Fundamentos de lógica Es una rama de la matemática que se encarga de analizar la estructura de los valores de verdad de proposiciones dadas, llamadas premisas y de las conclusiones que de ellas se derivan. Proposición Es un enunciado o cláusula que se le pide asignar un valor de verdad (Verdadero (1) o Falso (0)). Cada proposición tiene un y solo un valor de verdad. De proposiciones simples (atómicas) obtenemos proposiciones compuestas (moleculares) mediante la aplicación de conectivas lógicas. Ejemplo: 𝑃: 17 es un número primo Simple s 𝑃 ∨ 𝑄, es una proposición compuesta. 𝑄: El hielo es caliente
Toda proposición simple cumple tres principios: 1. Identidad: Una proposición verdadera es siempre verdadera. 2. No contradicción: Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez. 3. Tercero excluido: Una proposición es verdadera o falsa. Conectivas lógicas Para analizar el comportamiento de una proposición compuesta se debe establecer el valor de verdad para cada conectiva lógica. Negación ¬𝑷 𝑃 ¬𝑃
Conjunción 𝑷 ∧ 𝑸 𝑷 𝑸
Disyunción 𝑷 ∨ 𝑸 𝑷 𝑸
Se lee: “No es cierto que P” “no P”
𝑷∧𝑸
𝑷∨𝑸
Se lee: “P y Q” “P y Q acciones al mismo tiempo”
Se lee: “P o Q” “con que una se cumpla como verdadera la expresión compuesta es verdadera.”
Disyunción exclusiva 𝑷 ∨ 𝑸 𝑷∨𝑸 𝑷 𝑸
Implicación 𝑷 ⇒ 𝑸 𝑷 𝑸
𝑷⇒𝑸
Doble implicación 𝑷 ⇔ 𝑸 𝑷 𝑸 𝑷⇔𝑸
Se lee: “P o Q, pero no ambos” “solo si se cumple una de las dos, pero no ambas, la expresión compuesta es verdadera.”
Se lee: “Basta P para que se dé Q”, “Si P entonces Q”, “P implica Q”, “Q solo si P”
Se lee: “P si y solo si Q”
Ejemplos: 1. Dadas las proposiciones: a. 𝑃: “Hay vida en la luna” b. 𝑄: “2+1=3” Valide las siguientes proposiciones compuestas: 𝑷 ∧ 𝑸, 𝑷 ∨ 𝑸, 𝑷 ⇒ 𝑸
2. Identifique las proposiciones simples y simbolice las siguientes proposiciones: a. 𝑆: Si hay elefantes en Marte y el fuego es frío, entonces 2+1=4. b. 𝑇: Hay elefantes en Marte, y si el fuego es frío entonces 2+1=4.
Tablas de verdad Ejemplo: 1. Construya una tabla de verdad para la proposición (¬𝑃 ∧ 𝑄) ⇒ (¬𝑄 ∨ 𝑃)
Conceptos básicos Proposición compuesta Su valor depende de los valores de sus proposiciones simples. Se clasifican en: 1. Tautología: es una proposición cuya tabla de verdad es siempre verdadera. 2. Contradicción: Es una proposición cuya tabla de verdad es siempre falsa. 3. Contingencia: Si no es Tautología ni contradicción. Nota: 1. “P implica tautológicamente a Q” significa que 𝑷 ⇒ 𝑸 es una tautología. 2. “P es tautológicamente equivalente a Q” significa que 𝑷 ⇔ 𝑸 es una tautología. Equivalencia lógica: dos proposiciones son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales. Si son tautológicamente equivalentes. Notación: 𝑃 ⇔ 𝑄 o bien 𝑃 ≡ 𝑄
Ejemplos: 1. Determine la tabla de verdad para la expresión y verifique si es una tautología, contingencia o contradicción: 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ ¬𝑃 ⇒ 𝑄
2. Determine si las proposiciones ¬𝑃 ∨ 𝑄 y (𝑃 ⇒ 𝑄) son lógicamente equivalentes.
3. Considere la siguiente proposición lógica 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) ∧ (𝑞′ ∧ 𝑟′)′ ⟹ 𝑝 Usando tablas de verdad clasifique la proposición compuesta anterior como una tautología, contradicción o contingencia.
Inferencia lógicas Es una relación entre premisas y una conclusión al razonamiento. En este apartado no vamos a demostrarlas, solamente usaremos tablas de verdad. Ejemplo: Represente cada enunciado usando para ello notación lógica. Identifique cada proposición simple y enuncie en forma de teorema la inferencia lógica dada. 1. Si Héctor y Felipe juegan al Futbol, entonces ni Héctor ni Felipe estudian.
2. Si Juan participa como jurado, entonces saldrá de viaje y deberá comprar un traje nuevo. Pero salió de viaje o compró un traje nuevo. Por lo tanto, Juan participa como jurado.
3. Si la enmienda no fue aprobada entonces la Constitución queda como estaba. Si la Constitución queda como estaba entonces no podemos añadir nuevos miembros al comité. O podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe se retrasará un mes. Pero el informe no se retrasará un mes. Por tanto, la enmienda fue aprobada.
4. Si Tomás tiene diecisiete años, entonces Tomás tiene la misma edad que Juana. Si Joaquín tiene distinta edad que Tomás, entonces Joaquín tiene distinta edad que Juana. Tomás tiene diecisiete años y Joaquín tiene la misma edad que Juana. Por tanto, Joaquín tiene la misma edad que Tomás y Tomás la misma que Juana.
5. Si el rey no se enroca y el peón avanza, entonces o el alfil queda bloqueado o la torre inmovilizada. Si el rey no se enroca, entonces, si el alfil queda bloqueado entonces el juego es tablas. O el rey se enroca o si la torre es inmovilizada se pierde el cambio. El rey no se enroca y el peón avanza. Por lo tanto, o el juego es tablas o se pierde el cambio.
Cuantificadores Predicado𝑷(𝒏) Es una proposición que depende de una o más variables, por ejemplo, se utiliza la expresión 𝑷(𝒏)para indicar que la proposición P depende de la variable 𝑛. Ejemplo: 1. Consideremos la proposición definida para 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ: 𝑷 𝒏 = 𝟐𝒏 + 𝟏 es un número impar Determine el valor de verdad para 𝑛 = 2, 𝑛 = 3 y 𝑛 = 10
Cuantificadores: Son frases que cuantifican la cantidad de elementos que satisfacen o no un predicado.
Cuantificador existencial (∃): “Existe un 𝑥 tal que 𝑃(𝑥)” se denota: ∃𝑥 / 𝑃(𝑥)
Cuantificador universal (∀): “Todo 𝑥 cumple 𝑃(𝑥)” se denota: ∀𝑥 / 𝑃(𝑥)
Ejemplo: Sea: 𝑈 = 𝑥 / 𝑥 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑓𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑜 y 𝑃(𝑥): Hablan francés. Escriba como se lee cada expresión dada: ∀𝑥 ∈ 𝑈 / 𝑃(𝑥): ___________________________________________ ∃𝑥 ∈ 𝑈 / 𝑃(𝑥): ___________________________________________
Negación de cuantificadores ¬ ∀𝑥 / 𝑃(𝑥) = ∃𝑥 ¬𝑃(𝑥) ¬ ∃𝑥 / 𝑃(𝑥) = ∀𝑥 ¬𝑃(𝑥)
Si el universo de discurso es finito y tiene 𝑛 predicados, entonces se puede construir una tabla para distribuir los valores de verdad. Ejemplo: 1. Suponga que se tiene un universo de discurso de 5 gatos llamados: Mini, Black, Soko, Balin y Terrón. Sólo los tres primeros son de pura raza. Mini y Soko sólo comen atún, Black y Balin sólo pollo, Terrón come pollo y atún, pero no toma leche, los otros sí. Excepto Black ninguno tiene collar. R(x): CP(x): TC(x): CA(x): TL(x): a. Construya una tabla de asignación de predicados
b. Valide las proposiciones ∃𝑥 𝐶𝐴(𝑥) ∧ 𝑇𝐶(𝑥) ∀𝑥 𝐶𝑃(𝑥) ∨ 𝑇𝐿(𝑥)
De examen:
Leyes de lógica
Esta leyes o equivalencias lógicas sirven para simplificar expresiones lógicas con sentido tautológico, y además son utilizadas para conjeturar nuevos resultados.
Ejemplos: 1. Use las propiedades lógicas para verificar la siguiente equivalencia: 𝑃 ∨ (𝑄 ∧ 𝑅) ∨ (𝑄 ′ ∧ 𝑅) ≡ (𝑃 ∨ 𝑅)
2. Use las propiedades lógicas para verificar la siguiente equivalencia: (𝑄 ′ ∨ 𝑃) ∧ (𝑃′ ∧ (𝑄 ∧ 𝑅)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅)
′ ′
≡ (𝑃′ ∧ 𝑄)
3. Use las propiedades lógicas para verificar la siguiente equivalencia: 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ 𝑃′ ∧ 𝑄
′
∨[ 𝑄∧ 𝑅∨𝑄
′
∧ (𝑃 ∨ 𝑄′)]
De examen:
Inducción Matemática En esta sección demostraremos que proposiciones de la forma 𝑃(𝑛) son siempre verdaderas ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Para ello utilizaremos el principio de inducción matemática que verifica dos condiciones 1. 𝑃(𝑛0 ) es verdadera (Paso base) 2. Si 𝑃 𝑛 es verdadera entonces 𝑃 𝑛 + 1 es verdadera
Hipótesis de inducción
Conclusión
Ejemplos: 1. Demuestre por inducción matemática para todos los valores 𝑛 ≥ 1, la expresión: 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1) 2
2. Pruebe ∀𝑛 ≥ 1 que: 1 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 5 + ⋯+ 𝑛 𝑛 + 2 =
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 7) 6
3. Pruebe ∀𝑛 ≥ 1 que: 2 + 5 + 8 + ⋯ + 3𝑛 − 1 =
𝑛(3𝑛 + 1) 2
4. Pruebe ∀𝑛 ≥ 1 que: 3 + 11 + ⋯ + 8𝑛 − 5 = 4𝑛2 − 𝑛
5. Pruebe ∀𝑛 ≥ 1 que: 1 + 9 + 25 + ⋯ + 2𝑛 − 1
2
=
𝑛 2𝑛 − 1 (2𝑛 + 1) 6
3. Pruebe que para 𝑛 𝜖 ℕ, la suma de todos los números impares menores que 2𝑛 es igual a 𝑛2
Notación Suma: 𝑛
𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑖=1
Ejemplo: 1. Demuestre que: 𝑛
𝑖2 = 𝑖=1
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6
2. Demuestre que: 𝑛
𝑛2 𝑛 + 1 𝑖 = 4
2
3
𝑖=1
3. Demuestre que: 𝑛
5𝑖 = 𝑖=1
5𝑛(𝑛 + 1) 2
4. Demuestre que: 𝑛
(4𝑖 − 3) = 𝑛(2𝑛 − 1) 𝑖=1
5. Demuestre que: 𝑛
2𝑖 = 𝑛(𝑛 + 1) 𝑖=1
Demostraciones de divisibilidad usando inducción 1.
Demuestre que todo número de la forma 32𝑛 +1 + 4 ∙ 23𝑛 es divisible por 7, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
2.
Demuestre que todo número de la forma 𝑛3 − 𝑛 es divisible por 3, ∀ 𝑛 ∈ ℤ+
3.
Demuestre que todo número de la forma 7𝑛 − 1 es divisible por 6, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
4.
Demuestre que todo número de la forma 23𝑛 − 1 es divisible por 7, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
5.
Pruebe que 4𝑛−1 + 15𝑛 − 16 es divisible por 9, ∀ 𝑛 ∈ ℕ con 𝑛 ≥ 1
6.
Pruebe que 𝑛3 − 4𝑛 + 6 es divisible 3, ∀ 𝑛 ∈ ℕ con 𝑛 ≥ 1
