4414 i valoarea maximă a răspunsului: m 1.1630 suprareglajul σ (în %): sigma 16.3011 durata regimului tranzitoriu (calculată cu relaţia (1.90)): t r 0.9994 (în secunde)
În figura 1.25 se reprezintă graficul răspunsului indicial
Fig. 1.25 În secvenţele MATLAB prezentate, ultimul rând, cu instrucţiunea X, Y ginput s-au ridicat coordonatele punctului de maxim şi a punctului corespunzător duratei regimului tranzitoriu (punctul în care graficul răspunsului y( t ) intră în limitele 1 0,05 şi se menţine în aceste limite). Obligatoriu, după ridicarea coordonatelor punctelor care prezintă interes, se apasă tasta ENTER, prin aceasta cruciuliţa vizorului se transformă în săgeata specifică mous-ului şi se „încheie” instrucţiunea ginput. Corespunzător instrucţiunii ginput, în fereastra de comandă s-au obţinut coordonatele celor două puncte (în succesiunea ridicării lor):
X Y 0.5789 1.1611 0.8381 1.0506
Pentru punctul de maxim s-a obţinut p 1 (0.5789, 1.1611) , iar pentru punctul corespunzător duratei
regimului tranzitoriu p 2 (0.8381, 1.0506) . Valoarea maximă a răspunsului, ordonata punctului p 1 , este
1.1611 care este foarte apropiată de valoarea calculată m 1.1613 , iar abscisa punctului p 2 , egală cu 0,8381, reprezintă timpul de răspuns (în secunde) şi este foarte apropiată de valoarea t r 0,9994(s)
calculată cu relaţia (1.90). Observaţie. În diversele aplicaţii, pentru SLN cu n 2 , determinarea valorilor y max şi t r necesită calcule laborioase şi nejustificate. În astfel de cazuri instrucţiunea ginput este deosebit de eficientă. b) Răspunsurile aperiodic critic şi supraamortizat.
Sunt utilizate relaţiile (1.95), (1.118a). S-au adoptat valorile: Tn 1(s), n 2 şi 1.0,2.5. Secvenţe MATLAB:
%Răspunsul indicial al SLN2:Tn=1(sec), csi=1.0, 2.5, wn=2*pi. Performanţe t=0:0.01:5; csi1=1.0,csi2=2.5,wn=2*pi; %Se calculează radacinile ecuatiilor caracteristice p1=[1 2*csi1*wn wn^2],r1=roots(p1) p2=[1 2*csi2*wn wn^2],r2=roots(p2) yst=1.00 %Valoarea de regim stationar %Raspunsul aperiodic critic y1=1-(1+wn*t).*exp(-wn*t); %Raspunsul supraamortizat y2=1-1.0455*exp(-1.3114*t)+0.0455*exp(-30.1045*t); %Se generează o rampă unitară v=t; %Se obtine treapta unitară df1=diff(v)./(diff(t)); %Se obtine treapta la nivelul 0.95 yst df2=0.95*df1; td=t(2:length(t)); plot(t,y1,'-k',t,y2,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi') title('x=1.00, 2.00') uisetfont(gca,'Fonturi') xlabel('t(sec.)') ylabel('h(t)') axis([0 5 0 1.2]) gtext('Raspunsuri indiciale') gtext('Factorul de amortizare = 1.00 , 2,50 ') gtext('------1.0') gtext('------2.5') [X,Y]=ginput În figura 1.26 sunt redate cele două răspunsuri calculate.
Fig. 1.26 În fereastra de comandă sunt returnate valorile:
r1
6.2832 6.2832 r2 30.1045 1.3114 sunt:
Coordonatele punctelor ce definesc durata regimului tranzitoriu, obţinute cu instrucţiunea ginput,
X
Y
0.7431
0.9491
2.2984
0.9491
A rezultat că răspunsului aperiodic critic Y1 ( t ) îi corespunde t r1 0,7431(s) , iar răspunsului
supraamortizat t r 2 2,2984 . Răspunsurile fiind aperiodice 0 .
PR.1.12. Calculul răspunsului indicial şi a funcţiei pondere pentru SLN2, în MATLAB, utilizând funcţia de transfer a) Calculul răspunsului indicial Se utilizează fdt (1.99) în care se consideră: Tn 1(s), n 2 ,
0.15, 0.25, 0.4, 0.707,1.0, 2.5 şi se notează n w n , csi Secvenţe MATLAB:
%Calculul raspunsului indicial al SLN2:Tn=1(sec),wn=2*pi %F.d.t. Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2);yst=Ho(0)=1, %csi=0.15,0.25,0.40,0.707,1.00,2.50
t=0:0.1:3;wn=2*pi;num=[wn^2]; csi1=0.15;den1=[1 2*csi1*wn wn^2]; csi2=0.25;den2=[1 2*csi2*wn wn^2]; csi3=0.40;den3=[1 2*csi3*wn wn^2]; csi4=0.707;den4=[1 2*csi4*wn wn^2]; csi5=1.00;den5=[1 2*csi5*wn wn^2]; csi6=2.50;den6=[1 2*csi6*wn wn^2]; y1=step(num,den1,t);y2=step(num,den2,t); y3=step(num,den3,t);y4=step(num,den4,t); y5=step(num,den5,t);y6=step(num,den6,t); plot(t,y1,'-k',t,y2,'-k',t,y3,'-k',t,y4,'-k',t,y5,'-k',t,y6,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selectează Symbol-Bold-12 title('x=0.15,0.25,0.40,0.707,1.00,2.50') uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selectează Arial-Bold-12 xlabel('t(sec)'),ylabel('h(t)') gtext('Raspunsuri indiciale') gtext('Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2)') text(0.557,1.5658,['-------0.15']) text(0.5495,1.4200,['-------0.25']) text(0.5565,1.2455,['-------0.40']) text(0.3836,0.8447,['-------0.707']) text(0.3836,0.6868,['-------1.00']) text(0.5426,0.4816,['-------2.50']) Răspunsurile indiciale sunt prezentate în figura 1.27. Din figura 1.27 se constată faptul că pentru valorile adoptate ale factorului de amortizare, 0 , răspunsurile indiciale sunt stabile, componentele tranzitorii se amortizează în timp şi corespunzător se instaurează regimul staţionar y ST 1 . Se mai constată că pentru valori mici ale factorului de amortizare
0 0,5 , răspunsurile indiciale au un caracter inacceptabile. În practică 0,5 0,88 .
pregnant oscilant, iar suprareglajele sunt mari,
Fig. 1.27
Răspunsul optim al SLN2 se obţine pentru 0,7071 . Răspunsurile aperiodic critic şi supraamortizat sunt caracterizate de valori mari ale timpului de răspuns şi suprareglaj 0 . b) Calculul răspunsului SLN2 la impuls unitar, în MATLAB, utilizând funcţia de transfer. Pentru calculul coeficienţilor fdt (1.99) se consideră: Tn 1(s), 0.15, 0.25, 0.707, 1.00 iar
n 2 . Ca şi în exemplul precedent, se notează n w n şi csi . Secvenţe MATLAB:
%Calculul raspunsului la impuls unitar al SLN2:Tn=1(sec),wn=2*pi %F.d.t. Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2); csi=0.15,0.25,0.707,1.00. t=0:0.01:3;wn=2*pi;num=[wn^2]; csi1=0.15;den1=[1 2*csi1*wn wn^2]; csi2=0.25;den2=[1 2*csi2*wn wn^2]; csi3=0.707;den3=[1 2*csi3*wn wn^2]; csi4=1.00;den4=[1 2*csi4*wn wn^2]; y1=impulse(num,den1,t);y2=impulse(num,den2,t); y3=impulse(num,den3,t);y4=impulse(num,den4,t); plot(t,y1,'-k',t,y2,'-k',t,y3,'-k',t,y4,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selecteaza Symbol-Bold-12 title('x=0.15,0.25,0.707,1.00') uisetfont(gca,'Fonturi')%Se selecteaza Arial-Bold-12 xlabel('t(sec)'),ylabel('w(t)') gtext('Raspunsuri la impuls unitar') gtext('Ho(s)=wn^2/(s^2+2*csi*wn*s+wn^2)') text(0.2800,4.7865,['-------0.15']) text(0.2661,4.2310,['-------0.25']) text(0.2730,2.4594,['-------0.707']) text(0.3274,1.6287,['-------1.00']) Răspunsurile SLN2 la impuls unitar sunt prezentate în figura 1.28:
Fig. 1.28
Din figura 1.28 rezultă că răspunsurile SLN2 la impuls unitar, pentru 0.15, 0.25 , sunt caracterizate de oscilaţii accentuate , ca şi în cazul precedent. Răspunsul optim corespunde valorii 0,707 . În toate cazurile, 0 , răspunsurile la impuls unitar se amortizează în timp, aspect care denotă faptul că SLN2 sunt stabile. Deci, pentru SLN stabile:
lim w ( t ) 0
t
PR.1.13. Calculul răspunsului indicial al SLN2 în SIMULINK. Performanţe. Se utilizează fdt (1.99) şi se analizează răspunsul indicial optim, care corespunde factorului de amortizare 0,707 . Schema de modelare echivalentă în SIMULINK este prezentată în figura 1.29:
Fig. 1.29 Destinaţia blocurilor Step: Step: generează mărimea de intrare treaptă unitară 1( t ) ;
Step 1: generează o funcţie treaptă 1,05 1(t ) ; Step 2: generează o funcţie treaptă 0,95 1( t ) ; Block Parameters: Step Step time: Initial value: Final value:
Step
Step 1
Step 2
0 0 1
0 0 1.05
0 0 0.95
Block Parameters: Transfer Fcn Numerator: [(2*pi)^2] Denominator: [1 2*0.707*2*pi (2*pi)^2] Block Parameters: MUX Number of inputs: 3 Properties: Scope
Y max 1.2 Y min 0
Time range: auto Simulation parameters: Start time: 0.0 Stop time: 1.5 În figura 1.30.a se prezintă graficul răspunsului indicial şi plaja de reglare trasată prin cele două trepte la nivelele 1,05 1(t ) şi respectiv 0,95 1( t ) . Se constată că y ST 1 . Pentru a determina suprareglajul se deschide, în jurul punctului de maxim a răspunsului, o mică fereastră, cu butonul din stânga mous-ului (fig.1.30.b.). Din figura 1.30.b. se constată că valoarea maximă a răspunsului este y max 1,0432 , iar
suprareglajul y max y ST 0,0432 , sau exprimat în procente 4,32% . De asemenea, se deschide o mică fereastră în jurul punctului în care răspunsul intră în limitele plajei de reglare (fig.1.30.c.), abscisa acestui punct reprezentând timpul de răspuns t r 0,467(s) .
a)
b)
c) Fig.1.30 PR.1.14. Calculul răspunsului SLN2 la o referinţă rampă unitară, cu program în MATLAB Se utilizează fdt (1.99) şi se consideră Tn 1(s), 0,707 şi deci n 2 . S-a adoptat pentru factorul de amortizare valoarea 0,707 care corespunde unui răspuns indicial optim. Se va analiza dacă şi în cazul referinţei rampă unitară, r ( t ) v( t ) t , răspunsul este optim.
Secvenţe MATLAB:
%Calcularea raspunsului SLN2 la referinţă rampă unitară v=t; %Se adoptă:Tn=1(sec), csi=0.707, wn=2*pi t=0:0.01:2; wn=2*pi; csi=0.707; num=[wn^2];den=[1 2*csi*wn wn^2]; v=t; [y,x]=lsim(num,den,v,t); plot(t,y,'-k',t,v,'-k');grid uisetfont(gca,'Fonturi') title('x=0.707, w=2pi') uisetfont(gca,'Fonturi') xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t),v(t)') gtext('Raspunsul SLN2 la referinta rampa unitara') gtext('Ho(s)=(2pi)^2/(s^2+2*0.707*2*pi*s+(2pi)^2)') text(0.8,0.8,['----------------v(t)=t']) text(0.8,0.57,['------------y(t)']) [X,Y]=ginput În figura 1.31 sunt reprezentate graficele răspunsului y( t ) şi referinţei v( t ) .
Fig. 1.31 Cu instrucţiunea ginput au fost ridicate coordonatele punctelor de intersecţie a verticalei dusă din punctul de pe abscisă t 1,5(s) cu y( t ) şi v( t ) . S-a obţinut: X= Y= 1.5000 1.5000 1.5000 1.2719 A rezultat valoarea erorii permanente (de viteză) egală cu () 1.5000 1.2719 0,2281 care este necorespunzătoare. Sistemele închise descrise printr-o fdt de forma (1.99) nu pot fi utilizate în cazul referinţei rampă unitară sau rampă, ci numai în cazul referinţei treaptă unitară sau treaptă. PR.1.15. Evaluarea performanţelor reglării în regim permanent pentru un SLN cu n=3. Pentru sistemul de urmărire cu funcţia de transfer a sistemului deschis (fig.1.32); de forma [4]:
Fig. 1.32.
H d (s)
Kd Y (s) (s) s(T1s 1)(T2 s 1)
a) să se calculeze primii trei termeni ai erorii; b) să se calculeze valorile numerice pentru coeficienţii erorii C 1, C2, dacă Kd=100, T1=0,01 (s), T2=0,005 (s=. Rezolvare a) În fdt (1.134) coeficientul K d este coeficientul total de amplificare al sistemului deschis, iar T1 şi T2 sunt constantele de timp. Fdt (1.134) corespunde unui SA de tipul 1 (are un pol în origine). Se determină fdt a elementului de comparaţie numită şi fdt a erorii (notată cu H (s) ):
H (s)
(s) 1 , R (s) 1 H d (s)
(1.135)
în care introducând relaţia (1.134) se obţine:
s(T1s 1)(T2 s 1) T1T2 s 3 (T1 T2 )s 2 s , (1.136) s(T1s 1)(T2 s 1) K d T1T2 s 3 (T1 T2 )s 2 s K d Observaţie: Pentru SA de tipul 1 se demonstrează că C 0 0 , [1]. Se dezvoltă fdt a erorii (1.136) în serie de puteri prin împărţirea polinomului de la numărător la H (s)
cel de la numitor [4]:
Se compară rezultatul obţinut cu seria de puteri de forma [1]:
H (s)
C 1 C 0 C 1s 2 s 2 , 1 H d (s) 2
(1.137)
rezultând coeficienţii erorii:
C 0 0, C1
1 C2 1 , Kd 2 Kd
1 T1 T2 Kd
.
(1.138)
b) Se calculează valorile numerice pentru coeficienţii erorii C 1 , C 2 , dacă
K d 100, T1 0,01(s), T2 0,005(s) : 1 1 C1 0,01 , K d 100
(1.139)
C2
forma:
2 1 2 1 (T1 T2 ) 0,01 0,005 0,0001 , Kd Kd 100 100
(1.140)
PR.1.16. Pentru sistemul închis cu reacţie principală unitară (fig.1.32) având funcţia de excitaţie de
t2 , 2
(1.141)
Kd Y (s) , (s) s(T s 1)
(1.142)
r ( t ) b 0 1( t ) v t a
iar funcţia de transfer a sistemului deschis:
H d (s)
să se calculeze eroarea permanentă în raport cu intrarea. Rezolvare: Fdt a erorii este:
H (s)
T s2 s (s) 1 . R (s) 1 H d (s) T s 2 s K d
(1.143)
Corespunzător relaţiei (1.143), împărţind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor, se obţine seria:
Deci,
T 2T 1 1 1 (1.144) s 2 s 2 2 3 s 3 ... Kd Kd Kd Kd K d iar după înmulţirea cu imaginea Laplace a intrării R (S) Lr ( t ) , se obţine imaginea Laplace a erorii: H (s)
1 T 1 s 2 K d Kd Kd
2 2T 1 s 2 3 s 3 ... R (s) . (1.145) Kd Kd Identificând coeficienţii, pentru aceleaşi puteri ale lui s , din (1.145) şi relaţia [1]: C C (s) C 0 C1s 2 s 2 3 s 3 ... R (s) , (1.146) 2 3!
(s) R (s) H (s)
se obţin coeficienţii generalizaţi ai erorii:
C 0 0, C1
T 2T 1 1 1 , C 2 2 2 , C 3 6 2 3 . Kd Kd Kd Kd Kd
Se calculează derivata funcţiei de excitaţie: r( t ) v a t , r( t ) a ,
(1.147) (1.148) (1.149)
derivatele de ordine superior n 2 fiind nule. Dacă se trece la funcţiile original din relaţia (1.146) se obţine expresia erorii de regim permanent:
p ( t ) C 0 r ( t ) C1
dr( t ) C 2 d 2 r ( t ) ... dt 2 d t2
(1.150)
În (1.150) se introduc derivatele (1.148), (1.149) împreună cu coeficienţii erorilor din (1.147) şi se determină eroarea de regim permanent în raport cu intrarea:
p ( t ) C1
C dr ( t ) C 2 d 2 r ( t ) C1 ( v a t ) 2 a ... 2 dt 2 dt 2
vat a 1 (T ) Kd Kd Kd
(1.151)
PR.1.17. Pentru sistemul automat închis, cu reacţie principală directă, a cărui funcţie de transfer are expresia:
H 0 (s)
5 s 200 Y (s) , 3 R (s) 0,001 s 0,502 s 2 6 s 200
să se calculeze eroarea permanentă dacă funcţia de excitaţie este de forma: r ( t ) 5 20 t 10 t 2 . Rezolvare Se determină fdt a erorii utilizând relaţia [1]:
H (s)
0,001s 3 0,502 s 2 s (s) 1 H 0 (s) . R (s) 0,001s 3 0,502 s 2 6 s 200
Se calculează derivatele funcţiei de excitaţie: r(t ) 20 20 t , r(t ) 20 , r(t ) 0 , şi având în vedere relaţia [1]:
dr ( t ) C 2 d 2 r ( t ) C 3 d 3 r ( t ) ... dt 2 d t2 3! d t 3 se constată că trebuie determinaţi coeficienţii C 0 , C1 , C 2 . p ( t ) C 0 r ( t ) C1
obţine:
(1.152) (1.153)
(1.154) (1.155) (1.156) (1.157) (1.158)
Din relaţia (1.154), prin împărţirea polinomului de la numărător la polinomul de la numitor se
C 0 0, C 1
1 C2 , 0,00236 . 200 2
(1.159)
Utilizând relaţia (1.158) se determină eroarea permanentă:
p ( t ) C1 r ( t )
C2 20 20 t r( t ) 20 0,00236 0,1472 0,1 t 2 200
(1.160)
PR.1.18. Pentru subsistemul a cărui comportare liberă este descrisă prin ecuaţia diferenţială omogenă de forma:
T1T2
d 3 y( t ) d 2 y( t ) d y( t ) ( T T ) 0, 1 2 dt d t3 d t2
(1.161)
să se calculeze: a) matricea subsistemului A corespunzătoare variabilelor de fază; b) matricea fundamentală ( t ) utilizând metoda transformatei Laplace;
c) componenta liberă a vectorului de stare în cazul condiţiei iniţiale X(0) x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0) . Rezolvare a) Se aleg următoarele variabile de fază: T
x 1 y, x 2 x 1 y , x 3 x 2 y , şi se obţine următorul sistem format din trei ecuaţii diferenţiale de ordinul 1: x 1 x 2 x 2 x 3
(1.162)
(1.163)
x 3 y
T T2 1 x2 1 x3 T1T2 T1T2
Sistemului de ecuaţii diferenţiale (1.163) i se asociază ecuaţia omogenă matriceal-vectorială:
1 x 1 0 x 0 0 2 x 3 0 1 T1T2
x1 x , 1 2 T1 T2 x 3 T1T2 0
matricea A având expresia:
1 0 A 0 0 1 0 T1 T2
(1.164)
. 1 T T2 1 T1 T2 0
(1.165)
b) Transformata Laplace a matricei fundamentale este:
adjs I 3 A . det s I 3 A Se calculează matricea sI 3 A : (s) s I 3 A 1
1 s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 0 s 0 1 T1T2
0 1 T T2 1 T1T2
s 0 0
1 0 11 s 1 21 T1 T2 1 31 s T1T2 T1T2 Transpusa matricei s I 3 A este:
s I 3 A
T
11 12 13
21 22 23
(1.166)
12 22 32
(1.167)
13 23 33
31 32 33
Determinantul matricei s I 3 A , notat cu , are forma:
T T2 T T s 2 T1 T2 s 1 1 s s 2 s 1 s 1 2 T1T2 T1T2 T1T2 (1.168) 1 1 s s s T1 T2 în care s-a avut în vedere că din 0 rezultă rădăcinile ecuaţiei s1 0, s 2 1 / T1 , s 3 1 / T2 . Se scrie relaţia (1.166) astfel:
caracteristice:
A 11 adjs I 3 A A 21 (s) det s I 3 A A 31
A 12 A 22 A 32
A 13 A 23 , A 33
(1.169)
unde A iK este complementul algebric a elementului matricei s I 3 A , numeric egal cu minorul iK a T
elementului corespunzător liniei i şi coloanei k , luat cu semnul 1 Matricea (s) are următoarea structură:
ik
.
11 (s) 12 (s) 13 (s) (s) 21 (s) 22 (s) 23 (s) , 31 (s) 32 (s) 33 (s)
(1.170)
în care, dacă se are în vedere notaţiile din (1.167), elementele matricei de tranziţie sunt:
T1 T2 1 ) 32 23 A (1) T1T2 T1T2 1 11 (s) 11 11 22 33 , 1 1 s s(s ) (s ) T1 T2 T T2 s 1 3 32 13 A ( 1) T1T2 , 12 (s) 12 12 12 33 1 1 s s s T1 T2 2
s(s
A 13 13 (1) 4 12 23 22 13 1 , 1 1 s s s T1 T2 31 23 A (1) 3 21 (s) 21 21 21 33 0, T T2 s 1 4 31 13 A ( 1) T1T2 , 22 (s) 22 22 11 33 1 1 s s T1 T2
13 (s)
A 23 23 (1) 5 13 21 1 , 11 23 1 1 s s T1 T2 4 A (1) 22 31 31 (s) 31 31 21 32 0, A (1) 5 12 31 1 32 (s) 32 32 11 32 1 1 T1T2 s s T1 T2
23 (s)
,
A 33 33 (1) 6 11 22 12 21 s . 1 1 s s T1 T2 Calculând originalul fiecărui element al matricei (s) se obţine matricea fundamentală ( t ) : 33 (s)
L1 11 (s) L1 12 (s) L1 13 (s) t L1 s L1 21 (s) L1 22 (s) L1 23 (s) , L1 31 (s) L1 32 (s) L1 33 (s)
(1.171)
Pentru calculul funcţiilor original se vor folosi teoremele dezvoltării ale lui Heaviside (Anexa 1):
1 (1.172) 11 ( t ) L1 11 (s) L1 1( t ) , s T1 T2 s T1T2 1 1 12 ( t ) L 12 (s) L 1 1 s s s T1 T2 Se constată că 12 (s) are un pol de ordinul unu în origine şi doi poli reali negativi şi simpli. Pentru
determinarea originalului se foloseşte a doua teoremă a dezvoltări a lui Heaviside. Conform teoremei se scrie:
12 (s) în care:
P1 (s) P (s) 1 , P2 (s) s P3 (s) P2 (s) s P3 (s)
P1 (s) s iar:
T1 T2 1 1 , P3 (s) s s T1 T2 T1 T2
,
P3 (s) 0 , are rădăcinile s 2 1 / T1 şi s 3 1 / T2 , T T2 P 3 (s) 2 s 1 T1T2
Corespunzător teoremei a doua a dezvoltării:
12 ( t )
3 Sk t P1 (0) P (s ) . 1 K e P3 (0) K 2 s P (s ) 3 K K
(1.173)
În relaţia (1.173):
T1 T2 1 , , P3 (0) T1 T2 T1 T2 1 T T2 1 1 T1 T2 1 P1 (s 2 ) 1 ; P1 (s 3 ) , T1 T1T2 T2 T2 T1 T2 T1 2 T T2 T1 T2 , P 3 (s 2 ) 1 T1 T1T2 T1T2 1 T T2 T2 T1 , s 2 P 3 (s 2 ) 1 2 T1 T1T2 T1 T2 2 T T2 T2 T1 P 3 (s 3 ) 1 T2 T1T2 T1T2 1 T T1 T1 T2 s 3 P3 (s 3 ) 2 T2 T1T2 T1 T22 P1 (0)
După înlocuiri în (1.173) rezultă: 1
12 ( t ) T1 T2
1
t t T12 T22 e T1 e T2 , T2 T1 T1 T2
(1.174)
1 13 ( t ) L1 13 (s) L1 1 1 s s s T1 T2 Pentru determinarea originalului 13 ( t ) se apelează, de asemenea, la a doua teoremă a dezvoltării a
lui Heaviside exprimată prin relaţia (1.173), în care:
P1 (s) 1, P1 (0) 1, P1 (s1 ) P2 (s 2 ) 1
1 1 1 P2 (s) s P3 (s), P3 (s) s s , cu s 2 1 / T1 , s 3 T1 T2 T2 T T T T 1 P3 (0) , s 2 P3 (s 2 ) 2 2 1 , s 3 P3 (s 3 ) 1 2 2 , T1T2 T1 T2 T1T2
Făcând înlocuirile necesare în (1.173) se obţine: 1
1
t T 2T T T2 t 13 ( t ) T1T2 1 2 e T1 1 2 e T2 . T2 T1 T1 T2 21 ( t ) 0 .
(1.175) (1.176)
T1 T2 s T1T2 1 1 . 22 ( t ) L 22 (s) L 1 1 s s T1 T2 Pentru determinarea originalului 22 ( t ) se utilizează prima teoremă a dezvoltării a lui Heaviside, deoarece 22 (s ) are poli simpli. Se scrie 22 (s ) astfel:
, Din P2 (s) 0 , rezultă s1 1 / T1 , s 2 1 / T2 , polii funcţiei 22 (s) fiind simpli se determină 22 (s)
P1 (s) T T2 1 1 , P1 (s) s 1 , P2 (s) s s P2 (s) T1T2 T1 T2
originalul cu relaţia:
P1 (s K )
2
22 ( t )
k 1
unde:
P 2 (s K )
e SK t
(1.177)
1 T1 T2 1 1 T1 T2 1 , P1 (s 2 ) T1 T1T2 T2 T2 T1T2 T1 T T2 P 2 (s) 2 s 1 T1T2 2 T T2 T1 T2 2 T1 T2 T2 T1 P 2 (s1 ) 1 , P2 (s 2 ) T1 T1 T2 T1T2 T2 T1T2 T1T2 P1 (s1 )
şi respectiv:
t
t
T1 T2 22 ( t ) e T1 e T2 T1 T2 T2 T1
1 1 23 ( t ) L 1 1 s s T1 T2
(1.178)
Pentru determinarea originalului 23 ( t ) se descompune 23 (S) în fracţii simple, corespunzător polilor s1 1 / T1 şi s 2 1 / T2 .
23 (s) în care:
1 1 1 s s T1 T2
A
1 s T1
B
s
1 T2
TT 1 1 A lim s 23 (s) 1 2 SS1 T1 T1 T2 1 1 T1 T2
1 B lim s SS2 T2 deci,
23 (s) şi se obţine:
TT 1 23 (s) 1 2 1 1 T2 T1 T2 T1
T1T2 T1 T2
1 s
1 T1
T1T2 T2 T1
t
1 s
1 T2
t
TT TT 23 ( t ) 1 2 e T1 1 2 e T2 . T1 T2 T2 T1 31 ( t ) 0 ,
(1.179) (1.179.a)
1 1 32 ( t ) L 1 1 T1T2 s s T1 T2 1 Se constată că 32 (s) 23 (s) , deci, în baza proprietăţii de liniaritate, se scrie: T1T2 t
t
1 1 1 32 ( t ) 23 ( t ) e T1 e T2 , T1T2 T1 T2 T2 T1
s 1 33 ( t ) L 1 1 s s T1 T2
(1.180)
Se utilizează prima teoremă a dezvoltării a lui Heaviside, relaţia (1.177), în care:
s1 1 / T1 , s 2 1 / T2 , P1 (s1 ) 1 / T1 , P1 (s 2 ) 1 / T2 T T T T P2 (s1 ) 1 2 , P2 (s 2 ) 1 1 T1T2 T1T2 33 (s)
P1 (s) 1 1 , P1 (s) s, P2 (s) s s P2 (s) T1 T2
Făcând înlocuirile corespunzătoare în (1.177) se obţine: t
t
T2 T1 1 33 ( t ) e T1 e T2 T2 T1 T1 T2 T1 T2
t tt T e 2 T e T1 . (1.181) 2 1
At
S-a obţinut matricea fundamentală ( t ) e , având elementele din (1.171) calculate. c) Componenta liberă a vectorului de stare este dată de relaţia:
x 1 ( t ) 11 ( t ) 12 ( t ) 13 ( t ) x 1 (0) X ( t ) x 2 ( t ) ( t ) X(0) 21 ( t ) 22 ( t ) 23 ( t ) x 2 (0) , x (t) 31 ( t ) 32 ( t ) 33 ( t ) x 3 (0) 3
(1.182)
din care rezultă:
x 1 ( t ) 11 ( t ) x 1 (0) 12 ( t ) x 2 (0) 13 ( t ) x 3 (0) ,
x 2 ( t ) 21 ( t ) x 1 (0) 22 ( t ) x 2 (0) 23 ( t ) x 3 (0) , x 3 ( t ) 31 ( t ) x 1 (0) 32 ( t ) x 2 (0) 33 ( t ) x 3 (0) ,
iar după înlocuiri se obţine:
t t T 12 T22 x 1 t x 1 0 1t T1 T2 e T1 e T2 T2 T1 T1 T2
x 0 2
t t T1 T2 T1 T2 T1T2 1 e e x 0; T2 T1 3 T1 T2 t t T T2 T1 T2 1 x 2 t e e x 0 T1 T2 2 T T 1 2
T1T2 T1 T2
t Tt e 1 e T2
x 0; 3
t t 1 1 T1 T2 x 3 t e e x 0 T1 T2 2 T1 T2 t t T T2 T2 T1 1 e e x 0 T1 T2 3 T T 1 2
PR.1.19. Pentru SLN monovariabil de ordinul 2 deschis de ecuaţiile de stare:
X t AXt b r t y t c T X t
cu condiţiile iniţiale: în care:
X( t ) t 0 X(0) 0 1
T
1 1 0 A , b , c T 1 0, r ( t ) 1( t ) 0 2 1
să se calculeze: a) matricea fundamentală utilizând: a1) metoda transformatei Laplace; a2) metoda polinomului matriceal; a3) metoda polinomului de interpolare Lagrange-Silvester; a4) metoda seriei infinite. b) soluţia ecuaţiei matriceale intrare-stare: X( t ) X ( t ) X f ( t ) ; c) răspunsul SLN la intrare treaptă unitară; d) funcţia de transfer H 0 (s) . Rezolvare
(1.183)
a) Calculul matricei de tranziţie a1) Metoda transformatei Laplace [1] Se determină matricea:
0 1 1 s 1 1 11 s 0 2 0 s 2 21 0 Determinantul matricei s I 2 A este: s
s I 2 A
dets I 2 A s 1s 2 , iar 0 are rădăcinile s 1 1 şi s 2 2 .
12 , 22 (1.184)
Se calculează matricea inversă s I 2 A : 1
adjs I 2 A (1.185) det s I 2 A Fiecare element al matricei B adjs I 2 A este complementul algebric al elementului (s) s I 2 A 1
corespunzător din matricea s I 2 A . T
11 12
s I 2 A T B B 11 B12
21 s 1 0 , 22 1 s 2
B 21 s 2 1 . B 22 0 s 1
Matricea (s) s I 2 A
unde:
1
(1.186)
are următoarea formă:
(s) 12 (s) (s) 11 , 21 (s) 22 (s) B11 11 (1) 2 22 s2 1 , s 1s 2 s 1 B (1) 3 1 1 , 12 (s) 21 12 12 s 1s 2 11 (s)
B12 21 1 21 0 , B 22 22 (1) 4 11 s 1 1 . 22 (s) s 1s 2 s 2 3
21 (s)
Matricea de tranziţie poate fi scrisă astfel:
1 12 (s) s 1 22 (s) 0
1 11 (s) (s 1) (s 2) . (s) 1 21 (s) s 2 Se calculează originalul fiecărui element al matricei (s) : 1 t 11 ( t ) L1 11 (s) L1 e s 1 1 12 ( t ) L1 12 (s) L 1 . s 1s 2 Se descompune 12 (s) în fracţii simple: 1 A B , 12 (s) s 1s 2 s 1 s 2
(1.187)
unde:
1 1, 1 2 1 B lim s 2 12 (s) 1 , SS2 2 1
A lim s 1 12 (s) s s 1
rezultând:
1 1 s 1 s 2
12 (s) cu originalul:
12 ( t ) e t e 2 t 21 ( t ) 0 1 22 ( t ) L1 22 (s) L1 e 2t s 2
S-a obţinut matricea de tranziţie a stării:
e t ( t ) 0
e t e 2 t . e 2 t
(1.188)
a2) Metoda polinomului matriceal Funcţia de matrice f (A ) ( t ) e care n 2 , astfel [Anexa 1]: 1
bkAk b k 0
f (A ) P1 (A ) Rădăcinile
se exprimă sub forma unui polinom de gradul n 1 , în
At
I b1 A ,
(1.189)
0 2
1 s 1 1 şi 2 s 2 2 fiind distincte, pentru
ecuaţiei caracteristice
determinarea coeficienţilor b 0 şi b 1 se formează sistemul: deci:
f ( i ) P1 i , i 1, 2 ,
f 1 e
1t
f ( 2 ) e
2t
(1.190)
1
b k k b 0 b k 0
1
1
1
,
1
b k k b 0 b k 0 2
1
2
(1.191) .
(1.192)
Rezolvând sistemul format din (1.191) şi (1.192) se obţine:
b0 b1
2e e
1t
1e 2 1
2t
t
2t
2e t e 2 t 2 e t e 2t 2 1
e 1 e 2t e t e t e 2t 2 1
Matricea fundamentală a stării este de forma:
1 0 1 1 e At b 0 I 2 b 1 A 2e t e 2 t e t e 2t 0 1 0 2 2e t e 2 t e t e 2 t 0 0 2e t e 2 t 0 e t e t e 2 t e 2t 0
e t e 2t
2e t
... 2e 2 t
Se constată că s-a obţinut acelaşi rezultat ca şi în (1.188). a3) Metoda polinomului de interpolare Lagrange - Silvester.
(1.193)
Pentru valori proprii simple şi n 2 , teorema Lagrange - Silvester este: 2
2
k 1
i 1 ik
f (A) P1 (A) f ( k )
A iI2 k i
(1.194)
în care 1 1 şi 2 2 Se calculează: 2
f ( K )
k i 1
, k 1, 2 şi i k ,
1
pentru k 1 şi i 1 :
f ( 1 ) e t e t , 1 2 1 2 pentru k 2 şi i 2 : f ( 2 ) e 2 t e 2 t , 2 1 2 1 Se calculează: 2
A i I , i 1 2
pentru k 1 şi i 2 :
A 2 I 2 pentru k 2 şi i 1 :
i 1, 2 şi i k
1
0
1 2 0 1 1 , 2 0 2 0 0
1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1
A 1 I 2
A rezultat conform (1.194):
e t e
1t
A 2 I 2 1 2
e
2t
A 1 I 2 2 1
1 e t 1 1 2 t 0 e t e 0 1 0 0 0 e t 0
e t 0 e 2 t 0 0 e 2 t
(1.195)
e t e 2t e 2t
a4) Metoda seriei infinite Se utilizează relaţia:
e unde:
At
A2t 2 A3t3 An tn An tn , I 2 At ... ... 2! 3! n! n 0 n !
1 1 A , 0 2 1 1 1 1 1 3 A2 A A , 0 2 0 2 0 4 1 1 1 3 1 7 A3 A A2 ,... 0 2 0 4 0 8
(1.196)
e At I 2 At
A2t 2 A3t3 ... 2 6
7 3 1 3 2 t 3 t t 6 6 ... 2 4 3 2 0 t 2t 3 t2 1 3 3 7 1 t t ... t t 2 t 3 ... 2 6 2 6 4 2 0 1 2t 2t t 3 ... 3 2 t t 1 0 t 2 0 1 0 2 t 0
(1.197)
Având în vedere faptul că:
e t
( t ) n t2 t3 1 t ... 2 6 n 0 n !
e t
(2t ) n 4t 2 4t 3 1 2 t ... 2 3 n 0 n ! 3 7 e 2 t t t 2 t 3 ... 2 6
e 2t
relaţia (1.197) devine:
e t e At 0
e t e 2 t . e 2t
(1.198)
b) Soluţia ecuaţiei matriceale intrare-stare este de forma [1]: t
X( t ) X ( t ) X f ( t ) e At X(0) e A ( t ) b r () d . Având în vedere relaţia (1.198) rezultă:
e ( t ) e A ( t ) 0
şi corespunzător:
(1.199)
0
e ( t ) e 2( t ) e 2( t )
e ( t ) e ( t ) e 2 ( t ) 0 t b 1( t ) 1( t ) ... e 2( t ) 0 1 e ( t ) e 2 ( t ) 1( t ) e 2( t )
(1.200)
Se calculează componenta a vectorului de stare:
t t ( t ) e 2 ( t ) d e ( t ) 1 e 2 t e 2 X f (t) 0 t 1 2( t ) 2( t ) e d 0 e 2 0 0,5 e t 0,5e 2 t 2t 0,5 0,5 e
(1.201)
Pentru componenta liberă a vectorului de stare se obţine:
e t X ( t ) e At X(0) 0
e t e 2 t 0 e t e 2 t . e 2 t 1 e 2 t
Introducând (1.201) şi (1.202) în (1.199) se obţine:
(1.202)
e t e 2 t 0,5 e t 0,5e 2 t 0,5 2e t 1,5e 2 t X( t ) , t 0 .(1.203) 2t 2t 2t e 0,5 0,5e 0,5 1,5e Pentru un domeniu al timpului suficient de mare, teoretic t : lim e t e 2 t 02 x1 lim X ( t ) t 2 t t (e ) tlim T Deoarece X (0) x 1 (0), x 2 (0) ct , condiţia de mai sus conduce la relaţia:
lim e t lim ( t ) t t 0
lim e t e 2 t 02 x 2 lim e 2 t t SLN care satisface condiţiile lim X ( t ) 0 şi respectiv lim ( t ) 0 se numesc intern t
t
t
asimptotic stabile. La astfel de sisteme lim Y ( t ) 0 t c) Răspunsul SLN2 la intrare treaptă unitară. Răspunsul sistemului este de forma: y( t ) c T X ( t ) , în care se înlocuieşte (1.203):
(1.204)
0,5 2e t 1,5e 2 t t 2 t y( t ) 1 0 0,5 2e 1,5e . 2 t 0,5 1,5e
(1.205)
Cele două componente ale răspunsului, liberă şi forţată:
y( t ) y ( t ) y f ( t )
au expresiile:
e t e 2 t t 2 t y ( t ) c T X ( t ) 1 0 1( t ) e e e 2 t t 0,5 e 0,5e 2 t y f ( t ) c T X f ( t ) 1 0 0,5 e t 0,5e 2 t 1( t ) 2 t 0 , 5 0 , 5 e
Prin superpoziţia celor două componente ale răspunsului se obţine relaţia (1.205). d) Calculul funcţiei de transfer Expresia fdt este de forma:
H 0 (s) c T (s) b c T s I 2 A b . 1
(1.206)
Introducând în (1.206) expresia:
(s) sI 2 A se obţine:
1
1 s 1 0
1 H 0 (s) 1 0 s 1 0
1 s 1s 2 1 s2
1 1 s 1s 2 0 1 1 s 1s 2 s2
(1.207)
PR.1.20. Pentru realizarea de stare A, b, c T 2 , din problema PR.1.19, să se calculeze, în MATLAB, componenta liberă a vectorului de stare şi să se reprezinte grafic.
Rezolvare Secvenţe MATLAB:
%%Calculul componentelor libere ale vectorului de stare a SLN2 %%A=[-1 1;0 -2]; B=[0;1]; C=[1 0]; D=[0]; X0=[0;1] A=[-1 1;0 -2];B=[0;1];C=[1 0];D=[0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) t=[0:0.01:4]; x0=[0 1]; u=0*t; [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0); subplot(211),plot(t,x(:,1)),grid title('Componenta libera X1(t)') xlabel('t(sec)'),ylabel('X1(t)') subplot(212),plot(t,x(:,2)),grid title('Componenta libera X2(t)') xlabel('t(sec)'),ylabel('X2(t)') În fereastra de comandă s-au obţinut coeficienţii celor două polinoame ale fdt :
num
0 0 1 den 1 3 2 corespunzând fdt (1.207): num(s) 1 1 H 0 (s) 2 den(s) s 3s 2 (s 1)(s 2)
În figura 1.33 sunt prezentate cele două componente libere ale vectorului de stare:
X ( t ) x 1 ( t ), x 2 ( t )
T
Din figura 1.33 se constată că lim X ( t ) 0 , deci SLN2 este intern asimptotic stabil. t
În figura 1.34 se prezintă răspunsul indicial al SLN2 calculat în baza realizării de stare T A, b, c T şi X (0) 0 1 , din problema precedentă. Graficul răspunsului indicial s-a obţinut cu următoarele secvenţe MATLAB:
Fig. 1.33
%%Calculul raspunsului SLN2 descris de realizarea de stare %%A=[-1 1;0 -2]; B=[0;1]; C=[1 0]; D=[0]; X(0)=[0;1] A=[-1 1;0 -2];B=[0;1];C=[1 0];D=[0]; t=[0:0.01:4]; x0=[0 1]; v=t; %%Se genereaza o rampa unitara u1=diff(v)./diff(t); %%Prin derivarea lui v(t)se obtine 1(t) t1=t(2:length(t)); [y1,x1]=lsim(A,B,C,D,u1,t1,x0); plot(t1,y1,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi') % Se seteaza Times New Roman-Bold-12 title('Raspunsul indicial al SLN2') xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t)') axis([0 4 0 0.55]) gtext('A=[-1 1;0 -2]; B=[0;1]'); gtext('C=[1 0]; D=[0]; X(0)=[0;1]')
Fig. 1.34 Răspunsul indicial obţinut y( t ) corespunde relaţiei (1.205). Observaţie. Pentru o fdt există mai multe realizări [6]. Deci, trecerea de la fdt la realizarea T A, b, c , d nu este unică, deoarece nici alegerea variabilelor de stare nu este unică, ci depinde de alegerea bazei spaţiului liniar al stărilor [1]. Răspunsul y( t ) nu se modifică la schimbarea bazei spaţiului stărilor şi deci la schimbarea variabilelor de stare, deoarece polinomul caracteristic al sistemului este un invariant la schimbarea bazei. Funcţia MATLAB tf2SS (Transfer function to state space) poate conduce la realizarea de stare T A, b, c , d diferită de cea calculată analitic, adoptând o variantă de alegere a variabilelor de stare, dar răspunsul sistemului rămâne nemodificat.
PR.1.21. Având funcţia de transfer a SRA de forma:
H 0 (s)
Y (s) 3s 1 3 R (s) 0,5 s 1,5 s 2 4s 1
(1.208)
utilizând mediul de programare MATLAB, să se determine: a) realizarea de stare A, b, c T d ; b) având realizarea de stare determinată la punctul 1, să se calculeze funcţia de transfer ca raportul num(s) / den(s) ; c) având realizarea de stare de la punctul a, să se calculeze funcţia de transfer exprimată prin poli şi zerouri ; d) având funcţia de transfer calculată la punctul c, să se calculeze funcţia de transfer exprimată prin raportul num(s) / den(s) ; e) să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial al SRA utilizând funcţia de transfer şi respectiv realizarea de stare A, b, c T . Rezolvare Secvenţe MATLAB:
%Ho(s)=(3s+1)/(0,5s^3+1,5s^2+4s+1) %%Trecerea de la functia de transfer la realizarea de stare num=[6 2]; den=[1 3 8 2]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
%Trecerea de la realizarea de stare la functia de transfer %exprimata prin raportul num(s)/den(s) A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 6 2];D=[0]; iu=1; %Numărul de intrari [num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,iu) %Trcerea de la realizarea de stare (A,B,C,D)la funcţia de transfer %exprimata prin poli si zerouri [Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu) %Trecerea de la f.d.t. exprimata prin poli si zerouri la f.d.t. %exprimata prin raportul num(s)/den(s) Z=[-0.3333];P=[-1.3620+2.3223i;-1.3620-2.3223i;-0.2759];K=[6]; [num2,den2]=zp2tf(Z,P,K) %Calculul răspunsului SLN2 descris de realizarea de stare %A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 6 2];D=[0];X(0)=[0;0;0] figure(1) A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 6 2];D=[0]; t=[0:0.01:8]; x0=[0 0 0]; v=t; %Se genereaza o rampa unitara u1=diff(v)./diff(t); %Prin derivarea lui v(t)se obţine 1(t) t1=t(2:length(t)); [y1,x1]=lsim(A,B,C,D,u1,t1,x0); plot(t1,y1,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi') % Arial-Bold-12 title('Răspunsul indicial al SLN3') xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t)') axis([0 4 0 1.05]) gtext('A=[-3 -8 -2;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0]'); gtext('C=[0 6 2]; D=[0]; X(0)=[0;0;0]'); %Calculul raspunsului indicial utilizând functia de transfer figure(2) t=[0:0.01:8]; num=[3 1]; den=[0.5 1.5 4 1]; ys=step(num,den,t); plot(t,ys,'-k'),grid uisetfont(gca,'Fonturi')% Arial-Bold-12 title('Raspunsul indicial al SLN3') xlabel('t(sec)'),ylabel('y(t)') axis([0 4 0 1.05]) gtext('Ho(s)=(3s+1)/(0,5s^3+1,5s^2+4s+1)') În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate: la punctul a: A= ; B= C =0 6 2; D=0 -3 -8 -2 1 1 0 0 0 0 1 0 0
la punctul b: num 1 = 0 den 1 = 1.0000 Deci:
0.0000
6.0000
2.0000
3.0000
8.0000
2.0000
H 0 (s)
6s 2 3s 1 2 3 s 3 s 8 s 2 0,5 s 1,5 s 2 4 s 1 3
rezultând fdt iniţială. la punctul c: Z= P=
- 0,3333
- 1.3620 + 2.3223 i - 1.3620 - 2.3223 i - 0.2759 K= 6.0000 Deci, fdt exprimată prin poli şi zerouri fiind de forma:
H 0 (s) K
s Z1 b 3 , K 1 6 s p1 s p 2 s p 3 a 3 0,5
după înlocuiri devine:
H 0 (s) 6
s 0,3333 s 1,3620 2,3223 j s 1,3620 2,3223 j s 0,2759
la punctul d: num 2 = 0 0 6 1.9999 den 2 = 1.000 2.9999 7.9997 1.9998 Se constată că se obţine, cu o eroare neglijabilă, rezultatul de la punctul b. la punctul e: Cele două răspunsuri (figure(1) şi figure (2) din program) sunt redate în figurile 1.35 şi 1.36. Rezultatele sunt identice.
Fig. 1.35
Fig. 1.36
PR. 1.22. Având două SLN monovariabile 1 A, b1 , c1T , d 1 şi respectiv 2 A 2 , b 2 , c T2 , d 2 de forma:
X 1 ( t ) A 1 X 1 ( t ) b 1 r1 ( t ) şi
(1.209)
T 1
y1 ( t ) c X1 ( t ) d 1 r1 ( t )
(1.210)
X 2 ( t ) A 2 X 2 ( t ) b 2 r2 ( t )
(1.211)
T 2
y 2 ( t ) c X 2 ( t ) d 2 r2 ( t )
T
(1.212)
să se calculeze realizarea de stare echivalentă e A, b, c , d pentru: a) conexiune serie; b) conexiune paralel; c) conexiune cu reacţie, în care 1 este pe calea directă, iar 2 pe calea de reacţie. Rezolvare a) Conexiunea serie (fig. 1.37)
Fig. 1.37. Pentru conexiunea serie, corespunzător figurii 1.37., sunt specifice relaţiile: (1.213) r r1 , y1 r2 , y y 2 . Având în vedere relaţiile (1.209) – (1.213) se scrie:
A X b r X 1 1 1 1
y 1 c 1T X 1 d 1 r A X b cT X b d r X 2 2 2 2 1 1 2 1 y c T2 X 2 d 2 c 1T X 1 d 2 d 1 r
În baza relaţiilor din (1.214) se scriu ecuaţiile matriceale:
(1.214)
A1 X 1 b c T X 2 2 1
0 X 1 b 1 r, A 2 X 2 b 2 d 1 X c T2 1 d 2 d 1 r . X 2
(1.215)
y d 2 c1T
(1.216)
A rezultat pentru sistemul echivalent: 0 b A T A 1T , b 1 , c T d 2 c1T c T2 , d d 2 d 1 , b 2 c 1 A 2 b 2 d 1
iar,
(1.217)
X n n Xe 1 R 1 2 . X 2 În cazul în care d 1 d 2 0 , din (1.217) se obţine: A A 1T b 2 c 1
0 b , b 1 , c T 0 c T2 ; d 0 . A2 0
(1.218)
Spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor corespunzătoare sistemelor iniţiale [15]: (1.219) ( A ) ( A 1 ) ( A 2 ) Dacă cele două sisteme componente sunt intern asimptotic stabile: (A 1 ) C şi (A 2 ) C , atunci şi sistemul echivalent este intern asimptotic stabil. Este adevărată şi reciproca, dacă sistemul rezultant este intern asimptotic stabil, atunci şi cele două sisteme componente sunt asimptotic stabile. b) Conexiunea paralel (fig. 1.38)
Fig. 1.38 Pentru conexiunea paralel, corespunzător figurii 1.38, sunt specifice relaţiile:
r1 r2 r
y y1 y 2
,
(1.220)
În baza relaţiilor (1.209) - (1.212) şi (1.220) se pot scrie relaţiile:
A X b r X 1 1 1 1
y 1 c 1T X 1 d 1 r A X b r X 2 2 2 2
(1.221)
y 2 c T2 X 2 d 2 r
care conduc la ecuaţiile matriceale de forma:
A 1 1 X X 2 0
0 X 1 b1 r A 2 X 2 b 2
(1.222)
X y c1T c T2 1 d 1 d 2 r X 2
(1.223)
Realizarea de stare echivalentă este descrisă prin:
0 A b A 1 , b 1 , c T c T1 c T2 , d d 1 d 2 0 A2 b 2 T iar X e X 1 X 2 . Dacă d 1 d 2 0 , atunci d 0 iniţiale:
(1.224)
Ca şi în cazul conexiunii serie, spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor sistemelor
( A ) ( A 1 ) ( A 2 )
(1.225) Dacă cele două sisteme componente sunt intern stabile atunci şi sistemul rezultant este intern stabil. Este valabilă şi reciproca [15] . c) Conexiunea cu reacţie (fig. 1.39)
Fig. 1.39 În cazul conexiunii cu reacţie sunt specifice relaţiile:
u1 r y 2 y y1
(1.226)
u2 y Se consideră cazul când d 1 d 2 0
. Din relaţiile (1.209)-(1.212)
se obţine:
X 1 A 1 X 1 b 1 r c T2 X 2 A 1 X 1 b 1 c T2 X 2 b 1 r
X 2 A 2 X 2 b 2 c 1T X 1
(1.227)
T 1
y c X1
Din (1.227) se stabilesc ecuaţiile matriceale:
A b 1 c T2 X 1 b 1 1 1 X r, T A 2 X 2 0 X 2 b 2 c 1 X y c 1T 0 1 . X 2
(1.228) (1.229)
În ecuaţia matriceală (1.228) semnul (-) corespunde conexiunii cu reacţie negativă, iar (+) conexiunii cu reacţie pozitivă. Pentru realizarea de stare echivalentă a rezultat:
A A 1T b 2 c 1
b 1 c T2 b 1 T T , b , c c 1 0 . 0 A2
(1.230)
Se demonstrează că în cazul când sistemul rezultant este intern instabil, se poate asigura stabilitatea internă a acestuia modificând numai unul dintre subsisteme, 1 sau 2 , nu contează care. PR.1.23. Să se întocmească, în SIMULINK, schema echivalentă de modelare a elementului aperiodic de ordinul 1 utilizând: a) ecuaţia diferenţială; b) funcţia de transfer. Rezolvare. a) Pentru întocmirea schemei echivalente de modelare în baza ecuaţiei diferenţiale:
T y y r , y(0) 0. T 1,5(s), r 1( t )
(1.231)
se parcurg următoarele etape: e1) în ecuaţia diferenţială din (1.231) se repară derivata de ordinul 1 în membrul stâng:
y
1 1 y r T T
(1.232)
e2) se integrează y şi se obţine y :
e3) având în vedere etapa e2 se construieşte, cu blocurile SIMULINK, relaţia (1.232), obţinându-se schema de modelare din figura 1.40.
Fig. 1.40 Destinaţia blocurilor Step: Step: generează mărimea de intrare 1( t ) ;
Step 1: generează funcţia treaptă 0,95 1( t ) . Block parameters: Step Step 0 0 1/1.5 Function Block Parameters: Integrator
Step time: Initial value: Final value:
Step 1 0 0 0.95
Initial condition: 0 (valoarea implicită) Function Block Parameters: Gain Gain: 1/1.5 Block Parameters: MUX Number of inputs: 2 Properties: Scope
Ymax 1.1 Ymin 0
Time range: auto Simulation parameters: Start time: 00 Stop time: 7.0 Privind răspunsul indicial şi performanţele asociate acestuia, se obţin aceleaşi rezultate ca şi în PR.1.4. Schema echivalentă de modelare din figura 1.40 este necesară atunci când prezintă interes derivata y ( t ) , fie că este aplicată altor blocuri, fie că se doreşte obţinerea unui portret al fazelor. b) Se consideră fdt de forma:
G (s )
Y (s ) K , R (s ) T s 1
(1.233)
care mai poate fi scrisă astfel:
1 Y(s) K s G (s) 1 1 R (s) T 1 s T
şi corespunzător:
K Y(s) R (s) T
1 s 1 1 1 s T
(1.234)
În relaţia (1.234) expresia 1 / s /(1 (1 / s) 1 / T ) reprezintă fdt a unei conexiuni cu reacţie
negativă având pe calea directă un element integrator ideal 1 / s , iar pe calea de reacţie un element de tip proporţional cu coeficientul de transfer 1 / T . Se obţine schema echivalentă de modelare din figura 1.41.
Fig. 1.41 PR.1.24. Pentru SRA descris de ecuaţia diferenţială [1]:
y 16y 65y 50y 50 r
cu condiţiile iniţiale:
(1.235)
y(0) y (0) y(0) 0 (1.236) să se determine: a) rădăcinile ecuaţiei caracteristice, în MATLAB; b) schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, şi sistemul ecuaţiilor de stare utilizând variabilele de fază; c) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente serie dedusă din funcţia de transfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare;
d) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente paralel dedusă din funcţia de transfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare; e) răspunsul indicial, în SIMULINK, utilizând blocul SS. f) răspunsul indicial, în MATLAB, utilizând realizarea de stare obţinută la punctul d. Rezolvare a) Ecuaţia caracteristică este de forma:
p 3 16p 2 65p 50 0
Se utilizează funcţia MATLAB roots (p). Se introduce ecuaţia caracteristică sub forma unui vector linie format din coeficienţii ecuaţiei algebrice începând cu coeficientul lui p la puterea cea mai mare. În fereastra de comandă, pe o linie, se introduce:
p 1, 16, 65, 50; r roots (p), r 10 5 1
S-a obţinut vectorul coloană al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice r 10 5 1 . Ecuaţia caracteristică are rădăcini simple negative, răspunsul indicial al sistemului va fi aperiodic. b) Ca variabilă de fază, de bază, se alege răspunsul y( t ) , celelalte variabile de fază se obţin prin T
derivarea succesivă a variabilei de bază (a ieşirii). Se notează variabilele de fază cu x 1 y, x 2 y , x 3 y . Deci:
x1 y x 2 x 1 y x 3 x 2 y
(1.237)
iar din ecuaţia (1.235) se obţine:
x 3 y 16y 65y 50 y 50r 50x 1 65x 2 16x 3 50r . (1.238) Din (1.237) şi (1.238) rezultă că întocmirea schemei de modelare presupune parcurgerea următoarelor etape: etapa 1: în (1.235) se separă în membrul stâng derivata de ordin maxim, obţinându-se relaţia (1.238); etapa 2: se integrează derivata de ordin maxim de n 3 ori, în cazul analizat, obţinându-se mărimile x 3 y x 2 , x 2 y x 1 , y x 1 . Sunt utilizate trei blocuri integratoare conform schemei din figura de mai jos:
etapa 3: se construieşte relaţia (1.238) avându-se în vedere etapa 2, în care apar mărimile y, y , y . Se obţine schema echivalentă de modelare prezentată în figura 1.42.
Fig. 1.42 Condiţia iniţială y(0) se impune blocului integrator care generează mărimea y( t ) , condiţia iniţială y (0) se impune blocului integrator care generează mărimea y( t ) etc. Parametrii blocului din figura 1.42 sunt: GAIN : 16 GAIN 1 : 65 GAIN 2 : 50 Step : - Step time: 0 - Initial value: 0 - Final value: 50 Pentru obţinerea ecuaţiilor matriceale intrare-stare-ieşire se pleacă de la sistemul de n 3 ecuaţii diferenţiale de ordinul 1:
x 1 x 2 x 2 x 3
(1.239)
x 3 50x 1 65x 2 16x 3 50r şi respectiv relaţia:
y x1
Se exprimă relaţiile (1.239), (1.240) sub forma matreiceal-vectorială:
1 0 x1 0 x 1 0 x 0 0 1 x 2 0 r 2 x 3 50 65 16 x 3 50 x1 y 1 0 0 x 2 x 3
(1.241)
iar sub forma compactă:
X(t ) A X(t ) b r(t )
(1.242)
T
y( t ) c X ( t )
(1.243)
1 0 0 0 A 0 0 1 , b 0 , c T 1 0 0, d 0, 50 65 16 50
(1.244)
unde:
şi condiţia iniţială:
x 1 ( 0) 0 X (0) x 2 (0) 0 . x 3 (0) 0
(1.245)
c) Funcţia de transfer dedusă din ecuaţia diferenţială (1.235) este:
Y (s ) 50 . (1.246) 3 2 R (s) s 16 s 65 s 50 Polii fdt (1.246) sunt p 1 10, p 2 5, p 3 1 şi fdt se poate scrie astfel: Y (s ) 50 50 1 1 , (1.247) H 0 (s ) R (s) (s 10)(s 5)(s 1) s 10 s 5 s 1 H 0 (s )
sau
H 0 (s )
Y (s ) H 1 (s ) H 2 (s ) H 3 (s ) , R (s )
(1.248)
H 1 (s)
50 1 1 , H 2 (s) , H 3 (s) s 10 s5 s 1
(1.249)
unde
iar
Y(s) R (s) H 1 (s) H 2 (s) H 3 (s)
(1.250) Relaţiei (1.250) i se poate asocia schema de structură, în conexiune serie, reprezentată în figura 1.43.
Fig. 1.43 Variabilele de stare sunt mărimile de la ieşire elementelor aperiodice de ordinul 1. Deoarece unui element aperiodic de ordinul 1 cu fdt H i (s) 1 (s p i ) i se poate asocia o schemă de structură cu reacţie de forma:
rezultă că schema echivalentă cu conexiune serie din figura 1.43 mai poate fi redată ca în figura 1.44.
Fig. 1.44 Din figura 1.44, se constată că variabilele de stare sunt mărimile de ieşire din integratoare, iar mărimile aplicate la intrare acestora sunt derivatele variabilelor de stare. Ecuaţiile intrare-stare se obţin din ecuaţiile celor trei sumatoare:
x 1 10 x 1 50r
x 2 x 1 5x 2
(1.251)
x3 x2 x3
iar ecuaţia stare-ieşire va fi:
y x3
(1.252)
Forma matriceal-vectorial a relaţiilor (1.251), (1.252) este:
0 x 1 50 x 1 10 0 x 2 1 5 0 x 2 0 5 1 10 x 3 0 x 3 0 x1 y 0 0 1 x 2 x 3
(1.253)
(1.254)
respectiv:
X(t) A X(t) b r(t)
(1.255)
T
y( t ) X ( t )
(1.256)
în care:
0 10 0 50 A 1 5 0 , b 0 , T 0 0 1, d 0 0 0 1 1 Pentru determinarea vectorului de stare iniţială
y(0) y (0) y(0) 0 , se procedează de regulă, astfel:
(1.257)
X(0) x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0), cunoscând
- se derivează mărimea de ieşire ori şi se înlocuieşte în membrul drept derivatele variabilelor de stare cu expresiile din relaţiile (1.251): - în sistemul de trei ecuaţii algebrice obţinute se înlocuieşte t 0 şi se rezolvă funcţie de x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0) . Deci:
y( t ) x 3 ( t ) y ( t ) x 3 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t )
y( t ) x 3 x 2 ( t ) x 3 ( t ) x 1 ( t ) 5x 2 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t ) Făcând t 0 , se obţine sistemul de trei ecuaţii algebrice: y ( 0) x 3 ( 0) 0 y (0) x 2 (0) x 3 (0) 0 y(0) x 1 (0) 6 x 2 (0) x 3 (0) 0
din care rezultă:
x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0) 0 .
(1.258)
d) Schema echivalentă derivaţie se obţine prin descompunerea fdt în fracţii simple având în vedere că p 1 10, p 2 5, p 3 1 . Funcţia de transfer (1.245) se scrie astfel:
H 0 (s) sau
c c c Y(s) 50 1 2 3 . R (s) s 10s 5s 1 s 10 s 5 s 1
(1.259)
H 0 (s )
Y (s ) H 1 (s ) H 2 (s ) H 3 (s ) R (s )
(1.260)
şi corespunzător: în care:
Y(s) R (s) H 1 (s) H 2 (s) H 3 (s)
(1.261)
50 10 10 5 10 1 9 1 50 c 2 lim s p 2 H 0 (s) 2,5 pp 2 5 10 5 1 50 25 c 3 lim s p 3 H 0 (s) p p3 1 10 1 5 18 c1 lim s p 1 H 0 (s) pp
Relaţiei (1.261) i se asociază schema echivalentă paralel prezentată în figura 1.45.
Fig. 1.45 Ca şi în cazul precedent (punctul c), ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşire blocurilor integratoare. Sistemul de n 3 ecuaţii diferenţiale se obţine din ecuaţiile sumatoarelor, astfel:
x 1 10 x 1 r x 2 5x 2 r
(1.262)
x 3 x 3 r
iar mărimea de ieşire este:
y
10 25 x 1 2,5 x 2 x3 9 18
(1.263)
Relaţiile (1.262), (1.263) se scriu sub forma matriceal-vectorială astfel:
0 x 1 1 x 1 10 0 x 0 5 0 x 2 1 r , 2 x 3 0 0 1 x 3 1
(1.264)
10 y 2,5 9
şi respectiv:
unde:
25 T x 1 x 2 x 3 18
(1.265)
( t ) X( t ) b r ( t ) , X 1 y( t ) c1T X( t ) ,
(1.266) (1.267)
0 10 0 1 25 10 0 5 0 , b 1 1 , c 1T 2,5 , d 0 . 18 9 0 1 0 1
(1.268)
Matricea sistemului este o matrice diagonală a căror elemente de pe diagonala principală sunt polii funcţiei de transfer (rădăcinile ecuaţiei caracteristice). În astfel de cazuri, se spune că variabilele de stare sunt complet decuplate [1]. Forma matriceală obţinută poartă denumirea de forma canonică diagonală [16]. Se determină condiţiile iniţiale, x i (0), i 1 : 3 , după acelaşi procedeu descris la punctul c (condiţiile iniţiale se introduc în blocurile integratoare) . Se obţine x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0) 0 .
e) Pentru calculul răspunsului indicial se utilizează realizarea de stare , b1 , c1T determinată la punctul d. Schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, este prezentată în figura 1.46.
Fig. 1.46
Parametrii blocului State - Space sunt: A:
10
0 0; 0 5 0; 0 0 1
B: 1;1;1 C: 10 / 9 2.5 25 / 18 D: 0 Initial conditions: 0
Parametrii blocurilor Step Step time: Initial value:
Step 0 0
Step 1 0 0
Final value:
1
0.95
Properties: Scope Y max 1.2 Y min 0 Time range: auto
Simulation parameters:
Start time: 0.0
Stop time: 10.0
A rezultat pentru sistemul echivalent: 0 b A T A 1T , b 1 , c T d 2 c1T c T2 , d d 2 d 1 , b 2 c 1 A 2 b 2 d 1
iar,
(1.217)
X n n Xe 1 R 1 2 . X 2 În cazul în care d 1 d 2 0 , din (1.217) se obţine: A A 1T b 2 c 1
0 b , b 1 , c T 0 c T2 ; d 0 . A2 0
(1.218)
Spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor corespunzătoare sistemelor iniţiale [15]: (1.219) ( A ) ( A 1 ) ( A 2 ) Dacă cele două sisteme componente sunt intern asimptotic stabile: (A 1 ) C şi (A 2 ) C , atunci şi sistemul echivalent este intern asimptotic stabil. Este adevărată şi reciproca, dacă sistemul rezultant este intern asimptotic stabil, atunci şi cele două sisteme componente sunt asimptotic stabile. b) Conexiunea paralel (fig. 1.38)
Fig. 1.38 Pentru conexiunea paralel, corespunzător figurii 1.38, sunt specifice relaţiile:
r1 r2 r
y y1 y 2
,
(1.220)
În baza relaţiilor (1.209) - (1.212) şi (1.220) se pot scrie relaţiile:
A X b r X 1 1 1 1
y 1 c 1T X 1 d 1 r A X b r X 2 2 2 2 y 2 c T2 X 2 d 2 r
care conduc la ecuaţiile matriceale de forma:
(1.221)
A 1 1 X X 2 0
0 X 1 b1 r A 2 X 2 b 2
(1.222)
X y c1T c T2 1 d 1 d 2 r X 2
(1.223)
Realizarea de stare echivalentă este descrisă prin:
0 A b A 1 , b 1 , c T c T1 c T2 , d d 1 d 2 0 A2 b 2 T iar X e X 1 X 2 . Dacă d 1 d 2 0 , atunci d 0 iniţiale:
(1.224)
Ca şi în cazul conexiunii serie, spectrul sistemului echivalent este reuniunea spectrelor sistemelor
(1.225) ( A ) ( A 1 ) ( A 2 ) Dacă cele două sisteme componente sunt intern stabile atunci şi sistemul rezultant este intern stabil. Este valabilă şi reciproca [15] . c) Conexiunea cu reacţie (fig. 1.39)
Fig. 1.39 În cazul conexiunii cu reacţie sunt specifice relaţiile:
u1 r y 2 y y1
(1.226)
u2 y Se consideră cazul când d 1 d 2 0
. Din relaţiile (1.209)-(1.212)
se obţine:
X 1 A 1 X 1 b 1 r c T2 X 2 A 1 X 1 b 1 c T2 X 2 b 1 r
X 2 A 2 X 2 b 2 c 1T X 1
(1.227)
T 1
y c X1
Din (1.227) se stabilesc ecuaţiile matriceale:
A 1 1 X T X 2 b 2 c 1
y c 1T
b 1 c T2 X 1 b 1 r, A 2 X 2 0
X 0 1. X 2
(1.228) (1.229)
În ecuaţia matriceală (1.228) semnul (-) corespunde conexiunii cu reacţie negativă, iar (+) conexiunii cu reacţie pozitivă. Pentru realizarea de stare echivalentă a rezultat:
A A 1T b 2 c 1
b 1 c T2 b 1 T T , b , c c 1 0 . 0 A2
(1.230)
Se demonstrează că în cazul când sistemul rezultant este intern instabil, se poate asigura stabilitatea internă a acestuia modificând numai unul dintre subsisteme, 1 sau 2 , nu contează care. PR.1.23. Să se întocmească, în SIMULINK, schema echivalentă de modelare a elementului aperiodic de ordinul 1 utilizând: a) ecuaţia diferenţială; b) funcţia de transfer. Rezolvare. a) Pentru întocmirea schemei echivalente de modelare în baza ecuaţiei diferenţiale:
T y y r , y(0) 0. T 1,5(s), r 1( t )
(1.231) se parcurg următoarele etape: e1) în ecuaţia diferenţială din (1.231) se repară derivata de ordinul 1 în membrul stâng:
y
1 1 y r T T
(1.232)
e2) se integrează y şi se obţine y :
e3) având în vedere etapa e2 se construieşte, cu blocurile SIMULINK, relaţia (1.232), obţinându-se schema de modelare din figura 1.40.
Fig. 1.40 Destinaţia blocurilor Step: Step: generează mărimea de intrare 1( t ) ;
Step 1: generează funcţia treaptă 0,95 1( t ) . Block parameters: Step Step time: Initial value:
Step 0 0
Step 1 0 0
Final value:
1/1.5 Function Block Parameters: Integrator Initial condition: 0 (valoarea implicită) Function Block Parameters: Gain Gain: 1/1.5 Block Parameters: MUX Number of inputs: 2 Properties: Scope
0.95
Ymax 1.1 Ymin 0
Time range: auto Simulation parameters: Start time: 00 Stop time: 7.0 Privind răspunsul indicial şi performanţele asociate acestuia, se obţin aceleaşi rezultate ca şi în PR.1.4. Schema echivalentă de modelare din figura 1.40 este necesară atunci când prezintă interes derivata y ( t ) , fie că este aplicată altor blocuri, fie că se doreşte obţinerea unui portret al fazelor. b) Se consideră fdt de forma:
G (s )
Y (s ) K , R (s ) T s 1
(1.233)
care mai poate fi scrisă astfel:
Y(s) K G (s) R (s) T şi corespunzător:
1 s 1 1 1 s T
1 K s Y(s) R (s) 1 1 T 1 s T
(1.234)
În relaţia (1.234) expresia 1 / s /(1 (1 / s) 1 / T ) reprezintă fdt a unei conexiuni cu reacţie
negativă având pe calea directă un element integrator ideal 1 / s , iar pe calea de reacţie un element de tip proporţional cu coeficientul de transfer 1 / T . Se obţine schema echivalentă de modelare din figura 1.41.
Fig. 1.41 PR.1.24. Pentru SRA descris de ecuaţia diferenţială [1]:
y 16y 65y 50y 50 r
cu condiţiile iniţiale:
y(0) y (0) y(0) 0
să se determine: a) rădăcinile ecuaţiei caracteristice, în MATLAB;
(1.235) (1.236)
b) schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, şi sistemul ecuaţiilor de stare utilizând variabilele de fază; c) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente serie dedusă din funcţia de transfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare; d) schema de modelare întocmită în baza unei scheme echivalente paralel dedusă din funcţia de transfer şi respectiv realizarea de stare corespunzătoare; e) răspunsul indicial, în SIMULINK, utilizând blocul SS. f) răspunsul indicial, în MATLAB, utilizând realizarea de stare obţinută la punctul d. Rezolvare a) Ecuaţia caracteristică este de forma:
p 3 16p 2 65p 50 0
Se utilizează funcţia MATLAB roots (p). Se introduce ecuaţia caracteristică sub forma unui vector linie format din coeficienţii ecuaţiei algebrice începând cu coeficientul lui p la puterea cea mai mare. În fereastra de comandă, pe o linie, se introduce:
p 1, 16, 65, 50; r roots (p), r 10 5 1
S-a obţinut vectorul coloană al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice r 10 5 1 . Ecuaţia caracteristică are rădăcini simple negative, răspunsul indicial al sistemului va fi aperiodic. b) Ca variabilă de fază, de bază, se alege răspunsul y( t ) , celelalte variabile de fază se obţin prin T
derivarea succesivă a variabilei de bază (a ieşirii). Se notează variabilele de fază cu x 1 y, x 2 y , x 3 y . Deci:
x1 y x 2 x 1 y x 3 x 2 y
(1.237)
iar din ecuaţia (1.235) se obţine:
x 3 y 16y 65y 50 y 50r 50x 1 65x 2 16x 3 50r .
(1.238) Din (1.237) şi (1.238) rezultă că întocmirea schemei de modelare presupune parcurgerea următoarelor etape: etapa 1: în (1.235) se separă în membrul stâng derivata de ordin maxim, obţinându-se relaţia (1.238); etapa 2: se integrează derivata de ordin maxim de n 3 ori, în cazul analizat, obţinându-se mărimile x 3 y x 2 , x 2 y x 1 , y x 1 . Sunt utilizate trei blocuri integratoare conform schemei din figura de mai jos:
etapa 3: se construieşte relaţia (1.238) avându-se în vedere etapa 2, în care apar mărimile y, y , y . Se obţine schema echivalentă de modelare prezentată în figura 1.42.
Fig. 1.42 Condiţia iniţială y(0) se impune blocului integrator care generează mărimea y( t ) , condiţia iniţială y (0) se impune blocului integrator care generează mărimea y( t ) etc. Parametrii blocului din figura 1.42 sunt: GAIN : 16 GAIN 1 : 65 GAIN 2 : 50 Step : - Step time: 0 - Initial value: 0 - Final value: 50 Pentru obţinerea ecuaţiilor matriceale intrare-stare-ieşire se pleacă de la sistemul de n 3 ecuaţii diferenţiale de ordinul 1:
x 1 x 2 x 2 x 3
(1.239)
x 3 50x 1 65x 2 16x 3 50r şi respectiv relaţia:
y x1
Se exprimă relaţiile (1.239), (1.240) sub forma matreiceal-vectorială:
1 0 x1 0 x 1 0 x 0 0 1 x 2 0 r 2 x 3 50 65 16 x 3 50 x1 y 1 0 0 x 2 x 3
(1.241)
iar sub forma compactă:
X(t ) A X(t ) b r(t )
(1.242)
T
y( t ) c X ( t )
(1.243)
1 0 0 0 A 0 0 1 , b 0 , c T 1 0 0, d 0, 50 65 16 50
(1.244)
unde:
şi condiţia iniţială:
x 1 ( 0) 0 X (0) x 2 (0) 0 . x 3 (0) 0
(1.245)
c) Funcţia de transfer dedusă din ecuaţia diferenţială (1.235) este:
Y (s ) 50 . (1.246) 3 2 R (s) s 16 s 65 s 50 Polii fdt (1.246) sunt p 1 10, p 2 5, p 3 1 şi fdt se poate scrie astfel: Y (s ) 50 50 1 1 , (1.247) H 0 (s ) R (s) (s 10)(s 5)(s 1) s 10 s 5 s 1 H 0 (s )
sau
H 0 (s )
Y (s ) H 1 (s ) H 2 (s ) H 3 (s ) , R (s )
(1.248)
H 1 (s)
50 1 1 , H 2 (s) , H 3 (s) s 10 s5 s 1
(1.249)
unde
iar
Y(s) R (s) H 1 (s) H 2 (s) H 3 (s)
(1.250) Relaţiei (1.250) i se poate asocia schema de structură, în conexiune serie, reprezentată în figura 1.43.
Fig. 1.43 Variabilele de stare sunt mărimile de la ieşire elementelor aperiodice de ordinul 1. Deoarece unui element aperiodic de ordinul 1 cu fdt H i (s) 1 (s p i ) i se poate asocia o schemă de structură cu reacţie de forma:
rezultă că schema echivalentă cu conexiune serie din figura 1.43 mai poate fi redată ca în figura 1.44.
Fig. 1.44 Din figura 1.44, se constată că variabilele de stare sunt mărimile de ieşire din integratoare, iar mărimile aplicate la intrare acestora sunt derivatele variabilelor de stare. Ecuaţiile intrare-stare se obţin din ecuaţiile celor trei sumatoare:
x 1 10 x 1 50r
x 2 x 1 5x 2
(1.251)
x3 x2 x3
iar ecuaţia stare-ieşire va fi:
y x3
(1.252)
Forma matriceal-vectorial a relaţiilor (1.251), (1.252) este:
0 x 1 50 x 1 10 0 x 2 1 5 0 x 2 0 5 1 10 x 3 0 x 3 0 x1 y 0 0 1 x 2 x 3
(1.253)
(1.254)
respectiv:
X(t) A X(t) b r(t)
(1.255)
T
y( t ) X ( t )
(1.256)
în care:
0 10 0 50 A 1 5 0 , b 0 , T 0 0 1, d 0 0 0 1 1 Pentru determinarea vectorului de stare iniţială
y(0) y (0) y(0) 0 , se procedează de regulă, astfel:
(1.257)
X(0) x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0), cunoscând
- se derivează mărimea de ieşire ori şi se înlocuieşte în membrul drept derivatele variabilelor de stare cu expresiile din relaţiile (1.251): - în sistemul de trei ecuaţii algebrice obţinute se înlocuieşte t 0 şi se rezolvă funcţie de x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0) . Deci:
y( t ) x 3 ( t ) y ( t ) x 3 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t )
y( t ) x 3 x 2 ( t ) x 3 ( t ) x 1 ( t ) 5x 2 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t ) Făcând t 0 , se obţine sistemul de trei ecuaţii algebrice: y ( 0) x 3 ( 0) 0 y (0) x 2 (0) x 3 (0) 0 y(0) x 1 (0) 6 x 2 (0) x 3 (0) 0
din care rezultă:
x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0) 0 .
(1.258)
d) Schema echivalentă derivaţie se obţine prin descompunerea fdt în fracţii simple având în vedere că p 1 10, p 2 5, p 3 1 . Funcţia de transfer (1.245) se scrie astfel:
H 0 (s) sau
c c c Y(s) 50 1 2 3 . R (s) s 10s 5s 1 s 10 s 5 s 1
(1.259)
H 0 (s )
Y (s ) H 1 (s ) H 2 (s ) H 3 (s ) R (s )
(1.260)
şi corespunzător: în care:
Y(s) R (s) H 1 (s) H 2 (s) H 3 (s)
(1.261)
50 10 10 5 10 1 9 1 50 c 2 lim s p 2 H 0 (s) 2,5 pp 2 5 10 5 1 50 25 c 3 lim s p 3 H 0 (s) p p3 1 10 1 5 18 c1 lim s p 1 H 0 (s) pp
Relaţiei (1.261) i se asociază schema echivalentă paralel prezentată în figura 1.45.
Fig. 1.45 Ca şi în cazul precedent (punctul c), ca variabile de stare se aleg mărimile de la ieşire blocurilor integratoare. Sistemul de n 3 ecuaţii diferenţiale se obţine din ecuaţiile sumatoarelor, astfel:
x 1 10 x 1 r x 2 5x 2 r
(1.262)
x 3 x 3 r
iar mărimea de ieşire este:
y
10 25 x 1 2,5 x 2 x3 9 18
(1.263)
Relaţiile (1.262), (1.263) se scriu sub forma matriceal-vectorială astfel:
0 x 1 1 x 1 10 0 x 0 5 0 x 2 1 r , 2 x 3 0 0 1 x 3 1
(1.264)
10 y 2,5 9
şi respectiv:
unde:
25 T x 1 x 2 x 3 18
(1.265)
( t ) X( t ) b r ( t ) , X 1 y( t ) c1T X( t ) ,
(1.266) (1.267)
0 10 0 1 25 10 0 5 0 , b 1 1 , c 1T 2,5 , d 0 . 18 9 0 1 0 1
(1.268)
Matricea sistemului este o matrice diagonală a căror elemente de pe diagonala principală sunt polii funcţiei de transfer (rădăcinile ecuaţiei caracteristice). În astfel de cazuri, se spune că variabilele de stare sunt complet decuplate [1]. Forma matriceală obţinută poartă denumirea de forma canonică diagonală [16]. Se determină condiţiile iniţiale, x i (0), i 1 : 3 , după acelaşi procedeu descris la punctul c (condiţiile iniţiale se introduc în blocurile integratoare) . Se obţine x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0) 0 .
e) Pentru calculul răspunsului indicial se utilizează realizarea de stare , b1 , c1T determinată la punctul d. Schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, este prezentată în figura 1.46.
Fig. 1.46
Parametrii blocului State - Space sunt: A:
10
0 0; 0 5 0; 0 0 1
B: 1;1;1 C: 10 / 9 2.5 25 / 18 D: 0 Initial conditions: 0
Parametrii blocurilor Step Step time: Initial value:
Step 0 0
Step 1 0 0
Final value:
1
0.95
Properties: Scope Y max 1.2 Y min 0 Time range: auto
Simulation parameters:
Start time: 0.0
Stop time: 10.0
(1.292) u 1 (t) u(t) u 2 (t) , unde u 1 ( t ) este tensiunea de intrare (aplicată), iar u 2 ( t ) este tensiunea de ieşire a circuitului de corecţie funcţionând în gol (fără sarcină). Se aplică transformata directă Laplace ecuaţiei de funcţionare (1.292): (1.293) U 1 (s) U (s) U 2 (s) , unde:
U 1 (s) Lu 1 ( t ), U 2 (s) Lu 2 ( t ), U (s) Lu ( t )
Schema echivalentă operaţională a circuitului este reprezentată în figura 1.58.b. Corespunzător figurii 1.58.b se calculează impedanţa operaţională echivalentă a circuitului:
Z(s)
U 1 (s) Z1 (s) R 2 , I(s)
(1.294)
unde Z1 (s) este impedanţa operaţională a celor două componente R 1 , C 1 conectate în paralel:
1 s C1 R1 , Z1 (s) 1 1 R 1 C 1s R1 s C1 R1
şi deci:
U 1 (s) R1 R R 2 R 1 R 2 C 1s . R2 1 I(s) 1 R 1 C 1s 1 R 1 C 1s Se calculează tensiunea U(s) care apare în relaţia (1.293): U (s) R1 . U(s) I(s) Z1 (s) 1 Z1 (s) U 1 (s) Z(s) R 1 R 2 R 1 R 2 C 1s Z(s)
(1.295)
(1.296)
(1.297)
Introducând (1.297) în (1.293) se obţine:
U 1 (s) U 1 (s) care devine:
R1 U 2 (s) , R 1 R 2 R 1 R 2 C 1s
R 2 R 1 R 2 C 1s U 2 (s) . R 1 R 2 R 1 R 2 C 1s În baza relaţiei (1.298) se determină fdt a circuitului de corecţie: U (s ) R2 1 R 1 C 1s 1 T1s , H c (s ) 2 K R 1R 2 U 1 (s ) R 1 R 2 1 T2 s 1 C 1s R1 R 2 U 1 (s)
unde:
(1.298)
(1.299)
R2 R 1R 2 , T1 R 1C1 (sec .), T2 C1 K T1 (sec .) . R1 R 2 R1 R 2 Se constată că pentru K 0.1, T1 T2 , constanta de timp T1 impune caracterul derivativ (de K
avans) a circuitului electric de corecţie.
b) Calculul caracteristicilor de frecvenţă Se obţine răspunsul la frecvenţă a circuitului de corecţie făcând în fdt substituţia s j :
H c ( j ) în care:
U 2 ( j ) 1 j T1 K U() j V() , U 1 ( j ) 1 j T2
(1.300)
U() R e H c ( j ), V() I m H c ( j ).
Din relaţia (1.300) se obţine:
H c ( j ) K deci:
1 j T1 1 j T2 1 2 T22
K
1 2 T1T2 K(T1 T2 ) j , 2 2 1 T2 1 2 T22
1 2 T1 T2 K(T1 T2 ) U() K , V() . 2 2 1 T2 1 2 T22
(1.301)
Din relaţiile (1.301) se constată:
U ( 0) K ; U ( ) K
T1 , V(0) 0, V() 0 . T2
Pentru a obţine locul de transfer, din dependenţa V () f U () se elimină astfel: din care
U() 1 2 T22 K 1 2 T1 T2 ,
2 T22 U() K T1T2 K U() ,
şi notând:
se obţine:
T1 , T2
2
(1.302)
U () K . T K U ()
(1.303)
2 2
Se introduce (1.303) în expresia V() din (1.301):
K T1T2 U() K T K U () V () 2 U () K 1 K U ()
U() K K U() .
Se ridică la pătrat relaţia (1.304) şi se pune sub forma: U 2 () V 2 () K ( 1) U() K 2 .
(1.304)
(1.305)
2
K (1 ) 2 , obţinându-se: 4 2 2 K K 1 2 K 1 2 K 2 . (1.306) U 2 () V 2 () 2 (1 ) U() 2 4 4 În relaţia (1.305) se adună şi se scade
Relaţia (1.306) se scrie sub forma: 2
sau
K K2 2 1 2 , U ( ) 1 V ( ) 2 4
(1.307)
2
K (T1 T2 ) K 2 (T1 T2 ) 2 2 . U ( ) V ( ) 2 T2 4 T22
S-a obţinut ecuaţia unui cerc cu centrul pe axa reală: U () d 2 V 2 () r 2 ,
(1.308)
(1.309)
distanţa dintre centrul cercului şi centrul de coordonate este:
d
K T T K 1 1 2 , 2 2 T2
(1.310)
K 1 K T1 T2 . 2 2 T2
(1.311)
iar raza cercului este:
r
Corespunzător datelor problemei T1 T2 , în acest caz, pentru 0, ecuaţia (1.308) corespunde unui semicerc situat în cadranul I, din planul l.d.t. , deoarece V() are numai valori pozitive. Cu datele problemei K 0.1, T1 1.0(s), T2 0.1(s) , pentru trasarea caracteristicilor de frecvenţă se utilizează următorul program în MATLAB:
%%Caracteristicile de frecventa ale circuitului de corecţie serie cu avans %% de faza; k=0.1, T1=1.0 (sec), T2=0.1 (sec). %% F.d.t. Ho(s)=k(1+T1s)/(1+T2s) w=logspace(-4,3,200); k=0.1;T1=1;T2=k*T1; num=[k*T1 k],den=[T2 1] %%Locul de transfer figure(1) [u,v]=nyquist(num,den,w); plot(u,v,'-k'),grid axis equal title('Locul de transfer') xlabel('Real Axis'),ylabel('Imag Axis') axis([0.01 1.05 -0.1 0.5]) figure(2) %%Diagramele Bode w=logspace(-2,2,200); [mag,phase,w]=bode(num,den,w); subplot(211) %%Caracteristica logaritmica amplitidine-pulsatie semilogx(w,20*log10(mag),'-k'),grid title('Caracteristica logaritmica amplitudine-pulsatie') axis([10^-2 10^2 -30 5]) xlabel('Omega(rad/sec)'),ylabel('A[dB]') subplot(212) %%Caraceristica logaritmica faza-pulsatie w=logspace(-2,2,200); fimax=max(phase) semilogx(w,phase,'-k'),grid title('Caracteristica logaritminca faza-pulsatie') xlabel('Omega(rad/sec)'),ylabel('Fi(Omega),[grade]') Locul de transfer este reprezentat în figura 1.59, iar diagrama Bode în figura 1.60.
Fig. 1.59
Fig. 1.60 Din fereastra de comandă: max 54,8991grade . Se poate demonstra că valoarea maximă a fazei
corespunde pulsaţiei 0 1 / T1 T2 rad / sec , aspect care rezultă şi din caracteristica fază-pulsaţie.
Caracteristica având numai valori pozitive evidenţiază efectul derivativ (de avans) a circuitului electric de corecţie. Privind caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie A dB () , se disting trei zone de pulsaţie: - zona de pulsaţie
1 1 , în care caracteristica are nivelul 20 lg K 20dB ; T1
- zona de pulsaţie cu panta 20 dB / dec cuprinsă între 1
1 1 1 şi 2 10 , această pantă T1 T2
evidenţiază, de asemenea, efectul de avans (derivativ) a circuitului electric de corecţie serie; - zona de pulsaţii Pulsaţia 0
1 T1T2
1 10 în care caracteristica se suprapusul peste abscisă. T2
3,1623 se încadrează în zona cu panta de 20dB / dec.
Deci, caracteristica logaritmică A dB () exactă, reprezentată în figura 1.60, poate fi aproximată, cu o bună precizie, printr-o caracteristica asimptotică corespunzătoare celor trei zone de pulsaţii menţionate mai sus,. Erorile de aproximare apar la pulsaţiile 1
1 1 1 şi 2 10 . T1 T2
PP.1.29. Pentru SRA descris de funcţia de transfer:
H 0 (s)
0,33 s 1 Y (s) , 4 3 R (s) 1,58 10 s 0,01s 2 0,33 s 1
(1.312)
să se calculeze performanţele în raport cu răspunsul indicial utilizând caracteristicile de frecvenţă M() şi P() , cu program în MATLAB. Rezolvare Se construiesc caracteristicile de frecvenţă amplitudine-pulsaţie M() şi reală de pulsaţie P() ale sistemului închis necesare determinării performanţelor aproximative, iar pentru verificarea rezultatelor obţinute în baza caracteristicilor de frecvenţă se calculează şi răspunsul indicial cu performanţele asociate. Program în MATLAB:
%Legatura dintre domeniul frecvential şi cel al timpului %F.d.t. a sistemului inchis: %Ho(s)=(0.33s+1)/(1.58*10^(-4)s^3+0.01s^2+0.33s+1) figure(1) %%Caracteristica amplitudine-pulsatie w=logspace(0,1,3);num=[0.33 1];den=[1.58*10^(-4) 0.01 0.33 1]; [mag,phase,w]=bode(num,den); mv=max(mag)%Valoarea de varf Mv v=w; df1=0.707*(diff(v)./diff(w));wd=w(2:length(w)); semilogx(w,mag,'-k',wd,df1,'-k'),grid axis([0 1000 0 1.2]) title('Caracteristica amplitudine-pulsatie a sistemului inchis') xlabel('Omega(rad./sec)'),ylabel('M(omega)') figure(2) %%Caracteristica reala de pulsatie w=logspace(0,1,3); num=[0.33 1];den=[1.58*10^(-4) 0.01 0.33 1]; [mag,phase,w]=bode(num,den); c=cos(phase*pi/180); preal=mag.*c; pmax=max(preal) pmin=min(preal) p0=preal(1,1) semilogx(w,preal,'-k'),grid axis([0 1000 -0.4 1.2]) title('Caracteristica reala de pulsatie a sistemului inchis') xlabel('Omega(rad./sec)'),ylabel('P(omega)') sigma1=(1.18*pmax+0.274*pmin-p0)/p0%Suprareglajul calculat in baza % funcţiei P(w)
figure(3) %%Rapunsul indicial t=(0:0.001:1.4); num=[0.33 1];den=[1.58*10^(-4) 0.01 0.33 1]; ys=step(num,den,t);ysmax=max(ys) sigma=ysmax-1 v=t; df1=1.05*(diff(v)./diff(t)); df2=0.95*(diff(v)./diff(t)); td=t(2:length(t)); plot(t,ys,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k'),grid title('Raspunsul indicial') xlabel('t(s)'),ylabel('h(t)') wt=30;%(rad/sec); tr=2.5*pi/wt [X,Y]=ginput
Fig. 1.61
Fig. 1.62
Fig. 1.63 Pentru caracteristica P() de forma celei obţinute (fig.1.62), prezentând un maxim şi nu minim, sau calculat: Pmax p max 1,0701, Pmin p min 0,2322, p0 p 0 1,00 . (1.313) S-a calculat suprareglajul [6]:
1,18p max 0,274p min p 0 0,1882 . p0 Valoarea obţinută 1 satisface condiţia [6]: 1 , 1
(1.314)
(1.315)
unde este valoarea exactă a suprareglării. Valoarea exactă a suprareglării s-a obţinut calculând răspunsul indicial, prezentat în figura 1.63 şi s-a obţinut: 0,1412 . (1.316) Se constată că relaţia (1.314) permite determinarea suprareglării cu o bună aproximaţie. Cu cât valorile maximă şi minimă a caracteristicii P() vor fi mai mari, cu atât mai pronunţat vor fi caracterul oscilant al răspunsului. Valoarea staţionară a răspunsului este dată de valoarea funcţiei P() pentru 0 :
y ST P(0) p 0 1,00 . (1.317) Timpul de răspuns a sistemului s-a calculat cu relaţia aproximativă [22]: t r 2 3
, t
(1.318)
unde t este pulsaţia de tăiere, pentru care M t 1 . Din caracteristica M() , (fig.1.61), se determină valoarea t wt 30rad / sec şi s-a calculat:
t r 2,5
0,2618(sec) . 30
(1.319)
Având calculat răspunsul indicial s-a determinat timpul de răspuns t r 0,2565 , considerat exact. Se constată că relaţia (1.318) conduce la rezultate corespunzătoare. Din caracteristica M() s-a calculat valoarea de vârf M V mv 1,1002 , valoarea care satisface condiţia [1]:
(1.320) M V 1,3 , deci performanţele SRA sunt bune. Din figura 1.61 rezultă că banda de trecere a SRA este B 50 rad / sec . În general, cu cât banda de trecere este mai mare, cu atât timpul de răspuns t r este mai mic. 1.3. Probleme propuse spre rezolvare PP.1.1. Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale utilizând transformata Laplace:
d 3 x(t) d 2 x ( t ) dx ( t ) 2 2x ( t ) 4 e 2 t , dt dt 3 dt 2 x(0) 1, x (0) 0, x(0) 1 .
a)
d 2 x(t) dx ( t ) 2 2x ( t ) 2 , x(0) x (0) 0 . b) 2 dt dt d 3 x(t) d 2 x(t) dx( t ) 3 3 x ( t ) 1, x(0) x (0) x(0) 0 c) 3 2 dt dt dt d 2 x ( t ) dx ( t ) d) x ( t ) 1 , x(0) x (0) 0 dt dt 2 d 2 x(t) dx ( t ) e) 2 x ( t ) 1 , x(0) x (0) 0 2 dt dt d 2 x(t) dx ( t ) f) 3 x ( t ) 1 , x(0) x (0) 0 2 dt dt t dx ( t ) 2x ( t ) 5 x () d 1 , x(0)=0. g) dt 0 Indicaţii şi răspunsuri.
a) s 3 X(s) s 2 1 2 s 2 X(s) s sX(s) 1 2X(s)
X(s)
s 4 6s 2 9s 8 P1 (s) P1 (s) , P2 (s) sP3 (s) s(s 4 5s 2 4)
4 1 , s s2
P3 (s) s 4 5s 2 4 0; s1 1, s 2 2, s 3 1, s 4 2.
Se foloseşte a doua teoremă a dezvoltării:
P1 (0) k 4 P1 (s k ) s k t e , P3 (0) k 1 s k P 3 (s k ) 2 17 11 1 x ( t ) 2 e t e 2 t e t e 2 t . 3 12 3 12 2 b) X (s) , 2 s(s 2s 2)
x(t)
s(s 2 2s 2) 0, s 1 0, s 2 1 j, s 3 1 j. 2 A B C , X (s) 2 s(s 2s 2) 0, s s 1 j s 1 j A lim sX (s) 1, ss1
1 j 2 1 j . C lim (s s 3 )X(s) ss3 2 B lim (s s 2 )X (s) ss 2
1 j (1 j) t 1 j (1 j) t e e . 2 2 Se are în vedere relaţia: e (a jb ) t e at (cos bt j sin bt ) , x ( t ) 1 e t (cos t sin t ). 1 1 2 g) X(s) 2 , s 2s 5 2 (s 1) 2 2 2 x(t ) 1
x ( t ) 0,5 e t sin 2t , (vezi Anexa 1).
PP.1.2. Să se calculeze transformata inversă Laplace pentru următoarele funcţii:
2s ; s 1 s2 4 1 b) F(s) ; 2 s s 2s 5 a) F(s)
2
c) F(s) d) F(s)
3
2
3s s 3s 2 s 2 s 1 2
2
;
s 1s 2 12 s 3
.
PP.1.3. Să se calculeze valoarea finală x a funcţiei x ( t ) dacă imaginea Laplace a acestora sunt de forma: a) X (s) b) X(s)
1
3
s s 3s 2 3s 1
;
s 4 6s 2 9s 8 . ss 1s 2 s 1s 2
PP.1.4. Să se calculeze valoarea iniţială x(0) a funcţiei x ( t ) dacă imaginea Laplace a acesteia este de forma:
X(s)
s 4 6s 2 9s 8 ; ss 2 s 3 2s 2 s 2
PP:1.5. Pentru SLN de ordinul trei descris de ecuaţia diferenţială:
d 3 y( t ) d 2 y( t ) dy( t ) 3 2 4 y( t ) 4 r ( t ) 3 2 dt dt dt cu y(0) y (0) y(0) 0 , se cere:
a) să se calculeze răspunsul indicial, r(t ) 1(t ) , rezolvând ecuaţia diferenţială prin metoda transformatei Laplace; b) să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial, cu program în MATLAB, şi să se determine performanţele sistemului; c) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu program în MATLAB, funcţia pondere. Indicaţii a) Y (s)
4
3
2
s(s 3s 2s 4)
,
s(s 3 3s 2 2s 4) 0, s1 0, s 2 2,7963, s 3 0,1018 j1,1917, s 4 0,1018 j1,1917
4 A B C D , s(s s 2 ) (s s 3 ) (s s 4 ) s s s 2 s s 3 s s 4 A lim (s s1 )Y(s) 1 Y (s)
ss1
4 4 ss ss 2 s(s s )(s s ) 24,2732 3 4 2 4 4 , C lim (s s 3 )Y (s) lim ss3 ss3 s(s s )(s s ) 7,364 j4,0385 2 4 4 4 , D lim (s s 4 )Y (s) lim ss 4 ss 4 s(s s )(s s ) 7 , 364 j4,0385 2 3 B lim (s s 2 )Y(s) lim
1 4 1 4(7,364 j4,0385) 1 Y(s) s 24,2732 (s 2,7963) 70,538 (s 0,1018 j1,1917) 4(7,364 j4,0385) 1 , 70,538 (s 0,1018 j1,1917) 1 4 y(t) 1 e 2,7963t e 0,1018t (7,364cos(1,1917t) 4,0385sin(1,1917t) 6,0683 35,269 PP.1.6. Pentru SLN de ordinul trei descris de ecuaţia diferenţială precizată în PP.1.5, se cere: a) să se determine răspunsul sistemului la mărime de intrare rampă unitară, r ( t ) v( t ) t , întocmind schema echivalentă de modelare în SIMULINK; b) să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi reprezentare grafică a răspunsului sistemului dacă r ( t ) v( t ) t . PP.1.7. Pentru SLN de ordinul 2 descris de ecuaţia diferenţială
d 2 y( t ) dy( t ) 2 5 y( t ) 5 r ( t ) , 2 dt dt cu y(0) y (0) 0 , se cere:
a) să se aducă ecuaţia diferenţială la forma y 2 n y 2n y 2n r ;
b) să se calculeze funcţia de transfer; c) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu program în MATLAB, răspunsul sistemului pentru r( t ) 1( t ) ; să se determine performanţele; d) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu programul cu MATLAB, răspunsul sistemului pentru r(t ) v(t ) t ; e) să se întocmească schema echivalentă de modelare, în SIMULINK, pentru determinarea răspunsului indicial şi corespunzător să se determine performanţele; f) să se determine, în SIMULINK, răspunsul sistemului pentru r(t ) v(t ) t . PP.1.8. Pentru SLN descris prin funcţia de transfer:
Y(s) 2s 1 ; 2 R (s) 3s 4s 1 Y(s) 1 b) H 0 (s) . 3 R (s) s 2s 2 s 1 a) H 0 (s)
să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial şi corespunzător să se determine performanţele, cu program în MATLAB. PP. 1.9. Pentru SLN descris prin schema de structură:
în care:
H d (s)
Y (s) Y(s) 10 1 , H r (s) r , (s) s(2 s 1) Y(s) 0,1s 1
se cere să se întocmească un program în MATLAB care să se realizeze: a) calculul funcţiei de transfer a sistemului închis; b) reprezentarea polilor şi zerourilor f .d.t. a sistemului în planul complex; c) calcularea şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial, determinarea performanţelor şi corespunzător evaluarea performanţelor. PP.1.10. Pentru SLN descris prin schema de structură:
se cere să se realizeze un program în MATLAB care să realizeze: a) calculul funcţiei de transfer a sistemului Y(s) / R (s) ; b) calculul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice a sistemului închis şi reprezentarea acestora în planul complex; c) calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial şi corespunzător determinarea şi evaluarea performanţelor. PP.1.11. Pentru elementul ideal de amplificare (element proporţional), W(s) Y(s) / R (s) K , să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă A(), U(), V(), () , precum şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie. PP.1.12. Pentru elementul de integrare ideal (de tip I):
W(s)
Y(s) K , K ct , R (s) s
să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă U(), V(), A(), () , precum şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie. PP.1.13. Pentru elementul derivativ ideal (de tip D):
W (s)
Y(s) K s, K ct , R (s)
să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă U(), V(), A(), () şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie.
PP.1.14. Pentru SLN format din două elemente aperiodice de ordinul 1, conectate în serie, având funcţiile de transfer:
W1 (s) se cere:
K1 K2 , W (s) , K 1 K 2 10, T1 1(s), T2 0,1(s) , T1s 1 T2 s 1
a) să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic diagrama Bode a ansamblului; b) să se întocmească programul în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a diagramei Bode a ansamblului. PP.1.15. Având două elemente aperiodice de ordinul 1 cu funcţiile de transfer:
W1 (s)
K1 K2 , W2 (s) , K 1 10, K 2 0,1, T1 1(s), T2 0,25(s) , T1s 1 T2 s 1
să se întocmească un program în MATLAB care să realizez: a) calcularea şi trasarea diagramei Bode pentru ansamblul format din cele două elemente aperiodice conectate în serie; b) calcularea şi trasarea diagramei Bode pentru ansamblul format din cele două elemente aperiodice de ordinul 1 conectate conform schemei:
c) să se interpreteze rezultatele obţinute . PP.1.16. Pentru elementul de anticipare de ordinul 1 descris ecuaţia diferenţială:
se cere:
dr ( t ) y ( t ) K T r ( t ) , K 100, T 0,1(s) , dt
a) să se calculeze funcţia de transfer; b) să se calculeze analitic şi să se reprezinte grafic locul de transfer, caracteristicile de frecvenţă U(), V(), A(), () şi caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie. PP.1.17. Pentru circuitul electric de corecţie serie cu întârziere de fază de forma:
se cere:
a) să se calculeze funcţia de transfer;
b) adoptând 1 10, T1 1(s) , să se întocmească programul MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a locului de transfer şi a diagramei Bode. Să se interpreteze rezultatele obţinute. Indicaţii:
1 ( R 1 R 2 )C 2 s U (s) sC 2 1 U 1 (s) , I(s) 1 , sC 2 sC 2 Z(s) 1 ( R 1 R 2 )C 2 s 1 R 2 C 2s 1 U 2 (s) (R 2 ) I(s) U 1 (s) , sC 2 1 ( R 1 R 2 )C 2 s
a) Z(s) R 1 R 2
U 2 (s) 1 R 2 C 2s , f .d.t. se aduce la forma: U 1 (s) 1 (R 1 R 2 )C 2 s U (s) T s 1 R R2 H C (s) 2 i , Ti R 2 C 2 (s), i 1 . U 1 (s) i Ti s 1 R2 H C (s)
PP.1.18. Pentru SLN în circuit închis descris de schema de structură:
să se calculeze performanţele în raport cu răspunsul indicial utilizând caracteristicile de frecvenţă M() şi P() . PP.1.19. Pentru funcţia de transfer:
H(s)
s 2 3s 2 , s 3 6 s 2 11s 6
să se verifice dacă sistemele (A, b, c T ) menţionate mai jos constituie o realizare a acesteia.
1 0 0 1 a) A 0 0 1 , b 3, c T 1 0 0 ; 6 11 6 9 0 0 6 1 b) A 1 0 11 , b 0 , c T 1 3 9 ; 0 1 6 0 0 3 0 1 c) A 0 8 0 , b 2, c T 1 0 3 . 0 0 0 7 PP.1.20. Având matricea sistemului de forma:
2 1 0 A 0 2 0 0 0 2
să se calculeze matricea fundamentală utilizând metoda transformatei Laplace.
PP.1.21. Pentru cele trei sisteme descrise prin realizările de stare A, b, c T , de la PP.1.19, să calculeze şi să se traseze grafic răspunsul sistemului y( t ) pentru o mărime de intrare treaptă unitară, cu program în MATLAB. PP.1.22. Să se calculeze matricea fundamentală t pentru SLN de ordinul n 2 descris de următoarea matrice a sistemului:
2 0 A 1 4
utilizând: a) metoda transformatei Laplace; b) metoda polinomului matriceal; c) metoda polinomului de interpolare Lagrange-Silvester; d) metoda seriei infinite. PP.1.23. Având SLN de ordinul n 2 descris de următoarea matrice a sistemului :
1 0 A , 2 1 T cu condiţia iniţială X( t ) t 0 X(0) 1 1
să se calculeze: a) matricea de tranziţie a stării; b) componenta liberă a vectorului de stare; c) să se interpreteze rezultatul obţinut. PP.1.24. Pentru SLN de ordinul n 3 , descris de următoarea ecuaţie diferenţială:
d 3 y( t ) d 2 y( t ) dy( t ) 3 2 4 y( t ) 4 r ( t ) 3 2 dt dt dt cu condiţiile iniţiale: y(0) y (0) y(0) 0 , se cere:
a) să se calculeze realizarea de stare A, b, c T utilizând variabilele de fază; b) având cunoscută realizarea de stare de la punctul a, să se întocmească schema de modelare echivalentă în SIMULINK şi corespunzător să se determine performanţele pentru r ( t ) 1( t ) ; c) având cunoscută realizarea de stare de la punctul a, să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a răspunsului sistemului la mărime de intrare r ( t ) 1( t ) . Să se calculeze performanţele. PP.1.25. Pentru SLN de ordinul n 2 având matricea sistemului de forma:
1 0 A 2 3
să se calculeze: a) valorile proprii asociate matricei A; b) vectorii proprii; c) forma diagonală a matricei A; d) matricea fundamentală ( t ) utilizând metoda polinomului matriceal. PP.1.26. Având cunoscută matricea sistemului:
1 0 1 A 0 1 2 1 2 1
să se calculeze analitic şi cu program în MATLAB: a) matricea transpusă şi det(A) ; b) valorile proprii; c) vectorii proprii; d) matricea fundamentală; T e) adoptând condiţia iniţială X (0) 0 0 1 să se calculeze componenta liberă a vectorului de stare. PP.1.27. Pentru SLN de ordinul n 4 descris de funcţie de transfer:
H 0 (s)
Y(s) 1 , R (s) s 1s 2s 3s 4
se cere: a) să se calculeze realizarea de stare A, b, c T utilizând metoda algoritmului serie;
b) să se calculeze realizarea de stare A, b, c utilizând metoda algoritmului paralel; T
c) să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a răspunsului indicial utilizând realizarea de stare de la punctul b; d) să se interpreteze rezultatele obţinute. PP.1.28. Pentru SLN de ordinul 5 având funcţia de transfer de forma:
H 0 (s)
Y(s) 3 s 2s 12 s 3 s 2 s 1 , 5 R (s) s 2 s 4 3s3 4 s 2 3s 1
să se calculeze, cu program în MATLAB: a) realizarea de stare A, b, c T , d ; b) funcţia de transfer exprimată prin poli şi zerouri
PP.1.29. Pentru SLN monovariabil descris prin realizarea de stare A, b, c T , d unde:
2 3 4 3 1 1 1 0 0 0 0 0 A 0 1 0 0 0 , b 0, c T 13 26 20 7 0, d 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
să se întocmească un program în MATLAB prin care să se realizeze: a) calcularea funcţiei de transfer utilizând funcţia MATLAB ss 2 tf ; b) calcularea funcţiei de transfer utilizând funcţia MATLAB ss 2 zp ; c) trecerea de la exprimarea fdt prin poli şi zerouri, calculată la punctul b, la exprimarea funcţiei de transfer prin raportul a două polinoame num(s) / den(s) . PP:1.30. Pentru SLN de ordinul n 3 descris prin funcţia de transfer:
H 0 (s)
Y (s) s 1 2 R (s) s s 3 0,5s 1
să se calculeze realizarea de stare A, b, c T , d .
Unitatea de învăţare 3 ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR LINIARE Cuprins Obiective Regulatoare automate clasice. Funcţiile de transfer ale regulatoarelor automate tipizate. Funcţia de transfer simplificată a regulatorului automat electronic. Scheme de regulatoare automate electronice pentru procese rapide, deducerea funcţiilor de transfer. Criteriul modului şi simetriei de acordare optimă a regulatoarelor automate Corecţia sistemelor liniare netede. Definiţii, clasificări, metode de corecţie. Corecţia serie şi derivaţie, circuite de corecţie. Aplicaţii. Teste de autoevaluare. OBIECTIVE - să indice principalele regulatoare clasice; - să cunoască funcţiile de transfer ale automatelor clasice; - să definească metodele de corecţie; - să clasifice metodele de corecţie; - să prezinte metodele de corecţie serie şi derivaţie; - să ilustreze modul de alegere al circuitelor de corecţie.
ELEMENTE DE SINTEZĂ A SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ LINIARE ŞI CONTINUE 3.1. PROBLEMA PROIECTĂRII. CRITERII DE PERFORMANŢĂ
Sinteza sau proiectarea sistemelor de reglare automată porneşte de la date iniţiale care cuprind instalaţia tehnologică supusă automatizării şi performanţele impuse funcţionării sistemului dorit, având ca scop determinarea structurii şi parametrilor celorlalte elemente din sistem [1]. Întrucât elementul de execuţie EE (figura 2.46 şi 2.48) şi traductoarele sunt de cele mai multe ori livrate împreună cu instalaţia tehnologică, fiind legate de tipul construcţiei acestei instalaţii, iar varietatea elementelor de execuţie care pot fi utilizate este foarte restrânsă în practică, principalul rezultat urmărit în proiectare constă în obţinerea structurii şi parametrilor regulatorului automat (în unele lucrări este folosit termenul de compensator dinamic) care să asigure performanţele dorite pentru funcţionarea întregului ansamblu al sistemului de reglare automată [1]. Caracterizarea cantitativă a răspunsului sistemului la referinţe sau perturbaţii impuse se concretizează într-o serie de criterii (indicatori) de performanţă [2]. Criteriile de performanţă utilizate în proiectarea SRA pot fi exprimate în domeniul real al timpului în baza răspunsului la referinţă treaptă unitară şi respectiv la perturbaţie treaptă unitară, precum şi în domeniul frecvenţial. Criteriile de performanţă în raport cu mărimea de referinţă treaptă unitară sunt exprimate astfel: pentru suprareglaj imp , pentru timpul de răspuns t r t r imp , pentru gradul de amortizare imp şi pentru eroarea staţionară în raport cu referinţa ST ST imp , iar criteriile de performanţă
în raport cu perturbaţia treaptă unitară sunt impuse suprareglării imp , duratei regimului tranzitoriu t r t r imp şi erorii staţionare în raport cu perturbaţia ST ST imp . Aceste valori limită sunt stabilite în funcţie de specificul procesului tehnologic condus şi de comportarea specifică la variaţia referinţei (comportarea sistemului la semnal mare) sau la variaţia perturbaţiei (comportarea sistemului la semnal mic) [2]. Au rezultat două categorii de date iniţiale referitoare la performanţele SRA, denumite şi performanţe de comportare. Asigurarea unei erori staţionare nule pentru semnale de referinţă treaptă reprezintă problema reglării. Păstrarea acestei performanţe în condiţiile variaţiei unor parametri ai IT (sub acţiunea unor perturbaţii parametrice), variaţii care să nu afecteze stabilitatea sistemului, reprezintă problema reglării robuste. Dacă sistemul proiectat, în practică, este supus în principal variaţiilor mărimii de referinţă, iar variaţiile mărimilor perturbatoare nu sunt intense şi nici frecvente, atunci proiectarea se poate face pornind de la indicii de performanţă în raport cu mărimea de referinţă treaptă. Dimpotrivă, dacă în practică mărimea de referinţă a sistemului proiectat nu suferă modificări însemnate, dar influenţa perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire are un caracter esenţial, atunci proiectarea se poate face pornind de la criteriile de performanţă în raport cu perturbaţia treaptă. O asemenea proiectare în funcţie de o singură categorie de performanţe este denumită proiectare minimală şi nu poate conduce la rezultate optime în cazul SA care sunt supuse atât variaţiilor importante ale mărimii de referinţă, cât şi acţiunii intense a unor perturbaţii [1]. În asemenea cazuri este necesar să se găsească soluţii care să ţină seama de ambele categorii de performanţe specificate, rezultând o proiectare optimă, denumită curent acordare optimă [1] . În proiectarea SRA utilizând metoda caracteristicilor de frecvenţă se pot utiliza indicatori de performanţă exprimaţi astfel: - indicatori de performanţă specifici caracteristicii de frecvenţă a sistemului închis M H 0 j :
M V M V imp , B B imp . - indicatori de performanţă privind stabilitatea, specifici caracteristicilor de frecvenţă ale sistemului deschis:
M A M A imp 1 M M imp Cerinţele de performanţă impuse răspunsului la frecvenţă au corespondent în domeniul timpului şi satisfacerea acestora asigură răspunsul dorit.
Rezultatele proiectării depind în mare măsură de exactitatea datelor iniţiale referitoare la descrierea matematică a proceselor desfăşurate în instalaţia tehnologică supusă automatizării; această descriere matematică, care poate fi făcută prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale, al funcţiilor de transfer sau al caracteristicilor de frecvenţă, este denumită identificarea proceselor [1]. Admiţând că procesul este identificat, deci are un model matematic dat, şi că datele iniţiale referitoare la ansamblul element de execuţie (EE) şi traductor sunt cunoscute, rezultă că partea fixată a SRA (blocul F) se poate exprima sub forma unui model matematic. În proiectare, acest model matematic trebuie să fie cunoscut aprioric. Se consideră structura SRA din figura 3.1. în care se precizează acţiunea perturbaţiei principale. În figura 3.1 partea fixată a sistemului este împărţită în două blocuri, iar funcţia de transfer a părţii fixate este H F s H F1 s H F 2 s . Funcţia de transfer a procesului poate avea diferite forme în funcţie de natura acestuia.
Fig. 3.1 În cazul proceselor rapide funcţia de transfer a părţii fixate se poate scrie sub forma: KF Y s (3.1) H F s m , n U s 1 sTi 1 sTk i 1
k 1
unde K F este factorul de amplificare al blocului F. În funcţia de transfer a părţii fixate sunt puse în evidenţă două categorii de constante de timp: constante de timp principale Tk şi constante de timp parazite T . Constantele de timp parazite au valori mult mai mici decât constantele de timp principale şi suma constantelor de timp parazite este mult mai mică decât valoarea celei mai mici constante de timp principale. Deoarece Ti 1 secundă, cu aproximaţie se scrie:
1 sTi 1 sT1 1 sT 2 ...1 sTm 1 sT1 T 2 ... Tm ; m
i 1
Se notează suma constantelor de timp parazite cu T : T T1 T 2 ... Tm , şi atunci:
1 sTi 1 sT m
(3.2)
,
i 1
Cu luarea în consideraţie a relaţiei (3.2), expresia funcţiei de transfer a părţii fixate devine: KF Y s (3.3) H F s , n U s 1 sT 1 sTk k 1
În cazul proceselor rapide constantele de timp TK au valori mai mici de 10 secunde. În relaţia (3.3), T Tk .
În cazul proceselor lente constantele de timp ale procesului sunt mari, iar în multe cazuri prezenţa timpului mort conduce la următoarea reprezentare matematică pentru partea fixată [1, 2]: KF Y s (3.4) H F s e s , n U s 1 sT 1 sTk k 1
în care este timpul mort.
Pentru proiectarea SALC sunt folosite diferite metode care au la bază modele matematice de tipul intrare-ieşire sau modele intrare-stare-ieşire. Pentru SALC invariante monovariabile sunt frecvent utilizate metoda repetiţiei poli-zerouri, metoda locului rădăcinilor, metoda caracteristicilor de frecvenţă etc. [1, 2, 36]. În cazul când se cunoaşte modelul matematic al părţii fixate, cerinţele de performanţă impuse şi mărimile de excitaţie, obiectivul proiectării optimale constă în determinarea algoritmului de reglare sau de conducere a procesului şi adoptarea echipamentului (regulatorului) corespunzător. Pentru îmbunătăţirea condiţiilor de fabricare, majoritatea producătorilor de regulatoare electronice fabrică un număr limitat de regulatoare. Regulatoarele automate care primesc la intrare eroarea şi au la ieşire mărimea de comandă u, realizează algoritmi de comandă (de reglare) prin intermediul cărora mărimea de comandă u poate conţine componente proporţionale cu eroarea , cu integrala în timp a erorii şi cu prima şi a doua derivată, în raport cu timpul, a erorii [1]. Astfel de regulatoare automate se numesc tipizate. În unele cazuri pot rezulta din proiectare regulatoare cu funcţii de transfer corespunzătoare unor algoritmi de reglare care să includă derivate de ordin superior derivatei a doua. În asemenea situaţii se preferă să nu se complice algoritmul de reglare şi construcţia regulatorului automat, acestea rămânând limitate la variantele tipizate care introduc componente proporţionale cu cel mult derivata a doua, complicându-se schema de structură a SRA prin folosirea mai multor regulatoare (reglarea în cascadă) [1]. O fază de proiectare de amploare redusă este corecţia SRA. În acest caz SRA este dat, dar nu corespunde din punctul de vedere al performanţelor de comportare impuse. Se cere să se proiecteze un element suplimentar, denumit element de corecţie, care introdus în dispozitivul de automatizare să conducă la obţinerea performanţelor impuse.
3.2. ROLUL REGULATOARELOR ÎN SISTEMELE DE REGLARE AUTOMATĂ. CLASIFICAREA REGULATOARELOR AUTOMATE
Legea de dependenţă dorită între mărimea de ieşire y t şi mărimea de referinţă r t pe care trebuie să o realizeze sistemul de reglare automată, în principal este asigurată prin dependenţa u t f t realizată de regulatorul automat [1, 2]. În continuare, se fac referiri numai la regulatoarele automate electronice. Elementele fundamentale ale acestora sunt elementele de amplificare şi circuitele de corecţie (circuitele de reacţie operaţională). În construcţia acestor regulatoare mai intervin însă şi alte elemente, legate îndeosebi de asigurarea unor condiţii cât mai bune de exploatare [36]. Astfel, blocurile de reglare trebuie să asigure trecerea din regimul de funcţionare AUTOMAT al instalaţiei tehnologice, când comanda este elaborată de regulator, în regimul de funcţionare MANUAL când mărimea de comandă este generată de un element specializat de comandă manuală, precum şi trecerea inversă. Trecerea automat-manual este necesară în cazul intrării în revizie a regulatorului sau în cazul unor defecte a acestora, iar trecerea manual-automat intervine după revizii sau reparaţii ale regulatorului, precum şi la punerea în funcţiune a SRA. Din punct de vedere al referinţei utilizate, regulatoarele pot fi cu referinţă externă şi cu referinţă internă. Referinţa externă poate fi de la un bloc special, exterior regulatorului, de la un alt regulator sau la un calculator numeric [32, 2]. Trecerea de la funcţionarea automată la funcţionarea manuală (şi invers), precum şi trecerea de la funcţionarea cu sursă internă (locală), pentru mărimea de referinţă, la funcţionarea cu o sursă externă (şi invers) trebuie să se efectueze fără şocuri care ar solicita IT. Pentru a evita astfel de
şocuri este necesară o echilibrare prealabilă care se realizează prin intermediul unor butoane, avându-se în vedere indicaţia unor dispozitive de măsură prevăzute pe regulator. O problemă importantă, pentru practică, este legată de atribuirea semnului comenzii u t . Regulatoarele pentru procese lente sunt prevăzute cu un comutator “DIRECT-INVERS”, care în funcţie de ventilul de reglare permite alegerea semnului comenzii u t . Blocurile de reglare mai sunt prevăzute cu dispozitive de stabilire a parametrilor de acordare K R , Ti , Td , precum şi cu aparate indicatoare [36]. Există mai multe criterii de clasificare a regulatoarelor, criterii determinate de tipul şi caracteristicile instalaţiei tehnologice şi respectiv de caracteristicile de funcţionare ale RA [2]. În funcţie de tipul instalaţiei tehnologice se întâlnesc regulatoare pentru procese invariante, a căror funcţionare este descrisă prin modele cu parametri constanţi, şi regulatoare pentru procese cu caracteristici variabile în timp, denumite regulatoare adaptive şi extremale. După viteza de răspuns a instalaţiei tehnologice, regulatoarele se clasifică în regulatoare pentru procese lente şi regulatoare pentru procese rapide. După caracteristicile de funcţionare ale RA, acestea se clasifică în regulatoare cu acţiune continuă şi regulatoare cu acţiune discretă, liniare şi neliniare. Regulatoarele liniare sunt caracterizate de o dependenţă liniară u t f t , iar cele neliniare printr-o dependenţă neliniară care poate fi de tip releu, liniarităţi cu saturaţie etc. Regulatoarele cu acţiunea discretă pot fi cu impulsuri modulare şi respectiv numerice. După caracteristicile construcţiei RA şi ale semnalelor de intrare şi ieşire ale regulatoarelor deosebim regulatoare unificate care au la intrare şi ieşire mărimi unificate, adică mărimi de aceeaşi natură fizică şi cu aceeaşi gamă de variaţie, şi regulatoare specializate construite special pentru anumite procese. După sursa de energie pe care o utilizează regulatoarele deosebim RA cu acţiune directă şi respectiv RA cu sursă externă de energie, categorie în care sunt incluse majoritatea regulatoarelor. RA cu acţiune directă elaborează mărimea de comandă folosind numai energia rezultată din procesul de măsurare a mărimii reglate, nu au sursă exterioară de energie, nu pot fi utilizate în cazul unor algoritmi de comandă complecşi şi nici în situaţia când elementul de execuţie necesită o putere mare de comandă. Astfel de RA sunt specializate (de presiune, temperatură, etc.). După agentul purtător de semnal se deosebesc RA electronice, pneumatice, hidraulice şi mixte. Cele mai răspândite regulatoare automate sunt regulatoarele cu acţiune continuă liniare de tip proporţional (P), proporţional-integral (PI), proporţional-derivativ (PD) şi proporţional-integratorderivativ (PID). Acestea însă, din ce în ce mai frecvent, lasă locul RA numerice.
3.3. FUNCŢIILE DE TRANSFER ALE REGULATOARELOR AUTOMATE
În cadrul regulatoarelor automate analogice elementele de amplificare sunt realizate ca amplificatoare operaţionale (AO), iar elementele de corecţii dispuse pe reacţia operaţională sunt realizate, în marea majoritate a cazurilor, ca reţele pasive RC; în foarte puţine construcţii se folosesc elemente de corecţie (reacţie operaţională) active [1]. Schema de principiu a unui RA electronic cu AO, frecvent utilizată în practică, este redată în figura 3.2.
Fig. 3.2
În analiza comportării reale a RA trebuie să se ţină seama şi de faptul că amplificatorul electronic al regulatorului este caracterizat nu numai de amplificarea A ci şi de o constantă de timp echivalentă T , extrem de redusă, din categoria constantelor de timp parazite, întrucât transferul semnalelor prin amplificator, de la intrare la ieşire, nu se face instantaneu, amplificatorul având (în buclă deschisă) o funcţie de transfer de forma [1]: A As , T s 1 Deosebirile între comportarea reală şi cea ideală a regulatoarelor sunt determinate de diferenţele dintre funcţia de transfer reală şi cea aproximativă, precum şi de prezenţa constantei T [1]. În funcţia de transfer ideală (sau aproximativă) se consideră că amplificarea teoretic tinde către infinit A , iar T 0. De multe ori, semnalele de intrare în regulatoare sunt filtrate, urmare a utilizării reacţiilor tahometrice de curent continuu, a traductoarelor de curent etc. Componentele P, I şi D sunt fundamentale, deoarece din combinaţia acestora se obţine algoritmul de comandă dorit. Este important a se evidenţia rolul componentelor I şi D din algoritmul de comandă (legea de reglare). Componenta integrală din algoritmul de comandă este definită de prezenţa unui pol în origine în funcţia de transfer H R s a regulatorului automat. Este importantă, pentru regimul staţionar, deoarece dacă în funcţia de transfer a părţii fixate nu mai apare un alt pol în origine, atunci polul în origine din funcţia de transfer a RA determină obţinerea unui SA de tipul 1, pentru care ST 0 la referinţă treaptă r t C lt , C ct. Dacă funcţia de transfer a părţii fixate conţine un pol în origine, atunci se obţine un SA de tipul 2 şi deci eroarea de viteză v 0 (pentru referinţă rampă). Componenta derivată îmbunătăţeşte regimul tranzitoriu datorită efectului de anticipare pe care îl asigură derivata. Se compensează astfel parţial întârzierile în transmiterea semnalelor, inerente oricărui sistem. a) Regulatorul proporţional sau de tip P este un element proporţional care realizează cu aproximaţie (neglijând constantele de timp parazite) o dependenţă între mărimea de comandă u şi eroarea de forma: (3.5) u t K R t , şi rezultă funcţia de transfer idealizată: U s (3.6) H R s KR , s unde parametrul K R este factorul de proporţionalitate (de amplificare) al regulatorului. Uneori în loc de factorul K R se utilizează mărimea BP (banda de proporţionalitate), definită astfel: BP 1 domeniul u (3.7) , 100 K R domeniul Dacă RA este unificat, atunci (domeniul u/domeniul ) = 1 şi relaţia (3.7) devine: 100 (3.8) BP , KR Pentru multe aplicaţii valoarea acestui parametru este cuprinsă între 1 şi 400%. De exemplu, pentru BP 2 200 %, rezultă 2 100 K R 200, K R 0,5 50. Ecuaţia de funcţionare a regulatorului P real poate fi, de exemplu, de forma: T1 u u K R , care conduce la funcţia de transfer reală:
KR Us , (3.9) s T1s 1 în care se evidenţiază un element de întârziere de ordinul I cu funcţia de transfer 1 (T1 s 1), a cărui efect este de filtrare. Cu cât constanta de timp T1 va fi mai mare, cu atât efectul de întârziere al elementului aperiodic de ordinul I va fi mai mare (fig. 3.3). Mărirea factorului de amplificare (reducerea benzii de proporţionalitate) determină micşorarea erorii staţionare a parametrului reglat, în situaţii când partea fixată nu conţine pol în origine, iar rezerva de Fig. 3.3 stabilitate se va micşora corespunzător. b) Regulatorul integrator, sau de tip I este un element integrator care realizează cu aproximaţie o dependenţă u t f f de forma: 1 u t t dt , (3.10) Ti rezultând o funcţie de transfer idealizată de forma: U s 1 (3.11) H R s , s Ti s unde Ti este constanta de timp a componentei integrale sau constanta de timp de integrare. Răspunsul indicial al unui regulator I ideal este o rampă cu panta tg K i 1 Ti . Regulatoarele I reale au termeni inerţiali în membrul I al ecuaţiei (3.10) şi atunci dinamica unui astfel de regulator va fi descrisă de ecuaţia: (3.12) T1 u u K i t dt , K i 1 Ti , şi respectiv de funcţia de transfer: Ki Us H R s , (3.13) s sT1s 1 Dacă se rezolvă ecuaţia (3.12) pentru o variaţie a erorii sub formă de treaptă unitară, atunci se obţine: H R s
[2]: sau
u r t K i t K i T1 1 e 1 , t 0, (3.14) Diferenţa între cele două răspunsuri indiciale ideal u i t şi real u r t este dată de relaţia t / T
a t u i t u r t K i t K i t K i T1 1 e
t / T1
,
(3.15) a t K i T1 1 e 1 , de unde a K i T1 T1 Ti . Răspunsurile indiciale ale regulatorului ideal şi real sunt prezentate în figura 3.4. t / T
Fig. 3.4 Existenţa polului de ordinul I în funcţiile de transfer (3.11) şi (3.13) determină anularea erorii staţionare ST 0 în cazul când partea fixată nu conţine pol în origine, însă rezerva de stabilitate a sistemului poate să scadă. În general, regulatorul I nu se foloseşte în sistemele de reglare sub această formă, ci în combinaţie cu regulatorul P [2]. c) Regulatorul proporţional-integrator sau de tip PI realizează cu aproximaţie o dependenţă de forma: 1 u t K R t t dt , (3.16) Ti rezultând o funcţie de transfer idealizată de forma: T s 1 Us 1 K R i H R S K R 1 , (3.17) s Ti s Ti s La un asemenea algoritm de comandă se dispune de doi parametri de acord ce pot fi modificaţi, astfel încât să se asigure performanţele dorite [1]. Răspunsul indicial al regulatorului PI ideal, corespunzător cu (3.16), va fi: K u t K R lt R t K R l t K i t , K i K R Ti , (3.18) Ti şi este reprezentat în figura 3.5.b. Semnificaţia factorului K R din ecuaţia (3.18) este evidenţiată şi în figura 3.5.b: la t = 0, u K R . Factorul K i K R Ti reprezintă panta componentei integrale tg K i ; la t = 1, u K R K i , ceea ce permite construirea uşoară a componentei integrale pe baza ecuaţiei regulatorului (3.18).
a)
b)
Fig. 3.5
c)
Prelungind componenta integrală până la intersecţia cu axa t se găseşte, din considerarea triunghiului OAB, că OA Ti , astfel: tg K i OB OA; OA OB K i K R K i Ti . Din ecuaţia (3.18) se mai constată că la t Ti , u 2K R , ceea ce permite să se definească constanta de timp de integrare ca fiind timpul până la care comanda u capătă o valoare dublă faţă de cea pe care o ia la momentul iniţial, datorită componentei proporţionale. Datorită acestui fapt, constanta Ti mai este denumită şi timp de dublare prin componenta integrală. Mărirea lui Ti echivalează cu micşorarea vitezei de variaţie a lui u, respectiv la micşorarea vitezei de deplasare a elementului de
execuţie, iar pentru Ti componenta integrală se anulează. Un regulator PI real este descris de ecuaţia: K (3.19) iar funcţia de T1 u t u t K R t R t dt , Ti transfer asociată regulatorului PI real este de forma: Us 1 1 , H R s K R 1 (3.20) s Ti s T1s 1 În expresia (3.20) elementul de întârziere de ordinul I cu funcţia de transfer 1 T1s 1 poate fi privit ca un element de filtrare. Răspunsul indicial al regulatorului PI real este reprezentat în figura 3.5.c. La alegerea unui regulator PI pentru o parte fixată dată, se vor avea în vedere frecvenţa perturbaţiilor şi modul de variaţie al mărimii de referinţă. Pentru variaţii rapide ale referinţei şi frecvenţe mari ale perturbaţiilor nu se recomandă regulatorul PI [5]. d) Regulatorul proporţional-derivativ sau de tip PD. Trebuie menţionat că un regulator de tip D (derivativ) nu poate fi utilizat singur. Un regulator de tip D exprimă dependenţa:
dt , (3.21) dt în care Td este constanta de timp de derivare. Din (3.21) se constată că dacă ct atunci comanda este nulă u 0, ceea ce echivalează cu o întrerupere în transmisia semnalelor, iar dacă eroarea ar fi o rampă unitară t t , atunci u d dt Td l t , deci acţiunea regulatorului ar rămâne constantă indiferent de timpul în care ar acţiona eroarea. Componenta derivativă a erorii se utilizează în combinaţie cu componenta P sau P şi I, rezultând regulatoare de tipul PD sau PID. Regulatorul de tip PD realizează cu aproximaţie o dependenţă de forma: d t (3.22) u t K R t Td , dt rezultând o funcţia de transfer idealizată de forma: Us (3.23) H R s K R 1 Td s , s Corespunzător ecuaţiei (3.22) răspunsul indicial al regulatorului PD ideal este de forma: (3.24) u t K R l t K R Td t , şi este reprezentat în figura 3.6.a. După trecerea impulsului de amplitudine infinită (Dirac) mărimea de comandă rămâne constantă şi proporţională cu eroarea, factorul de proporţionalitate fiind K R (fig. 3.6.a). Din relaţia (3.22) se constată că pentru Td 0 se obţine un regulator de tip P. Datorită inerţiilor inevitabile, nici un sistem fizic real nu poate produce la ieşire un impuls de amplitudine infinită la o variaţie treaptă unitară a mărimii de intrare. Din relaţia (3.23) rezultă că funcţia de transfer a regulatorului ideal nu este realizabilă fizic deoarece gradul polinomului, de variabilă complexă s, de la numărător (gradul unu) este mai mare decât a polinomului de la numitor (gradul zero). Este necesar ca şi gradul numitorului să fie cel puţin egal cu unu, aspect care se realizează prin introducerea unui element de filtrare sub forma unui element de întârziere de ordinul I, obţinându-se astfel f.d.t. a regulatorului PD real sub forma: T s 1 Us (3.25) H R s KR d , s Td s 1 Relaţia (3.25) corespunde unui algoritm de comandă PD un filtru (PDF). În (3.25) constanta de timp Td Tf reprezintă constanta de timp de filtrare, iar valorile practice ale coeficientului sunt 0,1 0,125. u t Td
a)
b)
Fig. 3.6
c)
Răspunsul indicial al regulatorului PDF este prezentat în figura 3.6.b. În baza teoremei valorii iniţiale se poate calcula valoarea comenzii la momentul t = 0, astfel: u 0 lim u t lim sU s lim s s H R s , t 0
s
s
în care s 1 s , iar H R s este dată de relaţia (3.25). Se obţine: T u 0 lim H R s K R d , Tf Td , s Tf
Pentru o rampă unitară t t , deci pentru s 1 s 2 transformata răspunsului ideal al unui regulator PD, conform cu (3.23), are expresia: K T K U s 2R R d , s s rezultând răspunsul ideal: u t K R Td l t K R t , (3.26) care conţine suma unei trepte de valoare K R Td cu o rampă de pantă K R (fig. 3.6.c). Din relaţia (3.26) se constată că pentru t Td se obţine:
u Td 2K R Td
(3.27)
deci dublul valorii u 0 K R Td a răspunsului, fapt pentru care constanta Td mai este denumită “timp de dublare prin componenta derivativă”[36]. În algoritmul de comandă PD, prezenţa componentei derivative introduce un efect de anticipaţie ce atrage o îmbunătăţire a stabilităţii sistemului. În cazul unor procese supuse unor perturbaţii cu frecvenţă foarte mare, componenta derivativă nu se recomandă. De asemenea, componenta derivativă are o acţiune nefavorabilă în cazul proceselor cu timp mort. e) Regulatorul proporţional-integrator-derivativ sau de tip PID. Regulatorul PID realizează cea mai cuprinzătoare formă de prelucrare a semnalului de abatere, întrunind avantajele celor trei componente P, I, D, 1. Se întâlnesc mai multe variante de astfel de regulatoare. e1) Regulator de tip PID fără filtrare şi fără interinfluenţă. Realizează cu aproximaţie o dependenţă de forma: d t 1 u t K R t t Td (3.28) , Ti dt în care K R , Ti , Td reprezintă factorul de amplificare, respectiv constanta de timp de integrare şi constanta de timp de derivare. Parametrii K R , Ti , Td reprezintă parametri de acord ai regulatorului. Corespunzător relaţiei (3.28) se obţine funcţia de transfer idealizată a regulatorului de forma:
H R s
T T s 2 Ti s 1 Us 1 K R 1 Td s K R i d , s Ti s Ti s
(3.29)
Transformata răspunsului ideal al unui regulator PID la o treaptă unitară s 1 s , are expresia:
KR KR K d Td , (3.30) s Ti s 2 rezultând răspunsul ideal, în domeniul timpului: K u t K R l t R t K R Td t , (3.31) Ti care conţine suma unei trepte de valoare K R cu o rampă de pantă K R Ti şi cu un impuls unitar (Dirac). La t 0, u 0; la t = 0, răspunsul este un impuls unitar; la t 0 , u K R , iar la t >0, K u K R R t. Ti Răspunsul indicial ideal este reprezentat în figura 3.7.a. Din expresia (3.29) se constată că funcţia de transfer nu este fizic realizabilă, deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, conţinând două anticipări contra o întârziere. Trebuie ca şi numitorul funcţiei de transfer să fie de gradul doi, ceea ce se realizează prin introducerea unui element de filtrare. Privind componentele P, I, D se pune problema de a stabili în canalul cărei componente este util a se introduce filtrare. Us
Componenta cea mai sensibilă la zgomote este componenta derivativă. Zgomotele sunt semnale aleatoare de frecvenţe înalte, cu viteze mari de variaţie şi deoarece componenta derivativă, la ieşire, generează semnale a căror valori sunt proporţionale cu viteza de variaţie în timp a semnalului de intrare, se afirmă că “derivata amplifică zgomotele”. Rezultă că cel mai indicat este să se introducă filtrarea pe componenta derivativă.
a)
b)
c) Fig. 3.7 e2) Regulator de tip PID cu filtrare şi fără interinfluenţă Funcţia de transfer a unui regulator PID real când filtrarea se introduce pe componenta derivativă este de forma: STd Us 1 , H R s K R 1 (3.32) s Ti s Td s 1 în care 1 şi valorile practice sunt cuprinse între 0,1 0,125. Şi în acest caz Td Tf reprezintă constanta de timp a circuitului de filtrare. Filtrarea semnalelor de înaltă frecvenţă (perturbaţiilor) se mai poate realiza prin plasarea filtrului la ieşirea regulatorului PID ideal, rezultând o funcţie de transfer a regulatorului PID real de forma: sTd Us 1 , H R s K R 1 Td s (3.33) s Ti s Td s 1 În continuarea se va utiliza funcţia de transfer a regulatorului PID real descrisă de relaţia (3.32). Răspunsul indicial al regulatorului PID real este reprezentat în figura 3.7.b. Se constată că mărimea de comandă, la t = 0, creşte brusc până la valoarea K R Td Tf , apoi scade exponenţial cu constanta de timp Tf şi creşte din nou liniar cu timpul, cu panta constantă. Valoarea răspunsului la momentul t = 0 se determină utilizând teorema valorii iniţiale în care s 1 s , astfel: u 0 lim u t lim s s H R s K R Td Tf . t 0
s
Comportarea tipică a unui regulator PID real este dată în figura 3.7.c. În cazul proceselor tehnologice sensibile la şocuri se pune problema dacă este bine să se deriveze eroarea, adică în algoritmul de comandă derivata să fie aplicată erorii. De exemplu, dacă SRA este cu reacţie principală directă şi la intrare se aplică o mărime de excitaţie treaptă unitară r t l t , atunci derivata erorii t r t yt devine: d t d lt dyt , (3.34) dt dt dt În relaţia (3.34) termenul dy t dt oferă informaţii despre tendinţa de variaţie a mărimii de ieşire, iar termenul d lt dt este un impuls unitar, deci un şoc care poate avea urmări negative asupra procesului tehnologic. În situaţia unui proces tehnologic sensibil la şocuri, se preferă ca această componentă derivativă să nu se introducă în canalul erorii, ci în canalul mărimii de ieşire y, obţinându-se un algoritm de comandă de forma [1]: Ts 1 Us K R s s d Ys , (3.35) Ti s Tf s 1 În unele cazuri şi componenta proporţională se introduc în canalul mărimii de ieşire y, rămânând în canalul erorii numai componenta integrală, aceasta tot în scopul evitării şocurilor în instalaţia tehnologică. Se are în vedere faptul că pentru SRA cu reacţie principală directă având la intrare aplicată o treaptă, în primul moment mărimea de ieşire y nu are timp să se modifice datorită inerţiei procesului şi atunci la momentul aplicării excitaţiei t r t , care se amplifică cu K R , se transmite o variaţie bruscă la IT, care poate avea urmări nedorite. Deci, în practică sunt situaţii în care componentele P şi D din algoritmul de comandă apar în canalul mărimii de ieşire y [1]. e3) Regulator de tip PID fără filtrare şi cu interinfluenţă Regulatorul PID fără filtrare şi cu interinfluenţă poate fi realizat prin conectarea în serie a unui bloc PI cu unul PD, obţinându-se funcţia de transfer idealizată de forma: Us 1 1 Td s , H R s K R 1 (3.36) s Ti s care mai poate fi scrisă astfel: T T s 2 Ti Td s 1 (3.37) H R s K R i d , Ti s Funcţia de transfer idealizată (aproximativă) a unui regulator PID fără filtrare şi fără interinfluenţă este descrisă de relaţia (3.29): Ti Td s 2 Ti s 1 1 H R s K R 1 Td s K R , (3.38) Ti s Ti s Deosebirea dintre (3.37) şi (3.38) este determinată de efectul de interinfluenţă [36]. Pentru a scoate în evidenţă efectul de interinfluenţă se aduce f.d.t. (3.37) la o formă analoagă cu (3.38). Se notează parametri echivalenţi ai regulatorului PID fără filtrare şi cu interinfluenţă cu K R , Ti, Td şi atunci relaţia (3.37) este adusă la forma echivalentă cu (3.38): T T s 2 Tis 1 H R s K R i d , (3.39) Tis Identificând (3.37) cu (3.39) se obţine: Ti Ti Td ,
Td
Ti Td TT i d , Ti Ti Td
T Td K R K R , K R K R i , Ti Ti Ti
(3.40)
Relaţiile (3.40) indică faptul că parametri K R , Ti, Td depind de cel puţin doi dintre parametri
K R , Ti , Td . Interinfluenţa acordării parametrilor blocului de reglare constă în faptul că modificarea parametrului Td sau Ti conduce la modificarea tuturor parametrilor echivalenţi K R , Ti, Td . În general, la regulatoarele electronice PID la care prin construcţia regulatorului nu se asigură eliminarea interinfluenţei, funcţia de transfer idealizată poate fi adusă la forma1: T 1 H R s K R 1 Td s q d , (3.41) Ti Ti s unde q este factorul de interinfluenţă. Din (3.36) se constată că în cazul considerat q = 1. Folosirea unor canale separate pentru componentele P, I, D elimină complet toate dificultăţile aferente interinfluenţei, asigurând realizarea funcţiei de transfer (3.38), deci cu un grad de interinfluenţă q = 0 şi o independenţă totală a acordării parametrilor K R , Ti şi Td . Schema de principiu a unui regulator PID cu canale separate pentru componentele P, I, şi D este redată în figura 3.8 [1].
Fig. 3.8 În figura 3.8. sunt specificate cele trei canale corespunzătoare elementelor separate P, I, D. Prin canalul superior, al componentei proporţionale, se transmite direct eroarea (sub forma unei tensiuni electrice) la amplificatorul sumator AS, pe canalul median (al componentei D) se găseşte blocul derivativ B1, format dintr-un amplificator cu reacţie operaţională care realizează funcţia de transfer aproximativă Td s, iar pe canalul inferior (al componentei I) se găseşte blocul integrator B2, care este tot un amplificator operaţional cu reacţia corespunzătoare pentru realizarea funcţiei de transfer aproximative 1 Ti s . Amplificatorul sumator AS, este prevăzut cu o reacţie negativă prin intermediul rezistenţei reglabile R, care permite ajustarea factorului de proporţionalitate K R din relaţia (3.38). Constantele de timp Td şi Ti pot fi ajustate independent prin intermediul rezistenţelor reglabile incluse în circuitele de corecţie ale blocurilor B1 şi B2 [36, 1]. Soluţia din figura 3.8 este caracterizată, comparativ cu varianta din figura 3.2, de un cost mai ridicat, în schemă intervin trei amplificatoare operaţionale, faţă de unul singur din schemele anterioare (care sunt conform cu figura 3.2). Soluţia din figura 3.8 pe lângă eliminarea completă a interinfluenţelor asigură şi o fiabilitate ridicată, fapt pentru care este utilizată în realizarea regulatoarelor electronice din structura autopiloţilor navali. e4) Regulator de tip PID cu filtrare şi cu interinfluenţă Acest algoritm se realizează prin conectarea în serie a unui bloc PI cu un bloc PDF (proporţional-derivativ cu filtru), obţinându-se funcţia de transfer de forma: 1 Td s 1 , H R s K R 1 (3.42) Ti s Td s 1 Pentru realizarea funcţiei de transfer din (3.42) se pot utiliza două variante de conexiuni, frecvent întâlnite în practică[19]. Varianta A: funcţia de transfer (3.42) se scrie sub forma:
Td s 1 K K R R , (3.43) Td s 1 Ti s În relaţia (3.43) se distinge un modul PDF cu funcţia de transfer Td s 1 Td s 1 şi un H R s
K modul PI cu f.d.t. K R R . Relaţiei (3.43) i se asociază schema de structură din figura 3.9. Ti s
Fig. 3.9 Varianta B: funcţia de transfer se scrie sub forma: T s 1 K 1 K R s R , H R s d Td s 1 Ti s
(3.44)
Conform relaţiei (3.44) funcţia de transfer se realizează prin conectarea în serie a trei module: un modul PDF cu un modul PD şi un modul integrator ideal. Schema de structură este prezentată în figura 3.10. Algoritmii de reglare (3.43) şi (3.44) sunt uşor de transpus în module software în vederea implementării pe un microcalculator regulator [19].
Fig. 3.10
3.4. ACORDAREA OPTIMĂ A REGULATOARELOR PENTRU SISTEME AUTOMATE LINIARE CONTINUE ŞI INVARIANTE
Prin acordare optimă a unui regulator automat se înţelege determinarea funcţiei de transfer şi a valorilor parametrilor care intervin în aceasta, astfel încât să se asigure o comportare optimă a sistemului automat în raport cu un criteriu de performanţă adoptat. Sunt utilizate două categorii de criterii de optimizare. Prima categorie de criterii porneşte de la satisfacerea performanţelor în raport cu semnalul de referinţă şi totodată selectează soluţia care asigură cea mai bună comportare a sistemului automat în raport cu perturbaţia. A doua categorie de criterii se bazează pe minimizarea valorii unei integrale, fiind denumite criterii integrale.
3.4.1. Acordarea regulatoarelor pentru procese rapide
În cazul proceselor rapide modelele matematice ale părţii fixate sunt stabilite cu un grad ridicat de precizie, iar constantele de timp dominante sunt mai mici de 10 secunde. Pentru acordarea regulatoarelor sunt utilizate criteriul modulului şi criteriul simetriei.
a) Criteriul modulului Acest criteriu porneşte de la ideea că un sistem liniar invariant are o comportare ideală în raport cu semnalul de referinţă şi cu perturbaţia aditivă, în sensul că răspunsul în raport cu referinţa
este identic cu referinţa, iar răspunsul în raport cu perturbaţia este nul [2]. Se consideră schema de structură a SRA cu reacţie principală directă reprezentată în figura 3.1. SRA fiind liniar, la acţiunea simultană a referinţei şi perturbaţiei, mărimea de ieşire y va avea două componente: yt y r t y p t , sau în imagini Laplace: Y s Yr s Yp s ,
unde Yr s L y r t este componenta răspunsului determinată de referinţa r, iar Yp s L y p t este componenta răspunsului determinată de perturbaţia adiţională. Deci, comportare ideală înseamnă yt r t şi y p 0 sau t 0, pentru r 0 şi p 0. Întrucât (3.45) Yr s H 0 s R s , (3.46) Yp s H 0 p s Ps , unde Ps L pt , H 0 s Yr s R s este funcţia de transfer a sistemului automat închis în raport cu referinţa r, iar H 0 p s Yp s P s este funcţia de transfer a sistemului închis în raport cu perturbaţia p. Pentru un sistem ideal în care tot timpul t 0, se obţin condiţiile: (3.47) H 0 s 1, (3.48) H 0 p s 0, Trecând în domeniul frecvenţial, cu substituţia s j, rezultă: H 0 j 1, H 0 p j 0, şi deci pentru module se obţin condiţiile: H 0 j M 1,
(3.49) (3.50) (3.51)
H 0 p j M p 0,
(3.52)
care caracterizează, în domeniul frecvenţial, o comportare ideală. Din aceste condiţii impuse modulelor derivă şi denumirea de “Criteriul modulului”. Condiţiile ideale (3.51), (3.52) ar trebui satisfăcute pentru toată gama de variaţie a pulsaţiei . Pentru a stabili ce implicaţii ar aduce respectarea acestor condiţii ideale se dezvoltă relaţiile (3.51) şi (3.52) în serie Mac-Laurin: dM 1 d2M 1 dn M 2 M M0 n (3.53) d 0 2 d2 0 n! dn 0 Mp Mp 0
dMp d
1 d Mp 2 d2 2
0
1 d Mp n! dn n
2 0
n (3.54) 0
Corespunzător relaţiei (3.53), condiţia ideală (3.51) este îndeplinită dacă au loc relaţiile: (3.55) M 0 H 0 j0 1,
dM d 2 M 0, 0, d 0 d 2 0
(3.56)
Condiţia M 0 1 este asigurată prin prezenţa unui pol în origine în f.d.t. a sistemului deschis, deci pentru SA de tipul 1 sau 2, ceea ce asigură totodată o eroare staţionară nulă (la referinţă treaptă), conform tabelei 2.1. Având în vedere (3.54), condiţia ideală (3.52) este îndeplinită dacă au loc relaţiile: dM p d 2 M p (3.57) M p 0 0, 0, 0, d 0 d 2 0
Deoarece SA nu poate fi ideal, condiţiile (3.56) şi (3.57) nu pot fi exact realizate [1]. Acordare optimă înseamnă satisfacerea (3.55) şi realizarea unor condiţii cât mai apropiate de condiţiile ideale (3.56) şi (3.57). În baza acestor considerente a fost elaborat criteriul modulului, folosit atât în cazul proceselor rapide, cât şi în cazul proceselor lente [19]. În cazul proceselor rapide funcţia de transfer a părţii fixate este descrisă cu o bună precizie de relaţia (3.1.): KF Y s (3.58) H F s , n U s 1 sT 1 TK s k 1
În varianta Kessler a criteriului modulului se demonstrează [36, 19] că pentru a rezulta o acordare optimă este necesar ca funcţia de transfer a regulatorului automat să aibă o expresie de forma: n
1 k s Us s ,
(3.59) s s în care parametrii regulatorului în funcţie de cei ai părţii fixate trebuie să aibă valorile [1, 2]: (3.60) k Tk , 2K F T , Având în vedere condiţiile de acordare optimă (3.59) şi (3.60) ale variantei Kessler a criteriului modulului, pentru funcţia de transfer a sistemului deschis H d s se obţine expresia: HR
K 1
n
H d s H R s H F s
1 k S k 1 s
KF n
1 sT 1 Tk s
respectiv, cu luarea în considerare a relaţiilor (3.60): 1 H d s , 2T s1 sT
,
k 1
(3.61)
rezultând un SA de tipul 1, deci ST 0 pentru o referinţă treaptă. Se mai constată că regulatorul automat compensează efectul constantelor de timp principale ale părţii fixate asupra răspunsului. Acest aspect este conform cu relaţia k Tk . Dacă f.d.t. H F s conţine un pol în origine, având aspectul [1]: KF (3.62) H F s , n s1 sT 1 Tk s k 1
atunci în varianta Kessler a criteriului modulului se demonstrează că funcţia de transfer a regulatorului automat trebuie să aibă expresia: n
H R s
1 k s k 1
, în care parametrii k şi au valorile din (3.60).
(3.63)
Având în vedere că H d s H R s H F s , precum şi expresiile (3.62) şi (3.63), se constată că pentru sistemul deschis se obţine tot expresia (3.61). Din (3.61), rezultă că funcţia de transfer a SRA cu reacţie principală directă are expresia: H d s Ys 1 H 0 s , (3.64) 2 2 R s 1 H d s 2T s 2T s 1
Din expresia (3.64) se constată că realizând acordarea optimă a regulatorului automat prin varianta Kessler a criteriului modulului se obţine în ansamblu un sistem de ordinul II, indiferent de funcţia de transfer H F s [1]. Punând expresia (3.64) sub forma: 1 2T2 H 0 s , (3.65) 1 1 2 s s 2 T 2T şi identificând (3.65) cu (2.105) rezultă: 1 (3.66) n , 2 T şi
1 T 2 n
2
1 T 1
2 0,7, 2
2 T Introducând (3.67) în expresia suprareglajului (2.130) se obţine: 0,043 4,3%, iar cu valoarea = 0,7 şi având în vedere (3.60) din (2.139) rezultă: 4,78 4,78 tr 6,74 T , 1 n
(3.67)
(3.68) (3.69)
2 T Valorile din (3.68) şi (3.69) arată că performanţele tranzitorii ale sistemului proiectat sunt foarte bune [1]. Varianta Kessler a criteriului modulului are avantajul că se aplică foarte uşor, conducând imediat la tipul regulatorului automat şi la valorile parametrilor regulatorului. Comparând expresiile (3.59) şi (3.63) cu funcţiile de transfer idealizate ale regulatoarelor tipizate se constată că aceste regulatoare se încadrează în categoria celor tipizate dacă în expresiile menţionate n 2, adică să existe cel mult două constante de timp principale. Dacă în expresia H F s apar mai mult de două constante de timp principale, atunci realizarea sistemului cu ajutorul regulatoarelor tipizate poate fi obţinută prin folosirea schemei de reglare în cascadă [1]. b) Criteriul simetriei Criteriul simetriei a fost elaborat tot de Kessler şi se deosebeşte de criteriul modulului (în varianta elaborată de acelaşi autor), în principal, prin faptul că se urmăreşte obţinerea unui pol de ordinul doi în origine în funcţia de transfer a sistemului deschis H d s , care asigură o eroare de viteză nulă, pentru variaţii în rampă a referinţei [36, 1, 2]. Întrucât prezenţa unui pol de ordinul doi în origine înrăutăţeşte performanţele tranzitorii ale răspunsului la semnale treaptă aplicate la intrarea sistemului, criteriul simetriei se foloseşte de regulă în cazul SA cu semnale de intrare variabile liniar în timp [36]. Criteriul simetriei porneşte de la forma (3.58) a funcţiei de transfer H F s a părţii fixate, rezultând pentru funcţia de transfer în frecvenţă a acestuia, expresia [36]: KF (3.70) H F j , n jT 1 jTk 1 k 1
Întrucât calitatea procesului tranzitoriu este determinată de aspectul caracteristicilor de frecvenţă în zona pulsaţiilor de tăiere [14], care are valori ridicate, se poate admite pentru această zonă a pulsaţiilor aproximaţia jTk 1 jTk , expresia (3.70) devenind [36]:
H F j
KF
,
(3.71)
Revenind la funcţia de transfer se obţine: KF H F s , n T s 1 Tk s
(3.72)
n
jT 1 jTk k 1
k 1
unde:
Se demonstrează că funcţia de transfer a regulatorului are expresia [36]: n Us 1 s C (3.73) H R s , s s
C 4nT , 2K F T
Cn n
T k 1
,
k
Reţinând primii doi termeni din expresia care rezultă prin ridicarea la puterea n a binomului de la numărătorul relaţiei (3.73), se obţine pentru funcţia de transfer a sistemului deschis expresia [36]: 4T s 1 H d s 2 2 , (3.74) 8T s T s 1 iar pentru SRA cu reacţie principală directă se obţine funcţia de transfer: 4T s 1 H d s H 0 s 3 3 , (3.75) 1 H d s 8T s 8T2 s 2 4T s 1 Din (374) rezultă că se obţine un SA de tipul 2, deci eroarea în regim permanent la intrare rampa este nulă şi eroarea staţionară, la intrare treaptă, este de asemenea nulă. Ca şi în (3.64), în (3.75) intervine numai suma constantelor de timp parazite T , deci constantele de timp principale Tk din funcţia de transfer a părţii fixate sunt compensate. Funcţia de transfer (3.75) se scrie astfel încât să se evidenţieze polii şi zeroul acesteia: 1 1 s 2 4T 2T 4T s 1 H 0 s , 4T2 s 2 2T s 1 2T s 1 2 1 1 1 s s s 2T 2T 4T2 sau 2n p 3 s z z (3.76) H 0 s 2 , s 2 n s 2n s p 3 şi prin identificare obţinându-se: 1 1 1 n ;z ; 0,5; p 3 , 2T 4T 2T
p1, 2 n j n 1 2 ,
O asemenea distribuţie a polilor şi zerourilor lui H d s asigură o bună comportare în raport cu semnalele de tip rampă şi o comportare nesatisfăcătoare în raport cu referinţa sub formă de treaptă 43%.
3.4.2. Probleme ale acordării optime a regulatoarelor pentru procese lente
Procesele lente sunt caracterizate prin modele matematice aproximative având constante de timp mai mari de 10 secunde şi de regulă, conţin şi timp mort. Acestea fac ca acordarea optimă a regulatoarelor pentru procese lente să fie mult mai dificilă decât cea corespunzătoare proceselor rapide [1]. În literatura de specialitate [2, 5], în baza experienţei în proiectarea şi exploatarea SRA sunt prezentate recomandări privind alegerea tipului de RA pentru diverse funcţii de transfer ale părţii fixate şi respectiv pentru diverşi parametri tehnologici. Astfel, tabelul 3.1 conţine algoritmi de reglare recomandaţi pentru diverse tipuri de funcţii de transfer H F s ale părţii fixate, iar în tabelul 3.2 se prezintă unele recomandări privind algoritmul de reglare pentru diverşi parametri tehnologici. Algoritmul de reglare KF TF s 1
KF T1s 1T2 s 1 KF
n
T K 1
K
s 1
P
PI DA dacă se impun DA cerinţe asupra erorii staţionare DA DA cu restricţii cu performanţe asupra reduse amplificării Rar utilizat, performanţe scăzute
DA
K F e s TF s 1
DA când 0,1, TF iar ST este în limite admisibile
DA
K F e s
NU
NU
K F e s TF s 1T2 s 1
NU
DA
PD DA dacă T F
este precis determinat
PID
Tabelul 3.1
NU
DA Se cu restricţii utilizează asupra rar amplificării Se utilizează rar
DA
Neconvenabi l când timpul mort este produs de Foarte rar timpul de transport şi există zgomot NU NU Rar, în funcţie de tipul timpului NU mort şi efectul componente iD
Conform cu [36, 2, 5], în continuare sunt prezentate unele criterii verificate în practică privind alegerea tipului de RA, ţinând seama de caracteristicile procesului şi performanţele impuse. Prezenţa timpului mort în funcţionarea unui proces tehnologic impune o serie de precauţii la alegerea tipului de regulator. Timpul mort, fie reduce rezerva de stabilitate a sistemului, înrăutăţind performanţele tranzitorii, fie determină pierderea stabilităţii. Aceste efecte negative sunt cu atât mai pronunţate, cu cât valoarea a timpului mort este mai mare. Datorită acestui fapt prezintă importanţă pentru comportarea sistemului valoarea raportului T F , dintre valoarea timpului mort şi valoarea constantei de timp T F a părţii fixate [36]. În cazul proceselor tehnologice cu timp mort se recomandă atât regulatoare liniare PI, PID cât şi regulatoare neliniare de tip bipoziţional sau
tripoziţional. Componenta derivativă se include într-un algoritm pentru proces cu timp mort numai în măsura în care se obţine o îmbunătăţire a performanţelor. Pentru valori ale raportului TF 0,2 se pot recomanda algoritmi neliniari, în măsura în care cerinţele de performanţă nu sunt foarte înalte [2]. Tabelul 3.2. Tipul regulatorului
P
PI
PID
Parametrul reglat
Temperatură
Presiune Debit Nivel
DA Dacă 0,1 TF DA dacă nu există timpi morţi prea mari NU DA dacă nu există timpi morţi prea mari
Bipoziţional DA în funcţie de raportul / TF
DA
DA
DA
În cazuri speciale
-
DA
NU
-
DA
-
DA
Amplitudinea şi frecvenţa perturbaţiilor trebuie luate în consideraţie la alegerea tipului de regulator. Astfel, pentru procese cu constantă de timp medie şi un timp mort redus, la o amplitudine medie a perturbaţiei şi o frecvenţă redusă a acestora, se recomandă un regulator bipoziţional sau un regulator P. Pentru o frecvenţă mai mare a perturbaţiilor, având diverse amplitudini, se recomandă un algoritm PI, iar pentru un proces cu mai multe constante de timp şi timp mort redus la o amplitudine mare a perturbaţiilor şi o frecvenţă mare a acestora, se recomandă un algoritm PID. De asemenea, pentru procese cu două sau mai multe constante de timp dominante nu se recomandă un regulator P, ci un regulator PI sau PID, care anulează eroarea staţionară şi asigură o viteză de răspuns mai ridicată. În funcţie de parametrul reglat sunt recomandate diverse tipuri de regulatoare având în vedere dinamica procesului , T F şi caracterul perturbaţiilor. Astfel, pentru reglări de nivel pot fi utilizate atât regulatoare P cât şi regulatoare PI, aceasta în funcţie de precizia urmărită şi de tipul perturbaţiilor. Dacă perturbaţiile în cazul reglării de nivel sunt determinate atât de variaţia debitului de intrare cât şi de variaţia debitului de ieşire, iar eroarea staţionară se cere a fi zero, se recomandă un regulator PI. Pentru reglări de presiune se recomandă utilizarea unor regulatoare PI, ai căror parametrii de acord sunt diferiţi pentru gaze şi lichide, având în vedere că pentru lichide constanta de timp este mai redusă decât pentru gaze. În cazul unor reglări de debite şi amestecuri de fluid, dat fiind că asemenea procese sunt caracterizate printr-o constantă de timp mică şi o amplificare mare, sunt recomandate regulatoarele PI. Prezenţa zgomotelor determinate de variaţiile debitului face inoportună utilizarea componentei derivative în reglarea debitelor (derivata amplifică zgomotele). La reglări de temperatură, când raportul T F este mare, sunt recomandate regulatoarele PI sau PID [2]. Alegerea şi acordare regulatoarelor pentru procese cu timp mort reprezintă una dintre problemele cele mai dificile în practica reglării automate. Aceasta datorită atât dificultăţilor de determinare cu precizie a timpului mort ce caracterizează procesul cât şi influenţei nefavorabile a timpului mort asupra comportării tranzitorii a unui SRA.
Odată stabilită legea de reglare pentru un proces dat, se impune luarea în considerare a tipului de regulator din punctul de vedere al agentului purtător de semnal. Din punctul de vedere al legilor de reglare P, I sau D, sistemele pneumatice şi electronice sunt echivalente. Alegerea unui regulator pneumatic este determinată de tipul procesului, de tipul parametrilor reglaţi, de tipul elementelor de execuţie şi de tipul traductoarelor [2, 5]. Siguranţa în medii cu pericol de explozie şi incendii poate constitui un argument în favoarea regulatoarelor pneumatice, însă şi regulatoarele electronice prevăzute cu siguranţă intrinsecă pot fi utilizate în asemenea medii [2, 5]. Pentru procesele la care sunt utilizate traductoare pneumatice şi elemente de execuţie pneumatice, este indicat un regulator pneumatic, fiind utilizat în acest caz un singur agent purtător de informaţie. Considerentele economice constituie, de asemenea, un element important în adoptarea soluţiei pneumatice sau electronice [2, 5]. Pentru procesele fără timp mort sau cu timp mort neglijabil, criteriile de acordare optimă a RA pentru procese rapide pot fi extinse [36, 1, 5, 2]. Dificultăţile legate de identificarea proceselor lente, comportarea neliniară a unor asemenea procese precum şi caracterul aleatoriu al anumitor perturbaţii ce intervin în funcţionarea proceselor, fac ca metodele analitice de acordare a regulatoarelor să aibă un caracter limitat. Ca urmare, au primit o largă extindere metodele experimentale, atât pentru identificare proceselor, cât şi pentru acordarea optimă a regulatoarelor din aceste sisteme. Metodele experimentale de acordare au la bază experienţa acumulată în alegerea şi acordarea regulatoarelor. Astfel, pentru un sistem dat, în funcţiune, cu mărimea de referinţă şi cu mărimile perturbatoare menţinute constante, prin modificarea parametrilor de acord până se ajunge la limita de stabilitate, se determină amplitudinea şi perioada oscilaţiilor întreţinute. Folosind aceste mărimi caracteristice limitei de stabilitate a SRA, se determină valorile parametrilor de acord ai regulatorului. Metoda Ziegler-Nichols se aplică la acordarea regulatoarelor pentru procese lente la care perturbaţiilor sunt determinate de sarcină şi au o durată mare [2, 5]. Pentru un regulator PID se fixează acordul pentru Ti la valoarea maximă Ti şi pentru Td la valoarea minimă Td 0 şi se modifică K R până ce mărimea de ieşire a sistemului y intră într-un regim de oscilaţii neamortizate, deci SRA ajunge la limita de stabilitate. Valoarea factorului de amplificare corespunzător limitei de stabilitate K R 0 şi perioada oscilaţiilor neamortizate T0 sunt utilizate pentru determinarea parametrilor de acordare optimă. Pornind de la asigurarea unui raport de 1/4 între amplitudinea celei de a doua oscilaţii pozitive şi amplitudinea primei oscilaţii pozitive (“amortizare în sfert de amplitudine”) criteriul Ziegler-Nichols recomandă următoarele valori de acordare optimă în funcţie de K R 0 şi T0 [5, 2]. Pentru regulatoare P: (3.77) K R opt 0,5 K R 0 ,
Pentru regulatoare PI: K R opt 0,45 K R 0 ,
(3.78)
(3.79) Ti opt 0,8 T0 . Se recomandă o reducere a factorului de amplificare (3.78) faţă de regulatorul P, justificată ca urmare a necesităţii comportării efectelor nefavorabile ale componentei I asupra procesului tranzitoriu. Pentru regulatoarele PID: K R opt 0,75 K R 0 , Ti opt 0,6 T0 ,
Td opt 0,1 T0 .
(3.80)
pentru factor de interinfluenţă q = 0. Se remarcă creşterea lui K R şi reducerea lui Ti care conduc la creşterea factorului total de amplificare, aspect posibil datorită îmbunătăţirii performanţelor tranzitorii determinate de prezenţa componentei D 2. Pentru factorul de interinfluenţă q = 1 se recomandă: K R opt 0,6 K R 0 , Ti opt 0,5 T0 ,
(3.81)
Td opt 0,12 T0 ,
În acest caz, factorul de amplificare K R opt Ti opt se reduc foarte puţin faţă de cazul în care q=0, 5. În literatura de specialitate 2,5,36 sunt prezentate şi alte metode practice de acordare optimă a regulatoarelor.
3.4.3. Criterii integrale
Criteriile integrale sunt utilizate pentru aprecierea calităţii proceselor tranzitorii fără a se recurge la determinarea performanţelor, precum şi pentru acordarea regulatoarelor automate în baza tehnicilor de optimizare parametrică. Criteriile integrale de calitate reprezintă integrale definite (de la 0 la ) ale unor funcţii de timp ce caracterizează procesele dinamice din SRA. Funcţiile de timp trebuie să fie absolut integrabile, altfel criteriile integrale nu au sens. Această condiţie este îndeplinită de răspunsul indicial, funcţia pondere, derivatele lor etc. Un proces tranzitoriu, în cazul unui SRA cu reacţie principală directă, ar fi ideal dacă în permanenţă r(t)=y(t) (aspect care practic nu este posibil), ceea ce ar conduce la condiţia: r y 0, din care decurge şi condiţia ideală:
I1 ( t ) dt 0 ,
(3.82)
0
care practic nu poate fi realizată; conform acestei condiţii răspunsul la o referinţă treaptă ar fi o treaptă identică. Un proces tranzitoriu posibil, deci care nu respectă relaţia (3.82), va fi cu atât mai apropiat de cel ideal cu cât integrale I 1 (sau una analoagă acesteia) va avea o valoare mai redusă, deci dacă va rezulta:
I1 ( t ) dt min ,
(3.83)
0
Dacă SRA funcţionează cu eroare staţionară diferită de zero, la o referinţă treaptă, (SA este de tipul =0), atunci integrala I 1 din (3.83) nu poate fi utilizată pentru aprecierea calităţii procesului tranzitoriu, întrucât valoarea sa va fi în toate cazurile infinită, datorită faptului că ST 0 . În asemenea cazuri se poate utiliza, pentru aprecierea calităţii regimului tranzitoriu, un criteriu integral de forma:
I 2 ( y ST y) dt min ,
(3.84)
0
întrucât în regim staţionar y y ST şi diferenţa y ST y 0 ; ca urmare valoarea integralei I 2 nu este afectată de existenţa unei erori staţionare diferită de zero şi este determinată numai de aspectul regimului tranzitoriu. Criteriile integrale (3.83) şi (3.84) pot fi utilizate numai pentru cazurile în care răspunsul SRA la o referinţă r(t)=1(t) este aperiodic, deoarece în cazul proceselor tranzitorii oscilante (fig. 3.11) apar arii cu semne diferite, delimitate de variaţiile în timp ale mărimilor y şi r sau y ST şi deci poate rezulta o valoare redusă a integralelor I 1 sau I 2 , chiar dacă procesul tranzitoriu nu are o calitate satisfăcătoare. De aceea, este preferabilă utilizarea unor criterii integrale pătratice, de forma:
I 3 y ST y dt min , 2
(3.85)
0
iar dacă ST 0 şi y ST r, pentru r(t)=1(t), de forma:
I 4 2 dt min ,
(3.86)
0
Fig. 3.11 Dificultatea legată de semnele diferite ale ariilor este înlăturată prin ridicarea la pătrat a funcţiilor de sub integrală. În alte cazuri, se utilizează criterii integrale de forma: 2 2 2 d ( y ST y) I 5 y ST y T (3.87) dt min , dt 0 respectiv, dacă y ST r şi ST 0 , pentru r(t)=1(t), de forma: 2 d I 6 2 T 2 dt min , (3.88) dt unde T este un factor de pondere. Criteriile (3.87) şi (3.88) sunt cazuri particulare ale criteriului integral pătratic de forma generală:
I 7 V dt min ,
(3.89)
0
în care V este o funcţie pătratică de tipul: 2
dnx dx V A 0 x a A 1 a A n n a dt dt 2
unde
2
,
x a y ST y ,
(3.90) (3.91)
La sistemele cu ST r y ST 0 pentru r(t ) 1(t ) , deci cu y ST r , rezultă:
x a y ST y r y , (3.92) Folosirea criteriilor integrale pentru acordarea optimă presupune cunoscută structura regulatorului, deci algoritmul de reglare adoptat, urmând ca în cadrul acordării să fie determinate valorile optime ale parametrilor care intervin în legea de reglare. Cunoscând funcţia de transfer H R (s) (cu parametrii K R , Ti , Td introduşi literar) şi H F (s) (din datele iniţiale) se determină funcţia de transfer H 0 (s) a sistemului închis. Având determinată expresia lui H 0 (s) , se calculează (s) cu relaţia: 1 (3.93) (s) R (s) , 1 H R (s)H F (s)
Relaţia (3.93) evidenţiază faptul că eroarea (s) se poate calcula în funcţie de parametrii cunoscuţi ai părţii fixate şi în funcţie de parametrii necunoscuţi ( K R , Ti , Td ) ai algoritmului de reglare. Notând cu I criteriul integral folosit şi presupunând că a fost ales un algoritm de reglare PI, se va obţine: I f (K R , Ti ) , (3.94) Valorile optime K R opt şi Ti opt sunt cele care asigură minimizarea integralei I şi se obţine prin intermediul ecuaţiilor: I 0, (3.95) K R I 0, (3.96) Ti
3.5. Sisteme de reglare automată cu mai multe regulatoare
Prin utilizarea unor scheme cu mai multe regulatoare se extinde aria performanţelor care pot fi asigurate.
3.5.1. Reglarea în cascadă
Regulatoarele tipizate (PI, PID) au funcţii de transfer cu polinomul de la numărător de cel mult gradul doi ( în relaţia (3.59) şi respectiv (3.63), n2), rezultă deci că acestea pot compensa efectele nedorite a cel mult două constante de timp principale ale părţii fixate 1, 2, 36, 19. În cazul proceselor tehnologice cu structuri mai complicate, care determină prezenţa unui număr mai mare de constante de timp principale în funcţia de transfer H F (s) , problema acordării optime poate fi rezolvată cu ajutorul mai multor regulatoare tipizate conectate într-o schemă specială numită schemă de reglare în cascadă. În practică, schemele de reglare în cascadă conţin cel mult patru regulatoare automate.
În figura 3.12 este reprezentată schema de reglare în cascadă pentru cazul a două blocuri de reglare RA 1 şi RA2.
Fig. 3.12 Blocul părţii fixate F este separat în subansamblele F1 şi F2 din următoarele considerente: mărimea intermediară y 1 să prezinte interes din punctul de vedere al reglării; mărimea y 1 să fie măsurabilă prin mijloace tehnice simple şi să aibă viteza de răspuns mai mare la acţiunea unor perturbaţii, în comparaţie cu mărimea de ieşire y (să fie mai rapidă); fiecare subansamblu F1, F2 să fie caracterizat de cel mult două constante de timp principale; un număr de perturbări să acţioneze asupra subansamblului F1. Prin intermediul mărimii y 1 se realizează o buclă interioară de reglare RA1, iar prin intermediul mărimii reglate y se realizează bucla exterioară de reglare cu RA2. În condiţiile menţionate RA1 şi RA2 pot fi blocuri de reglare tipizate, urmând să compenseze fiecare cel mult două constante de timp principale din subansamblul F1 şi respectiv F2. A rezultat că schema permite reglarea simultană a mai multor mărimi din cadrul blocului F, ceea ce determină o reducere însemnată a duratei regimului tranzitoriu. Un alt avantaj constă în faptul că se poate impune o limitare a valorilor mărimii intermediare y1 , printr-o ajustare corespunzătoare a nivelului de saturaţie a RA1.
Reglarea în cascadă este utilizată atât în cazul proceselor rapide, cât şi în cazul proceselor lente, cu timp mort. Acordarea optimă începe totdeauna cu bucla interioară, respectiv cu RA1 din figura 3.12. Considerând că schema se referă la procese rapide şi folosind criteriul modulului în varianta Kessler, pentru bucla 1 se obţine o funcţie de transfer de forma (3.64) respectiv
H O1 s
1 1 , 2T s 2T 1s 1 2T 1s 1 2 2 1
(3.97)
unde T 1 este suma constantelor de timp parazite din bucla interioară, iar aproximaţia din (3.97) este permisă deoarece T 1 l secundă. Întreaga buclă interioară intervine în cea exterioară ca un element de întârziere de ordinul I cu o constantă de timp 2T 1 . Blocul RA2 va compensa cele maximum două constante principale de timp din F2, funcţia sa de transfer fiind obţinută utilizând din nou criteriul modulului, în funcţie de H F 2 s , iar 2T 1 va fi inclusă în suma constantelor de timp parazite T 2 din bucla exterioară. În general, pentru unele bucle poate fi folosit criteriul modulului, iar pentru altele, criteriul simetriei, în funcţie de tipul variaţiei în timp a semnalelor de intrare a buclelor [36]. Reglarea în cascadă poate fi folosită împreună cu reglarea combinată cu compensarea perturbării.
3.5.2. Reglarea combinată cu compensarea perturbării
Întrucât principalele funcţiuni ale RA constau în reducerea în cât mai mare măsură a influenţei perturbărilor asupra mărimii de ieşire şi în asigurarea unei comportări cât mai bune a sistemului în raport cu semnalele de intrare, au fost elaborate scheme în care intervine şi un regulator care controlează variaţiile unei perturbări (se selectează cea cu acţiune intensă şi frecvenţă ridicate) şi acţionează în sensul compensării influenţei exercitate de această perturbare asupra mărimii de ieşire. În acest mod, reglarea după eroare este completată cu reglarea după perturbare (principiul reglării după perturbaţie), rezultând schema de reglare combinată din figura 3.13.
Fig. 3.13 Perturbaţia p fiind măsurabilă, mărimea v de la ieşirea traductorului este aplicată unui regulator de perturbaţie RP şi aceasta transmite comanda u p unui sumator, la ieşirea căruia rezultă comanda: (3.98) u u up , aplicată blocului F. În relaţia (3.98) s-a notat cu u componenta comenzii generată de regulatorul RA, urmare a prelucrării erorii . S-a considerat că perturbaţia p este aplicată cu semnul plus unui sumator intermediar dintre blocurile F1 şi F2. Ca urmare, componenta u p se aplică cu semnul minus la intrarea blocului F, asigurându-se compensarea efectului perturbaţiei p asupra răspunsului y. Sistemul fiind liniar şi aplicând principiul superpoziţiei, rezultă că mărimea de ieşire y, din figura 3.13, are trei componente corespunzătoare celor trei mărimi r, p, up aplicate sistemului, rezultând pentru transformata Laplace a mărimii de ieşire Ys , expresia: (3.99) Y s H o s R s H op s Ps H oup s U p s ,
în care Ps L pt , U p s L u p t , H op s este funcţia de transfer a sistemului închis în raport cu perturbaţia Ps , iar H oup s este funcţia de transfer a sistemului închis în raport cu U p s . În (3.99), funcţiile de transfer care intervin au expresiile: H d s H o s , 1 H d s H F 2 s H op s , 1 H d s H F s H oup s , 1 H d s
(3.100) (3.101) (3.102)
în care:
H d s H R s H F s H R s H F1 s H F 2 s , Înlocuind (3.101) şi (3.102) în (3.99) se obţine: H s H F s H RP s H Trp s Ys H o (s)R s Ps F 2 , 1 H d s 1 H d s
(3.103)
întrucât
U p s H RP s H Trp s P s Pentru ca răspunsul y să nu fie influenţat de perturbarea p, este necesar ca paranteza pătrată din (3.103) să fie nulă, deci: H F 2 s H F s H RP (s) H Trp s 0, respectiv
H RP s
H F 2 s 1 , H F s H Trp s H F1 s H Trp s
(3.104)
Relaţia (3.104) permite proiectarea regulatorului RP. Reglarea combinată are avantajul că permite să fie eliminată influenţa perturbării p asupra răspunsului y, care permite ca regulatorul RA să fie proiectat numai din considerentul asigurării unor performanţe impuse răspunsului y la o variaţie a referinţei r [1].
3.6. FUNCŢIA DE TRANSFER APROXIMATIVĂ A REGULATORULUI ELECTRONIC. EXEMPLE DE REGULATOARE ELECTRONICE
Regulatorul reprezintă echipamentul cel mai complex în cadrul unui SRA, fiind destinat prelucrării informaţiei şi elaborării strategiei de reglare sau conducere. Într-un sens general, noţiunea de regulator automat presupune o anumită strategie de conducere obţinută ca rezultat al problemei reglării [19], formulată ca obiect matematic. Implementarea algoritmului de comandă pe un suport fizic, fie ca program aplicativ pe un calculator, fie pe un suport hard cum ar fi regulatorul electronic analogic sau numeric, asigură realizabilitatea fizică a algoritmului de comandă 2,19. Regulatoarele electronice prelucrează informaţia privind evoluţia erorii într-un SRA sau / şi evoluţia directă a mărimii de ieşire din proces, după legi prestabilite, generând comanda u(t). În figura 3.14 se prezintă structura unui SRA în care regulatorul este plasat pe calea directă (fig. 3.14.a) şi respectiv pe calea directă şi pe reacţie (fig. 3.14.b). În figura 3.14.b, regulatorul realizează legi de reglare diferite pe cele două canale: eroare şi ieşire din proces. O asemenea configuraţie de regulator este întâlnită la majoritatea sistemelor unificate pentru procese lente, ca urmare a avantajelor oferite 19.
a)
Fig. 3.14.
b)
3.6.1. Funcţia de transfer aproximativă a regulatorului electronic
Principalele elemente componente ale regulatorului automat au fost prezentate în figura 3.2. Elementul de bază al regulatorului este amplificatorul. Regulatoarele analogice sunt realizate pe baza amplificatoarelor operaţionale prevăzute cu circuite de corecţie la intrare şi circuite de corecţie pe reacţie (reacţia operaţională). Cea mai simplă schemă de principiu a unui regulator electronic este reprezentată în figura 3.15, în care A este coeficientul de amplificare a amplificatorului în absenţa reacţiei (în circuit deschis), borna (-) este intrarea inversoare, borna (+) este intrarea neinversoare, Z1 reprezintă impedanţa circuitului de intrare, Z 2 este impedanţa circuitului reacţiei negative, iar Ri este rezistenţa de intrare a amplificatorului. La intrarea blocului regulator se aplică eroarea sub forma tensiunii u1 , iar la ieşire se obţine mărimea de comandă u u 2 .
Fig. 3.15 Deoarece trebuie determinată funcţia de transfer a blocului regulator, relaţiile de calcul se vor scrie utilizând metoda operaţională bazată pe transformata Laplace, pentru cazul în care condiţiile iniţiale sunt nule. Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul m, se obţine: (3.105) I1 s I 2 s I i s , în care:
U 1 s U i s U s U 2 s U s ; I 2 s i ; I i s i , (3.106) Z1 s Z 2 s Ri În relaţiile de mai sus Z1 s reprezintă impedanţa operaţională a circuitului de intrare, iar Z 2 s impedanţa operaţională a circuitului de reacţie. Având în vedere configuraţia inversoare a amplificatorului se poate scrie: u 2 t Au i t şi corespunzător: U s (3.107) U i s 2 , A Introducând relaţiile (3.106) şi (3.107) în (3.105) se obţine: 1 1 U1 s U 2 s U 2 s A U s , 2 Z1 s A Z1 s A R i Z 2 s I1 s
şi respectiv
1 Z s Z s 1 U1 s U 2 s 1 1 1 A A Ri Z 2 s A în care se dă factor comun Z1 s Z 2 s , obţinându-se:
Z1 s Z 2 s Z s 1 1 1 ; Z 2 s Z1 s A A Ri A Din (3.108), rezultă funcţia de transfer a regulatorului definită astfel: U s Z s 1 H R s 2 2 , Z s Z s U 1 s Z1 s 1 2 2 Z1 s Ri 1 A Dacă se alege un coeficient de amplificare A de valoare mare, adică Z s Z s A 1 2 2 , Z1 s Ri U1 s U 2 s
(3.108)
(3.109)
(3.110)
atunci funcţia de transfer aproximativă a regulatorului automat va fi de forma:
U 2 s Z 2 s (3.111) , U 1 s Z1 s Din relaţia (3.110) rezultă că în cazul când rezistenţa de intrare R i are valori mici, atunci pentru a se obţine acelaşi grad de aproximare este necesară creşterea factorului de amplificare A. Din (3.107) se constată că pentru amplificări mari A, care asigură condiţia (3.110), se obţine u i 0, deci potenţialul bornei inversoare este foarte apropiat de cel al masei, iar i i 0. Punctul m (figura 3.15) se bucură de proprietatea de masă virtuală (punct de masă virtuală) deoarece tensiunea de intrare u i fiind foarte mică, potenţialul lui m este practic egal cu cel al masei. Creşterea factorului de amplificare, corelată cu mărirea corespunzătoare a valorilor elementelor pasive R, C din circuitele de corecţie, este impusă şi de necesitatea realizării unor valori ridicate pentru parametrii de acord ai regulatorului K R , Td şi Ti . Realizarea unor amplificări mari la amplificatoarele de curent continuu întâmpină dificultăţi legate de deriva nulului (tensiunea de decalaj sau offset). Pe de altă parte, folosirea amplificatoarelor de curent continuu cu reacţie operaţională este indicată din cauza simplităţii realizării reacţiei în curent continuu pentru obţinerea algoritmului de comandă dorit [1]. În cazul utilizării amplificatoarelor operaţionale integrate (au intrarea diferenţială), amplificarea în buclă deschisă este mare 10 4 10 6 , impedanţa de intrare diferenţială este mai mare de (1 ... 10) M, iar impedanţa de ieşire este foarte mică (zeci de ). Rezistenţa diferenţială de intrare la un amplificator operaţional (AO) depinde de tipul etajului de intrare. În privinţa preciziei realizării algoritmului de comandă dorit, abaterile de la acest algoritm sunt determinate de deosebirile dintre relaţia exactă (3.109) şi relaţia (3.111); de asemenea precizia este influenţată de apariţia fenomenelor de saturaţie [1]. În literatura de specialitate se tratează şi cazul când pentru realizarea regulatorului se utilizează AO în montaj neinversor [2]. H R s
3.6.2. Structuri de regulatoare liniare pentru procese rapide
Procesele rapide (acţionări electrice, procese electroenergetice, sisteme de comunicaţii etc.) sunt caracterizate prin constante de timp mici TiT 10 sec unde iar procesele sunt identificate cu o bună precizie. Constantele de timp de valori reduse specifice proceselor rapide impun valori mai mici pentru parametrii de acord ai regulatoarelor electronice în comparaţie cu valorile parametrilor de acord pentru regulatoarele destinate proceselor lente. Regulatoarele electronice pentru procese rapide pot fi realizate cu ajutorul amplificatoarelor operaţionale integrate prevăzute cu circuite de corecţie corespunzător alese pentru obţinerea diferiţilor algoritmi de comandă. Valorile relativ
reduse ale parametrilor de acord pot fi obţinute cu o bună precizie cu ajutorul elementelor de circuit pasive R, C [19] . Pentru obţinerea celor mai uzuale legi de reglare convenţionale pentru procese rapide sunt utilizate circuite de corecţie de tip serie, de tip derivaţie sau în formă de T. 3.6.2.1. Circuitele de intrare ale regulatoarelor De multe ori semnalele de intrare şi în special tensiunea culeasă de pe traductoare conţin armonici de tensiune (de exemplu, la tahogeneratoare de curent continuu datorită colectorului, nesimetriilor magnetice, bătăilor mecanice; la traductoarele de curent ondulaţia curentului datorită pulsurilor de redresare etc.). Pentru filtrarea acestor armonici se prevăd circuite de intrare ca, de exemplu, în figura 3.16. Conform figurii 3.16 se pot scrie relaţiile: 1 sC1 1 I1 (s) I(s) I(s) , (3.112) 1 1 R 12 C1s R 12 sC1
Fig. 3.16
I s
Is
U 1 s R1
U 1 s
1 sC1 R11 1 R12 sC1 R12
U 1 s
1 R12 C1 s , R11 R12 R11 R12 C1 s
1 R 12 C1s U s 1 R 12 C1s 1 , R 11 R 12 R1 1 Tf s 1 C 1s R 11 R 12
(3.113)
(3.114)
R 11 R 12 C1 . R 11 R 12 Introducând (3.114) în (3.112) se obţine: în care R 1 R 11 R 12 , iar Tf
U 1 s 1 R 12 C1s U s 1 1 1 , (3.115) R1 1 Tf s 1 R 12 C1s R 1 1 Tf s Dacă pentru circuitul de intrare din figura 3.16 se consideră U 1 s ca mărime de intrare, iar I1 s ca mărime de ieşire, atunci funcţia de transfer a circuitului de filtrare are forma: I1 s R R 1 1 , Tf 11 12 C1 , (3.116) U 1 s R 1 1 Tf s R 11 R 12 Is
deci s-a obţinut expresia unui element de întârziere de ordinul I. Din (3.116) mai rezultă impedanţa operaţională a circuitului de filtrare definită astfel:
Z1 s
U 1 s R 1 1 Tf s , I1 s
(3.117)
În unele cazuri, pentru obţinerea algoritmului de comandă dorit, se impune ca circuitul de intrare să aibă un comportament PD, ca în figura 3.17.a, sau PDF ca în figura 3.17.b. Conform figurii 3.17.a, impedanţa operaţională a circuitului de intrare este: R1 Z1 s , T1 R 1C, (3.118) 1 T1s unde T1 R1C , este constanta de timp a circuitului de intrare. Pentru circuitul din figura 3.17.a se poate defini o funcţie de transfer de forma: I1 s 1 1 T1s , (3.119) U1 s R 1 din care se constată comportamentul PD al circuitului de intrare.
a)
b) Fig. 3.17
Impedanţa operaţională a circuitului de intrare din figura 3.17.b este:
1 R 1 R f sC1 R 1 1 sR f C1 1 sTf Z1 s R1 , 1 1 R 1 R f C1s 1 sTd R1 R f C1 unde: T1 R 1C1 ; Tf R f C1 ; Td R 1 R f C f T1 Tf .
(3.120)
Funcţia de transfer a circuitului este:
I1 s 1 1 sTd , (3.121) U 1 s R 1 1 sTf Circuitul de intrare din figura 3.17.b îmbină proprietăţile circuitului PD cu ale celui de filtrare. 3.6.2.2. Circuitele de reacţie ale regulatoarelor Circuitele de reacţie ale regulatoarelor determină în mod hotărâtor tipul acestora. În general, aceste circuite de reacţie sunt cazuri particulare ale schemelor din figura 3.18. Având în vedere factorul de amplificare foarte mare al amplificatorului se consideră i1 i 2 şi pentru schema din figura 3.18.a. rezultă: Z 23 Z 23 u u2 i1 1 i 2 u 2 , iar funcţia de transfer a Z Z Z1 Z 21 Z 23 Z 21 Z 22 Z 22 Z 23 Z 23 Z 21 21 23 Z 22 Z 21 Z 23 regulatorului are expresia [14]: U s Z s Z 22 s Z 22 s Z 23 s Z 23 s Z 21 s H R s 2 21 , (3.122) U 1 s Z1 s Z 23 s
a)
Fig. 3.18
b)
Dacă circuitul de intrare este de forma reprezentată în figura 3.16, atunci funcţia de transfer (3.122) devine:
H R s
Z 21 s Z 22 s Z 22 s Z 23 s Z 23 s Z 21 s 1 , R 1 Z 23 s 1 sTf
(3.123)
în care constanta de timp de filtrare are expresia din (3.116).
Pentru schema din figura 3.18.b rezultă, similar [14]: 1 Z s Z 22 s Z 22 s Z 23 s Z 23 s Z 21 s H R s 21 , (3.124) unde Z1 s Z 23 s reprezintă cota parte a tensiunii de ieşire aplicată circuitului de reacţie, în mod obişnuit 0,11,0 , 1. Principalele legi de reglare convenţionale pentru procese rapide sunt P, PI, PD, PID. Specific este faptul că, de regulă, este necesară introducerea unei filtrări a semnalelor de reacţie şi/sau de referinţă. În continuare se prezintă principalele tipuri de regulatoare sub formă de cazuri particulare ale schemei din figura 3.18 şi a relaţiilor (3.117) ... (3.124). Regulatorul P În figura 3.19 se prezintă regulatorul P fără filtrare. În cazul regulatorului P: Z1 s R 1 ; Z 21 s R 2 ; Z 22 s 0; Z 23 s . Corespunzător schemei din figura 3.18.a: U s Z s R H R s 2 21 2 K R , (3.125) U 1 s Z1 s R 1 unde K R este factorul de amplificare al regulatorului. Corespunzător schemei din figura 3.19.b se poate scrie:
u 1 u 2 ; R1 R 2 în care s-a avut în vedere că intensitatea curentului prin potenţiometrul R este u2 R şi corespunzător unei poziţii a cursorului R, rezultă tensiunea culeasă de pe potenţiometru: R u 2 R u 2 , în care 0,11,0. i1 i 2 ;
a)
Fig. 3.19
b)
Rezultă funcţia de transfer a regulatorului, de forma:
U 2 s 1 R 2 1 K R K R , (3.126) U 1 s R 1 Coeficientul de amplificare K R al regulatorului poate fi modificat în limitele K R 10K R . În figura 3.20 este reprezentat regulatorul P cu filtru, în două variante. H R s
a)
Fig. 3.20
b)
Structura de regulator din figura 3.20.a, este un caz particular al schemei din figura 3.18.a, şi se constată că pentru circuitul de reacţie impedanţele operaţionale au expresiile:
1 sC f R2 R2 Z 2 Z 21 s ; Z 22 s 0; Z 23 s , 1 1 sR 2 C f 1 sTf R2 sC f iar Z1 s R 1 . R2
Se obţine funcţia de transfer aproximativă a regulatorului de forma:
Z 2 s R 2 1 1 KR , (3.127) Z1 s R 1 1 sTf 1 sTf în care Tf este constanta de timp de filtrare, iar K R R 2 R 1 . În figura 3.20.b pentru circuitul de reacţie Z 2 s Z 21 s R 2 ; Z 22 s 0; Z 23 s , iar pentru circuitul de intrare, care este un circuit de filtrare, conform cu relaţia (3.117) impedanţa operaţională are expresia: R 11 R 12 Z1 s R 1 1 Tf s , Tf C1 , R 11 R 12 H R s
şi expresia funcţiei de transfer este:
H R s
Z 2 s 1 R 2 1 1 K R , Z1 s R 1 1 sTf 1 sTf
(3.128)
1 R2 1 K R , iar 0,11,0. R1 Răspunsurile indiciale ale regulatorului P fără filtrare şi cu filtrare sunt reprezentate în figura 3.3. Regulatorul PI Algoritmul de comandă PI fără filtrare se obţine cu ajutorul schemelor de structură din figura 3.21, unde în figura 3.21.a. circuitul de corecţie este de tip serie, iar în figura 3.21.b. de tip derivaţie. în care K R
a)
b)
Fig. 3.21
În figura 3.21.a, având în vedere schema din figura 3.18, pentru circuitul de reacţie Z 2 s Z 21 s 1 sC 2 ; Z 22 s 0 şi respectiv Z 23 s , iar conform relaţiei (3.118) impedanţa operaţională a circuitului de intrare este: R1 Z1 s , 1 sR 1C1 şi corespunzător funcţia de transfer aproximativă a regulatorului devine:
Z 2 s 1 sR 1C1 C1 Z1 s sR 1C 2 C2
1 1 1 K R 1 , (3.129) sR 1C1 sTi unde T i T1 R 1C1 este constanta de timp de integrare egală cu constanta de timp a circuitului de H R s
intrare, iar K R C1 C 2 este factorul de amplificare. Se constată că modificare capacităţii condensatorului C 1 conduce atât la modificarea factorului K R , cât şi a constantei de timp Ti , aspect care evidenţiază interinfluenţa acordării parametrilor regulatorului. În figura 3.21.b pentru circuitul de reacţie:
Z 2 s Z 21 s R 2
1 sR 2 C 2 1 ; Z 22 s 0; Z 23 s , sC 2 sC 2
iar Z1 s R 1 . Rezultă funcţia de transfer aproximativă:
Z 2 s 1 sR 2 C 2 R 2 1 1 1 K R 1 , (3.130) Z1 s sR 1C 2 R 1 sR 2 C 2 sTi în care K R R 2 R 1 , iar Ti R 2 C 2 . Şi în acest caz se constată interinfluenţa acordării parametrilor, modificând R 2 se modifică K R şi Ti . H R s
Algoritmul PI cu filtrare se poate obţine cu ajutorul schemelor de structură din figura 3.22.
a)
b)
Fig. 3.22 În figura 3.22.a, Z 2 s Z 21 s 1 sC 2 ; Z 22 s 0 ; Z 23 s , iar conform cu (3.120):
Z1 s
R 1 1 sR f C1 , 1 R 1 R f C1s
Funcţia de transfer a regulatorului va fi de forma:
1 R R f C1 Z 2 s 1 R 1 R f C1s 1 1 1 ; care se mai Z1 s sR 1C 2 1 sR f C1 sR 1C 2 R 1C 2 1 sR f C1 scrie astfel: R R f C1 1 1 1 H R s 1 , R1 C 2 sR 1 R f C1 1 sR f C1 H R s
sau
unde:
1 H R s K R 1 sTi
1 1 sTf
,
(3.131)
R 1 R f C1 ; Ti R 1 R f C1 ; Tf R f C1 , (3.132) R1 C2 Regulatorul din figura 3.22.b, reprezintă un caz particular al regulatorului reprezentat în figura 3.18 în care: Z 2 s Z 21 s 1 R2 C 2 s / C 2 s; Z 22 ( s ) 0 ; Z 23 ( s) , iar Z1 s corespunde relaţiei (3.117). Având în vedere expresiile impedanţelor operaţionale menţionate, se obţine funcţia de transfer a regulatorului prezentat în figura 3.22.b de forma : Z s R 1 1 1 1 K R 1 , H R s 2 2 1 (3.133) Z1 s R 1 R 2 C 2 s 1 Tf s T s 1 T s i f unde: R R R K R 2 ; Ti R 2 C 2 ; Tf 11 12 C1 , (3.134) R1 R 11 R 12 Din relaţiile (3.132) şi (3.134) se constată interinfluenţa în acordarea parametrilor K R şi Ti . Regulatorul PD cu filtru Algoritmul de comandă PD cu filtru se poate obţine utilizând schemele de structură din figura 3.23. KR
a)
Fig. 3.23
b)
Pentru schema din figura 3.23.a, funcţia de transfer a regulatorului are expresia: 1 Td s Z s R 1 H R s 2 2 1 C1 R 1 R f s KR , (3.135) Z1 s R 1 1 R f C 1s 1 Tf s în care:
R2 ; Td R 1 R f C1 ; Tf R f C1 , (3.136) R1 Pentru schema din figura 3.23.b, dacă se are în vedere structura din figura 3.18.a, pentru circuitul de reacţie se pot scrie relaţiile: Z 21 s R 21 , Z 22 s R 22 , Z 23 (s) 1 / C 2 s Cu aceste expresii se obţine: Z s Z 22 s Z 22 s Z 23 s Z 23 s Z 21 s R 21 R 22 R 21 R 22 C 2 s H R s 21 , sau: Z1 s Z 23 (s) R 1 1 Tf s KR
H R s unde:
R 21 R 22 R1
1 1 Td s R 21R 22 1 K R C 2 s , 1 Tf s R 21 R 22 1 Tf s
(3.137)
R 21 R 22 R R ; Td 21 22 C 2 , (3.138) R 11 R 12 R 21 R 22 Şi în acest caz se evidenţiază interinfluenţa parametrilor de acord. Regulatorul PID Algoritmul de comandă PID se poate obţine utilizând schemele de structură din figura 3.24. KR
a)
Fig. 3.24
b)
Schema de structură din figura 3.24.a corespunde unui algoritm PID fără filtrare şi cu interinfluenţă. Conform acestei scheme: R1 1 R 2 C 2s Z1 s ; Z 2 s , 1 R 1 C 1s C 2s iar funcţia de transfer aproximativă devine: 1 Td s 1 Ti s Z s 1 1 Td s , H R s 2 K R K R 1 (3.139) Z1 s Ti s Ti s sau: T 1 H R s K R 1 Td s d , (3.140) Ti Ti s unde: R K R 2 ; Ti R 2 C 2 ; Td R 1C1 , R1 Se constată că factorul de interinfluenţă este q = 1. Din cauza componentelor parazite de frecvenţă ridicată, amplificate de componenta D a regulatorului, se impune existenţa unui filtru în circuitul de intrare, aşa cum se prezintă, de exemplu, în figura 3.24.b. Determinarea funcţiei de transfer, a regulatorului din figura 3.24.b, rămâne în sarcina cititorului, iar pentru studiu se recomandă [2, 17].
3.6.3. Regulatoare automate pentru procese lente
Procesele lente sunt caracterizate de existenţa unor constante de timp mari şi uneori a unui timp mort în funcţia de transfer a părţii fixate, care în general, se poate exprima printr-o relaţie de forma [17, 2]:
KF e s , (3.141) 1 sTF În unele cazuri, funcţia de transfer a blocului F se poate exprima şi astfel: KF H F s e s , (3.142) 1 T1s 1 T2 s unde T1 , T2 sunt constantele de timp, iar timpul mort. O altă particularitate a proceselor lente constă în faptul că identificarea funcţiilor lor de transfer se face, în general, cu precizie scăzută. Datorită acestor particularităţi regulatoarele pentru procese lente trebuie să aibă parametrii de acordare variabili în limite largi. Aşa cum s-a arătat în paragraful precedent, pentru asigurarea unei aproximaţii admisibile în realizarea algoritmului de comandă dorit, regulatoarele electronice trebuie să aibă la bază amplificatoare operaţionale cu anumite caracteristici privind factorul de amplificare, rezistenţa de intrare şi deriva nulului. Aceste caracteristici trebuie să fie cu atât mai mult îndeplinite în cazul regulatoarelor pentru procese lente, unde sunt necesare constante de timp de integrare şi de derivare cu valori mari, care pot ajunge până la zeci de minute. Un procedeu din ce în ce mai utilizat constă în realizare unui algoritm PI pe canalul erorii, iar pe canalul mărimii reglate y se realizează un algoritm PID, pentru a se evita şocurile provocate de componenta derivativă asupra IT. Pentru a se evita interinfluenţa acordării parametrilor, în practică, se adoptă soluţia cu amplificatoare operaţionale separate pentru componentele P, D şi PI. Totodată sunt asigurate game suficient de mari de variaţie a parametrilor de acord, valorile întâlnite în practică fiind 2: BP=2% ... 500% (sau 2% ... 1000%), Ti 1s 2000s, Td 0,6s 600s. În canalul componentei D sunt prevăzute filtrări, realizate cu elemente de întârziere de ordinul I sau cu elemente de avans-întârziere, necesare pentru limitarea efectelor zgomotelor şi evitarea unor variaţii abrupte ale comenzii, care ar putea duce la şocuri în funcţionarea IT. Pentru acelaşi scop se introduce şi în canalul componentei P o anumită filtrare, cu un element de întârziere de ordinul I cu o constantă de timp foarte mică. O schemă de structură a unui regulator utilizat în practică este prezentată în figura 3.25. Principalele module ale regulatorului continuu sunt: modulul adaptor (Ad) de intrare, modulul PD, modulul P + PI şi modulul convertor de ieşire (asigură semnalul unificat 4-20 mAcc). H F s
Fig. 3.25 Se constată că eroarea obţinută din elementul de comparaţie, inclus în modulul adaptor de intrare (Ad), este transmisă modulului P + PI, iar mărimea reglată y este aplicată atât elementului de comparaţie, cât şi modulul PD, rezultând astfel o prelucrare prealabilă a acestei mărimi după un algoritm cu PD; iar dacă se ţine seama şi de modulul P + PI, se obţine pentru mărimea y un algoritm PID.
3.7. CORECŢIA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE 3.7.1. Definiţii, clasificări, metode de corecţie
Analiza SALC permite să se determine comportarea acestora şi să se stabilească performanţele pe care le realizează atât în regim staţionar cât şi în regim tranzitoriu. Apar situaţii în care performanţele obţinute să nu satisfacă criteriile impuse, potrivit destinaţiei sistemului. În asemenea cazuri se pune problema modificării parametrilor sistemului sau/şi structurii sale,
astfel încât să se obţină performanţele dorite. Ansamblul de măsuri destinate acestui scop alcătuieşte corecţia sistemelor automate.
De menţionat este faptul că funcţia de transfer a instalaţiei tehnologice (IT) nu poate fi modificată, în scopuri de corecţie, deoarece ea caracterizează procesul tehnologic a cărui desfăşurare în timp nu trebuie afectată. De asemenea, nici asupra elementului de execuţie şi traductorului nu se poate acţiona, partea fixată a sistemului fiind impusă. Deci, corecţia se poate realiza fie prin modificarea parametrilor de acordare a regulatorului automat, fie prin introducerea în dispozitivul de automatizare a unor elemente de corecţie (de compensare) astfel alese încât să asigure performanţele dorite.
Din punctul de vedere al dispunerii elementului de corecţie există trei posibilităţi de realizare a corecţiei SA:
CORECŢIA SERIE: elementul de corecţie se introduce în ramura directă a sistemului, în serie cu instalaţia automatizată (IT), aşa cum se ilustrează în figura 3.26. Conform figurii 3.26 funcţia de transfer a sistemului automat deschis necorectat, notată cu H d s , este:
H d s H RA s H EE s H IT s ,
iar funcţia de transfer a sistemului automat deschis corectat, notată cu H dC s , este:
H dC s H d s H C s ,
unde H C s este funcţia de transfer a elementului de corecţie.
(3.143)
Fig. 3.26 CORECŢIA DERIVAŢIEI: elementul de corecţie este introdus în paralel cu unul sau mai multe blocuri din ramura directă a sistemului, aşa cum se prezintă în figura 3.27.
a)
Fig. 3.27
b)
Figura 3.27.a corespunde unei corecţii derivaţie cu acţiune inversă, iar figura 3.27.b unei corecţii derivaţie cu acţiune directă.
CORECŢIA MIXTĂ: reprezintă o combinaţie a variantelor prezentate. Pentru a se evidenţia efectele introducerii elementelor de corecţie, se consideră un SA de tipul 0, stabil în circuit deschis şi instabil în circuit închis, a cărui loc de transfer H d j a sistemului automat deschis necorectat se prezintă în figura 3.28.
Fig. 3.28 Modificarea locului de transfer H d j astfel încât să nu înconjoare punctul critic de stabilitate 1, j0, deci SA închis să fie strict stabil şi să aibă performanţe bune, se poate realiza prin următoarele metode [13]: m1) Micşorarea modulului locului de transfer a SA deschis necorectat H d j, prin micşorarea adecvată a coeficientului total de amplificare K d a sistemului deschis, aşa cum se arată în figura 3.29. m2) Creşterea argumentului locului de transfer a SA deschis necorectat H d j , prin introducerea unor elemente (circuite) de corecţie cu avans de fază, cu efectul prezentat în figura 3.30. m3) Modificarea simultană a modulului şi argumentului locului de transfer a SA deschis necorectat H d j , în sensul micşorării modulului şi creşterii argumentului. Referitor la metoda m1, din figura 3.29 se constată că:
Fig. 3.29
Fig. 3.30 H dC j
H d j
K H d j , m 1, m unde H dC j este modulul l.d.t. a SA deschis corectat, iar H d j este modulul l.d.t. a SA deschis necorectat. Din figura 3.29 mai rezultă faptul că pentru fiecare pulsaţie, de exemplu K , faza rămâne nemodificată, deci:
K C K ,
unde K argH d j K şi C K argH dC j K . Referitor la metoda m2, din figura 3.30, se constată că modulul răspunsului la frecvenţă, pentru fiecare pulsaţie considerată, rămâne constant, iar argumentul creşte cu unghiul (rotaţia este considerată pozitivă dacă se face în sens direct trigonometric), deci: H dC j H d j e j , de unde: C j j , în care j 0, cu H d j H dC j.
Modificarea răspunsului la frecvenţă H d j a sistemului deschis necorectat, în scopul corecţiei, se poate realiza prin următoarele căi: modificarea coeficienţilor de transfer şi a constantelor de timp ale elementelor din componenţa dispozitivului de automatizare a sistemului necorectat. Modificarea coeficienţilor de transfer ai elementelor componente conduce la modificarea coeficientului total de amplificare K d a sistemului deschis şi deci la modificarea l.d.t. H d j a sistemului deschis. Modificarea constantelor de timp ale elementelor componente determină, în general, modificarea atât a modulului, cât şi a argumentului l.d.t. H d j a sistemului deschis. introducerea în dispozitivul de automatizare a unor elemente de corecţie (de compensare). Acest procedeu se impune atunci când modificare parametrilor elementelor care compun sistemul necorectat este insuficient de eficace. În practică, elementele de corecţie trebuie plasate cât mai aproape de începutul ramuri directe, deoarece în acest caz sunt străbătute de semnale de putere mică şi ca urmare construcţia lor rezultă mai ieftină. În proiectarea sistemelor automate trebuie rezolvate problemele privind asigurarea stabilităţii şi a performanţelor impuse procesului de reglare, probleme care de regulă sunt contradictorii. Rezolvarea corespunzătoare a problemei privind asigurarea rezervei de stabilitate poate conduce la performanţe nesatisfăcătoare ale sistemului în regim tranzitoriu şi permanent. Este posibil şi cazul opus, când realizarea criteriilor de performanţă impuse, de exemplu legate de ridicarea preciziei în regim permanent, este însoţită de o micşorare inadmisibilă a rezervei de stabilitate. Astfel, micşorarea erorii permanente (tabelul 2.1) prin creşterea coeficientului total de amplificare K d a sistemului deschis conduce la micşorarea rezervei de stabilitate. Micşorarea erorii permanente prin ridicarea gradului de astatism 1,2 influenţează, de asemenea, în sensul micşorării rezervei de stabilitate şi creşterea caracterului oscilant al răspunsului. Rezolvarea problemelor asigurării atât a rezervei de stabilitate cât şi a performanţelor impuse procesului de reglare impune utilizarea simultană a procedurilor amintite, la care se adaugă introducerea unor elemente de corecţie, în dispozitivul de automatizare. Principala destinaţie a elementelor de corecţie constă în modificarea proprietăţilor dinamice ale sistemului, în sensul dorit, prin modificarea caracteristicilor de frecvenţă ale sistemului în acel domeniu de pulsaţii care este esenţial în obţinerea criteriului de performanţă impus. Caracteristicile amplitudine-pulsaţie A şi fază-pulsaţie ale sistemului deschis, de regulă prezentate la scară logaritmică – diagrama Bode, permit aprecierea răspunsului în timp a SRA. Există o corespondenţă strânsă între caracteristicile de pulsaţie ale sistemului deschis şi răspunsul în timp al SRA. În raport cu pulsaţia de tăiere t , întregul domeniu de pulsaţii, al caracteristicilor A şi ale sistemului deschis, poate fi împărţite în trei zone [13]: zona frecvenţelor joase (de exemplu, 0,1 t ;
zona centrală a pulsaţiilor (de exemplu, 0,1 t 10 t ;
zona pulsaţiilor ridicate (de exemplu, 10 t . Zona pulsaţiilor joase 0 corespunde regimului staţionar t . Procesul tranzitoriu propriu-zis cu indicii care îl caracterizează (suprareglaj, amortizare, timp de răspuns) este
determinat exclusiv de zona centrală a pulsaţiilor, din jurul pulsaţiei de tăiere t . Zona pulsaţiilor ridicate corespunde începutului procesului tranzitoriu. În figura 3.31 se prezintă corespondenţa dintre caracteristicile logaritmice de pulsaţie A dB şi şi răspunsul indicial al SRA.
Fig. 3.31
3.7.2. Corecţia serie Din punct de vedere matematic un element de corecţie serie poate realiza dependenţa:
dx t x 2 t K C x 1 t a 1 b x 1 t dt , (3.144) dt în care x 1 t , x 2 t reprezintă mărimile de intrare şi ieşire ale elementului de corecţie E C , conform figurii 3.32.a. Figura 3.32.b corespunde relaţiei (3.143), în care H C s este funcţia de transfer a elementului de corecţie, iar H dC s este funcţia de transfer a sistemului deschis corectat.
a)
Fig. 3.32
b)
3.7.2.1. Corecţia prin introducerea unui element serie de tip PD Corespunzător relaţiei (3.144) elementul de corecţie serie de tip PD realizează dependenţa: dx t x 2 t K C x 1 t a 1 , dt şi îi corespunde funcţia de transfer: X s H C s 2 K C 1 as , (3.145) X 1 s Considerând în (3.145) că valoarea coeficientului e transfer este K C 1, funcţia de transfer a sistemului deschis corectat, conform figurii 3.32.b, este: H dC s H d s H C s H d s 1 as H d s asH d s , (3.146) Prin substituţia s j, se trece în domeniul frecvenţial: H dC j H d j jaH d j, (3.147) şi se consideră că răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis necorectat este de forma:
H d j Ae j , (3.148) în care s-a ţinut seama că pentru sistemele reale . Având în vedere că j este un operator de rotaţie cu 2 în sens direct trigonometric, introducând (3.148) în (3.147) se obţine: H dC j H d j j a A e j 2 ,
(3.149)
Din (3.149) se constată că, pentru fiecare pulsaţie K , vectorul H dC jK a sistemului
deschis corectat este suma a doi vectori: vectorul sistemului deschis necorectat H d jK şi un vector de modul K aA K şi de argument K 2 , care este rotit cu 2 în sens direct trigonometric faţă de H d j K . În figura 3.33.a se prezintă relaţia (3.149) pentru un SA de tipul 1. Din figura 3.33.a se desprind următoarele aspecte referitoare la efectele introducerii elementului de corecţie serie de tip PD: printr-o alegere adecvată a coeficientului a se obţine o creştere considerabilă a rezervei de stabilitate; coeficientul de amplificare total al sistemului deschis corectat se măreşte, ceea ce contribuie la micşorarea erorii permanente a sistemului corectat; se realizează o creştere a pulsaţiei de tăiere şi deci şi a benzii de tăiere şi rapidităţii sistemului.
S-au obţinut două fenomene care de regulă sunt contradictorii: micşorarea erorii staţionare şi îmbunătăţirea stabilităţii. Este de menţionat că elementul de corecţie trebuie să fie cauzal şi un astfel de circuit pasiv cu avans de fază este prezentat în figura 3.33.b. Funcţia de transfer a circuitului de corecţie din figura 3.33.b. este de forma 15:
U 2 s 1 1 d Td s , U 1 s d 1 Td s având ponderent pe d Td de la numărător, din efectul derivativ. În expresia (3.150): R R2 R 1R 2 d 1 , Td C, R2 R1 R 2 iar în practică 15: d 5...10 şi Td 0,1sec unde H C s
a)
Fig. 3.33
(3.150)
(3.151)
b)
3.7.2.2. Corecţia prin introducerea unui element serie de tip PI Elementul de corecţie serie de tip PI, corespunzător cu (3.144) realizează dependenţa: x 2 t K C x 1 t b x 1 t dt , (3.152) şi pentru K C 1, îi corespunde funcţia de transfer:
b , (3.153) s iar funcţia de transfer a sistemului deschis corectat devine: b (3.153) H dC s H d s H C s H d s 1 , s şi prin substituţia s j, admiţând pentru răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis necorectat expresia (3.148), se obţine răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis corectat de forma: b H dC j H d j Ae j 2 , (3.154) Din relaţia (3.154) se constată că, pentru orice pulsaţie K , vectorul sistemului deschis corectat H dC jK este suma a doi vectori din care unul este al sistemului deschis necorectat H d jK , la care se adaugă vectorul b jK H d jK , rotit în sens invers trigonometric cu 2 faţă de H d j K . În figura 3.34.a, pentru un SA de tipul 1, se reprezintă diagramele Nyquist corespunzător ecuaţiei (3.154). Din figura 3.34.a se constată că introducerea elementului de corecţie serie de tip PI conduce la micşorarea rezervei de stabilitate, deoarece H dC j se apropie de punctul critic de stabilitate 1, j0, totuşi introducerea integralei îmbunătăţeşte regimul staţionar prin micşorarea erorii staţionare. H C s a
a)
Fig. 3.34
b)
În figura 3.34.b se prezintă un circuit de corecţie serie cu întârziere de fază [15] utilizat în practică, funcţia de transfer a acestuia fiind de forma:
U 2 s 1 Ti s , (3.155) U1 s 1 i Ti s având preponderent termenul i Ti de la numitor din efectul integrator. În expresia (3.155) : R R2 i 1 , Ti R 2 C, (3.156) R2 H C s
3.7.3. Corecţia derivaţie
Elementele de corecţie derivaţie (paralel) formează legăturile inverse locale (sau interioare), ele se conectează în paralel cu unul sau mai multe elemente componente ale sistemului deschis necorectat. Legăturile inverse locale pot fi: legături inverse rigide negative sau pozitive; legături inverse elastice
3.7.3.1. Legătura inversă rigidă Se consideră schema de structură din figura 3.35 în care elementul de corecţie, cu funcţia de transfer H C s , este un element de reacţie rigidă. Legătura inversă se numeşte rigidă dacă acţionează atât în regim permanent cât şi în regimul tranzitoriu. Funcţia de transfer a unui astfel de element de reacţie, în general, poate avea una din formele:
H C s K C ct, H C s K C 1 TC s , (3.157) deci elementul legăturii rigide este un element de tip P sau element de întârziere de ordinul I.
Fig. 3.35 În primul caz legătura de reacţie se numeşte, simplu, rigidă, iar în al doilea caz se numeşte rigidă cu inerţie [22]. În continuare se va considera legătura de reacţie rigidă. Dacă în figura 3.35 funcţia de transfer a elementelor afectate de reacţie rigidă este de forma: K i m s m 1s 1 H i s H1 s H 2 s , (3.158) s n s n 1s 1 deci, are un pol de ordinul în origine, atunci în cazul unei reacţii negative, funcţia de transfer echivalentă Hs are expresia: H i s Hs 1 H i s H C s (3.159) K i m s m 1s 1 s n s n a 1s 1 K i K C m s m 1s 1 în care s-a avut în vedere că H C s K C . Din expresia (3.159) se constată că aplicarea legăturii de reacţie rigidă negativă elementului cu astatism de ordinul unui (1) sau mai mare, conduce la pierderea astatismului, deoarece în relaţia (3.159) atât la numărător, cât şi la numitor termenul liber este diferit de zero. De exemplu, dacă H i s K i / s şi respectiv H C s K C , atunci funcţia de transfer echivalentă a elementului
integrator cu reacţie rigidă negativă este H s K 1 1 T1s, în care K 1 1 K C , iar T1 1 K i K C , deci s-a obţinut un element de întârziere de rodinul I. Din expresia funcţiei de transfer echivalentă (3.159) se mai constată că pentru valori mari ale factorului de amplificare din calea directă K i , cu K i 1 , ca urmare a micşorării coeficienţilor
polinomului caracteristic 1 K i K C ; 1 K i K C ;; n K i K C în f.d.t. echivalentă (3.159) se micşorează constantele de timp, precum şi coeficientul de transfer echivalent. Pentru exemplificare, se consideră cazul particular când în ramura directă se află un element aperiodic de ordinul I cu f.d.t. de forma: Ki H i s , (3.160) 1 Ti s afectat de o reacţie rigidă negativă, H C s K C ct; rezultând o f.d.t. echivalentă Hs de forma:
Hs
H i s Ki 1 K C H i s 1 K i K C Ti s
(3.161) Ke 1 , Ti 1 Te s 1 s 1 KiKC în care K e 1 1 K i K C ; Te Ti 1 K i K C . S-a obţinut tot un element de întârziere de ordinul I,
Ki 1 KiKC
dar cu coeficientul de transfer K e şi constanta de timp echivalentă Te mai mici decât ale elementului iniţial (fără reacţie). La expresia (3.161) se putea ajunge şi direct din (3.159) făcând 1 2 m 0; 2 3 n 0; 1 Ti şi 0. Din cele menţionate se mai constată următoarele aspecte referitoare la introducerea reacţiei rigide negative: constantele de timp ale funcţiei de transfer echivalente Hs se micşorează, deci durata procesului tranzitoriu a SRA se micşorează; coeficientul de transfer din f.d.t. echivalentă se micşorează, contribuind la îmbunătăţirea rezervei de stabilitate a SRA prin micşorarea coeficientului total de amplificare a sistemului deschis şi totodată la micşorarea preciziei statice a sistemului. Prin aplicarea legăturii rigide pozitive unui element astatic se obţine un element instabil, deoarece termenul liber al polinomului caracteristic devine negativ. Dacă legătura rigidă pozitivă se aplică unui element static, atunci se poate obţine o creştere a coeficientului de transfer. De exemplu, elementul aperiodic de ordinul I afectat de o reacţie rigidă pozitivă, conduce la următoarea funcţie de transfer echivalentă: Ke Ki 1 H s , Ti 1 KiKC 1 Te s 1 s 1 KiKC Printr-o alegere corespunzătoare a coeficientului reacţiei rigide K C se poate obţine o creştere adecvată a coeficientului de transfer echivalent (a amplificării); pentru K i K C 1 elementul echivalent devine instabil, iar pentru K i K C 1 rezultă Te , sistemul fiind de neconceput. 3.7.3.2. Legătura inversă elastică Legătura inversă locală se numeşte elastică dacă acţionează numai în regim tranzitoriu, aspect posibil dacă funcţia de transfer a elementului de reacţie inversă are una din expresiile: H C s K C s; H C s K C s 1 TC s , deci elementul de corecţie este de tip D sau de tip D cu filtru. În primul caz legătura inversă elastică este ideală, iar al doilea caz corespunde unui element real de reacţie locală elastică (se mai numeşte reacţie locală izodromă). Pentru a evidenţia influenţa acestei legături inverse se consideră reacţia elastică ideală. Dacă în figura 3.35 elementul de reacţie corespunde unei reacţii elastice ideale, H C s K C s , iar f.d.t. H i s H 1 s H 2 (s) are expresia (3.158), atunci f.d.t. echivalentă a ansamblului cuprins de reacţia elastică ideală Hs va fi de forma:
K i m s m 1 s 1 , (3.162) s n s n 1 s 1 K i K C s m s m 1 s 1 Din relaţia (3.162) se constată că reacţia elastică ideală nu contribuie la pierderea astatismului elementului afectat de reacţie. De exemplu, elementul integrator ideal cu f.d.t. H i s K i s afectat de o reacţie elastică ideală H C s K C s rămâne tot un element integrator ideal, cu f.d.t. echivalentă: Ki 1 K Hs e, 1 KiKC s s Hs
dar cu coeficientul de transfer echivalent K e K i . Legătura inversă elastică ideală permite creşterea amortizării oscilaţiilor, care la elementele de ordinul II este caracterizată prin factorul de amortizare. Pentru exemplificare se consideră că H i s K i T 2 s 2 2Ts 1 , iar corespunzător expresia f.d.t. echivalente elementului afectat de reacţia elastică ideală este de forma: H s K i T 2 s 2 2T K i K C 2T s 1 ,
Dacă noua valoare a factorului de amortizare K i K C 2T 1 , atunci elementul nu mai este oscilant. Se poate obţine acest lucru prin alegerea corespunzătoare a lui K C . Legătura elastică ideală, în unele cazuri, determină reducerea constantei de timp. Astfel, dacă: Ki H i s , sTi s 1 se obţine: Ke Ki 1 Hs , 1 K i K C sTs 1 K i K C 1 sTe s 1 în care noile valori ale coeficientului de transfer K e şi ale constantei de timp Te sunt mai mici decât cele iniţiale (fără reacţie elastică ideală) de 1 K i K C ori.
3.7.4. Circuite de corecţie în curent alternativ Circuitele de corecţie RC prezentate în subcapitolul precedent reprezintă cele mai simple circuite utilizate în scop de corecţie şi sunt folosite, cu precădere, în curent continuu, dar şi în cazul sistemelor discrete.
Corecţie cu circuite RC, în sistemele de curent alternativ, se utilizează în cazurile când pentru transmiterea informaţiei în sistem se foloseşte o tensiune modulată cu pulsaţia purtătoarei 0 şi pulsaţia înfăşurătoarei . În calitate de circuite de corecţie RC, în sistemele de curent alternativ, de obicei sunt utilizate filtre rezonante în formă de T, acordate la pulsaţie 0 . Pentru a acţiona asupra înfăşurătoarei din canalul semnalului modulat, sunt utilizate numai circuite cu caracter derivativ. În figura 3.36.a. se prezintă un exemplu de circuit electric de corecţie în formă de T, iar în figura 3.36.b. este redată, în principiu, caracteristica logaritmică amplitudine pulsaţie a circuitului. Se constată din figura 3.36.b. segmentul cu panta de +20 dB / dec. specifică unui element de anticipaţie de ordinul I.
a)
Fig. 3.36.
b)
Circuitele de corecţie realizate cu circuite rezonante prezintă un dezavantaj prin faptul că proprietăţile lor dinamice depind în mod esenţial de variaţia pulsaţiei purtătoarei 0 . De aceea astfel de circuite de corecţie sunt recomandate a fi utilizate în sistemele în care se asigură stabilizarea acestei frecvenţe.
Pentru a elimina influenţa variaţiei pulsaţiei 0 , circuitele de corecţie, în sistemele de curent alternativ, adesea sunt realizate sub forma unor circuite obişnuite de curent continuu cu demodularea iniţială a semnalului aplicat şi respectiv cu modularea semnalului rezultat la ieşirea circuitului de corecţie. În astfel de cazuri circuitele de corecţie sunt analizate în mod similar celor din circuitele de curent continuu. Utilizarea corecţiei sistemului prin procedura menţionată (cu demodulare-modulare) într-o oarecare măsură este limitată, deoarece la ieşirea detectorului sincron trebuie introdus un filtru de netezire, care determină, în sistem, o întârziere suplimentară. Aplicaţii PR.2.1. Utilizând criteriul Hurwitz, să se analizeze stabilitatea SRA de ordinul n 4 , a cărui ecuaţie caracteristică este [4]: (2.31) a 4 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1s a 0 0 , în care: a 4 2 10 9 , a 3 2 10 5 , a 2 3 10 3 , a 1 1,3 10 1 , a 0 100 . Să se calculeze, în MATLAB, rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi corespunzător să se reprezinte în planul complex. Rezolvare Având a i 0, i 0 : 4 , se verifică dacă toţi determinaţii minori Hurwitz sunt strict pozitivi, deci dacă se respectă condiţia: (2.32) i 0, i 1, 2, 3, 4 . Se întocmeşte determinantul Hurwitz: 1 2 3
4
a3
a4
a1
a2
0
0
a3
0
a0
0
a1
,
(2.33)
0
0 a4 a2 a0 în care s-au evident şi determinanţii minori după diagonala principală (determinanţii minori Hurwitz ). SRA este stabil IMEM dacă sunt satisfăcute condiţiile (2.32). Calculând determinanţii se obţine: 1 a 3 2 10 5 0 ,
2
a3 a4
a1 a 3 a 2 a 1a 4 2 10 5 3 10 3 1,3 10 1 2 10 5 5,974 10 8 0 , a2
a3 3 a 4
a1 a2
0 a 0 a 3 a 2 a 1 a 0 a 32 a 4 a 12 a 1 a 3 a 2 a 1a 4 a 0 a 3
0
a3
a1
1,3 10 1 2 10 5 3 10 3 1,3 10 1 2 10 9 7,77 10 9 40 10 9 32,23 10
9
0
A rezultat că SRA este instabil. Pentru SLN de ordinul n 4 , se are în vedere că determinantul 2
se regăseşte în termenul strict pozitiv a 1 a 3 a 2 a 1a 4 a 1 2 al determinantului 3 , iar acest termen
a 1 2 , pentru a 1 0 , poate fi strict pozitiv numai dacă 2 0 . De aceea pentru SLN de ordinul n 4 verificarea condiţiei 2 0 nu este necesară. De asemenea, nu este necesară verificarea condiţiei n 0 ,
indiferent de ordinul sistemului n , deoarece n a 0 n 1 şi deci pentru a 0 0 este necesar să se verifice numai dacă toţi determinanţii minori Hurwitz până la ordinul n 1 inclusiv, sunt strict pozitivi. Cu următoarele secvenţe MATLAB se calculează şi se reprezintă în planul complex rădăcinile ecuaţiei caracteristice:
%%Repartitia radacinilor ecuatiei caracteristice in planul radacinilor p=[2*10^(-9) 2*10^(-5) 3*10^(-3) 1.3*10^(-1) 100];r=roots(p) plot(real(r),imag(r),'Ok'),grid axis([-12000 2000 -160 160]) uisetfont(gca,'Fonturi')%Arial-Bold-12 title('Repartitia radacinilor ec. caracteristice in planul radacinilor') xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')
În fereastra de comandă se obţine:
r
1.0 e 003 * 9.8483 0.2250 0.0366 0.1457i 0.0366 0.1457i Se constată că ecuaţia caracteristică are o pereche de rădăcini complexe conjugate cu partea reală pozitivă (rădăcini instabile), deci poziţionate în C din planul complex. Această pereche de rădăcini determină instabilitatea SRA. Repartiţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex este redată în figura 2.1.
Fig.2.1. PR.2.2. Utilizând criteriul Hurwitz, să se stabilească condiţiile ca polinomul caracteristic de gradul
n 2 să fie un polinom Hurwitz. P a 2 2 a 1 a 0 , a 2 0 .
Rezolvare Determinantul Hurwitz în acest caz este de forma:
(2.34)
2
a1 a2
0 . a0
Se constată că 1 a 1 şi 2 a 1 a 0 . A rezultat condiţia necesară şi suficientă ca polinomul
caracteristic P să fie Hurwitzian: a 1 0 şi a 0 0 . În acest caz rădăcinile ecuaţiei P 0 se vor găsi exclusiv în C .
PR.2.3. Utilizând criteriul Hurwitz, să se stabilească condiţia ca rădăcinile asociate polinomului caracteristic de gradul n 3 să aibă partea reală strict negativă. (2.35) P3 a 3 3 a 2 2 a 1 a 0 , a i 0, i 0 : 3 . Rezolvare Determinantul Hurwitz pentru polinomul P3 este:
a2
a0
0
3 a3
a1
0
0
a2
a0
Condiţiile Hurwitz sunt de forma:
1 a 2 0
2
a2 a3
a0 a 2 a 1 a 3a 0 0 a1
3 a 0 2 0
Pe lângă condiţia ca toţi coeficienţii să fie strict pozitivi (condiţie necesară), pentru ca polinomul
P3 să fie polinom Hurwitz trebuie să se îndeplinească inegalitatea (condiţia) a 1 a 3 a 0 / a 2 . PR.2.4. Pentru SRA deschis prin schema de structură prezentată mai jos:
se cere:
a) să se calculeze, utilizând criteriul Hurwitz, valorile parametrului real K 0 pentru care SRA este strict stabil extern; b) să se întocmească un program în MATLAB pentru reprezentarea polilor SRA în planul complex adoptând un domeniu de variaţie a parametrului real K care să evidenţieze starea instabilă, la limită de stabilitate şi de strict stabilitate externă. Rezolvare a) Funcţia de transfer a sistemului închis este:
P (s) K 1 0,1s Y(s) 1 . 3 2 R (s) 0,1s 1,1s s K P2 (s) Polinomul caracteristic asociat fdt (2.36) este de gradul n 3 : P2 (s) 0,1s 3 1,1s 2 s K .
H 0 (s)
Determinantul Hurwitz este de forma:
(2.36)
1,1 K 0 3 0,1 1 0 , 0 1,1 K şi corespunzător se pun condiţiile: 1 1,1 0 ,
2 1,1 0,1K 0 , 3 K 1,1 0,1 K K 2 0 .
(2.37)
(2.38) (2.39) (2.40)
Din condiţiile (2.39) şi (2.40) rezultă că SRA este strict stabil extern dacă parametrul K ia valori în domeniul: (2.41) 0 K 11 Din cele prezentate mai rezultă: - SRA se află la limită de stabilitate pentru K 0 şi K 11; - SRA este instabil dacă: K 0 şi K 11. b) Adoptând pentru parametrul K domeniul K 2,16 , cu următorul program MATLAB se calculează şi se reprezintă poli fdt H 0 (s) în planul complex:
%Repartitia polilor f.d.t. a SRA in planul complex %Polinomul caracteristic al SRA %P2(s)=0,1s^3+1,1s^2+s+k; Domeniul de variaţie al parametrului k=-5...15 K=([-2:2:16]); for i=1:length(K) p=[0.1 1.1 1 K(i)]; r(:,i)=roots(p); end plot(real(r),imag(r),'Ok'),grid uisetfont(gca,'Fonturi')%Arial-Bold-12 title('Repartitia polilor f.d.t. Ho(s)in planul complex') xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis') gtext('Polinomul caracteristic al SRA:') gtext('P2(s)=0,1s^3+1,1s^2+s+k') gtext('k= -2:2:16') În figura 2.2. se reprezintă repartiţia polilor fdt H d (s) .
Fig. 2.2. Pentru interpretarea corectă a reprezentării din figura 2.2. s-a apelat la câteva calcule, efectuate în fereastra de comandă MATLAB, astfel: Valorile polilor pentru K 11:
p 0.1,1.1,1,11; r roots( p) r
11.0000 0.0000 3.1623i 0.0000 3.1623i Polii dispuşi pe axa imaginară, din figura 2.2., corespund limitei de stabilitate, pentru care K 11. Valorile polilor pentru K 0 :
p 0.1,1.1,1,0; r roots( p) r
0.0000 polul din origine în fig.2.2 - 10.0000 - 1.0000 Valorile polilor pentru K 15 : p 0.1,1.1,1,15; r roots( p) r 11.2909 0.1455 3.6420i 0.1455 3.6420i Se obţine o pereche de rădăcini complexe conjugate cu partea reală pozitivă (rădăcini instabile), deci perechile de rădăcini complexe instabile, dispuse în C , corespund pentru K 11. Valorile polilor pentru K 2 :
p 0.1,1.1,1, 2; r roots(p)
r 9.7664 2.1751 0.9415 pol real instabil PR.2.5. Pentru SRA descris prin funcţia de transfer [4]:
Y (s) 1 , 6 5 4 R (s) a 6 s a 5 s a 4 s a 3 s 3 a 2 s 2 a 1s a 0 în care: a 6 0.1, a 5 5.0, a 4 10.0, a 3 30.0, a 2 15.0, a 1 6.0, a 0 1.0 , H 0 (s)
(2.42)
să se verifice stabilitatea utilizând criteriul Routh. Rezolvare Se întocmeşte tabloul Routh, prezentat în tabelul 2.1. După introducerea valorilor coeficienţilor se obţin rezultatele prezentate în tabelul 2.2. Deoarece toţi coeficienţii primei coloane din tabelul Routh sunt strict pozitivi (condiţie necesară şi suficientă ca polii f.d.t. a sistemului, care sunt şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice, să se găsească exclusiv în C ), SRA este strict stabil extern (stabil IMEM). Nr. rând 1.
a 6 0,1
2.
a5 5
3.
4.
5.
6.
7.
Numărul coloanei 2
1
det c13
a6
a4
a5
a3
a5 det
c14
a5 c13
a3 c 23
c13 det
c15
c13 c14
c 23 c 24
c14 det
c16
c14
c 24
c15
c 25
c15 det
c17
a 4 10 a 3 30
c15
c 25
c16
c 26
c16
Nr. rând 1.
a 6 0,1
2. 3.
1
det c 23
a2
a5
a1
a5 det
c 24
a5 c13
a1 c 33
c13 det
c 25
c13 c14
c 33 c 34
c14 det
c 26
c14
c 34
c15
c 35
3
4
a 2 15 a1 6 det c 33
a0 1 0
a6
a0
a5
0
0
0 0
0
0 0
0
a5 det
c 34
a5 c13 c13
det c 35
c13 c14 c14
c 36 0
0
c 37 0
0
c15 det
c 27
a6
Tabelul 2.1
c15
c 35
c16
c 36
c16
Numărul coloanei 2
Tabelul 2.2. 3
4
a 4 10
a 2 15
a0 1
a5 5
a 3 30
a1 6
0
c13 9,4
c 23 14,90
c 33 1,0
0
Numărul coloanei 2
Nr. rând 4.
c14 22,1
5.
1
3
c 24 5,46
c 34 0
4 0
c15 12,6
c 25 1
0
0
6.
c16 3,7
c 26 0
0
0
7.
c17 1
c 27 0
0
0
PR.2.6. Pentru SRA a cărui structură este prezentată în PR.2.4., să se determine valorile parametrului real K astfel încât sistemul să fie strict stabil extern, utilizând criteriul Routh. Rezolvare Polinomul caracteristic asociat fdt a SRA este de forma: (2.43) P2 (s) a 3S 3 a 2 s 2 a 1s K , în care:
a 3 0.1, a 2 1.1, a 1 1.0, a 0 K
Se construieşte tabloul Routh:
Numărul coloanei
Nr. rând 1.
a 3 0,1
a 1 1,0
2.
a 2 1,1
a0 K
3.
4.
1
det c13
a1 a0
a2 det
c14
a3 a2 a2 c13
a0 c 23
2
det c 23
a3 a2 a2
0 0
0
c 24 0
13
Se calculează coeficienţii:
c13
0,1 K 1,1 1 0,1 K ,
1,1 1,1 0 K c13 c14 K. c13
(2.44) (2.45)
Pentru ca SRA să fie strict stabil extern este necesar şi suficient ca toţi coeficienţii primei coloane, a tabloului Routh, să fie strict pozitivi, deci:
0,1 K 0, 1,1 c14 K 0 .
c13 1
Din ultimele două relaţii rezultă că SRA este strict stabil extern pentru valori ale parametrului real
K cuprinse în limitele: 0 K 11
obţinându-se, firesc, acelaşi rezultat ca în PR.2.4. PR.2.7. Să se verifice stabilitatea SRA, cu reacţie principală unitară, utilizând criteriul Mihailov, în funcţie de parametrul real K , dacă funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma (element aperiodic instabil de ordinul 1):
H d (s)
Y (s) K , (s) T s 1
(2.46)
în care T ct. Rezolvare Fdt a sistemului închis cu reacţie unitară este:
H 0 (s)
H d (s) Y(s) K , R (s) 1 H d (s) T s 1 K
(2.47)
şi corespunzător polinomul caracteristic al sistemului închis este: D(s) T s 1 K . (2.48) Se trece în domeniul frecvenţial, făcând substituţia s j , şi se obţine expresia hodografului Mihailov: (2.49) D( j) K 1 jT x jy() , unde: x() K 1, y() T , (2.50) iar x() nu depinde de pulsaţie, este o constantă. Din (2.50) se constată că pentru K 1, x() 0 , deci hodograful Mihailov (pentru 0 ) nu pleacă dintr-un punct de pe semiaxa reală pozitivă, astfel că nu sunt îndeplinite condiţiile de stabilitate şi deci SRA este instabil. Pentru K 1, x () 0 , hodograful Mihailov pleacă dintr-un punct de pe semiaxa reală pozitivă şi evoluează în cadranul I (ordinul SA este n=1), deci SRA este strict stabil extern. În figura 2.3. sunt prezentate, în principiu, cele două cazuri analizate mai sus.
Fig. 2.3 PR.2.8. Să se verifice stabilitatea SRA, cu reacţie unitară, utilizând criteriul Mihailov, dacă funcţia de transfer a sistemului deschis este de forma:
Y (s) K , s sT s 1 în care: K 50, T 0.1(s) H d (s)
(2.51)
Rezolvare Se determină fdt a SRA cu reacţie unitară:
H 0 (s)
H d (s) Y(s) K A(s) , 2 R (s) 1 H d (s) T s s K D(s)
(2.52)
în care polinomul caracteristic este: (2.53) D(s) T s 2 s K . În (2.53) se face substituţia s j şi se obţine ecuaţia hodografului Mihailov: în care:
D( j) K T 2 j x () j y() ,
(2.54)
x () K T 2 , y() .
(2.55)
Din relaţiile (2.55), pentru 0 , se obţine x(0) K şi y(0) 0 , deci hodograful pleacă dintr-un
punct situat pe semiaxa reală pozitivă, de coordonate K , 0 . Pentru a studia evoluţia hodografului pentru
0, , se determină coordonatele punctului de intersecţie cu axa imaginară:
K , T şi se reţine pulsaţia pozitivă 1 K / T . x () K T 2 0,
(2.56)
Corespunzător:
y(1 ) 1 K / T
deci, hodograful intersectează semiaxa imaginară negativă în punctul de coordonate 0, K / T . Se
constată că hodograful pleacă din punctul de pe semiaxa reală pozitivă, de coordonate K , 0 , parcurge în sens invers trigonometric cadranul IV, intersectează semiaxa imaginară negativă în punctul de coordonate 0, K / T şi se continuă în cadranul III. A rezultat că SRA este instabil. Pentru valorile numerice K 50, T 0,1(sec) , se obţine 1 22,26 , coordonatele punctului din
care pleacă hodograful sunt 50, 0 , iar coordonatele punctului în care hodograful intersectează semiaxa imaginară negativă sunt 0, 22,36 . Se calculează şi reprezintă hodograful MIhailov cu următorul program în MATLAB:
%Hodograful Mihailov: k=50, T=0.1 (sec) %Polinomul caracteristic al sistemului închis k=50;T=0.1;w=0:1:50;%Domeniul de pulsatii x=k-T*w.^2;y=-w; plot(x,y,'-k'),grid axis([-250 100 -50 20]) title('Hodograful Mihailov') xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis') gtext('Polinomul caracteristic al sistemului inchis') gtext('D(s)=Ts^2-s+k') gtext('k=50, T=0,1(sec)') Hodograful Mihailov este prezentat în figura 2.4. PR. 2.9. Utilizând criteriul Mihailov, să se întocmească un program în MATLAB pentru aprecierea stabilităţii SRA descris de următoarea funcţie de transfer:
H 0 (s)
Y (s) K , 2 3 R (s) T s 2Ts 2 s K
(2.57)
Fig. 2.4. pentru cazurile: a) K 80, T 0,01(sec), 0,4 b) K 80, T 0,01(sec), 1,5 Rezolvare Polinomul caracteristic al sistemului închis este: D(s) T 2 s 3 2Ts 2 s K, n 3 , iar ecuaţia hodografului Mihailov:
D( j) jT 2 3 2T 2 j K x () jy()
în care:
x () K 2T2 , y() 1 T 2 2
(2.58) Se calculează şi se trasează hodograful Mihailov, pentru cele două cazuri a şi b, cu următorul program MATLAB:
%Trasarea hodografului Mihailov pentru SRA de ordinul n=3; %Polinomul caracteristic al sistemului inchis: %D(s)=T^2*s^3+2*eta*T*s^2+s+k; %Cazul a:T=0.01, k=80, eta1=0.4; Cazul b:T=0.01, k=80, eta2=1.5 k=80;T=0.01;eta1=0.4;eta2=1.5; w=0:1:200; xa=k-2*eta1*T*w.^2;ya=w.*(1-(T^2)*w.^2); xb=k-2*eta2*T*w.^2;yb=w.*(1-(T^2)*w.^2); plot(xa,ya,'-k',xb,yb,'-k'),grid axis([-1200 200 -600 100]) title('Hodograful Mihailov pentru SRA de ordinul n=3') xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis') text(-1114.5,35.5263,'Polinomul caracteristic al sistemului inchis:') text(-1114.5,-27.9249,'D(s)=T^2*s^3+2*eta*T*s^2+s+k') text(-1114.5,-71.8596,'(1):k=80, T=0.01, eta1=0.4') text(-1114.5,-136.4035,'(2):k=80, T=0.01, eta2=1.5') text(-127.4,-257.1637,'---------(1)')
text(-695.2,-255.1170,'---------(2)')
În figura 2.5 se prezintă hodograful Mihailov pentru cele două cazuri analizate.
Fig. 2.5 Din figura 2.5 se constată: - hodograful (1), care corespunde cazului a, trece prin centrul de coordonate, deci SRA este la limită de stabilitate. Pulsaţia corespunzătoare trecerii hodografului prin centrul de coordonate trebuie să verifice sistemul de ecuaţii: x K 2T 2 0, y() 1 T 2 2 0 ,
şi este egală cu 0 1 / T 100(rad / sec) ; - hodograful (2), care corespunde cazului b, evidenţiază faptul că SRA este strict stabil extern, deoarece hodograful pleacă dintr-un punct de pe semiaxa reală pozitivă şi pentru 0, parcurge
succesiv cadranele I, II, III ( n 3 , iar variaţia argumentului vectorului D( j) pentru 0, este egală cu n / 2 ); - în ambele cazuri, hodograful pleacă din punctul de pe semiaxa reală pozitivă de coordonate K , 0 , deoarece pentru pulsaţia 0 se obţine x(0) K 80 şi y(0) 0 . PR.2.10. Având ecuaţia caracteristică a sistemului automat închis de forma: D(s) Ty Tm s 3 Ty Tm s 2 s K 0 ,
(2.59)
în care Tm este cunoscută, să se determine domeniul de stabilitate în planul coeficienţilor K şi Ty . În calcule se consideră Tm 0,5(sec) . Rezolvare Se utilizează descompunerea D , utilizând criteriul Mihailov. În (2.59) se face substituţia s j şi se obţine:
D j K j 2 Ty Tm j3 Ty Tm x jy .
(2.60)
Conform criteriului Mihailov, sistemul închis se află la limită de stabilitate dacă hodograful D j
trece prin centrul de coordonate. Ecuaţiile pentru cazul limitei de stabilitate sunt: x 0 şi y 0 . Corespunzător relaţiei (2.60) se obţine: X K 2 Ty Tm 0 , (2.61)
Y 3 Ty Tm 0 .
(2.62)
Rezolvând sistemul de ecuaţii, în raport cu parametrii K şi Ty , se obţine:
1 1 , K Tm 2 , 2 Tm Tm în care 0, . Ty
(2.63)
Având relaţiile (2.63), se dau valori pulsaţiei 0, şi se calculează parametrii Ty şi K , iar cu
valorile obţinute se trasează curba descompunerii D în planul K , Ty . Valorile parametrilor K , Ty sunt aceleaşi pentru pulsaţii pozitive şi respectiv negative. În tabelul de mai jos sunt calculate câteva valori ale acestor parametrilor.
K Ty
0
1 / Tm
20 202
30 452
40 802
50 1252
60 1802
70 2452
-----
0,0050
0,0022
0,0013
0,0008
0,0006
0,0004
---
0
Din relaţiile (2.63) se constată că pentru pulsaţii mici, 0 , asimptotă, în planul K , Ty , este
dreaptă K 1 / Tm , iar pentru pulsaţii mari, teoretic , asimptotă este abscisa Ty 0 . Deci, pentru
0, , curba descompunerii D are forma de hiperbolă cu asimptotele menţionate (fig.2.6). Pentru a
stabili haşurile ce definesc domeniul de stabilitate se determină semnul determinantului (iacobianului):
X K Y K
în care:
X Ty , Y Ty
(2.64)
X K 2 Ty Tm 1 , K K X K 2 Ty Tm 2 , Ty Ty Y 3 Ty Tm 0 , K K Y 3Ty Tm 3 Tm , Ty Ty
şi introducând derivatele parţiale în (2.64) se obţine:
1 2 3 Tm . 0 3 Tm
(2.65)
A rezultat: - pentru frecvenţe negative, (,0] , determinantul 0 , deci deplasându-ne pe curba D de la la 0 (de jos în sus) trebuie haşurat domeniul situat în stânga curbei (fig.2.6); - pentru frecvenţe pozitive, 0, , 0 , deci deplasându-ne pe curba D de la 0 la (de sus în jos) trebuie haşurat domeniul dispus în dreapta curbei. Sub curba D s-a obţinut o haşurare dublă. Deoarece parametrii K şi Ty trebuie să fie pozitivi, domeniul de stabilitate este limitat de curba D şi semiaxele pozitive K şi Ty . Cu următorul program în MATLAB se poate trasa curba D şi stabili domeniul de stabilitate:
%Domeniul de stabilitate al unui SRA de ordinul n=3 %Polinomul caracteristic: D(s)=TyTms^3+(Ty+Tm)s^2+s+k; Tm=0,5(sec)
w=0:0.1:100;Tm=0.5;Ty=1./(Tm*w.^2);k=(1/Tm)+Tm*w.^2; plot(k,Ty,'-k'),grid axis([0 10 0 5]) title('Domeniul de stabilitate pentru un SRA de ordinul n=3') xlabel('k'),ylabel('Ty') text(4,4.25,'Polinomul caracteristic:') text(4,3.8,'D(s)=s^3+(Ty+Tm)s^2+s+k; Tm=0,5') gtext('Domeniul') gtext('de stabilitate') În figura 2.6 se prezintă curba D . După obţinerea curbei în MATLAB, haşurile s-au efectuat, în Paint, conform regulilor prezentate. După trasarea domeniului de stabilitate, este necesar ca pentru un punct oarecare din interiorul domeniului, utilizând oricare din criteriile cunoscute, să se verifice stabilitatea sistemului. Dacă pentru punctul arbitrar ales sistemul este stabil, atunci sistemul va fi stabil şi pentru celelalte puncte situate în interiorul domeniului. Pentru exemplificarea s-a ales punctul, din domeniul de stabilitate, de coordonate Pentru K 2, Ty 1 . Se verifică stabilitatea sistemului utilizând criteriul Hurwitz.
Tm 0.5, Ty 1, K 2 , ecuaţia caracteristică a sistemului închis (2.59) devine:
D(s) 0,5 s 3 1,5 s 2 s 2 0 , iar determinantul Hurwitz are forma:
1,5
2
0
3 0,5 1 0 . 0 1,5 2 Se verifică: 2 1,5 1 0,5 0 , deci SRA este stabil IMEM. Rezultatul se extinde pentru toate punctele din domeniul de stabilitate.
Fig. 2.6 PR.2.11. Se consideră SRA a cărui schemă de structură este de forma:
Se cere: a) trasarea aproximativă a locului de transfer a sistemului deschis prin punctele de intersecţie a acestuia cu axele de coordonate şi aprecierea stabilităţii utilizând criteriul Nyquist; b) întocmirea unei program, în MATLAB, pentru aprecierea stabilităţii SRA utilizând criteriul Nyquist. Rezolvare a) SRA având un element traductor în circuitul reacţiei principale negative, se calculează fdt a sistemului pe canalul y r astfel:
Yr (s) P (s) 2 4 2s 2 s 1 1 2s 1 H d1 (s) 2 4S 1 . (s) s s 1 s 1 s 2 s 1s 1s 2 P2 (s) (2.66)
Ecuaţia caracteristică asociată fdt (2.66) este: P2 (s) s 1s 1s 2 0 , iar polii fdt sunt: s1 1, s 2 1, s 3 2 .
(2.67) (2.68)
Sistemul deschis are doi poli instabili s1 1, s 3 2 , situaţi în C , deci sistemul deschis este
instabil şi se utilizează varianta generalizată a criteriului Nyquist N p 2 . În (2.66) se face substituţia
s j obţinându-se expresia analitică a locului de transfer a sistemului deschis. Se are în vedere că: s 1s 1s 2 s 3 2s 2 s 2 . H d1 ( j)
4 2 2 j 1 4 1 2 2 j 2 2 2 j 3 2 2 j3 2 2 j 2 2 2 2 3
După calcule elementare se obţine:
2 2 1 4 , 1 2 j 21 j1 1 2 5 j3 2 . 2 2
3 2
2
2 2
2
2
A rezultat:
H d1 j unde:
2
2
1 4
4 1 2 2 5 2 j 3 2 2 2 2
2
2
U() jV() ,
2
(2.69)
4 2 5 2 4 3 2 2 , V ( ) . (2.70) 1 2 4 2 1 2 4 2 Pulsaţiile corespunzătoare punctelor de intersecţie a ldt H d1 ( j) cu axele de coordonate (din planul U()
ldt ) şi respectiv coordonatele acestor puncte se determină astfel: U 0, 2 5 2 0 cu rădăcinile 2, 4 2 / 5
2 / 5 se obţine: 2 4 2 / 5 3 2 1 5 V 2/5 1,2 1 / 2 0,9 . 2 2 2 1 4 5 5 Deoarece V este o funcţie impară: V 2 / 5 V 2 / 5 0,9 . Se constată că axa imaginară j V() este intersectată într-un punct de coordonate U 0, V 0,9 Pentru pulsaţia
la pulsaţia 2 2 / 5 şi într-un punct U 0, V 0,9 la pulsaţia 4 2 / 5 . Pentru 0 se obţine V(0) 0 , iar pentru rezultă V() 0 .
V() 0, 4 3 2 2 0 , cu rădăcinile 1 0, 3,5 3 / 2 ,
U 1 U (0) 2
U 3 / 2 1,6 ; s-a avut în vedere că U() este o funcţie pară, deci U U . Pentru se obţine U() 0 . Au rezolvat pulsaţiile şi coordonatele punctelor de intersecţie a ldt a sistemului deschis cu axele de
coordonate:
1 0 : U (0) 2, V (0) 0 ,
(2.71)
2 2 / 5 : U ( 2 ) 0, V ( 2 ) 0,9 ,
(2.72)
3 3 / 2 : U(3 ) 1,6, V(3 ) 0 , : U V 0 ,
(2.73) (2.74)
5 3 / 2 : U5 1,6, V(5 ) 0 ,
(2.75)
(2.76) 4 2 / 5 : U 4 0, V 4 0,9 . Punctele obţinute şi locul de transfer H d1 j , în principiu, sunt redate în figura 2.7.
Deoarece locul de transfer H d1 j înconjoară în sens direct trigonometric punctul critic de
stabilitate de două ori N p 2 , atunci când , , rezultă că SRA este strict stabil extern.
Fig. 2.7 b) Program în MATLAB pentru aprecierea stabilităţii utilizând criteriul Nyguist
%Stabilitatea SLN utilizand criteriul Nyquist num1=[4 2 2];den1=[1 0];
num2=[1];den2=[1 -1]; num3=[2 0];den3=[1 1]; num4=[1];den4=[1 -2]; numa=conv(num1,num2); numb=conv([2 0],[1]); numc=conv(numa,numb); dena=conv(den1,den2); denb=conv(den3,den4); denc=conv(dena,denb); [num,den]=minreal(numc,denc); printsys(num,den) figure(1) num=[8 4 4]; den=[1 -2 -1 2]; z=roots(num);p=roots(den);%Se calculeaza polii si zerourile f.d.t. plot(real(p),imag(p),'o',real(z),imag(z),'*');grid axis([-1.5 2.5 -1 1]) title('Repartitia polilor si zerourilor in planul complex') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis') text(0.25,0.75,'o---POLI') text(0.25,0.50,'*---ZEROURI') figure(2) w=logspace(-5,3,200); num=[8 4 4]; den=[1 -2 -1 2]; nyquist(num,den,w) axis([-2.5 2.5 -1.5 1.5]) Diagrama repartiţiei polilor şi zerourilor fdt H d1 (s) este redată în figura 2.8, iar diagrama Nyguist în figura 2.9.
Fig. 2.8
Fig. 2.9
Din figura 2.8 se constată existenţa celor doi poli instabili s 1 1, s 2 2, N p 2 , iar din figura
2.9 rezultă că sistemul închis este strict stabil extern deoarece ldt H d1 j înconjoară în sens direct trigonometric punctul critic de stabilitate 1, j0 de N p 2 ori.
PR.2.12. Pentru SRA descris prin următoarea schemă de structură
se cere:
a) utilizând mediul MATLAB, să se reprezinte polii funcţiei de transfer a sistemului deschis în planul rădăcinile şi să se analizeze stabilitatea sistemului închis folosind diagramele Nyquist şi Bode, pentru K 3,10,12 . Să se calculeze marginile de stabilitate; b) să se calculeze şi să se reprezinte grafic, cu program în MATLAB, răspunsurile indiciale ale SRA pentru K 3,10,12 . Să se analizeze rezultatul. Rezolvare
a) Se foloseşte următorul program în MATLAB: k1=3;k2=10;k3=12; figure(1) %Repartitia polilor in planul complex num1=[k1];den1=[0.2 1];num2=[1];den2=[0.2 1 0];num=conv(num1,num2); den=conv(den1,den2);printsys(num,den) p=roots(den);%Se calculeaza polii f.d.t.
plot(real(p),imag(p),'o');grid axis([-6 1.5 -8*10^-8 8*10^-8]) title('Repartitia polilor in planul complex') xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis') figure(2) %Diagrama Nyquist w=logspace(-5,3,200);nyquist(num,den,w);axis([-2 1 -2 2]) figure(3) %Diagrame Bode, Rezerva de stabilitate w=logspace(-2,1,200); num1=[k1];den1=[0.2 1];num2=[1];den2=[0.2 1 0];num=conv(num1,num2); den=conv(den1,den2); [mag,phase,w]=bode(num,den,w);[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w) subplot(211) semilogx(w,20*log10(mag));grid title('Caracteristica logaritmica amplitudine-pulsatie') xlabel('Pulsatia(rad/sec)'),ylabel('Adb(w)') subplot(212) semilogx(w,phase),grid title('Caracteristica logaritmica faza-pulsatie') xlabel('Pulsatia(rad//sec)'),ylabel('Faza(grade)') În figura 2.10 se prezintă, pentru K 1 3 , repartiţia polilor fdt a sistemului deschis în planul rădăcinilor; în figura 2.11 se prezintă diagrama Nyquist, iar în figura 2.12 se redă diagrama Bode.
Fig. 2.10
Fig. 2.11
Fig. 2.12 Din figura 2.10 se constată că sistemul deschis, pentru K 1 3 , nu are poli în C , deci aprecierea
stabilităţii sistemului se face utilizând varianta simplificată a criteriului Nyquist N p 0 . Se mai constată că sistemul este de tipul 1 , sistemul deschis având un pol de ordinul unul în origine. În acest caz 1 asimptota, ldt a sistemului deschis, pentru pulsaţii joase (teoretic 0 ) este semiaxa imaginară negativă. Din figura 2.11 reiese că sistemul închis este strict stabil extern deoarece ldt a sistemului deschis parcurs pentru pulsaţii crescătoare 0, şi respectiv , 0 lasă punctul critic de stabilitate
1, j0 în stânga.
În fereastra de comandă, pe lângă fdt a sistemului deschis care este de forma:
num / den 3 0,04s ^3 0,4s ^ 2 s
(2.77)
sunt returnate şi următoarele valori: G m 3.3334 , Pm 38.2027 (grade), Wcg 5.0000 (rad/sec), Wcp 2.4276 (rad/sec) Semnificaţia notaţiilor de mai sus este următoarea: - marginea de amplitudine M A G m - marginea de fază: M Pm
- pulsaţia corespunzătoare fazei de -1800: 180 Wcg - pulsaţia de tăiere: t Wcp Corespunzător valorilor deţinute, pentru K 1 3 , rezultă că sistemul este stabil IMEM deoarece
M A 1, M 0, 180 t şi, în plus, valorile marginilor de stabilitate se încadrează în limitele recomandate pentru sisteme cu performanţe bune:
M A 2 10, M 20 60 grade
Din figura 2.12 se constată că pulsaţiile t şi 180 se găsesc în limitele decadei de la 10 0 la 101 şi
t 180 . Din relaţia M A 1 / A 180 rezultă M A dB 20 lg M A 20 lg A 180 , deci marginea de amplitudine, exprimată în decibeli, pentru K 1 3 , este negativă. Valoarea calculată prin program, G m 3.3334 , nu este exprimată în decibeli. Pentru K 2 10 , se foloseşte acelaşi program în care în loc de K 1 se introduce K 2 10 . În figura 2.13 se prezintă diagrama Nyquist, iar în figura 2.14 diagramele Bode.
Fig. 2.13
Fig. 2.14 Din figura 2.13 se constată ca ldt al sistemului deschis trece prin punctul critic de stabilitate 1, j0 , deci sistemul închis se află la limită de stabilitate. În fereastra de comandă sunt returnate următoarele valori:
G m 1.0000 Pm 5.3643e 004 Wcg 5.0000 Wcp 5.0000
Şi din aceste valori calculate rezultă că sistemul închis este la limită de stabilitate deoarece
t 180 , M A 1, M 0 . Acelaşi lucru se desprinde şi din diagrama Bode, figura 2.14, din care rezultă că t 180 5.0000 (pulsaţia t corespunde intersecţiei caracteristici logaritmice amplitudine0 pulsaţie cu axa abscisei, iar 180 corespunde intersecţie caracteristicii () cu nivelul 180 ).
Pentru K 3 12 , în figura 2.15 se redă diagrama Nyquist, iar în figura 2.16 se prezintă diagrama
Bode. Din figura 2.15 reiese că ldt al sistemului deschis înconjoară punctul critic de stabilitate, pentru pulsaţii crescătoare , , deci sistemul închis este instabil. În fereastra de comandă sunt afişate următoarele rezultate:
Fig. 2.15
G m 0.8333 Pm 5.0980 Wcg 5.0000
Fig. 2.16
Wcp 5.4660 Din valorile de mai sus rezultă că, pentru K 3 12 , sistemul închis este instabil deoarece
t 180 , M A 1, M 0 . Acelaşi aspect rezultă şi din diagrama Bode (fig. 2.16). Se constată că pentru K 10 SLN este stabil IMEM, pentru K 10 se află la limită de stabilitate, iar pentru K 0 SLN
este instabil. Cele prezentate conduc la următoarea concluzie: creşterea coeficientului de amplificare al sistemului deschis înrăutăţeşte stabilitatea (rezerva de stabilitate), dar cum s-a arătat, îmbunătăţeşte eroarea staţionară. b) Cu următorul program MATLAB sunt calculate şi prezentate grafic răspunsul indiciale pentru cele trei situaţii K 1 3, K 2 10, K 3 12 :
%Calculul raspunsului indicial pentru SLN3
%f.d.t. a SRA :Ho(s)=k/(0.04s^3+0.4s^2+s+k); k=5,10,12 t=0:0.1:7; figure(1) %SLN3 stabil (k1=5)si la limita de stabilitate (k2=10) k1=3;k2=10; num1=[k1];den1=[0.04 0.4 1 k1];num2=[k2];den2=[0.04 0.4 1 k2]; p1=[0.04,0.4,1,3];r1=roots(p1) p2=[0.04 0.4,1,10];r2=roots(p2) ys1=step(num1,den1,t);ys2=step(num2,den2,t); plot(t,ys1,'-k',t,ys2,'-k'),grid title('Raspunsurile indiciale pentru SLN3 stabil si la limita de stabilitate') xlabel('t(sec)'),ylabel('h(t)') figure(2) %SLN3 instabil cu k=12 k3=12;num3=[k3];den3=[0.04 0.4 1 k3];p3=[0.04,0.4,1,12];r3=roots(p3) ys3=step(num3,den3,t);plot(t,ys3,'-k'),grid title('Raspunsul indicial al SLN3 instabil') xlabel('t(sec)'),ylabel('h(t)') În fereastra de comandă sunt returnate valorile polilor fdt a sistemului închis: - pentru
K1 3 :
r1
0.0520 0.9740 2.8924 i 0.9740 2.8924 i - pentru
K 2 10 :
r2 10.0000 0.0000 5.0000 i 0.0000 5.0000 i
- pentru
K 3 12 :
r3 10.3768 0.1884 5.3735 i 0.1884 5.3735 i
În figura 2.17 sunt prezentate răspunsurile indiciale pentru K 1 3 şi K 2 10 , iar în figura 2.18 pentru K 3 12 .
Fig. 2.17
Fig. 2.18 Din figura 2.17 se constată că, pentru K 1 3 , sistemul este stabil IMEM, răspunsul indicial este
oscilant amortizat, cu y ST H 0 (0) 1 . Caracterul oscilant amortizat al răspunsului indicial se datorează
perechi de poli 0,9740 j 2,8924 ai fdt a sistemului închis. Privind răspunsul indicial al sistemului la limită de stabilitate K 2 10 , se constată că sistemul închis are o pereche de poli situaţi pe axa imaginară, j 5 , axa imaginară fiind axa limitei de stabilitate. Răspunsul indicial din figura 2.18 corespunde sistemului închis instabil K 3 12 . Instabilitatea sistemului se datorează perechii de poli complecşi conjugaţi cu partea reală pozitivă (situaţi în C ): 0,1884 j 5,3735 .
PR. 2.13. Se consideră sistemul de urmărire deschis de următoarea schemă de structură:
în care:
H (s)
K . s T s 1
(2.78)
Să se analizeze stabilitatea sistemului calculându-se valorile timpului critic de întârziere cr pentru
diferite valori ale coeficientului de amplificare K . Rezolvare Funcţia de transfer a sistemului deschis, cu timp de întârziere, este:
H d (s)
Y(s) K e S . (s) sT s 1
(2.79)
Se constată că, în absenţa timpului de întârziere 0 , pentru sistemul deschis a cărui fdt este (2.78) se obţine stabilitatea sistemului închis indiferent de valorile parametrilor K 0 şi T 0 . Acest lucru se poate stabili calculând fdt a sistemului închis şi aplicând criteriul de stabilitate Hurwitz. La început, considerând valorile oarecare K 0 , T 0 , se calculează locul de transfer a sistemului deschis fără timp de întârziere. Diagrama Nyquist obţinută, pentru acest caz, ajută la definirea timpului critic
de întârziere şi la stabilirea condiţiei de stabilitate a sistemului cu timp mort. În principiu, în figura 2.19, locul de transfer a circuitului deschis fără timp de întârziere corespunde caracteristicii (1). Pulsaţia A
reprezintă pulsaţia de tăiere a acestui loc de transfer, iar A 0 este faza corespunzătoare pulsaţiei de tăiere.
Fig. 2.19 În relaţia (2.78) se face substituţia s j şi se obţine expresia răspunsului la frecvenţă a sistemului deschis fără timp mort:
H j
K K 2 T j KT K j , 4 2 2 2 2 2 2 j jT 1 T T 1 T 1
care se pune sub forma:
H j U j V ,
unde:
U
(2.80)
KT K . , V 2 2 2 2 T 1 T 1
(2.81)
Se determină expresiile caracteristicilor amplitudine-pulsaţie A şi fază-pulsaţie :
K
A U 2 V 2
,
(2.82)
2 T 2 1 V 1 arctg arctg arctg T . U T 2
(2.83)
Se scrie răspunsul la frecvenţă a sistemului deschis, fără timp de întârziere, utilizând relaţiile (2.82) şi (2.83), astfel:
H j A e j
K
2 T 2 1
e
j / 2 arctg T
.
(2.84)
Pentru orice valori atribuite parametrilor K 0 şi T 0 , hodograful (1) are un singur punct de intersecţie cu cercul de rază unitară OA 1 , iar pulsaţia corespunzătoare acestui punct este pulsaţia de tăiere A (fig. 2.19).
Valoarea timpului de întârziere corespunzătoare trecerii ldt a sistemului deschis, H d j , prin
punctul critic de stabilitate 1, j0 se numeşte timp critic de întârziere, notat cu cr , şi pentru cazul considerat se calculează din condiţia:
de unde:
A A cr , A 0 ,
(2.85)
cr A / A .
(2.86)
Se constată din (2.85) şi (2.86) că unghiul A cr reprezintă marginea de fază M a sistemului fără timp de întârziere. În cazul sistemului deschis cu timp de întârziere, pentru ca sistemul închis să fie stabil IMEM trebuie satisfăcută condiţia: cr . (2.87) Relaţia (2.87) reprezintă condiţia de stabilitate a sistemului cu timp de întârziere. Pulsaţia de tăiere A şi respectiv faza A , care apar în relaţia (2.86). pot fi determinate analitic astfel:
A A H j A
K
1,
(2.88)
1 1 1 1 4K 2 T 2 0,5 0,5 1 4K 2 T 2 . 2 2 T 2T 2T
(2.89)
A 2A T 2 1
de unde:
A
Pulsaţia din (2.89) se introduce în relaţia (2.83) şi se obţine:
arctg 0,5 0,5 1 4K 2 T 2. . (2.90) 2 Introducând pe A şi A în relaţia (2.86) se calculează timpul critic de întârziere: 2 2 M 2 arctg 0,5 0,5 1 4K T (2.91) cr A / A T 2 2 A 0,5 0,5 1 4K T A
Pentru ca sistemul închis să fie stabil IMEM, atunci când sistemul deschis are timp de întârziere, trebuie satisfăcută condiţia (2.87), deci:
arctg 0,5 0,5 1 4K 2 T 2 (2.92) cr 2 T . 0,5 0,5 1 4K 2 T 2 Adoptând, de exemplu, valorile K 10 şi T 0,1(sec) , timpul de întârziere nu trebuie să depăşească timpul critic de întârziere cr 0,115sec . Dacă cr atunci sistemul se află la limită de stabilitate deoarece ldt a sistemului deschis H d j e
1, j0 .
j
H j trece prin punctul critic de stabilitate
Pentru sistemul este instabil. Ne convingem de acest lucru calculând diagrama Nyquist pentru următoarele cazuri: a) sistem fără timp de întârziere: 0, K 10, T 0,1sec ; b) sistem cu timp de întârziere, la limită de stabilitate: K 10, T 0,1sec , cr 0,115sec ;
c) sistem cu timp de întârziere, instabil: K 10, T 0,1sec , 1 0,2 cr Pentru calcularea locurilor de transfer menţionate la subpunctele b şi c s-a avut în vedere:
e jt H j cos t j sin t U jV
cos t U sin t V j cos t V sin t U
unde:
x jy
x cos t U sin t V , y cos t V sin t U în care t A este pulsaţia de tăiere a sistemului fără timp de întârziere. Pentru calcularea reprezentarea ldt menţionate se poate folosi următorul program în MATLAB: %Studiul stabilitatii sistemului cu timp de intarziere
şi
k=10;T=0.1;num=[k];den=[T 1 0]; figure(1) %Stabilitatea sistemului fără timp de întârziere w=logspace(-1,3,500); [mag,phase,w]=bode(num,den,w); [Gm,Pm,Ecg,Wcp]=margin(mag,phase,w) nyquist(num,den,w) axis([-1.1 0.2 -40 40]) figure(2) %Sistemului cu timp de intarziere %Sistemul la limita de stabilitate:tau=0.115(timp critic) %Sistemul instabil:tau1=0.2>tau=0.115 w=logspace(-1,3,500);wt=7.8615;tau=0.115;tau1=0.2; [x,y]=nyquist(num,den,w); c=cos(wt*tau);s=sin(wt*tau);c1=cos(wt*tau1);s1=sin(wt*tau1); xt=c*x+s*y;yt=c*y-s*x;%Pentru tau=0.115 xt1=c1*x+s1*y;yt1=c1*y-s1*x; %Pentru tau1=0.2 plot(xt,yt,'-k',xt1,yt1,'-k'),grid axis([-8 1 -6 2]) title('Locuri de transfer pentru k=10,T=0.1,tau critic=0.115,tau=0.2') xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis') text(-5.5915,-3.3450,'Sistem la limita de stabilitate:tau critic=0.115') text(-6.5588,1.2164,'Sistem instabil:tau=0.2>tau critic=0.115') În figura 2.20 se prezintă diagrama Nyquist pentru cazul sistemului fără timp de întârziere, iar în figura 2.21 sunt prezentate ldt pentru sistemul cu timp de întârziere cr 0,115(s) (sistemul fiind la limită de stabilitate) şi 1 0,2 cr (sistem instabil).
Fig. 2.20
Fig. 2.21 Condiţia (2.92) permite să se traseze dependenţa cr f K pentru T ct . Curba cr f K
separă planul parametrilor K 1 , cr în două subdomenii. Domeniul mărginit la curba cr f K şi axele de coordonate corespunde valorilor parametrilor K, pentru care condiţia cr este satisfăcută şi sistemul închis este stabil IMEM, iar domeniul aflat în dreapta curbei cr f K este domeniul de instabilitate a sistemului. Coordonatele punctelor de pe curbă corespund sistemului la limită de stabilitate. Pentru trasarea dependenţa cr f K , pentru 0,1s , s-a întocmit următorul program în MATLAB:
%Dependenta taucr=f(k) pentru T=0.1 (secunse) figure(3) k=0.5:0.1:15;a=0.5*sqrt(1+0.04*k.^2);b=sqrt(-0.5+a);c=atan(b);d=(pi/2)-c; tau=(d./b)*0.1;plot(k,tau,'-k');grid axis([0 15 0 3]) title('Depandenta timpului critic de intarziere functie de K, cu T=0.1(s)') xlabel('K'),ylabel('Timpul critic de intarziere pentru T=0.1 (s)') În figura 2.22 se prezintă dependenţa cr f K şi corespunzător sunt precizate cele două domenii menţionate. A rezolvat că sistemul fără timp de întârziere, având fdt în stare deschisă (2.78), stabil în stare închisă pentru orice valori K 0, T 0 , poate deveni instabil prin introducerea timpului de întârziere cr .
Fig. 2.22 PR. 2.14. Se consideră SLN de ordinul 2 cu realizarea de stare:
1 1 0 A , b , c T 1 0, d 0 şi X 0 0 1T 0 2 1
pentru care se cere: a) să se aprecieze stabilitatea internă în baza localizării valorilor proprii ale matricelor A şi N; b) să se aprecieze stabilitatea internă în baza matricei fundamentale t ;
c) să se aprecieze stabilitatea internă în baza componentei libere X t a vectorului de stare; d) să se aprecieze stabilitatea internă utilizând ecuaţia Liapunov; e) să se întocmească un program un program în MATLAB pentru soluţionarea problemelor de la punctele precedente. Rezolvare a1) Verificarea localizării valorilor proprii ale matricei A. Valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile ecuaţiei: (2.93) det A sI 2 0 . Se calculează:
1 1 s A sI 2 , 2 s 0
(2.94)
detA sI 2 1 s 2 s 0, s1 1, s 2 2 .
(2.95)
şi rezultă că:
Spectrul matricei A este: A 1, 2 .
(2.96)
Valorile proprii ale matricei A sunt reale şi strict negative, A C , deci sistemul este intern asimptotic stabil. a2) Verificarea localizării valorilor proprii ale matricei N. Matricea N calculează cu relaţia: 1 (2.97) N I 2 2A I 2 . Valorile proprii ale matricei N sunt rădăcinile ecuaţiei: detN I 2 0 . (2.98) Se calculează:
1 1 2 6 2 1 1 A I2 , , A I 2 1 0 3 0 3 1 1 1 0 1 3 , N I 2A I 1 3 , 2A I 2 2 2 2 1 0 0 3 3 1 1 det N I 2 0, 1 0, 2 . 3 3
(2.99)
SLN este intern asimptotic stabil deoarece valorile proprii ale matricei N sunt localizate în interiorul cercului de rază unitate. Procedura cea mai simplă de verificare a localizării valorilor proprii ale matricei N constă în ridicarea acesteia la diverse puteri (de regulă la puterea 2 r , r 1, 2, ); dacă elementele matricei N, ridicată la puteri tot mai mari, satisface condiţia
n ij
r
1/ n
unde n este ordinul sistemului, calculele se încheie. În cazul considerat n 2, şi pentru r=2 se obţine:
0 0,1111 N2 , 0 0,1111
(2.100)
rezultând că:
n ij
2
1 / 2, i 1, 2 şi j=1,2,
deci sistemul este intern asimptotic stabil. b) Matricea fundamentală a sistemului este de forma (relaţia (1.188) din PR1.19):
e t t 0
Deoarece:
e t e 2 t , t 0 . e 2 t
lim t 0 ,
(2.101) (2.102)
t
SLN 2 este intern asimptotic stabil. c) Componenta liberă a vectorului de stare este:
şi
e t e 2 t x t X t 1 t X0 , t 0 , 2 t x 2 t e
(2.103)
lim X t 0 ,
(2.104)
t
rezultând că SLN2 este intern asimptotic stabil. d) În ecuaţia Liapunov A T P PA Q ,
(2.105)
se adoptă Q I 2 , iar P are forma:
p P 11 p 21
Se obţine:
p12 . p 22
2p11 A T P PA p11 3p12 din care rezultă sistemul de ecuaţii:
(2.106)
p11 3p12 1 0 , 2p12 4p 22 0 1
(2.107)
2p11 1 p11 3p12 0
(2.108)
2p12 4p 22 1
cu soluţiile:
p11 0,5; p12 p 21 0,1666; p 22 0,3333 Matricea P are forma: 0,5000 0,1666 (2.109) P , 0,1666 0,3333 şi având minorii Nyguist strict pozitivi det P 0,1389 0 , este pozitiv definită, deci SLN2 este intern asimptotic stabil. e) Se foloseşte următorul program în MATLAB:
%Stabilitatea interna: A=[-1 1;0 -2];b=[0;1];cT=[1 0];x(0)=[0;1]; A=[-1 1;0 -2]; lamda=eig(A)%Valorile proprii ale matricei A N=eye(2)+2*inv(A-eye(2)) npr=eig(N)%Valorile proprii ale matricei N x0=[0;1]%Condiţia initială X=[] for t=0:0.01:3 X=[X expm(t*A)*x0]; end figure(1) plot(X(1,:)),grid%Variabila x1 a componentei libere a vectorului de stare axis([0 300 0 0.27]) title('Variabila x1(t) a componentei libere a vectorului de stare') xlabel('t(s)'),ylabel('x1(t)') figure(2) plot(X(2,:)),grid%Variabila x2 a componentei libere a vectorului de stare axis([0 300 0 1]) title('Variabila x2(t) a componentei libere a vectorului de stare') xlabel('(t)'),ylabel('x2(t)') b=A';q=eye(2); p=lyap(b,q) dp=det(p) syms t A=sym([-1 1;0 -2]); fi=expm(t*A) În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate
lamda
1 2 N 0 0
0.3333 0.3333
np r
p
0 0.3333
0.5000 0.1667 0.1667 0.3333 dp 0.1389 Fi
exp t , 0 ,
exp 2 * t exp t exp 2 * t
În figura 2.23 se prezintă evoluţia în timp a variabilei x 1 t , iar în figura 2.24 evoluţia în timp a
variabilei x 2 t . Din cele două figuri rezultă că pentru t , X t x 1 t x 2 t 0 T
Fig. 2.23
Fig. 2.24 PR.2.15. Pentru SLN descris prin schema de structură:
se cere:
a) să se întocmească un program în MATLAB pentru determinarea realizării A, b, c T , d , polinomului caracteristic al matricei A şi funcţiei de transfer a sistemului închis; b) să se aprecieze stabilitatea internă şi externă a sistemului folosind criteriul Hurwitz Rezolvare a) polinomul caracteristic al matricei A este de forma: (2.110) pA det sI A , iar fdt a sistemului închis se determină cu relaţia:
H d (s) c T sI A b . 1
T
(2.111)
Pentru calcularea realizării A, b, c , d se utilizează funcţia MATLAB: tf2ss. Secvenţe MATLAB:
num1=[3];den1=[2 1];num2=[1];den2=[4 1];num3=[1];den3=[3 1]; [num4,den4]=series(num1,den1,num2,den2); printsys(num4,den4)% f.d.t. a sistemului deschis [num,den]=feedback(num4,den4,num3,den3,-1); printsys(num,den)% f.d.t. a sistemului închis [A,b,c,d]=tf2ss(num,den) syms s pd=det(s*eye(3)-A)% Polinomul caracteristic al matricei A T=c*inv(s*eye(3)-A)*b% f.d.t. a sistemului închis calculată cu matricele A, b, cT
În fereastra de comandă sunt returnate următoarele rezultate:
num4 3 num 9s 3 2 , , 3 den 4 8s 6s 1 den 24s 26s 2 9s 4 A 1.0833 0.3750 0.1667 1.0000 0 0 0 1.0000 0
b 1 0 0 ; c T 0 0.3750 0.1250 ; d 0 , 13 3 1 pd s 3 s 2 s , 12 8 6 9s 3 T 24s 3 26s 2 9s 4 b) Cunoscând polinomul caracteristic, pd , al matricei sistemului A, se întocmeşte determinantul T
Hurwitz:
13 12
HA 1 0 şi
HA 2
1 6 3 8 13 12
0 0, 1 6
13 3 1 23 0 12 8 6 96
A rezultat că sistemul este intern asimptotic stabil. În baza polinomului caracteristic asociat fdt a sistemului închis se întocmeşte determinantul Hurwitz:
26 4 0 HO 24 9 0 ; HO 2 138 0 0 26 4 deci sistemul este strict stabil extern. PR.2.16 Pentru SLN cu realizarea de stare:
A 0 2; 1 3; b 2; 0; c T 1 0; d 0,
şi condiţia iniţială:
X 0 x 1 0 ; x 2 0 1; 0 T
se cere:
a) să se calculeze componenta liberă a vectorului de stare şi să se prezinte grafic variabilele de stare x 1 t şi x 2 t , în MATLAB. Să se aprecieze stabilitatea internă; b) să se calculeze valoarea matricei fundamentale t la momentul dt 0,5s , în MATLAB. Rezolvare
Secvenţe MATLAB A=[0 -2;1 -3];B=[2;0];C=[1 0];D=[0];x0=[1 0]; t=[0:0.01:7]; u=0*t;%Intrarea nula [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0); plot(t,x(:,1),'-k',t,x(:,2),'-k'),grid title('Evolutia in timp a variabilelor x1(t) si x2(t)') xlabel('t(s)'),ylabel('x1(t), x2(t)')
text(1.1532,0.5336,'-----x1(t)') text(0.2016,0.1477,'-----x2(t)') dt=0.5;Fi=expm(A*dt) graficele x 1 t şi x 2 t . Se constată că se respectă condiţia
În figura 2.24. sunt prezentate
X t 0 când t , deci sistemul este intern asimptotic stabil.
În fereastra de comandă sunt returnate valorile matricei fundamentale la momentul dt 0,5s
Fi 0.8452 0.2387
0.4773 0.1292
PR.2.17 Ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma:
Ds T1s 1T2 s 1T3s 1 K 0 în care T2 0,5s ; T3 0,05s ; K 25
Să se întocmească un program în MATLAB pentru calculul domeniilor de stabilitate în raport cu parametrul real T1 . Rezolvare Ecuaţia caracteristică a sistemului închis se scrie astfel: (2.112) T1T2 T3 s 3 T1T2 T2 T3 T3 T1 s 2 T1 T2 T3 s 1 K 0 . Se rezolvă (2.112) în raport cu T1 şi se obţine:
Fig. 2.24
T2 T3s 2 T2 T3 s 1 K . T2 T3s 3 T2 T3 s 2 s În (2.113) se face substituţia s j : T1 cr u jv , T1
unde:
(2.113)
(2.114)
u Re T1cr , iar v Im T1cr .
Deoarece T1 este real v ImT1cr 0 şi se caută domeniile de stabilitate pe axa reală u a locului de transfer. Program în MATLAB
T2=0.5;T3=0.05;k=25; w=2*pi*[-50:0.1:50];s=w*i; n=-[T2*T3*s.^2+(T2+T3)*s+1+k];d=T2*T3*s.^3+(T2+T3)*s.^2+s; d1=conj(d);d3=d.*d1; T1=n.*d1./d3; u=real(T1);v=imag(T1); plot(u,v,'-k'),grid axis([-0.05 0.8 -0.06 0.06]) title('Descompunerea in domenii de stabilitate dupa parametrul T1') xlabel('Real(T1cr)'),ylabel('Imag(T1cr)') Locul de transfer T1cr este prezentat în figura 2.25.
Fig. 2.25 Pentru stabilirea domeniilor de stabilitate se fac câteva verificări pentru puncte, de pe axa abscisei
u , corespunzătoare celor trei zone evidenţiate (fig.2.25). Se utilizează criteriul Hurwitz a) Valoarea T1 0,54 (s) corespunde punctului de pe abscisă care se află pe curba critică a limitei de stabilitate. Se introduce valoarea T1 0,54 în relaţia (2.112) şi se obţine:
Ds 0,0135s 3 0,322s 2 1,09s 26 0
Se întocmeşte determinantul Hurwitz:
0,322 26 0 3 0,0135 1,09 0 0 0,322 26 şi se constată că:
2 0,322 1,09 26 0,0135 0
deci, sistemul se află la limită de stabilitate.
T1 0,02 corespunde punctului (fig. 2.25). Pentru T1 0,02 relaţia (2.112) devine: b)
Valoarea
de
pe
abscisă
din
domeniul
I
Ds 0,0005s 3 0,036s 2 0,57s 26 0
şi corespunzător:
0,036 26 3 0,0005 0,570 0
0 0 ,
0,036 26
2 0,036 0,57 26 0,0005 0,00752 0
rezultând că sistemul este strict stabil extern. c) Valoarea T1 0,3 corespunde
punctului
de
pe
abscisă
din
domeniul
II
(fig. 2.25). Introducând T1 0,3 în (2.112) se obţine:
Ds 0,0075s 3 0,19s 2 0,85s 26 0 ,
şi
0,1900
26,0000
0
3 0,0075 0
0,8500 0,1900
0 26
2 0,19 0,85 26 0,075 0,0335 0
sistemul fiind instabil. d) Valoarea T1 1,0 corespunde punctului de pe abscisă din domeniul III.
Ds 0,0025s 3 0,575s 2 1,55s 26 0 , 0,575 26 0 3 0,025 1,550 0 0 0,575 26
2 0,575 1,55 26 0,025 0,241 0 ,
sistemul este stabil IMEM. A rezultat că domeniul I şi III sunt domenii de stabilitate pentru valorile: 0 T1 0,047s şi T1 0,54s 2.3. Probleme propuse spre rezolvare PP.2.1. Să se analizez stabilitatea SLN, funcţie de parametrul K , utilizând criteriul Hurwitz, dacă ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma: a) 0,02s 0,4s 2 1,3s K 0 b) 0,001s 4 0,05s 3 0,4s 2 s K 0 PP. 2.2. Având ecuaţia caracteristică a sistemului închis de forma:
s 4 3s 3 5s 2 4s 2 0
să se verifice stabilitatea sistemului utilizând criteriul Routh. PP.2.3. Pentru SLN a cărui schemă de structură este de forma:
să se calculeze ecuaţia caracteristică a sistemului închis şi să se verifice stabilitatea sistemului utilizând criteriul Routh pentru cazurile: a) K R 9,5 ; b) K R 11,0 ;
c) K R 12,0 . PR. 2.4. Să se analizeze stabilitatea SLN, funcţie de parametrul K , utilizând criteriul Hurwitz, dacă schema de structură a sistemului este de forma:
PR. 2.5. Să se analizeze stabilitatea SLN, funcţie de parametrul K , utilizând criteriul Hurwitz, dacă schema de structură a sistemului este de forma:
PP. 2.6. Folosind criteriul Routh, să se verifice stabilitate dacă funcţia de transfer a sistemului închis este de forma:
H 0 S
Ys 1 4 3 R s s 4s 9s 2 10s 8
PP. 2.7. Pentru SRA a cărui schemă de structură este de forma:
se cere:
a) să se calculeze şi să se traseze, prin punctele de intersecţie a locului de transfer cu axele de coordonate, diagrama Nyquist şi să se aprecieze stabilitatea sistemului; b) să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea diagramei Nyquist, diagramei Bode şi marginilor de stabilitate; să se evalueze stabilitatea sistemului. PP.2.8. Utilizând criteriul Mihailov, să se verifice stabilitatea sistemului, dacă ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma:
Ds 0,04 s 3 0,5 s 2 2 s 10 0
PP.2.9. Pentru SLN descris prin următoarea schemă de structură:
în care:
G 1 s
0,2 s 60 5 0,1 , , G 2 s , G 3 S , G 4 s 0,02 s 1 0,05 s 1 0,2 s 1 s0,1s 1
să se întocmească un program în MATLAB pentru verificarea stabilităţii externe utilizând criteriile Mihailov, Nyquist, Bode; să se calculeze marginile de stabilitate şi să se evalueze stabilitatea sistemului. PP.2.10 Având polinomul caracteristic al sistemului închis:
Ds 0,02 s 4 0,25 s 3 s 2 5 s 1 K să se calculeze valoarea parametrului K corespunzător limitei de stabilitate, utilizând criteriul Mihailov.
Să se întocmească un program în MATLAB pentru trasarea grafică a hodografului Mihailov adoptând pentru K o valoare corespunzătoare sistemului stabil IMEM şi o valoare corespunzătoare sistemului instabil. PP.2.11. Pentru SRA descris prin schema de structură:
în care K 1 3 şi K 3 2 , iar condiţiile iniţiale nule, se cere:
a) să se calculeze analitic realizarea A, b, c T , d adoptând varianta variabilelor de fază; b) să se calculeze analitic matricea de tranziţie t şi să se aprecieze stabilitatea internă;
c) să se calculeze analitic componenta liberă X t a vectorului de stare şi să se aprecieze stabilitatea internă; d) să se calculeze spectrul matricei A, A , şi să se aprecieze stabilitatea internă; e) să se verifice stabilitatea internă utilizând criteriile Hurwitz şi Routh; f) să se verifice stabilitatea externă utilizând criteriile Hurwitz şi Routh. PP. 2.12. Pentru SLN descris prin schema de structură:
se cere:
a) să se verifice stabilitatea externă folosind criteriul Routh; b) să se întocmească programul în MATLAB pentru verificarea stabilităţii în baza diagramelor Nyquist şi Bode; să se calculeze marginile de stabilitate; c) să se întocmească programul MATLAB pentru verificarea stabilităţii externe, utilizând criteriul Mihailov. PP. 2.13. Pentru SLN descris prin schema de structură:
se cere:
a) să se calculeze funcţia de transfer a sistemului închis în raport cu referinţa şi să se stabilească ecuaţia caracteristică asociată acesteia; b) să se calculeze valorile parametrului K R pentru care sistemul este strict stabil extern, la limită de stabilitate, instabil; c) adoptând o valoare K R pentru care sistemul este strict stabil extern, să se întocmească un
program în MATLAB pentru calcularea realizării A, b, c T , d şi verificarea stabilităţii interne; d) să se calculeze eroarea staţionară în raport cu mărimea de intrare şi perturbaţia. PP: 2.14. Pentru SRA, cu reacţie principală unitară, a cărui funcţie de transfer a sistemului deschis este de forma:
H d s
Y s 40 s s0,02 s 10,03 s 1
să se întocmească un program în MATLAB pentru calcularea şi trasarea grafică a diagramelor Nyquist şi Bode; să se calculeze marginile de stabilitate şi să se evalueze stabilitatea sistemului. PP. 2.15. Să se calculeze, în MATLAB, diagrama Nyquist şi marginile de stabilitate pentru un SRA, cu reacţie unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de forma:
H d s
Y s 3 s 2 s 14 s 13 s 1
şi să se aprecieze stabilitatea. PP. 2.16. Să se calculeze, în MATLAB, diagrama Bode şi marginile de stabilitate pentru un SRA, cu reacţie unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de forma:
H d s
Y s 1 R s s s 15 s 1
şi să se evalueze stabilitatea. PP. 2.17. Ecuaţia caracteristică a SLN cu circuit închis este:
Ds s 3 3 s 2 4 3 s 1 0
Utilizând metoda descompunerii în domenii de stabilitate după un parametru, să se determine pentru ce valori ale parametrului real sistemul rămâne stabil. PP. 2.18. Ecuaţia caracteristică a SLN cu circuit închis este de forma:
Ds s 3 s 2 s 0 Utilizând metoda descompunerii D să se calculeze domeniul de stabilitate în planul parametrilor şi . PP. 2.19. Pentru un SRA, cu reacţie unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de forma:
Ys K T1 s 1 s sT2 s 1 în care: T1 0,1s şi T2 0,5s , utilizând metoda descompunerii în domenii de stabilitate după un parametru, să se determine pentru ce valori ale parametrului real K sistemul rămâne stabil. H d s
PP. 2.20. Pentru SLN cu circuit închis având polinomul caracteristic de forma:
Ds T1s 1T2 s 1T3 s 1 K
în care T1 0,5s , T2 0,1s , T3 1s , utilizând metoda descompunerii în domenii de stabilitate după un parametru, să se calculeze pentru ce valori ale parametrului real K sistemul rămâne stabil IMEM.
PP. 2.21. Având cunoscută matricea SLN:
8 16 6 A 1 0 0 0 1 0 se cere întocmirea unui program în MATLAB pentru verificarea stabilităţii interne utilizând: a) ecuaţia Liapunov; b) verificarea localizării valorilor proprii ale matricei A; c) verificarea localizării valorilor proprii ale matricei N. PP. 2.22. Pentru SLN descris prin realizarea de stare:
1 0 0 T A 1 5 0 , b 1 0 0 , c T 0 0 1, d 0 , 0 1 10 şi
X 0 1 1 1 , T
să se întocmească un program în MATLAB pentru: a) verificarea stabilităţii interne prin calcularea şi prezentare grafică a variaţiei în timp a elementelor componentei libere a vectorului de stare; b) verificarea stabilităţii externe.
Unitatea de învăţare 4 SISTEME AUTOMATE NELINIARE Obiective Introducere privind sistemele neliniare. Definiţii, scheme de structură. Principalele tipuri de neliniarităţi statice. Particularităţile sistemelor neliniare în raport cu sistemele liniare Analiza sistemelor neliniare. Metoda planului fazelor. Metoda liniarizării armonice, principiul metodei, funcţia de descriere, studiul stabilităţii pe baza liniarizării armonice. Analiza sistemelor neliniare cu regulatoare bipoziţionale şi tripoziţionale. Aplicaţii. Teste de autoevaluare. OBIECTIVE - să definească sisteme automate neliniare; - să indice principalele scheme de structură; - să prezinte particularităţile sistemelor automate neliniare; - să enumere, să definească şi să compare metodele de analiză a sistemelor automate neliniare.
SISTEME DE REGLARE AUTOMATĂ NELINIARE 4.1. Definiţii, scheme de structură, principalele tipuri de neliniarităţi statice
Un sistem automat se numeşte neliniar (SAN) dacă conţine cel puţin un element neliniar. Blocurile neliniare sunt descrise matematic prin ecuaţii diferenţiale neliniare. În cazul SAN nu se aplică principiul superpoziţiei şi nu este permisă extrapolarea, în sensul că având cunoscut răspunsul la un anumit semnal de referinţă nu se poate deduce direct răspunsul la un semnal de acelaşi tip, dar de alţi parametri.
Neliniarităţile pot fi neesenţiale şi esenţiale. Neliniarităţile neesenţiale pot fi neglijate şi pentru acestea se acceptă modelul liniar. Neliniarităţile esenţiale nu pot fi neglijate şi acceptarea unui model matematic liniar conduce la erori grave de calcul, fapt pentru care SAN sunt analizate prin metode specifice.
Un SAN pe lângă elemente (blocuri) neliniare conţine totdeauna un ansamblu de elemente liniare. Elementele neliniare sunt utilizate în mod intenţionat în structuri de SA în scopul realizării performanţelor dorite. Privind schemele de structură ale SAN deosebim: Structuri în care cele două grupe de elemente (liniare EL şi neliniare EN) pot fi separate
direct (fig. 6.1).
a)
Fig. 4.1.
b)
Structuri în care neliniarităţile nu pot fi separate direct, acestea apărând în diferite poziţii în structura SAN, aşa cum se arată în fig. 4.2.
Fig. 4.2 Astfel de scheme de structură pot fi transformate în cheme echivalente în care să se poată separa cele două grupe de elemente (liniare şi neliniare). În figura 4.3 se prezintă schema echivalentă a sistemului neliniar prezentat în figura 4.2 2.
Fig. 4.3. La SAN comportarea (evoluţia în timp a răspunsului) depinde în mod esenţial de condiţiile iniţiale, iar problema stabilităţii se tratează diferit faţă de SALC. invariante. Astfel, stabilitatea unui SAN este dependentă de intrarea acestuia şi de starea lui iniţială, spre deosebire de SALC unde stabilitatea este o proprietate intrinsecă a sistemului, independentă de mărimea aplicată la intrarea acestuia şi de starea iniţială. În plus, SAN le este specifică funcţionarea cu oscilaţii întreţinute (regim de autooscilaţii), care nu presupune instabilitatea sistemului. Aceste autooscilaţii sunt
similare cu cele ale SALC la limită de stabilitate, dar se deosebesc de acestea prin faptul că mărimea de intrare poate fi chiar nulă (parametrii autooscilaţiilor nu depind de mărimea de intrare). Neliniarităţile care apar într-un SAN pot fi statice sau dinamice, după cum modelul matematic neliniar este staţionar sau dinamic. Spunem că neliniaritatea este statică dacă între mărimea de ieşire x e şi mărimea de intrare x i există o relaţie de forma:
x e f x i ,
(4.1)
în care nu apare timpul 2. Mărimile xi , xe corespund figurii 4.4. Forma cea mai generală a modelului matematic a unui EN este neliniaritatea dinamică care poate fi redată astfel 2: (n )
xe
f x e , x e , ...., x e
( n 1)
Fig. 4.4
, x i , x i ,..., x i( m ) , t ,
(4.2)
în care coeficienţi ecuaţiei diferenţiale pot fi funcţii de variabilele x i , xe şi de derivatele lor. Principalele neliniarităţi statice întâlnite în structura SAN sunt redate în tabelul 4.1.
O clasă specială de neliniarităţi, frecvent întâlnite în structura SAN, o reprezintă clasa neliniarităţilor sectoriale , definite generic prin k 1 , k 2 . Caracteristicile ce aparţin acestor neliniarităţi sectoriale satisfac condiţia 2: k1 k 2 , 0, (4.3) 0 0, unde k1 şi k2 sunt valori cunoscute şi definite astfel:
, k 2 sup , (4.4) Un caz particular al clasei de neliniarităţi k 1 , k 2 este clasa 0, k , care este cel mai frecvent utilizată în literatura de specialitate 2. Cele două clase de neliniarităţi sectoriale sunt prezentate în figura 4.5. k 1 inf
Denumirea neliniarităţii
Zonă de insensibilitate
Zonă de saturaţie
Tabelul 4.1. Caracteristica statică
Modelul matematic
x e 0,
ptr. x i
xe k xi , ptr.xi
xe k xi , ptr.xi
x e k x i , ptr. x i x e B sign x i , ptr. x i
x e 0, ptr. x i
x e k x i , ptr. Insensibilitate şi saturaţie
B xi k x e k x i , ptr.
B x i k B x e B sign x i , ptr. x i k
Releu ideal
B, ptr.x i 0 nedef , ptr. x i 0 x e B sign x i B, ptr. x i 0 .
Tabelul 4.1 (continuare) Releu cu zonă de insensibilitate
x e 0, ptr. x i x e B sign x i , ptr. x i x e B, ptr. x i x e B, ptr. x i
Releu bipoziţional cu histarezis
x e B, ptr. x i şi x e B, ptr. x i şi
dx i
0
dx i
0,
dt
dt
Fig. 4.5
4.2. Analiza sistemelor neliniare prin metoda planului fazelor
Metoda planului fazelor este o metodă grafo-analitică precisă utilizată în analiza SALC şi SAN descrise de ecuaţii diferenţiale de ordinul II, care conţine neliniarităţi ce pot fi redate grafic. Altfel spus, metoda planului fazelor permite obţinerea unei imagini complete privind evoluţia sistemului de ordinul II, liniar sau neliniar, fără a determina soluţia ecuaţiei diferenţiale. Metoda planului fazelor ne dă informaţii privind caracterul mişcării(periodic, aperiodic), regimul staţionar şi modul de desfăşurare a mişcării în sensul stabilităţii.
Se ştie că planul fazelor este un caz particular al spaţiului stărilor, când ordinul sistemului este n=2, iar variabilele de stare se aleg ca variabile de fază. Pentru a explica esenţa metodei, se consideră un SA de ordinul II a cărui regim liber (tranzitoriu) este descris de următoarea ecuaţie diferenţială scrisă sub forma: y f y , y , (4.5)
SA este liniar sau neliniar după forma funcţiei f y , y din (4.5). Notând variabilele de fază cu x1, x2 şi adoptând ca variabilă de bază x1=y, rezultă: (4.6) x 1 y, (4.7) x 2 x 1 y , (4.8) x 2 y f x 1 , x 2 , Planul a cărui coordonate sunt x y şi x 2 y este denumit planul fazelor (fig. 4.6).
Fig. 6.6 Evoluţia în timp a SA, în planul fazelor, este dată de o curbă integrală (C) gradată în timp, denumită traiectorie de fază. Ecuaţia traiectoriei de fază, în forma diferenţială, se obţine prin simpla împărţire a relaţiei (4.8) la (4.7), în care timpul este eliminat:
dx 2 f ( x 1 , x 2 ) , dx 1 x2
(4.9)
Traiectoria de fază este reprezentarea geometrică a soluţiei x 2 = F(x1) aferente ecuaţiei (4.9). Punctul curent de pe traiectoria de fază care reflectă starea SA în momentul instantaneu considerat, se numeşte punct imagine. Creşterea timpului se indică pe traiectoria de fază prin săgeţi. În figura 6.6, luând în consideraţie sensul săgeţii de pe traiectoria de fază, rezultă t 1 t2 t3 ... Panta traiectoriei de fază se poate exprima astfel:
tg sau
x 2 , x 1
dx 2 y f x 1 , x 2 tg dt , (4.10) Se constată că atunci dx 1 y x2 dt când y x 2 0 şi f x 1 x 2 0 , rezultă tg , deci unghiul sub care traiectoria de fază
intersectează axa abscisei este totdeauna 90 0. De reţinut este faptul că panta traiectoriei de fază nu depinde de timp. Ecuaţiile (4.6)(4.10) evidenţiază o serie de particularităţi ale planului fazelor, astfel: a) În conformitate cu (4.7),(4.8), dacă f(x1, x2) are pentru fiecare x1 o valoare unică, atunci dx 2 dx 1 în fiecare punct din planul fazelor, cu excepţia unor puncte singulare, are o valoare unică. Aceasta înseamnă că traiectoriile de fază nu se intersectează, aspect care asigură claritatea portretului fazelor. b) Deoarece pentru x 2 x 1 y 0 valorile răspunsului y trebuie să crească, rezultă că în semiplanul superior, al planului fazelor, cu creşterea timpului t punctul imagine se mişcă pe traiectoria de fază de la stânga la dreapta. Corespunzător, în semiplanul inferior mişcarea are loc de la dreapta spre stânga. Aşa cum s-a menţionat, sensul de creştere a timpului t se indică cu săgeată pe traiectoria de fază. c) Ecuaţia (6.9) în mod unic determină tangenta la traiectoria de fază în toate punctele, cu excepţia acelor puncte în care concomitent sunt satisfăcute condiţiile: (4.11) f (x1 , x 2 ) 0 , x 2 0 , Punctele în care sunt satisfăcute ecuaţiile (4.11) se numesc puncte singulare. Din aceste puncte pornesc sau converg mai multe traiectorii de fază. În punctele planului fazelor în care nu sunt satisfăcute concomitent ecuaţiile (4.11) trace numai o singură traiectorie de fază. Astfel de puncte ne numesc nesingulare. Din ecuaţiile (4.7) (4.11) rezultă că în punctele singulare derivatele variabilelor de fază sunt nule, ca urmare punctele singulare reprezintă puncte de echilibru ale sistemului. Pentru a se determina, în planul fazelor, punctele de echilibru (punctele singulare) trebuie să se rezolve sistemul format din ecuaţiile (4.11). d) În punctele în care x 2 0, f x 1 , x 2 0 , adică în punctele nesingulare de pe axa abscisei, conform relaţiei (4.10), traiectoriile de fază intersectează axa abscisei sub un unghi de 90 grade de sus în jos în semiplanul drept, din planul fazelor, şi de jos în sus în semiplanul stâng.
A. Sisteme de ordinul II liniare sau liniarizate Pentru a interpreta corect portretul de fază este necesar a corela forma traiectoriei de fază cu evoluţia în timp a răspunsului sistemului, respectiv cu tipul rădăcinii ecuaţiei caracteristice. Referindu-ne la evoluţia liberă a SA, considerăm următoarele cazuri care prezintă interes: Oscilaţia armonică neamortizată, care este specifică SA aflat la limită de stabilitate. În acest caz rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt dispuse pe axa imaginară din planul rădăcinilor. Se consideră oscilaţia sinusoidală de forma:
y x 1 A sin t ,
(4.12)
din care rezultă:
x 2 y x 1 A cos t ,
(4.13)
Eliminând variabila t, se obţine:
x1 x sin t , 2 cos t , A A
x 12 x 22 1, A 2 A 2 2
(4.14)
Se constată că oscilaţia neamortizată se reprezintă în planul fazelor printr-o elipsă cu semiaxele A şi A. În figura 4.7 se reprezintă evoluţia în timp a oscilaţiei neamortizate (fig.4.7.a) precum şi imaginea acesteia (traiectoria de fază) în planul fazelor (fig. 4.7.b.).
a)
Fig. 4.7
b)
Pentru A=ct. şi se obţine o familie de elipse cu axa comună 2A=ct. şi cu axa:
0 , pentru 0 2A , pentru Pentru diferite amplitudini A şi o pulsaţie dată, se poate construi o familie de elipse incluse unele în altele. Oscilaţie neamortizată care este specifică sistemului instabil; în acest caz rădăcinile ecuaţiei caracteristice asociate sistemului de ordinul II sunt complexe conjugate cu partea reală pozitivă, poziţionate în C+. Pentru astfel de oscilaţii traiectoria de fază are forma unei spirale logaritmice neconvergentă [1]. În figura 4.8 se prezintă răspunsul instabil al sistemului (fig. 4.8.a.) şi traiectoria de fază aferentă (fig.4.8.b.).
a)
Fig. 4.8
b)
Oscilaţia amortizată care este specifică sistemului stabil, în acest caz rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă, poziţionate în C . Pentru astfel de oscilaţii traiectoria de fază are forma unei spirale logaritmice convergentă spre originea axelor. În figura 4.9 se prezintă răspunsul oscilant amortizat al sistemului (fig. 4.9.a) şi traiectoria de fază (fig. 4.9.b); centrul de coordonate fiind un punct de echilibru stabil.
a)
Fig. 4.9
b)
Privind punctele de echilibru (punctele singulare) din planul fazelor, acestea pot fi stabile sau instabile. Traiectoriile de fază converg în punctele de echilibru stabile şi pornesc din punctele de echilibru instabile. Dacă traiectoriile de fază în jurul punctelor de echilibru sunt radiale, acestea se numesc noduri, iar dacă au forma de spirală, ele se numesc focare. Deci, în planul fazelor, pot să apară noduri stabile sau instabile, respectiv focare stabile sau instabile. Se studiază stabilitatea soluţiei ecuaţiei de stare omogene la x 1 0 , x 2 0 ,care reprezintă soluţia trivială a ecuaţiei (4.9), aceasta deoarece totdeauna printr-o translatare a planului fazelor se poate aduce centrul de coordonate ( x 1 0, x 2 0) în punctul de echilibru analizat. În continuare se consideră că această translatare este realizată şi corespunzător se analizează numai comportarea liberă a sistemului. Evoluţia liberă a sistemului liniar de ordinul II este descrisă de ecuaţia omogenă matricealvectorială: AX , (4.15) X echivalentă cu sistemul format din două ecuaţii diferenţiale de ordinul I (asociat ecuaţiei (4.15)): dx 1 (4.16) a 1 x 1 b1 x 2 , dt dx 2 (4.17) a 2 x1 b 2 x 2 , dt Răspunsul liber al sistemului este de forma: t
t
(4.18) y C1e 1 C 2 e 2 , unde C1 şi C2 sunt constante de integrare, iar 1 , 2 sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice: det(sI A) 0 , (4.19) care mai poate fi scrisă sub forma: (4.20) s 2 (a 1 b 2 )s (a 1 b 2 b1a 2 ) 0 , Corespunzător cu (6.18) ecuaţiile care descriu evoluţia sistemului şi definesc portretul de fază sunt: x 1 C1e
1t
C2e
t
2t
,
(4.21) t
(4.22) x 2 C1 1e 1 C 2 2 e 2 , Pentru C 2 0 , din (6.21), (6.22), se constată că traiectoria de fază devine o dreaptă descrisă de ecuaţia:
(4.23) x 2 1 x 1 0 , iar pentru C1 0 se obţine o altă dreaptă descrisă de ecuaţia: (4.24) x 2 2 x1 0 , care, de asemenea, este una dintre traiectoriile de fază. Dacă 1 şi 2 sunt reale şi negative, atunci dreptele (4.23), (4.24) trec prin centrul de coordonate şi se găsesc în cadranele doi şi patru. În figura 4.10.a., se prezintă poziţia reciprocă a acestor drepte pentru 1 2 (dreapta I corespunzător cu (4.23) şi dreapta II corespunzător cu (4.24)). Deoarece pentru 1 0 şi 2 0 componenta tranzitorie se anulează şi corespunzător derivatele variabilelor de fază, cu trecerea timpului, tind către zero, rezultă că punctul imagine de pe traiectoriile de fază (4.23), (4.24) se mişcă către centrul de coordonate, atât în cadranul doi cât şi din cadranul patru. Portretul de fază pentru 1 0 şi 2 0 se reprezintă în figura 4.10.a. Un astfel de portret de fază corespunde unui răspuns aperiodic, iar centrul de coordonate este un nod stabil. Dacă rădăcinile 1 , 2 sunt reale negative şi multiple, atunci în locul a două drepte (4.23), (4.24), în planul fazelor vom avea o singură dreaptă (fig.4.10.b). Şi în acest caz, portretul fazelor (figura 4.10.b) corespunde unui răspuns aperiodic strict stabil, iar centrul de coordonate este un nod stabil. Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă, atunci traiectoria de fază are forma unei spirale logaritmice care tinde spre centrul de coordonate, acesta fiind un focar stabil. (fig. 4.10.c). Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini pur imaginare, atunci sistemul se află la limită de stabilitate, iar în planul fazelor punctul reprezentativ, cu creşterea timpului, se mişcă pe traiectorii de fază închise sub formă de elipsă. În astfel de cazuri pentru pulsaţii ale sistemului neamortizat n 1 traiectoriile de fază au forma redată în figura 4.10.d, pentru n 1 traiectoriile de fază sunt redate în figura 4.10.e, iar pentru n 1 sunt redate în figura 4.10.f. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe conjugate cu partea reală pozitivă, atunci sistemul este instabil şi traiectoriile de fază au forma unor spirale logaritmice care pornesc din origine, în acest caz centrul de coordonate fiind un focar instabil (fig. 4.10.g).
Fig. 4.10 În situaţia în care rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi pozitive, răspunsul va fi aperiodic şi instabil. Portretul de fază va avea forma din figura 4.10.h., pentru cazul rădăcinilor distincte şi forma din figura 4.10.i. pentru cazul când rădăcinile sunt multiple. Dacă sistemul are rădăcinile reale şi de semne contrare, atunci portretele de fază pot avea formele prezentate în figurile 4.10.j. 4.10.l., astfel: pentru cazul când valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mică portretul de fază corespunde figurii 4.10.j., pentru valori absolute egale corespunde figurii 4.10.k., iar pentru cazul când valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mare corespunde figurii 4.10.l. Punctul singular pentru acest caz este tot originea şi este cunoscut sub denumirea de punct şa.
În planul fazelor pot să apară una sau mai multe traiectorii de fază închise, denumite cicluri limită, de-a lungul acestora mişcarea având un caracter periodic. Ciclurile limită pot fi stabile când toate traiectoriile de fază din jur tind către acestea sau instabile când traiectoriile de fază se depărtează continuu de acestea. Un ciclu limită stabil caracterizează funcţionarea SAN cu autooscilaţii. Un astfel de sistem este stabil, dar nu asimptotic. Ciclurile limită instabile caracterizează o mare varietate de SAN zise „stabile în mic” şi „instabile în mare”. Asemenea sisteme prezintă o comportare liberă periodică amortizată, deci sistemul este asimptotic stabil pentru anumite condiţii iniţiale date de valorile x 1 0 şi x 2 0 cuprinse în interiorul ciclului limită instabil (fig. 4.11 traiectoria a) şi o comportare liberă periodică instabilă în cazul când condiţiile iniţiale x 1 0 şi x 2 0 se găsesc în afara ciclului limită instabil (fig. 4.11, traiectoria b). După cum rezultă şi din figura 4.11 centrul de coordonate este un punct de echilibru stabil. Practic, un sistem nu poate oscila stabil pe un asemenea ciclu deoarece o deviere cât de mică de pe acest ciclu (datorită unor perturbări) face ca oscilaţiile să se stingă, fie dimpotrivă să se amplifice cu timpul 8. Fig. 4.11 Fig. 4.12
În general, SAN pot prezenta două cicluri limită: unul stabil, celălalt instabil. În cazul când ciclul limită stabil este spre exterior celui instabil (fig. 4.12), atunci mişcarea liberă periodică fie se stinge complet dacă punctul iniţial al traiectoriei, corespunzător condiţiilor iniţiale, se găseşte în interiorul ciclului limită instabil ( centrul de coordonate fiind un punct de echilibru instabil), fie sistemul oscilează întreţinut cu amplitudine mare, corespunzător ciclului limită stabil, în cazul tuturor celorlalte condiţii iniţiale 8. Dacă, spre deosebire de situaţia anterioară, ciclul limită exterior este instabil (fig. 4.13), atunci mişcarea liberă periodică fie se amplifică mereu cu timpul, dacă condiţiile iniţiale corespund unui punct exterior ciclului limită instabil, fie că sistemul oscilează întreţinut cu amplitudine mică, corespunzător ciclului limită stabil, în cazul când punctul iniţial al traiectoriei este în interiorul ciclului limită instabil. B. Traiectorii de fază pentru sisteme neliniare cu neliniarităţi de tip releu Se consideră o structură de sistem cu Fig. 4.13 neliniaritate de tip releu şi se arată modul de trasare a traiectorie de fază. În schema de structură din figura 4.14 se consideră că blocul neliniar conţine o neliniaritate de tip releu cu zonă de insensibilitate (fără histerezis), iar partea liniară este formată din două integratoare 2.
Fig.4.14 Caracteristica statică a blocului neliniar x e f corespunde poziţiei 6 din tabelul 4.1. Oscilaţiile libere ale unui astfel de sistem, când r(t)=0, vor fi descrise de ecuaţia: y Fy 0 , (4.25) unde Fy 1 sau 0 .
În cazul considerat Fy k , în care k poate lua valorile 1 şi 0. Notând variabilele de fază cu x 1 , x 2 se poate scrie: (4.26) x1 y , (4.27) x 2 x 1 y , (4.28) x 2 y Fy k , S-a obţinut sistemul de două ecuaţii diferenţiale de ordinul I: (4.29) x 1 x 2 , x 2 k , Ecuaţia diferenţială a traiectoriei de fază va fi: dx 2 k , (4.30) dx 1 x 2 care integrată ne dă ecuaţia traiectoriei de fază : (4.31) x 22 x 220 2k y y 0 , Prin integrarea ecuaţiilor (4.27),(4.28) se poate abţine legea de variaţie în timp a lui x 1 y şi respectiv x 2 y , în limitele fiecărei porţiuni specifice neliniarităţii. Din (4.27),(4.28) rezultă: x 2 kt x 20 , (4.32)
kt 2 x 20 t y 0 , (4.33) 2 Pentru k 0 mărimea x 2 y (viteza de variaţie a lui y) are o variaţie liniară, iar y(t) are o variaţie după o parabolă. Pentru k=0 se constată că x 2 y ct. , iar x 1 y variază liniar cu timpul. În figura 4.15 se redă familia de traiectorii de fază. Pentru k = 1 traiectoriile de fază sunt parabole, iar pentru k=0 ( în zona de insensibilitate) traiectoriile de fază sunt drepte paralele cu axa abscisei. Orice traiectorie de fază, pentru condiţii iniţiale oarecare, este închisă deoarece parabolele sunt simetrice în raport cu axa x1 , iar în zona de insensibilitate x2 = ct. y
Portretul de fază obţinut corespunde unui sistem conservativ, care se caracterizează prin aceea că fiecărei condiţii iniţiale îi corespunde o oscilaţie periodică. Datorită existenţei zonei de insensibilitate rolul punctului singular de tip centru îl are segmentul de dreaptă de lungime 2 de pe axa abscisei. În cazul în care se obţin traiectorii de fază corespunzătoare unei neliniarităţi de tip releu ideal bipoziţional (poziţia 4 din tabelul 4.1)
Fig. 4.15
4.3. Metoda liniarizării armonice
Metoda se aplică mai ales în cazul neliniarităţilor discontinue şi permite cu o bună aproximaţie determinarea soluţiilor periodice (a parametrilor autooscilaţiilor) şi aprecierea stabilităţii. În cazul neliniarităţilor continue, precum şi la sistemele cu mai multe neliniarităţi, dificultatea calculelor creşte considerabil. Pentru SAN stabile, fără autooscilaţii, metoda nu este prea eficientă, întrucât oferă puţine indicaţii asupra calităţii sistemului 19.
4.3.1. Principiul metodei. Funcţia de descriere. Metoda se aplică SAN în care se poate separa neliniaritatea de partea liniară a sistemului, iar partea liniară se comportă ca un filtru trece jos (FTJ). Se consideră SAN din figura 4.16 în care se presupune că mărimea de intrare în sistem r(t)=0, iar mărimea de intrare în blocul neliniar este sinusoidală de forma: t A sin t , (4.34) Blocul liniar are o comportare de FTJ, în sensul că permite trecerea numai a armonicii fundamentale a lui x e t în condiţiile în care la intrarea BN se aplică un semnal sinusoidal. În calcule x e t se aproximează prin prima armonică. Fig. 4.16 La ieşirea BN se obţine un semnal x e t periodic dar nesinusoidal, care poate fi descompus în serie Fourier:
a0 (a sin i t b i cos i t ) , 2 i 1 i în care a i şi b i sunt coeficienţi dezvoltării în serie Fourier: xe
(4.35)
2
a0
1 x e t d t , 0
ai
1 x e t sin i t d t , 0
bi
1 x e t cos i t d t , 0
2
2
Dacă BN are caracteristica statică x e f simetrică, atunci componenta continuă din dezvoltarea în serie Fourier este nulă (a0 = 0), iar semnalul de ieşire este şi el simetric faţă de abscisă. În baza metodei liniarizării armonice aproximăm semnalul de la ieşirea BN cu armonica fundamentală: x e t x eF t a 1 sin t b1 cos t , (4.36) iar armonicele superioare sunt neglijate, acestea urmând a fi filtrate de BL. Relaţia (6.36) mai poate fi scrisă astfel [2]:
x eF t în care :
q d t a1 b 1 d A sin t 1 A sin t q a t b , A A dt dt
q a A,
a 1 A, b (A, ) , , q b A. 1 A A
(4.37)
(4.38)
se numesc coeficienţi liniarizării armonice. Coeficienţi liniarizării armonice pot fi exprimaţi astfel:
q a A,
2
1 x e t sin t dt , A 0
(4.39)
q b A,
2
1 x e t cos t d t , A 0
(4.40)
Pentru blocul liniar BL a cărui mărime de intrare este x e t , iar mărimea de ieşire este y(t) se poate scrie relaţia: dmxe dx dn y dy (4.41) c n n c1 c0 y d m d1 e d 0 x e , m dt dt dt dt în care n m. Dacă se notează p d dt , relaţia (6.41) devine: (4.42) c n p n c1p c 0 yt d m p m d 1p d 0 x e t , care poate fi scrisă astfel: (4.43) Cp yt Dp x e t , în care: Cp c n p n c1 p c 0 ,
Dp d m p m d 1 p d 0 , sunt operatori de diferenţiere, iar x e t x eF t .
Dacă ţinem seama de faptul că (t)= y(t), în condiţiile în care r(t)=0, din (6.43) rezultă:
Cp εt Dp x eF t ,
sau:
(4.44) Dp x eF t Cp t 0, iar cu luarea în consideraţie a relaţiei (6.37) se obţine: q (A, ) (4.45) Dp q a (A, ) b p t Cp t 0, Relaţia (6.45) reprezintă ecuaţia diferenţială (dacă A şi sunt constante) pentru SAN liniarizat armonic. Pentru neliniarităţi care depind numai de mărimea de intrare (t) şi nu depind de derivata acesteia, coeficienţii q a şi q b depind numai de amplitudinea A şi nu depind de pulsaţia . Pentru neliniarităţi univoce fără buclă de histerezis q b A, 0 . Se consideră o neliniaritate simetrică pentru care se scrie relaţia (4.37) în complex nesimplificat. Notând reprezentările în complex nesimplificat ale mărimilor x eF t şi t prin:
xeF F
cn
x eF t şi F cn t ,
relaţia (4.37) devine: x eF q a A
sau
relaţia:
q b A j
x eF q a A jq b A ,
(4.46)
Se defineşte funcţia de descriere (coeficientul de transfer armonic) notată cu N(A) prin
x eF
(4.47) q a A jq b A , Conform cu (4.47), mărimea complexă N(A) definită ca raportul dintre reprezentările în complex nesimplificat ale fundamentalei mărimii de ieşire şi ale mărimii de intrare în BN se numeşte funcţie de descriere(coeficient de transfer armonic). Reprezentarea grafică a funcţiei de descriere(f.d.d.) se numeşte loc de descriere(l.d.d.). Funcţia de descriere N(A) este o funcţie
N(A)
complexă având acelaşi rol ca şi al caracteristicii amplitudine-fază în cazul SALC. Pentru neliniarităţi univoce pentru care q b A 0 , f.d.d. N(A) este o funcţie reală. În continuare se calculează funcţia de descriere pentru următoarele cazuri: a) Neliniaritate de tip releu ideal (poziţia 4 din tabelul 4.1) În figura 4.17 sunt redate formele semnalelor de intrare şi de ieşire din blocul neliniar, forma semnalului de ieşire x e t fiind corelată cu caracteristica statică x e f menţionată.
Fig. 4.17. În acest caz, neliniaritatea fiind univocă q b A 0 şi deci N(A) este o funcţie reală. Coeficienţii dezvoltării în serie Fourier sunt: a 0 0,
a1
2 B B x e t sin t dt 2 sin t dt 4 , 0 0
b1
2 x e t cos t d t 0,
A rezultat: a 4B , q 1 A 1 A A şi corespunzător: x eF q 1 A , deci
x eF
(4.48)
q 1 A , (4.49) b) Neliniaritate de tip releu cu zonă de insensibilitate (poziţia 6 din tabelul 4.1) N(A)
Fig. 4.18 Din figura 4.18 se constată: t1 A sin t1 ; sin t1 A,
1 sin 2 t1 cos 2 t1
2 cos 2 t1 ; A2
2 ; t 2 t1 , A2 Coeficienţii dezvoltării în serie Fourier au expresiile: a 0 0, cos t1 1
t
2 2B 2 2B cos t 2 cos t 1 a 1 x e t sin t d t sin t d t 0 t 1
2B cos t 1 cos t 1 4B cos t 1 , şi conform cu relaţia (6.51) se obţine:
iar
şi
4B 2 a1 1 2 , A
(4.53) (4.54)
b 1 0, A rezultat:
a 1 A 4B 2 q1 A 1 2 , A A A
(4.55)
4B 2 1 2 , A A
(4.56)
N(A) q1 A
4.3.2. Studiul stabilităţii pe baza liniarizării armonice
Se consideră SAN din figura 6.16, în care r(t)=0, neliniaritatea este simetrică, iar blocul liniar este caracterizat de funcţia de transfer H(s).
Pentru aprecierea stabilităţii unui SAN se utilizează funcţia critică, care este o funcţie complexă definită astfel: 1 CA , (4.57) NA Reprezentarea funcţiei critice în coordonate polare sau logaritmice determină aşa numitul loc critic, care este gradat în amplitudini. Se extinde aplicabilitatea criteriului de stabilitate Nyquist şi la SAN. Se poate stabili un loc de transfer echivalent pentru SAN deschis, astfel: Y j (4.58) H SAN j N(A) H j, j în care N(A) este funcţia de descriere a BN, iar H j este răspunsul în frecvenţă al blocului liniar BL. Se stabileşte condiţia pe care trebuie să o îndeplinească SAN pentru a fi în regim de autooscilaţii, deci condiţia corespunzătoare limitei de stabilitate a sistemului. Pentru aceasta se scrie expresia l.d.t. a SAN închis: N A H j , (4.59) H 0 SAN j 1 N ( A ) H j Condiţia ca SAN să se afle la limită de stabilitate este: (4.60) N A H j 1, Din această ecuaţie, separând părţile reală şi imaginară se obţin două ecuaţii în real din care se determină parametrii autooscilaţiilor k şi A k . Parametrii autooscilaţiilor ( k , A k ) se pot obţine mai simplu, pe cale grafică, dacă se pune ecuaţia (4.60) sub forma: 1 (4.61) H j CA , N(A) Reprezentând în planul complex l.d.t. H j care este o caracteristică gradată în pulsaţii şi funcţia 1 N ( A ) care este o caracteristică gradată în amplitudini, se obţin soluţiile ecuaţiei (4.61), adică parametrii k , A k , care corespund punctului de intersecţie a celor două caracteristici. A rezultat că poziţia locului critic C( A ) 1 N ( A ) în raport cu l.d.t. H j a blocului liniar BL ne permite să apreciem stabilitatea SAN. Metoda se cunoaşte şi sub denumirea de metoda Nyquist cu punct critic variabil, considerându-se că locul critic s-a substituit punctului critic (-1, j0). Caracteristica C(A) se mai numeşte loc de transfer invers negativ 2. SAN va fi asimptotic stabil (deci în sistem nu apar oscilaţii întreţinute) dacă locul de transfer H j parcurs în sensul creşterii pulsaţiei lasă locul critic 1 N ( A ) în stânga (fig. 4.19.a). Dacă locul de transfer H j şi locul critic 1 N (A ) sunt tangente, atunci SAN se află la limită de stabilitate, deci în sistem apar oscilaţii întreţinute (curba 1 din fig. 4.19.b), iar dacă l.d.t. H j lasă locul critic 1 N ( A ) în dreapta (curba 2 din fig. 4.19.b) SAN este instabil. De reţinut este faptul că autooscilaţiile pot fi stabile, sau instabile. Dacă punctele de pe curba 1 N ( A ) , vecine punctelor de intersecţie, corespunzătoare unor amplitudini mai mari decât cea din punctul de intersecţie, sunt în afara suprafeţei mărginite de curba H j , atunci autooscilaţiile de pulsaţie şi amplitudine corespunzătoare punctului de intersecţie sunt stabile ( punctul P din fig. 4.19.c). În caz contrar, autooscilaţiile sunt instabile (punctul Q din fig. 4.19.c).
Fig.4.19
În cele mai multe probleme practice, acest criteriu frecvenţial simplificat este nu numai necesar, ci şi suficient 2.
4.4. Analiza sistemelor neliniare cu regulator bipoziţional
Regulatoarele bipoziţionale au o largă utilizare îndeosebi datorită simplităţii şi costului redus. Aceste regulatoare au o caracteristică statică de releu cu două poziţii, reprezentând dependenţa dintre mărimea de comandă u şi eroarea ; în cazul idealizat dependenţa are aspectul din figura 4.20, iar în cazul când se consideră şi prezenţa ciclului de histerezis (de lăţime 2h) are aspectul din figura 4.21. Datorită aspectului caracteristicii, regulatoarele bipoziţionale sunt denumite „regulatoare tot sau nimic”.
Fig. 4.20
Fig. 4.21
Se va considera un sistem neliniar de reglare a temperaturii cu regulator automat bipoziţional (RABP). În bucla sistemului automat regulatorul bipoziţional RABP comandă direct instalaţia tehnologică IT, întrucât aspectul caracteristicii din figura 4.21 nu permite comanda în două sensuri a unui element de execuţie de tipul unui motor electric, dar închiderea sau deschiderea contactului RABP poate conecta sau deconecta circuitul de alimentare al rezistenţei de încălzire a cuptorului electric. În cazul concret al sistemului considerat, schema de structură a sistemului cu RABP este de forma prezentată în figura nr. 4.22.
Fig. 4.22 După cum s-a menţionat, IT reprezintă cuptorul electric şi considerăm că funcţia de transfer a acestuia este fără timp mort, de forma: Kf Ys H f s , (4.62) Us Tf s 1 În acest caz autooscilaţiile mărimii reglate y (temperatura) au în regimul stabilizat aspectul din figura 4.24. Când contactul RABP este închis (fig.4.23) şi deci: u U max , (4.63)
atunci temperatura y creşte după o exponenţială, conform cu relaţia (4.62), iar când mărimea y atinge valoarea: yrh, (4.64) deci rezultă r y r ( r h ) h, (4.65) contactul RABP se deschide, după cum rezultă din figura 4.21, şi tensiunea aplicată rezistenţei de încălzire va fi: u 0, (4.66) Graficul din figura 4.24 corespunde următoarelor valori: Tf=25 secunde, Kf= 0,454 grade/V, Ktr=0,1 mAcc / 0C, h=1mAcc , Umax=220V, unde Ktr este coeficientul de transfer al traductorului. Pentru cazul sistemului unificat considerat 2...10 mAcc, la 1mAcc corespunde 10 grade. Valoarea prescrisă a temperaturii în cuptor este de 80 grade. Rezistenţa de încălzire fiind după o exponenţială până la valoarea:
deconectată,
y r h, (4.67) când rezultă: r y r (r h ) h , (4.68) şi are loc din nou închiderea contactului, conform figurii 6.21, trecându-se deci din nou la u=Umax. Notând cu t1 şi t2 intervalele de timp în care contactul este închis şi respectiv deschis, se obţine perioada autooscilaţiilor T=t1+t2, (4.69) şi factorul de umplere pentru impulsurile u: =t1/T, (4.70) În cazul considerat T=30 secunde, iar =80%. Se constată că în regim stabilizat de autooscilaţii abaterea maximă a mărimii y ,de la valoarea prescrisă prin mărimea de referinţă r = 80 grade, este egală cu h. În cazul concret analizat h = 100C.
are
loc
scăderea
Fig. 4.23
temperaturii
y
tot
(4.69)
Pentru aprecierea stabilităţii SA neliniar cu regulator bipoziţional se poate folosi metoda planului fazelor. Traiectoriile de fază în cazul SA descrise de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sunt Fig. 6.24 segmente de dreaptă, aşa cum este şi în cazul considerat 58.
Forma traiectoriei de fază este redată în figura 4.25. În cazul când IT are timp mort şi deci funcţia de transfer are aspectul: k f e s H f s , Tf s 1
(4.71)
Fig. 4.25 autooscilaţiile, din regimul stabilizat a mărimii y, au forma din figura 4.26.a, iar impulsurile de tensiune u au aspectul din figura 4.26.b.
Fig. 4.26 Când mărimea y atinge valoarea rh (punctul A) are loc deschiderea contactului RABP şi trecerea la u , ca şi în cazul din figura 4.23, dar mărimea y continuă să crească pe durata , până în punctul B, întrucât efectele variaţiei mărimii u se fac simţite la ieşire numai după un interval egal cu timpul mort . În mod analog, după atingerea valorii rh mărimea y continuă să scadă pe durata . Datorită acestui fapt au loc depăşiri ale gamei de variaţie delimitate de rh şi rh; aceste depăşiri sunt cu atât mai mari, cu cât valoarea este mai mare. De asemenea, depăşirile cresc pentru valori Tf mai mici, întrucât în acest caz viteza de variaţie a mărimii y este mai mare şi pe durata au loc variaţii mai importante ale mărimii y în afara gamei menţionate 36. Creşterea depăşirilor gamei rh şi rh înrăutăţeşte calitatea regimului stabilizat, întrucât rezultă variaţii relativ mari ele temperaturii (care reprezintă mărimea reglată în exemplul considerat), fiind necesară o limitare a depăşirilor. În acest scop, deoarece depăşirile cresc cu creşterea şi cu scăderea Tf , în practică se recomandă ca regulatoarele bipoziţionale să fie utilizate când are loc condiţia 36: (4.72) 0,2 Tf deci când timpul mort este mic în raport cu Tf. Analiza unui SAN de reglare a temperaturii cu RA tripoziţional este prezentată în 1.
4.5. Criteriul frecvenţial de stabilitate absolută
Când sunt studiate condiţiile de stabilitate nu numai pentru un sistem neliniar izolat, ci pentru o familie de sisteme care conţin blocuri neliniare a căror caracteristici sunt în întregime cuprinse în cadranele I şi III ale planului caracteristicilor statice (), unde şi sunt mărimile de la ieşirea şi intrarea blocului neliniar, şi trec prin originea acestui plan (fig. 4.5), se spune că este studiată stabilitatea absolută. Savantul român, matematician şi inginer, Vasile Mihai Popov a conceput un criteriu frecvenţial de stabilitate absolută (1959), care are avantajul de a permite aprecierea stabilităţii sistemelor neliniare pe o cale mai simplă decât alte criterii şi de a utiliza reprezentări grafice analoage cu cele folosite la criteriile de frecvenţă pentru studiul sistemelor liniare [1,2]. Acest criteriu de stabilitate absolută este denumit, în literatura de specialitate, criteriul Popov de stabilitate absolută [2]. Se consideră, de exemplu, sistemul cu reacţie din figura 4.27. în ipoteza că mărimea de referinţă are valoarea zero ( se studiază regimul de autooscilaţii). Se consideră că relaţia dintre mărimea de intrare şi mărimea de ieşire ale blocului liniar BL este descrisă printr-o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi de ordinul n, respectiv prin funcţia de transfer H(s). Cazul când H(s) are toţi polii în semiplanul stâng al planului rădăcinilor, este strict proprie şi cu factor de amplificare unitar, îl vom numi cazul de bază. În continuare ne vom referi numai la cazul de bază.
Fig. 4.27. Mărimea de ieşire a blocului neliniar BN este legată de mărimea de intrare a acestui bloc printr-o neliniaritate de clasă (0,k) (se poate lua şi k ), care satisface relaţiile:
k, (4.73) 0 0 , În figura 6.27 mărimea de ieşire din blocul liniar BL a fost notată cu , deci y = , reprezentând şi mărimea de intrare în blocul neliniar BN. Blocul liniar poate fi descris prin relaţiile: AX b , X (4.74) y cT X , iar cuplarea dintre cele două subsisteme (blocuri) se realizează prin relaţiile: sau . Sistemul descris prin relaţiile: AX b X 0
(4.75) y cT X a cărui soluţie trivială x 1 x 2 x n 0 este asimptotic stabilă pentru orice condiţii iniţiale x i 0 , (i 1,2,..., n ) şi pentru orice funcţie adoptată care satisface condiţia
k, (4.76) se numeşte absolut stabil în sectorul unghiular [0,k]. Criteriul de stabilitate al lui V.M.Popov se enunţă astfel: Pentru ca sistemul (6.75) să fie absolut stabil în sectorul unghiular [0,k], este suficient să existe un număr real finit q pentru care relaţia 1 Re1 jq H( j) 0 , (4.77) k să fie satisfăcută în tot domeniul de pulsaţii 0. Răspunsul la frecvenţă al blocului liniar BL poate fi exprimat sub forma: H( j) U() jV() , (4.78) Având în vedere relaţia (6.78), relaţia (6.77) devine: 1 U() qV() 0 , (4.79) k Criteriul Popov permite o remarcabilă interpretare grafică [1]. Pentru interpretarea grafică a condiţiei (4.79) V.M.Popov a introdus caracteristica modificată de frecvenţă H ( j) definită de relaţiile: (4.80) Re H ( j) U () ReH( j) U() , (4.81) Im H ( j) V () ImH( j) V() , Notând prin X şi Y corespunzător partea reală şi respectiv imaginară a lui H ( j) : X U() , (4.82) Y V() , (4.83) condiţia (4.79) devine: 1 X qY 0 (pentru 0) , (4.84) k Curba definită parametric prin relaţiile (4.82), (4.83), pentru , poartă denumirea de „locul de transfer Popov” sau hodograf modificat. În planul XY (adică în planul H ( j) ) ecuaţia : 1 X qY 0 , (4.85) k sau ecuaţia echivalentă cu aceasta: 1 1 Y (X ) , (4.86) q k reprezintă o dreaptă (fig. 4.28) care trece prin punctul ( 1/k, j0). Dreapta (4.86) este numită „dreapta lui Popov”. Panta dreptei lui Popov este 1/q. Condiţia (4.84) este satisfăcută în orice punct a planului H ( j) dispus în dreapta dreptei Popov. Altfel spus, conform condiţiei (4.84) hodograful modificat H ( j) trebuie să fie complet situat în dreapta dreptei Popov. În baza celor menţionate se poate formula următoarea interpretare geometrică a criteriului Popov: Pentru ca sistemul (4.75) să fie absolut stabil în sectorul unghiular k este suficient ca în planul H ( j) să poată fi trasată o dreaptă prin punctul de coordonate j astfel încât hodograful modificat să fie complet situat în semiplanul drept definit de dreapta Popov. 4Conform criteriului V.M.Popov condiţia de suficienţă a stabilităţii absolute a sistemelor neliniare se deosebeşte esenţal de cerinţele criteriului de stabilitate Nyquist pentru 44444444444sisteme liniare. Criteriul Nyquist apreciază stabilitatea sistemului 0
Fig. 4.28 impunând condiţii valorii Re[Hd(j)] numai în punctele în care Im[Hd(j)]=0, în timp ce condiţia de suficienţă a criteriului V.M.Popov de stabilitate absolută a sistemelor neliniare impune restricţii valorilor Re[(1+jq)H(j)] pentru , şi nu numai în punctele în care Im[H(j)]=0. În figurile 4.29.a şi 4.29.b sunt ilustrate două cazuri în care condiţia de stabilitate absolută este îndeplinită, iar figurile 4.30.a şi 4.30.b ilustrează două cazuri în care condiţia de stabilitate absolută nu este îndeplinită deoarece prin punctul (1/k, j0) nu poate fi trasată o dreaptă care să nu intersecteze caracteristica modificată de frecvenţă H ( j) a părţii liniare a sistemului [1]. Dacă nu există q astfel încât să se poată duce o dreaptă prin punctul de coordonate (1/k, j0) care să lase hodograful modificat de aceeaşi parte a dreptei ca şi originea, criteriul nu se aplică, adică nu putem afirma nimic despre stabilitatea absolută a sistemului [2]. În astfel de cazuri se apelează la alte metode [2].
a)
a)
Fig. 4.29
Fig. 4.30
b)
b)
În general, pentru stabilitatea absolută a sistemului neliniar în sectorul unghiular [0,k] există un larg spectru de drepte Popov. Într-o problemă în care se cere sectorul maxim de stabilitate, se duce dreapta Popov astfel încât intersecţia cu axa absciselor să fie cât mai aproape de origine [2]. [59]:
Aplicaţia 1. Considerăm că funcţia de transfer a părţii liniare a unui sistem automat este de forma
4 s(1 p) s 2 , (4.87) H(s) s 2 (1 s) unde p este un parametru, iar neliniaritatea este de tipul (4.76). Se cere să se determine pe baza criteriului Popov, dacă sistemul este absolut stabil. În transformată Fourier (3.87) devine:
4 j(1 p) 2 p , 2 (1 j) în care separând partea reală de partea imaginară devine: 4 2 3 p(1 2 ) , (4.88) H( j) 2 j (1 2 ) (1 2 ) iar caracteristica modificată de frecvenţă va fi de forma: 4 2 3 p(1 2 ) , (4.89) H ( j) 2 j (1 2 ) (1 2 ) şi este reprezentată în figura 4.31.a. pentru p 3 şi în figura 4.31.b. pentru p 3. H( j)
a)
Fig. 4.31.
b)
În fig. 4.31.a. dreapta Popov intersectează semiaxa reală negativă într-un punct (-1/K) foarte aproape de origine şi are o înclinare foarte redusă. În acest fel se poate aprecia că, la limită, când K tinde spre infinit, iar panta dreptei tinde spre zero (fără să atingă această valoare), sistemul este absolut stabil. În cazul p 3 (fig. 4.31.b.) nu se găseşte o astfel de dreaptă, deci sistemul este instabil. Aplicaţia 2. Se cere a se rezolva aceeaşi problemă ca la aplicaţia 1, funcţia de transfer a părţii liniare a sistemului fiind de forma [59]:
Hs
100(ps 2 1) , s(1 0,1s)(1 0,5s)
(4.90)
unde p este un parametru: p = -1; 0,1; 2. Făcând substituţia s = j, funcţia de transfer frecvenţială a expresiei (4.90) este:
H j
100(pω 2 1) , j1 0,1j1 0,5 j
(4.91)
care, după raţionalizare devine:
H(s) 60
1 pω 2 (1 pω 2 )(1 0,05ω 2 ) j100 , (1 0,01ω 2 )(1 0,25ω 2 ) ω(1 0,01ω 2 )(1 0,25ω 2 )
(4.92)
obţinându-se caracteristica modificată de frecvenţă:
H (s) 60 p=2.
1 pω 2 (1 pω 2 )(1 0,05ω 2 ) , j100 (1 0,01ω 2 )(1 0,25ω 2 ) (1 0,01ω 2 )(1 0,25ω 2 )
(4.93)
Funcţia (4.93) este reprezentată în figura 4.32.a. pentru p=-1 şi p=0, iar în figura 4.32.b. pentru p=1 şi
a)
b)
Fig. 4.32
Din figura 4.32 rezultă că indiferent de valoarea parametrului p, se poate trasa o dreaptă Popov, deci sistemul este absolut stabil. Aplicaţia 3. Partea liniară a unui sistem are funcţia de transfer[59]:
H(s) K
1 sT s 2 T 2 , s 2 (1 s 2 T 2 )
(4.94)
iar partea neliniară a sistemului îndeplineşte condiţiile impuse de criteriul Popov. Corespunzător expresiei (4.94), calculând răspunsul la frecvenţă şi după separarea părţii reale de partea imaginară, se obţine:
H j
K KT , j 2 ω ω(1 ω 2 T 2 )
(4.96)
K KT j , 2 ω 1 ω2T 2
(4.97)
iar caracteristica modificată de frecvenţă va
H j
şi este reprezentată în figura 4.33, din care se găseşte (nu se poate trasa) o dreaptă Popov semiaxa reală negativă astfel încât dreptei care cu conţine originea să nu conţină curbei H*(j). Sistemul este deci instabil.
fi:
constată că nu se care să taie semiplanul nici un punct al Fig. 4.33
Aplicaţii PROBLEME REZOLVATE PR. 3.1. Pentru SLN de ordinul 2 având schema de structură de forma:
se cere:
a) să se traseze locul rădăcinilor şi să se calculeze factorul de amortizare şi pulsaţia naturală a
sistemului neamortizat n ;
b) să se calculeze performanţele sistemului în baza locului rădăcinilor adoptând T1 0,01s, [1]. Rezolvare.
a) Funcţia de transfer a sistemului deschis se scrie sub forma:
H d s în care:
K
Kd Ys K , s sT1s 1 ss a
(3.17)
Kd 1 ,a , T1 T1
(3.18)
Funcţia de transfer a sistemului închis, cu reacţie unitară, este:
H 0 S
H d s Ys K 2 . R s 1 H d s s a s K
(3.19)
Ecuaţia caracteristică a sistemului închis, având în vedere relaţia (3.19), este: s 2 as K 0 , (3.20) iar rădăcinile acesteia (polii fdt a sistemului închis) sunt:
a a2 s1, 2 K . (3.21) 2 4 În relaţiile (3.20), a ct şi 0 K d , respectiv 0 K . Pentru K 0 , din (3.20), se obţin rădăcinile s1 0 şi s 2 a 1 / T1 , care sunt şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului deschis ss a 0 . Pentru K 0 se constată că polii fdt a sistemului închis sunt aceeaşi cu polii fdt a sistemului deschis. În planul complex, se trasează locul geometric al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, aferente sistemului închis, în funcţie de variaţia factorului total de amplificare a sistemului deschis K d , respectiv K . Acest loc geometric reprezintă locul rădăcinilor LR . Totdeauna LR are n ramuri distincte, n reprezentând gradul ecuaţiei caracteristice a sistemului. În cazul analizat n 2 . Ramurile LR pornesc din fiecare pol a sistemului deschis, care sunt aceeaşi cu polii sistemului închis pentru K 0 . În figura 3.6 polii fdt a sistemului deschis sunt prezentaţi cu buline.
Fig. 3.6 Dacă 0 K a / 4 , rădăcinile se vor deplasa pe axa reală, corespunzător săgeţilor de pe ramura LR dispusă pe această axă (fig. 3.6) şi pentru K K 1 a 2 / 4 cele două rădăcini s 1 , s 2 se suprapun într-o 2
rădăcină multiplă s 1 s 2 a / 2 . În continuare, cu creşterea lui K, K a 2 / 4 , rădăcinile s 1 , s 2 devin
complexe conjugate (cu partea reală negativă R e s 1, 2 a / 2 ct ) şi ramurile celor două traiectorii se desprind de axa reală şi tind spre , după o dreaptă paralelă cu axa imaginară (fig. 3.6). Din figura 3.6 se constată: LR este simetric în raport cu axa reală (este regulă generală); pe porţiunea axei reale, ce aparţine LR , între doi poli adiacenţi ai sistemului deschis există un punct de ramificare (de desprindere de pe axa reală), în cazul analizat, de coordonate K 1 ,0 ;
pentru orice valori K 0 , deci K d 0 , sistemul este stabil IMEM deoarece polii fdt a sistemului închis se găsesc poziţionaţi în C . SLN fiind de ordinul 2, fdt a sistemului închis poate fi scrisă sub forma:
H 0 s
2n Ys 2 , R s s 2 n s 2n
(3.22)
cu ecuaţia caracteristică:
s 2 2 n s 2n 0 .
(3.23)
n K K d / T1 ,
(3.24)
Identificând (3.23) cu (3.20) se obţine:
a a 1 . 2 n 2 K 2 K d T1
(3.25)
Din relaţiile (3.24) şi (3.25) rezultă că valoarea factorului de amortizare se micşorează cu creşterea lui K d 0 , iar pulsaţia naturală a sistemului neamortizat n creşte. b) Funcţia de transfer a sistemului deschis pentru T1 0,01s devine:
Kd Ys , s s0,01s 1 şi corespunzător fdt a sistemului închis este: H d s Kd Ys , H 0 s 2 R s 1 H d s 0,01s s K d H d s
sau [1]:
H 0 s
(3.26)
100 K d Ys . 2 R s s 100 s 100K d
(3.27)
Din relaţiile (3.24). (3.25) sau din (3.27) prin identificare cu (3.22), se obţine:
n K d / T1 100K d 10 K d ,
1 2 K d T1
1
2 Kd 10
5 Kd
(3.28)
.
(3.29)
Polii fdt a sistemului închis, conform cu (3.27), au expresiile:
s1
1 1 0,04 K d 0,02
, s2
1 1 0,04K d 0,02
,
(3.30)
iar polii fdt a sistemului deschis, conform cu (3.26), sunt:
1 (3.31) 100 , 0,01 şi sunt aceeaşi cu polii fdt a sistemului închis pentru K d 0 . Pentru trasarea LR se foloseşte tabelul 1 întocmit în baza relaţiilor (3.30). s1 0, s 2
Kd s1 s2
0 0 -100
10 -11,27 -88,73
20 -27,64 -72,36
25 -50 -50
Tabelul 1 50 100 -50 + j 50 -50 + j 86,60 -50-j 50 -50-j 86,60
Pentru valorile adoptate pentru K d , din tabelul 1, parametrii caracteristici ai SLN2, conform relaţiilor (3.28), (3.29), sunt redaţi în tabelul 2. Tabelul 2 Kd 10 20 25 50 100 1,58 1,12 1 0,707 0,50
n
31,62
44,72
50
70,71
100
LR este prezentat în figura 3.7.
Fig. 3.7 Din figura 3.7 rezultă: SLN2 este stabil IMEM pentru orice valori K d 0 ; pentru valori 0 K d 25 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice, aferente sistemului închis,
sunt reale negative şi simple, iar răspunsul sistemului este supraamortizat (tabelul 2). În acest caz 0 , iar eroarea staţionară este nulă, ST 0 , deoarece sistemul este de tipul 1 . Eroarea de viteză v (pentru intrare r t t ), de exemplu pentru K d 20 , este:
1 1 (3.32) 0,05 5% . K d 20 pentru K d 25 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale negative şi multiple n 50 , răspunsul sistemului este aperiodic critic. Factorul de amortizare 1 (tabelul 2). v
s
1, 2
Pentru o mărime de intrare treaptă unitară eroarea staţionară este nulă, ST 0 , iar pentru rampă unitară
r t t , eroarea de viteză are valoarea: 1 1 (3.33) v 0,04 4% . K d 25 Suprareglajul este nul 0 . pentru K d 50 se obţine răspunsul optim al SLN2, factorul de amortizat 0,707
(tabelul 2), eroarea staţionară la o mărime de intrare treaptă unitară, r t 1t , este nulă ST 0 , iar la o mărime de intrare rampă unitară, r t t , eroarea de viteză are valoarea:
v
1 1 0,02 2% . K d 50
(3.34)
Suprareglajul în acest caz are valoarea 0,043 4,3% [1].
pentru K d 100 rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă (tabelul 1), factorul de amortizare are valoarea 0,50 ; răspunsul este oscilant amortizat. Cu creşterea coeficientului K d 50 , factorul de amortizare scade (relaţia 3.29) şi caracterul oscilant al răspunsului este mai pronunţat. Parametrul n cu creşterea coeficientului K d creşte (relaţia 3.28). La o mărime de intrare rampă unitară, r t 1t , eroarea de viteză are valoarea:
v
1 1 0,01 1% , K d 100
iar suprareglajul are valoarea [1]: 0,16 16% .
(3.35) (3.36)
Se evidenţiază faptul că mărirea coeficientului total de amplificare al sistemului deschis, K d , influenţează în mod opus performanţele tranzitorii şi cele staţionare, conducând la înrăutăţirea (mărirea) suprareglajului şi la îmbunătăţirea (micşorarea) erorii permanente. PR.3.2. Pentru SLN deschis prin schema de structură:
se cere:
a) să se calculeze analitic şi să se traseze locul rădăcinilor LR . Să se interpreteze LR obţinut; b) să se calculeze şi să se traseze LR utilizând mediul matematic MATLAB. Rezolvare a) În expresia fdt a sistemului deschis:
H d s
K s 3 Ys 2d , (s) s s 2 s 2
(3.34)
gradul polinomului de la numitor este n 3 , iar a celui de la numărător este m 1 . Din ecuaţia caracteristică a sistemului deschis: (3.35) s s2 2s 2 0 ,
se obţin polii fdt H d s :
s1 0, s 2 1 j, s 3 1 j .
în care:
Din (3.34) rezultă că sistemul deschis are un zero: z 1 3 . Ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma: Ds a 3 s 3 a 2 s 2 a 1s a 0 0 ,
(3.36) (3.37) (3.38)
a 3 1, a 2 2, a 1 2 K d , a 0 3K d . (3.39) Se constată că punând în (3.38) K d 0 se obţine relaţia (3.35). În figura 3.8 sunt prezentaţi polii şi zeroul sistemului deschis. Pentru trasarea LR s-au utilizat proprietăţile geometrice ale acestuia, enunţate sub forma unor reguli.
Regula 1 LR are n 3 ramuri în lungul cărora 0 K d . Cele n 3 ramuri ale LR încep din polii fdt a sistemului deschis, deci din punctele în care K d 0 . Fiecare pol a sistemului deschis este un punct iniţial pentru o ramură a LR .
Fig. 3.8 Regula 2 Dacă numărul de zerouri ale sistemului deschis este m , atunci pentru K d , m ramuri ale
LR se termină în cele m zerouri finite, iar n m ramuri tind către punctul de la infinit. În cazul analizat, o ramură a LR începe din s1 0 şi se termină în zeroul z 1 3 , iar celelalte două ramuri pleacă din polii s 2 , s 3 ai sistemului deschis şi tind la infinit spre asimptotele corespunzătoare (fig. 3.8).
Regula 3 Asimptotele celor n m ramuri care, pentru K d , tind la infinit reprezintă drepte care sunt
toate concurente într-un punct de pe axa reală numit originea asimptotelor sau centrul LR . Abscisa centrului LR se calculează cu relaţia : m n 0 p i Z K n m , K 1 i 1 unde p i şi z K sunt polii şi zerourile sistemului deschis.
(3.40)
În cazul considerat:
n m 3 1 2
şi
p1 s1 0, p 2 s 2 1 j, p 3 s 3 1 j, z1 3 (relaţiile 3.36) şi (3.37)). Se obţine:
0 0 1 j 1 j 3 3 1 0,5 .
(3.41)
Regula 4 Unghiurile între asimptotele ramurile care tind la infinit şi axa reală se calculează cu relaţia:
2N 1 , N 0,1, 2,... (3.42) nm în care introducând n m 2 şi N 0,1 rezultă că cele două asimptote sunt înclinate faţă de axa abscisei cu unghiurile a 90 0 şi 2700 90 0 . În figura 3.8, în principiu, sunt trasate cele două asimptote, unghiurile corespunzătoare şi coordonate centrului LR . a
Regula 5 Pentru K d 0 , un segment de pe axa reală aparţine LR dacă în dreapta oricărui punct de pe acest segment diferenţa dintre numărul de poli şi zerouri este un număr impar. În cazul analizat, pentru orice punct
de pe segmentul care pleacă din s1 0 şi se încheie în z 1 3 , în dreapta punctului considerat se află un singur pol, deci segmentul este o ramură a LR (fig. 3.8) Regula 6 Pe porţiunile axei reale, care aparţin LR , cuprinse între doi poli adiacenţi sau două zerouri adiacente există un punct de ramificare. În cazul analizat, pe axa reală nu se găsesc doi poli şi nici două zerouri, deci nu are loc nici desprindere şi nici apropiere a unor ramuri faţă de axa reală. Regula 7 Unghiul x corespunzător tangentei dusă la ramura LR în polul complex (pentru K d 0 ) se calculează cu relaţia (unghiul de plecare a ramurii LR din polul complex):
xK
n m 180 Si zj , j1 i 1 ik 0
(3.43)
unde: xK este unghiul corespunzător tangentei dusă la ramura LR în polul complex de ordinul K , notat cu s K ;
n
si
i 1 ik
este suma algebrică a unghiurilor pe care le face segmentele de dreaptă, care unesc polii s i
cu polul s K ,cu axa reală; m
zj este suma algebrică a unghiurilor pe care le face segmentele de dreaptă, care unesc zerourile j1 z j şi polul s K , cu axa reală. În figura 3.9 se explică convenţia de semne, pentru unghiurile Si şi Zj , necesară determinării unghiului de plecare a ramurii LR din polul complex s 2 şi respectiv din polul complex s 3 .
Fig. 3.9 Corespunzător figurii 3.9.a, arctg Z1 1 / 2 0,5 şi Z1 28 0 iar din figura 3.9.b. rezultă că
Z1 280 .
Se calculează:
135
x 2 180 0 S1 S3 Z1 180 0 135 0 90 0 28 0 17 0 ,
x 3 180 S1 S 2 Z1 180 0
0
0
0
0
0
(3.44) 0
90 28 377 17 . Se constată, şi din aceste rezultate, simetria LR faţă de axa reală.
(3.45)
Regula 8 Punctele de intersecţie a LR cu axa imaginară (puncte critice) se pot determina apelând la un criteriu de stabilitate (Routh, Nurwitz sau Mihailov).
Se utilizează criteriul Routh. Corespunzător relaţiilor (3.38), (3.39) ecuaţia caracteristică a sistemului închis este de forma: (3.46) D s s 3 2s 2 2 K d s 3K d 0 . Se întocmeşte tabloul lui Routh: Nr. coloană
Nr. crt. 1.
a3 1
a1 2 K d
a5 0
2.
a2 2
a 0 3K d
a6 0
c 23 0
0
0
0
3.
4.
1
det c13
a1
a2
a0
a2 det
c14
a3
a2
a0
c13
c 23
c13
2 0,5K d
3K d
2
3
Se calculează amplificarea corespunzătoare punctelor de intersecţie a LR cu axa imaginară egalând cu zero coeficientul c 13 :
c13 2 0,5 K d 0, K d 4 .
(3.47)
Coordonatele punctelor de intersecţie a LR cu axa imaginară a planului complex se determină utilizând criteriul Mihailov. Se obţine expresia analitică a hodografului Mihailov făcând substituţia s j în polinomul caracteristic al sistemului închis Ds (relaţia (3.46)). Se obţine: în care:
Kd s1 s2
s3
D j j 3 2 2 j2 K d 3K d P jQ ,
(3.48)
(3.49) P 2 2 3K d , Q 2 K d 3 . Se obţin coordonatele punctelor de intersecţie a LR cu axa imaginară din ecuaţia: 3K d 3 4 (3.50) P 0; 2 2 3K d 0; 2 6, 2,45 . 2 2 Pentru trasarea LR (figura 3.10) se utilizează următorul tabel: 0,5 1,5 0 7 4 1,00 1,59 2,00 2,57 0 0,28 j 3,22 1 j 0,5 j1,118 0,22 j1,67 j 2,45
1 j
0,5 j1,118
0,22 j1,67
j 2,45
0,28 j 3,22
Fig. 3.10 Analizând LR din figura 3.10 se pot formula următoarele concluzii: SLN este de ordinul n 3 , iar m 1 ; LR are trei ramuri; sistemul în stare închisă, pentru K d 0 , are un pol real negativ S1 şi o pereche de poli
complecşi conjugaţi S 2 , S3 ;
cu creşterea coeficientului K d polul S1 se deplasează pe axa reală depărtându-se de
centrul sistemului de coordonate, deci în timp componenta răspunsului liber determinată de acest pol se va amortiza mai repede (în timp mai scurt); perechea de rădăcini (poli) complexe conjugate S 2 , S3 determină caracterul oscilant al
răspunsului. Cu creşterea amplificării, în domeniul 0 K d 4 , rădăcinile S 2 , S3 au partea reală negativă (sunt rădăcini stabile) şi se apropie de axa imaginară (axa limitei de stabilitate) imprimând răspunsului un caracter oscilant din ce în ce mai pronunţat. Pentru K d 4 , rădăcinile S 2 , S3 sunt poziţionate pe axa imaginară şi sistemul închis se află la limita de stabilitate. Pentru K d 4 sistemul închis este instabil deoarece rădăcinile S 2 , S3 au partea reală pozitivă (poziţionate în C );
este nulă ST
SA fiind de tipul 1 , la mărime de intrare treaptă unitară, r t 1t , eroarea staţionară 0 , pentru 0 K d 4 (pentru sistemul stabil IMEM);
la mărime de intrare rampă unitară r t t , eroarea permanentă este constantă şi scade cu creşterea amplificării K d , în limitele 0 K d 4 : 1 v ct Kd
pentru fiecare valoare 0 K d 4 b) Ecuaţia caracteristică a sistemului închis mai poate fi scrisă astfel:
1 H d s 1 K d
s3 0. s s 2s 2
2
(3.51)
Forma (3.51) este necesară pentru utilizarea funcţiei MATLAB „rlocus” destinată generării LR . Funcţia de transfer a sistemului deschis se scrie sub forma:
H d s
Ys bs Kd , bs s 3, a s s 3 2s 2 2s s a s
(3.52)
şi atunci relaţia (3.51) devine:
1 H d s 1 K d
bs a s
(3.53)
în care 0 K d . Din (3.53) sunt folosite polinoamele bs şi a s .
Se trasează LR utilizând funcţiile MATLAB „rlocus” şi „rlocfind”, cu următoarele secvenţe: %%Trasarea LR. %%Functia de transfer a sistemului deschis:Hd(s)=Kd(s+3)/s(s^2+2s+2) b=[1 3];a=[1 2 2 0]; figure(1) rlocus(b,a) axis([-4 1 -8 8]) figure(2) rlocus(b,a) rlocfind(b,a) Funcţia rlocus, pe lângă trasarea LR , permite ca pentru fiecare punct selectat, de pe ramura LR , să se afişeze în fereastra grafică următoarele mărimi: System: sys: Gain (amplificare K d ), Pole (valoarea polului) Damping (amortizarea), Overshoot [%] (suprareglajul), Frequency (rad/sec). În figura 11.a se prezintă LR obţinut cu funcţia rlocus. Polii din care pleacă ramurile LR K d 0 sunt redaţi prin cruciuliţe, iar zeroul cu cerculeţ. În figura 11.b se prezintă acelaşi LR , dar cu selectarea punctului (de pe ramura care pleacă din polul S 2 ) în care ramura LR intersectează axa imaginară, obţinându-se în fereastra grafică următoarele valori: System: sys Gain: 4; Pole: - 0,00367+2.4500 i; Damping: 0,0015; Overshoot (%): 99.5; Freqnency (rad/sec): 2.45 Valorile obţinute depind de precizia selectării punctului respectiv.
a)
b) Fig. 3.11 Valoarea suprareglajului % 99,5 corespunde valorii determinată cu relaţia aproximativă:
% 100 exp
1 2
, în care pentru 0,0015 se obţine % 99,5299
Funcţia rlocfind permite selectarea unui singur punct de pe ramurile LR şi se returnează, în fereastra de comandă, coordonatele punctului şi valoarea amplificării K d . pentru valoarea K d obţinută se marchează, cu cruciuliţă roşie, poziţia punctelor de pe toate ramurile LR . În figura 3.12 a fost selectat, pe ramura LR care pleacă din S 2 , un punct din dreapta axei imaginare (din C ). S-a returnat în fereastra de comandă următoarele valori: Select a point in the graphies window select - point = 0.1558 + 3.4037 i ans = 8.9141
Fig. 3.12 În figura 3.12, se constată că sunt marcate, cu cruciuliţă, punctele de pe toate ramurile LR corespunzătoare amplificării 8,9141. PR. 3.3. Pentru SRA descris prin schema de structură:
în care:
K Y s Ys 1 2 d , H 2 s r , s s s 2 s 2 Ys s 1 să se traseze LR , cu program în MATLAB, şi să se interpreteze aceste din punctul de vedere al H 1 s
performanţelor în raport cu răspunsul indicial. Rezolvare Funcţia de transfer a sistemului în stare deschisă este de forma:
H d s
Kd Yr s bs H 1 s H 2 s , n 4, m 0 , 2 s ss 1 s 2 s 2 a s
(3.54)
având polii:
s1 0, s 2 1, s 3 1 j, s 4 1 j
(3.55)
În relaţia (3.54), 0 K d . Funcţia de transfer a sistemului în circuit închis este:
H 0 s rlocus:
K d s 1 H 1 s P s Ys 1 2 R s 1 H 1 s H 2 s ss 1 s 2 s 2 K d P2 s
(3.56)
bs 0, a s
(3.57)
Ecuaţia caracteristica a sistemului închis se pune sub următoarea formă, necesară funcţiei MATLAB
P2 s 1 H1 s H 2 s 1 K d în care:
(3.58) bs 1, a s ss 1 s 2 2 s 2 SLN deschis neavând zerouri m 0 , cei doi poli reali s 1 , s 2 şi perechea de poli complecşi conjugaţi s 3 , s 4 , vor determina n 4 ramuri ale LR care tind spre infinit când K d . Cu următorul program MATLAB se trasează LR : %LR pentru SLN cu m=0 şi n=4 b=[1];a=conv([1 1 0],[1 2 2]); rlocus(b,a)
LR este prezentat în figura 3.13. Pe ramurile LR au fost selectate următoarele puncte (fig. 3.13):
Fig. 3.13 punctul A, care corespunde desprinderii ramurilor LR de pe axa reală, acest punct corespunde situaţiei când polii s 1 , s 2 sunt multipli; punctul B, care corespunde punctului critic în care ramura LR intersectează axa imaginară; puncutul C, care se află pe ramura LR ce se suprapune cu axa reală, în stânga punctului de desprindere a ramurilor LR . Pentru punctele selectate s-au obţinut următoarele valori: System: sys Punctul selectat A B C 0,326 2,230 0,202 Gain:
0.396 2,7 10 8 i
Pole:
1
Damping: Overshoot(%): Frequency(ras/sec):
Kd s1 s2 s3
0,00155 0,818 i 0,00189
0,746
101 0.818
0 0.746
0 0,396
0 0
0 ,5
1,5
1,00
1 j 1 j
1
7
1,59
4 2,00
2,57
0,5 j1,118
0,22 j1,67
j 2, 45
0,28 j 3,22
0,5 j1,118
0,22 j1,67
j 2,45
0,28 j 3,22
Analizând LR din figura 3.10 se pot formula următoarele concluzii:
LR are trei ramuri; sistemul în stare închisă, pentru K d 0 , are un pol real negativ s1 şi o pereche de poli
complecşi conjugaţi s 2 , s 3 ;
cu creşterea coeficientului K d polul s1 se deplasează pe axa reală depărtându-se de
centrul sistemului de coordonate, deci în timp componenta răspunsului liber determinată de acest pol se va amortiza mai repede (în timp mai scurt); pereche de rădăcini (poli) complexe conjugate s 2 , s 3 determină caracterul oscilant al răspunsului. Cu creşterea amplificării, în domeniul 0 K d 4 , rădăcinile s 2 , s 3 au partea reală negativă (sunt rădăcini stabile) şi se apropie de axa imaginară (axa limitei de stabilitate) imprimând răspunsului un caracter oscilant din ce în ce mai pronunţat. Pentru K d 4 , rădăcinile s 2 , s 3 sunt poziţionate pe axa imaginară şi
sistemul închis se află la limita de stabilitate. Pentru K d 4 sistemul închis este instabil deoarece rădăcinile s 2 , s 3 au partea reală pozitivă (poziţionate în C );
SA fiind de tipul 1 , la mărime de intrare treaptă unitară, rt 1t , eroarea staţionară este nulă ( ST 0 ) pentru 0 K d 4 (pentru sistemul stabil IMEM); la mărime de intrare rampă unitară rt t , eroarea permanentă scade cu creşterea amplificării K d ( 0 K d 4 ): 1 v ct Kd pentru fiecare valoare 0 K d 4
Fig. 3.10 b) Ecuaţia caracteristică a sistemului închis mai poate fi scrisă astfel:
1 H d s 1 K d
s3 0. s s 2s 2
2
(3.51)
Forma (3.51) este necesară pentru utilizarea funcţiei MATLAB „rlocus” destinată generării LR . Funcţia de transfer a sistemului deschis se scrie sub forma:
H d s
Ys bs Kd , bs s 3, a s s 3 2s 2 2s , s as
(3.52)
şi atunci relaţia (3.51) devine:
1 H d s 1 K d
bs , a s
(3.53)
în care 0 K d . Din (3.53) sunt folosite polinoamele bs şi a s . Se trasează LR utilizând funcţiile MATLAB „rlocus” şi „rlocfind”, cu următoarele secvenţe:
%%Trasarea LR. %%Functia de transfer a sistemului deschis:Hd(s)=Kd(s+3)/s(s^2+2s+2) b=[1 3];a=[1 2 2 0]; figure(1) rlocus(b,a) axis([-4 1 -8 8]) figure(2) rlocus(b,a) rlocfind(b,a) Funcţia rlocus, pe lângă trasarea LR , permite ca pentru fiecare punct selectat, de pe ramura LR , să se afişeze în fereastra grafică următoarele mărimi: System: sys: Gain (amplificarea K d ), Pole (valoarea polului), Damping (amortizarea), Overshoot [%] (suprareglajul), Frequency (rad/sec). În figura 11.a se prezintă LR obţinut cu funcţia rlocus. Polii din care pleacă ramurile LR K d 0 sunt redaţi prin cruciuliţe, iar zeroul cu cerculeţ. În figura 11.b se prezintă acelaşi LR , dar cu selectarea punctului (de pe ramura care pleacă din polul s 2 ) în care ramura LR intersectează axa imaginară, obţinându-se în fereastra grafică următoarele valori: System: sys Gain: 4; Pole: - 0,00367+2.4500 i; Damping: 0,0015; Overshoot (%): 99.5; Freqnency (rad/sec): 2.45 Valorile obţinute depind de precizia selectării punctului respectiv.
a)
b) Fig. 3.11 Valoarea suprareglajului % 99,5 corespunde valorii determinată cu relaţia aproximativă:
% 100 exp
1 2
, în care pentru 0,0015 se obţine % 99,5299 .
Funcţia rlocfind permite selectarea unui singur punct de pe ramurile LR şi se returnează, în fereastra de comandă, coordonatele punctului şi valoarea amplificării K d . Pentru valoarea K d obţinută se marchează, cu cruciuliţă roşie, poziţia punctelor de pe toate ramurile LR . În figura 3.12 a fost selectat, pe ramura LR care pleacă din s 2 , un punct din dreapta axei imaginare (din C ). S-a returnat în fereastra de comandă următoarele valori: Select a point in the graphies window
select - point = ans =
0.1558 + 3.4037 i
8.9141
Fig. 3.12 În figura 3.12, se constată că sunt marcate, cu cruciuliţă, punctele de pe toate ramurile LR corespunzătoare amplificării 8,9141.
PR. 3.3. Pentru SRA descris prin schema de structură:
în care:
K Y s Ys 1 2 , H 2 s r , s s s 2 s 2 Ys s 1 să se traseze LR , cu program în MATLAB, şi să se interpreteze acesta din punctul de vedere al H 1 s
performanţelor în raport cu răspunsul indicial. Rezolvare Funcţia de transfer a sistemului în stare deschisă este de forma:
H d s
Kd Yr s bs H 1 s H 2 s , n 4, m 0 , 2 s ss 1 s 2 s 2 a s
având polii:
s 1 0, s 2 1, s 3 1 j, s 4 1 j .
(3.54) (3.55)
În relaţia (3.54), 0 K d . Funcţia de transfer a sistemului în circuit închis este:
H 0 s
K d s 1 H 1 s P s Ys 1 . 2 R s 1 H 1 s H 2 s ss 1 s 2 s 2 K d P2 s
(3.56)
Ecuaţia caracteristica a sistemului închis se pune sub următoarea formă, necesară utilizării funcţiei MATLAB rlocus:
P2 s 1 H1 s H 2 s 1 K d în care:
bs 0, a s
(3.57)
(3.58) bs 1, a s ss 1 s 2 2 s 2 . SLN deschis neavând zerouri m 0 , cei doi poli reali s1 , s 2 şi perechea de poli complecşi conjugaţi s 3 , s 4 , vor determina n 4 ramuri ale LR care tind spre infinit când K d . Cu următorul program MATLAB se trasează LR :
%LR pentru SLN cu m=0 şi n=4 b=[1];a=conv([1 1 0],[1 2 2]); rlocus(b,a) LR este prezentat în figura 3.13. Pe ramurile LR au fost selectate următoarele puncte (fig. 3.13):
Fig. 3.13 punctul A, care corespunde desprinderii ramurilor LR de pe axa reală, acest punct corespunde situaţiei când polii s1 , s 2 sunt multipli; punctul B, care corespunde punctului critic în care ramura LR intersectează axa imaginară; puncutul C, care se află pe ramura LR ce se suprapune cu axa reală, în stânga punctului de desprindere a ramurilor LR . Pentru punctele selectate s-au obţinut următoarele valori: System: sys Punctul selectat A B C 0,326 2,230 0,202 Gain: Pole: Damping: Overshoot(%): Frequency (rad/sec)
0.396 2,7 10 8 i 1 0 0.396
0,00155 0,818 i 0,00189 101 0,818
0,746 1 0 0,746
Selectarea punctelor de pe ramura LR , care prezintă interes trebuie să se facă cu acurateţe astfel încât erorile comise prin selectare să fie neglijabile. Pentru valorile selectate K a 0,326; K b 2,230; K c 0,202 , cu următorul program în MATLAB s-au calculat şi reprezentat grafic răspunsurile indiciale:
figure(1) t=0:0.1:35; ka=0.326;numa=[ka ka];dena=[1 3 4 2 ka]; ysa=step(numa,dena,t); kc=0.202;numc=[kc kc];denc=[1 3 4 2 kc]; ysc=step(numc,denc,t); v=t;df1=(diff(v)./diff(t));td=t(2:length(t)); df2=0.95*df1; plot(t,ysa,'-k',t,ysc,'-k',td,df1,'-k',td,df2,'-k' ),grid axis([0 35 0 1.1]) title('Raspunsul indicial pentru Ka=0.326 si Kc=0.202') xlabel('t(s)'),ylabel('h(t)') text(6.0484,0.6867,'---------------Ka=0.326') text(16.4171,0.8572,'------------Kc=0.202') figure(2) t=0:0.1:35; kb=2.23;numb=[kb kb];denb=[1 3 4 2 kb]; ysb=step(numb,denb,t); plot(t,ysb,'-k'),grid title('Raspunsul indicial corespunzator punctului critic Kb=2.23') xlabel('t(s)'),ylabel('h(t)')
În figura 3.14 sunt prezentate răspunsurile indiciale asociate punctelor A şi C din figura 3.13, deci pentru K a 0,326 şi K b 0,202 , iar în figura 3.15 se prezintă răspunsul indicial corespunzător punctului B (SA la limită de stabilitate).
Fig. 3.14
Fig. 3.15
LR , din figura 3.13, poate fi interpretat astfel: conţine n 4 ramuri care pleacă din polii fdt a sistemului deschis şi acestea tind la infinit când K d (sistemul deschis nu conţine zerouri) polii s 3 , s 4 (fiind şi cei mai îndepărtat de axa imaginară) indiferent de valoarea 0 K d se găsesc poziţionaţi în semiplanul C din planul S al rădăcinilor (sunt poli stabili) şi nu
influenţează asupra stabilităţii sistemului închis; pentru K d 0 , polii s1 , s 2 definesc o ramură LR care se suprapune cu semiaxa reală
negativă. Cu creşterea lui K d aceşti poli se apropie unul de altul şi pentru K d 0,326 (punctul A) rezultă
s1 s 2 0,396 (poli multipli reali negativi). Pentru valori ale coeficientului total de amplificare a sistemului deschis 0 K d 0,326 , componentele răspunsului sistemului închis determinate de s1 , s 2 vor
avea un caracter aperiodic (fără oscilaţii); pentru K d 0,326 , se desprind de pe semiaxa reală negativă două ramuri ale LR , care tind la infinit, atunci când K d . Cele două ramuri intersectează axa imaginară în puncte, numite critice, care corespund limitei de stabilitate a sistemului închis. Polii s1 , s 2 în punctele de intersecţie cu axa
imaginară au valori pur imaginare. De exemplu, punctul B (figura 3.13) corespunde valorii K d 2,23 , iar valoarea polului este: 0.00 0.818 i . În punctul simetric de pe semiaxa imaginară vom avea:
0.00 0.818 i . Pentru ca sistemul în circuit închis să fie stabil IMEM se impune restricţia: 0 K d 2.23 , iar pentru K d 2,23 , polii s 1 , s 2 se găsesc poziţionaţi în C din planul complex s, sistemul fiind instabil.
Din figura 3.14, se constată că răspunsurile indiciale au caracter aperiodic, deci 0 , iar amortizarea 1 . Mai rezultă că durata regimului tranzitoriu este mai mică în cazul s1 s 2 0,396 , decât în cazul polilor simpli. Pentru răspunsul indicial al sistemului la limită de stabilitate (corespunzător punctului B) s-a determinat perioada oscilaţiilor (fig. 3.15) T 7,6613s , ceea ce corespunde frecvenţei
f 2 / T 0,8201rad / sec obţinută şi prin selectarea punctului B de pe ramura LR 3.3. Probleme propuse spre rezolvare PP. 3.1. Pentru SRA având schema de structură de forma:
în care:
H d s se cere:
Kd Y s s ss 1
a) să se traseze LR şi să determine factorul de amortizare şi pulsaţia naturală a sistemului
neamortizat n ; b) să se interpreteze LR obţinut. forma:
PP. 3.2. Pentru SRA, cu reacţie principală unitară, având funcţia de transfer a sistemului deschis de
H d s se cere:
Kd Y s s ss 1s 2
a) să se calculeze şi să se traseze LR ; b) să se interpreteze rezultatul obţinut. PP. 3.3. Pentru SRA având schema de structură de forma:
în care:
Kd Ys , s ss 3 s 2 2 s 2 K d s 2 Ys cazul 2: H d s s ss 3 s 2 2 s 2 cazul 1: H d s
se cere:
a) să se întocmească programul în MATLAB pentru trasarea LR în cele două cazuri; b) să se compare rezultatele obţinute evidenţiind influenţa zeroului din funcţia de transfer a sistemului deschis. PP.3.4. Pentru SRA, cu reacţie principală unitară, având funcţia de transfer de forma:
H d s
20 a K d Ys , s ss a s 2 4s 20
se cere:
a) să se traseze LR , cu program în MATLAB, pentru a 0.2, 4.0, 20.0 ; b) să se interpreteze rezultatele obţinute evidenţiind modificările determinate de valorile mici şi respectiv mari ale parametrului a. PP. 3.5. Pentru SRA având schema de structură de forma:
în care H 1 s este funcţia de transfer a elementului de corecţie serie, iar H 2 s are expresia:
H 2 s
1 , s s 2s 2
2
se cere întocmirea programului în MATLAB care să realizeze: a) pentru H 1 s K 1 1 , să se calculeze marginile de stabilitate şi să se traseze LR ; b) pentru H1 s K 1
s K , K 15, 0,01 , să se calculeze marginile de stabilitate şi să se s
traseze LR ; c) să se analizeze rezultatele obţinute.
PP. 3.6. Pentru SRA având schema de structură şi expresia funcţiei de transfer H 2 s din problema PP. 3.5, se cere să se întocmească programul în MATLAB care să realizez: a) pentru H 1 s K 1 s , K 1 1 , să se calculeze marginile de stabilitate şi să se traseze LR pentru cazurile 0; 2; 4; 3 . Să se analizeze rezultatele obţinute;
s , 2, n 3 , să se calculeze marginile de stabilitate şi să se traseze s n LR . Să se compare rezultatul obţinut cu cazul 2 de la punctul a. b) pentru H 1 s K 1
PP.3.7. Pentru SRA deschis prin schema de structură:
se cere să se întocmească programul în MATLAB care să realizeze: a) pentru K p 1, K d 1, K i 0 , să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial, să se calculeze marginile de stabilitate şi LR ; b) pentru K p 1, K d 1, K i 1 , să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul indicial, să se calculeze marginile de stabilitate şi LR ; c) să se analizeze, comparativ, rezultatele obţinute. PP. 3.8. Pentru SRA deschis prin schema de structură:
în care:
H d s se cere:
Y s Y s K s 1 1 ; H r s r s ss 2 Y s s 3
a) să se întocmească programul în MATLAB pentru trasarea LR ; b) să se interpreteze rezultatul obţinut.
