INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CINTALAPA
CUADERNILLO DE EJERCICIOS INGENIERÍA CIVIL 5° M SEPTIEMBRE DEL 2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CINTALAPA INGENIERÍA CIVIL 5° M MECANICA DE MATERIALES ING. CARLOS ELMER CRUZ SALAZAR CUADERNILLO DE EJERCICIOS ELABORADO POR: JANETH GUADALUPE ZACARIAS LOPEZ PAOLA JANETH JIMENEZ MOLINA KLEYDY GUADALUPE OCHOA LEY DORELY RAMIREZ MARTINEZ ELMER CRUZ LOPEZ MANUEL CRUZ GOMEZ DANIEL CHACON MORALES SERGIO IVAN LOPEZ LOPEZ JUAN JOSE HERNANDEZ LOPEZ CESAR ANTONIO MANGA MEDINA
U N I
D A D
2
Esfuerzo y deformación normal
Competencia Competencia específica a desarrollar: Determinar los esfuerzos normales y la deformación deformación lineal en barras. Determinar elementos mecánicos por fuerza cortante y momento flexionante y elaborar sus diagramas.
1.- La probeta que se muestra mue stra en la figura está compuesta por una varilla cilíndrica de acero de 1in de diámetro y por p or dos soportes de 1.5in de diámetro exterior unidos un idos a la varilla. Si se sabe que E=29 psi,
×10ˆ6
Determine: a) La carga P tal que la la deformación total sea de 0.002in. b) La deformación correspondiente de la porción central BC.
DATOS
/
Psi = Ksi = 1000 psi E = 29 E6 psi = 29 E6
/
] ] 0.002 in = [ [ 2 ] 0.002 in = b/ . . 0.002 in = [
a) P = 7,316.03
/
P = 7.316 Kips b)
. / BC = . BC= 9.58 −
2.- Para la armadura de acero (E =200 GPa) y la carga mostrada en la figura, Determine: a) Las deformaciones de de los elementos AB y AD, si se sabe que sus sus respectivas áreas de sección transversal son de 2,400 mm2 y 1,800 mm2 .
DATOS E = 200 GPa A = 2,400 mm2 y 1,800 mm 2
− . = 32° ∑ = 0; 114 KN – AB sen 32° = 0 AB = 215.12 KN AB =
AB
NODO (A) 32°
∑ = 0; - AB cos 32° + AD = 0 AD = AB cos 32 AD = 215.12 KN cos 32 AD = 182.43 KN
AB=
= . .
AB=
2.11
= . =
AD=
2.03
114 KN
. = = .. /
−m
AD
AD
−m
. = − /
=
3.- Para la armadura de acero (E=29x106 psi) y las cargas mostradas en la figura. Determine: a) Las deformaciones de los elementos elementos BD y DE, si se sabe que sus sus respectivas áreas de sección transversal son de 2 in² y 3 in².
ƩME = 0; - (30*16) - (30*8) + FBD*15 = 0
FBD = 48 Kips ƩFx = 0; 60 - F DE = 0
FDE = 60 Kips
p ft ² p ³b BD = ² b/² BD =
BD =
0.079 in
p ft ² p b DE = ² b/² DE =
BD =
0.124 in
4.- Para la armadura de acero (E=29x106 psi) y las cargas mostradas en la figura. Determine: a) Las deformaciones de los elementos BD y DE, si se sabe que sus respectivas áreas de sección transversal son de 2 in² y 3 in².
∑M F = (Gy * 4.5) - (120 * 2.5) - (120 * 5) - (120 * 7.5) - (450 * 4.5) = 0
Gy = 850 N ∑M G = (Fy * 4.5) - (120 * 2.5) - (120 * 5) - (120 * 7.5) = 0
Fy = 400 N ∑M B = 0; (120 * 2.5) - (360 * 5) + (850 * 4.5) + F EG * 4.5 = 0
F GE GE = -516.66 N 120 – 360 - F DE = 0 DE = F DE DE = -240
5.- Una barra de 260mm de largo con una seccion tranversal rectangular de 15x30mm consiste en dos capas de aluminio con 5mm de grosor, unidas a una capa central del laton del mismo grosor. Si la barra esta sujeta a fuerzas centricas de magnitud P= 30KN y se sabe que Eal= 70GPa y El= 105GPa. Determine el esfuerzo normal en: a) Las capas de aluminio. b) La capa de latón. DATOS P = 30 KN Eal = 70 GPa Elat = 105 GPa ∑Fx= o
2δ = δ
12= = 30
=
= 2 P = ∴ = 2 2 E = G G ∴ = 1.333 + = 30 1.333 + = 30 = 12.8 12.866 = 1.333= 12.86 (1.333) = 17.1 17.144
17.14 KN250 mm = = 0.20 6 2 9 300 E 70 E N/m² 12.86 E3 250 mm ó = = 0.20 6 9 150 E 105 E N/m²
P 12.86 E = A = 150 E−² =85733333.33 =85.7 .. P 17.14 E = A = 300 E−² =57133333.3 = 57.1 57.1 =
=
..
6.- En el emsamble que se muestra en la figura se aplican por medio de placas rigidas fuerzas centricas de compresion de 40 kips en ambos extremos. Si se sabe que Eac= 29x10⁶ y Eal= 10.1x10 ⁶ psi. Determine: a) Los esfuerzos normales en el nucleo de acero y en la coraza coraza de aluminio. b) La deformacion del emsamble.
Pal + Pac= 40 kips
= Pac ∗ 10 inin = Pall ∗ 10 in Pa πD ∗ 29 πd2 1 ∗ 10.1 10.1 4 4 Pac ∗ 10 inin = Pal∗ al ∗ 10 inin 0.79m∗29/ ² 4.12in² ∗ 10.1 10.1 /² P = P 22.9 E 41.6 P ac 0.55 ac = P al al 0.55 P alal = 25.80 kips P ac = 14.20 ac =
= 6.25 − = = 25.80 2 5 4.123 ²
=
.. −
= 18.0 − = = 14.20 0.785 ² 18.088
=
. −
7.- Una columna que está compuesta por acero en el centro y la coraza de latón, dicho ensamble disminuye 15mm cuando una fuerza axial se aplica por medio de dos placas rígidas. Calcular: a) La magnitud de la fuerza aplicada. b) El esfuerzo correspondiente en el núcleo de acero.
P 1 + P 2 = P 2 =
PL = AE
= AEδ L ó = P= (Aacero E acero acero + Alatón E latón latón )
= 6.25 − ∗ 200 7.44− ∗105 . . =101,560 b) = = 200 . . = 100 MPa = a)
8.- Una columna de concreto reforzado esta reforzado está compuesto por 6 varilla de acero cada una tiene 28mm de diámetro su módulo de elasticidad es 200GPa y 25GPa para el concreto. Calcule: a) Los esfuerzos normales y en el concreto cuando se le aplica una carga axial P de 1550 KN
P1 + P2 = P
PL = AE
= = 6 π28mm² = 3.69 69 −² 4 = π0.45m² 69 − =0.155 = 155 −² 4 3.69 =200e / =25e / 1550 − = δL = = = = 25 ∗ 155 155− 3.69− ∗200
336 − = 67.2 = E ε = 200 E336 67.2 .. =
= E ε = 25 E336 − = 8.4 .. =
9.- Una fuerza axial centrada centrad a en magnitud P=450KN se aplica al bloque compuesto como se muestra, por medio de una placa rígida PA en los extremos, sabiendo que h=10mm, halle el esfuerzo normal en: a) El núcleo de latón= 140.7MPa b) Las placas de aluminio= 93.81MPa
P
DATOS: Placas de aluminio E = 70 GPa Núcleo de latón E = 105 GPA Paluminio=
300 mm
PLATON=
P= (Aa Ea + Alat Elat)
60 mm h
40 mm
E= = = + Áreas A ALUMINIO= (2) (60) (10)= 1200mm² = 1200 E-6 E-6 m² m² ALATÒN = (60) (40)= 2400mm² = 2400 E-6 E-6 m² m² Deformación unitaria
− = 1.34 = + Esfuerzos normales
= E = (70E9) (1.34 − ) = ó = E = (105 ) (1.34 − ) = a
L
E9 E9
93.8 MPa
140.7 MPa
h
10.- Para el bloque compuesto mostrado en el problema 9 Determine: a) El valor de H si la porción de la carga soportada por las placas de aluminio aluminio es la mitad de la porción de la carga soportada por núcleo de latón. b) La carga total si el esfuerzo en el latón es de 80MPa.
PLATON
= =
P
P ALUMINIO
A) Paluminio= ½ (Platon)
300 mm
= A = ( ) a
60 mm h
40 mm
Áreas
h
−m² P LATÓN LATÓN = (40) (60)= 2,400 mm² = 2,400 = 1.8 −m² = 2(0.06 h) P ALUMINIO = ½ . ² h = . = 0.015 m
∗ ∗
h = 0.015m = 1 5 m m Esfuerzo
ó =
N P = ó + = 192 N + 96 N= 288 N = P = P = ( ó ) ( ó ) = (80 ) (2400 − )=192 N P aluminio aluminio = ½ ( ó )= 96
288 K N
11.-
Tres varillas de acero dispuestas como se muestra en la figura soporta una máquina de 4200kg de masa. El diámetro de cada varilla es de 20mm. Calcule: a) El esfuerzo en cada varilla. varilla. DATOS: M = 4200kg Ø = 20mm AB
BC
∝= + ℎ
55°
35
ACX
BCX
AB Sen 35°= ABx BC Sen 55°= BCx
AB Cos 35°= ABy AB Cos 55°= BCy
∑fx= 0; ABx + BCx = 0 -AB Sen 35°+ BC Sen 55°= 0 AB Sen 35° = BC Sen 55°
= BCSenSen35°55° AB= 1.428 BC
∑fy= 0; ABy + BCy - BD = 0 AB Cos 35° + BC Cos 55°- 41.2 KN = 0 (1.428 BC) Cos 35° + (BC) Cos 55°= 41.2 KN BC (1.17 + 0.57) = 41.2 KN
= . . =. AB = 1.428 B AB = 1428 (23.67KN) AB = 33.8 KN Esfuerzos
+y ∝= +y ∝= h +y
AB 33.8 = = 0.20 0.20 = . 23.67 = . = BC = 0.20 0.20 4 BD 41.2 = = 0.20 = . 4
12.- Una
barra de acero de 50cm² de sección transversal y 270cm de largo está sometida a las fuerzas axiales como se muestran en el gráfico. a) Determinar la deformación total E= 2.1x10^6 kg/cm² D.C.L
Y A 1.5ton 1ton
60cm 90cm ƩFH=0
-RA+1.5-1+4.5=0 RA=5Ton
4.5ton RA 120cm
1TON=1000KgF
AB= B= 1.5-1+4.5= 5Ton = 5000KgF BC= C= -1+4.5=3.5Ton = 3500KgF CD= D= 4.5Ton = 4500KgF
B
C
D
1.5ton 1ton
60cm 90cm
4.5ton X 120cm
13.- Para la armadura de acero (E = 200 Gpa) y la carga mostrada, en la figura, Determine: a) Las deformaciones de los elementos elementos AB y AD, si se sabe que su respectivas áreas de sección transversal son de 2400mm2 y 1800mm2.
∑mc = 0; -228(4) + fay(8) =0
Fay = 912/8 = 114 Ay =114 Cy = 114 ∑fy = 0; 114 kn - ABsen32° = 0
AB =114/sen32° =114/sen32° = 215.12 KN ∑Fx = 0; - AB cos32° + AD =0
AD = -182.43KN S AB = (215.12 E 3 N) (4.72m) / (2.4 E -3 M) (200 E9 N/m2) = 2.11 E-3 m S AD = (182.43 E 3 N) (4.72m) / (1.8 E -3 M) (200 E -9 N/m2) = 2.03 E-3 m
14.-
Las barras ABC y DEF son simétricas, las cuales tienen E=200Gpa, con un área en cada una de las barras de 25 x 35 mm. Determine: F
C
a) La Deformación BE
180mm
b) La deformación CF
E B
260mm
D
A 18KN
=0; =0; 0.260 0.26018 18 0.180 0.180 = 0
210mm
18KN
Σ
4680 N/m – FCF (0.180m) = 0
= 4680N/m =26000=26 0.180m
=0; =0;0.180 0.180 180.440=0
Σ
FBE (0.180m) + 7920 N/m = 0
= 7920/m =44000=44 0.180m
0.240 FL 44e − = . = EA = =3.0171 200 1.75−
0.240 FL 26e − = . = EA = =1.7828 200 1.75 −
15.- La lámpara de 80 kg está sostenida por dos barras AB y BC como se muestra en la figura. Si AB tiene un diámetro de 10mm y BC un diámetro de 8mm, Determine: a) El esfuerzo esfuerzo normal promedio en cada barra.
Σ=0;FBC 45 cos60°=0 Σ=0;FBC 35 60° 784.8 = 0 = FBAcos60° 4/5 ∴ = 0.625 FBA 0.62 0.6255 350.866=784.8 FBA 1.241 = 784.8 N FBA=632.4 N FBC= 632.4 N (0.625 N) = 395.25 N
FBC 395.25 = ABC = 0.004 =7863298.907 ∴ . FBA 632.4 = ABA = 0.005 = 805196 8051966.6.881 881 ∴ .
16.- Si se sabe que el eslabón DE tiene 25 mm de grosor y 3 mm de ancho, Determine el esfuerzo normal en la porción central del eslabón cuando; a) θ = = 0° b) θ = = 90°
Área de la sección transversal del eslabón ADE = 0.025 * 0.003 = 7.5 E m Momento en C ∑Mc = 0;
-(FED * 0.3m) – (240 sen 0°* 0.2m) – (240 cos 0° * 0.4m) = 0 FED = -320 N -(FED * 0.3m) – (240 sen 90°* 0.2m) – (240 cos 90° * 0.4m) = 0 FED = -160 N a)
= 320 = .. = 7.55² b)
160 = = 7.55² = ..
17.- Un poste de concreto de 4.5 ft esta reforzado
con 6 varillas de acero, cada una de 1 1/8 in de diámetro. Sabiendo que el=29 x 10 psi, es = 4.2 x 10 psi encuentra los esfuerzos normales en el acero y en el concreto cuando una carga centrada axial p se aplica al poste.
⁶
⁶
PP=3
18.- La varilla ABC es de un aluminio para el que E = 70 GPa. Sabiendo que P = 6KN y que q = 42 KN Determine la flexión de: a) el punto a b) el punto b.
A AB= d
= 0.020= 314.16 x10−
= 0.060=2.827410− PAB= P = 6x10N PBC=P-Q= 6x10-42x10 = 36x10N
ABC= d
LAB= 0.4 M
LAC = 0.5 M
( 6x ). AB= = .xx = 109.135x10−M − 36x 0.4 BC= = .xx = -90.947x10−M
10−-90.947x10−M=18.19x10−
= AB + AC= 109.135x
= 0.01819MM
10−m
B = BC = -90.947 x
= 0.0909
mm
19.- Los elementos AB y BC son de acero (E= 29 x
10 psi) con áreas de sección
transversal de 0.80 in2. y 0.64 in2, respectivamente. r espectivamente. Para la carga mostrada en la figura, Determine el alargamiento de: a) El elemento AB b) El elemento BC
√ = ∑ = . =. =. . . . = . . = . = ∑ = . = . . =. =. . LAB=
= 7.810 ft. = 93.72 in.
ab=
. bc= = . = .
20.- En la estructura que se muestra en la figura, el miembro BCDFG es sólido. Se encuentra soportado por los cables AB y DE. El cable AB es de acero y el cable DE es de aluminio. Ambos cables tienen un área de sección transversal de 0.5 in 2. Determine: a) Los esfuerzos normales de los cables AB y DE.
=0; 30,000 10,000 =∅ =0;30,000 (4 ) (4 ) 10 10 10,000 (12 ) (12 ) = ∅ EY
=24,000
∑ , tenemos: =0; 24,000 30,000 10,000 =∅ AY =16,000 Sustituir EY en la ecuación
Calculo de Esfuerzo:
FDE= EY
=16,000 16,000 = = 0.50
=24,000
FAB= AY
=,
24,000 = = 0.50
=,
