ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
ALGEBRA LINEAL 2012 2012 MATRICES 1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas . El orden de una matriz también también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico
aij . Si
que ocupe la fila i y la columna j se escribe
el elemento genérico aparece entre
paréntesis también representa a toda la matriz: A = ( aij )
Por comodidad se escribirá =
A
=
:
ORDEN DE UNA MATRIZ
………..
………..
………..
:
:
:
………..
Columna
Indica el número de filas y el número de columnas que tiene. mxn número de filas numero de columnas Amxn
A Є Mmxn
Ejemplos:
Fila
D=
4 0
3 2
1 5
(
)
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: A=
aij a ij
(aij)mxn
posición columna posición fila
Ejemplo:
A=
-2 0 0
3 2 4
1 1 -3
=
:
a11= -2
………..
………..
………..
:
:
………..
:
a23=1
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados desde a1x1 hasta anxn.
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.
=
………..
………..
………..
:
:
:
………..
:
Los elementos de la diagonal de la l a matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
Ejercicios: Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:
A=
A=
CLASES DE MATRICES Tipo de matriz FILA
COLUMNA
RECTANGULAR
Definición Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo siendo su orden 1×n Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
Ejemplo
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas,
siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por
Aquella matriz matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal
Diagonal principal : son los elementos a 11 , a 22 , ..., a nn CUADRADA
Diagonal secundaria secundaria : son los elementos a ij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada notada por
Diagonal secundaria
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , a ij = a ji
ANTI SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -a ji Necesariamente a ii = 0 Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:
DIAGONAL
Sea la Matriz A= ssi:
(aij )mxn
ESCALAR
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir: Sea la Matriz I= (aij )mxn
I es matriz identidad identidad ssi:
Matriz triangular Superior
Sea la Matriz A= ssi: TRIANGULAR
(aij )mxn
Matriz triangular Inferior
Sea la Matriz A= ssi:
(aij )mxn
T. superior
Una matriz A es idempotente si:
IDEMPOTENTE
ORTOGONAL
NORMAL
INVOLUTIVA
NILPOTENTE
Nota: La identidad no es la única idempotente
T. inferior
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
√ √ √ √ ( )
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.
Es una matriz cuadrada ( tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir: A es involutiva involutiva si A x A = I Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si , ( r es el se verifica que el menor entero positivo )
A 2 = I
A es n i lp ot en t e d e orden 3,
1.2. OPERACIONES CON MATRICES
Suma de matrices
Si las matrices A= A = (a i j ) y B= (b i j ) tienen el mismo orden, la matriz suma es: A+ B = ( a i j + b i j ) . La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las matrices iníciales, o sea A y B.
Ejemplo:
Propiedades de la suma de matrices: Interna: La suma de dos matrices de orden ord en m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa: A + (B + C) = (A + B ) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz B= (b i j ) y un número real k R , se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · B=(k b ij ) Ejemplo:
Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A M mxn, a, b a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A M mxn , a, b 1·A=A A Mmxn
Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B .
M m x n x M n x p = M
mxp
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos .
Ejemplo:
Primer método de multiplicación de matrices:
Segundo método de multiplicación de matrices:
A*B =
3
1
2
3
0
3
7
3
6
Propiedades de la multiplicación de matrices: Asociativa:
A · (B · C) = (A · B ) · C Elemento neutro:
A · I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
1.3. ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE 1.3. ALGORITMOS An
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Calcular
An,
El método de demostración conocido como inducción matemática, se puede utilizar para demostrar que una cierta proposición p(n), que se refiere a los números naturales, es cierta para cada n. El método nos dice: 1.
Demuestra que P(1) existe
2.
Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta Así queda claro que P(n) es cierta
Para la matriz A empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A:
A estas potencias las escribimos de otro modo:
Demostramos por inducción que es verdad:
Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuación e cuación general:
1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo. 2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que también es cierta para n+1
Por lo tanto queda demostrado por inducción que:
Ejemplo:
Sea:
, encontrar Bn
Primero encontramos sus primeras potencias tales como:
HI) TI)
Demostración: B(k+1)=Bk *B1
BINOMIO DE NEWTON
Deducción de la fórmula del binomio de newton
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá per mitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener obte ner Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)
∑
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
Que también se puede escribir de forma abreviada así:
Tenemos:
PASOS PARA CALCULAR An 1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
0
0
3. Simplificar:
4. Sustituir matrices y operar:
Ejemplo: Encontrar con el binomio de newton A
n
0
1.
Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
3. Simplificar:
Tenemos:
4. Sustituir matrices y operar:
1.4. FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ
MATRIZ ESCALONADA POR FILA
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
En álgebra En álgebra lineal una matriz una matriz se dice que es escalonada o que está en forma escalonada si: 1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz. 2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que q ue todos los elementos debajo de un un pivote son cero).
Ejemplo: Las siguientes matrices son reducidas por fila:
Las siguientes matrices no son reducidas por fila:
MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS 1 0 0
0 1 0
-5 17 0
0 0 1
Si además se cumplen las siguientes siguientes condiciones de matriz escalonada y: y: 1. Sus pivotes son todos iguales a 1 2. En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna. Se dice que es escalonada reducida por filas. Ejemplo:
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA
Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
Notación:
Intercambiar de posición dos filas.
Notación:
Sumar a una fila y un múltiplo de otra.
Notación:
MATRICES SEMEJANTES Se dice que la matriz A es semejante o equivalente por filas de la matriz B si la matriz A se obtiene al realizar operaciones elementales de fila en la matriz B
Ejemplo 1:
A=
2 1 0
3 -3 2
=
F2
F2-3F1
F3
F3+5F1
1 3 -5
2 1 0
Ejemplo 2: 1 3 -5
3 -3 2
Las matrices semejantes comparten varias propiedades:
Rango
Determinante
La misma Traza
Los mismos valores propios
1.5 MATRIZ INVERSA Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible , no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1 A = I n Donde I n es la matriz la matriz identidad de orden n
PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
La inversa de una matriz, si existe, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas
cambiando el orden:
Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su
transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
Y, evidentemente:
CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSA Mediante las transformaciones elementales de filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra, que tenga en las n primero columnas la matriz identidad y en las n últimas columnas la matriz A -1 El método consiste, pues, en colocar juntas las matrices a invertir y la identidad en este orden.
|
A * A-1 =
Tenemos:
2.- DETERMINANTES 2.1 DEFINICION DE DETERMINANTE
||
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras no significan valor absoluto). Determinante de orden uno
|| Determinante de orden dos Dada
, se define como el determinante de A como:
Determinante de orden tres Dada
2.2.MÉTODOS 2.2. MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES
REGLA DE SARRUS Este método solo se utiliza para calculas determinantes de orden 3x3, donde lo que se realiza es aumentar filas hacia abajo o columnas a la derecha de la respectiva matriz inicial.
MÉTODO DE LA ESTRELLA
Los términos con signo + están formados por los elementos elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto .
Los términos con signo - están formados por los elementos elementos de la diagonal secundaria y secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. opuesto .
MENORES Y COFACTORES
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento a ij, que se indica con M ij se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésimo fila y la j-ésima columna de A.
Veamos un ejemplo para poder entenderlo mejor. Sea A la matriz:
Para hallar el menor del elemento el emento a 11 debemos quitar la fila 1 y la columna 1, entonces tenemos un el determinante de orden 2x2 que multiplicara al elemento a 11 y asi realizamos este mismo proceso con toda la fila o columna que tenga los menores términos o tenga ceros en su mejor caso. Debemos tener en cuenta los signos para cada menor que escogemos así si sumamos i+j y obtenemos un numero par es positivo e impar lo contrario. Del ejemplo anterior vamos a reducir la columna 1 ya que tiene los menores términos y llegaremos a obtener la siguiente expresión:
2.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANT DETERMINANTES ES 1. | A t |= |A| 2. |A|=0
Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos. nulos .
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
3. Un determinante triangular es triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. 8. |A·B| =|A|·|B|
2.4 OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA O COLUMNA EN UN DETERMINANTE
1. Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo el determinante queda multiplicado por dicho escalar.
2. Notación:
Intercambiar de posición dos filas o columnas el determinante queda multiplicado por -1. Notación:
3. Sumar a una fila o columna col umna y un múltiplo de otra el valor del determinante no
cambia. Notación:
Ejercicio:
Para que valores de λ el determinante es diferente de cero.
1. Usando el método de Sarrus
2. Usando la propiedad tres de los determinantes Ejemplo 1:
=
Ejemplo 2:
2.5 DETERMINANTE DE VANDERMONDE Un determinante de Vandermonde es un determinante que presenta una progresión geométrica en cada fila o en cada c olumna, siendo el primer elemento 1. Ejemplo 1:
Ejemplo 2: 1
1
1
a
b
c
a
2
(b
b 2
a)(c
c2
a)(c
1
1
0
b - a
0
b 2 - ab
1
b
c-a c2
ac
b(b
a
c
a) c(c
1
1
b
c
a
a)
(b
a)(c
a)
b)
2.6 MÉTODO DEL ACUMULADOR Este método consiste en sumar todos los elementos de todas las filas y columnas en una sola, si y solo si los elementos de las demás filas o columnas suman lo mismo. Ejemplos:
=
∑
2.7 CALCULO DE LA INVERSA POR DETERMINANTES
| | | | | |
Ejemplo: Sea:
1
2
Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto adjunto..
( )
3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta .
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la
matriz traspuesta de la adjunta.
Ejemplo: Calcular la inversa de A
Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto
( ) Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta
La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
3.- DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a lineal a aquella que tiene la l a forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede
observarse en la figura: Representacin Represen tacin grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el
espacio UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales a ij se denominan coeficientes y los se denominan incógnitas (o números a determinar) y b j se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Cualquier sistema de ecuaciones lineales lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
) () ( |
m m
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:
se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B) SISTEMAS EQUIVALENTES
1 2 1 -1
1 -1 -3 -3
-1 1 -1 1
X Y Z
=
2 1 0 0
Los sistemas equivalentes, se aplican a sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones y que resultan de aplicar sobre la matriz original operaciones elementales de fila
1 2 1 -1
1 -1 -3 -3
-1 1 -1 1
2 1 0 0
CLSIFICACION CLSIFICAC ION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Sistemas homogéneos (2 (2 tipos de soluciones) soluciones ) La solución trivial, es decir, cuando las incógnitas valen cero cada una. Infinitas soluciones, cuando algunas de las incógnitas quedan en función de otras y valen cero.
Sistemas no homogéneos (3 (3 tipos de soluciones) soluciones) Única solución, cuando para todas las incógnitas del sistema existe con un solo valor real. Infinitas soluciones, cuando algunas de las incógnitas están en función de otras y tienen un valor real. No existe solución, cuando los valores de las incógnitas no existen. En sistema
a)
No homogéne homogéneo o
Homogéneo
Si
Si (Trivial)
b)
c)
Si
Si
Si
No
3.2 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Gauss El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o triangular o en cascada de la forma:
Ax + By By + Cz Cz = D Ey + Fz Fz = G Hz = I Ejemplo:
Realizamos operaciones de fila
La ultima matriz esta en forma escalonada por filas, (método de gauss), lo cual significa que:
.
Método de Gauss-Jordan Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen. El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.
Se normaliza el primer renglón dividiendo di vidiendo entre 3 para obtener:
El término X 1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X 1 del tercer renglón.
En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:
Reduciendo los términos en X 2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:
El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:
Finalmente, los términos con X 3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:
Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución. Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.
Método de Cramer La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: -El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas . -El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero . Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer .
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Y sean: Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 ... , Δ
n
Los determinantes que se obtiene al s ustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente. U n sistema de Cramer tiene Cramer tiene u n a sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:
CRITERIO PARA HALLAR SOLUCIONES Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordán
Tiene solución única si el número de ecuaciones validas es igual al número de incógnitas. Tiene infinitas soluciones si el número de ecuaciones validas es menor al número de incógnitas. No tiene solución si el número de filas no nulas de la l a matriz ampliada y el de la matriz de coeficientes son diferentes. Aplicamos Gauss – Jordán
Como se escriben las infinitas soluciones Ejemplo:
Resolución por Gauss- Jordan
| | {
Ejercicios tipo examen: Determinar para que valores de a) b) c)
existe:
Determinar los valores de “a” para que el sistema
a) Tenga solución única. Hallarlas b) Tenga ms de una solución. Hallarlas c) No tenga soluciones
| |
| | | | | | | | ⁄ +2 +2
+2 +2
2
C.S.=
⁄
C.S.=
Determinar los valores de “m” para que el sig uiente sistema
a) Tenga solución única. Hallarlas
b) Tenga más de una solución. Hallarlas c) No tenga soluciones
| | | | | | | | | |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ C.S.= C.S.=
C.S.= C.S.=
4.1. DEFINICIÓN DE ESPACIOS Y SUB ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre vectorial sobre un cuerpo operaciones:
, es un conjunto
(
Conjunto no vacio de vectores Ov
,
, + , .)
Operación Operación Externa Interna (SUMA (PRODUCTO DE DE VECTORES) UN VECTOR por un ESCALAR)
Recordemos que la forma de representar a un vector es:
V=
Condiciones Genérico o restricciones
no vacío, dotado de dos
OPERACIÓN INTERNA
OPERACIÓN EXTERNA
Suma de Vectores
Multiplicación de un escalar por un Vector
=3
Espacios Vectoriales Comunes
(V,K,+,*)
GENÉRICO a + bx
( a, b )
( a, b , c )
EJEMPLO 3-x
0 + 0x
( 2 ,5)
( 0, 0 )
( 4 , -6 , 2 )
( 0, 0 , 0 )
Un espacio vectorial (V), definido sobre un cuerpo k (en general ; sobre el que hay definidas dos operaciones:
1. Suma:
Verificando las siguientes propiedades:
(a) Conmutativa: (b) Asociativa:
.
) es un conjunto
(c) Elemento neutro (d) Elemento opuesto:
2. Producto por un escalar:
Verificando las siguientes propiedades: (a) (b) (c) (d)
Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales.
SUBESPACIO VECTORIAL
Se llama subespacio vectorial (S) de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vacío, tal que que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V.
Caracterización de subespacios vectoriales Si V es un espacio vectorial
, entonces:
CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA UN ESPACIO VECTORIAL a)
b)
c)
Ejemplo: Demostrar si W es subespacio vectorial: a)
1.
2.
b)
1.
COMBINACIÓN LINEAL
Sea , un conjunto de vectores de un e.v. V, un vector u de V es una combinación lineal de lineal de los vectores de B, sí se puede escribir lo siguiente:
Ejemplo1:
¿
Es combinación lineal de Es
?
Ejemplo2: ¿
Es combinación lineal de Es
?
Ejemplo3:
¿
Es combinación lineal de Es
CAPSULA LINEAL ( Gráficamente se lo representa así:
?
〈〉
)
〈〉
Sea , un conjunto de vectores de un e.v. V. El conjunto S genera a V, o V es generado por S, si todo vector u es de V una combinación lineal de los vectores de S, es decir:
PASOS PARA OBTENER UNA CAPSULA LINEAL ALGÚN CONJUNTO S
〈〉 〈〉
Ejemplo: Encontrar la capsula de 1. Escribimos la definición:
2. Escribimos la formula genéricamente
3. Obtenemos un sistema de ecuaciones
4. Expresamos matricialmente la expresión anterior
5. Aplicamos Gauss-Jordán para encontrar la restricción en este caso
6. Como tenemos que no existe solución obtenemos la siguiente capsula
〈〉 〈〉
CONJUNTO GENERADOR S genera a W, donde S es el conjunto generador PASOS PARA HALLAR S QUE GENERA A W
1. 2. 3. 4. 5. 6. Ejemplo 1:
Hallar las restricciones Remplazar las restricciones Contar el numero de variables Descomponer el vector de acuerdo al números de variables Extraer los escalares Escribir el conjunto generador
} } }
〈〉 Ejemplo 2:
〈〉 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL En álgebra En álgebra lineal, un lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si dependiente si alguno de los l os vectores puede ser escrito con una combinación una combinación lineal de los restantes. Un conjunto es LI si ninguno de sus vectores es combinación lineal de los otros. Un conjunto es LD si alguno de sus vectores es combinación lineal de los otros.
PASOS PARA PROBAR SI ES L.I. O L.D. 1. Se tiene que hacer la combinación lineal nula.
2. Obtener el sistema homogéneo
3. Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo por Gauss o Gauss-Jordán
Ejemplo 1: Verificar si S es LD
| | Ejemplo 2: Verificar si S es LI
| | BASE
Sea (V, k, +,*)un e.v y S es base de V si:
a) b)
S es L.I. S genera Av
PASOS PARA HALLAR UNA BASE a) b)
Hallar el conjunto generador Probar que es L.I.
DIMENSIÓN DE V DEFINICIÓN: es el número de vectores de S EJEMPLO: Encontrar una base del s.e.v W. a) Hallar el conjunto generador
〈 〉 b) Probar que S es L.I.
EJEMPLO: Encontrar una base del s.e.v W.
Hallar el conjunto generado
〈〉 | |
Probar que S es L.I.
Teorema 11(libro de trabajo) Dim (V)= n =# de vectores de S S es la base de V si tiene n vectores LI Teorema 12(libro de trabajo) Dim (V)= n =# de vectores de S S es la base de V si tiene n vectores que generan a V Teorema: Para que sea base debe cumplir 2 de las tres condiciones:
Ejemplo:
Demostrar que S es una base de W:
| | Dim(R3)= 3 =# de vectores de S S genera a W
〈 〉
〈 〉
Encontrar la dimensión de S con W:
Dim(
)= 2 =# de vectores de S
Teorema Dim (s.e.v) = dim (e.v) - # restricciones Dim(W) = Dim(V) - # restricciones Ejemplos:
COMO COMPLETAR UNA BASE Ejemplo: Completar la base base S para llegar al e.v V=R3.
〈〉
1. Tenemos la base S pero podemos observar que para que se cumpla que sea base de R 3 tienen que haber tres vectores en la base, por lo que aumentamos un vector a la base S que no cumpla la restricción y lo ponemos seguido a los l os que ya teníamos.
El vector
no cumple que y=x+z
2. Ahora tenemos que es de dimensión tres por lo tanto tenemos la primera condición para que sea base de R 3.
Dim(S’)=3
3. Ahora demostramos si es LI para completar una base de R 3.
| |
5. Producto interno 5.1
DEFINICIÓN DE PRODUCTO INTERNO
⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄⁄⁄ ⁄ ⁄
El producto interno, en un e.v. V, es una función que se le asigna a cada par ordenado de vectores elementos de V, un número real: , que satisface las siguientes propiedades:
ç
OBSERVACIONES:
El producto interno puede ser real o complejo, pero puede nos va a dar un número real.
5.2
siempre
PRODUCTOS INTERNOS COMUNES O USUALES
⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ 1. En el
Ejemplo 1: Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que pertenecen a :
2. En el
Ejemplo 1:
⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que pertenecen a :
3. En el
4. En el
5. En el
Ejemplo 1: Encontrar pertenecen a
-2 1
, de los dos vectores dados u,v que
:
3 -1
1 -2 -8 -1
⁄ -2
0 1 3 -1
1
1 0
-2 1
3 -8 3
-1 3 -1
⁄ -2 1
3 -1
-2 3 13
1 -1 2
⁄ 1 0
-2 1
En general:
1 -2 5
0 1 1
⁄ ⁄
5.3
VECTORES ORTOGONALES
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ). 1. Sean son ortogonales ssi: . 2. Si , entonces S se dice di ce ortogonal si todo par de elementos distintos de S son ortogonales
OBSERVACIONES
El Ov es ortogonal a cualquier vector pues
⁄
⁄
.
S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto ortogonal Al comprobar si todos los productos productos internos son son cero entre los vectores de S, para tener un S conjunto de vectores ortogonales Si un conjunto es ortogonal entonces es LI Si es es ortogonal, si a cada vector le multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser ortogonal.
Ejemplo 1:
⁄
Dados los vectores
que son ortogonales obtener un tercer que
vector “w” ortogonal a “u” y “v”.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector
Ejemplo 2:
⁄
Dados los vectores
que son ortogonales obtener un tercer que
vector “w” ortogonal a “u” y “v”.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector
5.4
NORMA DE UN VECTOR La longitud, norma o modulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto interno del mism vector. Es decir:
‖‖ ⁄
Observaciones: Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ).
Ejemplo 1:
‖‖‖‖|| ‖‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖
llamamos desigualdad triangular
Calcular la norma de los siguientes vectores:
a)
b)
c)
⁄ ‖ ‖ √ ⁄ ‖‖ √
⁄ ⁄ ⁄ ‖‖ ⁄ √ 5.5
Base ortogonal
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ) y S un sub espacio vectorial de V. Es una base ortogonal si:
5.6
Sea S base de V Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos sus vectores ortogonales entre si. Sea LI
Base ortonormal
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ). Es una base otonomal si:
5.7
Si en el conjunto ortogonal se llega a comprobar que la norma de cada uno de los vectores es igual a cero
PROCESO DE GRAM-SCHMID
Para todo espacio vectorial (V) con producto interno se puede obtener una base que sea ORTOGONAL y una base , que sea ORTONORMAL. Utilizando el proceso de GramSchmidt. CÁLCULO DE Para calcular una base base un e.v. o un s.e.v.
, BASE ORTOGONAL
que sea ORTOGONAL, es necesario partir de una base B en
⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄⁄
Sí, es una base de un e.v V, se puede calcular es de la siguiente manera: Sea,
una base ortogonal,
la la base Ortogonal buscada, entonces procedemos así:
De esta manera se continúa hasta completar la base
Ortogonal.
CÁLCULO DE
, BASE ORTONORMAL
‖‖ ‖‖ ‖‖ 〈〉 ⁄ ⁄ ⁄⁄
Para calcular la base
Ortonormal, partimos de la base
Ortogonal
Sea,
la la base Ortonormal buscada, entonces procedemos así:
Ejemplo 1: Encontrar una base B 1 ortogonal del sub espacio vectorial W.
Primero encontramos una base de W
Tenemos S de la forma:
Ahora aplicamos el proceso de Gram-Schmid, para encontrar una base
Ejemplo 2: A partir de la base B obtener una base ortogonal
Hacemos el proceso de Gram- Schmid para encontrar una base
⁄⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄⁄⁄ ⁄
Ejemplo 3: A partir de la base B obtener una base ortogonal
⁄⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄⁄⁄ ⁄ ⁄⁄ Cambiamos el orden de los vectores de la base original
Hacemos el proceso de Gram- Schmid para encontrar una base
Propiedades:
⁄⁄⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ‖ ‖
Tenemos:
5.8 PRODUCTO INTERNO INUSUAL El producto interno inusual está dado por la siguiente expresión:
Ejemplo
√ √ 6.- APLICACIONES LINEALES
x
2
1 y=f(x)
Sean V y dos espacios vectoriales una aplicación aplicación lineal u homomorfismo si:
se llama
Estas dos son condiciones semejantes
PROPIEDADES Si
es una aplicación lineal, si cumple:
1. 2.
3. sub espacio vectorial de V 4. T es sub espacio vectorial de V
u Ejemplo:
4
es sub espacio vectorial de es sub espacio vectorial de
f(u)=w
3
a)
( )
+(
6.1.- NÚCLEO E IMAGEN
Si
es una aplicación lineal se llama imagen al sub espacio vectorial y núcleo al sub espacio vectorial y .
Así,
⁄ }} ⁄ } } Sea
}} una aplicación aplicación lineal:
1. Se llama NÚCLEO de una aplicación lineal al al conjunto de vectores tales que
V
W
V1
W1
0v
0w
0v V2
W2
V2 V3
W3
V3 V4
W4
Ejemplos Sea la aplicación lineal
⁄ ⁄ ⁄⁄
⁄ ⁄ ⁄ Sea
Reemplazamos a y b en el núcleo:
Reemplazamos x,y,z en el núcleo y tenemos:
2. Se llama
V
⁄
IMAGEN de o recorrido de :
W Ow
V1 0v v1 V2 v2
W1 W2 W3
V3
Imagen
W5
W4
V4
Sea
⁄ } ⁄ ⁄ Ejercicios de aplicación Sea la función
⁄ } ⁄
a) Hallar la imagen de b) Hallar el núcleo de
Sea
una
transformación
es es una base de
a) Hallar la imagen de b) Hallar el núcleo de
lineal
tal que:
y
6.2.- APLICACIÓN LINEALES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS Sean
Entonces: 1. 2. 3.
Sea
espacios vectoriales sobre un cuerpo K y
una transformación lineal
⁄ }
⁄ ⁄ ⁄ 6.3.-TEOREMA DE LA DIMENCION
Si
es una aplicación lineal de una e.v. V de dim(V)=n en un e.v. W de dim(W)=m, entonces: Dim(V) =Dim(Nf) +Dim(Imgf)
TEOREMA: Si
es una aplicación lineal de una e.v. V de dim(V)=n en un e.v. W de dim(W)=N, entonces: a) si f es inyectiva, inyectiva, entonces f también es sobreyectiva sobreyectiva b) si fi es sobreyectiva, entonces f también es inyectiva
Ejemplo:
Ejemplo:
Sea
6.4.- APLICACIÓN LINEAL INVERSA
Para que exista la aplicación lineal inversa ( , entonces la aplicación lineal f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser inyectiva y sobreyectiva.
u
6
f(u)=w
5
Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa
1. primero demostramos si es inyectiva inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el nucleo o la imagen de la aplicación lineal.
2. Demostramos que es biyectiva 3. A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la esca lonamos y reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa
Ejercicio:
8 (a,b)
x+yt
7
1. primero demostramos si es inyectiva inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el nucleo o la imagen de la aplicación lineal.
⁄ ⁄ } ⁄
⁄
2. Demostramos que es biyectiva
3. A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la esca lonamos y reducimos con
estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa
Determinar:
a) Si es Inyectiva b) Si f es Sobreyectiva c) Si f es Biyectiva a) Por definición:
Teorema de la Dimensión:
a) Como:
b) Como: c) Por
6.5. VECTOR DE COORDENADAS
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base para cada v V existen escalares únicos tales que:
6.6. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE
, ,
El vector en V cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como , se llaman coordenadas de un vector respecto a una base o vector coordenado de v con respecto a B: Sea
llegamos a encontrar las coordenadas del vector v de llegamos
la base dada y se escribe de la siguiente forma:
( )
Ejemplo:
Sea la base
y y
encontrar
Sea la base encontrar
y y
,
Sea la base canoníca , encontrar
y y
6.7.- BASES CANONÍCAS Todas las bases canonícas son: a) Ortogonales b) orto normales Esta base tiene siempre que cumplir: a) LI b) Genera a e.v. c) Dim(B) = Dim(e.v.)
ESPACIO VECTORIAL
BASE CANONÍCA
Ejemplos: Dado el vector u encontrar las coordenadas del mismo respecto a una base canoníca.
6.8.- MATRIZ ASOCIADA A UN APLICACIÓN LINEAL
v
B1
Definición:
f(v)
1
B2
9
Si la base es canoníca:
Ejemplo:
v
S
1
g(v)
11
B
PROCESO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ ASOCIADA
Sea:
, , donde B1 es una base del espacio
vectorial de salida, y
es el primer vector de la base del espacio
vectorial de salida .
, , donde B2 es una base del espacio
vectorial de llegada, y vectorial de llegada.
es el primer vector de la base del espacio esp acio
1) Sacar las imágenes de los vectores de la base del espacio vectorial de salida
2) Expreso como combinación lineal las imágenes imágenes de los vectores del espacio vectorial de salida con todos los vectores de la base del espacio vectorial de llegada
combinaciones 3) Una vez encontrados los escalares de las combinaciones lineales escribimos las matrices asociadas de cada vector
4)Escribimos 4) Escribimos toda la matriz asociada a todos los vectores de la base de salida
(Podemos darnos cuenta de que qu e orden va a ser esta matriz asosiada solo observando la aplicación lineal en este caso va a ser del orden 3x2)
6.9.- MATRIZ CAMBIO DE BASE Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, Dim V= n
̅
Sea
dos bases ordenadas de V para dos
determinar la relación entre las coordenadas de un vector
f
L (v,v) / f (v)=V es decir f=Id
v B
1
f(v) S
1
respecto a las dos bases
EJEMPLOS:
=?
(-2,1) (1,2) 1 0
0 1
-2 1
-2 1
1 2
1 2
6.10.- MATRIZ MATRIZ ASOCIADA A LA APLICACIÓN LINEAL COMPUESTA
v
B1
1
f(v)=w
1
f(w)=z
1
B3
gof
PA
La matriz asociada a gof, existe y cumple que
6.11.- MATRIZ ASOCIADA A UNA 6.11.APLICACIÓN LINEAL INVERSA
v
B1
2
f(v)
1
B2
Id
v B1
1
[ ]
7.- VALORES Y VECTORES PROPIOS CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS
Los correspondientes vectores propios se obtienen por sustitución de los valores de λ en la ecuación: (A-λ )= )= 0 De esta ecuación resulta un sistema de ecuaciones homogéneo el mismo que se resuelve por el método de Gauss Jordán. La solución que se obtiene de este sistema es infinita, la misma que se reemplaza en la siguiente ecuación, para el cálculo del e.v. de todos los vectores propios asociados al valor propio así:
| |
Ejemplo:
Sea A=
, calcular los valores propios y vectores propios de esta matriz.
= =
= (λ-1)(λ-2)( λ-3)=0
Donde los valores propios son: ; y Para calcular los vectores propios procedemos de la siguiente manera:
Si
≈
≈
≈
> >
es un vector propio asociado al valor propio
Si
≈
≈
≈
≈
> >
es un vector propio asociado al valor propio
Si
≈
≈
≈
> >
es un vector propio asociado al valor propio
≈
Ejemplo: Calcular Calcular los vectores propios para la matriz
Primero se calculan los valores propios:
Con lo cual obtenemos dos valores propios: Buscamos ahora los correspondientes correspondientes vectores propios: Para
Para
